Některá zjištění vyplývající z projektu Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd

Některá zjištění vyplývající z projektu Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd Eva Lesáková Eva Řídká Studijní materiály k projektu č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů JČMF 2006

OBSAH 1) Úvod 2) Popis vzniku a průběhu projektu Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd 3) Zdůvodnění výběru sledovaných znalostí a dovedností 4) Krátká charakteristika používaných testů 5) Některé specifické cíle předmětu Matematika na 2. stupni ZŠ v testových úlohách a úspěšnost zvolených úloh 6) Varianta B testu z roku 2006 se statistickými výstupy 7) Doporučení, odkazy a nabídky dalších evaluačních nástrojů 1) Úvod Po roce 1989 u nás začaly vznikat nové střední školy, ať už státní, soukromé, či církevní. Úroveň jejich vzdělávání byla rozdílná, a tedy i hodnota maturitní zkoušky mnohdy neporovnatelná. Kolem roku 1995 vznikla myšlenka rozšíření dosavadní podoby maturitní zkoušky o společnou část, která by umožnila kontrolu nad splněním minimálních požadavků státu na maturanta. V roce 2000 byl zřízen CERT (Centrum pro reformu maturity), který v letech 2001 2006 ověřoval znalosti žáků všech středních škol v tzv. Maturitě nanečisto ve většině vyučovaných předmětů. V matematice probíhalo ověřování ve dvou úrovních. Základní, společné pro všechny studenty posledních ročníků středních škol, a vyšší, tzv. profilové, určené pro studenty, kteří chtějí z matematiky maturovat. Výsledky testů zřetelně ukázaly, že znalosti a dovednosti našich maturantů při řešení jednoduchých úloh jsou do značné míry nedostatečné. Příliš mnoho maturantů se potýkalo neúspěšně s jednoduchými problémy praktického charakteru (procenta, funkční závislosti, grafy, tabulky, atd.) a bohužel nezvládali ani úlohy, které svou obtížností odpovídaly úlohám základní školy. Proto jsme podporovaly dále zmiňovaný projekt, s jehož výsledky se obracíme k Vám, učitelům na základních školách. Snižování úrovně znalostí a dovedností žáků přicházejících na střední školy konstatuje i každý délesloužící vyučující na tomto stupni školy. Cílem tohoto článku je na ně poukázat. Jedním z užitečných důsledků bude, objeví-li se reakce na některá zjištění ve školních vzdělávacích programech učitelů na 2. stupni ZŠ. 2) Popis vzniku a průběhu projektu Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (nové jméno pro zařízení MŠMT při zatímním zachování značky CERT) zahájilo ve školním roce 2003/2004 ve spolupráci s Odborem školství Karlovarského kraje projekt nazvaný pracovně Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd. Záštitu a finanční podporu projektu poskytlo MŠMT. Z hlediska dlouhodobých cílů projekt představoval snahu zavést do základních škol takový hodnotící nástroj, který bude zdrojem informací pro vnitřní evaluaci škol, autoevaluaci žáků a který současně bude mít význam i pro ostatní partnery základních škol, tj.pro zřizovatele a střední školy. V rámci projektu byly žákům devátých tříd ZŠ zadány tři testy a žákovský dotazník. Testy byly zaměřeny na tyto oblasti: matematické dovednosti, dovednosti v českém jazyce a studijní strana 2

dovednosti. Projekt byl koncipován tak, aby učinil, mimo jiné cíle, první krok k monitorování výstupní úrovně žáků ZŠ. V následujícím školním roce 2004/2005 se už testování zúčastnily tři kraje v republice: Karlovarský, Pardubický a Liberecký. Testování probíhalo vždy podle jednotného testovacího schématu současně na všech přihlášených školách. Ve stejném roce probíhalo poprvé zkušební testování dovedností z českého jazyka v 5. třídách Karlovarského kraje. Zatím největšího rozsahu dosáhl projekt v tomto školním roce 2005/2006. Do testování 9. tříd se zapojila polovina ZŠ v republice. V Libereckém kraji byly výstupy z těchto testů brány některými středními školami jako jeden z podkladů pro přijímací řízení. V současnosti je připravován i první test z matematických dovedností pro žáky 5. tříd ve třech krajích ČR. Tento test doplní možnost uceleného pohledu na výsledky vzdělávání v matematice v uzlových bodech školského systému. Shrnutí dosavadních informací: V současné době jsou v CERTu k dispozici informace o znalostech a dovednostech žáků: a) ve 4. ročnících SŠ ukončených maturitní zkouškou, b) v 9. třídách ZŠ, c) v 5. třídách ZŠ (květen 2006). Je zde tedy shromážděn dostatek podkladů k pojmenování existujících nedostatků ve vědomostech a dovednostech žáků v matematice. 3) Zdůvodnění výběru sledovaných znalostí a dovedností V našem školství v současné době probíhá kurikulární reforma. Jejím posláním je přenesení důrazu, který byl dosud kladen na sumativní hodnocení znalostí, směrem k jeho kombinaci s formativním hodnocením procesů a dovedností. Současně s kurikulární reformou probíhá decentralizace školství, což dohromady umožňuje školám, aby spolu se svými zřizovateli hledaly své vlastní vzdělávací cíle, svou vlastní podobu. Pedagogové přitom respektují daný Rámec vzdělávacích programů pro jednotlivé předměty, hledají možnosti mezioborových propojení, formulují a připravují podmínky pro uskutečnění výchovných a vzdělávacích projektů. Významným motivem při zamýšlení se nad tím, jak lépe s žáky pracovat, by měla být otázka propojenosti školního vzdělávání s neškolními zkušenostmi žáků, schopnost využívat ve škole jejich dovednosti a znalosti z běžného života a naopak vybavit je pro čas, který tráví mimo školu, užitečnými vědomostmi a schopnostmi. Jedno z hledisek, podle kterého byly zvoleny úlohy do tohoto příspěvku, je právě uvedená myšlenka. Dalším kritériem je jejich zařazení do všech zatím uskutečněných testů. Tato okolnost sama o sobě vypovídá o tom, že učivo, na které je daná úloha zaměřena, je zahrnuto ve stávajících platných učebních dokumentech 1 a rovněž i v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání 2. 1 Vzdělávací program ZŠ, schváleno MŠMT 30. 4. 1996 pod č.j.16847/96-2, aktuální znění od 1. 9. 2003 2 Vydalo UIV, v roce 2005, se změnami provedenými k 1. 9. 2005 strana 3

