OPTIMALIZACE ŽELEZOBETONOVÉHO PRŮŘEZU V ENVIRONMENTÁLNÍCH SOUVISLOSTECH

Ctislav Fiala: OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB K 124FZS Doc. Ing. Petr Hájek, CSc. OPTIMALIZACE ŽELEZOBETONOVÉHO PRŮŘEZU V ENVIRONMENTÁLNÍCH SOUVISLOSTECH Plzeň 28. dubna 2005

2 OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB K 124FZS Doc. Ing. Petr Hájek, CSc. OPTIMALIZACE ŽELEZOBETONOVÉHO PRŮŘEZU V ENVIRONMENTÁLNÍCH SOUVISLOSTECH 1. ÚVOD. 3 2. Studie 1 - MONOKRITERIÁLNÍ OTIMALIZAČNÍ ÚLOHA.... 4 2.1 Optimalizační proměnné a účelová funkce....... 4 2.2 Parametry konstrukce a omezující podmínky...... 5 2.3 Výpočet pomocí Řešitele MS Excel.... 5 2.4 Hodnocení vybraných stropních konstrukcí.... 12 2.5 Závěr........ 16 3. Studie 2 - MULTIKRITERIÁLNÍ OTIMALIZAČNÍ ÚLOHA...... 16 3.1 Optimalizační proměnné a účelová funkce...... 16 3.2 Parametry konstrukce a omezující podmínky..... 17 3.3 Výpočet pomocí Řešitele MS Excel....... 17 3.4 Hodnocení vybraných stropních konstrukcí........ 25 3.5 Závěr........ 29 4. Studie 3 HODNOCENÍ A OPTIMALIZACE VLIVU STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ..... 30 4.1 BEES... 30 4.2 Hodnocení vybrané konstrukce.... 31 4.3 Závěr....... 35 5. LITERATURA... 35

3 1. ÚVOD Snížení spotřeby materiálových a energetických zdrojů je jedním z dílčích úkolů trvale udržitelné výstavby. Optimalizace tvaru a vyztužení betonových konstrukcí tak má významný vliv na velikost výsledných environmentálních dopadů navržené konstrukce. Následující studie ukazují možné přístupy v oblasti optimalizací železobetonových stropních konstrukcí. Cílem optimalizací stropních konstrukcí v environmentálních souvislostech je snížení zatížení životního prostředí prostřednictvím snížení spotřeby neobnovitelných surovinových a energetických zdrojů, snížení spotřeby svázané energie, snížení svázaných škodlivých emisí a to především CO 2 a SO 2, snížení množství odpadů po dožití konstrukce a zkvalitnění funkčních vlastností. V oblasti optimalizace tvaru stropních konstrukcí již proběhla celá řada analýz, které jasně vymezily potenciál žebrových a kazetových stropních konstrukcí jako konstrukcí, které svým tvarem a charakterem představují efektivní konstrukci z hlediska spotřeby konstrukčních materiálů a jejích statických parametrů. Nevýhodou těchto konstrukcí je však komplikovaný tvar bednění, jež je často eliminován využitím stropních tvarovek nebo vložek, které však nezajišťují kompaktní povrch stropního podhledu. Nevýhodu nekompaktního a nerovného podhledu žebrové nebo kazetové stropní konstrukce, který je nutné následně omítat, eliminují stropní konstrukce komůrkového průřezu. Schéma optimalizovaného komůrkového průřezu je na obr. 1. Jedná se o monolitickou žebrovou konstrukci s vložkami, které jsou uloženy na spodní prefabrikované podhledové desce, s integrovanou hlavní ohybovou a smykovou výztuží žeber, z betonu typu SCC (samozhutnitelný beton - Self-Compacting Concrete) nebo FRCC (vláknové cementové kompozity - Fibre Reinforced Cementitious Composites) tl. cca 30 mm. Obr. 1) Schéma optimalizovaného železobetonového komůrkového průřezu s vložkami Pro následující studie bylo použito šesti různých druhů stropních vložek, které reprezentují současný trend ve vývoji vylehčení železobetonových stropních konstrukcí. Jednotlivá schémata průřezů stropních vložek jsou uvedena na obr. 2. 2a) vložka betonová dutinová 2b) vložka štěpkocementová 2c) vložka keramická dutinová 2d) vložka z pěnového polystyrenu

