Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí

Transkript

1 Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí r r Další předpoklad: nemagnetické prostředí B = µ 0 H izotropně. Veškerá anizotropie pochází od interakce elektrických dipólů v látce s elektrickým polem vlny. Obecnější úvod (jednoosé i dvouosé materiály): Lineární dvojlom: charakteristickými módy jsou lineárně polarizované vlny. Pro jeden směr vlnového vektoru existují dva módy s polarizacemi navzájem kolmými, které se šíří s různými indexy lomu. Výjimkou jsou vlny s vlnovým vektorem rovnoběžným s optickou osou, které se šíří se stejným indexem bez ohledu na polarizaci. Pro popis lineárního dvojlomu v neabsorbujícím prostředí (pokud látka nevykazuje kruhový dvojlom jev způsobený prostorovou disperzí, a včetně kruhového dvojlomu indukovaného magnetickým polem) je vhodná symetrická reálná matice susceptibility χ = χ, v pravoúhlém souřadném systému P r ( r, t) = ε χ E ( r t) i 0 ij j, j= x, y, z Existuje transformace souřadnic, která matice susceptibility a relativní permitivity diagonalizuje: χ χ1 0 0 n1 0 0 t t χ = 0 χ 0 ε = 0 1+ χ 0 = 0 n χ χ n3 str. 1 Z Maxwellových rovnic vyplývá pro rovinnou vlnu, že vektory elektrické indukce a magnetického pole jsou kolmé na vlnový vektor; pro vektor intenzity elektrického pole tomu tak být nemusí. Vlnová rovnice ve vybraném souřadném systému je pro intenzitu elektrického pole rovinné monochromatické vlny r r r ω tr r k E εe = k. ( k. E), c str. 4. Vektor elektrické indukce D r je kolmý na vlnový vektor k r a má velikost D = ε 0n E cosα. Intenzita elektrického pole svírá s elektrickou indukcí úhel α a není tedy kolmá na vlnový vektor. Vzhledem k vlnovému vektoru má příčnou složku E = E cosα, pro kterou platí 1 D r 1 r r E =, a podélnou složku E sin. = E α Magnetické pole H = k E je kolmé na ε 0 n ωµ 0 E r i D r n c. Velikost magnetické indukce B = µ 0H = E cosα = µ 0 D. Směr toku výkonu c n (Poyntingova vektoru) je kolmý na E r r r r, protože S = E H, svírá tedy se směrem vlnového vektoru úhel α, str r ij ji

2 Rozepsáním vlnové rovnice do složek a za pomoci jednotkového vektoru k k s r r r = 0 ve směru vlnového vektoru dostaneme soustavu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), z oz y y x ox oz z z oz y y x ox oy y z oz y y x ox ox x E s E s E s s n E n n E s E s E s s n E n n E s E s E s s n E n n + + = + + = + + = str. 8 kde n je index lomu pro danou vlnu; n c k ω =. Z toho vyplývá Fresnelova rovnice pro směrovou závislost indexu lomu ( ) oz y x s s s n,, n n s n n s n n s n z y x + + =, str Poyntingův vektor r w v H E S r r r r = =, kde 0 0 cos cos t n c t v v FAZ r r r r α α = = je paprsková rychlost, FAZ v je fázová rychlost, 0 t r je jednotkový vektor kolmý na E r a H r, ( ) S k S k B H D E w r r r r r r r r = = + = ω α ω cos 1 1 je objemová hustota elektromagnetické energie, str. 11. Pomocí materiálových parametrů ,, n c v n c v n c v = = = lze zavést paprskovou rychlost r v tak, že pro elektrickou indukci dostaneme rovnice ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z oz y y x ox oz r z r z oz y y x ox oy r y r z oz y y x ox ox r x r D t D t D t t v D v v D t D t D t t v D v v D t D t D t t v D v v + + = + + = + + = a jednotkový vektor 0 t r je kolmý na intenzitu elektrického pole a na pole magnetické. Určuje tedy směr Poyntingova vektoru H E S r r r = a s vlnovým vektorem svírá úhel α. Pro směrovou závislost velikosti paprskové rychlosti ( ) t 0 v r r platí obdoba Fresnelovy rovnice pro index lomu ( ) s 0 n r v v t v v t v v t v r z r y r x r + + =. str

