Loterie. Staněk Ondřej

Masarykova Universita v Brně Fakulta přírodovědecká Bakalářská práce Loterie Staněk Ondřej Vedoucí práce: prof. RNDr. Gejza Wimmer, DrSc. Studijní program: Matematika-ekonomie, bakalářský Obor: Aplikovaná matematika květen 2006

Obsah Úvod 3 1 Vymezení pojmů 4 1.1 Metodologické pojmy 4 1.2 Pravděpodobnostní pojmy 4 2 Pravděpodobnostní analýza číselných loterií 6 2.1 Sportka 6 2.1.1 Charakteristika hry 6 2.1.2 Pravděpodobnostní analýza 7 2.1.3 Test dobré shody při známých parametrech 9 2.1.4 Test oblíbenosti jednotlivých šestic v loterii Sportka 11 2.2 Šťastných 10 13 2.2.1 Charakteristika hry 13 2.2.2 Pravděpodobnostní analýza 13 2.2.3 Test dobré shody při známých parametrech 15 2.3 Keňo 16 2.3.1 Charakteristika hry 16 2.3.2 Pravděpodobnostní analýza 16 2.3.3 Test dobré shody při známých parametrech 17 2.4 Porovnání jednotlivých loterií 19 Závěr 21 Použitá literatura 22 2

Úvod V posledních letech se u nás i ve světě velmi rozsáhle a stále rozrůstá tipování v různých druzích číselných loterií. Na první pohled je vidět, že číselné loterie souvisí s matematikou a bylo by vhodné, aby tipující byli alespoň z části informováni o těchto souvislostech. Mezi tipujícími sice kolují příručky a návody "jak vyhrát", avšak ne vždy jde o schémata matematicky podložená. Avšak ani matematicky podložená schémata a návody nemusí vždy odrážet skutečnost, protože do hry vstupuje element štěstí. A co že je štěstí? Štěstí máme, když padne podle našeho přání náhodná kombinace čísel, karet nebo bodů na kostkách. Stejný výsledek však může znamenat pro některé další hráče neštěstí. Cílem naší práce je popsat a analyzovat ty číselné loterie, které jsou momentálně v naší zemi nejvíce oblíbeny a na základě zjištěných skutečností z pravděpodobnostní analýzy vytvořit porovnání zkoumaných číselných loterií. Zaměříme se na dnes již tradiční Sportku, Šťastných 10 a Keňo. Takto formulovaný cíl naplníme ve dvou, na sebe navazujících, kapitolách. První kapitola představuje teoretický základ zkoumané problematiky. Věnujeme se v ní definicím jednotlivých pojmů a vysvětlujeme základní matematické vztahy. V druhé kapitole postupně charakterizujeme, analyzujeme a porovnáváme jednotlivé číselné loterie: Sportku, Šťastných 10 a Keňo. 3

Kapitola 1 Vymezení pojmů 1.1 Metodologické pojmy Herní plán podrobně určuje podmínky, podle kterých se loterie uskutečňuje. Zpravidla obsahuje pravidla dané hry a rozpis možných výher. Herní jistinu můžeme matematicky vyjádřit jako násobek počtu přijatých tipů n a ceny za jeden tip: H J = n. cena. Výherní jistina představuje sumu vyjádřenou v peněžních jednotkách. Je tvořena procentuálním podílem z herní jistiny, obvykle se pohybuje kolem 50% herní jistiny. Je to suma peněz, která se v jednom sázkovém období rozdělí na výhry ve všech pořadích. 1.2 Pravděpodobnostní pojmy Teorie pravděpodobnosti představuje matematickou disciplínu modelující náhodné jevy a pravděpodobnost jejich nastání. V životě je množství jevů, které za jistých podmínek mohou, ale i nemusí nastat. Jejich existence je závislá na množství různých činitelů. Ty činitele, které nemáme pod kontrolou, nazýváme náhodné vlivy. Jevy, které za určitých podmínek v závislosti na náhodných vlivech mohou, ale i nemusí nastat, nazýváme náhodné jevy. Realizaci určitých podmínek, jejichž výsledek je nejistý, nazýváme náhodný pokus. Náhodným 4

