3. Mocninné a Taylorovy řady

Transkript

1 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole uvidíme, že oborem onvergence aždé mocninné řady je jednobodová množina nebo interval. Uážeme rovněž, že tyto řady onvergují stejnoměrně na aždém uzavřeném podintervalu tohoto onvergenčního intervalu. Ja plyne z předcházející apitoly, tato vlastnost nám umožní integrovat a derivovat mocninné řady člen po členu. Definice 3.. (Mocninná řada Mocninnou řadou se středem v bodě x rozumíme funční řadu tvaru a (x x = a + a (x x + a 2 (x x , (3. de a ( =,, 2,... jsou onstanty, teré nazýváme oeficienty řady. Mocninná řada se středem v x = je tedy funční řada tvaru a x = a + a x + a 2 x (3.2 Částečné součty aždé mocninné řady jsou polynomy, a proto lze očeávat, že tyto řady budou mít jisté jednoduché vlastnosti. Nejprve se budeme zabývat určením oboru (bodové onvergence I. Především je zřejmé, že aždá mocninná řada onverguje ve svém středu, tj. x I (lze prověřit přímým dosazením do řady. Následující věta uáže, že strutura oboru onvergence mocninných řad je velmi jednoduchá: je to buď jednoprvová množina (obsahující střed řady, nebo interval onečné dély (symetricý olem středu, nebo celá reálná osa. Věta 3.2. (O poloměru onvergence Ke aždé mocninné řadě a (x x existuje taové číslo R (připouštíme i R =, že pro všechna x (x R, x + R tato řada onverguje, a to absolutně, dežto pro x ležící vně intervalu x R, x + R neonverguje. (Zápisem R = přitom rozumíme, že řada onverguje pouze pro x = x a hodnota R = znamená, že řada onverguje pro všechna reálná x. Tuto hodnotu R pa nazýváme poloměrem onvergence. Poznáma 3.3. V oncových bodech oboru onvergence může řada a (x x onvergovat (absolutně nebo relativně, případně divergovat nebo oscilovat. Tyto případy musíme vždy vyšetřit zvlášť. Nyní uvedeme ritérium, pomocí terého lze zjistit hodnotu poloměru onvergence R. Toto ritérium je doazováno pomocí limitního podílového a limitního odmocninového ritéria (viz apitola, oddíl A, a formálně se proto těmto ritériím podobá. Věta 3.4. (Určení poloměru onvergence Nechť existuje (onečná nebo neonečná limita lim a + a = ϱ, resp. lim a = ϱ. Potom pro onvergenční poloměr mocninné řady (3. R = ϱ. Přitom pro ϱ = + lademe R = a pro ϱ = lademe R = +. ÚM FSI VUT v Brně 5

2 Poznáma 3.5. Poud jde o vzájemný vztah obou limit uvažovaných v předcházejícím tvrzení, připomeňme, že platí: Existuje-li lim a +/a, potom existuje taé lim a a obě limity si jsou rovny (viz apitola. Pozor!! Uvedené vzorce pro výpočet poloměru onvergence lze použít pouze v případě, že mocniny v řadě jdou po jedné, tedy nioliv napřílad v případě řady x3x (zde mocniny sáčou po třech. V taových situacích lze obor onvergence vyšetřit stejnými postupy jao v předchozí apitole 2. Přílad 3.6. Určeme poloměr onvergence mocninné řady (x =! = x + 4 2! x ! x Řešení. Daná mocninná řada má střed x = a oeficienty a = /!. Její poloměr určíme pomocí věty 3.4. Nejprve upravíme výraz Nyní připomeňme známý vztah a + a = ( + +! ( +! lim = ( + = ( +. ( + p = e p pro všechna reálná p. Pa a tedy R = / e. ( lim a + + a = lim = e, Přílad 3.7. Určeme obor onvergence mocninné řady = (x 8 = x (x 2 (x Řešení. Tato mocninná řada má střed x = a oeficienty a = / (8. Protože platí lim a = lim 8 = 8 lim = 8, je poloměr onvergence R = 8. Daná mocninná řada tedy onverguje uvnitř intervalu s rajními body x R = 7, x + R = 9 a neonverguje vně tohoto intervalu. O onvergenci v rajních bodech rozhodneme dosazením. Pro x = 9 dostáváme divergentní harmonicou řadu =. Pro x = 7 pa máme ( =, tedy onvergentní Leibnizovu řadu. Oborem onvergence dané mocninné řady je proto interval 7, 9. B. Spojitost, derivování a integrování mocninných řad V apitole 2 jsme viděli, že tomu, aby záladní poznaty o spojitosti, derivaci a integrálu součtu onečně mnoha funcí bylo možné rozšířit i na neonečné součty, je zapotřebí zavést pojem stejnoměrné onvergence. Podle následujícího tvrzení mocninné řady onvergují stejnoměrně na aždém uzavřeném intervalu ležícím uvnitř oboru onvergence. ÚM FSI VUT v Brně 6

