1 Rezonátorová optika

1 Rezonátorová optika Optické rezonátory jsou zařízení, ve kterých lze akumulovat optickou energii. Mohou také působit jako frekvenční filtr. Obojího se využívá v laseru, kde je aktivní prostředí, které zesiluje optický signál, obklopené zrcadly tvořící rezonátor. Princip rezonátoru tkví v tom, že se opakovanými odrazy na zrcadlech udržuje optická energie v omezeném prostoru. Nejjednodušší konstrukce je Fabryův-Perotův (FP) rezonátor, který tvoří jen dvojice rovnoběžně umístěních rovinných zrcadel. Pokud se světlo šíří kolmo k těmto zrcadlům, jen se odráží mezi nimi. Časem se pouze snižuje intenzita světla v důsledku ztrát na zrcadlech. Zrcadla nebývají stoprocentně odrazná, aby se optické pole mohlo do rezonátoru dostat. Tvar zrcadel nemusí být rovinný, jakákoliv soustava ploch zajišt ující, že se světlo po několika odrazech dostane do původní dráhy, je stabilní, tj. světlo se v rezonátoru udrží. Existují i složitější konstrukce, kruhové rezonátory popřípadě vláknové rezonátory, viz. obrázek 1. Obrázek 1: Příklady různých typů rezonátorů, zleva do prava planární, sférický, kruhový a vláknový. 1.1 Fabryův-Perotův planární rezonátor Matematická kritéria pro setrvání světla v rezonátoru si můžeme demonstrovat na nejjednodušším FP rezonátoru. Jak už bylo řečeno, optické pole se musí po několika odrazech (u FP rezonátoru po dvou odrazech) zrekonstruovat a to včetně fáze. Navíc na zrcadlech se při odrazu fáze otáčí o π. Jediné stabilní řešení je, aby na zrcadle bylo elektrické pole nulové. V tom případě se může v rezonátoru se vzdáleností zrcadel d udržet jen takové záření, které splňuje podmínku d = qλ/2 = qc/2ν (viz. obr. 2). To omezuje spektrum záření, rezonátor se chová jako frekvenční filtr. Frekvence (vlnové délky) nesplňující tuto podmínku se interferenčně vyruší (interferují destruktivně). Vzhledem k délce rezonátoru se zavádí pojem volný frekvenční interval ν F, tedy frekvenční vzdálenost dvou vedlejších vlnových délek splňující rezonanční podmínku. ν F = c 2d, λ q = 2d q. (1) Z celého spektra by měl FP interferometr (etalon) propustit jen sérii vlnových délek (frekvencí), které jsou velmi úzce vymezené (mají zanedbatelně úzkou frekvenční šířku). V reálné situaci propouští FP etalon všechny vlnové délky, jen je selektivně utlumí díky destruktivní interferenci. Spektrální propustnost FP interferometru je periodickou funkcí s délkou periody rovnou volnému spektrálnímu intervalu. Frekvence splňující podmínku 1

6=2d/6 5=2d/5 Obrázek 2: Podmínka pro vlnové délky v rezonátoru o délce d. pro udržení v rezonátoru podélné mody mají ztráty minimální. Velkou propustnost mají ale i frekvence v těsné blízkosti podélných modů. To, jak široké spektrum je FP etalonem propuštěno bez výraznějších ztrát závisí na vlastnostech rezonátoru. Hlavní z těchto vlastností jsou ztráty. Ty mohou nastat v prostředí, které je mezi zrcadly rezonátoru, nebo mohou vznikat přímo na zrcadlech. Tyto zrcadla bývají částečně propustná, aby se optické pole mohlo dostat do rezonátoru a zase ven. Pokud je optické pole moc široké, vznikají ztráty také tím, že energie uniká bokem v důsledku konečných rozměrů nebo nedokonalé rovnoběžnosti zrcadel. Pro poměření ztrát FP rezonátoru (předpokládejme ztráty pouze na zrcadlech) definujeme maximální propustnost T max = t2, kde t a r jsou součiny amplitudových propustností resp. odrazivostí dvou (1 r) 2 zrcadel. Jemnost F (Finesse), další parametr popisující FP rezonátor, se vypočítá podle vztahu F = π r. Spektrální průběh propustnosti má potom tvar (obr. 3) 1 r T (ν) = T m ax 1 + ( ) 2 ( ). (2) 2F π sin 2 πν ν F FP rezonátor můžeme použít jako spektrální analyzátor. Můžeme měnit vzdálenost mezi zrcadly a tím měnit propustnost filtru tak, že proskenujeme určitou spektrální oblast a změříme výstupní optický výkon. Posunem zrcadla o vzdálenost δd se posune maximum propustnosti o spektrální vzdálenost δν q = ν q δd/d. Nevýhodou tohoto spektrálního filtru je ale nejednoznačnost. Propustnost filtru je periodická, můžeme jím měřit jen spektrální závislosti s šířkou spektra menší než volný spektrální interval ν F. Příklad naměřeného spektra polovodičové diody je na obrázku 4, v tabulce 1.1 je několik hodnot volného spektrálního intervalu pro různé šířky FP etalonu. 2

