Elektrické vlastnosti pevných látek

Elektrické vlastnosti pevných látek elektrická vodivost gradient vnějšího elektrického pole vyvolá přenos náboje volnými nositeli (elektrony, díry, ionty) měrná vodivost = e n n e p p [ -1 m -1 ] Kovy (vodiče) = 10 6 10 7-1 m -1 Pásová struktura krystalu Na: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Mg: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 valenční elektrony se mohou v krystalu volně pohybovat, již slabé vnější elektrické pole usměrní přenos náboje

Polovodiče Izolanty (nevodiče) = 10-6 10 5-1 m -1 valenční pás zcela zaplněný, od vodivostního pásu oddělen úzkým pásem zakázaných energií (E g < 3 ev) vodivostní pás E g = 10-9 10-13 -1 m -1 valenční pás zcela zaplněný, od vodivostního pásu oddělen širokým pásem zakázaných energií (E g > 3 ev) vodivostní pás E g tepelná excitace přechod elektronů do vodivostního pásu nositelé náboje elektrony a díry, u příměsových polovodičů určitý typ vodivosti převažuje valenční pás k překonání zakázaného pásu nutné vysoké (průrazné) napětí porušení struktury valenční pás Supravodiče = 10 23 10 25-1 m -1 některé prvky a sloučeniny, náhlý pokles elektrického odporu za velmi nízkých teplot (T < T c ), odlišný mechanismus vedení proudu (Cooperovy páry elektronů) Iontové vodiče některé iontové krystaly, pevné elektrolyty; výrazná vodivost při běžných teplotách superiontové vodiče ( = 10 1 10 2-1 m -1 )

Elektrické vlastnosti kovů kovová vazba sdílení valenčních elektronů více (částečně ionizovanými) atomy, nemá směrový charakter valenční elektrony se mohou volně pohybovat krystalem (elektronový plyn) překážky volného pohybu: rozptyl elektronů na bodových poruchách vibrační pohyb atomů (rovnovážná koncentrace poruch a intenzita vibrací se zvyšují s rostoucí teplotou) elektrická vodivost kovů roste s klesající teplotou vysvětlení vlastností kovů je založeno na kvantových principech

Ohmův zákon urychlení volných elektronů v kovu působením vnějšího elektrického pole pohyb ve směru pole náhodné srážky s jinými elektrony a ionizovanými atomy náhodné změny směru; unášení elektronu ve směru potenciálového spádu elektrický odpor: R = U/I fonony (tepelné vibrace atomů) strukturní poruchy (vakance, dislokace, hranice zrn) chemické poruchy (substituce, nečistoty) neperiodicita (nekrystalická struktura) - E frekvence vibrací atomů ~ 10 13 s -1, rychlost elektronu ~ 10 6 m s -1 dráha elektronu během jedné vibrace ~ 10-7 m

vnější elektrické pole působí na elektron silou F = ee = m e a zrychlení elektronu za čas mezi dvěma srážkami a = v τ rychlost elektronu těsně před další srážkou střední rychlost mezi dvěma srážkami v D = v 2 v = e E τ m e e E τ = = e U l τ 2m e 2m e vodič o délce l a průřezu A, potenciálový rozdíl na koncích vodiče U = E l proud protékající vodičem při koncentraci elektronů n I = n A e v D = n A e2 E τ 2m e = n e2 τ 2m e A l U = 1 R U

Ohmův zákon a elektrická vodivost kovů z teorie elektronového plynu 1 R = n e2 τ A 2m e l, U = 1 R I měrná elektrická vodivost (konduktivita) σ = n e2 τ 2m e Ω 1 m 1 pohyblivost volných nositelů náboje (elektronů) měrný odpor (rezistivita) μ n = e τ 2m e ρ = 1 n e μ n m 2 V 1 s 1 Ω m 1 ρ = σ = n e μ n

