|
|
- Michal Horáček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1
2
3
4
5
6
7 k n ( k) n k F n N n C F n F n C F F q n N C F n k 0 C [n, k] [n, k] q
8 C [n, k] k n C C (n k) n C u C u T = T. [n, k] C (n k) n T = k (n k). F n N u = (u 1,..., u n ) v = (v 1,..., v n ) F n d(u, v) u v d(u, v) = {i {1,..., n} u i v i }. C [n, k] q k 1 d(c) = {d(u, v) u, v C, u v} C k = 0 d(c) = n + 1 d = d(c) [n, k, d] [n, k, d] q C. F n N u = (u 1,..., u n ) F n w(u) u 0 = (0,..., 0) F n. w(u) = {i {1,..., n} u i 0} = d(u, 0), d F n F n N. t t u F n F n N u r 0 S(u, r) = {v F n d(u, v) r}. C r N C r u C S(u, r) C = {u} C r u, v C S(u, r) S(v, r) =. C d r N C r r < d C r 2r < d
9 C r r r C r 2r < d 2r d u v 2r w F n d 2 u d 2 v d(u, w) = d 2 d(v, w) = d 2 u u v v d 2r d 2 r r u v w C r C r w F n u, v C w S(u, r) S(v, r). d d(u, v) d(u, w) + d(v, w) = r + r = 2r 2r < d [n, k, d] q d n k + 1 C F n [n, k, d] q C C C d 1 d 1 C d C C C F n (d 1) F = q. q k = C = C F n (d 1) = q n (d 1). [n, k, d] d = n k + 1 C [n, k, d] d 1 r N 0 r r d = 1 r 1 n
10 r = n n+1 u = (u 1,..., u n ) C J = {i {1,..., n} u i 0} h T 1,..., h T n u T = T i J ht i u i = 0 d d 1 r v r +1 v T = T v C d r + 1 C (c 1,..., c n ) C (c n, c 1,..., c n 1 ) C F n N { n 1 } F [x] n = c i x i c i F + a F n 1 n 1 n 1 c i x i + d i x i = (c i + d i )x i, n 1 n 1 c i x i = c i x i, n 1 n 1 a c i x i = ac i x i. b : F n F [x] n b((c 0,..., c n 1 )) = n 1 c ix i b b F [x] n x n 1 F [x] {}}{ p q = (p q) x n 1, F [x] n Π n : F [x] F [x] n Π n (p) = p x n 1 F [x] n F [x]/ Π n = F [x]/(x n 1). I F [x] n [0] (x n 1) Π 1 n (I) F [x] x n 1 F [x]
11 g x n 1 Π 1 n (I) I = (gf [x]) F [x] n F n N F [x] n C(g) = {gh h F [x], h < n g} g F [x] x n 1 g C(g) F [x] n g x n 1 C(g) F [x] n C(g) 0 C(g) r F [x] n gh C(g) rgh (x n 1) = g(rh ( xn 1)) C(g) g C F [x] n C g F [x] x n 1 C(g) = C. C F [x] n F u xu, x 2 u,..., x n 1 u C u C f = n 1 f ix i F [x] n n 1 f u = f i C {}}{ x i u }{{} C C, C F [x] n C = C(g) g x n 1 C(g) F [x] n F n h C(g) xh C(g)
12 R (R, +,,,, ) (R, +,, ) x + y = y + x x, y R (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z R x + = + x = x x R x + (x) = (x) + x = x R x (y z) = (x y) z x, y, z R x (y + z) = x y + x z (y + z) x = y x + z x x, y, z R, x, y R x y = y x, x R x = x = x. F = (F, +,,,, ) x F x 1 F x x 1 = F < p m N p m F p m F R
13 f F [f] R [f] f f f [f] R F f F [f] R f F f = a 0 + r 0 = a 0 + a 1 + r 1 = a 0 + a 1 + a 2 + r 2 = a 0 + a 1 +, a n 1 + a n + r n n = 0, 1,... a n r n a 0 = [f], [ a n = r n 1 ] n 1 r n 1, r 0 = f a 0, r n = a n r n 1 n 1 r n 1. N N 0 r N = a n r n n N + 1 f F R n n 0 n 0 n N
14 n f = A n(a n + r n ) + B n C n (a n + r n ) + D n, A n B n C n D n a 0,..., a n 1 n n = 0 f = a 0 + r 0 = (a 0 + r 0 ) + (a 0 + r 0 ) + n 1 n 1 A n 1 B n 1 C n 1 D n 1 f = A n 1(a n 1 + r n 1 ) + B n 1 C n 1 (a n 1 + r n 1 ) + D n 1. an+rn a n+r n r n 1 = a n+r n f = A n 1(a n 1 + a n +r n ) + B n 1 C n 1 (a n 1 + an + r n a n +r n ) + D n 1 a n + r n = A n 1a n 1 (a n + r n ) + A n 1 + B n 1 (a n + r n ) C n 1 a n 1 (a n + r n ) + C n 1 + D n 1 (a n + r n ) A n B {}}{{}} n { = ( A n 1 a n 1 + B n 1 )(a n + r n ) + A n 1. (C n 1 a n 1 + D }{{ n 1 )(a } n + r n ) + C }{{ n 1 } C n D n A n = A n 1 a n 1 + B n 1, B n = A n 1, C n = C n 1 a n 1 + D n 1, D n = C n 1. A n B n C n D n r n = n f f n f n = P n Q n, P n = A n a n + B n, Q n = C n a n + D n.
15 A n B n C n D n P n Q n A n+1 = P n, B n+1 = P n 1, C n+1 = Q n, D n+1 = Q n 1, P n+1 = a n+1 P n + P n 1, Q n+1 = a n+1 Q n + Q n 1 0 n N P 0 = a 0, Q 0 =, P 1 =, Q 1 =. (2.2) (2.5) a n (2.11) (2.12) P n Q n f n f R P n Q n R P n Q n 0 n N P n Q n 1 Q n P n 1 = ( ) n+1. P n Q n 0 n ( N) ( ) ( ) ( ) Pn P n 1 Pn 1 P = n 2 an Q n Q n 1 Q n 1 Q n 2 ( ) ( ) ( ) Pn 2 P = n 3 an 1 an Q n 2 Q n 3 ( ) ( ) ( ) a0 a1 an =. P n Q n R f F n n Q n = f f n = f P n Q n.