3 Věta 3.8. (O stejnoměrné onvergenci mocninných řad Má-li mocninná řada a (x x poloměr onvergence R >, potom onverguje stejnoměrně (a navíc absolutně v aždém uzavřeném intervalu x R, x + R (x R, x + R. Odtud plynou následující záladní vlastnosti mocninných řad: Věta 3.9. (O spojitosti mocninných řad Mocninná řada s(x = a (x x je spojitou funcí v aždém vnitřním bodě oboru onvergence I. Konverguje-li navíc tato řada v levém (resp. pravém rajním bodě I, pa je s(x spojitá v tomto bodě zprava (resp. zleva. Přílad 3.. Funce s(x = v bodě x = 7. = (x 8 z předcházejícího příladu je spojitá na ( 7, 9 a spojitá zprava Věta 3.. (O derivování mocninných řad Nechť mocninná řada a (x x má poloměr onvergence R > a součet s(x. Pa platí tj. s (x = a (x x, = (a + a (x x + a 2 (x x = + a + 2a 2 (x x +..., přičemž mocninná řada na pravé straně má tentýž poloměr onvergence R. Věta 3.2. (O integrování mocninných řad Nechť mocninná řada a (x x má poloměr onvergence R > a součet s(x. Pa platí tj. b a s(x dx = b a (b x (a + + (a x + a = + a + (b x + a + (a x +, (a + a (x x + a 2 (x x dx = a [x] b a + a 2 [(x x 2 ] b a + a 3 3 [(x x 3 ] b a +... pro libovolný interval a, b (x R, x + R, přičemž číselná řada na pravé straně onverguje (a to absolutně. Poznáma 3.3. Větu o integraci mocninné řady lze přeformulovat taé pro případ, dy uvažovaný integrál je funcí horní meze: pro všechna x (x R, x + R pa platí ( x a (t x dt = a (t x (x x + dt = a = x + x = a (x x + a 2 (x x 2 + a 3 3 (x x přičemž mocninná řada na pravé straně má opět poloměr onvergence R. Pomocí vět o derivování a integrování mocninných řad lze odvodit něteré nové vztahy pro součty řad. Vyjděme např. ze vztahu x = x, x I = (,, (3.3 ÚM FSI VUT v Brně 7

4 terý byl odvozen v apitole o funčních řadách. Derivováním této rovnosti dostáváme podle věty o derivaci mocninných řad x = ( x 2, tj. x x =, x (,. ( x 2 = = Zdůrazněme, že se při derivování a integrování mocninné řady zachovává poloměr onvergence, nioliv vša nutně onvergence v rajních bodech oboru onvergence. Případnou onvergenci je třeba vždy prověřit přímým dosazením do řady. Všimněme si, že řada vystupující v předcházejícím vztahu již není řada geometricá. Dosazením libovolného x (, do tohoto vztahu lze zísat vzorec pro součet negeometricé číselné řady. Jestliže rovnost (3.3 pro změnu integrujeme, dostáváme po malé úpravě (a prověření onvergence v rajních bodech vztah x = ln( x, x,. (3.4 = C. Rozvoje funcí v mocninné řady (Taylorovy řady Vraťme se ještě e vztahu (3.4 a upravme ho jao ln( x = = x, x,. Tento vzorec lze interpretovat jao rozvoj funce f(x = ln( x do mocninné řady, a sice na intervalu,. To je velmi zajímavá sutečnost (např. proto, že se logaritmicou funci podařilo vyjádřit pomocí záladních aritmeticých operací, terá nás vede obecnější úvaze, totiž za jaých podmíne lze vyjádřit libovolnou funci f(x pomocí nějaé mocninné řady, tj. dy platí f(x = a (x x = a + a (x x + a 2 (x x , x I, (3.5 de x a a jsou (zatím nespecifiované onstanty. Předpoládáme přitom, že daná mocninná řada má ladný poloměr onvergence R (při R = totiž obor onvergence I obsahuje pouze střed x, což je nezajímavý případ. Dosazením x = x do (3.5 dostáváme f(x = a. Derivací (3.5 a dosazením x = x do derivovaného vztahu máme f (x = a. Opětovným derivováním a dosazením x = x pa máme f (x = 2 a 2, f (x = 3 2 a 3 a obecně f ( (x =!a, tj. a = f ( (x, =,, 2,.... (3.6! Odtud plyne, že poud platí rozvoj (3.5, pa oeficienty a jsou dány vztahy (3.6. Definice 3.4. (Taylorova řada Nechť funce f(x má v bodě x derivace všech řádů. Potom Taylorovou řadou funce f(x v bodě x nazýváme výraz T x f (x = f ( (x (x x.! Poznáma 3.5. (O rovnosti funce f(x a její Taylorovy řady Taylorovu řadu lze napsat vždy, poud má funce f(x v bodě x derivaci všech řádů. Vzniá vša otáza, zda tato řada má za součet sutečně funci f(x. Tímto problémem se budeme nyní zabývat. Protože Taylorova řada je limitním případem Taylorova polynomu P n (x, připomeňme v této souvislosti tento pojem, se terým jsme se seznámili v diferenciálním počtu. ÚM FSI VUT v Brně 8

