Počítače a fyzika. Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006

Transkript

1 1/99 Počítače a fyzika Počítače a fyzika Stanislav Hledík Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006 Abstrakt Počítače a fyzika? Proč ne Fyzika a počítače? A co tak Lidé, počítače a fyzika? Subjektivní pohled očima fyzika, který se s počítači důvěrněji seznámil až poté, co se trochu vyznal ve fyzice.

2 2/99 Počítače a fyzika Obsah 1 Historie Kalkulační pomůcky Počátek 19. století Konec 19. a začátek 20. století První půle 20. století Poválečný rozmach počítačů Vznik počítačového průmyslu Boom mikroprocesorů a personálních počítačů Pár historických výroků Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Příklad na vytvoření počítačové simulace Některé další metody používané v numerických simulacích Další příklad počítačové simulace Reference

3 3/99 Počítače a fyzika 1. Historie Počítače jsou nespolehlivé, lidé také. Avšak počítače jsou v tom mnohem důkladnější. Murphy Fyzika a matematika nejbohatší zdroj podnětů pro rozvoj počítačové technologie; nedávný příklad (1989): CERN Timothy Berners-Lee vynalezl WEB Numerické výpočty byly a jsou potřebné ve fyzice, astronomii, technice, vojenství,... dnes ve všech odvětvích vědy Symbolické manipulace (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 důležité v matematice a teoretické fyzice Počítačová grafika, multimédia moderní odvětví computer science Komunikace, zábava Internet, , počítačové hry, video,... Fyzika Počítače

4 4/99 Počítače a fyzika Orientace v čase Počítání dnů, období, kalendář (Stonehenge v Anglii cca 2800 př. n. l.) Orientace v prostoru Délky, kusy,... Číselné soustavy Desítková, dvanáctková, šedesátková (v anglosaském světě dodnes), dvacítková

5 5/99 Počítače a fyzika Kalkulační pomůcky Čína: abakus (ruská verze)

6 6/99 Počítače a fyzika Pascalina z r francouzského matematika Blaise Pascala ( )

7 7/99 Počítače a fyzika Další kalkulační strojky; vpravo nahoře Leibnizův, v zámku Raduň mechanický kalkulátor pro výpočet daní

8 8/99 Počítače a fyzika... a donedávna používané logaritmické pravítko

9 9/99 Počítače a fyzika Počátek 19. století Charles Babbage, , Anglie: matematik, posedlost kvantifikací čehokoliv, obdivovatel železnice, tunely, žaludeční výplachové pumpy, studoval odolnost lidského těla vůči vysokým teplotám. Nenáviděl pouliční hudebníky, pokoušel se matematicky předpovídat dostihové výsledky. V oblasti výstavby počítačů předběhl dobu o cca 100 let : stavba Difference Engine, řízen pevným programem, pohon parním strojem, rozloha fotbalového hřiště, pro výpočty matematických tabulek, zůstal nedokončen

10 10/99 Počítače a fyzika 1854: děrnými štítky řízený Analytical Engine idea děrných štítků převzata od tkalce a průmyslníka J. M. Jacquarda a mechanika J. de Vausancona. Idea podmíněného skoku připisována Babbageově dlouholeté přítelkyni lady Lovelace

11 11/99 Počítače a fyzika Ada Byron, Lady Lovelace ( ) matematička, první programátor na světě, autorka myšlenky podmíněného skoku v programu, popularizátorka díla Charlese Babbage. V r překlad Babbageova článku o Difference machine, doplněn o její vlastní poznámky.

12 12/99 Počítače a fyzika Podmíněný skok: if (k > 0)... pro kladné k udělá program toto... else... a pro záporné nebo nulové k zase tohle Větvení programu (skok) podle splnění či nesplnění podmínky. Na její počest nazván programovací jazyk Ada vyvinutý v roce 1979 pro potřeby US ministerstva obrany.

13 13/99 Počítače a fyzika Příklad na podmíněný skok: Gaussův algoritmus pro výpočet data Velikonoční neděle (první neděle po prvním jarním úplňku). Vstupem je rok (proměnná year), výstupem měsíc březen (4) nebo duben (3) a den (proměnná day): day=(19*(year%19)+24)%30; day=day+22+((5+2*(year%4)+4*(year%7)+6*day)%7); if (day>=57) day = day-7; if (day>31) printf("%s%2d\n"," 4 ",day-31); else printf("%s%2d\n"," 3 ",day);

