1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

Transkript

1 . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x + y z =. (x ) + (y ) (z ) = ] c) nulové hladině funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y, z) = x + y + z, ϱ : x + 4y + 6z =. (x ) + 4(y ) + 6(z ) =, (x + ) + 4(y + ) + 6(z + ) = ]. Najděte lokální extrémy funkce f. a) a) f(x, y) = x 4 + y 4 x xy y, ],, ] min,, ] sedlo] b) f(x, y) = x + xy + y 4 ln x ln y, ] min] c) f(x, y, z) = x + y + z + x + 4y 6z,, ] min] d) f(x, y, z) = xy + z(a x y z) a, a, a ] sedlo] 5 e) f(x, y) = xy ln(x + y ), ±], ±, ] sedla, e, e ], e, e ] min, e, e ], e, e ] max ] b) c) y x y+ x y 6 x x y 4 d) e) 4. a) b) c) d) y e x dx dy x (+y) x y dx dy dx dy e4 + 5 e] dx dy, kde je trojúhelník s vrcholy, ], 5, ], 4, 4] x+y+ (44 ln 4 ln )] 5 x dx dy, kde je dána nerovnostmi x y, 4x + y ] 4 xy z dx dy dz, kde je dána nerovnostmi, x (+z ) + y z, x, y x yz dx dy dz, kde je dána nerovnostmi x, y x, z xy x+y 4+z ] 9 ] ln 5] ] dx dy dz, kde je dána nerovnostmi x + y, y, x, z 4 9 ln ] xy (4+z) dx dy dz, kde je dána nerovnostmi x + y 4z 6 ] e) x yz dx dy dz, kde je dána nerovnostmi 4x + y + z, x, y, z ] 5

2 Příklad : ypočítejte délku křivky r(t) = (t, arcsin t, 4 B,, ln ]. Řešení: Pro délku d křivky platí d = + t ( t ) dt = t ln ), t, ] a najděte tečnu v bodě +t ( t ) + ( t ) Tečna má tvar: y(τ) =, 4, 4 ln + ] + (,, )τ, τ R.. Popište parametricky úsečku spojující body A, 5, ] a B,, 6]. dt = + 4 ln.. Rozhodněte, zda obrazem vektorové funkce r (t) = (, t, t ), t, ] je regulární jednoduchá křivka.. Popište rozdíl mezi křivkami r (t)=(cos t, sin t, ) a r (t)=(sin t, cos t, ) pro t, ]. 4. Najděte parametrické vyjádření křivky dané rovnicemi x + y =, z =, popište její vlastnosti a nakreslete ji. 5. počítejte délku jednoho závitu šroubovice dané vektorovou funkci r (t) = (cos t, sin t, t). Pro t=/ určete tečnu k této šroubovici. řivkové integrály řivkové integrály. druhu Příklad : ypočítejte křivkový integrál kde je úsečka AB a A, ], B, ]. ds x + y, Řešení: Parametrické vyjádření úsečky AB je: x, y] = A + t(b A), po souřadnicích x = + t, y = t, t, ]. Tudíž ds x + y = + ( ) t + t dt = ln t + ] = ln. Příklad : ypočítejte křivkový integrál f( r) ds, kde f( r) = z, je kuželová šroubovice (t cos t, t sin t, t), t, ]. ( )]

3 4. f( r )= a je úsečka spojující body A,, ], B4,, ]. x y Parametrické vyjádření úsečky AB je: x = + 4t, y = + t, z = + t, t, ]. Tudíž ds = x y t+ t dt = ln + t ] = 5 ln.] 5. f( r )=x + y a je obvod trojúhelníka s vrcholy A,, ], B,, ], C,, ] ] 6. f( r )=x a je graf funkce y = ln x na intervalu, ]. 7. f( r )= x + y a je dána rovnicí x + y = x. řivkové integrály. druhu Příklad 8 : ypočítejte křivkový integrál + y dx x dy x + y, kde + je orientovaná polovina kružnice ležící v polorovině dané nerovností x, se středem v počátku, s počátečním bodem A, ϱ] a koncovým bodem B, ϱ], ϱ >. Parametrizací x(t) = ϱ cos t, y(t) = ϱ sin t, t, ] dostaneme ϱ cos t + ϱ sin t ϱ cos t + ϱ sin t dt = ϱ ( sin t) cos t + ( cos t) sin t] dt = 4ϱ. 9. ypočítejte práci, která se vykoná v silovém poli v = (xy, x ), popřípadě v = (xy, y x) při přemístění hmotného bodu z místa A, ] do místa B, ] po křivce + dané vztahy: a) y = x, b)y = x, c) x = y, d) lomená čára ACB s bodem C, ], e) kratší oblouk kružnice x + (y ) =. ypočítejte. (y z ) dx + yz dy x dz, + kde + je křivka daná rovnicemi x = t, y = t, z = t, t, ].. (x xy) dx + (y xy) dy, + kde + je křivka daná grafem funkce y = x, x, ].

