16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát vyšší, 95 MJ. Přesto i zde je polystyrén výhodnějším materiálem a to opět díky své objemové hmotnosti a nižší následné spotřebě betonu a oceli v konstrukci. 2.5 Závěr Cílem první úlohy bylo ukázat chování jednotlivých parametrů průřezu v závislosti na zatížení, materiálech použitých v konstrukci a zejména na použití jednotlivých kritérií použitých v tom kterém optimalizačním procesu. Z výsledků vyplývají příspěvky jednotlivých materiálů použitých v konstrukci na celkovou hodnotu optimalizovaných veličin. V praxi však těžko můžeme předpokládat hojnou aplikaci konstrukcí, které budou sice šetrné k životnímu prostředí, ale jejich cena bude vysoká. Proto je návrh konstrukcí využitelných v praxi otázkou komplexního přístupu k problematice optimalizace a vede k řešení multikriteriálního problému optimalizace, pro který je tato úloha podkladem a podrobněji je uveden ve Studii 2. 3. Studie 2 - MULTIKRITERIÁLNÍ OTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Druhá studie se zabývá využitím multikriteriální optimalizace pro optimalizaci železobetonového komůrkového průřezu v environmentálních souvislostech. Za tímto účelem byl v programu Microsoft Excel vytvořen optimalizační algoritmus, který je schopen optimalizovat klasický výřez komůrkového/žebrového stropu dle různých kritérií najednou. Zvolenými kritérii v rámci této studie jsou rovněž svázané emise CO 2, SO 2, energie a cena. 3.1 Optimalizační proměnné a účelová funkce Úloha opět pracuje, stejně jako v úloze předchozí, se čtyřmi optimalizačními proměnnými, jedná se o geometrické optimalizační proměnné: a) celková tloušťka stropní konstrukce h; b) tloušťka horní železobetonové stropní desky h f ; c) šířka žebra b w ; d) plocha hlavní ohybové výztuže A S. Z hlediska průběhu optimalizačního procesu jsou uvažovány jako kontinuální proměnné. Účelová funkce L(x i ) = Σw i.l i,norm = w 1.L 1,norm + w 2.L 2,norm + w 3.L 3,norm + w 4.L 4,norm, kde: L(x i ). výsledná hodnota účelové funkce; w i. váhové konstanty [ - ]; L i,norm normované účelové funkce, L i,norm = (L i (x) L i,min )/(L i,max L i,min ) [ - ], L i,min minimální hodnota účelové funkce; L i,max maximální hodnota účelové funkce; L i (x) hodnota účelové funkce pro aktuální optimalizační proměnné; i... i = 1,, 4; index představuje jednotlivá optimalizační kritéria, tedy: 1) cena [Kč/m 3 ]; 2) svázané emise CO 2 [kg CO 2 ekviv./kg]; 3) svázané emise SO 2 [g SO 2 ekviv./kg]; 4) svázaná energie [MJ/kg].
17 Výsledná účelová funkce L(x i ) je tedy definována jako suma součinů jednotlivých normovaných účelových funkcí a vah, přiřazených k jednotlivým účelovým funkcím. Jednotlivé účelové funkce jsou normovány jednou z metod řešení vícekriteriální optimalizace metodou funkce užitku (utility function), viz. obr. 13 (str. 20). Výpočtem minima výsledné účelové funkce, v závislosti na příspěvcích jednotlivých normovaných účelových funkcí daných vahami, je možné určit optimální hodnoty geometrických optimalizačních proměnných, při nichž je minimum výsledné účelové funkce s určitou zadanou přesností dosaženo. 