pokusem je například házení kostkou nebo mincí, přičemž možnými náhodnými jevy při jednom hodu kostkou je například sudý počet bodů, respektive panna" a orel" při hodu mincí. Výherní čísla v loterii se realizují vytažením. Náhodný výběr může být bez opakování, to jest v případě, že každou jednotku, kterou jsme už vybrali, nevrátíme zpět do základního souboru. V případě vracení vybraných jednotek zpět do základního souboru před tím, něž vybereme další, hovoříme o výběru s opakováním. Existuje mnoho způsobů definování pravděpodobnosti. Obecně nejznámější (a také první) je formulace, kterou vyřkl P. Lapiace. Jeho klasická definice pravděpodobnosti Pr(A) je dána poměrem PríA) =, n kde n je počet všech možných jevů (výsledků) pokusu, m je počet příznivých jevů, kdy nastal jev A. V takovém případě se předpokládá, že všechny možné výsledky mají stejnou pravděpodobnost, že nastanou. Kromě toho se vyžaduje konečnost počtu všech možných výsledků n a tím i počtu příznivých výsledků m. Pro řešení otázek, týkajících se číselných loterií, potřebujeme znát pojmy faktoriálu a kombinační číslo. Když označíme písmenem n nějaké celé nezáporné číslo, označujeme součin všech celých čísel od 1 do n znakem n\. Tedy n\ = 1.2.3 (n- l).n Kromě toho klademe 0! = 1. Mějme celá čísla k, n, o kterých platí, že 0 < k < n, potom kombinačním ), (binomický koeficient) rozumíme zlomek číslem kj (n-k)\k\ Kombinační číslo ( ) udává počet způsobů, kterými je možné z n různých prvků vybrat k prvků, přičemž se neuvažuje pořadí prvků k. 5

Kapitola 2 Pravděpodobnostní analýza číselných loterií 2.1 Sportka 2.1.1 Charakteristika hry Sportka je číselná loterie, při které o výhře rozhoduje náhoda. Účastník hry tipuje 6 čísel z 49. V loterii se losuje šest výherních čísel a jedno dodatkové ve 2 tazích (na sobě nezávislých). V číselné loterii Sportka při správném tipování: a) šesti čísel získává tipující výhru v 1. pořadí b) pěti čísel a dodatkového čísla získává tipující výhru v 2. pořadí c) pěti čísel získává tipující výhru v 3. pořadí d) čtyř čísel získává tipující výhru v 4. pořadí e) tří čísel získává tipující výhru v 5. pořadí Herní jistinu tvoří násobek počtu přijatých tipů a ceny za jeden tip. Výherní jistinu Sportky v CR tvoří 50% z herní jistiny za příslušné sázkové období. Dělí se ve stejném poměru na výherní jistinu pro 1. a 2. tah. 6

Výherní jistina se dělí na výherní kvóty pro jednotlivá pořadí následovně: Pořadí Počet správně uhodnutých čísel Procentuální rozdělení výherní jistiny 1. pořadí 1 34% 2. pořadí 5+1 5% 3. pořadí 5 9% 4. pořadí 4 12% 5. pořadí 3 40% V případě, že v 1. pořadí příslušného sázkového období není výhra, finanční částka připadající na tuto výhru se přesouvá do následujícího sázkového období a připočítá se k výherní kvótě pro 1. pořadí tohoto sázkového období. Takto kumulovaná možná výhra se nazývá Jackpot a přesouvá se až do sázkového období, kdy je v 1. pořadí dosaženo výhry. 2.1.2 Pravděpodobnostní analýza Počet všech možných kombinací při hře Sportka můžeme vyjádřit jako kombinace bez opakování k-té třídy z n čísel. V našem případě k = 6, n = 49. Ck{n) = (fc) = (^W 49' C 6 (49) = = 13 983 816 Vidíme, že počet všech možných kombinací ve hře Sportka je 13 983 816. Z toho je vidět, že ani jeden jednotlivec si nemůže zabezpečit vítězství ve Sportce tím, že by vsadil všechny možné tipy. Jeden tip ve Sportce stojí ke dni zpracování této práce 16 Kč. Hráč, který by si chtěl zabezpečit všechny šestice, by musel vsadit ( 4 6 9 ) 16 Kč = 223 741 056 Kč. 7

