Apliace matematiy Zdislav Kováří Zrychlování onvergence lineárních iteračních procesů v Banachových prostorech Apliace matematiy, Vol. 11 (1966), No. 4, 266--270 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103028 Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1966 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://dml.cz
SVAZEK 11 (1966) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 4 ZRYCHLOVANÍ KONVERGENCE LINEÁRNÍCH ITERACNICH PROCESU V BANACHOVÝCH PROSTORECH ZDISLAV KOVÁŘÍK (Došlo dne 5. července 1965.) Při řešení rovnice x = Ax + b iteracemi je možno využít znalostí rozladu operátoru A urychlení onvergence posloupnosti postupných aproximací. Zvláštní případy (v onečněrozměrném prostoru) níže popsaných metod jsou uvedeny v [1], str, 570 a v [2], str. 254. V této práci je věnována pozornost zobecnění Ljusterniovy metody. Tvrzení mají asi tento tvar: Známe-li něoli co do absolutní hodnoty největších vlastních čísel operátoru A (lhostejno, jaé násobnosti) a je-li počáteční aproximace ještě dosti daleo od řešení rovnice, existuje vzorec, pomocí něhož lze po dostatečně mnoha iteracích zísat aproximaci, bližší přesnému řešení než něoli následujících iterací. X značí Banachův prostor, 0 současně číslo nula, nulový vetor a nulový operátor,. normu v X, I identicý operátor. Ostatní označení, poud nejsou všeobecně známá, budou vysvětlena na příslušném místě. V celém článu A je lineární operátor, pro terý platí A = ]T // ř _. + B, de E\ = í=i = E h E { Ej = 0 pro i +j, AE { = E^A = nfi h \JL % + 1, r(b) < min, /i f (ij = = 1,..., ), přitom r(b) značí spetrální poloměr operátoru B. Předpoládáme, že B, E t a (I A) -1 jsou omezené lineární operátory, p t obecně omplexní čísla. Označme x = (I Á)~ l b, de b e l Budiž dále x Q e X, x n + í = Ax n + b pro s n = 0, 1,... Budiž s přirozené číslo, P(X) = ]T a^1 polynom stupně nejvýše s taový, že I = 0 (i) rfrd-r- (*«!...*) 1 - PÍ Věta 1. Pro m = 0, 1,... položme x m = x m + ot 0 (x m + 1 - x m ) +... + + a s( x m + s+i ~ x m + s). Nechť E h x) + 0 aspoň pro jedno i 0, 1 g i 0 =. Pa ^ aždému přirozenému číslu p existuje taové m 0 (p) = O(p), že pro všechna m m (p) platí = 0 ( 2 ) \\x m - x\ = \x m+p - x\. 266
Důaz. Z předpoladů plyne, že E { B = BE t = 0. Pro m = 1 platí A m = tfe t + B m i=l P(A) A m = uj( pą^e, + B' + ") = p7 P(p,) E t + ß'" P(B). j = 0 i = 1 i = 1 Označme e, = x m x, e, = x, x. Je pa m = 4% = (Í> m E ř + ZT)e 0, Sm = e m + I«y(e, + J. + 1 - e m+/ ) = A% + axa m+^+i - A m + J ) e 0 = J'=0 j = 0 = (A»'-(/-^)p(^)A'«) eo = = [ í * "(- - (1-0.) -fy.)),' + 5m (! - (I - B) P(B))-] e 0 = i = l = B m (I-(l-B)P(B))e 0 vzhledem (1). Označme x x = F;x, de E 0 = I ]T E ;. Z x = E^.x plyne j=0 ' 7=1 7=0 (3) ^ NsNi^H. de X = le y. 1 = 0 Odhadněme normy chyb: to jest I+Ji = E H m+p Uvolil + l B m+ % i =Í l" + ' i.8o - i=l (4) K- 1 At,. 0 m + " E ío e 0 íí e ra + p, ( 5 ) IIM = M-II-vI-^IWIUMI- Protože r(b) < \p lo \, je lim, E m / ju, 0 m = 0. Vezmeme-li m 0 (p) ^ 1 ta velé, aby pro všechna m ^ m 0 (p) platilo e_1 < llfaoj oj"'" ^ lo. I-(I--B)p(B) ' bude podle (4), (5) vyhověno vztahu (2). Přitom můžeme zvolit m 0 (p) = O(p). QED. Poznáma 1. Jestliže S(X) = ( - ii t )... ( - /x fc ), pa P(A) = (5(1) - S(A)) : : ((1 - A) 5(1)) + Q(X) S(X), de g je vhodný (třeba nulový) polynom. Ke onstruci P stačí tedy znát algebraicou rovnici, jíž vyhovují všechna jx h a není nutno ji řešit. 267