Základní aproximace v kvantové teorii pevných látek kvantová teorie pevných látek řešení Schrödingerovy rovnice pro stacionární stav (soustava N atomů obsahující N jader a NZ elektronů (Z = atomové číslo), interakce mezi všemi částicemi soustavy) vlnová funkce ψ( r 1,, r NZ ; R 1,, R N ), r k a R i polohové vektory elektronu a jádra Hψ = Eψ operátor celkové energie (Hamiltonián) H = T U = ħ2 2m U = 2 x 2 2 y 2 2 z 2 ħ = h 2π k ħ 2 2m e k i ħ 2 2 2m i 1 e r U j 2 r 2 ( r 1,, r NZ ; R 1,, R N ) U 3 (R 1,, R N ) ψ = Eψ kl k l U 1 = 1 2 k l e r 2 potenciální energie párové interakce elektronů, e 2 r = e2 r kl 4πε 0 U 2 potenciální energie interakce elektronů s jádry, U 3 potenciální energie jader

Bornova-Oppenheimerova adiabatická aproximace systém částic podsystém elektronů a podsystém jader m e << m j, elektrony se pohybují v poli stacionárních jader, U 3 = 0 k ħ 2 2 2m k 1 e r U e 2 r 2 ( r 1,, r NZ ; R 10,, R N0 ) ψ e = E e ψ e kl k l Hartreeho-Fokova jednoelektronová aproximace vzájemná interakce elektronů interakce elektronu se středním polem ostatních elektronů a všech jader potenciální energie elektronu v poli stacionárních jader U 2 = k U k (R 10,, R N0 ) = k U k ( r k ) potenciální energie elektronu v poli ostatních elektronů 2 1 e r = 2 r kl k l k U ( r k )

jeden elektron v potenciálovém poli všech stacionárních jader a ostatních elektronů U r k = U r k U ( r k ) ħ2 2m e k U( r k ) ψ k = E k ψ k Kronigův-Penneyův model pole U r k je periodické s periodou mřížky, má tvar nekonečné řady pravoúhlých potenciálových jam U(r) teorie volných elektronů Kronigův-Penneyův model potenciální energie elektronů v pevné látce pásový model r

Teorie elektronového plynu Předpoklady: - neomezený pohyb elektronů uvnitř kovu (konstantní potenciální energie) - kvantovaná energie elektronů, obsazování energetických hladin podle Pauliho principu - pravděpodobnost obsazení hladin při T > 0 K podle Fermiho-Diracovy statistiky U = U = Schrödingerova rovnice pro elektron v potenciálové jámě ħ2 2m e U 0 ψ = Eψ U = U 0 x = 0 x = L potenciálová jáma o hraně L vlnová funkce periodická podle x, y, z s periodou L (Bornovy-Kármánovy podmínky) ψ x, y, z = ψ x L, y, z = ψ x, y L, z = ψ(x, y, z L) ψ r = A exp ik r nalezení výrazu pro E vs. k r k polohový vektor, vlnový vektor, k = 2π λ, A = konst

periodicita vlnové funkce: exp ik x x = exp ik x (x L) = exp ik x L exp(ik x x) tedy exp ik x L = cos k x L i sin k x L = 1 složka vlnového vektoru k x L = 2πn x k x = 2πn x /L, k y = 2πn y /L, k z = 2πn z /L n x, n y, n z kvantová čísla volného elektronu (0, 1, 2,...) hodnoty energie vztažené k referenční hladině U 0 E = ħ2 2m e k x 2 k y 2 k z 2 = ħ2 2m e 2π L 2 n x 2 n y 2 n z 2 energetické hladiny a vlnové funkce volného elektronu; kvantové číslo udává počet půlvln vlnové funkce (Kittel C., Úvod do fyziky pevných látek, Academia Praha 1985)

