MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY Konstrukční úlohy v geometrii na 1. stupni ZŠ Diplomová práce Brno 2008 Vedoucí práce: RNDr. Květoslava Matoušková, CSc. Autor práce: Andrea Smuszová 1
Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracoval/a samostatně a použil/a jen prameny uvedené v seznamu literatury. V Brně 7. 7. 2008 Andrea Smuszová... 2
Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala paní RNDr. Květoslavě Matouškové, CSc za její vedení a spolupráci při vytváření této diplomové práce. A také bych zde chtěla poděkovat své rodině za jejich podporu a toleranci. 3
Obsah ÚVOD.. 5 1. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V GEOMETRII 6 1. 1. POMŮCKY PŘI REALIZACI KONSTRUČNÍCH ÚLOH. 6 1. 2. EUKLEIDOVSKÉ KONSTRUKCE. 7 1. 3 ŘEŠENÍ KONSTRUKČNÍCH ÚLOH. 8 1. 4. TŘÍDĚNÍ KONSTRUKČNÍCH ÚLOH.. 10 1. 5. METODY ŘEŠENÍ KONSTRUKČNÍCH ÚLOH.. 12 2. RÁMCOVÝ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ 16 2. 1. CO JE TO RÁMCOVÝ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM 16 2. 2. VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE.. 17 3. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V UČIVU 1. STUPNĚ ZŠ. 22 3. 1. POUŽITÉ UČEBNICE.22 3. 2. ELEMENTÁRNÍ KONSTRUKČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ NA 1. STUPNI ZŠ..24 ZÁVĚR.. 62 RESUMÉ 63 SUMMARY... 64 POUŽITÁ LITERATURA...65 SEZNAM PŘÍLOH... 67 PŘÍLOHY 4
1. ÚVOD Proč konstrukční úlohy v geometrii pro 1. stupeň základní školy? Při výběru diplomové práce mne zaujalo toto téma, protože jsem si ihned vzpomněla na svoje školní léta a na výborného učitele, který mne na 1. stupni učil. Podle mne to byl člověk na svém místě. Žáci ho měli rádi a respektovali ho. Byl přísný a zároveň spravedlivý a myslím si, že to byl nejlepší kantor, kterého jsem za svá léta strávená na základní škole potkala. Vždy když začala hodina geometrie, neodpustil si malý testík, kterému říkal desetiminutovka. Kontroloval si tímto, co jsme si zapamatovali z minulých hodin. A mne fascinovalo obrovské pravítko a kružítko, kterým rýsoval na tabuli. Geometrické útvary jsou všude kolem nás. Setkáváme se s nimi již od narození a provázejí nás celým životem. Už v dětství máme kolem sebe hračky, které mají tvary geometrických těles a jsou součástí našeho života. Různá chrastítka, která mají tvary koule nebo kruhu, dětské skládací kostky, které mají tvary krychle, kvádru, jehlanu či kužele. Proto si myslím, že geometrie je nezastupitelná v našem životě. Ve své práci chci shrnout teoretické učivo o konstrukčních úlohách, uvést rámcový vzdělávací program pro základní školy, se zaměřením na geometrii. Dále chci uvést klíčové kompetence. Chci vybrat konkrétní konstrukční úlohy, se kterými se setkávají žáci na první stupni základní školy. Tyto konstrukční úlohy budu čerpat z učebnic matematiky pro první stupeň základní školy. Vybrané mám dvě řady učebnic pro 1. stupeň základní školy, a to od nakladatelství Alter a Prometheus. Tyto učebnice lehce odlišné, ale obě velmi kvalitní. Cílem mé práce je vybrat ukázky konstrukčních úloh z těchto učebnic a provést samotnou konstrukci. Eventuelně doplnit tyto konstrukce o metodické řady, tj. dílčí úlohy, na kterých si žáci mohou osvojit problematiku řešení konstrukčních úloh. V závěru své práci chci uvést několik písemných testů, které vypracovávali sami žáci. 5
1. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V GEOMETRII Od 1. stupně základní školy se žáci setkávají s úkoly typu sestrojte geometrický útvar, a právě tyto úlohy jsou nazývané konstrukčními úlohami. Tyto úlohy se zabývají sestrojením určitého útvaru za určitých daných podmínek. Nedůležitější ovšem není samotné narýsování daného útvaru, ale samotné řešení konstrukční úlohy. ([2], s. 48): Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, která vyžaduje sestrojit jistý geometrický útvar (alespoň jeden, případně všechny geometrické útvary) splňující dané podmínky. 1. 1. Pomůcky při realizaci konstrukčních úloh K nejčastějším pomůckám při realizaci konstrukčních úloh patří pravítko a kružítko. Použití těchto pomůcek je stanoveno úmluvami: a) Podle pravítka rýsujeme přímku ( část přímky ), která spojuje dva známé body. b) Pomocí kružítka rýsujeme kružnici, střed kružnice je známý bod a poloměr je dán dvěma známými body. c) Vyjdeme z jisté skupiny daných bodů další body sestrojujeme jako společné body narýsovaných přímek a kružnic, pokud tyto body existují. (srovnej [1], s. 182) Konstrukce, které provádíme pouze těmito dvěma rýsovacími potřebami, se nazývají eukleidovské konstrukce. Při řešení konstrukčních úloh můžeme použít rýsovací náčiní rýsovací náčiní se nazývá v teorii geometrických konstrukcí názvem prostředky, proto se hovoří o konstrukcích danými prostředky. Mezi rýsovací prostředky patří: Kružítko konstrukční úmluvy jsou tyto: a) Pomocí kružítka sestrojíme kružnici, jejíž střed je známý a poloměr je dán dvěma známými body. 6
b) Sestrojíme body, které jsou společné již narýsovaným konstrukcím. Rovnoběžkové pravítko je pravítko s dvěma přímými hranami, které jsou navzájem rovnoběžné a jejichž vzdálenost je v. Konstrukční úmluvy jsou tyto: a) Sestrojíme přímku jako spojnici dvou sestrojených bodů. b) Určíme bod, který je společný dvěma sestrojeným různoběžným přímkám. c) K sestrojené přímce rýsujeme rovnoběžku ve vzdálenosti v. d) Dvěma danými body, kde jejich vzdálenost je rovna nebo větší v, sestrojíme dvě rovnoběžné přímky o vzdálenosti v. Úhlové pravítko to je trojúhelníkové pravítko, jehož dvě strany svírají dutý úhel dané velikosti α, ve škole se užívá pravoúhlé trojúhelníkové pravítko. Konstrukční úmluvy jsou tyto: a) a b) Jsou stejné jak u rovnoběžkového pravítka. c) Sestrojeným bodem sestrojíme druhé rameno úhlu velikosti α, jehož první rameno leží na narýsované přímce. d) Sestrojíme vrchol úhlu velikosti α, jehož ramena procházejí dvěma známými body. Jednotkové pravítko, tj. přímé pravítko, na jehož hraně jsou vyznačeny dva body E 1 a E 2 jejichž vzdálenost je daná jednotková úsečka e. Dané úmluvy jsou tyto: a) a b) Jsou stejné jako u rovnoběžkového pravítka. c) Na sestrojené přímce sestrojíme dva body, které mají od jejího známého dobu vzdálenost e. d) Určujeme společné body sestrojené přímky a nenarýsované kružnice, která má střed ve známem bodě a její poloměr je e. (srovnej [1], s. 184) 1. 2. Eukleidovské konstrukce Konstrukce, které provádíme pravítkem a kružítkem, nazýváme eukleidovské konstrukce. 7