Tipující by vyhrál celkem: lxl. cenu : C 6 (6) = 1 6x2. cenu: C 5 (6).Ci(l) = 6 252 x 3. cenu : C 5 (6).Ci(42) = 252 13 545 x 4. cenu : C 4 (6).C 2 (43) = 13 545 246 822 x 5. cenu : C 3 (6).C 3 (43) = 246 822 Výpočet kombinačního čísla ( 6 ) vysvětluje, proč 1. pořadí dosáhnou jen velmi zřídka. Pravidelní tipující mají svoji vlastní strategie", jak správně" tipovat čísla: někteří hráči tipují v rozpisech, jiní tipují čísla, která nebyla již delší dobu vytažena nebo naopak čísla, která byla v poslední době nejčastěji tažena. Tady je však nutné připomenout, že z hlediska teorie pravděpodobnosti ani jeden z těchto názorů není správný. Výsledky jednotlivých tahů jsou na sobě nezávislé. Náhodný výběr nemá paměť. Naposledy vylosovaná šestice čísel má pravděpodobnost, že bude znovu vylosována, stejnou jako pravděpodobnost, že padne například šestice čísel 2, 4, 6, 8, 10, 12 nebo libovolná jiná kombinace 6 čísel. Postupně vypočítáme pravděpodobnost výhry v jednotlivých pořadích. Aby tipující vyhrál v 1. pořadí, musí uhádnout všech 6 losovaných čísel. Pravděpodobnost výhry v 1. pořadí je následující: P(l.cena) = j - = 7,1511.10" 8. Pro výhru v 2. pořadí musí tipující uhodnout 5 čísel z 6 losovaných a číslo dodatkové. Pravděpodobnost výhry je: P(2.cena) = j - = 4,2906.1(T 7. Pro výhru v 3. pořadí musí tipující uhodnout 5 čísel z 6 losovaných. Pravděpodobnost výhry je: 6\ /42\ 3A /42- P(3.cena) = V57 4 V1 ' = 1,8021.10" 6, 8

Pro výhru ve 4. pořadí musí tipující uhodnout 4 čísla z 6 losovaných. Pravděpodobnost výhry je: P(4.cena) DC 6\ /43\ 4/ V 2. 49\ 6/ 9,6862.1(T 4. Pro výhru v 5. pořadí musí tipující uhodnout 5 čísel z 6 losovaných. Pravděpodobnost výhry je: P(5.cena) = y3j /A \ 3 ' = 1,7650.10~ 2. Pro přehlednost můžeme zapsat jednotlivé pravděpodobnosti do tabulky: 49\ 6, Pořadí Pravděpodobnost výhry 1. pořadí 7,1511. ÍO" 8 2. pořadí 4,2906.10" 7 3. pořadí 1,8450.10" 5 4.pořadí 9,6862.10" 4 5. pořadí 1,7650.1(T 2 2.1.3 Test dobré shody při známých parametrech Rozdělení pravděpodobnosti dané pravděpodobnostní funkcí: P(Xi = X\,..., X k = Xk) = ni - n xi X\l Pí Pk X k l pro Xi = 0,1,...,n (i = 1,2,...,k) a X\ + + x k = n se nazývá multinomické rozdělení s parametry n,p\,...,p k - 9

