Fabry Perotův interferometr

Transkript

1 Fabry Perotův interferometr Princip Dvě zrcadla jsou sestavena tak aby tvořila tzv. Fabry Perotův interferometr, s jehož pomocí je vyšetřován svazek paprsků vycházejících z laseru. Při experimentu se pohybuje jedním ze zrcadel interferometru a jsou studovány změny interferenčních obrazců. Jedná se o kvalitativním experiment, určený ke studiu různých pracovních režimů laseru a následnému porovnání s obrázky v tomto popisu. Vybavení základní optická deska He-Ne laser deska interferometru nastavitelná podložka povrchové zrcadlo magnetická noha čočka f = +0 mm konkávní zrcadlo OC r =, 4 m rovinné zrcadlo HR > 99 % adaptéry a držáky k zrcadlům + Obrázek : Sestavení soupravy jako Fabry Perotův interferometr.

2 Sestavení a postup V následujícím textu značí páry čísel v hranatých závorkách souřadnice na základní desce. Tyto souřadnice jsou pouze doporučením pro sestavení. Sestavte aparaturu dle obr.. Doporučené nastavení výšky paprsku je 30 mm. Nejprve sestavte bez čočky L [8,5, 4], začněte pomocnou deskou P. Snažte se při tom zajistit, aby se souřadné čáry na pomocné desce kryly se souřadnicemi na desce základní. Při nastavování směru dráhy paprsku pomocí nastavitelných zrcadel M [0,5, 8] a M [0,5, 4] s optickým středem ve výšce dráhy paprsku, seřid te paprsek tak, aby vedl zároveň se čtvrtou souřadnou čárou osy y základní desky. Pro začátek je pozice zrcadla M 3 [6, 4] = [5, 4 ] (zrcadlo s odrazovým faktorem 99 %). Umístěte zrcadlo do držáku a vložte do adaptačního prstence. Tuto jednotku poté zasad te do stojanu. Pak nastavte zrcadlo M 3 tak, aby odražený paprsek směřoval do stejného bodu na zrcadle M, ze kterého vyšel. Přimontujte duté zrcadlo (poloměr křivosti = 400 mm) do adaptačního prstence a zasad te do držáku. Umístěte zrcadlo M 4 [3,4] = [, 4 ] pokovenou stranou směrem k M 3 do cesty paprsku takovým způsobem, aby paprsek odražený z M 4 dopadal na M 3. Zrcadlo M 4 musí být co nejpřesněji seřízeno tak, aby se odražený paprsek přibližně kryl s bodem na zrcadle M 3, z něhož původně vyšel. Změnou vzdálenosti oddělující dvě interferenční zrcadla M 3 a M 4 pomocí mikrometrického šroubu (umístěn na stojanu zrcadla pomocné desky P, získáme světelný bod na stínítku SC [, 4]. Světelný paprsek je poté rozšířen pomocí čočky L [8,5, 4], umístěné v jeho dráze. Pokud je vše správně nastaveno, můžeme na stínítku pozorovat obrazce (viz obr. 5 a,b), které jsou výsledkem rozdílných rozložení amplitud laserového rezonátoru a interferometru. Pečlivou úpravou rovnoběžnosti zrcadel, dostaneme symetrické obrazce. Vyskytne-li se v obrazci malá elipsa, pokuste se ji zaostřit na jediný bod! Není-li to možné, přerovnejte celou soupravu. Uspořádání je správné, pokud je vidět mihotavý bod. Co možná nejmenší změnou délky mezi zrcadly M 4 a M 3 (pomocí mikrometrického šroubu) uvidíme střídání různých (obrazců). Pokud byl laser zapnut jen krátce před experimentem, můžeme vidět střídání obrazců, aniž bychom měnili délku interferometru, díky změně frekvence laserového rezonátoru vlivem teplotní expanze. Tento efekt lze vyvolat také vlivem vibrací stolu nebo země. Teorie a základní vztahy Michelsonův interferometr někdy se mu také říká Mach-Zehnderův a Sagnacův interferometr pracuje se dvěma světelnými svazky. Každý z nich má různou frekvenci a tyto frekvence se navzájem ovlivňují a dochází tam k superpozici obou světelných svazků. Naproti tomu Fabry Perotův interferometr pracuje s více než dvěma světelnými svazky. Nejčastěji se Fabry Perotův interferometr skládá ze dvou planparalelních skleněných destiček (polopropustných zrcadel), vzdálenost mezi těmito destičkami je d. Pro odrazivost záření na těchto destičkách platí: R = T, kde T je propustnost záření.