Pro možnost posouzení jejich podobnosti uvádíme následující tabulku: Platné učební osnovy (str. 68) Žák má umět: provádět početní výkony s přirozenými i desetinnými čísly a zlomky, a to pamětně i A písemně; při řešení složitějších úloh užívat racionálně kapesní kalkulátor; řešit úlohy z praxe s užitím početních B výkonů, včetně užití procentového počtu a jednoduchého úrokování; C D E F provádět odhady výsledků řešení a posuzovat jejich reálnost, provádět potřebné zaokrouhlení; číst a užívat jednoduché statistické tabulky a diagramy; užívat proměnnou, chápat její význam, řešit rovnice a nerovnice a užívat je při řešení úloh; zapisovat a graficky znázornit závislosti kvantitativních jevů v přírodě a ve společnosti a pracovat s některými konkrétními funkcemi při řešení úloh z praxe; (RVP str. 29 34) Žák: provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu; zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor; modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel; užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem); řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem; pracuje s měřítky map a plánů; řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek); vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data, porovnává soubory dat; matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním; formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav; určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti, vyjádří funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem; matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů; strana 4

G H řešit metrické geometrické úlohy, vypočítat obvody a obsahy rovinných obrazců, povrchy a objemy těles, užívat základní vztahy mezi rovinnými obrazci; orientovat se v rovině a v prostoru, užívat soustavu souřadnic, chápat vztah mezi čísly a body jako základ počítačových znázornění a projektů. zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku; charakterizuje a třídí základní rovinné útvary; určuje velikost úhlu měřením a výpočtem; odhaduje a vypočítá obsah a obvod základních rovinných útvarů. využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti načrtne a sestrojí rovinné útvary; užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků; načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar; určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (tělesa), analyzuje jejich vlastnosti; odhaduje a vypočítá objem a povrch těles; načrtne a sestrojí sítě základních těles; načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině; analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu; Z porovnání obou sloupců tabulky je patrné, že základní učivo v matematice na 2. stupni ZŠ je v obou dokumentech stále zachováváno. Posláním školské reformy musí tedy být hlavně snaha, aby si dané znalosti a dovednosti odnášelo ze základní školy nejen co největší procento žáků, ale snad ještě důležitější je, aby dané látce opravdu rozuměli. Rozuměli, což mj. znamená uměli ji používat. Uvedené dokumenty obsahují cíle, k nimž má výuka směřovat. Neméně důležité jsou i prostředky, kterými lze daných cílů dosáhnout. Volba prostředků je závislá na mnoha parametrech. Ve škole se pracuje s žáky, kteří mají k matematice různé nadání (rychlost chápání, rychlost osvojení, schopnost aplikace), mají odlišné vrozené (mezi nimi i volní) vlastnosti, v rodině si osvojili různé návyky, žijí v odlišném prostředí, které je více či méně motivuje k aktivnímu přístupu k výuce matematiky apod. Zřejmě neexistuje jednotný optimální způsob výuky ve třídě jako celku. Rozdíly mezi žáky v matematice jsou pro učitele asi nejtvrdším oříškem. (Není problém vybírat přiměřené prostředky pro kompaktní skupinu, je-li navíc možné postupovat přiměřeným tempem, přiměřenou dobu a dosáhnout přiměřené úrovně.) Učitel na základní škole by měl při výuce matematiky řešit v jediné třídě podobné problémy jako učitel v malotřídce. Běžně se totiž stává, že učitel s celou třídou zodpovědně probere a procvičí předepsané učivo, ale výsledky se nedostaví. Volbu prostředků (v sestavovaných ŠVP) je třeba pečlivě zvažovat. Důležitým faktorem by mělo být přizpůsobení výuky stupni osvojení probíraného učiva. Současný stupeň porozumění zkusme představit na konkrétních úlohách použitých v projektu Hodnocení výsledků vzdělávání. Celé testy z uvedených let (ve variantách A, B) je možné získat na adresách uvedených v závěru tohoto příspěvku. Jednu variantu spolu se statistickými údaji najdete v bodě 6. strana 5