Věta: Jestliže X = (X\,...,Xk)' má multinomické rozdělení, pak náhodná veličina 2 _ \ ^ (Xi - npi).{xi - npi) X n K má při n oo asymptotické rozdělení xl-i- Důkaz: Anděl, 1985. Pomocí výše uvedené věty můžeme ověřovat, jestli jsou čísla losovaná z losovacího pole ve hře Sportka zastoupena rovnoměrně, nebo jsou v počtu vytažených míčků nenáhodné vlivy. Test založíme na údajích o počtu vylosovaných jednotlivých čísel od vzniku Sportky po současnost. Všechna potřebná data o daném souboru vylosovaných čísel a velikosti X í}...,x 49 obsahuje Příloha 1. Když si podrobně prohlédneme, kolikrát byla jednotlivá čísla tažena, zjistíme poměrně velké výkyvy. Nejméně zastoupené číslo mezi taženými je 45, které bylo taženo 750-krát, nejvíce číslo 6, tažené 853-krát. Průměrně bylo každé číslo vylosováno 800-krát, průměrná odchylka souboru je 21,469. Proto jsme se rozhodli otestovat hypotézu HQ... čísla z losovacího pole jsou losována rovnoměrně, t.j. p\ = p2 = = p^g = ^ oproti alternativě H\... čísla z losovacího pole vykazují nenáhodné vlivy Test vykonáme na hladině významnosti a = 0, 05 následujícím způsobem: n = 39 220 n -počet všech vytažených čísel Xi-počet vytažených čísel i [i = 1,2,..., 49) PÍ = 1/49 i =1,2,..., 49 Spočítáme x 2 = (Xl "" PlMXl " rapi) + + (*4 9 -n P 4 9 ).(x 49 -n P49 ) = 41,1188 1 A- npi np49 ' 10

Zjistíme tabulkovou hodnotu X4s(0, 05) = 65, 2594 Protože x 2 = 41,1188 < 65, 2594 = x 2 (0, 05), nezamítáme hypotézu o tom, že se čísla z losovacího koše losují rovnoměrně, na hladině významnosti a = 0, 05. 2.1.4 Test oblíbenosti jednotlivých šestic v loterii Sportka V předcházející podkapitole jsme ověřovali hypotézu, zda čísla z losovacího pole jsou losována rovnoměrně, nebo podléhají nějakým nenáhodným vlivům. Zjistili jsme, že čísla jsou losována rovnoměrně. Zkusme ověřit i hypotézu, že se každá možná šestice čísel tipuje se stejnou pravděpodobností, a to jen na základě údajů, které jsou zveřejněné při každém tahu, tedy na základě počtu vsazených tiketů a počtu výherců. Jestliže má každá šestice stejnou pravděpodobnost, že bude tipována (to jest za podmínky, že se hráči při vyplňování každého tiketu chovají, jako by se rozhodovali podle nějakého náhodného mechanismu, který nedává žádné šestici přednost), potom střední počty výherců v 1. až 5. pořadí jsou n.pi, kde n je počet tiketů. Z údajů o počtu tipujících a počtu výherců v jednotlivých pořadích vypočítáme pro každé sázkové období rozdíly mezi skutečným a středním počtem výherců v jednotlivých pořadích a vyjádříme je v násobcích směrodatných odchylek. Spočítáme:.* _ k - np k %k ~ VnP k (l - P k ) kde k = 1, 2, 3, 4, 5 je výherní pořadí V tabulce uvedené v Příloze 1.1 jsou uvedeny informace z pěti sázkových období. Zachytili jsme nedělní losování od 5. dubna 2006 do 3. května 2006. V tabulce jsou kurzívou uvedené teoretické hodnoty n.p k pro výhry v jednotlivých pořadích, tedy střední počet výherců v jednotlivých pořadích, který by byl dosažen za předpokladu, že každá šestice čísel se tipuje se stejnou pravděpodobností. Skutečné počty výherců 11