4 2e) vložka pórobetonová 2f) vložka z recyklovaného plastu Obr. 2) Schémata průřezů použitých stropních vložek 2. Studie 1 - MONOKRITERIÁLNÍ OTIMALIZAČNÍ ÚLOHA První studie se zabývá využitím metody matematické optimalizace pro optimalizaci železobetonového komůrkového průřezu v environmentálních souvislostech. Za tímto účelem byl v programu Microsoft Excel vytvořen optimalizační algoritmus, který je schopen optimalizovat klasický výřez komůrkového/žebrového stropu postupně podle různých kritérií. Zvolenými kritérii v rámci této studie jsou svázané emise CO 2, SO 2, energie a poslední nikoli však co do významnosti cena. 2.1 Optimalizační proměnné a účelová funkce Úloha pracuje se čtyřmi optimalizačními proměnnými. Jedná se o geometrické optimalizační proměnné: a) celková tloušťka stropní konstrukce h; b) tloušťka horní železobetonové stropní desky h f ; c) šířka žebra b w ; d) plocha hlavní ohybové výztuže A S. Z hlediska průběhu optimalizačního procesu jsou uvažovány jako kontinuální proměnné. Účelová funkce F(x i ) = E i = V C.e C,i + V S.e S,i + V F.e F,i, kde: E i.. výsledná hodnota účelové funkce; V C objem betonu v optimalizovaném průřezu [mm 3 ]; V S objem oceli v optimalizovaném průřezu [mm 3 ]; V F objem materiálu stropní vložky v optimalizovaném průřezu [mm 3 ]; e C,i jednotkové hodnoty optimalizačního kritéria pro beton; e S,i jednotkové hodnoty optimalizačního kritéria pro ocel; e F,i jednotkové hodnoty optimalizačního kritéria pro materiál stropní vložky; i... i = 1,, 4; index představuje jednotlivá optimalizační kritéria, tedy: 1) cena - e C,C ; e S,C a e F,C [Kč/m 3 ]; 2) svázané emise CO 2 - e C,eCO2 ; e S,eCO2 a e F,eCO2 [kg CO 2 ekviv./kg]; 3) svázané emise SO 2 - e C,eSO2 ; e S,eSO2 a e F,eSO2 [g SO 2 ekviv./kg]; 4) svázaná energie - e C,EE ; e S,EE a e F,EE [MJ/kg]. Účelová funkce F(x i ) je tedy definována jako suma součinů objemů materiálů obsažených v konstrukci (tedy betonu, oceli a stropní vložky) a příslušných jednotlivých hodnot pro daný materiál dle vybraného optimalizačního kritéria (ceny, svázané emise CO 2, SO 2 a svázané energie). Výpočtem minima účelové funkce (minimální cena konstrukce, minimální hodnoty svázaných emisí) je možné určit optimální hodnoty geometrických optimalizačních proměnných, při nichž je minimum účelové funkce s určitou zadanou přesností dosaženo.