Základními eukleidovskými konstrukcemi rozumíme: 1. - Sestrojíme přímky procházející dvěma danými různými body. - Sestrojíme kružnice o daném středu a poloměru. - Určíme bod jako společný bod dvou různoběžných přímek. - Určíme bod jako společný bod kružnice a přímky. - Určíme bod jako společný bod dvou kružnic. 2. Některé další jednodušší konstrukce vytvořené jistou posloupností výše uvedených pěti základních konstrukcí, a to tyto: - Přeneseme dané úsečky na danou polopřímku. - Sestrojíme kolmice k dané přímce tak, aby procházela daným bodem. - Přeneseme konvexní úhel k dané polopřímce do dané poloroviny. - Sestrojíme střed úsečky. - Rozdělíme úsečky na n stejných dílů. - Sestrojíme osy úsečky. - Sestrojíme osy úhlu. (srovnej [2], s. 48) Poznámka: Mascheroniovy konstrukce V literatuře se uvádí, že je možné konstrukce provádět jen jedním kružítkem, tyto konstrukce se nazývají konstrukce Mascheroniovy. Každou eukleidovskou konstrukci lze provést jen kružítkem jde tedy vypustit přímé pravítko a nechat jen kružítko, a to aniž se zmenší okruh řešitelných konstruktivních úloh. Pokud chceme dokázat, že každou eukleidovskou konstrukci lze provést jen s použitím jen kružítka (mascheroniovsky), musíme dokázat, že jen kružítkem sestrojíme každou ze základních eukleidovských konstrukcí. Tyto důkazy jsou však velmi zdlouhavé. (srovnej [1], s. 186) 1. 3. Řešení konstrukčních úloh ([2], s. 49): Řešení konstrukční úlohy spočívá v nalezení takové posloupnosti základních konstrukcí, která umožní sestrojit všechny neznámé body nebo útvary. 8
Řešení konstrukčních úloh se provádí ve 4 krocích, tzv. fázích. ([3], s. 90): Fáze řešení konstrukčních úloh: 1. Rozbor neboli analýza. 2. Sestrojení neboli konstrukce. 3. Zkouška anebo zdůvodnění konstrukce. 4. Diskuse. Rozbor: Úkolem rozboru je nalézt souvislosti mezi danými a hledanými prvky. Tyto souvislosti umožňují objevit posloupnost konstrukcí., při jejichž realizaci sestrojíme hledané body nebo útvary. Nejprve si uděláme náčrt situace a do něho zakreslíme jak dané, tak i hledané prvky. V náčrtu si označíme i další geometrické útvary (přímky, kružnice, body), které budou využity při řešení konstrukční úlohy. Při řešení konstrukčních úloh, bychom měli předpokládat, že je úloha řešitelná. Konstrukce: Nejdříve musíme vyslovit předpis posloupnost základních konstrukcí, podle kterého vytvoříme požadovaný geometrický útvar - grafické znázornění. Také se může stát, že útvar nelze sestrojit podle konstrukčního předpisu, nevyhovuje tedy podmínkám, proto není řešením úlohy. Zkouška: Ověřujeme, zda všechny body nebo útvary splňují všechny požadavky dané zadáním úlohy. Diskuse: Používá se tehdy, když se řeší množina úloh, tj. jsou-li v úloze proměnné prvky parametry. Stanovují se podmínky řešitelnosti a provádí se roztřídění na množiny úloh úlohy neřešitelné, úlohy s jedním řešením, dvěma výsledky atd. Vše je na základě parametrů, které se vyskytují v úloze. (srovnej [3], s. 90) 9
1. 4. Třídění konstrukčních úloh Konstrukční úlohy třídíme podle různých hledisek. Jedním ze způsobů je třídění na úlohy s jedním neznámým bodem a na úlohy se dvěma a více neznámými body. Konstrukční úlohy se dále třídí na úlohy polohové a nepolohové. Konstrukčních úlohy dělíme zpravidla takto: Úlohy s jedním, dvěma a více neznámými body spočívají v nalezení jednoho či více neznámých bodů, tyto body určují geometrický útvar. Úlohy polohové zde je dána poloha daných prvků. Úlohy nepolohové není zde dána poloha žádného z daných prvků, umístěním některého z daných prvků ( bodu, úhlu, ), můžeme nepolohovou úlohu převést do polohové, tomuto se říká lokalizace nepolohové úlohy, při lokalizaci je třeba zvolit nejvýhodnější způsob řešení úlohy. (srovnej [2], s. 49, 50) Jako ukázku uvedeme řešení polohové a nepolohové úlohy s jedním neznámým bodem. 1) Nepolohová úloha s jedním neznámým bodem C: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 6 cm, AC = b = 7 cm, v c = 2 cm. (srovnej [2], s. 52) Rozbor: Pro bod C platí: 1. C M 1, kde M 1 je množina všech bodů, které mají od přímky AB vzdálenost v c, tj. množina M 1 je sjednocení dvou rovnoběžek m 1, m 2 s přímkou AB a m 1, AB = m 2, AB = v c. 2. C M 2, kde M 2 je kružnice k se středem A a poloměrem b. Pro bod C tedy platí: C M 1 M 2. Náčrt: Postup: 1. AB; AB = 6 cm 2. M 1 ; M 1 = { X ς ; X, AB = v c } 3. M 2 ; M 2 = k (A,b) 10 4. C; C M 1 M 2
Konstrukce: 5. ABC Zkouška: Pokud C M 1 m 2 a M 1 M 2, splňuje bod C požadavky zadání lokalizované úlohy a ABC má tedy vlastnosti požadované zadáním. 2) Polohová úloha s jedním neznámým bodem střed kružnice S: Je dána úsečka KL, Sestrojte všechny trojúhelníky KLM, znáte-li velikosti výšek v k a v l. (srovnej [2], s. 55) Rozbor: Označíme N patu výšky v k na přímce KL, O patu výšky v l na přímce KM. Body N, O leží na Thaletově kružnici a průměrem KL. Bod N dále leží na kružnici g(k, v k ), bod O leží na kružnice h(l, v l ). Pro body N, O tedy platí: N k g, O k h. Vrchol trojúhelníka KLM leží na přímkách KN a LO. Náčrt: Postup: 1. k; k je Thaletova kružnice nad KL 2. g; g (K, v k ) 3. N; N k g 4. h; h (L, v l ) 5. O; O k h 6. M; M KN LO 7. KLM 11
Konstrukce: Zkouška: Z rozboru úlohy plyne, že K, MN = v k, L, KO = v l. Je-li M KO LN, pak trojúhelník KLM splňuje zadání. 1. 5. Metody řešení konstrukčních úloh Při řešení konstrukční úlohy můžeme používat různé metody. Metody řešení KÚ: 1. Konstrukce metodou množin všech bodů s danou vlastností neznámé body se určují jako prvky průniku dvou takových množin. 2. Konstrukce metodou zobrazení užití geometrických zobrazení, kde si některé dané nebo hledané útvary odpovídají jako vzor a obraz. 3. Konstrukce algebraicko-geometrickou metodou při těchto úlohách používáme výpočty některých prvků. (srovnej [2], s. 50) Uvedeme příklady řešení konstrukčních úloh těmito metodami: 1) Konstrukce metodou množin všech bodů: Sestroj trojúhelník ABC, kde stran AB = 5 cm, β = 70º, BC = 4cm. Rozbor: Trojúhelník ABC rýsujeme podle věty sus. 12
