SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz

Transkript

1 SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz

2 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické analýzy III. o příklady vhodné k přemýšlení a k procvičování probírané látky. Tento text není ukončen. Průběžně ho měním a doplňuji. Prosím proto čtenáře o shovívavost a sdělení všech připomínek. 2. října 2000 Jiří Bouchala

3 Příklad. Rozhodněte,zdaposloupnost(a k )vr n konverguje,aurčetejejípřípadnoulimitu, je-li: def. a) n=2, a k = def. b) n=4, a k = def. c) n=5, a k = ( ( k 3 k 2k 3 +, 3 k +2 ); k 3 k+ +2 k+ 2k k 2 +,( )k k 2,0, 2k k ( ( k+2 k ) ; ) k, k k, sin k k, k+ 4k 2 +,( )k ( k k+) ). 5 Příklad 2. Rozhodněte, zda je vektorová funkce f diferencovatelná v bodě c, a pokud ano, vypočtěte f (c)adf c (h),je-li: a) = ( x 3 y 2 z, x y ), c=(,2,3), h=(h,h 2,h 3 ); b) f(x) def. = (cos x,sinx), c= π 4, h= 2; z c) = (xy,sin(xy),arcsin(x)), c=(,,6), h=(h,h 2,h 3 ). Příklad 3. Vypočtěte f (c), g (f(c))a(g f) (c),je-li: c=(,), ( ) f(x,y) def. = x 2 + y 2,lnx+lny, x y, g(u,v,w) def. = ( uv+,u 2 v 2 + w,w u ). Příklad4. Nakresletemnožinu ϕ ={ϕ(t): t I},je-li: a) ϕ(t) def. = (3+2cos t,2+2sin t), I= 0,2π ; b) ϕ(t) def. = (3+2cos(2t),2+2sin(2t)), I= 0,2π ; c) ϕ(t) def. = (cos t,2+arcsin(cos t)), I= π,π ; d) ϕ(t) def. = (2sin 2 t,4cos 2 t), I= 0, π 2 ; e) ϕ(t) def. = (t 2 2t+3,t 2 2t+), I=(,+ ); f) ϕ(t) def =, 2000t +t, I= R. 2 +t 2 Příklad 5. Parametrizujte množinu Ω, je-li: a) Ω={(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =9 2x+y 3z=0}; b) Ω={(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =4 x 2 + y 2 =2x z 0};

4 6 c) Ω={(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =9 x 2 + y 2 z 2 =0 z 0}; d) Ω={(x,y,z) R 3 : z= x 2 y 2 x 2 + y 2 =6}; e) Ω={(x,y,z) R 3 : y 2 = x z 2 = y}. Příklad6. Vypočtěte ϕ f(x,y)ds,je-li: a) f(x,y) def. = y 2, ϕ: 0,2π R 2, ϕ(t) def. = (2(t sint),2( cos t)); b) f(x,y) def. = x 2 + y 2 a ϕjetakovápočástechhladkájednoducháuzavřená křivka, že ϕ ={(x,y) R 2 : x 2 + y 2 =6x}. Příklad7. Vypočtěte k x2 yds,kde kjehranicíkruhovévýseče {(rcos t,rsin t) R 2 : r 0, 2 t 0, π 4 }. Příklad8. Vypočtěte ϕ f(x,y,z)ds,je-li: a) = z2 x 2 +y 2, ϕ: 0,2π R 3, ϕ(t) def. = (cos t,sin t,t); b) = 2z x 2 + y 2, ϕ: 0,2π R 3, ϕ(t) def. = (tcos t,tsin t,t). Příklad9. Vypočtěte k x2 ds,je-li: k def. = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =9 x+y+ z=0}. Příklad 0. Vypočtěte délku křivky ϕ: 0,2π R 3, ϕ(t) def. = (tcos t,tsint,t). Příklad. Vypočtěte obsah válcové plochy κ def. = {(x,y,z) R 3 : y 2 =2x 0 z 2x 4x 2 }. Příklad2. Vypočtětehmotnost Vivianiovykřivky k def. = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =4 x 2 + y 2 =2x z 0}, je-li(délková) hustota v každém jejím bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy x. Poznámkaahádankaprobystréčtenáře:Všimnětesi,žetentopříkladnenízcelakorektní, a najděte způsob, jak vše napravit.