5 Víme, že n-rát spojitě diferencovatelnou funci f(x můžeme v oolí U(x bodu x nahradit Taylorovým polynomem P n (x, a to se zbytem R n (x, taže je de P n (x = f(x + f (x! f(x = P n (x + R n (x pro všechna x U(x, (x x + + f (n (x (x x n = n! n f ( (x (x x.! Odtud lze odvodit následující evivalentní podmínu pro to, aby Taylorova řada funce f(x byla sutečně rovna f(x: Nechť funce f(x má v intervalu I derivace všech řádů a nechť x I je vnitřním bodem I. Potom v tomto intervalu platí f ( (x f(x = (x x,! dyž a jen dyž lim R n(x = pro všechna x I. (3.7 n K praticému ověření vztahu (3.7 se obvyle používá tzv. Lagrangeův tvar zbytu R n (x ve tvaru de ϑ je blíže neurčené číslo, přičemž < ϑ <. R n (x = (x x n+ f (n+ (x + (x x ϑ, (n +! Taylorovy rozvoje elementárních funcí. Naznačíme praticý postup při určování rozvojů funcí do mocninných řad. V zásadě rozlišujeme metody přímé a nepřímé. Přímé metody (rozvoje funcí f(x = e x, cos x, sin x, ln( + x, ( + x r : Používají se v případě, lze-li vyjádřit a podle vztahu (3.6, tj. jsme-li schopni určit f ( (x pro libovolné. Ve všech uvedených případech volíme x =. Postup naznačíme pro funci f(x = e x. Platí f ( (x = (e x ( = e x, taže f ( ( = e =, a podle (3.6 a =! ( =, 2,.... Pomocí Lagrangeova tvaru zbytu se snadno uáže, že lim n R n (x = pro všechna x R. Dohromady Dále analogicy: sin x = cos x = e x = ( x 2+ (2 +! ( x 2 (2! ( x + ln( + x = + ( r ( + x r = x = + x! = + x! + x2 2! + x3 +..., x (, +. 3! = x x3 3! + x5 5! x7 +..., x (, +, 7! = x2 2! + x4 4! x6 +..., x (, +, 6! = x x2 2 + x3 ( r x + ( r 2 3 x , x (,, x , x (,, de r je libovolné reálné číslo, ( r := r(r...(r +! pro =, 2,... a ( r :=. Tato řada se nazývá binomicá. Nepřímé metody: V následujících příladech uážeme i jiné způsoby rozvojů, teré vzorce (3.4 přímo nevyužívají. Přílad 3.6. Určeme Taylorův rozvoj funce f(x = arctg x v bodě x =. ÚM FSI VUT v Brně 9