4 .. + (y + z) dx + xy dy + (x + y + yz) dz, kde + je křivka daná rovnicemi x = cos t, y = sin t, z = t, t, ]. + ( y) dx + x dy, kde + je křivka daná rovnicemi x = t sin t, y = cos t, z =, t, ]. Plošné integrály.druhu Příklad 4 : ypočítejte plošný integrál. druhu x + y d, kde je povrch koule s poloměrem ϱ a středem v počátku souřadného systému. Řešení: Přechodem ke sférickým souřadnicím x = ϱ cos u cos v, y = ϱ sin u cos v, z = ϱ sin v, u, ), v (, ), d = ϱ cos v dudv dostaneme x + y d = ϱ cos u cos v + ϱ sin u cos v ϱ cos v dvdu = ϱ. Příklad 5 : ypočítejte integrál x y + x z + y z ] d, kde je část kuželové plochy z = x + y, z ohraničená válcovou plochou x + y = 4x. Řešení: Průmětem plochy do roviny xy je kruh xy ((x ) + y = 4). Pro diferenciál plochy d platí d = + zx + zy (x d xy = +y ) d x +y xy = d xy. Tedy x y + x z + y z d = x y + (x + y ) ] d xy. xy Přechodem k polárním souřadnicím x = ϱ cos t, y = ϱ sin t dostaneme t, ], ϱ 4 cos t a x y + (x + y ) ] d xy = xy 4 cos t (ϱ 4 cos t sin t + ϱ 4 ) ϱ dϱdt =. 4

5 4 6 6 cos 6 t(cos t sin t + ) dϱdt = = 48. Příklad 6 : ypočítejte integrál d ϱ z, kde je plášt válce s poloměrem ϱ, s podstavou v rovině xy a výškou k, < k < ϱ. Řešení: Přechodem k cylindrickým souřadnicím r : x = ϱ cos u, y = ϱ sin u, z = v, u, ], v, k] dostaneme k r u r v dudv ϱ v = k ϱ ϱ v dudv = ϱ arcsin v k ϱ] = ϱ arcsin k. ϱ Příklad 7 : ypočítejte integrál x + y d, kde je povrch koule se středem v počátku a poloměrem ϱ >. Řešení: Přechodem k sférickým souřadnicím r : x = ϱ cos u cos v, y = ϱ sin u cos v, z = ϱ sin v, u, ], v, ] dostaneme d = ϱ cos v a (ϱ cos u cos v) + (ϱ sin u cos v) ϱ cos v dudv =ϱ cos v dudv = ϱ. Plošné integrály.druhu Příklad 8 : ypočítejte integrál + x dydz + y dxdz + z dxdy, kde je vnější strana části rotačního paraboloidu z = x y, která je omezená rovinou z =. Řešení: Úlohu lze rozložit na výpočet tří integrálů přes průměty plochy do odpovídajících rovin yz, xz a xy. 5

6 Při průmětu do roviny yz platí x = ( y z), pokud vnější normálový vektor n má první souřadnici n >, a zároveň x = ( y z), pokud n <. Tedy I x = x dydz = + = 4 5 = 4 5 yz ( y z) dydz = ( y z) 5 ] y dy = 4 5 cos 5 t cos t dt = y ( y ) 5 dy = ( + cos t) dt = ( y z) dzdy y = sin t dy = cos t ( + ) = 4. Při průmětu do roviny xz dostaneme stejnou úlohu jako v předchozím kroku (stačí zaměnit proměnné x a y, neboli I y =. 4 Při průmětu do roviny xy budeme integrovat přes průmět xy, kterým je kruh daný nerovností x + y a přechodem k polárním dostaneme I z = z dxdy = ] x = ϱ cos t, ϱ, ] x y dxdy = y = ϱ sin t, t, ] + xy + ] u = ϱ = ( ϱ ) ϱ dϱdt = du = ϱ dϱ Zadaný integrál má tedy hodnotu =. = u du =. Příklad 9 : ypočítejte tok vektorového pole v = (4x, y, z ) povrchem válce daného rovnicemi x + y = 4, z =, z =. Řešení: Pro tok T platí T = v n d, + kde n je vnější normálový vektor k povrchu válce. Úlohu lze rozložit na výpočet tří integrálu přes podstavy a plášt válce. nější normálový vektor k podstavě v rovině z = je n = (,, ) a pro první integrál platí I = (4x, y, z ) (,, ) d = z dxdy =. + xy nější normálový vektor k podstavě v rovině z = je n = (,, ) a pro druhý integrál platí I = (4x, y, z ) (,, ) d = z dxdy = = 6. + xy nější normálový vektor k plášti válce získáme po parametrizaci r : x = cos u, y = sin u, z = v, u, ], v, ], potom tečné vektory mají tvar r u = ( sin u, cos u, ), r v = (,, ) a normálový vektor n = (cos u, sin u, ). Pro třetí integrál tedy platí I = + (4x, y, z ) (cos u, sin u, ) d = 6 8 cos u 8 sin u] dvdu = 48. ]

7 Zadaný integrál má tedy hodnotu = 84. Příklad : ypočítejte integrál v n d, jestliže v = (x, y, z) a plocha je parametrizována + funkcí r(u, v) = (u cos v, u sin v, cv), u, v] a, b], ], < a < b, c >. Řešení: Pro výpočet využijeme rovnost v n d = v ( r u r v ) du dv. Platí r u = (cos v, sin v, ), r v =( u sin v, u cos v, c) a r u r v =(c sin v, c cos v, u). Tedy b b + (u cos v, u sin v, cv) (c sin v, c cos v, u) du dv = c v u du dv =(b a )c. a a Greenova věta Příklad : Užitím Greenovy věty vypočtěte křivkový integrál (x + y) dx (x y) dy, kde + je kladně orientovaná elipsa x y =. 9 Řešení: Greenově větě ( f + ) f y x dxdy = pak f = a f y x =. Tedy + f dx + f dy položíme f = x + y, f = x + y, (x + y) dx (x y) dy = ( ) dxdy. Převedeme dvojný integrál přes do zobecněných polárních souřadnic Pro Jakobián této transformace dostaneme ) J f = ( x r y r x ϕ y ϕ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, ϕ <. ( cos ϕ r sin ϕ = sin ϕ r cos ϕ ) ; det J f = 6 r =6 r. Tudíž (x + y) dx (x y) dy = dxdy = 6 r drdϕ = 4. 7