16 f F P, Q R f = P /Q P 1 Q 1 1 n 1 P 0 [f] Q 0 0 f [f] n 0 n 0 n n [ + 1 ] a n n 2 n 1 P n a n P n 2 + P n 1 Q n a n Q n 2 + Q n 1 n a n n 2 + n 1 P = P n Q = Q n P Q n P n Q n n = fq n P n. {Q n } {P n } n+1 = a n+1 n + n 1, 1 =, 0 = f a 0 = r 0. (a n + r n ) A n, B n, C n D n a n + r n = f D n B n A n f C n = f Q n 2 P n 2 f Q n 1 P n 1 = n 2 n 1, a n = [ ] n 2, n 1. n 1 {a n } n (2.19) n = n 1 (2.5) = n n 1 = n 1 r n = r 0 ( r i ). a n+1 + r n+1 r n r N = 0 N = 0 a n a n = [ n 2 n 1 ] i=1
17 f = = 2, n P n Q n n a n [ ] = [ , ] = 1 [ ] , = [ ] , = [ 0, , ] = [ ] = 6 f f = = F { } F ((x)) = f d i x d i f d 0, f d i F i 0 d Z = 0x = 1x 0 f d i x d i + g e i x e i = (f {d,e} i + g {d,e} i )x {d,e} i, x 1 F ((x 1 ))
18 f d i x d i h m i = g e i x e i = j+k=m i h m i x m i, i > d j > e f i = 0 g j = 0 f j g k, m = d + e, m = 0 h 0 = 1 h i = 0 i = 1, 2,... F ((x)) { d } F [x] = f d i x d i f d 0 F F [x] F ((x)) F ((x)) [ ] d f d i x d i f d ix d i, d 0, = 0, d < 0. F F 16 = Z2 /(α 4 + α + 1) R f(x) = x5 + α 9 x 4 + α 6 x 3 + α 9 x 2 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α 13 = x 2 + α 5 x + α 9 + α 4 x 1 + 0x 2 + 0x 3 + α 2 x f(x) R f(x) F f(x) [f(x)] = x 2 + α 5 x + α 9. F F : F R + A B = A B A = 0 A = A + B ( A, B ).
19 F ((x)) f(x) F ((x)) d f(x) = 2 d = 0 F = 1 A 1 = A 1 A = A B > A A + B = B 0 x = N1) = = x x x = 1 1 V = 1) = A A 1 N1) = A A 1 A 1 = A 1 A 2 = A 2 = ( A) 2 = A 2 A = A B > A B = (A + B) A ( A + B, A ) = A + B R R F f F f [f] < 1 f F. f 1 f = [f] f = 2 m m f [f] 1 2 f = [f] ( f, [f] ) V = 4) f [f] N5) < 1 N3) ( f, [f] ) f = [f] F f 2 m < f < 2 m+1 m Z d F 1 < fd m V = 5) [fd m ] < 2 f P n = n Q n. Q n
20 F 1 2 n n = r i 2 (n+1). Q n [ ] a n = 1 = 2 n 1 r n 1 r n 1 Q n 2 < Q n 1 Q n 2 < a n Q n 1 Q n = a n Q n 1 2 Q n 1. Q 1 = 0 Q 0 = 1 { Q n } n 1 n Q n 2 n. 0 f P n = n Q n 1. 22n+1 Q n {P n /Q n } f N N N = 0. f = P N Q N {P n /Q n } f F P Q R n Q n Q f P n f P Q Q n f P n < 1 Q n Q. Q n r p/q q > 0 r
21 Q 1 = 0 { Q n } n Q n Q < Q n+1. f P /Q < f P n /Q n P Q P n Q n (f = P ) ( f P ) n Q Q n (V 4) = f P ( n (V 4) Q n = f P ) ( n f P ) n+1 Q n Q n+1 = P n Q n+1 P n+1 Q n Q n Q n+1 (2.13) = Q n Q n+1 < Q n Q. Q n Q P Q n P n Q <. P Q P n Q n R R P Q n P n Q P Q n P n Q = 0 P Q n P n Q =. f f F P n /Q n n A B R A AP n = BQ n. A Q n. P n Q n 1 Q n P n 1 = ±. A AP n Q n BQ n 1 AP n 1 = A. BQ n 1 AP n 1 R f(x) F ((x)) L L 1 f(x) = f d i x d i + X d L, d f(x) f d i F i = 0, 1,..., L 1 X d L F ((x)) d L f(x) F ((x)) F [x]
22 f f = x 2 + α 5 x + α 9 + α 4 x 1 + 0x 2 + 0x 3 + α 2 x 4 + α 8 x 5 + α 12 x 6 + X 7. f n P n Q n n a n α 5 α α 4 00α 2 α 8 α 12 X 7 1α 5 α 9. 1 α 11 αα 5 1. α α 13 α 4 α 8 X 6 α α 2 α 11 α 8 α α 2 α 8 α X 4 α 6 α 12 α 9. f 2 = P 2 = α2 x 5 + α 11 x 4 + α 8 x 3 + α 11 x 2 Q 2 α 2 x 3 + α 8 x 2 + α 5 x + 1 = x5 + α 9 x 4 + α 6 x 3 + α 9 x 2 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α 13 = f. f P n /Q n Pm/Q m K 1 f f F f P n Q n = f P m = Q m P,Q: Q K P,Q : Q K f P Q, f P. P n = P m, f f < Q n Q m Q 1 Q n K. P n /Q n = Pm/Q m. f f = f P n f + P m Q n Q m ( f P n Q n, f P ) m Q m ( ) 1 < Q n K, 1. Q m K