14 14/99 Počítače a fyzika

15 15/99 Počítače a fyzika Konec 19. a začátek 20. století Řízení mechanickým záznamem děrné štítky, válce s výstupky, mechanické automaty, hrací strojky,... Herman Hollerith navrhl tabulátor třídil děrné štítky podle kódu ve formě perforovaných otvorů, použito pro sčítání obyvatel r v USA. Značně omezené použití, ale velmi rozšířené. Zakladatel International Business Machines. Začátek 20. stol. ve znamení Hollerithových kalkulátorů První půle 20. století Období mezi světovými válkami Konrad Zuse a Alan Turing. 2. svět. válka hlavně vojenské využití Poválečný rozvoj Vývojový trend přesměrován do komerčních aplikací, USA získávají světovou dominanci v poč. technologiích

16 16/99 Počítače a fyzika Konrad Zuse ( ) Německý letecký inženýr u Henschel Flugzeugwerke, statické výpočty letadel jej r přivedly k myšlence konstrukce výpočetního stroje. Neznal dílo Ch. Babbage. R první stroj Z1 s elektromag. relé. R opět reléový počítač Z3 (2400 relé) řízený děrnou páskou, 50 operací/s, první počítač využívající binární číselné soustavy. R Z4 s větším výkonem, na konci války putoval složitě až na curyšskou polytechniku, zde až do r Zuse Institut Berlin:

17 17/99 Počítače a fyzika Detail Z1, 1938

18 18/99 Počítače a fyzika Rekonstruovaný Z3, poprvé použita binární soustava, 1939

19 19/99 Počítače a fyzika Z4, 1942

20 20/99 Počítače a fyzika Detail Z4

21 21/99 Počítače a fyzika K. Zuse u repliky svého počítače

22 22/99 Počítače a fyzika Binární čísla Dekadická soustava báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0,..., 9: =

23 22/99 Počítače a fyzika Binární čísla Dekadická soustava báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0,..., 9: = Dvojková soustava (binary system) báze 2, dvě číslice (bit = binary digit) 0, 1: = = LSB = least signif. bit MSB LSB MSB LSB MSB = most signif. bit

24 23/99 Počítače a fyzika Aritmetické operace s binárními čísly Analogicky jako v dekadické soustavě: = 1, = (10) 2 = (2) 10, (10) = (11) 2 = (3) 10, atd

25 24/99 Počítače a fyzika Konverze z dekadické do dvojkové soustavy Celočíselná část: 109 Kvocient : 2 Zbytek LSB MSB Pozor! Opačné pořadí: LSB MSB. Zlomková část: Zlomek Celé č MSB LSB

26 25/99 Počítače a fyzika Alan Mathison Turing ( ) Britský matematik zabývající se vztahem stroje a přírody umělá inteligence (AI). V r článek On Computable Numbers, v němž popsal hypotetické zařízení zvané dnes Turingův stroj: teoretický základ programovatelných počítacích strojů. V r článek popisující možnost testování inteligence stroje Turingův test. Ve válečných letech práce pro armádu rozluštění kódu německého šifrovacího stroje Enigma. Od r na univerzitě v Manchesteru: vývoj počítacího stroje MADAM (Manchester Digital Automatic Machine).

27 26/99 Počítače a fyzika Turing byl vynikající běžec (maratón pod 3 hodiny).

28 27/99 Počítače a fyzika Příklad jednoduchého Turingova stroje Čtecí/záznamová hlava Děrná páska Stav 3 Start Stav 2 0 Stav 1

29 28/99 Počítače a fyzika Poválečný rozmach počítačů Howard H. Aiken ( ) r na Harvardu reléový Mark I, 23 dekadických míst, log, cos, sin, tg, papírová děrná páska bez zpětného chodu, později Mark II (1947). John W. Mauchly, J. Presper Eckert v r na pensylvánské univerzitě ENIAC (Electrical Numerical Integrator and Calculator) 10 dekadických míst, elektronek, 30 tun (rozměry 30 m 3 m 1 m). Používán armádou do r pro balistickou laboratoř. Na vývoji ENIACu se podílel John von Neumann.

30 29/99 Počítače a fyzika Mark I

31 30/99 Počítače a fyzika ENIAC

32 31/99 Počítače a fyzika ENIAC

33 32/99 Počítače a fyzika John von Neumann ( ) Americký matematik maďarského původu, působil na univerzitě v Princetonu v USA. Během 2. světové války působil jako expert a konzultant několika vládních komisí a byl ve styku s vědci, kteří byli z důvodu utajení od sebe izolováni. Díky tomu měl obrovský přehled v trendech vývoje počítačů. Přivedl k sobě skupinu vědců z Los Alamos (atomová bomba) a skupinu připravující ENIAC. V r publikoval závěry, podle nichž může pčítač mít pevnou fyzickou strukturu a přesto může provádět jakékoliv výpočty řízené programem: von Neumannova koncepce.