6 Řešení. Nejprve odvodíme rozvoj funce f (x = / (+x 2. Snadno ověříme, že f (x je součtem geometricé řady, de první člen a = a vocient q = x 2. Tedy + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = Integrací tohoto vztahu obdržíme rovnost arctg x = + t 2 dt = ( x 2, x (,. ( ( t 2 dt = ( x2+ 2 +, de x (,. Dále je třeba ještě vyšetřit onvergenci řady v rajních bodech oboru onvergence. Dosazením x = dostáváme alternující řadu ( / (2+, terá onverguje podle Leibnizova ritéria. Po dosazení x = a následném vytnutí znaména obdržíme tutéž řadu. Uázali jsme tedy, že platí arctg x = ( x = x x3 3 + x5 5 x , x,. Přílad 3.7. Určeme Taylorův rozvoj funce f(x = e x2 se středem v bodě x =. Řešení. Nejprve napišme výše odvozený rozvoj funce e x, de proměnnou x přeznačíme jao t: e t = t! = + t! + t2 2! + t3 +..., t (, +. 3! Odtud dosazením substituce t = x 2 máme ( x 2 e x2 = x2! 2! + x4 4! x6 +..., x (, +. 6! Užití rozvojů funcí v mocninné řady. Na závěr této apitoly budeme na příladech ilustrovat něteré z četných apliací rozvojů funcí v Taylorovy řady. Kromě náhrady funce Taylorovým polynomem (tedy částečným součtem Taylorovy řady lze tyto rozvoje použít např. vyjádření něterých známých číselných onstant, výpočtu limit a integrálů a taé při řešení diferenciálních rovnic (o této otázce pojednáme později. Přílad 3.8. Pomocí záladních aritmeticých operací vyjádřeme hodnotu e, π a ln 2. Řešení. Položíme-li x = postupně v rozvojích funcí e x, arctg x a ln( + x, dostáváme vyjádření e =! = +! + 2! + 3! +..., ( π = 4 ( (2 + = , ln 2 = ( + = Přílad 3.9. Pomocí rozvoje funce f(x = (sin x / x určeme lim f(x a vyjádřeme f(t dt ve tvaru x mocninné řady. Řešení. Na záladě rozvoje funce sin x snadno určíme sin x x = ( x 2 (2 +! = x2 3! + x4 5! x6 +..., x (, +. 7! ÚM FSI VUT v Brně 2

7 Odtud ihned plyne známý vztah sin x lim x x =. Dále danou řadu integrujeme člen po členu, taže platí de x (, +. sin t t = ( t 2 (2 +! dt = ( x 2+ (2 + (2 +!, Přílad 3.2. Vypočtěme e x2 dx a určeme, oli členů řady je třeba sečíst, aby hodnota integrálu byla aproximována s chybou menší než 6. Řešení. Pomocí rozvoje funce e t a následnou substitucí t = x 2 jsme uázali, že platí e x2 = ( x 2! pro všechna x (, +. Opět můžeme integrovat člen po členu, taže { } ( x 2 { ( x 2 e x2 dx = dx =!! } dx = (!(2 +. Protože obdržená číselná řada je alternující, odhadu veliosti zbytu využijeme vztah R n a n= (viz apitola, Leibnizovo ritérium. Odtud R n (2n + 3(n +! < 6 n 8. K dosažení požadované přesnosti je tedy třeba provést následující náhradu: e x2 dx ! 7.3! + + =, ! Definice 3.2. (Eulerův vzorec Dosaďme v Taylorově rozvoji funce e x za x výraz ix, de i je imaginární jednota. Protože i 2 =, i 3 = i, i 4 =,..., dostaneme e ix = ( x2 2! + x4 4! x6 6! i (x x3 3! + x5 5! x7 7! +... čili e ix = cos x + i sin x. Shrnutí poznatů o mocninných řadách Mocninné řady jsou funční řady, jejichž členy tvoří mocninné funce s přirozeným exponentem (jsou tedy vlastně polynomy neonečně velého stupně. Oborem onvergence aždé mocninné řady je buďto jednoprvová množina, nebo onečný interval symetricý olem středu, nebo celá reálná osa. Tyto řady navíc onvergují stejnoměrně na aždém uzavřeném podintervalu oboru onvergence. Tato vlastnost nám umožňuje mocninné řady derivovat a integrovat člen po členu, přičemž poloměr onvergence zůstává nezměněn. Rozvojem funce do mocninné řady rozumíme nalezení mocninné řady, jejímž součtem je právě daná funce. Tato mocninná řada se pa nazývá řada Taylorova. Pro většinu elementárních funcí umíme nalézt její rozvoj do mocninné řady, a to buď pomocí vzorce, nebo užitím jiných obratů. Tyto rozvoje se využívají především v tom smyslu, že řadu operací (vyčíslení funční hodnoty, limity, derivace, integrálu lze provést snadněji pro tyto rozvoje, nežli pro funce samotné. ÚM FSI VUT v Brně 2