23 Q mp n = PmQ n Q m Q n f f 1 < Q n K, f f 1 < Q n K. Q mp n PmQ n = P n Q n Q P m m Q n Q m = f f f + P n + f P m Q n Q m ( f f, f P n Q n, f P ) m Q m ( ) 1 < Q n K, 1. Q m K Q n Q m ( Q Q mp n PmQ n < m K, Q ) n 1. K Q mp n P mq n R P n = P m. Q n Q m A(x) A(x) = P N(x) Q N (x) = A N(x), Q N (x) K = Q N (x) A N (x) = A M (x), A(x) A (x) < Q N (x) 2. A (x) A(x) A(x) = P (x)/q(x) P (x) Q(x) A(x) x d P (x) Q(x) A(x) Q(x) < d 2
24 [n, k, n k + 1] q q F q n = q 1 n < q k n n k + 1 = (m 0, m 1,..., m k 1 ) m i F q i = 0,..., k 1
25 m(x) = m 0 + m 1 x + + m k 1 x k 1 F n q m(x) n a 0, a 1,..., a n 1 F q = (c 0, c 1,..., c n 1 ) = (m(a 0 ), m(a 1 ),..., m(a n 1 )). a 0, a 1,..., a n 1 i = 0,..., n 1 a i = α i α F q α α 0,..., α n 1 F q C = { (m(α 0 ), m(α 1 ),..., m(α n 1 )) m(x) F q [x], m < k } = { Fq} k 1 α α 2... α n 1 = 1 α k 1 α 2(k 1)... α (n 1)(k 1). C [n, k, n k + 1] q 1 α α 2... α n 1 1 α 2 α α 2(n 1) =. 1 α n k α 2(n k)... α (n k)(n 1) m 0,..., m k 1 C [n, k] T = k (n k). T (i, j) {0,..., k 1} {0,..., n k 1} n 1 n 1 ( T ) i,j = α il α l(j+1) = l=0 l=0 α l(i+j+1) n 1 = (α i+j+1 ) l = (αi+j+1 ) n 1 α i+j+1 l=0 }{{} 1 1 =1 = ( {}}{ α n ) i+j+1 1 α i+j+1 1 = 0. n n = (α ij ) n 1 i,j=0 n k n k n k + 1 n = (v ij ) n 1 i,j=0 = (aj i )n 1 i,j=0 a 0, a 1,..., a n 1 0 i j n 1 (a j a i ). a 0, a 1..., a n 1
26 C = (c 0, c 1,..., c n 1 ) F n q T = T c(x) = n 1 c ix i F q [x] n c(α i ) = 0 i = 1,..., n k C {c(x) ( F q [x] n c(α i = 0, i = 1,..., n k} n k ) C i=1 (x αi ). = (m 0,..., m k 1 ) m(x) = m 0 + m 1 x + + m k 1 x k 1 [n, k] q n k g(x) = (x α i ) = g 0 + g 1 x + + g n k 1 x n k 1 + x n k, i=1 α F q m(x) g(x). n m(x)g(x) = c(x) F q [x] n { } n 1 C = (c 0, c 1,..., c n 1 ) c i x i = c(x) = m(x)g(x), m(x) F q [x], m < k. C = C n k α g(x) = n k i=1 (x αj+i ) j N 0. j = 0
27 F k q = ( ) k k k (n k). k m(x) = m 0 + m 1 x + + m k 1 x k 1 m(x) g(x) c(x) = x n k m(x) p(x), p(x) = x n k m(x) g(x), p(x) n k 1 n k p(x) = p 0 + p 1 x + + p n k 1 x n k 1 c(x) = c 0 + c 1 x + + c n 1 x n 1 = (c 0, c 1,..., c n 1 ) = (p 0, p 1,..., p n k 1, m 0, m 1,..., m k 1 ). g(x) c(x) c(x) = x n k m(x) p(x) p(x) p(x) = 0 g(x). [6, 2, 5] 7 Z 7 g(x) = (x 3)(x 3 2 )(x 3 3 )(x 3 4 ) = x 4 + 6x 3 + 3x 2 + 2x + 4. = (1, 3) m(x) = 3x + 1 c(x) = x 4 (3x + 1) (2x 3 + 3x 2 + x + 5) = 3x 5 + x 4 + 5x 3 + 4x 2 + 6x + 2, = (2, 6, 4, 5, 1, 3)
28 [n, k, d] q g(x) = n k i=1 (x αi ), α F q t t = n k 2 c(x) = m(x)g(x) = c 0 + c 1 x + + c n 1 x n 1 e(x) = e 0 + e 1 x + + e n 1 x n 1 F q [x] r(x) = c(x) + e(x) = r 0 + r 1 x + + r n 1 x n 1 e i 0 0 i n 1 i ν 0 ν t j 1 < j 2 < < j ν r(x) α, α 2,..., α n k i = 1, 2,..., n k n 1 S i = r(α i ) = r j α ij j=0 i c(x) = m(x)g(x) g(α i ) = 0 i = 1, 2,..., n k S i = r(α i ) = c(α i ) + e(α i ) = m(α i )g(α i ) + e(α i ) n 1 = e(α i ) = e j α ij i = 1, 2,..., n k j=0 r(x) k = 1, 2,..., ν X k = α j k,
29 Y k = e jk, X k Y k ν ν S i = e jk α ij k = Y k Xk i i = 1, 2,..., n k k=1 k=1 n k 2ν ν Λ(x) = (1 xx k ) = 1 + Λ 1 x + + Λ ν x ν, k=1 X 1 1 k ν k Y k X j+ν k j 0 = Λ(X 1 k ) 0 = 1 + Λ 1 X 1 k + + Λ ν X ν k 0 = Y k X j+ν k + Λ 1 Y k X j+ν 1 k + + Λ ν Y k X j k. k = 1 ν ν 0 = (Y k X j+ν k + Λ 1 Y k X j+ν 1 k + + Λ ν Y k X j k ) 0 = k=1 ν k=1 Y k X j+ν k + Λ 1 ν k=1 S i = ν k=1 Y kx i k Y k X j+ν 1 k + + Λ ν S j+ν + Λ 1 S j+ν Λ ν S j = 0 ν Y k X j k, k=1 1 j 2t ν Λ 1 S j+ν Λ ν S j = S j+ν. ν 1 j ν ν ν