v 1. i 2. tahu jsou uvedeny normálním písmem. Tučně jsou zvýrazněné hodnoty i k vypočtené podle výše uvedeného vzorce. Hypotézu, že na danou šestici čísel jsou sázky podávané rovnoměrně, nezamítáme na hladině významnosti a = 0,05, když i k náleží intervalu ( 1, 96; 1, 96). Jestliže i* k < 1.96, daná šestice čísel je málo oblíbená. Jestliže i k > 1.96, daná šestice čísel je mezi tipujícími oblíbená (Dupač, Hájek, 1962). Nejprve si všimněme výsledků v 1. pořadí. Odchylky nejsou výrazné a až na první tah ze dne 5.4.2006 náleží hodnoty i* k námi sledovanému intervalu. V 2. pořadí opět náleží hodnoty i k intervalu ( 1,96; 1,96) až na první tah ze dne 5.4.2006. Ve 3. pořadí z deseti sledovaných losování již šest neodpovídá naší hypotéze. Ve 4. pořadí je mimo interval devět z deseti losování a v 5. pořadí dokonce neodpovídá žádná hodnota i k intervalu ( 1,96; 1,96). Zjišťujeme, že se velké hodnoty i k (ať již kladné či záporné), tedy velké odchylky od očekávaného středního počtu výherců, které by se podle naší hypotézy měly objevovat jen zřídka, vyskytují ve většině losování, a to dokonce jako velmi výrazné rozdíly. Jako mimořádně oblíbená kombinace vylosovaných čísel se jeví čísla vylosovaná 5.4.2006 v prvním tahu, naopak velmi neoblíbenými kombinacemi jsou čísla vylosovaná 5.4.2006 v druhém tahu a 3.5.2006 v druhém tahu. Můžeme tedy prohlásit, že na hladině významnosti a = 0,05 zamítáme hypotézu, podle které mají všechny šestice stejnou pravděpodobnost, že budou vsazeny. Některé šestice jsou u hráčů oblíbené více a některé méně. Jestliže jsou vylosována oblíbená čísla, výherců je více než by jich bylo v případě platnosti naší hypotézy, v opačném případě méně. 12

2.2 Šťastných 10 2.2.1 Charakteristika hry Číselná loterie Šťastných 10 je sázková hra, ve které tipující tipuje 1 až 10 čísel z čísel 1 až 80. Při každém losování je vylosováno 20 výherních čísel. Herní jistina je dána součtem vkladů na jednotlivé přijaté sázky. Minimální vklad je 10 Kč, maximální vklad 200 Kč. Výše vkladu musí být celým násobkem minimálního vkladu. Výše výhry je dána počtem tipovaných čísel, počtem správně tipovaných čísel a výší vkladu. Vypočítává se podle níže uvedené tabulky: 10 200 000 x P o č e t tipovaných Č í s e ' 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 P o 9 loooox 50 000 x č e t 8 500 x 2 000 x 20 000 x u 7 20 x 200 x 400 x 4 000 x h o 6 10 x 20 x 40 x loox 600 x n d u 5 3x 3x 4x lox 20 x 200 x t ý 4 lx 2x 2x 16x 50 x c 3 lx 2x 8x 16x h č 2 2x 8x í s e 1 2x 1 0 lx lx lx lx lx 2.2.2 Pravděpodobnostní analýza Pravděpodobnost, že hráč uhodl x čísel z n tipovaných, přičemž n = {1,2,. a x = {0,1, 2,..., n}, je: (n\ \x) (80-n\ V20-iJ (8Q\ boj.,10} 13