3.2 Parametry konstrukce a omezující podmínky Parametry konstrukce, tzv. invarianty představují hodnoty, které se nemění v průběhu výpočtu minimální hodnoty účelové funkce a vymezují prostředí výpočtu. Jsou to parametry, které charakterizují vlastní optimalizovanou stropní konstrukci a průřez (rozpětí konstrukce, stálé a nahodilé zatížení, druhy jednotlivých materiálů betonu, oceli, stropní vložky, některé průřezové charakteristiky atd.). Jako zvláštní skupinu invariantů je možno přiřadit skupinu vah (w i, i = 1,, n(4)), jež jsou nástrojem použité metody normování účelových funkcí a významnou měrou se podílí na výsledku celého optimalizačního procesu. Omezující podmínky se dají rozdělit do dvou skupin. Jsou to omezující podmínky přirozené a implicitní. Přirozené omezující podmínky (x i.min x i x i,max, i = 1,, n(4)) vymezují návrhovou oblast a představují technologická a konstrukční omezení jednotlivých geometrických optimalizačních proměnných. Implicitní omezující podmínky (g j ({x i }) 0, j = 1,, m) vymezují v daném n-rozměrném prostoru tzv. přípustnou oblast a představují omezení vycházející z vlastního posouzení optimalizovaného průřezu podle normy ČSN P ENV 1992-1-1 Navrhování betonových konstrukcí. Jedná se o tzv. podmínky chování, jež v sobě zahrnují omezení podmíněná splněním požadavků I.MS (ohyb, smyk) a II.MS (průhyb). 3.3 Výpočet pomocí Řešitele MS Excel Vlastní princip a fungování Řešitele Microsoft Excel je již popsáno v kap. 2.3 na str. 5. Výpočet optimálních hodnot geometrických optimalizačních proměnných probíhá při multikriteriální optimalizaci v následujících krocích: a) zadání parametrů konstrukce a omezujících podmínek, zadání vah b) spuštění optimalizačního algoritmu Řešitele c) pomocné výpočty objemy jednotlivých materiálů v průřezu [m 3 ] d) normování jednotlivých účelových funkcí metodou funkce užitku e) výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS ohyb f) výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS smyk g) výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS průhyb h) hledání minima výsledné účelové funkce L(x i ) pomocí Řešitele Výsledkem řešené úlohy jsou optimální hodnoty geometrických optimalizačních proměnných: celková tloušťka stropní konstrukce h [mm] tloušťka horní železobetonové stropní desky h f [mm] šířka žebra b w [mm] plocha hlavní ohybové výztuže A S [mm 2 ]
18 V druhé studii byly použity pro stropní konstrukci materiály s těmito parametry: materiál objemová hmotnost [kg/m 3 ] cena [Kč/m 3 ] sváz. emise CO 2 [kg CO 2 ekviv./kg] sváz. emise SO 2 [g SO 2 ekviv./kg] sváz. energie [MJ/kg] BETON C35/45 2 400 2 727 0,13 0,50 0,80 OCEL R 10 505 7 850 172 700 0,80 3,60 13,00 STROPNÍ VLOŽKY betonová dutinová (obr. 11a) štěpkocementová (obr. 11b) keramická dutinová (obr. 3a) z pěnového polystyrenu (obr. 3b) pórobetonová (obr. 11c) z recyklovaného plastu (obr. 11d) 1190 1 835 0,16 0,60 1,30 800 materiál 8 712 materiál 0,10 1,80 4,10 800 2 190 0,13 0,40 2,60 20 2 290 2,30 20,00 95,00 500 2 558 0,50 1,40 4,20 1060 materiál 15 590 materiál 0,492 1,05 7,36 Tab. 2) Materiálové charakteristiky použité v optimalizačním výpočtu 11a) vložka betonová dutinová 11b) vložka štěpkocementová 11c) vložka pórobetonová 11d) vložka z recyklovaného plastu Obr. 11) Schémata průřezů stropních vložek použitých v druhé studii Na následujících obrázcích jsou uvedeny jednotlivé strany zpracovaného modelu optimalizačního výpočtu komůrkového železobetonového průřezu v prostředí Microsoft Excel. Žluté a rozbalovací buňky jsou parametry konstrukce (invarianty) zadávající se před výpočtem, modré buňky jsou optimalizační proměnné a všechny ostatní buňky jsou automaticky přepočítávány během výpočtu.