30 Ω(x) = S(x)Λ(x) x 2t, S(x) = S 1 + S 2 x + + S 2t x 2t 1 Λ(x) Ω(x) S(x) Ω(x) = S(x)Λ(x) ( 2t ν = = = = = i=1 k=1 x 2t (1 X j x) ) x 2t ( ν Y k Xkx i i 1) i=1 k=1 j=1 ( 2t ) ( ν Y k X k X i 1 k x i 1 (1 X k x) ) X j x) j k(1 ν 2t Y k X k (1 X k x) k=1 ν k=1 i=1 (X k x) i 1 j k (1 X j x) x 2t Y k X k (1 Xk 2t x 2t ) (1 X j x) x 2t j k ν Y k X k (1 X j x). k=1 j k x 2t Λ(x) = ν Ω(x) ν 1 Y k = Ω(X 1 k ) Λ (X 1 k ) k = 1, 2,..., ν, Λ (x) Λ(x) x Λ (x) = X k X j x) + (1 X k j k(1 x)( (1 X j x)) j k Ω(X 1 k ) Λ (X 1 k ) = Y kx k j k (1 X jx 1 k ) X k j k (1 X jx 1 k ) = Y k. S(x) = S 1 x +... S 2t x 2t Ω(x) = (1 + S(x))Λ(x) x 2t+1
31 c(x) = 3x 5 + x 4 + 5x 3 + 4x 2 + 6x + 2 e(x) = 4x + 2x 2 r(x) = c(x) + e(x) = 3x 5 + x 4 + 5x 3 + 6x 2 + 3x + 2. S 1 = r(3) = 2 S 2 = r(3 2 ) = 2 S 3 = 5 S 4 = 6 S 5 = 0 S 6 = 6 r(x) X 1 = 3 X 2 = 3 2 = 2 Y 1 = 4 Y 2 = 2 Λ(x) = (1 3x)(1 2x) = 6x 2 + 2x + 1 Ω(x) = 4 3 (1 2x) (1 3x) = 6x + 2. Λ(x) 5 1 = 3 = X = 2 = 3 2 = X 2 Y 1 = Ω(3 1 ) Λ (3 1 ) = ( ) = 4 6 = 4, Y 2 = Ω(2 1 ) Λ (2 1 ) = ( ) = 5 1 = 2. e(x) = 4x + 2x 2, r(x) c(x) = r(x) e(x) = 3x 5 +x 4 +5x 3 +4x 2 +6x+2 m(x) = 3x + 4 Λ(x)
32 S 1, S 2,..., S 2t L N 0 C(x) = 1 + C 1 x + + C L x L s 1, s 2,..., s N N L s j = L C i s j i j = L + 1, L + 2,..., N. i=1 Λ(x) n n = 1 S 1, S 2,..., S n Λ (n) (x) = 1+Λ (n) 1 x+ +Λ (n) x L(n) L (n) L (n) Λ (n 1) (x) S 1, S 2,..., S n 1 S 1, S 2,..., S n D (n) = S n + L (n 1) j=1 Λ (n 1) j S n j. Λ (n) (x) = Λ (n 1) (x) L (n) = L (n 1) Λ (n) (x) n 1 Λ (n) (x) = Λ (n 1) (x) D (n) T (x), T (x) = x n u Λ (u 1) (x)/d (u), u L (n) = {L (n 1), n L (n 1) }. C L C(x) L
33 S 1, S 2,..., S 2t Λ(x) n 0 Λ (0) (x) 1 L (0) 0 T (x) x n < 2t n n + 1 D (n) S n + L (n 1) j=1 Λ (n 1) j S n j D (n) = 0 Λ (n) (x) Λ (n 1) (x) L (n) L (n 1) Λ (n) (x) Λ (n 1) (x) D (n) T (x) 2L (n 1) < n L (n) n L (n 1) T (x) Λ (n 1) (x)/d (n) L (n) L (n 1) T (x) x T (x) Λ(x) = Λ (2t) (x) Λ (n) (x) L (n) S 1, S 2,..., S n L (n) S j + Λ (n) i S j i = 0 j = L (n) + 1, L (n) + 2,..., n. i=1 Λ (n 1) (x) Λ (u 1) (x). Λ (u) (x) L (n) S j + Λ (n) i S j i i=1 = S j + = { L (n 1) i=1 Λ (n 1) i S j i D(n) D (u) S j (n u) + L (u 1) i=1 Λ (u 1) i S j (n u+i) 0 D(n) 0 = 0 D (u) j = L (n) + 1, L (n) + 2,..., n 1 D (n) D(n) D (u) = 0 D (u) j = n. Λ (n) (x) S 1, S 2,..., S n Λ (2t) (x) S 1, S 2,..., S 2t L (n) S 1, S 2,..., S n
34 S 1 = 2 S 2 = 2 S 3 = 5 S 4 = 6 S 5 = 0 S 6 = 6 n D (n) Λ (n) (x) L (n) T (x) x 1 2 5x x 2 5 6x x x 2 + 6x x 2 + 5x 4 5 6x 2 + 2x x 3 + 5x x 2 + 2x x 4 + 5x x 2 + 2x x 5 + 5x 4 Λ(x) = Λ (6) (x) = 6x 2 +2x+1 Ω(x) = Λ(x) S(x) x 6 = (6x 2 + 2x + 1) (6x 5 + 0x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 2x + 2) x 6 = 0x 5 + 0x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 6x + 2 = 6x + 2. R η N r N = 0 r n n = 1, 0,..., N r n = u n a + v n b. u n+1 v n v n+1 u n = ( 1) n n = 1, 0,..., N u n v n
35 (a, b) a, b R η(a) η(b) u, v R ua + vb = (a, b) n 0 r 1 a u 1 1 v 1 0 r 0 b u 0 0 v 0 1 r n 0 n n + 1 q n, r n R r n 2 = q n r n 1 + r n η(r n ) < η(r n 1 ) u n u n 2 q n u n 1 v n v n 2 q n v n 1 (a, b) = r n 1 u = u n 1 v = v n 1 R F q [x] η q r a(x) a b(x) b S(x) Λ(x) Ω(x) Λ(x) t Ω(x) < t Λ(0) = 1 Ω(x) = S(x)Λ(x) x 2t. a(x) = x 2t b(x) = S(x) n = 1, 0,..., N r n (x) = u n (x) x 2t + v n (x) S(x), r n (x) = v n (x) S(x) x 2t. v n (x) r n (x) Λ(x) Ω(x) n = 1,..., N v n (x) = n q i (x) i=1 q n (x) = r n 2 (x) r n 1 (x).
