Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Transkript

1 Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07

2 . Zobrazte tyto body a určete jejich polohu vůči průmětnám: A[-; ; 3], B[; -3; -5], C[3; 0; 4], D[-3; 3; -5].. Zobrazte tyto body a určete, jakou mají polohu vůči průmětnám: E[0; 3; 5], F[0; ; -3], G[-3; -3; 0], H[; -5; 0], K[; 0; ], L[-3; ; 3], M[-; 4; -], N[; -; -].

3 3. Zobrazte bod M souměrný s bodem M[; -3; -] podle, bod A souměrný s bodem A[3; -; -] podle a bod C souměrný s bodem A podle počátku soustavy souřadnic. 4. Určete souměrně sdružený bod A k bodu A podle B k bodu B podle C k bodu C podle osy y. B A B y, A C C 5. Na přímce k najděte body: A[?; -3;?], B[;?;?], C[?;?; 3], D[?;?, 0], E[0;?;?]. 6. Zobrazte přímku p = AB, která je rovnoběžná s půdorysnou. k A B 0 y, y, A k 3

4 7. Zobrazte přímku p = AB, která je rovnoběžná s půdorysnou a nárysnou. 8. Určete stopníky přímky p. p y, A y, B p 9. Určete stopníky přímky q. 0. Určete stopníky přímky a. q a y, y, q a 4

5 . Určete stopníky přímky l.. Sestrojte stopníky přímky m a na přímce m určete bod A, jehož vzdálenost od je a B, jehož vzdálenost od je,5. m y, y, l l m 3. Určete stopníky přímky k. 4. Určete stopníky přímky r. k r y, y, k r 5

6 5. Zobrazte rovnoběžník, jehož jeden vrchol je bod A, úhlopříčka leží na přímce e a dvě jeho strany jsou rovnoběžné s a dvě jsou rovnoběžné s. 6. Bodem A veďte rovnoběžku s nárysnou tak, aby protínala přímku m. e m A A y, y, A A m e 7. Určete vzájemnou polohu přímek: a b c d e f g h j k y, g a b c =d e f h j k 6

7 8. Sestrojte přímku r, která je rovnoběžná s přímkou a, protíná přímku b a současně protíná přímku c. 9. Zobrazte stopy roviny = (3; -4;,5). b a c y, a b c 0. Zobrazte stopy roviny = (-3; 3; ).. Zobrazte stopy roviny = (; ; 3). 7

8 A C. Zobrazte stopy roviny = ( ; -; 3) a roviny = ( ; ; 3). 3. Sestrojte stopy roviny = (ABC). C A B y, B 4. Sestrojte stopy roviny = (KLM). 5. Sestrojte nárysnou stopu roviny, která je určená půdorysnou stopou a bodem A. L K A y, y, K A L M =M p 8

9 6. Najděte stopy roviny dané přímkami a, b. 7. Najděte stopy roviny dané přímkami c, d. a b c d y, y, b a c d 8. Sestrojte stopy roviny = (aa). 9. Sestrojte stopy roviny = (bb). a b A B A y, B y, a b 9

10 30. Zobrazte stopy roviny určené různoběžkami a = AB (A[4; 3;,5], B[; 0; 3]), b = BC (C[3; ; 5]) a odměřte souřadnice této roviny. 3. Zobrazte stopy roviny, dané přímkou a = AB (A[3; 7; ], B[; ; ]) a bodem C[5; ; ] a odměřte souřadnice této roviny. 0

11 3. Je-li zadána přímka a, určete rovinu pro kterou platí: a α α π. 33. Je-li zadána přímka a, určete rovinu pro kterou platí: a a a y, y, a a 34. Je-li zadána přímka a, určete rovinu,pro kterou platí: a y. 35. Zobrazte rovinu = (?; ;?), která obsahuje přímku a a určete její souřadnice. a a y, 0 y, a a

12 36. Bodem A roviny veďte hlavní přímky roviny. 37. Určete chybějící průmět přímky p, která leží v rovině. n n y, A y, p p p 38. Zobrazte přímku p, ležící v rovině. n p 39. Sestrojte obrazy bodů A, B ležících v rovině. n y, B y, p A p

13 40. Určete druhý průmět přímky a =AB (A[3; ;? ], B[5; 3;? ]) různoběžné s přímkami c = CD (C[; 0; 0], D[5; ; 3]) a e = EF (E[6; 0; 6], F[0; 6; 6]). Určete nárysy bodů A, B. 4. Určete stopy roviny dané různoběžkami a, b. a b y, b a 4. Rovina je zadána rovnoběžkami c, d. Najděte nárys přímky a ležící v této rovině. c d y, d a c 3

