Laboratorní úloha č. 3 Spřažená kyvadla Max Šauer 17. prosince 2003
Obsah 1 Úkol měření 2 2 Seznam použitých přístrojů a pomůcek 2 3 Výsledky měření 2 3.1 Stanovení tuhosti vazbové pružiny................ 2 3.2 Vlastní kruhová frekvence kyvadel................ 3 3.3 Kruhové frekvence........................ 4 3.3.1 Počáteční podmínky (a)................. 4 3.3.2 Počáteční podmínky (b)................. 5 3.3.3 Počáteční podmínky (c)................. 5 3.4 Koeficient vazby κ........................ 6 3.5 Výpočet tuhosti vazbové pružiny k............... 7 3.6 Výpočet kruhových freckvencí ω 1, ω 2, ω 3............ 8 3.7 Výpočet momentu setrvačnosti J................ 9 4 Závěr 9 1
1 Úkol měření 1. Změřte tuhost vazbové pružiny. 2. Změřte vlastní kruhovou frekvenci kyvadel. 3. Změřte kruhové frekvence kyvadel, koeficient vazby pro různé počáteční podmínky a různou polohu vazbové pružiny. 4. Proveďte porovnání mezi naměřenými a vypočtenými výsledky, viz postup měření. 5. Vypočtěte moment setrvačnosti kyvadel. 6. U všech naměřených a vypočtených veličin určete chybu měření. 2 Seznam použitých přístrojů a pomůcek Fyzická kyvadla, závěsy se snímačem, vazbová pružina, dva čítače kyvů se stopkami, stopky, pravítko, ocelové měřítko, přípravek k měření protažení pružiny se dvěma závažími, laboratorní váhy se sadou závaží. 3 Výsledky měření 3.1 Stanovení tuhosti vazbové pružiny Na přípravku změříme prodloužení pružiny nejdříve s jedním a pak se dvěma 30g závažími, a poté podle vztahu (1) podle [1] vypočteme tuhost k. k = (2M M)g y Výsledná tuhost: k = 0.03 g = 11.77 N m 1 0.025 kde g = 9.80665 ms 2 je tíhové zrychlení. Dále stanovíme chybu. Při použití pásového měřidla uvažujeme chybu 0.5 mm, pro zjišťování hmotnosti 2 (1)
Obrázek 1: Schema kyvadel na laboratorních vahách chybu 0.5 g. Chybu tuhosti stanovíme podle vztahu (2). ( k ) 2 ( ) 2 k k = y y 2 + M M 2 (2) k = 0.31 N m 1 k = (11.77 ± 0.31) N m 1 Hmotnost jednoho závaží[g] 30.0 ± 0.5 Prodloužení y [mm] 25.0 ± 0.5 Tuhost pružiny k[n m 1 ] 11.77 ± 0.31 3.2 Vlastní kruhová frekvence kyvadel Změříme dobu 100 kyvů obou kyvadel, abychom ověřili jejich identitu. Chyba zařízení měřícího kmity je 0.005 s Charakteristiky kyvadel: Vzdálenost těžiště od osy otáčení L = (490.0 ± 0.5) mm 3
Hmotnost m = (1.2310 ± 0.0005) kg kyvadlo 1 2 100 τ 0 [s] 77.30 77.27 τ 0 = (0.773 ± 0.005) s τ jsme stanovili pomocí aritmetického průměru. Vlastní kruhovou frekvenci spočteme ze vztahu ω 0 = 2πf = 2π T = π τ 0. (3) Stanovíme chybu: ( π ω 0 = τ 2 0 ) 2 τ 2 0 (4) ω 0 = π 0.773 = (4.064 ± 0.026) rad s 1 3.3 Kruhové frekvence 3.3.1 Počáteční podmínky (a) Při tomto měření vychýlýme kyvadla na stejnou stranu, takže ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ max. Kruhovou frekvenci spočítáme opět ze vztahu (3), její chybu z (4). Pro délku l 2 = 418.0 ± 0.5 mm. kyvadlo 1 2 100 τ 0 [s] 76.78 76.76 τ = (0.768 ± 0.005) s ω 0 = (4.091 ± 0.027) rad s 1 4