4) Krátká charakteristika používaných testů V testech z matematiky, které vznikají v Centru pro zjišťování výsledků vzdělávání, jsou používány se srovnatelnou časovou dotací úlohy otevřené i uzavřené. U otevřených úloh žáci sami uvádějí řešení, ať už pouze jeho výsledek, či celý postup, a úlohy jsou pak školenými hodnotiteli posuzovány v Centru. U úloh uzavřených žáci volí správné řešení z nabídky čtyř možností, přiřazují k otázkám nabízené možnosti odpovědí, případně řeší ve svazcích tzv. dichotomické úlohy, kde je třeba posoudit správnost uvedeného tvrzení a hodnocení zaznamenat pomocí ANO NE. Na testy v 9. třídách dosud měli žáci vždy 40 minut čistého času. Během řešení testu smějí žáci používat kalkulátory i MFCH tabulky. (Poznámka: Úlohy uzavřené, u kterých je buď nabídka čtyř odpovědí, nebo se pouze přiřadí správná odpověď ze dvou alternativ ANO NE, mohou mít vyšší úspěšnost díky pravděpodobnosti uhodnutí správného řešení při případném hádání. Ne vždy je možné porovnávat otevřené a uzavřené úlohy stejného zaměření. Je proto potřeba k této informaci přihlédnout při zvažování úspěšnosti úlohy.) strana 6

5) Některé specifické cíle předmětu Matematika na 2. stupni ZŠ v testových úlohách a úspěšnost zvolených úloh Úlohy A Úlohy B (Jde o úlohy k dovednostem označeným A ( B ). H v příslušném odstavci tabulky na str.2 3.) rok text úloh úspěšnost rok text úloh úspěšnost Úloha 4 O kolik procent musíme 2004 zvýšit částku 1600 Kč, Úloha 1 Vyjádřete jedním číslem: abychom dostali 2160 Kč? 0,68 2004 4 2 A) o 135 % A = 5 10 + 10 + 2 10 + 8 B) o 74 % C o 35 % D) o 26 % 0,38 Úloha 2 Úloha 5 Vypočtěte: a) 0,87 Po zdražení o 5 % jsme 2005 a) 3 ( 8 ) = 2005 platili 525 Kč. Jaká byla 0,41 b) 1 cena nákupu (c) před 2 1, 3 = 3 b) 0,45 zdražením? Úloha 3 Doplňte chybějící přirozená čísla: 2006 30 a) = 150 20 b) 0,24 = 6 a) 0,7 b) 0,55 c) 0,38 2006 Úloha 6 Po zlevnění o 60 % se za vstupenku zaplatí 48 korun. Kolik korun by stála vstupenka bez slevy? 0,44 9 c) 2 < < < 3 2 Pozn.: U úloh ponecháváme jejich označení z testu, abychom se na ně mohly v dalším textu odvolávat. K úlohám v bodě A : Předpokladem pro zvládnutí úlohy 1 a 2a) je prostá znalost, zapamatování si jednoduchého postupu. Rozdíly v úspěšnosti u těchto úloh může ovlivnit jednak čas věnovaný procvičování a zapamatování si, ale významně i potřeba následně aktivně využívat získanou dovednost. Úloha 2b) a 3 již předpokládá o něco vyšší stupeň osvojení, u 3a) lze předpokládat opět následné častější užití než u zbývajících dvou. Úspěšnost odpovídá stupni zvládnutí probraného učiva, což souvisí i s náročností učiva. strana 7

K úlohám v bodě B : V úlohách 4 6 je vyžadováno aplikování téže znalosti v jednoduché praktické slovní úloze. Nevalná úspěšnost napovídá tomu, že žáci neumějí správně používat pojmy procento, základ a procentová část. V úloze 4 byla vybírána odpověď z nabídky (uzavřená úloha), přesto je úspěšnost i vzhledem k vyššímu náhodnému skóre nejnižší. Zdá se, že si mnozí žáci v uzavřených úlohách volí méně vhodný postup, kdy úlohu neřeší klasicky, ale pracují s výsledkem, případně jen hádají. Úlohy C rok text úlohy úspěšnost Úloha 7 Lucka se starala o králíka a pravidelně ho každý měsíc vážila. Hodnoty zapisovala do tabulky. Měsíc únor březen duben květen červen červenec 2004 Hmotnost 0,28 200 400 750 1 050 1 300 1500 [v gramech] 2005 2006 Zjistěte, kolik kilogramů bude vážit králík za dalších 5 měsíců, bude-li průměrně přibývat už jen 120 g měsíčně. Úloha 8 Rozhodněte, zda je následující tvrzení pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). Vzdálenost 1 cm na mapě s měřítkem 1 : 50 000 odpovídá vzdálenosti 0, 5 km ve skutečnosti. (Pozn.: jedna ze čtyř úloh na převody jednotek) Úloha 9 Pan doktor Dbalý si zaznamenává, kolik pacientů obou pohlaví v jednotlivých dnech ošetří. Takto vypadala tabulka v jednom týdnu. Pohlaví/den pondělí úterý středa čtvrtek pátek žena 20 15 27 32 35 muž 29 25 23 28 21 2 body Ve středu lékař pracoval 6 hodin. Kolik času měl průměrně na jednoho pacienta? Údaj zaokrouhlete na celé minuty. A) 10 minut B) 9 minut C) 8 minut D) 7 minut 0,6 0,39 strana 8