3 Optické osy jsou směry vlnových vektorů, pro které vlny různé lineární polarizace ( módy navzájem kolmo polarizované) mají stejnou fázovou rychlost, tj. stejné n. str. 16. Pro popis je podstatně jednodušší případ, kdy optická osa je pouze jedna. Takové prostředí nazveme opticky jednoosé a v následujícím se budeme zabývat právě tímto případem. Jednoosé prostředí. Pro optickou osu ve směru z je matice relativní permitivity t n1 ε = 0 0 a řešení Fresnelovy rovnice jsou n1 n s s, n n n o = pro řádnou (ordinární) vlnu e ( s ) Opticky kladný materiál je charakterizován nerovností n 3 > n1. ox, pro mimořádnou (extraordinární) vlnu. oy oz str Jednoduchý případ vlnového vektoru rovnoběžného s optickou osou a případ, kdy je vlnový vektor kolmý na optickou osu, jsou pojednány na str Podél optické osy se vlny šíří s indexem lomu n 1 pro libovolnou polarizaci, kolmo na optickou osu se vlna polarizovaná kolmo k optické ose šíří s indexem n 1, vlna polarizovaná rovnoběžně s optickou osou s indexem n 3. Je-li úhel mezi optickou osou a vlnovým vektorem ϑ, dostaneme pro směrovou závislost n ϑ indexu lomu mimořádné vlny ( ) e 1 cos ϑ sin ϑ n1 n3 = +, n e = ne n n n sin ϑ + n , cos ϑ r ω r přičemž mimořádná vlna je polarizována v rovině určené vlnovým vektorem ke = ne s0 a c optickou osou (optická osa osa z ). Řádná vlna se šíří s indexem lomu n o = n1 a je polarizována kolmo na optickou osu. str V řádné vlně souhlasí směr Poyntingova vektoru se směrem vlnového vektoru, v mimořádné vlně tomu tak není. Úhel ϑ mezi optickou osou a Poyntingovým vektorem mimořádné vlny splňuje vztah n1 tanϑ = tanϑ. n Úhel α = ϑ ϑ je úhel mezi vektory D r a E r, tedy i úhel mezi vlnovým vektorem k r e a Poyntingovým vektorem S r e, tj. úhel mezi s r 0 a t r 0. str. 4. 3