k y jedna buňka v k-prostoru = jedna hladina energie (uzel) pro dva elektrony s opačným spinem elektrony obsazují energetické hladiny uvnitř koule o poloměru k 0 N elektronů obsadí N/2 buněk k z 2 /L k x 4 3 πk 0 3 8π 3 L 3 = L 3 k 0 3 6π 2 = N 2 k 0 = 3π2 N L 3 1 3 k-prostor vyplněný buňkami o objemu (2 /L) 3 k y k 0 Fermiho koule k x Fermiho hladina energie nejvyššího obsazeného stavu při T = 0 K E F = ħ2 2m e 3π 2 N L 3 2 3 k z k 0 2 = k x 2 k y 2 k z 2

hustota energetických stavů v závislosti na energii při T > 0 K přerozdělování elektronů na energetických hladinách, některé elektrony vystoupí na hladiny E > E F (počet elektronů se nemění) G(E) přerozdělení se řídí Fermiho-Diracovou statistikou T = 0 K T > 0 K f E = 1 exp E E F kt 1 f(e) 1 ~ 2kT T = 0 K E F E 0,5 0 E F T > 0 KE platí do T ~ 10 4 K při T >> 0 K může být překročena kritická teplota T F = E F /k E E F >> kt tepelné excitace se zúčastní všechny elektrony pod Fermiho hladinou Fermiho-Diracovo rozdělení při různých teplotách (T F = E F /k = 50000 K; C. Kittel, Úvod do fyziky pevných látek, Academia Praha 1985)

Pohyb elektronu v periodickém potenciálu teorie elektronového plynu konstantní průběh potenciálu v krystalové struktuře 3D periodicita krystalové struktury potenciálové pole se periodicky mění ħ2 2m e U r ψ = Eψ periodická změna potenciální energie U r = U r t, t = t 1 a 1 t 2 a 2 t 3 a 3 a 1, a 2, a 3 základní mřížkové vektory řešení Blochova funkce ψ r = u k r exp(ikr) postupující rovinná vlna modulovaná funkcí u k r = u k ( r t) funkce u k ( r) závisí na vlnovém vektoru k a na průběhu U( r) energie E má periodický průběh periodický průběh potenciální energie podle Kronigova-Penneyova modelu pásový model pevných látek

Kronigův-Penneyův model jednorozměrný průběh periodického potenciálu, nekonečná řada obdélníkových jam konečné hloubky U(x) t = a = c b U 0 0 < x < c U = 0 -b < x < 0 U = U 0 -b 0 c cb a x úprava Schrödingerovy rovnice d 2 ψ dx 2 2m e ħ 2 Eψ = 0 0 < x < c, d 2 ψ dx 2 2m e ħ 2 E U 0 ψ = 0 b < x < 0

řešení Blochova funkce v jednorozměrném tvaru ψ x = u kx x exp(ik x x) (popis řešení rovnic po dosazení Blochovy funkce viz skripta) zjednodušený vztah P sin(γa) γa cos γa = cos k x a γ 2 = 2m e ħ 2 P = konst cos k x a může nabývat pouze hodnot od -1 do 1, vztah vyhovuje pouze pro určité hodnoty energií dovolené hodnoty energie E (energetické pásy) závislost sin(γa) γa cos γa na k x a pro P = 3 /2

potenciální energie Energie elektronů a periodická mřížka pevná látka, L ~ 10 0 m volné elektrony E F hladiny (téměř) volných elektronů v pevné látce a ~ 10-10 m hladiny elektronů vázaných k atomům energie elektronů vzhledem ke k E = ħ2 k 2 2m e E E dovolené hladiny E 0 k 3π 3π π π 0 k 3π 3π π π 0 L L L L a a a a volné elektrony volné elektrony v pevné látce vázané elektrony n /a >> n /L k