34 33/99 Počítače a fyzika John von Neumann

35 34/99 Počítače a fyzika J. R. Oppenheimer a John von Neumann

36 35/99 Počítače a fyzika

37 36/99 Počítače a fyzika Výsledkem von Neumannových prací: flexibilnější a účinnější programování s možností knihovních subrutin. EDVAC Electronic Discrete Variable Automatic Computer, John W. Mauchly, J. Presper Eckert UNIVAC použit při odhadu volebních výsledků v US prezidentské kampani r Předpověď Eisehowerova vítězství, ačkoli novináři nevěřili a uveřejnili opak. Nakonec se předpověď potvrdila a média oslavovala novou techniku. Ferranti Mark I v Anglii na univerzitě v Manchesteru r. 1949, paměťová elektronka F. C. Williamse a T. Kilburna. První demo programy napsány A. Turingem. EDSAC Electronic Delay Storage Automatic Calculator r pod vedením M. V. Wilkese

38 37/99 Počítače a fyzika UNIVAC

39 38/99 Počítače a fyzika Vznik počítačového průmyslu Pionýrská doba: na univerzitách, v armádě; ojedinělé exempláře Průmyslová výroba: počítačoví nadšenci z univerzitního vývoje, obvykle se dostali do finančních problémů a skončili u zavedených firem Tyto obchodně zdatné firmy si uvědomily možnost nového trhu IBM měla počáteční kapitál z prodeje Hollerithových tabulátorů, dosud jeden z největších dodavatelů počítačů na světě Počítače založené na elektronkách:

40 39/99 Počítače a fyzika Přelomový model IBM 360 z roku 1964, založený na monolitických a hybridních obvodech, stavebnicová struktura používaná v podstatě dodnes.

41 40/99 Počítače a fyzika Boom mikroprocesorů a personálních počítačů Altair 8800 v roce 1975 stavebnice fy MITS za 400 USD, paměť 256 Byte, uživatel si musel psát programy sám ve strojovém kódu, neboť na trhu žádné nebyly. Apple II Steve Wozniak a Steve Jobs se zabudovaným interpretem BASICu, barevnou grafikou a 4.1 kb paměti, cena 1300 USD IBM malý počítač Acorn, později známý pod názvem IBM PC. 16 kb operační paměti, klávesnici z el. psacího stroje IBM a připojení ke kazetovému magnetofonu, cena 1300 USD. IBM uvolnilo zdrojový kód tzv. BIOSu a vznikla řada klonů IBM PC kompatibilních počítačů. Apple Macintosh r. 1984, s GUI (grafické rozhraní) IBM 286-AT s aplikací Lotus a Microsoft Word Intel dodavatel mikroprocesorů Microsoft a fenomén Bill Gates

42 41/99 Počítače a fyzika Apple I

43 42/99 Počítače a fyzika Apple II

44 43/99 Počítače a fyzika Apple Macintosh (1984)

45 44/99 Počítače a fyzika Velký superpočítač Cray I ze 70. let

46 45/99 Počítače a fyzika IBM PC

47 46/99 Počítače a fyzika Sinclair ZX80 a ZX 81

48 47/99 Počítače a fyzika Pár historických výroků Vypadá to že jsme narazili na hranici toho, čeho je možné dosáhnout s počítačovými technologiemi. Člověk by si ale měl dávat pozor na takováto tvrzení, protože do 5 let se obvykle ukáží jako pěkná pitomost. John von Neumann, 1949 Počítače by v budoucnu mohly vážit i méně než 1,5 tuny. Časopis Popular Mechanics, 1949 Ale... k čemu by to mohlo být dobré? IBM, 1968 Nemyslím si, že by na světovém trhu byla poptávka po více než pěti počítačích. Thomas J. Watson, 1943 Pro pokrytí celosvětových potřeb by mělo stačit asi deset počítačů. Thomas J. Watson, 1946 Není žádný důvod, proč by lidé měli mít počítače doma. Ken Olsen, 1977 Jednoho dne budeme mít osobní počítače a budeme žít normálněji... Donald E. Knuth, 1978 Počítače jsou k ničemu. Dokáží pouze poskytovat odpovědi. Pablo Picasso 640 KB paměti by mělo každému stačit. Bill Gates, 1981

49 48/99 Počítače a fyzika 2. Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači Binární čísla, aritmetika s binárními čísly Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla: IEEE standard pro reálná čísla Operace s reálnými čísly

50 48/99 Počítače a fyzika 2. Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači Binární čísla, aritmetika s binárními čísly Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla: IEEE standard pro reálná čísla Operace s reálnými čísly Pojďme si s nimi na chvíli pohrát...