5 2.2 Parametry konstrukce a omezující podmínky Parametry konstrukce, tzv. invarianty představují hodnoty, které se nemění v průběhu výpočtu minimální hodnoty účelové funkce a vymezují prostředí výpočtu. Jsou to parametry, které charakterizují vlastní optimalizovanou stropní konstrukci a průřez (rozpětí konstrukce, stálé a nahodilé zatížení, druhy jednotlivých materiálů betonu, oceli, stropní vložky, některé průřezové charakteristiky, výběr optimalizačního kritéria, atd.). Omezující podmínky se dají rozdělit do dvou skupin. Jsou to omezující podmínky přirozené a implicitní. Přirozené omezující podmínky (x i.min x i x i,max, i = 1,, n(4)) vymezují návrhovou oblast a představují technologická a konstrukční omezení jednotlivých geometrických optimalizačních proměnných. Implicitní omezující podmínky (g j ({x i }) 0, j = 1,, m) vymezují v daném n-rozměrném prostoru tzv. přípustnou oblast a představují omezení vycházející z vlastního posouzení optimalizovaného průřezu podle normy ČSN P ENV 1992-1-1 Navrhování betonových konstrukcí. Jedná se o tzv. podmínky chování, jež v sobě zahrnují omezení podmíněná splněním požadavků I.MS (ohyb, smyk) a II.MS (průhyb). 2.3 Výpočet pomocí Řešitele MS Excel Řešitel je jednou z mnoha funkcí tabulkového procesoru Microsoft Excel. Je součástí sady příkazů, která se někdy nazývá nástroje citlivostní analýzy. Nástroj Řešitel aplikace Microsoft Excel pracuje s nelineárním optimalizačním kódem Generalized Reduced Gradient (GRG2), který vytvořili Leon Laudon z University of Texas v Austinu a Allan Waren z Cleveland State University. Při řešení lineárních problémů optimalizační algoritmus pracuje na principu simplexní metody s ohraničenými proměnnými a metody větvení a skoku. Tyto metody zavedli John Watson a Dan Fylstra ze společnosti Frontline Systems, Inc. [4]. Řešitel pracuje se skupinou buněk, které přímo nebo nepřímo souvisejí se vzorcem cílové buňky (účelová funkce). Upravuje hodnoty v určených měněných buňkách, nazývaných měnitelné buňky (optimalizační proměnné), v závislosti na zadaných omezujících podmínkách tak, aby byl dosažen výsledek, který požadujeme v cílové buňce, tedy minimum (určitá hodnota, maximum) účelové funkce. V případě této studie jsou podle jednotlivých kritérií optimalizovány, přes zvolené geometrické optimalizační proměnné, objemy složek betonu, oceli a stropní vložky tak, aby bylo dosaženo minima účelové funkce, tedy minimální ceny stropní konstrukce nebo minimálních hodnot svázaných emisí v materiálech použitých ve stropní konstrukci. Výpočet optimálních hodnot geometrických optimalizačních proměnných probíhá v následujících krocích: a) zadání parametrů konstrukce a omezujících podmínek, výběr optimalizačního kriteria b) spuštění optimalizačního algoritmu Řešitele c) pomocné výpočty objemy jednotlivých materiálů v průřezu [m 3 ] d) výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS ohyb e) výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS smyk f) výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS průhyb g) hledání minima účelové funkce F(x i ) pomocí Řešitele

6 Výsledkem řešené úlohy jsou optimální hodnoty geometrických optimalizačních proměnných: celková tloušťka stropní konstrukce h [mm] tloušťka horní železobetonové stropní desky h f [mm] šířka žebra b w [mm] plocha hlavní ohybové výztuže A S [mm 2 ] V první studii byly použity pro stropní konstrukci materiály s těmito parametry: materiál objemová hmotnost [kg/m 3 ] cena [Kč/m 3 ] sváz. emise CO 2 [kg CO 2 ekviv./kg] sváz. emise SO 2 [g SO 2 ekviv./kg] sváz. energie [MJ/kg] BETON C35/45 2 400 2 727 0,13 0,50 0,80 OCEL R 10 505 7 850 172 700 0,80 3,60 13,00 STROPNÍ VLOŽKY keramická dutinová (obr. 3a) z pěnového polystyrenu (obr. 3b) 800 2 190 0,13 0,40 2,60 20 2 290 2,30 20,00 95,00 Tab. 1) Materiálové charakteristiky použité v optimalizačním výpočtu 3a) vložka keramická dutinová 3b) vložka z pěnového polystyrenu Obr. 3) Schémata průřezů stropních vložek použitých v první studii Na následujících obrázcích jsou uvedeny jednotlivé strany zpracovaného modelu optimalizačního výpočtu komůrkového železobetonového průřezu v prostředí Microsoft Excel. Žluté a rozbalovací buňky jsou parametry konstrukce (invarianty) zadávající se před výpočtem, modré buňky jsou optimalizační proměnné a všechny ostatní buňky jsou automaticky přepočítávány během výpočtu.

7 Obr. 4) Úvodní strana výpočtu s buňkami optimalizačních proměnných, omezujících podmínek a invariant

8 Obr. 5) Strana 2 výpočtu: pomocné výpočty, výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS

9 Obr. 6) Strana 3 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS, II.MS

10 Obr. 7) Strana 4 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS

11 Obr. 8) Strana 5 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS

12 Obr. 9) Strana 6 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS 2.4 Hodnocení vybraných stropních konstrukcí Pro prezentaci výsledků optimalizace v první studii byly záměrně vybrány dva odlišné typy stropních vložek (viz. tab. 1, obr. 3 na str. 6), jak z hlediska statického (rozdílné objemové hmotnosti stropních vložek), tak z hlediska environmentálního zvoleny byly stropní vložky keramické dutinové a z pěnového polystyrenu. vložka keramická dutinová vložka z pěnového polystyrenu Obr. 10) Optimalizované výseky stropní konstrukce V první parametrické studii byly sledovány optimalizační proměnné, tedy geometrické charakteristiky průřezu v závislosti na užitném zatížení působícím na danou konstrukci. Teoretické rozpětí stropní konstrukce bylo uvažováno 6 m, vzdálenost žeber 500 mm, tloušťka podhledové desky 30 mm. Beton C35/45, ocel R 10 505. Vložky byly použity