reciproká mřížka informace o periodicitě mřížky v reciprokém prostoru periodicita v přímém prostoru (meziatomová vzdálenost) a 1/a v reciprokém prostoru dovolené vlnové vektory k (dovolené energie elektronu) v reciprokém prostoru v reciprokých jednotkách ( 2 / ) jednorozměrná mřížka v k-prostoru (vektory reciproké mřížky v jednotkách 2 /a) 4π a 2π a 0 2π a 4π a elektron prochází pevnou látkou jako postupná vlna difrakční jevy ( srovnatelná s periodicitou mřížky) Braggova rovina = rovina v reciprokém prostoru, která protíná vlnový vektor k v jeho polovině první bod reciproké mřížky v k-prostoru 2 /a první Braggova rovina kolmo protíná mřížkový vektor v /a 1. Braggova rovina 2. Braggova rovina 4π a 2π a 0 π a 2π a 4π a

když se konec vlnového vektoru dotkne Braggovy roviny, dojde k difrakci E Braggova rovnice nλ = 2a sin θ velikost vlnového vektoru a splnění difrakční podmínky k = 2π nπ k = λ a sin θ 4π a 2π a 0 2π a Braggovy roviny v k-prostoru 4π a difrakce pouze při určitých hodnotách vlnového vektoru k vlnové vektory volných elektronů v pevné látce: diskrétní hodnoty k = n /L o mnoho řádů menší ve srovnání s periodicitou mřížky velmi těsné uspořádání energetických hladin kontinuum diskontinuity na Braggových rovinách (interakce elektromagnetických vln s periodickou mřížkou)

Brillouinovy zóny závislost energie E na vlnovém vektoru k není spojitá v bodech k = n /a, n = 1, 2, pásy dovolených energií E g E g E g první dovolený energetický pás (n = 1) pro hodnoty k od - /a do /a 1. Brillouinova zóna hodnoty k od - /a do -2 /a a od /a do 2 /a 2. Brillouinova zóna pás zakázaných energií diskontinuita na hranicích zón

opakování průběhu funkce E k v mřížkových bodech E perioda 2 /a průběh funkce reprezentuje energetický pás 4π a 3π a 2π a π a 0 π a 2π a 3π a 4π a redukované zónové schéma E zobrazuje průběh funkce E k v k-prostoru mezi prvními Braggovými rovinami od počátku (od - /a do /a 1. BZ) reprezentuje informaci o interakci vlnových vektorů s periodickou mřížkou π a 0 π a

Brillouinovy zóny v dvojrozměrné čtvercové struktuře 1) hodnoty vlnového vektoru k < /a volný pohyb elektronu ve struktuře 2) k = /a splněna difrakční podmínka k x = k sin θ = n π a, k y = n π a (difrakce od vodorovných a svislých řad atomů) 3) k > /a, pro = 45 difrakce od diagonálních řad atomů n π 2n π n π k = = = 2 a sin 45 a 2 a deformace ekvienergetických čar v blízkosti hranic Brillouinovy zóny na hranici (k = /a) má energie E dvě hodnoty odpovídající šířce zakázaného pásu

Polovodiče kovalentní vazba mezi atomy zcela zaplněný valenční pás, prázdný vodivostní pás, odděleny úzkým pásem zakázaných energií (E g < ~ 3 ev) elementární polovodiče (Si, Ge) kovalentní vazba, strukturní typ diamantu sloučeninové polovodiče polární vazba, strukturní typ sfaleritu A III B V (GaAs, AlAs, InP, ) A II B VI (CdS, ZnTe, ) Vlastní polovodiče T = 0 K T > 0 K excitace elektronů (e - ) do vodivostního pásu elektrická vodivost v elektrickém poli neobsazené hladiny ve valenčním pásu - díry (h ); přeskoky elektronů ze sousedních vazeb do pozic děr děrová vodivost elektron díra = exciton (kvazičástice) termodynamická rovnováha: generace párů elektron-díra odpovídá rekombinaci