K úlohám v bodě C : V úloze 7 byly uváděné výsledky leckdy opravdu nesmyslné. Zdá se, že žáci nerozumí sdělení a nesnaží se orientovat v tabulce. Žákům se nedostává interpretace textu učitelem. Sami si nevědí rady. Nemají ani zábrany uvádět zcela nereálné hodnoty. Podobně ani praktická úloha 8 není žákům bližší. Vzhledem k náhodnému skóre 50 % (odpověď ANO NE), je úspěšnost velmi nízká. V úloze 9 se vyžaduje výpočet průměrné doby, což je pro žáky obtížnější, než je výpočet průměrného počtu (viz úloha 12 odstavce D ). Navíc je úloha ztížena zaokrouhlením hodnoty. Statistické úlohy, odhady, tabulky (D) apod. by neměly být ve výuce jednorázově odbyty, ale v různé podobě by měly být zařazovány k různým tématům a hlavně i v různých předmětech. (Poznámka: Z výsledků těchto úloh je patrné, že ani školní přírodopis, zeměpis čí občanská nauka žákům neposkytují průpravu pro praktické situace, žáci se pohybují často jen v akademické, tzn. školní úrovni. Podobné úlohy by mohly být v uvedených předmětech rovněž řešeny.) Úlohy D rok text úlohy úspěšnost Úloha 10 Lucka se starala o králíka a pravidelně ho každý měsíc vážila. Hodnoty si zapisovala do tabulky. 2004 Měsíc únor březen duben květen červen červenec a) 0,56 Hmotnost b) 0,26 [v gramech] 200 400 750 1 050 1 300 1500 2005 a) Určete, jaký je největší měsíční přírůstek hmotnosti králíka. b) Vypočtěte, jaký je průměrný měsíční přírůstek hmotnosti králíka. Úloha 11 Rodina Lacinových platí měsíční zálohu na elektřinu 1000 Kč. Jejich skutečná spotřeba elektřiny za minulý rok je zaznamenána v tabulce. Spotřeba elektřiny je uvedena v kilowatthodinách (kwh). období roku 1.pololetí 2.pololetí spotřeba 1 450 1 350 v kwh Cena 1 kwh je 3, 96 Kč. Uveďte, jakou částku Lacinovi při ročním vyúčtování dopláceli, případně kolik jim bylo vráceno. 0,52 strana 9

2006 Úloha 12 Pan doktor Dbalý si zaznamenává, kolik pacientů obou pohlaví v jednotlivých dnech ošetří. Takto vypadala tabulka v jednom týdnu. Pohlaví / pondělí úterý středa čtvrtek pátek den žena 20 15 27 32 35 muž 29 25 23 28 21 Jaký byl průměrný počet ošetřených pacientů na jeden den? A) 45 B) 49 C) 51 D) 57 0,62 K úlohám v bodě D : V úlohách 10 12 se pracuje s tabulkami. Opět je tu několik problémů. Orientovat se, co je vlastně potřeba vyčíst z tabulky, a následně údaje zpracovat. Nestačí jen porovnávat čísla uvedená v tabulce, což je pro mnohé žáky příliš pracné. V úloze 12 jsou žáci zdánlivě nejúspěšnější, ale opět se jedná o uzavřenou úlohu, kde o něco lepšímu výsledku napomáhá náhodné skóre. Úlohy E rok 2004 2005 text úlohy Úloha 13 x 3 Určete, pro které celočíselné hodnoty proměnné x je výraz roven nule. x + 5 Úloha 14 Rozhodněte, zda jsou úpravy následujících výrazů provedeny správně (ANO), nebo nesprávně(ne). a) Výraz ( 6 3 y ) 3 = je po úpravě = 3 y 3. 1 b) Výraz (6 b ) = je po úpravě = 3 b. 2 2 6c 5 c) Výraz 4 = je po úpravě = 3 c 10. 5 2 d) Výraz ( d 2c) ( 1) = je po úpravě = 2 c d. úspěšno st 0,16 a) 0,64 b) 0,61 c) 0,4 d) 0,76 2006 Úloha 15 Řešte rovnice: 7 x a) + x = 0 2 b) 4 ( 2y 1) = 5 a) 0,6 b) 0,48 strana 10

K úlohám v bodě E : Práce s výrazy a rovnice jsou důležitým přechodem k abstrakci, což je pro některé žáky už nepřístupná oblast učiva. Formální úpravy jsou pro někoho nezáživné, pro jiného nepochopitelné, a proto i nezapamatovatelné. Úloha 13 obsahuje lomený výraz. Žáci mají nadrilované zapisování podmínek výrazu. Ví, že jmenovatel se nesmí rovnat nule. Nad textem se nezamýšlejí, většinou tedy uvedou podmínky, při nichž výraz nemá smysl, nebo zjišťují, kdy je nulový čitatel i jmenovatel. Opět je vidět, že probíraná látka se neprocvičuje v souvislostech a není dostatečně pochopena a že si žáci jen fixují určitý postup. V úloze 14a) d) je úspěšnost výrazně navýšena o náhodné skóre (odpověď ANO NE).Ve výrazu a) žáci neodlišují číslo od proměnné a velmi často slučují oba členy. Při násobení závorky b) žáci mnohdy násobí oba činitele. U násobení dvojčlenu c) se objevuje chybné vykrácení činitele za závorkou jen s prvním členem dvojčlenu. Dokonce ani násobení výrazu d) ( 1) nezvládá velká část žáků. Řešení lineárních rovnic je podmíněno i znalostí práce s výrazy. Každá další úprava snižuje úspěšnost v úloze. V úpravě jednoduchých rovnic 15a) a b) se objevuje několik typických chyb. Při násobení rovnice se zapomíná na násobení některých členů, nebo se naopak násobí i čitatel zlomku. Žáci neumí násobit nulu či nulou. Neumí násobit výraz ani číslem ( 1). Výsledek x = 0 často hodnotí slovy: Úloha nemá řešení. Je na pováženou, že při následném studiu se předpokládá, že toto učivo je bezpečně zvládnuto. Úlohy F rok text úlohy úspěšnost 2004 Úloha 16 Šesti osobám vydrží zásoba vody 12 dnů. Každá osoba má stejnou spotřebu vody na jeden den. a) Doplňte do tabulky v záznamovém archu, na kolik dnů by vystačila tato zásoba pro uvedený počet osob. b) Uveďte největší možný počet osob, kterým by voda vystačila na celých 16 dnů. V tabulce vyplňte prázdná okénka odpovídajícími údaji. a) 0,26 b) 0,27 Počet 12 9 2 1 osob Počet dnů 16 2005 Úloha 17 Anežka nasbírá kyblík borůvek za dvě hodiny. Pepa za každou hodinu naplní jednu třetinu kyblíku. Za jak dlouho by naplnili až po okraj jeden kyblík společně? A) za 1 5 1 hodiny B) za 1 1 hodiny 4 0,24 strana 11