51 49/99 Počítače a fyzika Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být ručnímu řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu.

52 49/99 Počítače a fyzika Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být ručnímu řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu. Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška Mgr. Gabriela Töröka zpracování experimentálních dat z rentgenových družic.

53 49/99 Počítače a fyzika Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být ručnímu řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu. Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška Mgr. Gabriela Töröka zpracování experimentálních dat z rentgenových družic. Řízení experimentu: Urychlovače, Hubbleův vesmírný teleskop, ale v podstatě každý novější laboratorní přístroj je do jisté míry řízen počítačem. Mobily, elektronické systémy aut,...

54 50/99 Počítače a fyzika Příklad na vytvoření počítačové simulace (síla na míč) = (tíhová)

55 50/99 Počítače a fyzika Příklad na vytvoření počítačové simulace (síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu)

56 50/99 Počítače a fyzika Příklad na vytvoření počítačové simulace (síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu) + (Magnusova)

57 51/99 Počítače a fyzika Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh)

58 51/99 Počítače a fyzika Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh) Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka

59 51/99 Počítače a fyzika Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh) Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka Připočtení rotace (faleš): kulatý míč se začne chovat podobně jako křídlo letadla, vzniká vztlak, který jej vychyluje z dráhy Magnusova síla proudnice odpor rotace rychlost odpor vztlak rychlost proudnice

60 52/99 Počítače a fyzika Výsledkem je soustava tří ODR (tzv. pohybových rovnic) pro tři souřadnice středu míče x, y, z: m d2 x dt 2 = 1 dx ( C(v)Sρv 2 dt +C dz MρΩv n y dt n dy ) z dt m d2 y dt 2 = 1 dy ( C(v)Sρv 2 dt +C dx MρΩv n z dt n dz ) x dt m d2 z dt 2 = mg 1 2 ( dx dt přičemž ještě v = dz ( C(v)Sρv dt +C dy MρΩv n x dt n y ) 2 ( + dy ) 2 ( dt + dz ) 2. dt dx ) dt Kromě pohybových rovnic musíme znát počáteční podmínky: odkud a jakou rychlostí fotbalista míč vykopl v čase, který si označíme 0.

61 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost:

62 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost: 2. Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu:

63 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost: 2. Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu: 3. Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu:

64 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost: 2. Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu: 3. Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu: atd. atd. Pozor musíme mít odhad chyby:

65 54/99 Počítače a fyzika Co od nás počítač bude vyžadovat? Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge Kutta, další pak Bulirsch Stoer Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu.

66 54/99 Počítače a fyzika Co od nás počítač bude vyžadovat? Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge Kutta, další pak Bulirsch Stoer Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu. Jak tyto údaje počítači sdělíme? Pomocí programu. V začátcích počítačů se instrukce programu i data vkládaly pomocí strojového kódu extrémně nepřehledné a špatně modifikovatelné, navíc závislé na hardwaru. Dnes: pomocí určitého programovacího jazyka. Algoritmus = myšlenka, program = její vyjádření v konkrétním jazyce

67 55/99 Počítače a fyzika Programovací jazyky používané pro numerické simulace ve fyzice: Nízkoúrovňové jazyky: C, C++, Fortran #include <stdio.h> int main(void) { float x=1.0/3.0; putchar( \n ); if (3.0*x==1.0) printf("%s\n","correct"); else printf("%s\n","incorrect"); return 0; } PROGRAM quiz_inc IMPLICIT NONE REAL :: x=1.0/3.0 PRINT* IF ((3.0*x).EQ. 1.0) THEN PRINT*, Correct ELSE PRINT*, Incorrect END IF STOP END PROGRAM quiz_inc Vysokoúrovňové jazyky: Mathematica, Maple, IMSL,... Obvykle integrují i grafiku a animaci. N[(1.0/3.0)*3.0]

68 56/99 Počítače a fyzika Ukázka řešení ODR simulace pádu do černé díry. Na rozdíl od míče musíme spočítat dráhu fotonu pro každý obrazový bod pixel!