Náčrt: Konstrukce: Postup: 1. AB; AB = 5 cm 2. ABX; ABX = 70 3. C; C BX; BC = 4 cm 4. ABC Zkouška: Trojúhelník ABC má zadané všechny body, proto splňuje zadání. 2) Konstrukce metodou zobrazení: Jsou dány tři navzájem různé přímky p, q, r. Na přímce p sestrojte bod P tak, aby bod Q k němu souměrný podle přímky r ležel na přímce q. (srovnej [2], s. 75) Rozbor: Tato úloha je polohová se dvěma neznámými body P, Q, které si odpovídají jako vzor a obraz v osové souměrnosti s osou na přímce r. Bod P má ležet na přímce p a bod Q na přímce q. Protože nevíme, jaký bod přímky p je hledaným bodem P, zobrazíme v osové souměrnosti osou r všechny body přímky p. Bod P sestrojíme jako bod souměrně sdružený s bodem Q podle přímky r. Náčrt: Postup: 1. p ; O (r) : p p 2. Q; Q p q 3. P; O (p) : Q P 13
Konstrukce: Zkouška: Z konstrukce plyne, že body P,Q jsou souměrně sdružené pole přímky r, rovněž přímky p, p jsou souměrně sdružené podle přímky r a bod Q p q. Bod P tedy leží na přímce p. Body P, Q tedy splňují požadavky zadání úlohy. 3) Konstrukce algebraicko-geometrickou metodou: Sestroj rovnoramenný trojúhelník PQR, kde PQ = 5 cm a PRQ = 70 Rozbor: Protože neznáme velikosti úhlu QPR a úhlu PQR, provedeme jednoduchý výpočet úhlů trojúhelníku PQR. Víme, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 odečteme úhel PRQ a výsledek vydělíme dvěma, protože víme, že rovnoramenný trojúhelník má shodnou velikost úhlů. 180 70 = 110 110 : 2 = 55 RPQ = α = 55 a PQR = β = 55 Trojúhelník narýsujeme a provedeme zkoušku změřením úhlu PRQ. Náčrt: Postup: 1. PQ; /PQ/ = 5 cm 2. QPX; QPX = α = 55 3. PQY; PQY = β = 55 4. R; R PX RY 5. PQR 14
Konstrukce: Zkouška: Protože součet velikostí úhlů v trojúhelníku PQR splňuje 180 a víme, že rovnostranný trojúhelník má úhly PQP a PQR shodné. Narýsovaný trojúhelník PQR splňuje zadání. 15
2. RÁMCOVÝ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ 2. 1. Co je to rámcový vzdělávací program? V roce 2004 schválilo MŠMT nové principy pro vzdělávání žáků od 3 do 19 let. Tyto nové principy byly nazvány Rámcové vzdělávací programy. Tyto programy nahradily stávající platné učební osnovy, podle kterých se do konce školního roku 2006/2007 vyučovalo. Z RVP vychází školní vzdělávací program, který si všechny základní školy v České republice měly za povinnost připravit do začátku školního roku 2007/2008. Rámcový vzdělávací program vychází z nového pojetí vzdělávání. Učitelé již nejsou vázáni na tradiční osnovy, kterých se museli držet, protože zde není uvedeno co se má probrat, ale jaké dovednosti mají žáci získat. Lze tedy učivo upravovat tak, aby žáci splnily základní cíle výuky. RVP vychází z nové strategie vzdělávání, kde jsou zdůrazněny klíčové kompetence, jejich provázanost s obsahem vzdělávání a uplatněním získaných vědomostí a dovedností v praktickém životě. Klíčové kompetence jsou souhrnem vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot významných pro rozvoj osobnosti a uplatnění se v běžném životě. Za klíčové kompetence v etapě základního vzdělávání jsou považovány: kompetence k učení, kompetence k řešení problémů, kompetence komunikativní, kompetence sociální a personální, kompetence občanské a kompetence pracovní. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání je rozdělen do devíti vzdělávacích oblastí. Jednotlivé vzdělávací oblasti jsou tvořeny jedním nebo více obsahově blízkými vzdělávacími obory: - Jazyk a jazyková komunikace ( Český jazyk a literatura, Cizí jazyk) - Matematika a její aplikace (Matematika a její aplikace) - Informační a komunikační technologie (Informační a komunikační technologie) - Člověk a jeho svět (Člověk a jeho svět) - Člověk a společnost (Dějepis, Výchova k občanství) - Člověk a příroda (Fyzika, Chemie, Přírodopis, Zeměpis) - Umění a kultura (Hudební výchova, Výtvarná výchova) - Člověk a zdraví (Výchova ke zdraví, Tělesná výchova) - Člověk a svět práce (Člověk a svět práce). (srovnej [16]) 16
2. 2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je založena především na aktivních činnostech. Tyto činnosti jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky ve skutečných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti, které jsou potřebné v praktickém životě, čímž umožňuje získat matematickou gramotnost. Prolíná se celým základním vzděláváním a vytváří předpoklady pro další úspěšné studium. Při vzdělávání je kladen důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým postupům a pojmům matematiky. Žáci si osvojují některé pojmy, algoritmy, symboliku, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. (srovnej [15]) Tematické okruhy oblasti Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tematické okruhy. 1. Čísla a početní operace tento okruh se vyučuje na 1. stupni a navazuje na něj tematický okruh Číslo a proměnná na 2. stupni. 2. Číslo a proměnná tento okruh navazuje na druhém stupni na Čísla a početní operace, zde si žáci osvojují aritmetické operace ve třech složkách: dovednost provádět operaci. 1. Algoritmické porozumění (proč se operace provádí předloženým postupem). 2. Významové porozumění (umět operaci propojit s reálnou situací). 3. Závislosti, vztahy a práce s daty tento okruh se věnuje určitým typům změn a závislostí v reálném světe a jejich reprezentacím. Žáci si uvědomují změny a závislosti známých jevů a docházejí k pochopení. Změny a závislosti si analyzují z tabulek, diagramů a grafů. Žáci je v jednoduchých případech konstruují a vyjadřují matematický předpis nebo je podle možností modelují s využitím vhodného počítačového software nebo grafických kalkulátoru. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce. 4. Geometrie v rovině a v prostoru žáci zde určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají odlišnosti a podobnosti útvarů. Vše se srovnává a vyhledává ve skutečných situacích. Uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (prostoru), porovnávají, odhadují, měří délku, velikost úhlů, obvody a obsahy (povrchy a objemy) a zdokonalují svůj grafický projev. 17