1 C) za 1 hodiny 3 D) ještě pomaleji 2006 Úloha 18 Renata si v agentuře přivydělává vypisováním údajů z dotazníků do počítače. Počet zpracovaných dotazníků ( d ) je přímo úměrný počtu minut (m ) strávených u počítače. Renata si změřila, že za 21 minut přepíše 6 dotazníků. V tabulce doplňte chybějící hodnoty. Počet minut ( m ) 21 28 Počet dotazníků ( d ) 4 6 14 0,8 2006 Úloha 19 Zásoba krmiva dovezená na ranč vydrží šesti poníkům 8 dnů. Počet dnů (d ), během nichž se zásoba krmiva spotřebuje, je nepřímo úměrný počtu poníků ( p ) žijících na ranči. V tabulce doplňte chybějící hodnoty. Počet poníků ( p ) 6 16 0,37 Počet dnů ( d ) 8 6 4 K úlohám v bodě F : Které úlohy jsou jednodušší a které jsou složitější? Nejjednodušší úlohy jsou zpravidla takové, ve kterých jsou žáci nejčastěji cvičeni, a to jak ve školních lavicích, tak i běžnou praxí. Největší úspěšnost bývá v úlohách na přímou úměrnost (v úloze 18 téměř 80 %). Naopak velmi podobné praktické úlohy na nepřímou úměrnost patří k nejneschůdnějším (v úloze 16 je úspěšnost 27 %, v úloze 19, kde je napovězeno, že se jedná o nepřímou úměru, 37 %). Uzavřenou úlohu 17 na společnou práci žáci v podstatě nevyřeší (úspěšnost 24 %, náhodné skóre je 25 %). strana 12

Úlohy G rok text úlohy úspěšnost 2004 Úloha 20 Jaký bude výsledný objem V, smícháme-li kapaliny o objemech 3 hl a 200 dm 3? C) V = 23 hl A) V = 0, 32 m 3 B) V = 0, 50 m 3 0,39 D) V = 5 m 3 Úloha 21 Útvar na obrázku vznikl odstřižením rohu obdélníka. Čísla vyjadřují délky čar v decimetrech (dm). D 9 C a) Jaká je délka úsečky AB? 2 a) 0,35 2005 A) 8 dm B) 9 dm C) 10 dm D) jiná hodnota b) Jaký je obsah plochy pětiúhelníka ABCDE? 10 B b) 0,31 A) 65,5 dm 2 B) 66 dm 2 C) 74 dm 2 D) jiná hodnota E 3 A 2006 Úloha 22 Podstavu pravidelného trojbokého hranolu tvoří rovnostranný trojúhelník. Velikost podstavné hrany je a = 9 cm. Obsah pláště je 2 S pl = 324 cm. Kolik centimetrů měří výška hranolu? A) méně než 12 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 18 cm 0,31 K úlohám v bodě G : Všechny tři (resp. čtyři) uvedené úlohy jsou uzavřené, úspěšnost může být opět kladně ovlivněna náhodným skóre a naopak záporně záměnou seriózního řešení za odhad správného výsledku z uvedených alternativ. O všech těchto úlohách je možné tvrdit, že je žáci většinou nezvládají. strana 13

Úlohy H rok text úlohy úspěšnost Úloha 23 Je dána přímka p a mimo ni dva různé body K, L (obrázek zadán). S použitím pravítka a kružítka sestrojte na přímce p postupně všechny body A, B a C, a) 0,5 2004 pro které platí: b) 0,39 a) < KAL = 180 b) LB = KL c) 0,28 2005 c) LC = KC Úloha 24 V trojúhelníku ABC jsou dány souřadnice vrcholů A [ 1; 0] ; B [ 5; 0] ; [ 2; 4] zadán). a) V trojúhelníku narýsujte výšku z vrcholu B. b) Určete vzdálenost bodu C od přímky AB. Pozn.: Plný počet (3 + 1 bod) mělo: 15 % žáků a 28 % žáků! C (obrázek 0,24 Úloha 25 Trojúhelníku ABC je opsána kružnice k. a) Sestrojte obraz B 1 bodu B v osové souměrnosti podle přímky CS. b) Sestrojte obraz A C 2 2 úsečky AC ve středové souměrnosti podle středu S. a) 0,19 b) 0,23 2006 C S B k (uveden pouze zmenšený obrázek) A K úlohám v bodě H : Popelkou v matematice je konstrukční geometrie. Zvládnutí konstrukcí množin bodů je předpokladem ke zvládnutí konstrukcí útvarů (úspěšnost v úloze 23 je od 28 do 50 %). Základní vlastnosti trojúhelníku a konstrukce objektů v trojúhelníku plně zvládá jen 15 % žáků (úloha 24). Konstrukce bodů a útvarů v osové a středové souměrnosti nejsou žáky dostatečně osvojeny, případně jsou již zapomenuty (úspěšnost v úloze 25 je 19 23 %). Přitom je učivo probíráno už od šesté třídy. strana 14