minimum (hrana) vodivostního pásu E C potenciální energie elektronu; elektrické pole udělí elektronu kinetickou energii maximum valenčního pásu E V potenciální energie díry; zvýšení energie díry = zvýšení energie některého elektronu ve valenčním pásu šířka zakázaného pásu E g = E C E V pásová struktura polovodiče v přímém prostoru a disperzní relace v reciprokém prostoru uvnitř 1.BZ pravděpodobnost obsazení energetického stavu elektronem při T = 0 K: f(e V ) = 1, f(e C ) = 0 1 exp E C E F kt 1 = 1 1 exp E V E F kt 1 platí pouze pro E F = E c E V 2 pro polovodiče platí f(e F ) = 0,5

elektrický proud způsobený oběma nositeli teče ve směru elektrického pole měrná vodivost: σ = σ n σ p = n e μ n p e μ p vlastní polovodič: n i = p i polovodič E g [ev] [ -1 m -1 ] µ n [m 2 V -1 s -1 ] µ p [m 2 V -1 s -1 ] Si 1,11 4 10-4 0,14 0,05 Ge 0,67 2,2 0,38 0,18 GaP 2,25-0,05 0,002 GaAs 1,42 10-6 0,85 0,45 InSb 0,17 2 10 4 7,7 0,07 CdS 2,40-0,03 - ZnTe 2,26-0,03 0,01

Přímá a nepřímá pásová struktura polovodičů přímá pásová struktura: minimum vodivostního pásu v k-prostoru nad maximem valenčního pásu možný vertikální přechod elektronu v k-prostoru (např. excitace fotonem) nepřímá pásová struktura: minimum vodivostního pásu vzdálené od maxima valenčního pásu, na přechodu elektronu se podílí ještě další kvazičástice (fonon) absorpce fotonu v polovodiči s přímou a nepřímou pásovou strukturou (J. Soubusta, Fyzika pevných látek SLO/PL, Univerzita Palackého v Olomouci, 2012)

Příměsové polovodiče elektrická vodivost je ovlivněna poruchami krystalové struktury, substituční atomy s jiným počtem valenčních elektronů (donory nebo akceptory elektronů) v polovodiči současně donory i akceptory elektronů typ vodivosti určuje příměs o vyšší koncentraci polovodič typu n malá energie potřebná k ionizaci donorového atomu, donorová elektronová hladina uvnitř zakázaného pásu v blízkosti vodivostního pásu

polovodič typu p chybějící elektron se doplní elektronem z valenčního pásu krystalu, vznikne volná díra, akceptorová hladina leží uvnitř zakázaného pásu v blízkosti valenčního pásu dostatečné množství akceptorů v krystalové mřížce díry jako majoritní nositelé náboje příměsové polovodiče se jeví elektricky neutrální volné elektrony blízko ionizovaného donorového atomu, díry sdružené se sousedním negativně nabitým atomem akceptoru vysoká koncentrace příměsí chování podobné vodičům (degenerované polovodiče)

teplotní závislost elektrické vodivosti příměsového (Si dotovaný B) a vlastního polovodiče (Si) (W.D. Callister, Jr., Materials Science and Engineering, An Introduction. Fifth Edition, John Willey & Sons, Inc., 2000) po vyčerpání všech donorů nebo po nasycení všech akceptorů elektrony z valenčního pásu se koncentrace nositelů náboje s teplotou nemění, dokud se neprojeví vlastní polovodivost

Hallův jev galvanomagnetický jev vliv magnetického pole na volné nositele náboje určení převažujícího typu vodivosti v polovodičích vzorkem prochází proud v příčném magnetickém poli vychýlení elektronů z původního směru napětí vznikající na bocích kompenzuje vliv magnetického pole z B z x y d I x U H U H = R HI x B z d R H Hallův koeficient, vyjadřuje reciprokou hodnotu hustoty volných nábojů R H = 1 n e (typ n) R H = 1 (typ p) p e