13 keramické dutinové (v grafech KD) a polystyrénové (PS). Zatížení vyjma vlastní tíhy konstrukce, stálé g k = 1,5 kn/m 2 a užitné q k = 1,0-4,0 kn/m 2. Průřezy (viz. obr. 10) byly optimalizovány podle dvou vybraných kritérií a to podle ceny a podle svázaných emisí CO 2. Optimální hodnoty geometrických charakteristik průřezů optimalizačních proměnných jsou uvedeny v následujících grafech Graf. 1 a Graf. 2. Graf. 1) A: celková tloušťka stropu h B: tloušťka horní desky h f Graf. 2) A: šířka žebra b w B: plocha hlavní ohybové výztuže A S V grafech je na první pohled zřejmá téměř lineární závislost většiny proměnných na narůstajícím užitném zatížení. Zejména celková tloušťka stropu striktně dodržuje přímou lineární závislost na zatížení ve všech optimalizačních uzlech. Drobné odchylky od linearity jsou způsobeny možností nastavení velikosti kroku optimalizačního procesu v Řešiteli, tedy reálnou rychlostí konvergence. Patrné jsou i rozdíly mezi jednotlivými stropními vložkami. Stropní konstrukce vyšetřovaný výsek průřezu nabývá u všech optimalizovaných proměnných větších absolutních hodnot u vložky keramické dutinové a to i přesto, že hodnoty svázaných emisí jsou řádově odlišné, vzhledem ke keramické vložce příznivé. Při optimalizaci dle jakéhokoli z možných čtyř kritérií (svázané emise CO 2, SO 2, energie či cena) pak tedy stropní konstrukce s keramickou dutinovou vložkou vychází méně výhodná oproti, primárně environmentálně nevýhodné, vložce z pěnového polystyrenu. Za příčinou navýšení rozměrů průřezu a plochy hlavní ohybové výztuže u stropu s keramickými dutinovými vložkami není samozřejmě nic jiného než rozdíl objemových hmotností dvou porovnávaných vložek. Zajímavé je tedy potom vlastní porovnání stropních konstrukcí z hlediska absolutních hodnot svázaných emisí v m 2 stropní konstrukce. Tedy konfrontace ekologické (keramické dutinové) vložky a dle primárních hodnot svázaných emisí krajně neekologické, přesto cenově srovnatelné, (polystyrénové) stropní vložky. Touto otázkou se dále zabývá druhá parametrická studie této úlohy.

14 Druhá parametrická studie vychází ze stejných okrajových podmínek jako studie první, pouze užitné zatížení není proměnné a je rovno 2,0 kn/m 2. Během studie byly oba stropní výseky optimalizovány postupně podle všech čtyř kritérií (cena, svázané emise CO 2, SO 2 a energie) a byly sledovány a zaznamenávány absolutní hodnoty ceny, svázaných emisí CO 2, SO 2 a svázané energie v jednotlivých materiálech na m 2 stropní konstrukce. Výsledky jsou prezentovány v grafech Graf. 3 až Graf. 6. Graf. 3) Optimální ceny stropních konstrukcí dle jednotlivých kritérií Optimální ceny stropních konstrukcí (Graf. 3) graf ukazuje jasnou převahu polystyrénové (PS) vložky oproti keramické dutinové (KD), čemuž nahrává především objemová hmotnost polystyrenu, jež má za následek nižší stálé zatížení a tedy nižší spotřebu betonu a oceli pro přenos celkového zatížení. Cena výseku stropní konstrukce s vložkou z pěnového polystyrénu se pak nezávisle na druhu použitého optimalizačního kritéria pohybuje okolo 750 Kč/m 2, naproti tomu u stropu s keramickou dutinovou vložkou se cena šplhá až k hranici okolo 800 Kč/m 2. Graf. 4) Optimální hodnoty svázaných emisí CO 2 stropních konstrukcí dle jednotlivých kritérií