K důležitým součástem matematického vzdělávání patří Nestandardní aplikační úlohy a problémy, řešení těchto úloh a problémů je do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, ale je nutné u nich uplatnit logické myšlení. Tyto úlohy by se měly prolínat všemi okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Řeší se zde problémové situace a úlohy z běžného života. Patří sem slovní úlohy: 1. Číselné a obrázkové řady. 2. Magické čtverce. 3. Prostorová představivost. (srovnej [15]) Učivo a výstupy tematického okruhu Geometrie v rovině a prostoru pro 1. stupeň ZŠ Nyní si představíme tematický okruh Geometrie v rovině a prostoru pro první stupeň ZŠ, jeho učivo a uvedeme očekávané výstupy. ( [15] ) : Učivo: Základní útvary v rovině - lomená čára, přímka, polopřímka, úsečka, čtverec, kružnice, obdélník, trojúhelník, kruh, čtyřúhelník, mnohoúhelník. Základní útvary v prostoru - kvádr, krychle, jehlan, koule, kužel, válec. Délka úsečky; jednotky délky a jejich převody. Obvod a obsah obrazce. Vzájemná poloha dvou přímek v rovině. Osově souměrné útvary. Očekávané výstupy v 1. období: Žák Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa; nachází v realitě jejich reprezentaci. Porovnává velikost útvarů, měří a odhaduje délku úsečky. 18
Rozezná a modeluje jednoduché souměrné útvary v rovině. Očekávané výstupy v 2. období: Žák: - Narýsuje a znázorní základní rovinné útvary (čtverec, obdélník, trojúhelník a kružnici); užívá jednoduché konstrukce. - Sčítá a odčítá graficky úsečky; určí délku lomené čáry, obvod mnohoúhelníku sečtením délek jeho stran. - Sestrojí rovnoběžky a kolmice. - Určí obsah obrazce pomocí čtvercové sítě a užívá základní jednotky obsahu. - Rozpozná a znázorní ve čtvercové síti jednoduché osově souměrné útvary a určí osu souměrnosti útvaru překládáním papíru. Klíčové kompetence ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace Dle RVP musí být splněny i klíčové kompetence. Kompetence k učení: - Žáci si vybírají a využívají pro efektivní učení vhodné způsoby, metody a strategie - Žáci vyhledávají a třídí informace a efektivně je využívá v procesu učení - Žáci operují s obecně užívanými termíny, znaky a symboly - Žáci samostatně pozorují a experimentují, získané výsledky porovnávají - Žáci poznávají smysl a cíl učení, mají pozitivní vztah k učení Kompetence k řešení problémů: - Žáci vnímají nejrůznější problémové situace, vyhledávají informace vhodné k řešení problému 19
- Žáci ověřují prakticky správnost řešení problémů a osvědčené postupy aplikuje při řešení odborných nebo nových problémových situací Kompetence pracovní: - Žáci používají bezpečně a účinně materiály, nástroje a vybavení, dodržuje vymezená pravidla (srovnej [4], s. 164) Vzdělávání v dané vzdělávací oblasti směřuje k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žáka k: ([15]): 1) Využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech - odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, orientace. 2) Rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů. 3) Rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím řešení matematických problémů. 4) Rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů. 5) Vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu. 6) Vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely. 7) Provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku 20
vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému. 8) Přesnému a stručnému vyjadřování užíváním matematického jazyka včetně symboliky, prováděním rozborů a zápisů při řešení úloh a ke zdokonalování grafického projevu. 9) Rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života a následně k využití získaného řešení v praxi; k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby. 10) Rozvíjení důvěry ve vlastní schopnosti a možnosti při řešení úloh, k soustavné sebekontrole při každém kroku postupu řešení, k rozvíjení systematičnosti, vytrvalosti a přesnosti, k vytváření dovednosti vyslovovat hypotézy na základě zkušenosti nebo pokusu a k jejich ověřování nebo vyvracení pomocí protipříkladů. 21
3. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V UČIVU 1. STUPNĚ ZÁKLADNÍ ŠKOLY V této kapitole se budu zabývat konstrukčními úlohami, které jsou řešeny na prvním stupni základní školy. 3. 1. Použité učebnice Ke zpracování diplomové práce jsem si vybrala dvě řady učebnic pro 1. stupeň základní školy, a to od nakladatelství Alter a Prometheus. Každá řada učebnic má jiné pojetí a je jinak zpracována. Řada učebnic z nakladatelství Alter má rozdělené učivo na aritmetiku a geometrii. Geometrické úlohy jsou vždy označeny. Učebnice Matematika 3. Matematika 5. ročník jsou zásobníkem učiva, ze kterého si budou školy vybírat podle svých Školních vzdělávacích programů. Dle těchto učebnic by měli žáci ovládat očekávané výstupy stanovené v RVP ZV a přirozeně rozvíjet klíčové kompetence. Učebnice doplňují pracovní sešity, které jsou vhodné ke splnění těchto cílů. Pro pomoc učitelům jsou zpracovány a vydány i metodické příručky. Úlohy a zadání jsou sestaveny tak, aby umožňovaly získat žákům potřebné vědomosti a dovednosti. Zpracování této učebnice je založeno na aktivních činnostech, skupinové i samostatné práci. Konstrukční úlohy jsou vždy uvedeny s jejich popisem. U každé konstrukce má žák dáno přesné zadání. Tyto učebnice matematiky považuji za velmi kvalitní, a to nejen proto že jsou přehledné, ale i proto že zahrnují různé činnosti a splňují podmínky RVP. Učebnice z nakladatelství Prometheus vnímají konstrukční úlohy poněkud jinak než učebnice z nakladatelství Alter. Ne všechny konstrukční úlohy mají přesné zadání a označení. Úlohy jsou koncipovány tak, aby dítě rozvíjelo svoji představivost a fantazii. Přesto se jedná o velmi zajímavé úlohy a jejich zadávání je mnohdy provázeno i samotnou konstrukcí, aby si žák lépe představil, jak má jeho výsledná práce vypadat. Náměty a motivace jsou čerpány z dětských zkušeností z domova a z dětských her, z pohádek a písniček. Geometrie není pojata jako samostatná složka, ale vhodně dotváří aritmetické pojmy. Učebnice se nazývá Svět čísel a tvarů. Matematika pro 1. až 5. ročník základní školy má i své pracovní sešity, sadu příloh pro vystřihování a pro 22