kyvadlo 1 2 100 τ 0 [s] 76.78 76.83 τ = (0.768 ± 0.005) s ω 0 = (4.091 ± 0.027) rad s 1 3.3.2 Počáteční podmínky (b) Obě kyvadla vychýlíme o stejnou výchylku ϕ m na opačné strany. Kruhovou frakvenci opět pomocí vztahů (3), (4). Pro délku l 2 = 418.0 ± 0.5 mm. kyvadlo 1 2 100 τ 1 [s] 66.13 66.13 τ = (0.661 ± 0.005) s ω 1 = (4.753 ± 0.036) rad s 1 kyvadlo 1 2 100 τ 1 [s] 59.37 59.36 τ = (0.594 ± 0.005) s ω 1 = (5.289 ± 0.045) rad s 1 3.3.3 Počáteční podmínky (c) Nyní kyvadlo č.2 vychýlíme o úhel ϕ m a kyvadlo č.1 podržíme v rovnovážné poloze. Dobu kyvu změříme pomocí čítače rázů u kyvadla č.2 (pomocí které ze vztahu (3) určíme ω 3 ), na prvním kyvadle změříme periodu rázů. Budeme měřit dobu po puštění kyvadel, za kterou kyvadlo dosáhne 6. maxima. Pro výpočet odpovídající kruhové frekvence upravíme proto vztah (3) takto: ω 2 = 6 2π T 6r = 6π τ 6r (5) 5
Chybu ω 2 stanovíme ze vztahu ( 6π ω 2 = τ 2 6r ) 2 τ 2 6r (6) Naměřené T 6r = (56, 8 ± 0.5) s. kyvadlo 1 kyvadlo 2 t r [s] τ 0 [s] 9.5 ± 0.5 0.739 ± 0.005 ω 2 = (0.331 ± 0.012) rad s 1 Nyní doplníme ω 3 a její chybu podle (3), (4). Pro délku l 2 = 418.0 ± 0.5 mm. ω 3 = (4.251 ± 0.029) rad s 1 Naměřené T 6r = (31, 1 ± 0.5) s. kyvadlo 1 kyvadlo 2 t r [s] τ 0 [s] 5.18 ± 0.5 0.709 ± 0.005 ω 2 = (0.606 ± 0.039) rad s 1 ω 3 = (4.431 ± 0.031) rad s 1 3.4 Koeficient vazby κ Koeficient vazby κ stanovíme pomocí [1] (vztahy 3.39, 3.40). Chybu κ 1, κ 2 pomocí [1],(2.27) takto: 6
( ) 4ω1 ω 2 2 ( ) 0 4ω 2 2 κ 1 = ω 2 (ω1 2 + ω0) 2 2 1 + 1 ω 0 ω 2 (ω1 2 + ω0) 2 2 0 (7) κ 2 = (2ω3 (ω3 2 ω2) 2 (ω2 2 + ω3) 2 2 ) 2 ω 2 2 + ( 2ω2 (ω 2 2 ω 2 3) (ω 2 2 + ω 2 3) 2 ) 2 ω 2 3 (8) κ 1 = (0.149 ± 0.010) rad s 1 κ 2 = (0.155 ± 0.009) rad s 1 Pro délku l 2 = 418.0 ± 0.5 mm. κ 1 = (0.251 ± 0.012) rad s 1 κ 2 = (0.269 ± 0.011) rad s 1 3.5 Výpočet tuhosti vazbové pružiny k Ze vztahu (3.39) z [1] si vyjádříme tuhost k: k = κmgl l 2 (1 κ) (9) Pro výpočet použijeme vypočtené κ pro ω 0 a ω 1, protože odečet rázů není přesný. Charakteristiky kyvadla (viz obrázek): L = (490 ± 0.5) mm m = (1231.0 ± 0.5) g k = (11.28 ± 0.05) N m 1 7
Pro délku l 2 = 418.0 ± 0.5 mm. k = (11.34 ± 0.05) N m 1 Průměrnou tuhost stanovíme z aritemtického průměru: k = (11.31 ± 0.05) N m 1 3.6 Výpočet kruhových freckvencí ω 1, ω 2, ω 3 Na základě (3.42) z [1] ověříme kruhové frekvence výpočtem. 2kω 2 ω 1 = 0l 2 mgl + ω2 0 ω 2 = kω 0l 2 2mgL ω 3 = kω 0l 2 2mgL + ω 0 ω 1 = 4.749 rad s 1 ω 2 = 0.371 rad s 1 ω 3 = 4.435 rad s 1 Pro délku l 2 = 418.0 ± 0.5 mm. ω 1 = 5.292 rad s 1 ω 2 = 0.706 rad s 1 ω 3 = 4.770 rad s 1 8
3.7 Výpočet momentu setrvačnosti J Na základě (3.13) z [1] stanvíme vztah pro moment setrvačnosti J: J = mgl ω 2 0 (10) Chyba J: (gl ) 2 ( ) 2 ( ) 2 gm 2gLm J = m + L + ω0 2 (11) ω 2 0 ω 2 0 J = (0.358 ± 0.026) kg m 2 ω 3 0 4 Závěr Vypočtená tuhost pružiny k se od naměřené liší o 3.908%. Hodnoty kruhových frekvencí změřené z doby kyvu a hodnoty vypočtené z naměřené vzdálenosti těžiště L a vzdálenosti vazebné pružiny l se výrazněji liší v případě ω 2, protože zde je měření nejvíce ovlivněno nepřesností při odečtu periody rázů, kdy se nedá přesně určit, kdy k rázu přesně došlo. Touto nepřesností je ovlivněno i měření tuhosti pružiny. Ověřili jsme, že pokud jsou kyvadla rozkývána se stejnou fází, nepřenáší se žádná enrgie a kruhová frekvence není nijak ovlivněna připojenou pružinou a je tedy stejná jako ω samotného kyvadla. Pokud rozkýváme kyvadla s opačnou fází, má kruhová frekvence ω 1 větší hodnotu než ω 0 a je úměrná vzdálenosti vazebné pružiny od osy otáčení. 9
Literatura [1] Bednařík, Koníček, Jiříček: FYZIKA I A II Fyzikální praktikum, ČVUT 1999 10