Poznáma 2. V početní praxi se nejčastěji setáváme s případy = 1, p í reálné, nebo = 2, p { = \x 2, resp. /i x = p 2. Polynomy P minimálního stupně pa mají oeficienty a 0 = 1/(1 p t ) nebo a 0 = p/(1 + p + q),oc 1 1/(1 + D + g), de p = p { + // 2, q = /*IJ" 2 - Obvyle ju ř < 1. Poznáma 3. Z důazu vidíme, že proces popsaný ve větě 1 dá přesné řešení po onečně mnoha rocích, je-li operátor B nilpotentní (to jest existuje r ta, že B r = 0), napřílad je-li AX onečněrozměrný a p L jsou všechna nenulová vlastní čísla operátoru A. Poznáma 4. Případný vyšší polynomu P nám dává možnost zmenšit normu operátoru I (I B) P(B), vystupujícího ve výrazu pro E m. Pro = 0, s g: 1 nese tato metoda jméno M. K. GAVURINA, pro = s + l = 1 nebo 2 jméno L. A. LJUSTERNÍKA (viz např. [2]). Je-li fi 1 blízé číslu 1, je vhodný vzorec x m = x m + (1 fi])' 1 (x m+r x m ) apod., odpovídající iteraci s operátorem A r. V následující větě uážeme, že e zrychlení onvergence stačí dostatečně dobrá přibližná znalost polynomu P. Věta 2. Nechť posloupnost {P m } polynomů stupně nejvýše s má tyto vlastnosti: Existuje oolí U x spetra operátoru B a oolí U 2 onečné množiny {/i 1?..., ji } ta, ze posloupnost {P m } je stejnoměrně omezená na U t a (6) \(P m (l) - P(X)\ = o((min ( H/max ( /i i f) stejnoměrně na U 2. s Označme P m (X) = a im /V a x m = x m + ^om( x m+i - x m ) +... + cc sm (x m+s+l - j=í x m + s ). Nechť E io x) + 0 aspoň pro jedno i 0, 1 ^ i 0 ^. Pa e aždému p existuje m 0 (p) ta, že pro všechna m ^ m 0 (p) ( 7 ) \\ x m ~ x \\ ú \\x m+p - x\\. Důaz. Pro e w = x m x a pro m ^ 1 platí L = (I.-7(1 - (1 - di) PM) E. + B m (I - B) P m (B)) s 0. i = l platí Označme K í = min ř // (, K 2 libovolné číslo z intervalu (r(b), K x ), K 3 = max ( /i,, * 4 = 111 - l*i\ H-EiH. ^5 = sup, / - (/ - B) P m (B),», = sup { F, (A) - P(X)\ : :XeU 2 }. Pa ^m(k 3 K í ) m = 0(1), K 5 < + oo. Existuje m t ta, že pro všechna m ^ m. platí B m < K m (plyne to z (6) a z [3], ap. VII) a tedy (8) e m ^ (K 4 K m // m + K 5 K m 2 ) \\e 0 \\, (9) e m+p ^ K-^r^lE^oll 268
Stačí zvolit m 0 (p) ^ m í9 m 0 ( p ) ^ 1? ta? a b y p r o všechna m ^ m 0 (p) platilo (KM K 3lK x ) m + K^K^K.f) \\s 0 \\ = K-IF^ol Kl > a pa vzhledem (8), (9) bude platit (7), neboť limita levé strany poslední nerovnosti je nula. QED, Poznáma 5. Známe-li posloupnosti {fi ím },..., {fi m } (p. im 4= 1) onvergující poradě p, u...,ju, pa posloupnost S m (X) = ( - p. lm )... (A - fi m ) onverguje loálně stejnoměrně S z poznámy 1 a požadovanou posloupnost P m (X) můžeme volit např. tato: P m (X) = (S m (l) - S m (X))l((\ - X) S m (i)) + Q(X) S m (X). Poznáma 6.. Předpolad E io - x) 4= 0 aspoň pro jedno i 0, 1 ^ i 0 ú fc" se ověřuje nesnadno. Je-li splněn, pa zrychlení onvergence nastává z té příčiny, že fi m = o(k m ) (v označení důazu věty 2). Není-li splněn, tj. E t x) = 0 pro všechna i, pa ze vzorců s m = B m s 0, e m = B m (l (I B) P m (B)) s 0 = (I - (I - B) P m (B)) s m9 r(b) < K! a onečně / - (/ - B) P m (B)\\ = 0(1) vidíme, že chyba s m není asymptoticy horší než e m (má totiž stejný řád o(k m )). V praxi vlivem různých chyb (zaorouhlovacích nebo vznilých náhradou funce polynomem atd.) se obvyle aspoň jeden ze zmíněných průmětů počáteční chyby stane nenulovým a pa jeho podíl na celové chybě