36 r n 1 (x) = r n 2 (x) q n (x) = ( r n 3 (x) q n 1 (x)) q n (x) n = r 1 (x) q i (x) i=1 = a(x) v n (x). K > 0 r K (x) < t r K 1 (x) t, v K (x) = a(x) r K 1 (x) 2t t = t. v K (x) r K (x) v K (x) r K (x) v K (x) v K (0) 1 Λ(x) = v K (0) 1 v K (x), Ω(x) = v K (0) 1 r K (x). Λ(x) Ω(x) u n (x) S(x) = S 1 + S 2 x + + S 2t x 2t 1 Λ(x) Ω(x) n 0 r 1 (x) x 2t r 0 (x) S(x) v 1 (x) 0 v 0 (x) 1 r n (x) t n n + 1 q n (x) [r n 2 (x)/r n 1 (x)] r n (x) r n 2 (x) q n (x) r n 1 (x) v n (x) v n 2 (x) q n (x) v n 1 (x) Λ(x) = v n (0) 1 v n (x) Ω(x) = v n (0) 1 r n (x) v K (0) = 0 r K (0) = 0 x y [x/y]
37 S(x) = 2 + 2x + 5x 2 + 6x 3 + 0x 4 + 6x 5. n r n (x) v n (x) q n (x) 1 x x 5 + 0x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 2x x 4 + 5x 3 + 2x 2 + 2x + 0 x 6x 2 6x + 2 6x 2 + 2x + 1 x + 5 Λ(x) = v 2 (0) 1 v 2 (x) = 6x 2 + 2x + 1, Ω(x) = v 2 (0) 1 r 2 (x) = 6x X k x = 1 + X kx + X 2 kx X k Y k k Y k X k k = 1 ν ν k=1 Y k X k 1 X k x = S 1 + S 2 x + S 3 x ν k=1 Y kx k j k (1 X jx) ν k=1 (1 X = S 1 + S 2 x + S 3 x , kx) Ω(x) Λ(x) = S 1 + S 2 x + S 3 x S 2t x 2t S (x) S (x) x x 1 S (x 1 ) F ((x))
38 S (x) = x 1 S (x 1 ) S (x) S (x) = Ω(x)/ Λ(x) Ω(x) Λ(x) F [x] Ω(x) = x ν 1 Ω(x 1 ), Λ(x) = x ν Λ(x 1 ). Λ(x) Λ(x) Ω(x) Ω(x) Ω(x) S (x) = Ω(x)/ Λ(x) Ω(x) Λ(x) = xν 1 Ω(x 1 ) x ν Λ(x 1 ) = x 1 S (x 1 ) = S (x). Λ(x) Ω(x) Λ(x) = x ν Λ(x 1 ) = x ν ν (1 x 1 X k ) = k=1 Ω(x) = x ν 1 Ω(x 1 ) = x ν 1 = ν Y k X k (x X j ). k=1 j k ν (x X k ), k=1 ν Y k X k (1 X j x 1 ) k=1 j k Λ(x) X k S (x) = Ω(x)/ Λ(x) Ω(x) Λ(x) S (x) 2t 2t 1 Ω(x) Λ(x) S (x) Λ(x) < 2t+1 2 Λ(x) = ν t < 2t+1 2 S (x) Ω(x) Λ(x) Ω(x) Λ(x) x Λ(x) λ Ω(x) Λ(x) S (x) Λ(x) = ν ν ν (x) = 0 ν t t
39 S (x) = S 1 x 1 + S 2 x S 2t x 2t + X 2t 1 Λ(x) Ω(x) P 1 (x) 1 Q 1 (x) 0 1 (x) 1 P 0 (x) 0 Q 0 (x) 1 0 (x) S (x) n 0 n (x) n n + 1 [ ] a n (x) n 2 (x) n 1 (x) P n (x) a n (x)p n 2 (x) + P n 1 (x) Q n (x) a n (x)q n 2 (x) + Q n 1 (x) n (x) a n (x) n 2 (x) + n 1 (x) Λ(x) = x ν λq n (x 1 ) Ω(x) = x ν 1 λp n (x 1 ) ν = Q n (x) λ = 1 (Q n (x)) S (x) = 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 6x 4 + 0x 5 + 6x 6 + X 7, X l l Z, x l n P n (x) Q n (x) n (x) a n (x) x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 6x 4 + 0x 5 + 6x 6 + X x + 3 5x 2 + 4x 3 + 4x 4 + 3x 5 + X 6 4x x + 3 4x 2 + x + 3 X 5 x + 3 Λ(x) = x (4x 2 + x 1 + 3) = 1 + 2x + 6x 2, Ω(x) = x 4 1 (x 1 + 3) = 2 + 6x.
40 p(x) = n p i x i = p(x) = n p n i x i = x n p(x 1 ). a(x) = n 1 a ix i b(x) = n 2 j=0 b jx j n a(x)b(x) = c(x) = c k x k, n = n 1 + n 2, d k = k=0 n = n 1 + n 2, c k = â(x) b(x) = d(x) = (n 1 i)+ +(n 2 j)=k i+j=k a i b j. n d k x k, k=0 a i b j = â(x) b(x) = ĉ(x) = i+j=n k a(x)b(x). a i b j = c n k.