14 43. Bodem B[; 0;? ] proložte libovolnou přímku roviny (5;-3;) a nalezněte nárys bodu B. 44. Rovina je dána přímkou a a bodem A. Pomocí hlavních přímek určete její stopy. a A A y, a 45. V rovině zobrazte pomocí hlavních přímek rovnoběžník ABCD. n C y, B A p 4

15 46. Bodem A roviny veďte spádové přímky roviny. 47. Určete odchylky roviny od průměten. n n y, y, A p p 48. Sestrojte průsečík přímky p a roviny. 49. Sestrojte průsečík přímky p s rovinou. p n p n y, p p p p 5

16 50. Určete průsečík R přímky a s rovinou. 5. Určete průsečík R přímky a s rovinou. n n a a y, y, a p p a 5. Určete průsečík přímky p s rovinou α = (a b). 53. Určete průsečík přímky a s rovinou α. p a b n a y, y, a a p p b 6

17 54. Sestrojte průsečík přímky b = AB (A[4; 3; ], B[; 0; 6]) s rovinou β = (; 4; 3). 55. Sestrojte průsečík přímky p s rovnoběžníkem ABCD. Určete viditelnost. p A C B y, C A B p 56. Sestrojte průsečík přímky a s rovinou = (My). a M y, M a 7

18 57. Zobrazte příčku mimoběžek a, b, která leží v rovině. 58. Bodem M veďte příčku mimoběžek a, b. a n a b M b y, y, M a a b p b 59. Sestrojte průsečnici rovin a. 60. Sestrojte průsečnici rovin a. n n n n y, y, p p p p 8

19 6. Sestrojte průsečnici rovin a. 6. Sestrojte průsečnici rovin a. n n n n y, y, p p p p 63. Sestrojte průsečnici rovin a. 64. Sestrojte průsečnici rovin a. n n n n y, y, p p p p 9

20 65. Narýsujte průsečnici rovin α = (4; 5; 5) a β = (8; 5; 3). 66. Určete společný bod rovin. n n n y, p p 67. Sestrojte průsečnici rovin a, nejsou-li přístupné průsečíky jejich stop. 68. Sestrojte přímku p, která prochází bodem M a je rovnoběžná s rovinami a. n n n n M y, M y, p p p p 0

21 69. Sestrojte průnik trojúhelníků. 70. Sestrojte průnik trojúhelníků. C P M P C A A M B N B N C N y, A P y, M C B M A P B N

22 7. Sestrojte průnik trojúhelníků. 7. Sestrojte průnik rovnoběžníků ABCD a MNPQ. A P N A D Q P M C C N B M A B P N y, M A D Q y, C M C N B P B

23 73. Bodem M veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou. 74. Bodem M veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou. n n M M y, y, M M p p 75. Bodem M veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou. 76. Bodem P veďte rovinu rovnoběžnou s přímkami p a q. n q M p y, y, M q P P p p 3

24 77. Bodem M[3; ; 3] veďte rovinu, rovnoběžnou s rovinou (-; 5; 3). 78. Určete skutečnou velikost úsečky CD. C D y, C D 79. Na přímce a zobrazte bod B, který má od bodu A vzdálenost v. v 80. Na přímce a sestrojte bod, který má od jejího půdorysného stopníku vzdálenost. a a a A y, A y, a 4

25 8. Je dána přímka MN. Naneste na ni od bodu N vzdálenost 3. Určete souřadnice tohoto bodu X, pokud zx < zn. 8. Určete skutečnou velikost trojúhelníku ABC. B M N C y, M A =A y, N B C 83. Určete skutečnou velikost trojúhelníku ABC (A[3; 3; 0], B[0; 3; 5], C[; ; ]). 84. Určete patu R kolmice m, spuštěné z bodu B[; ; ] k rovině α = (; 3;,5). Vyznačte skutečnou vzdálenost bodů MR. 5

26 85. V bodě T roviny vztyčte kolmici k této rovině a určete na ní bod X tak, aby XT = a xx > xt. 86. V těžišti trojúhelníka ABC vztyčte kolmici k jeho rovině. n C y, T B p A 87. V rovině najděte bod X, který je neblíže bodu R. C y, R p =n A y, B R 6

27 88. Bodem M veďte rovinu kolmou k přímce k. 89. Zobrazte rovinu souměrnosti úsečky AB. k B M A M y, B y, k A 90. Zobrazte rovinu souměrnosti úsečky AB. B 9. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník se základnou AB a vrcholem C, který leží na přímce p (pozn.: přímky AB a p nemusí ležet v jedné rovině). p A A B y, y, B A B p A 7