5 7 Příklad 3. Vypočtěte: a) b) c) (ϕ) (y )dx+xdy,kde ϕ: 0, π 2 R2, ϕ(t) def. = (3cos t,2sin t); (ϕ) (x2 +y 2 )dx+(x 2 y 2 )dy,kde ϕ: 0,2 R 2, ϕ(t) def. = (t, t ); (ϕ) xdx+ydy+(xz y)dz,kde ϕ: 0, R3, ϕ(t) def. = (t 2,2t,4t 3 ). Příklad 4. Vypočtěte (k) x + y dx+ x + y dy, je-li(k)orientovanýobvodčtverceovrcholech(,0),(0,),(,0)a(0, ),jehož orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů. Příklad 5. Vypočtěte (k) y 2 dx+z 2 dy+ x 2 dz, kdeorientace křivky (k) def. = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =9 x 2 + y 2 =3x z 0} jedánapořadímbodů:(0,0,3), ( 3 2,3 2, 3 2 ),(3,0,0). Příklad6. Vypočtěte (k) f(x,y,z)ds,kde: = (y 2 z 2,z 2 x 2,x 2 y 2 ), (k) def. = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = x 0 y 0 z 0 xyz=0} aorientace(k)jedánapořadímbodů:(,0,0), (0,,0),(0,0,). Příklad 7. Vypočtěte pomocí Greenovy věty: a) (k) x arctg(y x )dx+2 y arctg(x y )dy, kde(k) je kladně orientovaná hranice oblasti {(x,y) R 2 : ( < x 2 + y 2 <4) (x < y < x 3)};

6 8 b) (k) yx 2 dx+xydy, kde(k)jeobvodčtverceovrcholech(0,0),(0,),(,),(,0),jehožorientace je dána uvedeným pořadím vrcholů; c) obsah elipsy {(x,y) R 2 : x 2 a 2+ y2 } (a,b >0); b2 d) je-li ( ϕ ) 3dx+2dy, ϕ: 0,2π R 2, ϕ(t) def. = (2(t sint),2( cos t)), aorientace( ϕ )jedánapořadímbodů ϕ(0), ϕ(2π). 2 Příklad 8. Vypočtěte: a) b) c) d) e) f) g) ( π 4,2) f(x,y)ds,kde f(x,y) def. = (2xy ysin(xy),x 2 +2 xsin(xy)); (0, π 4 ) (,) (2,0) (2,0) f(x,y)ds,kde f(x,y) def. = (2ye xy +2x+2y 2,2xe xy +4xy+2y); f(x,y)ds,kde f(x,y) def. = (3x 2 y+ ycos(xy),x 3 ++xcos(xy)); ( π 2,) (, 2) (2,) (0,,2) (,3,0) (,,) (0,0,) (,0,0) (0,0,0) f(x,y)ds,kde f(x,y) def. = (9x 2 y+24xy y,3x 3 +24x 2 y+8+5x); 3x 2 y 2 zdx+(2x 3 yz z 2 )dy+(x 3 y 2 2yz+3z 2 )dz; (y 2 z 2 +2z)dx+(2xyz 2 +2y)dy+(2xy 2 z+2x+)dz; (2x+3y+sin(z 2 ))dx+(2x)dy+(2xzcos(z 2 ))dz. 2 Nápověda:doplňte(ašikovně) křivku ϕ na uzavřenoukřivku.