3 Obrázek : Popisu základního principu Fabry Perotova interferometru Popis základních principů Fabry Perotova interferometru Základní princip ilustruje obr. Světelná vlna, která do interferometru vstupuje má amplitudu a 0, a pro intenzitu pak platí, že a 0 = I 0. Po průchodu první destičkou platí pro intenzitu: I = ( R)I 0 = T I 0 () a amplituda je pak: Pro následující odrazy platí: a i = Ra 0 () a i = Ra i = R R a 0 a i3 = Ra i = R R a 0 a i4 = Ra i3 = R R 3 a 0. a in = Ra i(n ) = R R n a 0 V případě, že část svazku je propuštěna druhou destičkou, platí pro amplitudy: a = R a i = ( R)a 0 a = R a i = ( R)R a 0 a 3 = R a i3 = ( R)R a 0. a n = R a in = ( R)R n a 0 Pro světelné vlny dále platí: E = a cos(ωt + kx + δ) 3

4 a E bude první část svazku, která je propuštěna druhou skleněnou destičkou, δ je pak fázový posun dvou následujících vln, které opustí prostor mezi destičkami: A pro každou tuto vlnu platí: δ = kd cos α E = a cos(ωt + kx) E = a cos(ωt + kx + δ) E 3 = a 3 cos(ωt + kx + δ). E n = a n cos(ωt + kx + (n )δ) E n = ( R)R n a 0 cos(ωt + kx + (n )δ) (3) Výsledná amplituda E je součtem dílčích amplitud: E = E n n= Jak známo cos α = R[e iα ] a výslednou intenzitu můžeme psát jako: I = E E (4) Kde E znamená konjugovanou část. Pro p odrazů mezi destičkami platí v souladu s rovnicemi (3) následující: { } p E = R e i(ωt+kx) ( R)a 0 R n e i(n )δ n= (5) Což není nic jiného než součet geometrické řady a platí: p n= R m e imδ = preipδ Re iδ A tedy: { } E = R e i(ωt+kx) ( R)a 0 Re iδ Pokud p pak podle (4) platí: I = I 0 ( R) ( R) + 4R sin δ (6) (7) Pro úhel α = 0 (nebo pokud budeme uvažovat nekonečně vzdálené destičky) platí pro fázový rozdíl: δ = dk cos α = dk Využijeme-li počáteční intenzitu I 0 a rovnici (7), dostaneme: I = I 0 ( R) ( R) + 4R sin ( π λ d) (8) 4

5 Obrázek 3: Airyho funkce kde k = π λ. Tato funkce je pojmenovaná po G. B. Airyim a je znázorněna na obrázku (3) jako funkce proměnné kd a pro různé odrazivosti R. Použijeme-li koeficient přesnosti K, pak rovnici (8) můžeme psát ve tvaru: a kde V našem případě je R = 99 % K = I I 0 = ( + K sin kd ( ) r ; r = R r Jak určit jednotlivé interferenční módy? Fabry Perotův interferometr je vlastně optický rezonátor. Abychom byli schopni určit jednotlivé oscilační módy tohoto rezonátoru (resp. tvar výsledných obrazců), zjednodušme si chod paprsků mezi zrcadly M 3 a M 4 podle obr. 4. M 4 je v našem případě duté zrcadlo s poloměrem křivosti ρ =, 4 m. Jak vidno rovinné zrcadlo M 3 je zde nahrazeno rovinou, která nemá na chod paprsků žádný vliv a duté zrcadlo M 4 čočkou, pro kterou platí: f = ρ. Toto nahrazení můžeme provést pouze pokud je splněna následující podmínka (světelný paprsek by neměl opustit naší soustavu rovin a čoček): 0 g g kde g = d ρ a g = d ρ V našem případě je g = 0 (poloměr rovinného zrcadla je a g K vyšetření tvarů jednotlivých módů musíme zvážit i časový rozvoj počáteční amplitudy distribuce vektoru intenzity E uvnitř rezonátoru: u(x, y, z, t) = R[u(x 0, y 0 )e i(ωt kz) ] (9) 5

6 Obrázek 4: Nahrazení dutého zrcadla čočkou a rovinného rovinou K tomu, abychom získali časově nezávislé módy (statické řešení), musíme vyřešit Huyghensův integrál: u(x, y, z, t) = i u(x 0, y 0, z 0 ) + cos α e ik r r 0 λ r r 0 dx 0dy 0 (0) K řešení tohoto integrálu můžeme přistupovat dvěma způsoby:. Využijeme kartézské symetrie a rozdělení amplitud vychází z Hermitovsko-Gaussovských módů: U m,n (r, z) = ω ( 0 ω H ) x ( ) [ ( y m H n exp i(kz φ) r ω ω ω + ik )] () R kde φ je fáze: ( ) λz φ = (m + n + ) tan πω0 H m a H n jsou hermitovské polynomy. Proměnlivost fáze φ znamená, že fázová rychlost klesá spolu s řádem módu, a tak pro různé módy existují různé rezonanční frekvence. Rozdělení intenzity I(x, y) je na obr. 5a.. Při cylindrické symetrie systému vychází rozdělení amplitud jednotlivých modů následovně: ( ) ( ) [ ( r l E p,l (r, Θ, z) = E 0 L l p r exp i(kz Φ) r ω ω ω + ik )] cos(lθ) (3) R kde Φ je fáze: ( ) λz Φ(p, l, z) = (p + l + ) tan πω0 V tomto případě je L l p Laguerrův polynom. Rozdělení amplitud těchto módů je obr. 5b. Fáze Φ je příčinou různých fázových rychlostí a tak i různých rezonančních frekvencí jednotlivých módů. 6 () (4)

7 Obrázek 5: Rozdělení amplitud a) kartézská symetrie b) cylindrická symetrie V uváděném sestavení soupravy je možný výskyt obou typů. Rezonanční frekvence dostaneme ze vztahů: [ ] ν q,m,n = q + (m + n + ) cos g g c (5) π d pro kartézskou soustavu, a pro cylindrickou symetrii platí následující: ν q,p,l = [ q + (p + l + ) cos g g π ] c d (6) 7