41 x 2t Λ(x)S(x) = 2t+ν 1 k=0 ν 1 = (3.6) = k=0 ν 1 k=0 k Λ i S k+1 i x k k Λ i S k+1 i x k + 2t 1 k=ν k Λ i S k+1 i x k = Ω(x) + x 2t A(x), k Λ i S k+1 i x k + 2t+ν 1 k=2t 2t+ν 1 k=2t k Λ i S k+1 i x k A(x) ν 1 k Λ i S k+1 i x k Λ(x)Ŝ(x) = Λ(x)S(x) = x 2t Ω(x) + Â(x). A(x) Ω(x) S(x) = Ω(x) + [ ] x2t A(x) x 2t A(x) =, Λ(x) Λ(x) Λ(x) = ν Ω(x) ν 1 [ ] [ Ŝ(x) = x2t Ω(x) + Â(x) x 2t Ω(x) ] =. Λ(x) Λ(x) A(x) S(x) = 2 + 2x + 5x 2 + 6x 3 + 0x 4 + 6x 5 Λ(x) = 1 + 2x + 6x 2. Λ(x)S(x) = 2 + 6x + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 5x 6 + 1x 7, Ω(x) = 2 + 6x, A(x) = 5 + x. [ ] [ ] x 6 A(x) x 7 + 5x 6 = Λ(x) 6x 2 + 2x + 1 = [ 6x 5 + 0x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 2x x 1 + 0x 2 + 6x ] = 6x 5 + 0x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 2x + 2 = S(x). Ω(x) = x ν 1 Ω(x 1 ) Â(x) = x ν 1 A(x 1 ) ν 1
42 A(x) u n K u K (x)x 2t + v K (x)s(x) = r K (x) v n (0) 1 Λ(x) Ω(x) v K (0) 1 u K (x)x 2t + Λ(x)S(x) = Ω(x), A(x) = v K (0) 1 u K (x). Ŝ(x) K u K (x)x2t + v K (x)ŝ(x) = r K (x). λv K (x) = Λ(x) = x ν Λ(x 1 ) = x ν v K (0) 1 v K (x 1 ), λu K (x) = Ω(x) = x ν 1 Ω(x 1 ) = x ν 1 v K (0) 1 r K (x 1 ), λr K (x) = Â(x) = xν 1 A(x 1 ) = x ν 1 v K (0) 1 u K (x 1 ). λ = 1 (v K (x)) v K (x) Ŝ(x) = 2x5 +2x 4 +5x 3 +6x 2 +0x+6 u n (x) n r n (x) u n (x) v n (x) q n (x) 1 x x 5 + 2x 4 + 5x 3 + 6x 2 + 0x x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 4x x + 4 4x x + 4 6x + 4 4x 2 + 1x + 3 x + 3 S(x) Ŝ(x) S(x) Ŝ(x) f = P /Q F ((x)) P, Q F [x] P < Q f P Q
43 r n /Q = ( 1) n n u n = ( 1) n+1 P n v n = ( 1) n Q n n = 1, 0,..., N, a n = q n n = 1, 2,..., N, N n r 1 /Q = Q/Q = 1 = 1, r 0 /Q = P /Q = f = f [f] = 0, u 1 = 1 = P 1, u 0 = 0 = [f] = P 0, v 1 = 0 = Q 1, v 0 = 1 = Q 0. n 1 n 1 [ ] [ ] [ rn 2 ( 1) n 2 n 2 a n = = = ] n 2 = q r n 1 ( 1) n 1 n, n 1 n 1 r n = r n 2 q n r n 1 = ( 1) n 2 Q n 2 a n ( 1) n 1 Q n 1 = ( 1) n Q ( n 2 + a n n 1 ) = ( 1) n Q n. u n v n r n S (x) = Ω(x)/Λ(x) S (x) Ŝ(x)/x2t Ŝ(x)/x2t F ((x)) Ŝ(x) x2t Ŝ(x) x2t K Ŝ(x) Ŝ(x) S(x) Ŝ(x) S i i = 1 2t Ŝ(x)/x 2t x 2t 1 S (x) Ŝ(x)/x2t < 2 2t
44 r 1 (x) = a(x) + b(x) v 1 (x) = 1 r n 2 (x) = u n 2 (x)a(x) + v n 2 (x)b(x) C Cr n 2 (x) = Cu n 2 (x)a(x) + Cv n 2 (x)b(x). u n (x) = Cu n 2 (x) q n (x)u n 1 (x), v n (x) = Cv n 2 (x) q n (x)v n 1 (x). C r n 2 (x) r n 1 (x) D n 2 x δ D n 1 x γ D r n 2 (x) C q n (x) q n (1) (x) = CD n 2x δ D n 1 x. γ q n (x) = q n (1) (x) r n (1) (x) r n 1 (x) n + 1 r n (1) (x) q n (1) (x) (j 1) q n (x) r n (x) q n (j 1) (x) r n (j 1) (x) j r n (j 1) (x) r n 1 (x) D n x γ D n 1 x δ D n D n 1 x γ δ r n 1 (x) r n (j 1) (x) q n (j) (x) = q n (j 1) (x) + D n x γ δ, D n 1 δ γ
45 r n (j) (x) = Cr n 2 (x) q n (j) (x)r n 1 (x), r n (j) (x) r n (j 1) (x) q n (x) r n (x) a(x) = x 2t v n (x) a(x) = x 2t n 1 r n (x) 2t b(x) = Ŝ(x) r n (x) = v n (x)ŝ(x) x2t. L n v n (x) γ r n (x) L n j=0 (v n ) j S 2t (γ j), (v n ) j j v n (x) S 2t (γ j) γ j Ŝ(x) = S 2t + S 2t 1 x + + S 1 x 2t 1. r n (x) v n (x) Ŝ(x) L n j=0 (v n ) j S 2t (γ j), γ r n (x) γ i r n 1 (x) δ γ < δ r n (x) r n 1 (x) n v n (x) C q n (j) (x) q n (x) v n (j) (x) v n (x) v n (x) v n (x) v n 1 (x) T (x) r n δ v n (x) L n
46 Ŝ(x) = S 1 x 2t 1 + S 2 x 2t S 2t Λ(x) C = D n 2 /D n 1 n 0 v 0 (x) 1 L 0 0 T (x) 1 i 0 v 1 (x) 1 δ 2t D 1 1 γ 6 i < 2t γ t i i + 1 γ 2t + L n i γ r n (x) = v n (x) S(x) D n = L n j=0 (v n) j S 2t (γ j) D n 0 γ < δ n n + 1 v n (x) C v n 2 (x) C (D n 2 /D n 1 ) x δ γ v n 1 (x) T (x) v n 1 (x)/d n 1 δ γ L n v n v n (x) v n (x) D n T (x) x γ δ Λ(x) = x v n(x) v n (x 1 ) C = D n 1 /D n 2 v n (x) = D n 1 T (x) x δ γ v n 1 (x) γ δ r n (x) r n 1 (x) r n 1 (x) r n (x) v n (x) v n (j) (x) = Cv n 2 (x) q n (j) (x) v n 1 (x)x γ δ. v n (x) q n (x) q n (j) (x) v n (j) (x) = v n (j 1) (x) D n T n 1 (x)x γ δ, T n 1 (x) = v n 1 (x)/d n 1 C = 1 C = D n 2 /D n 1 v 1 (x) = 1 v 0 (x) = 1 C Λ (i) (x) Λ (i) (x)