7 9 Příklad9. Vypočtěte ψ f(x,y,z)dσ,je-li: a) = x+y+ z, Dψ= 0, 0,, ψ(u,v) def. = (,u,v); b) = z(x 2 + y 2 ), Dψ= 0,2π π,0, ψ(u,v)def. = (cos ucos v,sin ucos v,+sinv). 2 Příklad20. Vypočtěte S f(x,y,z)dσ,kde a) = z 2, S= {(x,y,z) R 3 : z= xy x 2 + y 2 }; b) = xy, S= {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 =4z x 0 y 0 z }; c) = xy+ yz+ zx, S= {(x,y,z) R 3 : z= x 2 + y 2 x 2 + y 2 2x}; d) = xyz, S= {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 x 0 y 0 0 z }; e) = z, S= {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =9 x 0 y 0 z 0 x+y 3}; f) = (+x+y) 2, Sjepovrchčtyřstěnusvrcholy(0,0,0),(,0,0), (0,,0), a(0,0,);

8 0 g) = x 2 + y 2 + z, Sjehranicemnožiny {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4 z 0}. Příklad 2. Vypočtěte pomocí plošného integrálu obsah plochy S, je-li: a) S= {(x,y,z) R 3 : (x 8) 2 +(y 7) 2 +(6 z) 2 =25}; b) S= {(x,y,z) R 3 : z= 2 (x2 + y 2 ) x 2 + y 2 }; c) S= {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =00 8 z 6}; d) S= {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =4 x 2 + y 2 2x z 0}. Příklad 22. Určete souřadnice těžiště plochy: a) S= {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =36 z 0}, je-lijejí(plošná)hustotapopsanáfunkcí h(x,y,z) def. = x 2 + y 2 ; b) S= {(x,y,z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 0 z }, je-li její(plošná) hustota v každém jejím bodě rovna vzdálenosti tohoto boduodosy z. Příklad23. Vypočtěte (ψ) f(x,y,z)dσ,je-li: a) = (0,0,x 2 + y 2 ), Dψ=,2 π 2, π, ψ(r,t)def. = (rcos t,rsint,0); 2 b) = ( x 2 z,y,2xy), Dψ= 0, π 2 0, π, ψ(u,v)def. = (cos ucos v,2sin ucos v,sinv). 2

9 Příklad 24. Vypočtěte plošné integrály 2. druhu: a) (2y z,6z 2x,3x y)dσ, (L) kde plocha L={(x,y,z) R 3 : 2x+y+2z=6 x 0 y 0 z 0} jeorientovanávektorovýmpolem n(x,y,z) def. = 3 (2,,2); b) (x,y,xyz)dσ, (L) kde plocha L={(x,y,z) R 3 : z= xy x 2 + y 2 5} jeorientovanápomocínormálovýchvektorů svírajících svektorem(0,0,) ostrý úhel; c) (0,0,x 2 y 2 z)dσ, (L) kde plocha L={(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =6 z 0} jeorientovanápomocínormálovýchvektorů svírajících svektorem(0,0,) ostrý úhel; d) (x,y,z)dσ, (L) kde L je záporně orientovaný povrch kužele {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 0 z }. Příklad 25. Vypočtěte pomocí Gauss-Ostrogradského věty: a) (x 3 yz,y 3 zx,z 3 xy)dσ, (L) kde L je kladně orientovaný povrch koule {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 8z};

10 2 b) (L) (x y+ z,y z+ x,z y+ x) dσ, kde L je záporně orientovaný povrch osmistěnu {(x,y,z) R 3 : x + y + z 3}; c) tok vektorového pole = (x 2,y 2,z 2 ) kladně orientovanou kulovou plochou se středem v bodě(,, ) a poloměrem ; d) objemtělesaohraničenéhoplochou ψ, 3 kde Dψ= 0,2π 0,2π, ψ(u,v) def. = ( (a+bcos v)cos u,(a+bcos v)sinu,bsin v ) (0 < b < a). Příklad 26. Vypočtěte pomocí Stokesovy věty: a) kde (k) zdx+xdy+ ydz, k={(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 =4 x 2 + z 3 =} aorientace kjedanápořadímbodů (2,0,0), (0,2,3),( 2,0,6); b) kde (ϕ) ydx+xdy+0dz, Dϕ= 0,2π, ϕ(t) def. = (sint,cos t,0); 3 Jednáseotzv.anuloid.