19 Obr. 12) Úvodní strana výpočtu s buňkami optimalizačních proměnných, omezujících podmínek a invariant
20 Obr. 13) Strana 2 výpočtu: pomocné výpočty, normování, výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS
21 Obr. 14) Strana 3 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek I.MS
22 Obr. 15) Strana 4 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS
23 Obr. 16) Strana 5 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS
24 Obr. 17) Strana 6 výpočtu: výpočet implicitních omezujících podmínek II.MS
25 3.4 Hodnocení vybraných stropních konstrukcí Pro prezentaci výsledků multikriteriální optimalizace byly vybrány podobné parametrické studie jako v první úloze, s tím rozdílem, že k optimalizaci bylo využito prozatímních šesti stropních vložek z databáze programu. Použity byly stropní vložky: betonové dutinové, štěpkocementové, keramické dutinové, z pěnového polystyrenu, pórobetonové, z recyklovaného plastu (viz. tab. 2, obr. 11 na str. 18). Váhy pro jednotlivá optimalizační kritéria byly stanoveny takto: cena 0,4; svázané emise CO 2 0,24; svázané emise SO 2 0,24; svázaná energie 0,12. vložka betonová dutinová vložka štěpkocementová vložka keramická dutinová vložka z pěnového polystyrenu vložka pórobetonová vložka z recyklovaného plastu Obr. 18) Optimalizované výseky stropní konstrukce V první parametrické studii byly opět sledovány optimalizační proměnné, tedy geometrické charakteristiky průřezu v závislosti na užitném zatížení působícím na danou konstrukci. Teoretické rozpětí stropní konstrukce bylo uvažováno rovněž 6 m, vzdálenost žeber 500 mm, tloušťka podhledové desky 30 mm. Beton C35/45, ocel R 10 505. Zatížení vyjma vlastní tíhy konstrukce, stálé g k = 1,5 kn/m 2 a užitné q k = 1,0-4,0 kn/m 2. Jednotlivé průřezy (viz. obr. 18) byly optimalizovány podle čtyřech optimalizačních kritérií - jednotlivých účelových funkcí (cena, svázané emise CO 2, SO 2, energie) v poměrech, které určuje stanovení vah.
26 Optimální hodnoty geometrických charakteristik průřezů optimalizačních proměnných jsou uvedeny v následujících grafech Graf. 7 a 8. Graf. 7) A: celková tloušťka stropu h B: tloušťka horní desky h f Graf. 8) A: šířka žebra b w B: plocha hlavní ohybové výztuže A S V grafu 7A) je opět zřejmá téměř lineární závislost celkové tloušťky stropní konstrukce na zatížení. Dobře patrný je i vliv objemové hmotnosti jednotlivých vložek na celkovou tloušťku stropní konstrukce. U ostatních geometrických optimalizačních proměnných, tedy tloušťky horní desky, žebra a plochy ohybové výztuže, již je nárůst pozvolnější, v řádu přibližně 10 15 mm, u plochy výztuže potom 10 25 mm 2. Příčinou pozvolnějšího nárůstu nebo dokonce poklesu jednotlivých tlouštěk průřezu, plochy výztuže je právě nárůst celkové tloušťky průřezu a tedy účinné výšky průřezu. Významný vliv mají na tyto geometrické optimalizační proměnné vlastní optimalizační kritéria, stanovení vah a samozřejmě jednotlivé materiálové koeficienty (cena, svázané emise, energie) stropních vložek. V neposlední řadě má na tyto odchylky, tedy některé náhlé poklesy či vzestupy optimalizovaných veličin, významný vliv možnost nastavení velikosti kroku optimalizačního procesu v Řešiteli, tedy reálná rychlost konvergence. Proto je v tomto případě řešení multikriteriální optimalizace lépe mluvit o pásech optimálních řešení nikoli pak o přímkách, či liniích po částech spojitých. Druhá parametrická studie vychází ze stejných okrajových podmínek jako první studie, pouze užitné zatížení není opět proměnné, je rovno 2,0 kn/m 2 a celková tloušťka stropní konstrukce byla zadána jako invariant (vyřazena z optimalizačních proměnných), zvolena byla hodnota h = 250 mm, která zaručovala splnění všech implicitních okrajových podmínek stropními konstrukcemi se všemi druhy stropních vložek. Během studie byly postupně optimalizovány stropní výseky se všemi druhy stropních vložek a byly sledovány a zaznamenávány absolutní hodnoty plošné hmotnosti, ceny, svázaných emisí CO 2, SO 2 a svázané energie v jednotlivých