47 v n (x) v (1) n (x) = D n 1 T (x) x δ γ v n 1 (x). γ < δ γ = 2t + L n i δ = 2t + L n 1 i 0 L n = i 0 L n 1 2L n < i v n (x) i Λ (i) (x) D (n) D n T (x) x C D n 1 /D n 2 i = 0 γ = 6 D 1 = 1 n = 0 () = () = δ = 6 = i = 1 γ = 5 D 0 = 2 n = 1 () () = + () = δ = 5 = i = 2 γ = 5 = () () = + i = 3 γ = 4 D 1 = 4 n = 2 () () = + + () = + δ = 4 = i = 4 γ = 4 = () () = + + i = 5 γ = 3 D 2 = 0 i = 6 γ = 2 D 2 = 0 v (1) 1 (x) v (2) 1 (x) 6 1 v 1 (x) v 2 (x)
48
49
Česká republika - ŽENY
2012 Česká republika - ŽENY věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002338 0.997662 100000 234 99804 8088058 80.88 100 000.00 229.43 4 164 194.04 22 355.11 130 483 842.84 1 731 180.86 1 0.000144
Více2016 Česká republika ŽENY (aktuální k )
2016 Česká republika ŽENY (aktuální k 27. 11. 2017) věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002462 0.997538 100 000.00 246.23 99787 8205207 82.05 100 000.00 243.07 5 066 877.57 34 975.90 176 922
VíceLogika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceZápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
VíceTeorie her pro FJFI ČVUT řešené úlohy
Tyto úlohy volně doplňují přednášky z kursu teorie her. Rozsah látky a použité značení odpovídá slajdům dostupným na stránce věnované výuce. Γ S S Γ 3 o = o = o 3 = vítězná o o Γ u u(o ) = u(o ) = u(o
Více13) 1. Číselné obory 1. 1, 3
1. Číselné obory 1. 0 1 4 3 4 5 6 1 7 6 2. 1 3 0 1 2 3 4 3. 4; 4. C; 5. C; 6. E; 7. A) 104/25; B) 118/21; C) 18/5; 8. 200; 9. 1,056 10 11 ; 10. 2,3472 10 26 ; 11. A) {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B) {-7; -6; -5;
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VíceA0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
VíceObsah. Matematika. Obsah. Ljapunovova metoda. Volba LF
Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 1/27 Obsah Obsah Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 2/27 Obsah přednášky
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceHome. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec
Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Více$ x. $ z. divg # G. z divg + 0. rotg # G. Dt DT. x y. z y x z y
t x, y, z t x F x, y, z, t # #,,, #,,, y F x y z t z F3 x y z t x y z u #, v #, w # t t t u x v y w z # t t t 3 #, # t t #, # # t u f x, y, z, t v f x, y, z, t w f3 x, y, z, t # # # u v w #, #, 3 # t t
Více2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
VíceK LMJ -. HILMN L O : P! K!' & '; I T!"#$%\ & ' \ '! AA ` FN U= IJ ISJ 2 K, ; I` \ Z Z ="7 7 F$N? * 8 ), 2U, 8* # * c2u ). + % *+ V \I ` 8 $ ^ ` \
K LMJ -. HILMN L O : P! K!' & '; I T!"#$%\ & ' \ '! AA ` FN U= IJ ISJ 2 K, ; I` \ Z Z ="7 7 F$N? * 8 ), 2U, U= @ 8* # * c2u ). + % *+ V \I ` 8 $ ^ ` \ 7 /E +( )*+( * $ X8 " )( )*+( *$PE : 0 +.( #$ X. 8*+(
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné
ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Víceγ α β E k r r ρ ρ 0 θ θ G Θ G U( r, t) w(z) w 0 ω z R z U( r, t) 1 c 2 2 U( r, t) t 2 = 0, U( r, t) U( r, t) = E( r, t) U( r, t) = u( r)e iωt. u( r) + k 2 u( r) = 0, k = ω/c u( r) = A exp( i k r), k
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VícePOLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VíceÚvod do logiky (PL): ekvivalence a negace výroků logického
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): ekvivalence a negace výroků logického čtverce
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Vnitřní síly na nosnících Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW:
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16
Obsah Derivace 3 Integrály 7. Neurčité integrály.................. 7. Určité integrály................... 3.3 Aplikace v geometrii a fyzice............ 6 3 Diferenciální rovnice 8 3. Motivace.......................