28 9. Bodem A[; 4; 3] proložte rovinu α, kolmou k průsečnici r rovin ρ = (5; -5; 4) a σ = (7; 5; 3), zobrazte její stopy. 93. Sestrojte obdélník ABCD, je-li dána strana AB a přímka c (c y), na které leží vrchol C (pozn.: přímky AB a c nemusí ležet v jedné rovině). c B A y, B c A 8

29 94. Přímkou p proložte rovinu, která je kolmá k rovině a najděte průsečnici těchto rovin. 95. Určete vzdálenost bodu D[6; -5; 5] od roviny = (ABC) (A[; -5; 0], B[-; -; 6], C[6; 3; ]). Sestrojte jehlan ABCD. p n y, p p 9

30 96. Určete vzdálenost bodu B[5; ; 3] od roviny β = (3;,5; ). 97. Určete vzdálenost bodu A[; 3; 3,5] od přímky a = BC (B[0; ; ], C[6,5;,5; 5]. 30

31 98. Určete vzdálenost rovnoběžných rovin = (6; -5; 7) a = (?; -;?). 99. Určete odchylku různoběžek a, b. b a y, a b 3

32 00. Určete vzdálenost rovnoběžných rovin a. 0. Určete skutečnou velikost trojúhelníku ABC, který leží v rovině. n n B n y, y, p p A 0. Sestrojte roviny, které jsou rovnoběžné s rovinou a mají od ní vzdálenost. n C p y, p 3

33 03. V rovině sestrojte pravidelný šestiúhelník o středu S tak, aby jedna jeho strana ležela v nárysně. 04. V rovině jsou dány body S, A. Zobrazte čtverec, který má střed S a vrchol A. n n A y, y, S S p p 33

34 05. V rovině = ( ; 3; ) zobrazte rovnostranný trojúhelník ABC, jestliže A[4; -;?], bod B leží v půdorysně a bod C v nárysně. 06. Zobrazte rovnostranný trojúhelník ABC ležící v rovině kolmé na přímku q = QN, jehož těžiště T leží na dané přímce q, N[0; -,5; 5,3], Q[7; 3;,5], A[;,5; 5]. 34

35 07. Najděte ortocentrum trojúhelníka ABC (A[,5;,5; 4], B[; -; ], C[6;,5; ]). 08. Zjistěte vzdálenost dvou rovnoběžných přímek a, b, a = PN, Q b, P [,5; 3; 0], N[0; 0;,5], Q[0;-4; 3]. 35

36 09. Určete vzdálenost bodu B[3,5; 3; ] od přímky b = AC (A[; ; 0], C[4,5;,5; 4]). 0. Zobrazte rovnoramenný trojúhelník ABC (A[? ; ;,5], B[? ;,5; 3,5]) ležící v rovině α = (5; 5; 4), jestliže jeho vrchol C leží na přímce m = MN (M[3; 0;? ], N[5;,5;? ]). 36

37 . Zobrazte kosočtverec ABCD, který má sousední strany na přímkách a = AM, b = AP a délku strany d, A[; 0; ], M[-0,5; -4; 4], P[; -4; 0], d=,5cm.. V rovině = (6; ; 5) leží čtverec o středu S[?; 0;,5] a vrcholu A[?; ; 4]. Určete jeho sdružené průměty. 37

38 3. Zobrazte rovnostranný trojúhelník ABC (A[? ; ;,5], B[? ;,5; 3,5], x C > x A ), který leží v rovině α = (4,5; 5; 4). 4. V rovině ρ = (3; 4,5; 3) sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S[; ;? ] se stranou AB v půdorysně. 38

39 5. Zobrazte kružnici, je-li dána její rovina, střed S a poloměr r. 6. Zobrazte kružnici, je-li dána její rovina, střed S a poloměr r. r n r n y, y, S S p p 39

40 7. Zobrazte dráhu bodu A[3; -4; 4,5], který se otáčí okolo přímky o = PQ, P[0,5; -3,5; 0], Q[7; ; 6,5]. 8. Sestrojte sdružené obrazy kružnice, která leží v rovině, ve které leží její střed S a její tečna t. t S y, S t 40

41 9. Sestrojte v rovině ρ = (,5; 3;,5) průměty kružnice k se středem S[,5;,5;? ] a s bodem E[;,5;? ] ležícím na kružnici k. 0. Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC. B C y, A =A B C 4

42 . Zobrazte krychli ABCDA B C D, jejíž stěna ABCD (A[0; -;?], B[;,5;?]) leží v rovině = (5; 4,5; 4,5). 4

43 . Sestrojte pravidelný čtyřboký jehlan, je-li dán vrchol V, rovina podstavy a bod M pobočné hrany. n V M y, M p V 43