učitele vypracovanou metodickou příručku. Vše společně doplňuje, procvičuje a upevňuje učivo. Všechny učebnice nakladatelství Prometheus mají platnou schvalovací doložku MŠMT a jsou zpracovány v souladu s Rámcovým vzdělávacím programem. I tyto učebnice jsou rovněž velmi dobře zpracovány. Odlišují se od učebnic nakladatelství Alter tím, že striktně neoddělují aritmetiku a geometrii a nemají přesně formulováno zadání. V této kapitole se budu zajímat o konstrukční úlohy, které najdeme ve výše uvedených učebnicích matematiky pro 3. až 5. ročník základní školy. Budou zde uvedeny konstrukce následujících geometrických útvarů, které jsou v učebnicích zavedeny a definovány. - Bod, úsečka, přímka a polopřímka - Různoběžky, rovnoběžky a kolmice - Osa úsečky - Kružnice - Trojúhelník, pravoúhlý trojúhelník - Čtverec, obdélník, rovnoběžník - Šestiúhelník U těchto konstrukcí provedeme vždy základní konstrukce, uvedeme vhodné metodické řady sloužící k procvičení a zvládnutí konstrukcí se zvyšující se obtížností a eventuelně další aplikace. 23
3. 2. Elementární konstrukční úlohy řešené na 1. stupni ZŠ Bod Základní prvek v geometrii se kterým se žáci poprvé setkávají ve 2. třídě. Žáci se body učí vyznačovat křížkem a popisovat písmeny velké psací abecedy. Příklady: Vyznač body A, B, C a D. Přímka Rýsování přímky provádíme postupně s tímto zadáním: 1. Rýsujeme libovolnou přímku. 2. Rýsujeme přímku procházející jedním bodem. 3. Rýsujeme přímku procházející dvěma. 4. Rýsujeme přímku, která je určena dvěma body a vyznačujeme další body, které na této přímce leží a takové body, které na ní neleží. Úlohy: Narýsuj libovolnou přímku a. Vyznač bod L. Narýsuj několik přímek, které bodem L procházejí. (srovnej [4], s. 9) Vyznač dva různé body K, L. Narýsuj přímku, která prochází body K, L. Napiš, kolik takových přímek můžeš narýsovat. (srovnej [4], s. 9) Mohu narýsovat 1 přímku, která prochází body K, L. 24
Narýsuj přímku p. Vyznač body A, B, C, D, které leží na přímce p. Dále vyznač body K, L, které na přímce neleží. (srovnej [4], s. 9) Vyznač body K, L, M, N, které neleží v jedné přímce. Narýsuj přímky KL, KM, KN. (srovnej [4], s. 9) Vyznač čtyři různé body A, B, C, D. Sestroj všechny přímky, které procházejí vždy dvěma z těchto bodů. Kolik přímek jsi narýsoval a jaké? (srovnej [4], s. 9) Narýsoval jsem přímek, a to přímky.,..,..,.,.,.. Úsečka Rýsování úsečky nacvičujeme postupně: 1. Rýsujeme libovolnou úsečku s danými krajními body. 2. Rýsujeme úsečku, která ma danou délku. Úlohy: Vyznač dva různé body K, L. Narýsuj úsečku KL a urči její délku. (srovnej [4], s. 18) /KL/ = 25
Narýsuj libovolnou přímku n. Zvol na ní bod A. Na přímce n sestroj úsečku AB tak, aby /AB/ = 5 cm. (srovnej [4], s. 18) Narýsuj úsečku MN, jejíž délka je 6 cm Polopřímka Polopřímku rýsujeme stejně jako přímku, ale žáci si musí uvědomit, že polopřímka na rozdíl od přímky má vždy svůj počátek, který je označen bodem. Úlohy: Narýsuj přímku n. Na přímce n vyznač bod A. Vyznač na této přímce barevně dvě polopřímky, které mají počátek v bodě A. Napiš názvy vyznačených polopřímek. (Žáci narýsují dvě polopřímky se společným počátkem a vyznačí na přímce n další dva body, pomocí kterých polopřímky pojmenují.) (srovnej [4], s. 25) Napiš názvy vyznačených polopřímek polopřímka... polopřímka... Narýsuj polopřímku k, její počátek označ bodem K. 26
Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Dvě přímky v rovině jsou buď rovnoběžné, nebo různoběžné. Různoběžky Postupně provádíme konstukce podle následujících zadání: 1. Rýsujeme různoběžky, které se protnou a žák to může při rýsování vidět. 2. Rýsujeme různoběžky, které se protnou, ale žák to u narýsovaných různoběžek nevidí. 3. Různoběžky můžeme použít k dalším aplikačním úlohám. Úlohy: Narýsuj dvě dvojice různoběžných přímek. Tyto přímky popiš a, b, c, d. Vzniklé průsečíky přímek K, L. (srovnej [12], s. 28) Narýsuj různoběžky o, p tak, abys nenarýsoval jejich průsečík. Narýsuj různoběžné přímky a, b, c tak, aby se protnuly v jednom bodě, tento bod označ A. Aplikační úloha: Narýsuj přímky k, l, m tak, aby každé dvě byly různoběžné. Jejich průsečíky jsou vrcholy trojúhelníku KLM. (srovnej [12], s. 28) 27
Rovnoběžky: Rovnoběžky rýsujeme dvěma způsoby: 1. Rovnoběžky rýsujeme pomocí rovného pravítka nebo do čtvercové sítě. 2. Rovnoběžky rýsujeme pomocí rovného pravítka a trojúhelníku. Metodická řada při rýsování rovnoběžek: a) Rýsujeme libovolné rovnoběžky. b) Rýsujeme rovnoběžky, které prochází danými body. Úlohy: - Rýsování pomocí rovného pravítka nebo čtvercové sítě. Narýsuj dvě rovnoběžky a, b pomocí dvou stran pravítka. (srovnej [12], s. 28) Narýsujte podle dvou různě širokých pravítek dvě dvojice rovnoběžných přímek a, b, c, d. Průsečíky různoběžných přímek jsou vrcholy rovnoběžníku ABCD. (srovnej [12], s. 28) Na čtverečkovaný papír narýsuj: a) rovnoběžné přímky a, b b) různoběžné přímky p, k, l, m, n. (srovnej [4], s. 38) 28
- Rýsování rovnoběžek použitím rovného pravítka a trojúhelníku. Sestroj přímku p a přímku l, která je rovnoběžná s přímkou p. Náčrt: (srovnej [5], s. 39) (Rýsujeme podle obrazového návodu v učebnici.) - K sestrojené přímce p přiložíme trojúhelník nejdelší stranou a k němu těsně pravítko. - Trojúhelník posuneme podél pravítka a sestrojíme přímku l. Narýsuj přímky a, b, c v různých polohách a narýsuj přímky k, l, m tak, aby k // a, l // b, m // c. (srovnej [5], s. 39) 29
Zvol si body A, B, C tak aby neležely na jedné přímce. Narýsuj přímku AB. Potom bodem C veď přímku c, tak aby byla rovnoběžná s přímkou AB. (srovnej [5], s. 44) Narýsuj přímku l a bod P, který neleží na přímce l. Bodem P narýsuj přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou l. (srovnej [5], s. 44) 30
Kolmice Rýsování kolmých přímek provádíme úlohami seřazenými do následující metodické řady: 1. Rýsujeme libovolné kolmice. 2. Rýsujeme kolmice, které procházejí daným bodem. Úlohy: Narýsuj kolmé přímky k, l. Náčrt: (srovnej [5], s. 29) (Rýsujeme podle návodu uvedeného v učebnici.) - narýsuj přímku k - k přímce k přilož trojúhelník tak, aby se ryska kryla s narýsovanou přímkou - podle nejdelší strany trojúhelníku narýsuj přímku l Narýsuj přímku m. Pomocí trojúhelníku s ryskou narýsuj tři přímky, které jsou kolmé k přímce m. Tyto přímky označ r, s, t. (srovnej [5], s. 29) 31