T max 5 1 5 Propustnost F / q-1 q q+1 F = c/2d Obrázek 3: Spektrální propustnost FP etalonu pro tři hodnoty jemnosti F. d ν F λ F 1 nm/ν F δν δλ mm GHz nm GHz nm 1 15.35 29.1.23 5 3.69 14.5.2.46 2 75.173 5.8.5.125 1 15.35 2.9 1.23.5 3.69 1.45 2.46.2 75 1.73.58 5.115.1 15 3.5.29 1.23 Tabulka 1: Parametry FP etalonu pro F = 15 a λ = 83 nm. Obrázek 4: Průběh spektra laserové diody změřený pomocí FP etalonu. 3

1.2 Sférický rezonátor To, zda bude rezonátor stabilní či nikoliv, můžeme určit jednoduše pomocí paprskové optiky. Vyjde nám tato podmínka ) ) (1 + (1 dr1 + dr2 1, (3) kde d je vzdálenost dvou sférických zrcadel o poloměrech křivosti R 1,2. Existuje tedy nekonečné množství kombinací, jak vytvořit takový rezonátor, v němž se optické pole udrží. Poloměr křivosti zrcadla může nabývat kladných hodnot v případě vypuklého zrcadla, může být ale i záporný pro vydutá zrcadla. Pro speciální případ rovinného zrcadla je poloměr křivosti nekonečně velký, potom d/r =. Podmínku stability lze znázornit i graficky, obr. 6, zde je stabilní oblast označená šedou barvou. Speciální případy kromě jednoho případu na hranici stability jsou znázorněny ve výsecích... R 1 R 2 d Obrázek 5: Rezonátor se sférickými vydutými zrcadly (R 1,2 < ). (1+d/R 2 ) -1. 1.... -1 1 (1+d/R 1 ) Obrázek 6: Grafické znázornění podmínky stability sférických rezonátorů (šedá oblast). 4

Paprsková optika nám sice může říct, jaké poloměry křivosti zrcadel v jaké vzdálenosti jsou možné, neřekne nám ale, jaké optické pole se nám může v takovém rezonátoru generovat. V tomto ohledu je potřeba obrátit se na vlnovou optiku a její podkapitolu svazkové optiky. Zjistíme, že v rezonátoru se může udržet pouze takový optický svazek, jehož tvar vlnoplochy v místě zrcadel rezonátoru odpovídá křivosti těchto zrcadel. Gaussovský svazek je nejjednodušším řešením. Příčné rozložení intenzity ve svazku má gaussovský průběh (odtud pojmenování). Při podélném šíření má v jednom místě nejužší pološířku svazku W pás. Po i proti směru šíření se tato pološířka W (z) rozšiřuje v důsledku difrakce. Parametr z se nazývá Rayleghovou vzdáleností. Gaussovský svazek má v poloze pasu rovinnou vlnoplochu, dále od pasu se poloměr křivosti vlnoplochy R(z) zmenšuje (z nekonečna dolů), v poloze z = ±z nabývá minimální hodnoty a dál se opět zvětšuje (pro z = je R(z) z). ( ) z 2, z W (z) = W 1 + R(z) = z + 2 z z, z = πw 2 λ = d z 2 R d 1. (4) z 1 z 2 Obrázek 7: Vlevo podélná difrakce gaussovského svazku v rezonátoru, vpravo příčný profil. V důsledku fázového zpoždění vlnoplochy v poloze mimo pás, ζ(z) = arctan (z/z ), dochází i k posuvu rezonančních frekvencí, ν q = qν F + δζν F /π, kde δζ = ζ(z 2 ) ζ(z 1 ). Gaussovské svazky jsou jedním nikoliv jediným řešením stability rezonátoru. Úplnou sadou řešení jsou Hermitovy-guassovy svazky, v případě rotační symetrie Laguerrovygaussovy svazky. Tyto svazky jsou navíc charakterizovány dvěma celými kladnými čísly l a m, které popisují příčný mod svazku, viz obr. 8. Pro l = m = dostaneme základní gaussovský svazek, ostatní vyšší mody už nemají příčný profil jen s jedním maximem. Mody rezonátoru označujeme jako podélné, pro stejné součty l + m jsou frekvenčně vzdálené o ν F = c/2d. Příčné mody pro stejnou hodnotu q jsou frekvenčně vzdálené o celočíselný násobek δζν F /π, 1.3 Mody laseru ν l,m,q = qν F + (l + m + 1) δζ π ν F. (5) Laser s rezonátorem se sférickými zrcadly bude generovat kombinaci příčných a podélných modů splňujících rezonanční podmínky. Díky tomu bude svítit na mnoha vlnových délkách, 5