4 Pro grafické znázornění závislosti indexu lomu na směru vlnového vektoru lze užít indexovou (normálovou, k-) plochu. Pro jednoosé materiály je to koule o poloměru n o = n1 a rotačně symetrický elipsoid o poloosách n 3 ve směrech kolmých na optickou osu a n 1 ve směru optické osy. Pro grafické znázornění indexu lomu v závislosti na směru elektrické indukce D r se užívá indexový elipsoid (optická indikatrix), což je pro jednoosý materiál rotačně symetrický elipsoid s poloosami n 1 ve směrech kolmých na optickou osu a s poloosou n 3 ve směru optické osy. Pomocí tečných rovin k indexovému elipsoidu nebo k normálové ploše lze ze zadaného směru vlnového vektoru graficky určit směr intenzity elektrického pole a Poyntingova vektoru, např. normála k indexové ploše (k-ploše) udává směr Poyntingova vektoru, str Alternativní možností grafického znázornění je použití paprskového (Fresnelova) elipsoidu. Pro jednoosý materiál to je rotačně symetrický elipsoid s poloosami ve směru kolmém na optickou osu 1 a ve směru optické osy 1. Ve směru intenzity elektrického pole je n n 1 v r vynesena paprsková rychlost. Paprsková plocha vznikne vynášením paprskové c v rychlosti r do směru Poyntingova vektoru (vektoru t r c 0 ) a je tvořena koulí o poloměru 1 n1 pro řádnou vlnu a pro mimořádnou vlnu elipsoidem o poloosách n ve směru optické osy a 1 n pro směry kolmé na optickou osu. Pomocí normál k těmto plochám lze graficky určit směr elektrické indukce při zadaném směru intenzity elektrického pole nebo směr vlnového vektoru při zadaném směru Poyntingova vektoru, str Dvojlom je běžně pozorován jako rozštěpení úzkého svazku na dva, které nastává v dvojlomném materiálu. Směry těchto svazků jsou určeny tokem výkonu, tj. ukazují směr Poyntingova vektoru. Úzký svazek je superpozice mnoha rovinných vln lišících se ve směru vlnových vektorů. V názorném modelu složme pouze rovinné vlny mírně se lišící ve směru k r e a zkoumejme rozložení intenzity záření. Zjistíme, že rozložení interferenčních maxim sleduje směr Poyntingova vektoru, str Obecnější přístup k šíření energie pracuje s pojmem grupová rychlost r r ( ) ω ω ω vg = grad kω k,,. k x k y k z Lze ukázat, že v modelu bezdisperzního prostředí (tj. za předpokladu, že index lomu n e r r nezávisí na frekvenciω ) je grupová rychlost stejná jako paprsková, v g = v r, obě mají velikost vfaz v r = a směr Poyntingova vektoru, cosα 1 str Šíření vlny z bodového zdroje v jednoosém anizotropním prostředí je kvalitativně naznačeno na str. 46,

5 vlnoplochy mají tvar elipsoidů, normály k vlnoplochám neleží na přímkách, ale jsou tečnami ke křivkám. Naproti tomu střední hodnoty Poyntingových vektorů leží v daném směru na přímkách a potvrzují pravidlo, že energie v homogenním prostředí se šíří přímočaře. Spektrální závislostií n 1( ω) a 3 ( ω) úhlové závislosti indexu lomu n e ( ϑ), směru Poyntingova vektoru ( ϑ) a Poyntingovým vektorem ( ϑ) n pro kalcit a křemen jsou uvedeny na str. 47, ϑ a úhlu mezi vlnovým α jsou na str Dobrou aproximací úhlové závislosti indexu mimořádné vlny pro malé rozdíly n3 n1 je n e ( ϑ) = n1 + ( n3 n1 ) sin ϑ, str. 51. Krátké shrnutí a obrázky řezů k-plochou, paprskovou plochou, indikatrixou a paprskovým elipsoidem pro kladné a záporné krystaly jsou na str Lom rovinné vlny na rovinném rozhraní vakuum jednoosý krystal (neabsorbující, homogenní, nemagnetický) Popis lomu je v anizotropním případě poněkud složitější než v izotropním. Důležité směry a úhly mezi nimi jsou shrnuty na str , a např. platí cosϑ cos Ψ cos Θ + sin Ψ sin Θ cos Φ, e = e e kde ϑ e je úhel mezi směrem vlnového vektoru mimořádné vlny a směrem optické osy, Ψ je úhel mezi normálou k rovině rozhraní a optickou osou, Θ e je úhel lomu (tj. úhel mezi vlnovým vektorem a normálou k rozhraní) a Φ je úhel mezi normálou k rovině dopadu (tj. rovina určená vlnovým vektorem a normálou k rozhraní) a normálou k rovině určené optickou osou a normálou k rozhraní. Obdobný vztah platí pro směry paprskové rychlosti (Poyntingova vektoru) popsané úhly ϑ ' a Θ. ' e Podmínky na rozhraní požadují stejnou periodicitu pole ze strany vakua a ze strany r r r anizotropního prostředí, tedy průměty vlnových vektorů ki, ke ko do roviny rozhraní musí být stejné. To je v souladu se zákonem lomu no sin Θo = sin Θi, n ϑ sin Θ = sin Θ e ( ) e i ale úloha je komplikována směrovou závislostí ( ϑ) n e a vztahem mezi úhlem lomu e Θ a úhlem ϑ. Obrázek řezu k-plochou pro případ, že optická osa leží v rovině dopadu je na str. 59, řez indikatrixou naznačující směry E r e a D r e v lomené mimořádné vlně na str. 60.