Na závěr celého rozboru se nabízí mnoho otázek: Kde jsou hranice průměrného žáka? Proč se tak výrazným způsobem snižuje přidaná hodnota v matematice na druhém stupni základní školy? Nejsou požadavky na žáka příliš vysoké? Je matematice na základní škole věnován dostatečný prostor? Kde je hranice mezi objevováním v matematice a bezpodmínečným zapamatováním si již jedenkrát objeveného? Jaké procento žáků může pomýšlet na další studium ukončené maturitou z matematiky alespoň ve společné části maturitní zkoušky? Může střední škola při přiškrcené hodinové dotaci matematice doučit žáky nezvládnuté učivo základní školy? Nejsou zakotveny neúspěchy a nezájem našich vysokoškoláků o technické obory již v přístupu k výuce matematiky na základní škole? Je rozumné tyto problémy neřešit? Jak může pomoci CERT? strana 15

6) Varianta B testu z roku 2006 se statistickými výstupy Úloha 1.: max. 6 bodů Doplňte chybějící přirozená čísla. 1.1 30 150 = 20 1.2 0,24 = 6 9 1.3 2 < < < 3 2 Úloha 2.: max. 6 bodů Řešte rovnice: 2.1 7 x + x = 0 2 2.2 ( 2 1) 5 4 y = Úloha 3.: max. 3 body Renata si v agentuře přivydělává vypisováním údajů z dotazníků do počítače. Počet zpracovaných dotazníků ( d ) je přímo úměrný počtu minut (m ) strávených u počítače. Renata si změřila, že za 21 minut přepíše 6 dotazníků. V tabulce doplňte chybějící hodnoty. Počet minut ( m ) 21 28 Počet dotazníků ( d ) 4 6 14 strana 16

Úloha 4.: max. 3 body Zásoba krmiva dovezená na ranč vydrží šesti poníkům 8 dnů. Počet dnů (d ), během nichž se zásoba krmiva spotřebuje, je nepřímo úměrný počtu poníků ( p ) žijících na ranči. V tabulce doplňte chybějící hodnoty. Počet poníků ( p ) 6 16 Počet dnů ( d ) 8 6 4 Úloha 5.: max. 6 bodů 80 % všech návštěvníků fitcentra využívá slev. 3 všech návštěvníků chodí cvičit pravidelně. 4 Všichni návštěvníci, kteří chodí cvičit pravidelně, využívají slev. Doplňte řadovou číslovku ve větě: Ve fitcentru zaplatí plnou cenu každý......... návštěvník. V dalších větách doplňte chybějící čísla: Do fitcentra chodí pravidelně........... procent všech návštěvníků............ procent všech návštěvníků nechodí pravidelně cvičit, ale přesto využívá slev. Úloha 6.: max. 3 body Po zlevnění o 60 % se za vstupenku zaplatí 48 korun. Kolik korun by stála vstupenka bez slevy? Úloha 7.: max. 5 bodů Trojúhelníku ABC je opsána kružnice k. Sestrojte obraz B 1 bodu B v osové souměrnosti podle přímky CS. Sestrojte obraz A 2 C 2 úsečky AC ve středové souměrnosti podle středu S. strana 17

C S B k A Úloha 8.: max. 6 bodů Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). 1. Číslo 639 zvětšené o třetinu své hodnoty je dělitelné čtyřmi. 2. Každé číslo dělitelné šesti má ciferný součet dělitelný šesti. 3. Lichých čísel dělitelných dvěma je méně než sudých čísel dělitelných pěti. 4. Libovolné číslo dělitelné dvanácti je násobkem čtyř. VÝCHOZÍ TEXT K TABULCE A ÚLOHÁM 9 10 Pan doktor Dbalý si zaznamenává, kolik pacientů obou pohlaví v jednotlivých dnech ošetří. Takto vypadala tabulka v jednom týdnu. Pohlaví / den pondělí úterý středa čtvrtek pátek žena 20 15 27 32 35 muž 29 25 23 28 21 Úloha 9.: 2 body Jaký byl průměrný počet ošetřených pacientů na jeden den? A) 45 B) 49 C) 51 D) 57 strana 18