Obrázek 8: Příčný profil svazků různých řádů, vlevo Hermitovy-guassovy svazky, vpravo Laguerrovy-gaussovy svazky. v kterých přesahuje zisk aktivního prostředí ztráty rezonátoru. Jednotlivé vlnové délky můžeme odhalit bud pomocí přesného spektrometru nebo monochromátoru (FP etalon), nebo pomocí Fourierovy transformace naměřené autokorelační funkce nebo můžeme provést přímo Fourierovu transformaci fluktuací malých výkyvů ve výkonu laseru (viz. obr. 9). Taková analýza nám odhalí podélné mody a kolem nich v menší spektrální vzdálenosti rozeseté příčné mody. -1 Kr laser, proud 45A, detektor DET2 clona 9, 325 mw clona 8, 3 mw -2 FFT Spektrum (db) -3-4 -5-6 -7-8 -9-1 128 256 384 512 Frekvence (MHz) Obrázek 9: Fourierova transformace změn výkonu laseru, po 128 MHz jsou patrné podélné mody, v jejich okolí potom příčné mody. Po omezení clonou v rezonátoru příčné mody zmizí. Jak kontrolovat výběr přesné vlnové délky emise laseru si předvedeme na příkladu Kryptonového plynového laseru z obrázku 1. Podle rozvržení zrcadel je jasné, že na rovinném zrcadle bude pás svazku a že poloměr křivosti vlnoplochy odpovídá křivosti výstupního částečně propustného zrcadla. Průchod Brewstrovými okénky způsobuje větší 6

ztráty horizontální složce polarizace, proto ve výsledku svítí laser jen vertikálně lineárně. Vyšší příčné mody mohou být omezeny kruhovou clonou s postupně se zmenšujícím průměrem. Čím vyšší příčný mód, tím větší pološířka svazku, zmenšením apertury zvětšíme ztráty vyšších mody tak, že se nedostanou přes práh (ztráty budou větší než zisk). Disperzní hranol Etalon Brewstrova okénka Kruhová clona Laserová Kr + trubice Rovinné zrcadlo Výstupní zrcadlo Obrázek 1: Schema Kryptonového plynového laseru. Co se týče spektra je Kryptonový plyn velmi univerzální. Jeho energetické přechody odpovídají 17 vlnovým délkám v rozmezí od 35 nm po 8 nm. Energetické hladiny jsou ale díky silnému magnetickému poli rozštěpené, takže energie odpovídající rozdílu hladin má určitý rozsah, a tedy i šířka spektra generovaných fotonů má určitou šířku čáry. Výběr jedné vlnové délky (frekvence) se děje v několika krocích: 1. Povrstvení dielektrických zrcadel tvořících rezonátor je vysoce odrazné jen pro určitou oblast spektra, jiné propouští, zavádí tím ztráty. Výběrem určitých zrcadel omezujeme možnou oblast laserování jen na dvě až čtyři blízké spektrální čáry. 2. Disperzního hranol rozkládá spektrum záření na jednotlivé složky. Malým náklonem hranolu zároveň s rovinným zrcadlem můžeme vybírat jednotlivé spektrální čáry. 3. I s disperzním hranolem v rámci jedné spektrální čáry může svítit více podélných modů splňujících rezonanční podmínku. Vybírat mezi jednotlivými mody můžeme pomocí velmi přesného interferenčního filtru Fabryova-Perotova etalonu. V případě kryptonového laseru se jedná o váleček s povrstvenými stěnami. Změna délky FP etalonu s provádí teplotně, tj. díky tepelné roztažnosti se mění vzdálenost zrcadel FP rezonátoru. V této konfiguraci svítí laser jednofrekvenčně, tj. spektrální čára emitovaná laserem je jen jedna a je velmi úzká. Každý z předešlých kroků ale snižuje výstupní výkon laseru. Pro dané použití tedy musíme vědět, zda se vyplatí omezit spektrum emitovaného záření. 7