6 V dalším je ukázáno několik příkladů zákona lomu v jednoduchých geometrických uspořádáních. A) optická osa kolmá na rovinu rozhraní n3 sin Θi tan Θe = n 1 n sin Θ tan Θ' e n = n 1 3 n 3 3 sin Θ i sin B) optická osa v rovině rozhraní a v rovině dopadu n1 sin Θi tan Θe = n 3 n sin tan Θ' e n = n 3 1 n 1 1 sin Θ i sin C) optická osa v rovině rozhraní a kolmá na rovinu dopadu sin Θi sin Θ e = n D) kolmý dopad při obecném směru optické osy Ψ = ϑ Θ = 0 e Θ' e = n 3 n + 3 n1 n 1 tan 3 Θ Θ Θ i i i i, tan Ψ, Ψ E) optická osa v rovině rozhraní a svírá s rovinou dopadu úhel Φ n1 sin Θi tan Θe = n n n sin Θ sin Φ n sin Θ cos tan Θ' = sin n 1 Θ sin i sin K poslednímu případu výpočet a obrázky pro e n n n Θ i i Φ + n sin sin Φ n 3 Θ sin i 0 Φ = 45 jsou na cos Θ i i Φ cos Φ, Φ str , str , str , str , str str Kolmý dopad na fázovou destičku Aplikačně je velmi důležitý případ kolmého dopadu na rozhraní s optickou osou v rovině rozhraní realizace fázové destičky, důležitého polarizačního prvku. Vstupuje-li do destičky lineárně polarizované záření, jehož rovina polarizace svírá s optickou osou z destičky úhel α 0, po dráze x je fázový rozdíl mezi složkou kmitající ve směru optické osy (z) a složkou kmitající ve směru kolmém (y) δ ( x) = ω ( n3 n1 )x c

7 a vlna je elipticky polarizovaná s parametry elipsy E tan α ( x) = tan α 0 cosδ ( x), tanα 0 = E a b ( x) = E0z cos α( x) + E0 y sin α( x) + E0 y E0z sinα( x) cosα ( x) cosδ ( x) ( x) = E sin α( x) + E cos α( x) E E sinα( x) cosα ( x) cosδ ( x). 0z Jednoduchý případ nastane pro δ 0 y 0 y 0z 0 y 0z α = 45 o, kdy též o 0 α = 45 nezávisle na δ. Pro π δ x = m + 1 je vlna polarizovaná ( x ) = mπ je vlna lineárně polarizovaná, pro ( ) ( ) kruhově, str Ideální funkce fázové destičky je ovlivněna rozdílem reflexních koeficientů pro řádnou a mimořádnou vlnu, str , vícenásobnými odrazy v destičce, str i spektrální závislostí rozdílu n3 n1, str Amplitudová propustnost destičky ( paralelní rozhraní) při kolmém dopadu a obecné 4ne ( ϑ) 4n1 poloze optické osy je pro mimořádnou vlnu, pro řádnou vlnu (při ( 1+ n ( ϑ) ) e ( ) 1+ n1 zanedbání vícenásobných odrazů v destičce), str Fázová destička mezi polarizátorem a analyzátorem, kolmý dopad Za fázovou destičkou dojde sice ke změně polarizačního stavu, nikoli však ke změně intenzity záření, kterou jsme schopni detekovat, což je ve shodě s pravidlem, že ortogonálně polarizované vlny neinterferují. K převedení změn polarizace na změny intenzity lze použít analyzátoru (tj. polarizátor umístěný za destičkou). Je-li úhel mezi kmitosměrem polarizátoru s optickou osou destičky π α, úhel kmitosměru analyzátoru s optickou osou destičky π β, je intenzita záření za analyzátorem úměrná I E + E + E E cosδ, E = E cosα cos β, 0 E 0 = E 0 sinα sin β, což vyjadřuje interferenci lineárně polarizovaných vln o amplitudách E 01 a E 0 polarizovaných ve stejném směru (kmitosměru analyzátoru) a majících fázový rozdílδ, str V obvyklé konfiguraci zkříženého polarizátoru a analyzátoru α = β + π dostaneme pro intenzitu za analyzátorem E 0 sin α sin δ, což dá při α = π intenzitu 4 E sin δ 0, str