15 Optimální hodnoty svázaných emisí CO 2 stropních konstrukcí (Graf. 4) zde je z grafu patrná jasná výhoda nižší objemové hmotnosti pěnového polystyrenu. Hodnota svázaných emisí CO 2 je v 1kg keramické dutinové vložky 0,13 kg CO 2 ekviv. naproti v pěnovém polystyrenu 2,3 kg CO 2 ekviv., tj. tedy téměř 18krát více. Přesto je celková hodnota příspěvku svázaných emisí CO 2 keramické vložky na celou stropní konstrukci téměř 2,5krát větší než vložky polystyrénové. Celková hodnota svázaných emisí CO 2 ve stropní konstrukci je pak na 1 m 2 u stropu s polystyrénovými vložkami nižší cca o 12 kg CO 2 ekviv./m 2 a to i díky menší spotřebě betonu v konstrukci. Graf. 5) Optimální hodnoty svázaných emisí SO 2 stropních konstrukcí dle jednotlivých kritérií Optimální hodnoty svázaných emisí SO 2 stropních konstrukcí (Graf. 5) zde jsou celkové hodnoty emisí u obou konstrukcí téměř totožné. Polystyren, přestože jeho hodnota svázaných emisí SO 2 v 1kg činí 20 g SO 2 ekviv. oproti 0,4 g SO 2 ekviv. dutinové keramické vložky, přispívá díky své výše uvedené výhodě pouze asi o 1,2krát více oproti vložce keramické a vzhledem k nižšímu objemu betonu a oceli a tedy i nižším celkovým emisím za tyto materiály, jeví se stropní konstrukce s vložkami z polystyrenu i z hlediska svázaných emisí SO 2 jako výhodnější. Graf. 6) Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí dle jednotlivých kritérií

16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát vyšší, 95 MJ. Přesto i zde je polystyrén výhodnějším materiálem a to opět díky své objemové hmotnosti a nižší následné spotřebě betonu a oceli v konstrukci. 2.5 Závěr Cílem první úlohy bylo ukázat chování jednotlivých parametrů průřezu v závislosti na zatížení, materiálech použitých v konstrukci a zejména na použití jednotlivých kritérií použitých v tom kterém optimalizačním procesu. Z výsledků vyplývají příspěvky jednotlivých materiálů použitých v konstrukci na celkovou hodnotu optimalizovaných veličin. V praxi však těžko můžeme předpokládat hojnou aplikaci konstrukcí, které budou sice šetrné k životnímu prostředí, ale jejich cena bude vysoká. Proto je návrh konstrukcí využitelných v praxi otázkou komplexního přístupu k problematice optimalizace a vede k řešení multikriteriálního problému optimalizace, pro který je tato úloha podkladem a podrobněji je uveden ve Studii 2. 3. Studie 2 - MULTIKRITERIÁLNÍ OTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Druhá studie se zabývá využitím multikriteriální optimalizace pro optimalizaci železobetonového komůrkového průřezu v environmentálních souvislostech. Za tímto účelem byl v programu Microsoft Excel vytvořen optimalizační algoritmus, který je schopen optimalizovat klasický výřez komůrkového/žebrového stropu dle různých kritérií najednou. Zvolenými kritérii v rámci této studie jsou rovněž svázané emise CO 2, SO 2, energie a cena. 3.1 Optimalizační proměnné a účelová funkce Úloha opět pracuje, stejně jako v úloze předchozí, se čtyřmi optimalizačními proměnnými, jedná se o geometrické optimalizační proměnné: a) celková tloušťka stropní konstrukce h; b) tloušťka horní železobetonové stropní desky h f ; c) šířka žebra b w ; d) plocha hlavní ohybové výztuže A S. Z hlediska průběhu optimalizačního procesu jsou uvažovány jako kontinuální proměnné. Účelová funkce L(x i ) = Σw i.l i,norm = w 1.L 1,norm + w 2.L 2,norm + w 3.L 3,norm + w 4.L 4,norm, kde: L(x i ). výsledná hodnota účelové funkce; w i. váhové konstanty [ - ]; L i,norm normované účelové funkce, L i,norm = (L i (x) L i,min )/(L i,max L i,min ) [ - ], L i,min minimální hodnota účelové funkce; L i,max maximální hodnota účelové funkce; L i (x) hodnota účelové funkce pro aktuální optimalizační proměnné; i... i = 1,, 4; index představuje jednotlivá optimalizační kritéria, tedy: 1) cena [Kč/m 3 ]; 2) svázané emise CO 2 [kg CO 2 ekviv./kg]; 3) svázané emise SO 2 [g SO 2 ekviv./kg]; 4) svázaná energie [MJ/kg].