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ZÁKLADY KVADRATICKÝCH TĚLES FUNDAMENTALS
VíceV této kapitole si ukážeme, jak lze řešit některé nelineární autonomní soustavy rovnic. Uvažujme soustavu X = F (X), (1)
Nelineární systémy V této kapitole si ukážeme, jak lze řešit některé nelineární autonomní soustavy rovnic. Uvažujme soustavu X = F (X), () kde X : (a, b) R R n je neznámá funkce a F : Ω R n R n je spojitá
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
VíceCyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)
MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMobilní jeřáb GROVE GMK 3050-1. Technický popis Standardní a volitelné příslušenství
Mobilní jeřáb GROVE GMK 3050-1 Výrobce Manitowoc Cranes Typ GROVE GMK 3050-1 Kategorie Pracovní stroj samohybný Maximální nosnost 50 t Technický popis Standardní a volitelné příslušenství GROVE GMK3050-1
VíceMONTÁŽNÍ KATALYZÁTORY
MONTÁŽNÍ KATALYZÁTORY Katalyzátory ŠKODA - pøehled náhled obj. èíslo OE aplikace K001M K001MK 6U0 131 701HX 6U0 131 701HX Škoda Felicia 1.3 do r.v. 11/98 (keramika) Škoda Felicia 1.3 do r.v. 11/98 (kov)
VíceOptimální ustálený chod Optima Power Flow -OPF
1 Optimalizace režimu sítě-newtonovský přístup Optimální ustálený chod Optima Power Flow -OPF C i (P i ) cena výroby i-tého zdroe Cílové funkce: 1. minimalizace přenosových ztrát. minimum ceny vyráběné
VíceIntegrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceMatematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění
Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceI. část - úvod. Iva Petríková
Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy,
VíceAplikace. Středové promítání. A s. Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování
Aplikace Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování Středové promítání σ A S B S...střed promítání ν...průmětna σ...centrální rovina σ π, S σ π A s B σ, neexistuje
Více!" #$% &' # $%& % # #$ % ( ( ( '5!"# $ C C ) [ C (!"#$ %&' # (!S FGH /0 / -9!" $ 9N, %S T` 8 ` & `.9 \O' 4 ` OB H 0 S S DE 2!"N, %ST` 8 ` ( 9 N,
!" #$% &' # $%& %##$ % ( '5!"#$ C C ) [ C (!"#$ %&'#!S FGH /0 / -9!" #N?@ $ 9N,%S T` 8` & `.9 \O'4` OBH0 S S DE2!"N,%ST` 8` (9 N, U9 " 8'`- 2 ) & `H- " H, -.9 \O*F+!"-, - 3. /01 & A & - $# #! - 3# #! -
VíceMilí závodníci, Občas sledujte náš i váš web WWW.XTERRA.CZ, který už brzy změní svou tvář a všechny aktuální informace najdete právě tam.
Milí závodníci, Chceme, aby jste na své výkony ze závodů XTERRA nikdy nezapomněli, proto vydáváme tuto ročenku, která vám kdykoliv připomene výsledky ze sezóny 2009. Celkem sedm závodů Českého poháru Xterra
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceVibrační. 112 Přehled VEGASWING 114 VEGASWING 51. 116 VEGASWING série 60. 124 Přehled VEGAVIB. 126 VEGAVIB série 60. 134 Přehled VEGAWAVE
Vibrační 112 Přehled VEGASWING 114 VEGASWING 51 116 VEGASWING série 60 124 Přehled VEGAVIB 126 VEGAVIB série 60 134 Přehled VEGAWAVE 136 VEGAWAVE série 60 111 Přehled VEGASWING Oblast použití Limitní spínače
VíceNeparametrické odhady podmíněné rizikové funkce
Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita Finanční matematika v praxi III a Matematické modely a aplikace 3.-6. září 2013 Obsah 1 Analýza přežití Funkce přežití a riziková
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více1 Vedení tepla stacionární úloha
1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Více2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.
6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceCvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Více!" #!" $%!"#$%&' () &789:,10; *+ #"B CD ' E FGHI2J KLM.?NO E PQ?./RST.UVW 0GXY E,ZPQ ST.U[ \]^_2`a.UVWb c 2#( & ) & T Z.U : 7 PQ? :2 PQ?
!" #!" $%!"#$%&' () &789:,10; *+ .?@A #"B CD ' E FGHI2J KLM.?NO E PQ?./RST.UVW 0GXY T2 @4 E,ZPQ ST.U[ \]^_2`a.UVWb c 2#( & ) & T Z.U : 7 PQ? :2 PQ? B?#R B 3 2B %,?# E PQ? \ ] 2, 3, 2 R :? 3?4 < ^F ()
VícePřírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
Více0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VícePřehled základních metod georeferencování starých map
Přehled základních metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, Fakulta stavební, katedra mapování a kartografie 4. listopadu 2011 Obsah prezentace 1 2 3 4 5 Zhlediska georeferencování jsou důležité
VícePřehled pravděpodobnostních rozdělení
NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více13. Kvadratické rovnice 2 body
13. Kvadratické rovnice 2 body 13.1. Rovnice x 2 + 2x + 2 m = 0 (s neznámou x) má dva různé reálné kořeny, které jsou oba menší než tři, právě a) m (1, 17), b) m = 2, c) m = 2 m = 5, d) m 2, 5, e) m >
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag) Formální překlady. 5. Překladové konečné automaty. h(ε) = ε, h(xa) = h(x)h(a), x, x T, a T.
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 2/41 Formální překlady BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 4/41 Automaty a gramatiky(bi-aag) 5. Překladové konečné
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceDefiniční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.
VíceJan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
VícePříklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
Více1 Ohyb desek - mindlinovské řešení
1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové
VíceInternetová matematická olympiáda
Zadání a řešení úloh: Internetová matematická olympiáda. ročník http://matholymp.fme.vutbr.cz 1. Letadlo letí z Brna do Londýna. Určete délku trajektorie letadla za předpokladu, že se pohybuje od začátku
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceÚlohy domácího kola kategorie A
49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce
ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 23.4.-7.5. 2010 ne ve 1 ne Outline 2 ve ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův
Více