27 materiálech na m 2 stropní konstrukce. Výsledky jsou prezentovány v grafech Graf. 9 až Graf. 13. Graf. 9) Plošné hmotnosti stropních konstrukcí - kg/m 2 Plošná hmotnost stropních konstrukcí (Graf. 9) jak již bylo zmíněno v kap. 2.4 hraje významnou roli v optimalizačním procesu objemová hmotnost stropních vložek. Má významný vliv na nárůst celkové tloušťky stropní konstrukce a tedy i na vlastní spotřebu betonu a oceli. Přesto je z grafu patrno, vyjma stropní vložky štěpkocementové a z pěnového polystyrenu, že plošná hmotnost betonu je u všech stropních konstrukcí přibližně stejná s rozptylem asi 10 kg/m 2, u oceli je rozdíl okolo 1 kg/m 2. Nejvýznamnější z hlediska celkové plošné hmotnosti stropní konstrukce je pak právě příspěvek stropní vložky, který se pohybuje v rozmezí 3,1 kg/m 2 u vložky z pěnového polystyrenu až po asi 172 kg/m 2 u vložky betonové dutinové. Přesto u všech stropních vložek dochází k významnému vylehčení oproti plné železobetonové desce, která by v tloušťce 250 mm měla plošnou hmotnost okolo 600 kg/m 2. Graf. 10) Ceny stropních konstrukcí - Kč/m 2 Ceny stropních konstrukcí (Graf. 10) přestože některé stropní vložky byly znevýhodněny při srovnání ceny, ale i svázaných emisí a energií, neboť stropní konstrukce s těmito vložkami by byly schopny přenést dané zatížení s menší celkovou tloušťkou stropní konstrukce, tedy i
28 menším objemem betonu, oceli a nakonec i vlastní vložky, zůstávají i tak některé tyto vložky v lepších hodnotách oproti vložkám větších objemových hmotností. Jedná se zejména o stropní konstrukce s vložkou z pěnového polystyrenu (749 Kč/m 2 ) a recyklovaného plastu (825 Kč/m 2 ). Z hlediska ceny se při takto nastavených vahách a parametrech konstrukcí jeví jako nejvýhodnější stropní konstrukce s vložkou betonovou dutinovou (723 Kč/m 2 ). Naopak jako nevýhodná z hlediska ceny se ukazuje stropní konstrukce s vložkou štěpkocementovou (896 Kč/m 2 ), která je znevýhodněna již zmíněnou celkovou výškou konstrukce h = 250 mm a zejména pak vysokou cenou materiálu, jehož pořizovací cena je v tloušťce desek 25 mm 217,80 Kč/m 2. Graf. 11) Hodnoty svázaných emisí CO 2 ve stropních konstrukcích kg CO 2 ekviv./m 2 Graf. 12) Hodnoty svázaných emisí SO 2 ve stropních konstrukcích g SO 2 ekviv./m 2 Hodnoty svázaných emisí a energií stropních konstrukcí (Graf. 11 až 13) zde se opět projevuje vztah vázaných emisí a energií na 1kg materiálu a tedy výhoda vložek nižších objemových hmotností. Jasně nevýhodné jsou z hlediska environmentálního, zejména podle svázaných emisí CO 2 a SO 2, vložky betonové dutinové, právě vzhledem ke své velké objemové hmotnosti, a vložky pórobetonové, které ke své větší objemové hmotnosti oproti
29 Graf. 13) Hodnoty svázaných energií ve stropních konstrukcích MJ/m 2 jiným vložkám přibírají ještě značnou energetickou náročnost při výrobě. Hodnoty svázaných emisí se opět pohybují v nižších hodnotách u vložky štěpkocementové, polystyrénové a zejména pak u vložky z recyklovaného plastu, která se ze všech tří kritérií jeví jako výhodná. Jako vůbec nejvýhodnější jsou z hlediska ceny, svázaných emisí a energií stropní konstrukce s vložkami nižších objemových hmotností, tedy s vložkami z pěnového polystyrenu a recyklovaného plastu. Vložka štěpkocementová se z hlediska environmentálního ukazuje také jako velmi výhodná, bohužel z hlediska ceny je na tom ze všech šesti sledovaných konstrukcí nejhůře. 3.5 Závěr Cílem druhé úlohy bylo ukázat chování jednotlivých parametrů průřezu v závislosti na zatížení, materiálech použitých v konstrukci a zejména na použitých kritériích v multikriteriálním optimalizačním procesu. Z výsledků vyplývají příspěvky jednotlivých materiálů použitých v konstrukci na celkovou hodnotu optimalizovaných veličin. V praxi je návrh konstrukcí otázkou komplexního přístupu k problematice optimalizace a nejčastěji je řešením multikriteriálního problému. Právě tato úloha měla ukázat jeden z možných přístupů v oblasti návrhů a multikriteriálních optimalizací stropních konstrukcí.