Úloha 10.: 2 body Ve středu lékař pracoval 6 hodin. Kolik času měl průměrně na jednoho pacienta? Údaj zaokrouhlete na celé minuty. A) 10 minut B) 9 minut C) 8 minut D) 7 minut Úloha 11.: 3 body Při plánování turistického výletu žáci použili mapu s měřítkem 1 : 50 000. Na mapě si vyměřili trasu délky 36 cm. Žáci chodí průměrnou rychlostí 4 km/h. Kolik času potřebují na projití trasy bez zastávek? A) Méně než 5 hodin. B) Od 5 do 6 hodin. C) Více než 6 hodin, ale maximálně 7 hodin. D) Více než 8 hodin. Úloha 12.: 3 body Podstavu pravidelného trojbokého hranolu tvoří rovnostranný trojúhelník. Velikost podstavné 2 hrany je a = 9 cm. Obsah pláště je S = 324 cm. Kolik centimetrů měří výška hranolu? A) méně než 12 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 18 cm pl Úloha 13.: V trojúhelníku ABC je AB = AC, úhel CAB má velikost 120 (viz C obrázek). Které tvrzení obsahuje správnou trojici vlastností daného trojúhelníka? A) Trojúhelník ABC je rovnoramenný, ostroúhlý a průsečík výšek leží uvnitř trojúhelníka. B) Trojúhelník ABC je rovnoramenný, tupoúhlý a průsečík výšek leží vně trojúhelníka. C) Trojúhelník ABC je rovnostranný, tupoúhlý a průsečík výšek leží vně trojúhelníka. D) Trojúhelník ABC je rovnoramenný, tupoúhlý a průsečík výšek leží uvnitř trojúhelníka. KONEC DIDAKTICKÉHO TESTU 2 body A strana 19 B

Hodnocení úspěšnosti v úlohách testu varianty B Úspěšnost v jednotlivých úlohách a podúlohách zobrazuje následující graf. Modrý (první) sloupec u každé úlohy, resp. červený (výsledek celého testu) představuje hodnotu průměrného skóre v procentech, druhý sloupec znázorňuje hrubou úspěšnost, tj. počet žáků (v procentech), kteří danou úlohu (případně celý test) zvládli bez chyby. 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1 1.1 1.2 1.3 2 2.1 2.2 3 4 5 5.1 5.2 5.3 6 7 7.1 7.2 8 8.1 8.2 8.3 8.4 9 10 11 12 13 Skóre Poznámka: Úloha 8 představuje svazek, který je složen ze čtyř dichotomických podúloh (odpovědi ANO NE). Za jednu chybu žák získává jen polovinu z maximálního počtu 6 bodů, za dvě chyby 1 bod a za více než 2 chyby se žádné body nepřidělují. Zdánlivě vysoká úspěšnost podúloh je ovlivněna náhodným skóre, které se z velké části eliminuje právě hodnocením úlohy jako svazku. Úlohy 1 7 jsou otevřené, zbývající úlohy 9 13 jsou uzavřené. Základním učivem při vstupu na druhý stupeň jsou zlomky. První dvě části úlohy 1 krácení a rozšiřování zlomků a převod desetinného čísla na zlomek zvládá asi polovina žáků. Současně s tím ještě porovnat zlomky s různými čitateli nebo jmenovateli dokáže méně než třetina žáků. Bezchybné řešení obou jednoduchých rovnic předvedla v úloze 2 asi třetina žáků. Alespoň jednu z obou rovnic vyřešilo bez chyby asi 65 % žáků. Nejúspěšnější je úloha 3 na doplnění tabulky přímé úměrnosti (73 % žáků řeší úlohu bez chyby). Pouze 27 % žáků řeší bez chyby podobnou úlohu 4 na nepřímou úměrnost! Velmi slabé výsledky byly dosaženy v netradiční, ale velmi jednoduché úloze 5. Pouze 11 % žáků se bezpečně orientuje v pojmech procentová část, procenta a dokáže porovnávat hodnoty popsané odlišným způsobem. Úloha sledovala porozumění naučeným pojmům. strana 20

V úloze 6 se procentuální počet aplikuje v praktické situaci. Postup výpočtu s využitím trojčlenky velká část žáků zvládla, problém však byl s určením základu. Bez chyby řeší úlohu asi 34 % žáků, i když průměrné skóre je, díky částečným řešením asi u dalších 18 % žáků, vyšší. Znalost pojmu dělitelnost a bezchybné užití znaků dělitelnosti v úloze 8 předvedla necelá čtvrtina žáků, se zaváháním úlohu řešilo dalších asi 30 % žáků. V uzavřených úlohách 9 13 byla změřena úspěšnost od 30 do 65 %. Z histogramů těchto úloh se nabízí tvrzení, že k výraznějšímu hádání se žáci uchýlili pouze u dvanácté, nejméně úspěšné úlohy. Ostatní úlohy se snažili řešit. Mezi uzavřenými algebraickými úlohami je nejméně obtížná úloha 9, operující s aritmetickým průměrem (úspěšnost je asi 62 %). Obtížnější je užití průměrné hodnoty pro délku časového intervalu a následné zaokrouhlení v následující úloze 10 (úspěšnost 39 %). Úloha 11 je srozumitelná praktická úloha využívající znalosti pojmu měřítko mapy. Úspěšnost 43 % však nevypovídá o jejím dostatečném zvládnutí. Samostatnou kapitolou jsou geometrické úlohy. Obě jednoduché konstrukční úlohy 7.1 a 7.2 (na středovou a osovou souměrnost) řeší bez chyby jen 10 % žáků. Základní vlastnosti zobrazeného trojúhelníku správně posoudilo v úloze 13 asi 64 % žáků. Tato úloha nevyžaduje tvořivou práci žáka. Kamenem úrazu se stala kombinovaná úloha 12, vyžadující základní znalost z početní geometrie (obsah pláště hranolu) a dovednost vyjádřit neznámou ze vzorce, případně vyřešit rovnici. Většina žáků výsledek spíše tipovala, čemuž napovídá histogram i hodnota úspěšnosti (30 % v uzavřené úloze). V následujícím grafu je znázorněno rozložení úspěšnosti v jednotlivých úlohách ve dvaceti stejně početných skupinách vytvořených a seřazených podle hodnoty průměrného skóre v testu (poslední položka). Je vidět, že některé úlohy jsou zvládnutelné i pro slabší žáky, jinde úspěšnost dramaticky klesá. strana 21