44 3. Sestrojte sdružené průměty pravidelného šestibokého hranolu s dolní podstavou v rovině, výškou 5, středem dolní podstavy S a vrcholem dolní podstavy A. 4. Je dána přímka o a bod A. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s osou o, výškou 5 a vrcholem podstavy A (zv > zs). n o A A y, y, S A o p 44

45 5. Sestrojte sdružené průměty krychle ABCDEFGH. Podstava ABCD (A[0; 0;? ], B[? ; 50; 0]) leží v rovině ρ = (75; 77; 50). 45

46 6. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se středem podstavy S, jestliže jedna boční stěna je rovnoběžná s. S V V y, S 46

47 7. Zobrazte rotační válec, je-li dána rovina podstavy, její střed S, bod na podstavě A a výška válce v = Sestrojte sdružené průměty rotačního válce, je-li dána jeho strana AA a body M, N na plášti. Body A, A, M, N neleží v jedné rovině. n A A M N y, A M y, S A A N p 47

48 9. Zobrazte rovnostranný kužel, je-li dána rovina jeho podstavy a vrchol V. 30. Sestrojte sdružené obrazy rotačního kužele, je-li dán jeho vrchol V, osa o a bod A podstavné kružnice. n V o V A y, y, V A o V p 48

49 3. Sestrojte rotační kuželovou plochu, určenou osou o, bodem A na podstavné kružnici a tečnou t kuželové plochy. o t A y, t A o 49

50 3. Zobrazte kulovou plochu, jestliže je dána tečná rovina s bodem dotyku A a bod B. 33. Sestrojte sdružené průměty kulové plochy, která prochází body A[7; -; ], B[3; ; ], C[6; 0; 5,5], D[,5; -3; 4]. n B y, B A p 50

51 34. Daným bodem M veďte tečné roviny k danému rotačnímu kužely. 35. Pravidelný pětiboký jehlan ABCDEV s podstavou v půdorysně protněte rovinou. n V n S M V y, A y, S V V M p p A 5

52 36. Čtyřboký jehlan ABCDV protněte rovinou, kolmou k nejdelší hraně a procházející protilehlým vrcholem podstavy. V A D B C B y, A V C D 5

53 37. Určete průsečíky přímky a s rovnoběžnostěnem, včetně viditelnosti. a D C A A B D C B A B a A B D D C y, C 53

54 38. Sestrojte řez pravidelného kosého čtyřbokého hranolu s podstavou nárysně rovinou. C C n B D A A D C A B D C A B p y, D B 54

55 39. Určete průsečíky přímky a s pravidelným čtyřbokým jehlanem, který má podstavu v půdorysně. 40. Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou. a V E D F C A B n A B D C D y, E D F C A B D C y, A D C B V C E B E A F A p a B F 55

56 4. Je dán kosý pravidelný šestiboký jehlan s podstavou v půdorysně. Sestrojte jeho řez rovinou. V n y F E A D B C D E C F B V A p 56

57 4. Sestrojte průsečíky přímky a s jehlanem, jehož podstava leží v půdorysně. a A B D C D A C a B V y, V 57

58 43. Sestrojte řez kosého válce, s jednou podstavou v půdorysně, rovinou (S[8; 0; 9], S [4; 5; 0], r =,5, = (4,5; -8; 3,5)). 58

59 44. Sestrojte řez kosého kruhového válce rovinou. Válec má podstavu v půdorysně o středu podstavy S a střed horní podstavy S (poznámka: osovou afinitu určují střed podstavy a střed řezu). n 45. Sestrojte průsečíky přímky b s kosým kruhovým válcem. Kosý kruhový válec má spodní podstavu v půdorysně o středu podstavy O, střed horní podstavy je L. b L S S y, O y, S O L S p b 59

60 46. Zobrazte průsečíky přímky m s povrchem rotačního válce s podstavou v půdorysně středem dolní podstavy S a horní podstavy S. 47. Zobrazte průsečíky přímky m s povrchem rotačního kužele, který má podstavu v půdorysně. Bod A je bodem podstavné hrany kužele a bod V je jeho vrcholem. m S m V S y, A y, A S =S V m m 60

61 48. Sestrojte řez rotačního kužele danou rovinou. 49. Kruhový kužel s podstavou v o středu S[,5; 0; 0], poloměru r =,5 a vrcholu V[,5; 0; 3] protněte rovinou = (-; -0,5;,4). V n y, V p 6

62 50. Kruhový kužel s podstavou v o středu S[,5; ; 0], poloměru r =,5 a vrcholu V[3; 0; 3] protněte rovinou = (-;,6;,4). 6

63 5. Kruhový kužel s podstavou v o středu S[5; 0; 0], poloměru r = 5 a vrcholu V[; -; 0] protněte v parabole rovinou = (4; -7,;?). 63