Narýsuj přímku a. Na přímce a vyznač bod B. Narýsuj kolmici b k přímce a tak, aby procházela bodem B. (srovnej [5], s. 35) Narýsuj přímku b. Zvol bod D tak, aby neležel na přímce b. Sestroj přímku d tak, aby byla kolmá k přímce b a procházela bodem D. (srovnej [5], s.,35) Narýsuj přímku m, na ní označ bod K a mimo ni bod L. K přímce m sestroj dvě kolmice tak, aby kolmice p procházela bodem K a kolmice r procházela bodem L. Využití, aplikace: Narýsuj úsečku CD, CD = 9 cm. a) Vyznač střed úsečky CD. b) Středem úsečky CD veď přímku kolmou k úsečce CD. (srovnej [5], s. 47) 32
Narýsuj přímku o a bod P, který na ní neleží. Sestroj přímky k, l, m, které procházejí bodem P a jsou různoběžné s přímkou o. Přímka l je k přímce o kolmá. Průsečíky přímky o s přímkami k, l, m označ body K, L, M. Nejprve si udělej náčrtek. (srovnej [5], s. 47) Nejprve načrtni a potom narýsuj: Vyznač body O, P a narýsuj přímku OP. Sestroj přímky a, b, které jsou kolmé k přímce OP a procházejí body O, P. Na přímce a, vyznač bod R tak, aby úsečka OR byla shodná s úsečkou OP (pomocí kružítka). Sestroj přímku c, která prochází bodem R a je rovnoběžná s přímkou OP. Průsečík přímek b a c označ bodem Q. Jaký geometrický útvar jsi narýsoval? (srovnej [5], s. 59) Narýsoval jsem.. Sestroj 3 přímky a, b, c, aby měly: a) 3 průsečíky b) 2 průsečíky c) 1 průsečík d) žádný průsečík (srovnej [8], s. 6) 33
a) b) c) d) Sestroj dvě rovnoběžky a, b tak, aby jejich vzdálenost byla 2,5 cm. Nejprve si proveď náčrt. (srovnej [9], s. 22) 34
Osa úsečky, střed úsečky. Osu úsečky můžeme rýsovat dvěma způsoby: 1. Rýsování kolmic můžeme využít při rýsování osy úsečky. Sestrojíme úsečku a pomocí proužku papíru najdeme její střed a narýsujeme kolmici, která prochází středem úsečky. 2. Osu úsečky narýsujeme pomocí kružítka. Úlohy: - Rýsování osy úsečky pomocí kolmice: Sestroj úsečku AB a pomocí proužku papíru sestroj střed S a narýsuj kolmici, který prochází středem S a je zároveň osou úsečky AB. Rýsování osy úsečky pomocí kružítka: Narýsuj osu úsečky KL pomocí kružítka. Náčrt: (srovnej [6], s. 38) (Rýsování provádíme pomocí obrazového návodu v učebnici.) - Opíšeme si oblouk kružnice se středem v bodě K. Poloměr kružnice je libovolný, ale musí být větší než je polovina úsečky KL. Opíšeme oblouk kružnice z bodu L, a to se stejným poloměrem. Místo kde se mám oblouky kružnice protnou označíme body A, B. 35
- přímka a prochází body průsečíky narýsovaných oblouků kružnice. Tímto postupem vyznačíme střed S úseky KL a osu úsečky KL Narýsuj úsečky: AB = 56 mm, CD = 48 mm a KL = 64 mm. Sestroj osu každé úsečky. (srovnej [6], s. 38) Pomocí kružítka narýsuj osu úsečky AB, EF, MN. A B E F N M 36
Kružnice Rýsování kružnice provádíme postupně: 1. Kružnice rýsujeme o libovolném středu a libovolném poloměru, děti se snaží zvládat práci s kružítkem. 2. Kružnice rýsujeme s daným středem a libovolným poloměrem. 3. Kružnice rýsujeme s daným středem a daným poloměrem. 4. Kružnice rýsujeme s daným středem a procházející daným bodem. (srovnej [10], s. 8) Když komentujeme rýsování kružnice musíme se správně vyjadřovat a dbát na kulturnost projevu. Např. Sestrojíme kružnici k se středem v bodě S a libovolným poloměrem. Postup rýsování kružnice: 5. Vyznačíme střed kružnice ( bod S ). 6. Zvolíme poloměr kružnice, a to rozevřením kružítka. 7. Ze středu S opíšeme kružítkem kružnici. Úlohy: Narýsuj libovolnou kružnici k. (srovnej [4], s. 96) Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem délky 1,5 cm. (srovnej [4], s. 96) 37
Je dán bod N, sestroj kružnici l tak, aby měla střed v bodě N a měla poloměr délky 2 cm. (srovnej [4], s. 142) Vyznač dva různé body S, A. Narýsuj kružnici k, který má střed v bodě S a prochází bodem A. (srovnej [4], s. 142) Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem r = 2 cm. Na kružnice k zvol bod O a sestroj kružnici m tak, aby procházela bodem S a měla střed v bodě O. (srovnej [4], s. 156) 38
Aplikační úlohy: Sestroj přímku m. Na přímce m zvol bod U. Narýsuj kružnici n se středem U a poloměrem r = 18 mm. Průsečíky přímky p s kružnicí n označ O,P. (srovnej [4], s. 156) Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem 2 cm. Sestroj libovolný průměr KL kružnice k. Na kružnici k zvol další bod A. Narýsuj přímku AK a AL. Pomocí trojúhelníku s ryskou zjisti, zda přímky AK a AL jsou k sobě kolmé. ( srovnej [6], s. 59) AK AL Narýsuj úsečku AB, která má délku 3 cm. Narýsuj kružnici k se středem v bodě A poloměrem r = 1,5 cm. Dále narýsuj kružnici l se středem v bodě B a poloměrem r = 2 cm. Průsečíky kružnic označ body K, L. (srovnej [6], s. 18) 39
Narýsuj úsečku AB, která má délku 4 cm. Narýsuj kružnici l tak, aby úsečka AB byla jejím průměrem. Jaký má kružnice poloměr? (srovnej [6], s. 18) r = 2 cm Sestroj libovolnou úsečku MN a vyznač na ní bod L. Sestroj kružnice a, b se středy v bodech M, N a procházejí bodem L. (srovnej [13], s. 87) Narýsuj úsečku KL dlouhou 4 cm a její střed S. Sestroj kružnice k, l, m, n, o, p se středy v bodech K,L s poloměry 10 mm, 20 mm a 25 mm. (srovnej [13], s. 87) 40
Sestroj kružnici l se středem S a poloměrem 25 mm. Zkráceně zapsáno l (S, r = 25 mm). Vyznač dva její průměry AB a KL. Narýsuj úsečky AL, LB, BK a KA. Jaký geometrický útvar jsi narýsoval/a? (srovnej [8], s. 39) Narýsoval/a jsem obdélník. Narýsoval/a jsem čtverec. Sestroj úsečku AB = 5 cm. Narýsuj kružnici k (A, r = 3 cm) a kružnici l (B, r = 2 cm). Průsečík kružnic označ bodem C. (srovnej [8], s. 39) 41
Trojúhelník Konstrukce trojúhelníku ze tří stran Při konstrukci trojúhelníku ze tří stran vychází děti z manipulativní činnosti. Při této činnosti sestavují děti trojúhelníky barevnými špejlemi a uvědomí, že při konstrukci trojúhelníku ze tří stran si sestrojíme jednu stranu a hledáme třetí vrchol. Z této činnosti je vyvozena konstrukce trojúhelníku podle věty sss. Samotné řešení úlohy vychází z náčrtu. Děti si graficky znázorní trojúhelník, doplní si velikosti jednotlivých stran, poté si udělají rozbor konstrukce s popisem jednotlivý kroků (popis konstrukce), podle popisu konstrukce si sestrojí trojúhelník a závěrem si ověří správnost konstrukce měřením, a to zda odpovídají délky stran zadání. (srovnej [11], s. 8, 9) Příklady: Sestroj trojúhelník ABC, jestliže znáš velikosti jeho stran: AB = 5 cm, AC = 4 cm, BC = 3 cm. Náčrt trojúhelníku: Popis konstrukce: 1. Narýsujeme úsečku AB, AB = 5 cm. 2. Pomocí pravítka si naměříme na kružítku délku strany AC, AC = 4 cm. 3. Sestrojíme oblouk kružnice se středem v bodě A a poloměrem 4 cm. 4. Vezmeme do kružítka délku úsečky BC, BC = 3 cm. 5. Sestrojíme oblouk kružnice se středem v bodě B a poloměrem 3 cm. 6. Průsečík obou sestrojených oblouků je vrchol C. 7. Narýsujeme úsečku AC a BC. (srovnej [4], s. 149) 42