roste s rostoucím m. Poznáma 7. Nechť X = E n. Uvědomme si, že x w+1 x m = A m (x l x 0 ). V literatuře ([1], [2]) je uvedeno, ja lze tohoto fatu využít přibližnému určení převládajícího vlastního čísla, resp. páru omplexně sdružených vlastních čísel. Řád aproximace, je aspoň taový, jaý vyžaduje předpolad (6) věty 2. Volíme-li /4 J m ( x m+i ~~ x m+i) 0) l( x m+i ~~ X m) (j) (j značí pořadí složy vetoru z E% dostáváme (zde s = O, = 1) x (j) = (x^jl 2 - (x^ J 2 ) ^ + Xm% 2-2x^1 x), tj. Aitenův O^2-proces. Zde je malá licence: aždé složce vetoru x m přiřazujeme jinou posloupnost polynomů P m \X) = 1/(1 /L ( /2)- Závěr. Operátory připouštějící částečný rozlad dříve popsaný, se v apliacích často vysytují. Názorně řečeno, jde o existenci ruhu o středu v počátu, v jehož vnějšu leží jen izolované body spetra daného operátoru. Speciálně tam patří všechny ompatní operátory, operátory tvaru oci + K, de K je ompatní a a je dostatečně malá (podle [3], ap. VII), a ještě napřílad onečné lineární ombinace navzájem omutujících omezených projetorů (poud ovšem 1 nepatří do spetra uvažovaného operátoru a zmíněné body mají index 1). Příladem neompatního operátoru posledního typu je v prostoru L 2 ( oo, -f oo) integrální operátor A s jádrem z x 1 cos a(x t) }, ^ K(x, t) = ( a > 0). n(x t) Důaz. Označme T operátor Fourierovy transformace, B operátor násobení funcí ix(~ a,o)( x ) ~ fr<o,«>(*) Výpočtem se přesvědčíme, že T~ l BT= A, tj. A a B mají stejná spetra, a spetrum operátoru B je {0; i; -/}. Přitom projetor E(-i) 269
operátoru B promítá L 2 ( oo, + co) na prostor izomorfní s L 2 (0, a), a ten má neonečnou dimenzi, taže ani B ani A neni ompatní. QED. ЬНегаШга [1] I). К. РаМё}еV, V. N. Гаа'а'ё^еуоуа: ^тепскё те!оду Ппеагт а1 еьгу; 8 Х, РгаКа 1964 (ргемаа 1 2 гшгту). [2] И. С. Березин, Н. П. Жидков: Методы вычислений, т. II; ФИЗМАТГИЗ, Москва 1962. [3] Н. Данфорд, Дж. Шварц: Линейные операторы (общая теория); ИИЛ, Москва 1962 (перевод с английского). Резюме УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ИТЕРАТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БАНАХА ЗДИСЛАВ КОВАРЖИК (2^I5^АV КоуАй!к) В настоящей работе дается обобщение метода Л. А. Люстерника для ускорения сходимости итеративных процессов типа х п+1 == Ах п + Ь, где х, Ъ элементы пространства Банаха, А ограниченный линейный оператор, спектр которого не содержит 1. Если известна оркужность с центром в началае, вне которой лежат лишь известные нам изолированные точки спектра А, то определенная в работе линейная комбинация нескольких х п дает асимптотически лучшую оценку точного решения уравнения х = Ах + Ь, чем обычные аппроксимации. 8иттагу СС^УЕКСЕЖГЕ АССЕЕЕКАТКЖ ОР ШЧГЕАК 1ТЕКАТ1УЕ Ш ВА^СН ЗРАСЕ8 РЯОСЕ85Е5 2^I8^АV КОУА&1К А ^епегапгайоп ог Еи51егшк'5 те1ьос! Гог ассе1егапп 1Ье сопуег^епсе ог 1Ье кегайуе аррггштанопз х п + 1 = Ах п + Ь 1о Иге 5о1ийоп х ог х = Ах + Ь 15 1Уеп. Неге х, х, Ь аге е1етеп!5 ог а Вапасп зрасе, А 13 а Ъоипёеё Нпеаг орега1ог Ггот 1Г115 зрасе 1п1о 11 е1г иснша! (I А)' 1 1$Ъоипа1ес1.1Гайш1е5е1оГ15о1а1её йотшап! е1 епуа1ие$ о Г А 18 кпо\уп, Шеп Го г апу пхеё р апо! 8иГпс1еп11у 1аг е я 1Неге сап Ье сош!гис!её а Ппеаг сотыпайоп х п ог х,..., х п+5+1 у^ыск 15, т епега1, пеагег Хо х 1Нап х л+,. Аа'геза ашога: 2аЧ<>1ау КоVаНк, Ка^еа'га тагетаглку РЕ ШЛ$, Шт. РеЬгиагоуёЬс У11:а2 1уа 9, Ко51'се, 270