11 3 c) kde (ϕ) xdx+(x+y)dy+(x+y+ z)dz, Dϕ= 0,2π, ϕ(t) def. = ( 3cos t,3sin t,3(cos t+sint) ) ; d) (k) y 2 dx+z 2 dy+ x 2 dz, kde k je obvod trojúhelníku o vrcholech (3,0,0),(0,0,3), (0,3,0), jehož orientace je daná uvedeným pořadím vrcholů.

12 Příklad 27. Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim odpovídající vlastní vektory daných matic: 2,, 5,4, 2, 5, 3, 2, 4,,,,,,, 3,5 ; 2,4 4 2,, 2,0, 0,,,,0, 0 2,, 2, 3,2, 3, 0,2,,0, 2,,0 3,,0 6, 3,2, 8, 6,5,,0 2,0,0. 0,0, Příklad 28. Najděte všechna řešení(na R) soustavy lineárních diferenciálních rovnic y = Ay, kde za matici A postupně dosazujte matice z Příkladu 27. Příklad 29. Najděte všechna řešení(na R) soustavy lineárních diferenciálních rovnic: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = g) y = h) y = 2, e x y+ ; 3, 2 x ( ), 3 e x y+ 3, 3e x ; 2, 5 y+, 2 cos x ; sinx, e 2x y+ 4, 2 2e x ; 4, 2 x 3 y+ 8, 4 x 2 (zdehledejteřešeníjenna R + ); ( 5 4, , 5 4 ) y+ 2x e x ; 2, y+e 3, 2 x ; ( ) 3, 2 y+e x ; 2, 2

13 i) y = 2, 5 0 y+ ;, 2 cos x 5 j) y = k) y = l) y = 2,3 8e x y+ ; 3,2 5x 2, 2 y+ 3, x ; x, cos x y+. 2, sinx+cos x Příklad 30. Najděte řešení Cauchyovy úlohy: a) y = b) y = c) y = d) y = 4, 5 y, y(0) = 4, 4, y, y(0) = 2,4 5 ; 6 0 ;, cos x y+, y(0) = 2, sinx+cos x ( ), cos x y+, y(0) = 2, 0 2,, 2 e) y =,0, 0 y,, f) y = 2,, 0 0,2, 4 y,, 0 g) y = y(0)= y()= 2,, 2,0, 0 y+, 2 x x 0 ; 0 ; ;, y(0)= ; 2 0.

14 Příklad 3. Rozhodněte, které z následujících řad jsou absolutně konvergentní, které konvergentní a které divergentní: 6 a) ln(n+), b) n n 2 +, c) d) n 3n, č) 3n+ ( ) n n 2n+, ď) 3n n 3 e n, ( ) 2 n(n+) 4 n, e) ( ) n n lnn, f) n ( ) 0n n!, g) ch) n! 2 n +, h) sin n 2, n(n+), i) 2 n n! n n, j) n n 2, k) 3 n sin 2 n, l) n) n!, m) (n )!(n+3)!3 n, ň) (2n)! +2+ +n n 3, sin ((n+ n ) )π, o) cos n, p) n! n n, q) ř) š) 2 n n! 3 n, r) n 2 sin π 2 n, ( e) n n! n n, s) n n+7, t) 3n 999 2n 2 n, (n!) 2 (2n)!,

15 7 ť) v) n+ n, u) n n 3+ n, w) n (n+)ln(n+), n 3 cos n 3, x) nsin n 2, y) 6n 5 7n n 5 +6n 4, z) ntg π 2 n+, ž) n 3n+7. 3n+200

16 8 Literatura [] J. Bouchala, Matematická analýza 3(Diferenciální a integrální počet vektorových funkcí), VŠB-TU, Ostrava, 200. [2] J. Bouchala, Číselné řady, [3] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, Zbierka úloh z vyššej matematiky(3. časť), Alfa, Bratislava, 967. [4] J.Eliaš,J.Horváth,J.Kajan,R.Šulka,Zbierkaúlohzvyššejmatematiky(4.časť),Alfa, Bratislava, 970. [5] J. Charvát, M. Hála, V. Kelar, Z. Šibrava, Příklady k Matematice II, ČVUT, Praha, 992. [6] K. Rektorys a spol., Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995.