100% 80% 60% 40% 20% 0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Celkové skóre Vlastnosti trojúhelníku Hranol Mapa Průměrný čas Průměr pacientů Dělitelnost Geometrie zobrazení Zlevnění Cestující Nepřímá Přímá Rovnice Zlomky Úspěšnost celého testu lze názorně představit tabulkou rozdělení žáků na 100 skupin podle celkového skóre v testu. Pořadí skupiny 1. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. Body 50 43 39 35 32 30 28 25 24 22 20 Pořadí skupiny 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 90. 95. 100. Body 19 17 15 14 12 11 9 7 5 0 Téměř půl procenta žáků vyřešilo test bezchybně. Pouze 1 % studentů zvládá veškeré testované učivo minimálně s 90 % úspěšností. Asi 12 % všech žáků si ze základní školy odnáší velmi pěkné až výtečné vybavení v matematice (úspěšnost v testu 75 % až 100 %). Dalších 23 % dětí má ještě nadprůměrné výsledky. Alespoň 50% úspěšnosti v testu dosáhlo celkem 35 % žáků. Celých 40 % žáků má výsledky v dovednostech z matematiky slabší (úspěšnost v testu pod 50 % až do 25 %). Zbývající čtvrtina žáků je velmi slabých, matematikou téměř nedotčených. Další charakteristiky sledovaného souboru nám napoví, jaké jsou perspektivy zúčastněných žáků. strana 22

18000 Rozdělení počtu žáků podle známky z matematiky 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 2 3 4 5 80,0% Úspěšnost v testu podle známky z matematiky 70,0% 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0% 1 2 3 4 5 Korelace celkového skóre testu se známkou je poměrně vysoká. Překvapivé je jen to, že nejlepší skupina žáků dosahuje v testu jen 70% úspěšnosti. Zajímavá jsou i srovnání různých parametrů u žáků v jednom ze zúčastněných krajů. strana 23

Rozdělení počtu žáků v kraji podle známek z M 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 Asi 2 900 žáků dosáhlo nejhůře dvojky z matematiky. 2500 Rozdělení počtu žáků v kraji podle typu školy, na níž se hlásí 2000 1500 1000 500 0 Gymnázium Obchodní akademie SOŠ SOU s maturitou OU Jiný typ Na střední školu s maturitou (bez SOU s maturitou) se hlásí asi 3 700 žáků, z nich je více než 20 % trojkařů. strana 24

70,0% Úspěšnost v testu podle známek z M 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0% 1 2 3 4 5 70,0% Úspěšnost v testu podle typu školy, na níž se žáci hlásí 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0% Gymnázium Obchodní akademie SOŠ SOU s maturitou OU Jiný typ Na gymnázia se hlásí převážně jedničkáři z matematiky. Přesto dosahují v průměru jen 63% úspěšnosti v testu, což svědčí o nedostatcích v předpokládaných znalostech a dovednostech. Uchazeči o obchodní akademie a střední odborné školy již dosahují značně nízké úspěšnosti (asi 42 %), která na základní škole odpovídá známce 2 až 3. Autorky testu se domnívají, že pro strana 25

zdárné absolvování matematiky na střední škole s maturitou by měli žáci dosáhnout alespoň 50% úspěšnosti v testu. Na střední odborná učiliště s maturitou se hlásí žáci, jejichž výsledek v testu je již na hranici cut off score, tj. na hranici úspěšného absolvování testu. Jsou mezi nimi žáci, kteří mají v průměru známku na vysvědčení 3 a horší. Závěr: Zjištěná úroveň znalostí žáků devátých tříd je s ohledem na jejich budoucí studijní ambice alarmující. 7) Doporučení, odkazy a nabídky dalších evaluačních nástrojů V roce 2006 začaly vznikat díky systémovému projektu Kvalita I, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem, a ve spolupráci s expertními skupinami pedagogů ze základních i středních škol tématické testy k ověřování výsledků vzdělávání na těchto typech škol. Tyto testy by měly být po svém dokončení umístěny na webových stránkách Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání. Měly by být po zadání IZO školy a hesla k dispozici všem pedagogům, kteří si budou chtít ověřit pomocí standardizovaného prostředku míru osvojení znalostí a dovedností daného tématického oboru u svých žáků. Prvním celkem zpracovávaným z učiva ZŠ jsou Racionální čísla, obdobným tématem pro žáky SŠ jsou Úpravy rovnic, vedoucí k vyjádření neznámé veličiny. O tom, zda jsou testy již k dispozici, se jistě dozvíte také na webu CERTu. Kromě těchto tématických testů se připravují další evaluační nástroje, které by přispěly k potřebnému hodnocení vzdělávacích výstupů ŠVP (zpracovaných podle RVP) tak, aby bylo možné posoudit nejen znalosti žáků, ale i jejich dovednosti a stupeň osvojení jednotlivých kompetencí. O všech uvedených nabídkách je možné se průběžně informovat na uvedených kontaktech. strana 26