Pravděpodobnost jednotlivých výher můžeme přehledně zapsat do tabulky: P o č e t u h o d n u t ý c h č í s e Po čet t i p o v a ný C h Č í s e 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 l,122.1cr 7 9 6,121.1Cr 6 7,24.10-7 8 0,0001354 3,26E-05 4,35. KT 6 7 0,0016111 0,000592 0,00016 2,44.10- B 6 0,0114794 0,00572 0,002367 0,000732 0,0001 5 0,0514277 0,032601 0,018303 0,008639 0,0031 0,0006 4 0,081504 0,052191 0,0285 0,0121 0,0031 3 0,1298 0,0839 0,0432 0,0139 2 0,1388 0,0601 1 0,25 0 0,0457907 0,063748 0,088266 0,121574 0,1666 Při porovnání předchozích tabulek zjistíme, že hra Šťastných 10 je pro provozovatele této loterie zajímavá, neboť je zisková. Můžeme si to ukázat na několika konkrétních případech: Při tipování jednoho čísla je šance na uhodnutí 1:4, výhra je však jen polovinou vkladu. Vsadíme-li tedy 4 tikety s vkladem 10 Kč na tiket, můžeme očekávat, že jeden z nich vyhraje. Ve výsledku tedy vsadíme 40 Kč, ale vyhrajeme v průměru jen 20 Kč. Obdobně je tomu při uhodnotí 3 z 5 tipovaných čísel. Šance, že z 5 tipovaných čísel uhodneme 3, je zhruba 1:12. Vsadíme-li tedy 12 tiketů po 10 Kč vkladu, můžeme předpokládat, že jeden z nich vyhraje. Vsadíme tedy 120 Kč, ale vyhrajeme v průměru opět jen 20 Kč. Nejmarkantnější rozdíl mezi nutným vkladem pro jistou výhru a výhrou samotnou je samozřejmě u výhry nejvyšší. V tomto případě když bychom vsadili 8 912 655 tiketů po 10 Kč, tedy 89126 550 Kč, výhra by činila přibližně 2 000 000 Kč. 14

2.2.3 Test dobré shody při známých parametrech Obdobně, jako u loterie Sportka, budeme testovat hypotézu, zda čísla losovaná z losovacího pole hry Šťastných 10 jsou zastoupena rovnoměrně, nebo jsou v počtu vytáhnutých míčků nenáhodné vlivy. Test vykonáme na údajích o počtu vytažených čísel od vzniku této loterie po současnost. Podařilo se nám získat údaje z 4274 sázkových období. Všechna potřebná data o daném souboru vylosovaných čísel a velikosti Xi,...,X 80 obsahuje Příloha 2. Nejméně zastoupené číslo mezi taženými je 24, které bylo taženo 999-krát, nejvíce číslo 53, tažené 1136-krát. Průměrně bylo každé číslo vylosováno 1069-krát, průměrná odchylka souboru je 24, 75. Testujeme hypotézu H 0... čísla z losovacího pole jsou losována rovnoměrně, t.j. pí = p 2 = ''' = Pso = ^ oproti alternativě H\... čísla z losovacího pole vykazují nenáhodné vlivy Test vykonáme na hladině významnosti a = 0, 05 n = 85 480 n-počet všech vytažených čísel Xi-počet vytažených čísel i (i = 1,2,..., 80) PÍ = 1/80 i =1,2,..., 80 Spočítámex 2 = (*i-"pi)-(*i-"n) +... + (^o-n P80 ).(x 80 -n P80 ) = ß7 QQU 1 A- npi npso ' Zjistíme tabulkovou hodnotu x 2 9(0,05) = 100,887 Protože x 2 = 67,9944 < 100, 887 = x 2 (0> 05), nezamítáme hypotézu o tom, že se čísla z losovacího koše losují rovnoměrně, na hladině významnosti a = 0, 05. 15