Narýsuj libovolnou úsečku AB. Sestroj trojúhelník, jehož všechny strany budou shodné s úsečnou AB. (srovnej [4], s. 156) Sestroj trojúhelník ABC, který má délky stran AB = 6cm, AC = 7cm, BC = 3cm. (srovnej [4], s. 156) Narýsuj rovnoramenný trojúhelník ABC, který má délky stran AB = 5 cm, AC = 4 cm. (srovnej [13], s. 120) 43
Vyznač tři různé doby M, N, O, které neleží na přímce. Narýsuj úsečky MN, NO, MO. Vybarvi trojúhelník MNO. (srovnej [12], s. 13) Sestroj dva rovnostranné trojúhelníky (a = 5 cm) (srovnej [13], s. 77) Sestroj několik rovnoramenných trojúhelníků se společnou stranou AB dlouhou 6 cm. (srovnej [13], s. 77) Narýsuj dva rovnostranné trojúhelníky tak, aby jeden byl částí druhého. (srovnej [13], s. 77) 44
Sestroj úsečku KL, KL = 4 cm. Sestroj bod M tak, aby trojúhelník KLM byl rovnoramenný a měl délku ramena k = 45 mm. (srovnej [9], s. 22) Aplikační úlohy: Sestroj libovolný trojúhelník EFG. Sestroj osu každé jeho strany, tj. osu úsečky EF, FG, EG. Pokud jsi přesně rýsoval, osy všech úseček prochází jedním bodem. Tento bod označ S. Narýsuj kružnici se středem v bodě S, která prochází bodem E. Které další body tato kružnice protíná? (srovnej [7], s. 52) Kružnice protíná body:.. Narýsuj trojúhelník a rozděl ho na další trojúhelníky. Zkus vymyslet alespoň dva příklady. (srovnej [14], s. 105) 45
Sestroj trojúhelník ABC, který má strany a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Udělej náčrt. (srovnej [8], s. 29) Konstrukce pravoúhlého trojúhelníku Při konstrukci tohoto trojúhelníku využíváme rýsování kolmic. Úlohy: Narýsuj pravoúhlý trojúhelník tak, aby strany, které jsou k sobě kolmé, měly 3 cm a 7 cm. Nejprve si trojúhelník načrtni a popiš jeho vrcholy. (srovnej [6], s. 34) Sestroj pravoúhlý trojúhelník KLM. Strana KL je kolmá na stranu LM. Strana KL = 5 cm a strana LM = 3 cm. 46
Aplikační úlohy: Narýsuj kružnici l a její průměr KL. Na kružnici l zvol další bod M a sestroj trojúhelník KLM. Rozhodni zda trojúhelník KLM je nebo není pravoúhlý. (srovnej [6], s. 59) Trojúhelník KLM. pravoúhlý. Sestroj pravoúhlé trojúhelníky: a) ABC s odvěsnami a = 33 mm, b = 45 mm b) KLM s odvěsnami k = 26 mm, l = 56 mm Udělej si nejprve náčrt. (sestroj [8], s. 29) 47
Obdélník a čtverec Při konstrukci obdélníku a čtverce vycházíme ze zkušenosti dětí, z toho co vidí kolem sebe. Základem pro tyto konstrukce je rýsování kolmic. Konstrukce čtverce a obdélníku provádíme postupně: 1. Konstrukce do čtvercové sítě. 2. Konstrukce dle daného zadání. Úlohy: Sestroj obdélník KLMN o stranách KL = 6 cm a LM = 3 cm. Náčrt obdélníku: Popis konstrukce: 1. Narýsujeme přímku l a na ní označíme úsečku KL o délce 6 cm. 2. Trojúhelníkem s ryskou sestrojíme v bodech K a L kolmice k přímce l. 3. Na kolmicích sestrojíme body M, N tak, aby KN = 3 cm a LM = 3 cm. 4. Narýsujeme úsečku MN. (srovnej [6], s. 43) Narýsuj čtverec ABCD o délce stran 3 cm. (srovnej [6], s. 43) 48
Aplikační úlohy: Vyznač bod S. Narýsuj kružnici k se středem v bodě S a poloměrem 2 cm. Narýsuj průměr kružnice a jeho krajní body označ M, O. Pomocí trojúhelníku s ryskou narýsuj k vyznačenému průměru M, O kolmici, která prochází bodem S. Průsečík kružnice s kolmicí označ body N, P. Spoj body M, N, O, P. Jaký geometrický útvar si narýsoval? Narýsovaný geometrický útvar vybarvi. (srovnej [6], s. 43) Narýsoval jsem... Narýsuj čtverec ABCD o délce stran 2 cm. Narýsuj čtverec KLMN, který má strany dvakrát větší než čtverec ABCD. Narýsuj obdélník EFGH. Strana EF = 3 cm a strana FG = 2 cm. Narýsuj obdélník KLMN, který má strany dvakrát větší než obdélník EFGH. 49
Sestroj dvě libovolné rovnoběžné přímky a, b. Sestroj libovolný obdélník KLMN tak, aby strana KL ležela na přímce a, a strana MN ležela na přímce b. Nejprve si udělej náčrtek. (srovnej [7], s. 6) Sestroj dvě libovolné rovnoběžné přímky o, p. Narýsuj čtverec ABCD tak, aby jeho dvě protější strany ležely na přímkách o, p. Nejprve si udělej náčrtek. (srovnej [7], s. 6) Narýsuj kružnici l se středem S a libovolným poloměrem. Narýsuj dva různé průměry KM a LN kružnice l. Narýsuj úsečky KL, LM, MN, NK. Rozhodni jaký geometrický útvar jsi narýsoval. Vzniklý geometrický útvar vybarvi. (srovnej [7], s. 11) Narýsoval jsem.. 50
Narýsuj pravoúhlý trojúhelník MNO tak, aby strany, které jsou k sobě kolmé měly délky 3 cm a 5 cm. Vrchol pravoúhlého trojúhelníku označ N. Bodem M narýsuj rovnoběžku s přímkou NO a bodem O narýsuj rovnoběžku s přímkou MN. Průsečík těchto přímek označ P. Vybarvi čtyřúhelník MNOP. Jaký geometrický útvar jsi narýsoval? (srovnej [7], s. 52) Narýsoval jsem. Sestroj čtverec STUV o straně délky 5 cm. Narýsuj přímky SU a TV. Bod ve kterém se protnou označ S. Sestroj kružnici k se středem S a poloměrem ST. Pokud jsi přesně rýsoval, pak na kružnici k leží všechny vrcholy čtverce. (srovnej [7], s. 53) 51
Sestroj tři čtverce v různých polohách. Délky čtverce jsou uvedeny v tabulce. a 3 cm 4 cm 6 cm (srovnej [14], s. 26) Sestroj tři obdélníky v různých polohách. Rozměry obdélníků jsou uvedeny v tabulce. a 1 cm 2 cm 3 cm b 2 cm 4 cm 5 cm (srovnej [14], s. 27) 52
Narýsuj dva čtverce tak, aby měly společný a) trojúhelník b) obdélník c) čtverec. Udělej si nejprve náčrt a společnou část vybarvi. (srovnej [14], s. 27) Sestroj 4 shodné obdélníky se stranami a = 2 cm, b = 3 cm. Uveď alespoň dvě možnosti polohy zadaných obdélníků. (srovnej [14], s. 75) Sestroj 4 shodné čtverce se stranami dlouhými 2 cm. Uveď alespoň dvě možnosti jejich polohy. (srovnej [14], s. 75) 53
Sestroj obdélník a rozděl ho na další obdélníky. Zkus vymyslet alespoň dvě možnosti, jak tento obdélník rozdělit. (srovnej [14], s. 105) Sestroj čtverec a rozděl ho na další čtverce. Zkus vymyslet alespoň dvě možnosti, jak můžeme čtverec rozdělit. (srovnej [14], s. 105) Sestroj čtverec, jehož úhlopříčka měří 6 cm. (srovnej [8], s. 23) 54
Sestroj čtverec ABCD o straně AB = 5 cm a jeho úhlopříčky. Průsečík úhlopříček označ S. Dále sestroj kružnici se středem S a poloměrem r = AS Kterými body prochází? (srovnej [8], s. 23) 55