8 Šikmý průchod dvojlomnou planparalelní deskou Vlna dopadající na desku se rozdělí na řádnou a mimořádnou vlnu, ty se šíří v desce s různými fázovými rychlostmi a různými směry. Po výstupu z desky tloušťky d se opět šíří stejným směrem. Průchodem deskou získaly fázový rozdíl ω δ = d( n e cos Θe no cos Θo ), c To je poměrně složitou funkcí úhlu dopadu k rozhraní, úhlu Φ mezi rovinou dopadu a rovinou ( ) 0,opt.osa str Θ i, úhlu Ψ optické osy vůči normále n r 0 n r a indexů n 1 a n 3. Nechť na destičku dopadá mnoho rovinných vln z různých směrů, ale stejné polarizace určené orientací polarizátoru. Za analyzátorem pak lze pozorovat směry, v nichž je stejný fázový posuv mezi řádným a mimořádným paprskem na křivkách zvaných izochromatické čáry (izochromáty), nejlépe v ohniskové rovině čočky umístěné za analyzátorem. V aproximaci malých úhlů dopadu (v paraxiální aproximaci) v případě jednoosého krystalu jsou tyto čáry kuželosečkami: pro optickou osu kolmou na rovinu destičky jsou to kružnice, se zvětšujícím se úhlem mezi normálou k povrchu destičky a optickou osou jsou to postupně elipsy, část parabol a pro velké úhly Ψ jsou to hyperboly. Jejich geometrické charakteristiky závisí na vlnové délce a tloušťce destičky. Jaká část vstupující vlny se v krystalu šíří jako řádná vlna a jaká část jako mimořádná vlna je určeno polarizací dopadající vlny (určuje polarizátor), rovinou dopadu (určuje směr, ze kterého vlna přichází) a orientací optické osy. Aby izochromatické čáry byly pozorovatelné, musí na analyzátoru spolu interferovat složky odvozené od řádné i mimořádné vlny v krystalu. Nejjednodušeji to lze ukázat na případu kolmé optické osy na rovinu destičky. Např. když vlna dopadá z takového směru, že polarizátorem prochází pouze vlna polarizace s, lomená vlna je polarizována kolmo na optickou osu a krystalem se šíří pouze řádná vlna. Naopak ze směru určeného stejným úhlem dopadu, ale s rovinou dopadu otočenou o pravý úhel, je polarizace určená touž polohou polarizátoru typu p a příslušná lomená vlna se šíří jako mimořádná. V obou těchto případech dopadá na analyzátor jen jedna lineárně polarizovaná vlna o směru určeném orientací polarizátoru a interferenci nepozorujeme. Pro zkřížené polohy polarizátoru a analyzátoru vlna neprochází. Tyto směry jsou ve výsledném interferenčním obrazu označeny jako izogyrické čáry (izogyry, inkolory). Jejich geometrické charakteristiky závisí na orientaci optické osy v destičce a nezávisí na vlnové délce ani tloušťce destičky.

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20