2.3 Keňo 2.3.1 Charakteristika hry Číselná loterie Keňo je velmi podobná loterii Šťastných 10. Losuje se zde 12 čísel z 56 a hráč může tipovat 1 až 7 čísel s vkladem 5 až 100 Kč. Výše výhry je opět dána násobkem vkladu a čísla uvedeného v tabulce výher v závislosti na počtu tipovaných a uhodnutých čísel. V tomto případě vypadá tabulka výher takto: Počet tipovaných čísel 7 6 5 4 3 2 1 7 10 000 X 6 500 X looox 5 30 X 90 x 300 X 4 2x 3x 20 X 50 x 3 lx 2x 2x 5x 30 x 2 3x 13x 1 2x 0 lx lx lx lx 2.3.2 Pravděpodobnostní analýza Pravděpodobnost, že hráč uhodl x čísel z n tipovaných, přičemž n = {1,2,. a x = {0,1, 2,..., n}, je: (n\ /56-ra\ V12-iJ L(n,x) U /56\ I12J Pravděpodobnost jednotlivých výher můžeme opět zapsat do tabulky:,7} 16

Počet tipovaných čísel 7 6 5 4 3 2 1 7 3,415. KT 6 6 0,0001753 2,846.10- B 5 0,0032306 0,0010733 0,0002073 4 0,0282677 0,0144223 0,0057018 0,0013477 3 0,1287752 0,0897388 0,0544843 0,0263552 0,0079365 2 0,1047619 0,0428571 1 0,2142857 0 0,1652337 0,2174128 0,284309 0,3696017 Při srovnání tabulek pravděpodobnostní výher u loterií Keňo a Šťastných 10 zjistíme, že Keňo je pro provozovatele ještě výhodnější než Šťastných 10. Provedeme porovnání s případy uvedenými v části 2.2.2: Při tipování jednoho čísla je šance na uhodnutí 1 : 4,6, výhra je ovšem opět v průměru pouze dvounásobkem vkladu, tedy při vkladu 50 Kč ( 5 x vsadíme po 10 Kč ) je předpokládaná výhra 20 Kč. Při uhodnutí 3 z 5 čísel je šance na uhodnutí zhruba 1 : 18. Tedy při vkladu 180 Kč (18x vsadíme po 10 Kč)očekáváme zhruba jednu výhru 20 Kč. U výhry nejvyšší je sice zapotřebí menší počet tiketů oproti Šťastným 10 pro jistou výhru ( jen" 292 825 tiketů, tedy například vklad 2 928 250 Kč), ale očekávaná výhra je pouze 100 000 Kč. Hráč má tedy o něco větší šanci na hlavní výhru, ale na menší výhry má šanci menší. 2.3.3 Test dobré shody při známých parametrech Obdobně, jako u loterií Sportka a Šťastných 10, budeme testovat hypotézu, zda čísla losovaná z losovacího pole hry Šťastných 10 jsou zastoupena rovnoměrně, nebo jsou v počtu vytáhnutých míčků nenáhodné vlivy. Test vykonáme na údajích o počtu vytažených čísel od vzniku této loterie po současnost. Podařilo se nám získat 17

údaje z 315 309 sázkových období. Všechna potřebná data o daném souboru vylosovaných čísel a velikosti X\,...,X^ obsahuje Příloha 3. Nejméně zastoupené číslo mezi taženými je 8, které bylo taženo 67044-krát, nejvíce číslo 24, tažené 68 030- krát. Průměrně bylo každé číslo vylosováno 67557-krát, průměrná odchylka souboru je 168, 964. Opět testujeme hypotézu H 0... čísla z losovacího pole jsou losována rovnoměrně, t.j. p\ = p 2 = = p^ = ^ oproti alternativě H\... čísla z losovacího pole vykazují nenáhodné vlivy Test vykonáme na hladině významnosti a = 0, 05 n = 3 783 192 n-počet všech vytažených čísel Xi-počet vytažených čísel i (i = 1,2,..., 56) PÍ = 1/56 i =1,2,..., 56 Spočítáme v 2 = (*I-"PI)-(*I-"PI) +... + (x 56 -n P56 ).(x 56 -n P56 ) = 38 5585 1 /v - rapi rapb6 ' Zjistíme tabulkovou hodnotu X5s(0, 05) = 73, 311 Protože x 2 = 38,5585 < 73,311 = x 2 (0,05), nezamítáme hypotézu o tom, že se čísla z losovacího koše losují rovnoměrně, na hladině významnosti a = 0, 05. 18