Pravidelný šestiúhelník Konstrukce pravidelného šestiúhelníku patří k rozšiřujícímu učivu geometrie na 1. stupni základní školy. Šestiúhelník rýsujeme jako pravidelný mnohoúhelník vepsaný do kružnice. Úkoly: Narýsuj pravidelný šestiúhelník KLMNOP. Náčrt: Popis konstrukce: 1. Sestrojíme kružnici k se středem S a poloměrem r. 2. Narýsujeme průměr KN kružnice k. 3. Sestrojíme oblouk kružnice o, který má střed v bodě K a poloměr r. Průsečíky oblouku o a kružnice k označíme L a P. 4. Sestrojíme oblouk kružnice p, který má střed v bodě N a poloměr r. Průsečíky oblouku p a kružnice k označíme body M a O. 5. Sestrojíme šestiúhelník KLMNOP. (srovnej [7], s. 69) 56
Sestroj pravidelný šestiúhelník ABCDEF. (Kružnice k se středem S má poloměr r = 4 cm.). Aplikační úlohy: Sestroj libovolný pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Dále sestroj trojúhelník ACE. Přesvědči se, že je rovnostranný. (srovnej [14], s. 82) 57
Rovnoběžník (kosodélník, kosočtverec) Při konstrukci těchto úloh si musí žáci uvědomit, základní vlastnost, a to že protilehlé strany jsou vždy rovnoběžné. Úkoly: Narýsuj libovolný rovnoběžník ABCD. Náčrt konstrukce: Popis konstrukce: 1. Narýsujeme dvě rovnoběžné přímky k, l. 2. Narýsujeme další rovnoběžné přímky a, b, které protínají přímky k, l a nejsou kolmé k těmto přímkám. 3. Průsečíky přímek k, l a a, b označíme A, B, C, D. Aplikační úlohy: Narýsuj dvě různoběžné polopřímky KL a KN, které mají společný počátek v bodě K. Bodem L narýsuj přímku a KN. Bodem N narýsuj přímku b KL. Narýsoval/a jsi rovnoběžník? ANO NE (srovnej [7], s. 14) 58
Narýsuj trojúhelník ABC: AB = 5 cm, AC = 5 cm a BC = 4 cm. Bodem C narýsuj přímku l AB a bodem A narýsuj přímku m BC. Průsečík přímek l a m označ bodem D. Pokud jsi správně rýsoval/a je čtyřúhelník ABCD rovnoběžník. (srovnej [7], s. 14) Sestroj různoběžky k, l a jejich průsečík označ P. Na přímce k vyznač body E,G tak, aby EP PG. Na přímce l vyznač body F, H tak, aby FP PH. Narýsuj čtyřúhelník EFGH. Pojmenuj čtyřúhelník jsi narýsoval/a? (srovnej [7], s. 11).. Tato konstrukční úloha není jednoznačná a má více možností. 59
Sestroj pravidelný šestiúhelník, trojúhelník a čtverec tak, aby byla jejich společná strana AB dlouhá 4 cm. 60
Závěrem je možno říci: Konstrukce prolínají geometrické učivo 1. stupně základní školy a tvoří jeho podstatnou součást. Vycházejí z definic příslušných pojmů, které zařazujeme až po jejich zvládnutí. Jsou materiálem, který slouží k získání klíčových kompetencí. Shrneme-li co bylo řečeno, žák v 1. období rozezná, pojmenuje, popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa, pozná velikost útvarů, pozná a měří délku úsečky. I zde však provádí jednoduché konstrukce jako jsou: konstrukce bodu, přímky, polopřímky, úsečky. V 2. období již narýsuje základní rovinné útvary. Sestrojí rovnoběžky a kolmice. Zde musí zvládnout techniku složitějších konstrukcí jako jsou trojúhelníky, čtverce, obdélníky a kružnice. Tyto základní elementární konstrukce by měl žák bez větších obtíží zvládat, aby mohl přejít na 2. stupeň základní školy, kde se tyto znalosti a dovednosti dále zdokonalují. Konstrukční úlohy však nepatří k jednoduchým záležitostem. Musí se pečlivě u žáků rozvíjet. Začínáme tím, že musíme žákům řádně vysvětlit a ukázat jak má vypadat správné náčiní k provádění konstrukcí. Problém mnohdy činí jen to, jak má být správně ořezaná tužka, či jak má být vložena tuha do kružítka. Mezi problémy při konstrukci patří také správné držení rýsovacího náčiní. Žáci si musí dobře osvojit jak jednotlivé geometrické obrazce vypadají, toto si mohou osvojit např. modelováním, či prohlížením svého okolí. Protože i špatná představivost může hrát negativní roli při konstrukcích. 61
ZÁVĚR Téma mé diplomové práce, tj. konstrukční úlohy na prvním stupni základní školy, jsem se snažila zpracovat, jako sumář konstrukčních úloh, které probírají žáci na prvním stupni základní školy. Vybírala jsem konstrukční úlohy ze dvou druhů učebnic pro žáky prvního stupně, a to od nakladatelství Alter a Prometheus. Tyto učebnice matematiky jsou vypracovány tak, aby splňovaly podmínky Rámcového vzdělávacího programu. Začínala jsem jednoduchými konstrukcemi a přecházela v konstrukce složitější. Vždy jsem vybrala jedno konstrukční téma a u tohoto tématu jsem doplnila metodickou řadu, tj. dílčí úlohy, které by měly předcházet složitějším konstrukcím. Toto jsem popsala teoreticky. Poté jsem vybrala konkrétní příklady úloh z výše uvedených učebnic, na kterých si žáci osvojí samotnou konstrukci. U každé z těchto úloh jsem uvedla řešení a případně položila doplňující otázky, které se vztahují k příslušným konstrukcím. Některé z uvedených konstrukčních úloh jsem doplnila o náčrty a postupy řešení. Práce na tomto tématu byla velmi zajímavá. Mnohdy jsem zjistila, že zadání konstrukčních úloh v učebnicích nebylo jednoznačné, některá zadání jsem musela upravit, aby žáci přesně věděli, co mají rýsovat. U některých zadání bylo možno i více řešení, proto ne všechny konstrukční úlohy jsou vhodné pro samostatnou práci, ale vyžadují vysvětlení učitele, či náčrt, aby žáci mohli samostatně pracovat. Ale i přesto si myslím, že učebnice, které jsem si vybrala, patří k nejlepším, které jsou na našem trhu k dispozici. Závěrem bych chtěla říci, že konstrukční úlohy nepatří k jednoduchému učivu, které se žáci učí na prvním stupni základní školy. Přesto se mi tato činnost velmi líbila a přinesla mi mnoho důležitých poznatků, které budu moci ve své praxi využít. U mnoha úloh jsem se zamyslela, jak bych je žákům co nejlépe vysvětlila, aby je správně pochopili a zvládli konstrukci samotnou. 62
RESUMÉ Jako svoji diplomovou práci jsem si vybrala konstrukční úlohy pro 1. stupeň základní školy. Ve své práci jsem shrnula část teoretickou. Tuto část jsem čerpala z různých knih a skript, které se zabývají se geometrií a konstrukcemi. Dále je zde i část praktická. Jsou zde uvedeny příklady konstrukčních úloh, se kterými se setkávají žáci na prvním stupni základní školy. Tyto příklady jsem použila ze dvou řad učebnic pro 1. stupeň základní školy, a to řadu učebnic matematiky od nakladatelství Alter a Prometheus. Obě tyto učebnice velmi dobře splňují podmínky pro konstrukční úlohy a považuji je za velmi kvalitní. Byla to pro mne velmi zajímavá činnost. 63