Přechod p-n difúze majoritních nositelů náboje přes rozhraní mezi částí n a p difúzní proud (hnací silou je koncentrační gradient) ionizace donorů v části n a akceptorů v části p oblasti prostorového náboje, zvyšování intenzity vnitřního elektrického pole E pn u přechodu p-n brání vyrovnávání koncentrací elektronů a děr v obou částech p - - - I D p - - - - - - - E n Fp - - - - E Vp E pn x b difúzní napětí V D n E Cp E Cp E Fp E Vp - - - - - x b - - - - E Cn E Fn E Vn potenciálový val (ev D ) - - - E Cn E Fn E Vn

Diodový jev elektrický odpor přechodu p-n závisí na polaritě vnějšího zdroje napětí zapojení v propustném směru: nižší potenciálový val, vyšší hodnota difúzního proudu, přes rozhraní prochází velké množství nositelů náboje, má nízký odpor x b x b p - - - - - - - n E Cp E Fp E Vp e (V D U) E Cn E Fn E Vn U zapojení v závěrném směru: vtahování nositelů náboje do polovodiče, difúzní proud se snižuje, rozhraní působí izolačně E Cp x b p x b - - - - - - - n E Fp E Vp e (V D U) E Cn E Fn U E Vn

Voltampérová charakteristika přechodu p-n I = I R exp eu kt 1 I R zbytkový proud, zapojení v propustném směru U > 0, zapojení v závěrném směru U < 0 při překročení kritického (Zenerova) napětí náhlá excitace elektronů do vodivostního pásu, prudké zvýšení proudu tekoucího přes rozhraní při téměř konstantním napětí voltampérová charakteristika přechodu p-n usměrnění elektrického proudu ze zdroje střídavého napětí polovodičovou diodou

Interakce přechodu p-n s elektromagnetickým zářením excitace elektronu do vodivostního pásu po interakci s fotony (h > E g ) Fotoelektrický jev ozáření fotodiody zapojené v závěrném směru vznik párů elektron-díra, zvýšení proudu protékajícího elektrickým obvodem aplikace: převod optického záření na elektrický signál, detekce záření Fotovoltaický jev přechod p-n zapojen v propustném směru, elektrony generované dopadem světelného záření procházejí obvodem a jsou přitahovány do volných děr osvětlený přechod p-n dodává energii do vnějšího obvodu křemíkový fotovoltaický panel

Využití přechodu p-n jako zdroje záření elektroluminiscence vznik fotonů při zářivé rekombinaci párů elektron-díra (h ~ E g ) LED diody dioda zapojená v propustném směru fotony jsou produkovány rekombinací elektronů a děr v blízkosti přechodu p-n p-algaas aktivní vrstva AlGaAs n-algaas substrát n-gaas konstrukce AlGaAs LED diody - polovodič vlnová délka (nm) Účinnost (%) výkon (lm/w) GaAs 0.6 P 0.4 650 0,2 0,15 GaAs 0.35 P 0.65 :N 630 0,7 1 GaAs 0.14 P 0.86 :N 585 0,2 1 GaP:N 565 0,4 2,5 GaP:Zn-O 700 2 0,40 AlGaAs 650 4 16 2 8 AlInGaP 620 6 20 AlInGaP 585 5 20 AlInGaP 570 1 6 SiC 470 0,02 0,04 GaN 450 2 0,6

Laserové diody analogy LED diod, složitější struktura (tenké vrstvy různého složení a vlastností) intenzivním injekčním proudem dochází k excitaci velkého množství elektronů do vodivostního pásu, musí být kompenzovány ztráty v důsledku spontánní rekombinace elektronů a děr, podobný mechanismus stimulované emise jako u hladinových laserů struktura polovodičového laseru na bázi GaAs (W.D. Callister, Jr., Materials Science and Engineering, An Introduction. Fifth Edition, John Willey & Sons, Inc., 2000)

vznik laserového svazku emisí fotonů po rekombinaci párů elektron díra: emise fotonu při spontánní rekombinaci je stimulem k řetězové rekombinaci dalších párů, intenzita záření se zesiluje odrazem na zrcadlech, nové páry elektron-díra jsou generovány proudem procházejícím polovodičem přes přechod p-n.