2.4 Porovnání jednotlivých loterií V předcházejících podkapitolách jsme vykonali pravděpodobnostní analýzy námi vybraných loterií. Na základě těchto údajů budeme v této podkapitole loterie porovnávat. Nejprve porovnáme pravděpodobnosti výhry ceny 1. pořadí všech tří loterií: Loterie Potřebný počet uhodnutých čísel Pí Sportka 6 z 6 7,1511.10" 8 Šťastných 10 10 z 20 1,122.10" 7 Keňo 7 z 12 3,415.10" 6 Nejpravděpodobnější získání výhry v 1. pořadí je v loterii Keňo, nejméně pravděpodobné je uhádnutí 6 čísel z 6 v loterii Sportka. Je ovšem nutné poznamenat, že výše výhry v 1. pořadí se v jednotlivých loteriích výrazně liší. Pokud by hráč vsadil 16 Kč ve hře Keňo (pravidla hry Keňo sázku v této výši nedovolují, používáme ji jen jako srovnání, jelikož ve hře Sportka stojí jeden tip právě tuto částku) a uhodl 7 z 12 čísel, vyhrál by 160 000 Kč. Oproti tomu Sportka "nabízí" za výhru v 1. pořadí částky v řádech milionů korun. Tato částka není pevně dána, závisí na výherní jistině, jak jsme uvedli v části 2.1.1, a počtu výherců. Doposud rekordní výhra činila přes 94 000 000 Kč. Nyní porovnáme pravděpodobnosti nejnižší možné výhry, u her Keňo a Šťastných 10 nebudeme uvažovat výhru v případě, kdy tipující neuhodne ani jedno vylosované číslo: Loterie Potřebný počet uhodnutých čísel P Sportka 3z6 0,01765 Šťastných 10 5 z 20 0,0514277 Keňo 3 z 12 0,1287752 19

Opět je nejpravděpodobnější získání výhry v loterii Keňo, nejméně pravděpodobné v loterii Sportka. Nejnižší výhra v Keňu je ovšem pouze vklad. Ve Sportce je většinou 3x až 7x vyšší než vklad, opět výše výhry závisí na výherní jistině. 20

Zaver V naší práci jsme se snažili analyzovat některé oblíbené číselné loterie, provozované na území České republiky, a na základě pravděpodobnostní analýzy tyto loterie navzájem porovnat. Zaobírali jsme se testem dobré shody, kterým jsme testovali, jestli jsou čísla z losovacího koše losována rovnoměrně či vykazují nenáhodné vlivy. Ukázalo se, že ve všech třech námi sledovaných loteriích jsou čísla losována rovnoměrně. V případě Sportky (u zbývajících dvou loterií provozovatel nezverejňuje data potřebná k této analýze) jsme se zaobírali i problémem, zda každá n-tice čísel má stejnou pravděpodobnost, že bude tipována, jinými slovy zda existují oblíbené a neoblíbené kombinace. Zde se ukázalo, že lidé mají sklony tipovat cíleně, nikoliv náhodně. Srovnáním pravděpodobností výhry jsme dopěli k závěru, že největší šance na výhru je v loterii Keňo, ovšem na úkor výše výhry, nejmenší ve Sportce, kde jsou výhry znatelně vyšší. 21

Použitá literatura ANDĚL, Jiří. Matematická statistika. Praha: SNTL/ALFA, 1985. DUPAČ, Václav, HÁJEK, Jaroslav. Pravděpodobnost ve vědě a technice. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. Internetové zdroje: http://www.sazka.cz http://www.tipos.sk 22