69 57/99 Počítače a fyzika Některé další metody používané v numerických simulacích Řešení lineárních algebraických rovnic Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x y = x 2.2y = 17.5

70 57/99 Počítače a fyzika Některé další metody používané v numerických simulacích Řešení lineárních algebraických rovnic Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x y = x 2.2y = 17.5 Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z: 4.76x y 67.0z = x 2.2y z = x 2.1y 91.6z = 7.12

71 57/99 Počítače a fyzika Některé další metody používané v numerických simulacích Řešení lineárních algebraických rovnic Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x y = x 2.2y = 17.5 Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z: 4.76x y 67.0z = x 2.2y z = x 2.1y 91.6z = 7.12 Co když máme 1000 rovnic pro 1000 neznámých? Tehdy je Cramerovo pravidlo, které se učí děti na středních školách, k ničemu. Existují metody pro numerické řešení: Gaussova Jordanova eliminace, trojúhelníková faktorizace,...

72 58/99 Počítače a fyzika Interpolace a extrapolace y Interpolace polynomiální, racionální, kubickými splajny,... x

73 59/99 Počítače a fyzika Numerická integrace (kvadratura) Trapezoidální pravidlo, Simpsonovo pravidlo, Rombergova kvadratura, Gaussova kvadratura,...

74 60/99 Počítače a fyzika Hledání kořene a nelineární rovnice y y = f (x) x kořeny rovnice f (x) = 0 Metoda sečen, Newtonova Raphsonova,...

75 61/99 Počítače a fyzika Hledání maxim a minim funkcí y maximum maximum minimum x

76 62/99 Počítače a fyzika Parciální diferenciální rovnice Hyperbolické, parabolické (evoluční); eliptické Vizualizace numerické simulace přílivových sil působících na akreční disk okolo černé díry. Numerická data: John Blondin, North Carolina State University s Physics Department. Vizualizace: program Amira.

77 63/99 Počítače a fyzika Kvantová chemie: simulace hustoty pravděpodobnosti výskytu protonu v argonovém klastru. Vizualizace pomocí Amiry: J. Schmidt- Ehrenberg

78 64/99 Počítače a fyzika Obrázek znázorňuje elektrostatický potenciál ribonukleázy T1. Vizualizace pomocí Amiry.

79 65/99 Počítače a fyzika Simulace proudění vzduchu kolem křídla. Vizualizováno pomocí modulu Amiry pro zobrazení silokřivek.

80 66/99 Počítače a fyzika Animace splynutí neutronových hvězd obíhajících okolo sebe. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam.

81 67/99 Počítače a fyzika Obecně relativistická simulace gravitační energie. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam.

82 68/99 Počítače a fyzika Rychlá Fourierova transformace a spektrální metody Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 ) na O(N log N). Pro počet vzorků N to znamená urychlení výpočtu Jinými slovy: výpočtu, který by trval bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s. Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude: Radioastronomie Zobrazování v medicíně Seismologie Spektroskopie Zpracování obrazu a multimédia Komunikace... a spousty dalších

83 68/99 Počítače a fyzika Rychlá Fourierova transformace a spektrální metody Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 ) na O(N log N). Pro počet vzorků N to znamená urychlení výpočtu Jinými slovy: výpočtu, který by trval bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s. Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude: Radioastronomie Zobrazování v medicíně Seismologie Spektroskopie Zpracování obrazu a multimédia Komunikace... a spousty dalších Co je vlastně ta Fourierova transformace?

84 69/99 Počítače a fyzika Počítačová grafika

85 70/99 Počítače a fyzika Další příklad počítačové simulace

86 71/99 Počítače a fyzika

87 72/99 Počítače a fyzika

88 73/99 Počítače a fyzika

89 74/99 Počítače a fyzika

90 75/99 Počítače a fyzika

91 76/99 Počítače a fyzika

92 77/99 Počítače a fyzika Glorie

93 78/99 Počítače a fyzika Čím jsou způsobeny tyto jevy, včetně všech detailů? Nejjednodušší vysvětlení: geometrická optika. Je schopna přibližně vysvětlit barvy duhy, ale ne nadpočetné proužky a Alexandrův tmavý pás. Glorii neumí vysvětlit vůbec. Všechny tyto jevy vysvětluje exaktní teorie rozptylu elektromagnetických vln na dielektrické kouli náročná na výpočetní výkon.

94 79/99 Počítače a fyzika

95 80/99 Počítače a fyzika

96 81/99 Počítače a fyzika

97 82/99 Počítače a fyzika

98 83/99 Počítače a fyzika Mieova teorie E a r = H a r = 0, E a ϑ = E0 cos ϕ k E a ϕ = E0 sin ϕ k H a ϑ = E0 sin ϕ k H a ϕ = E0 cos ϕ k (2.1) e ikr Σ r l=1 (c l S l + b l Q l ),, (2.2) e ikr Σ r l=1 (c l Q l + b l S l ), (2.3) e ikr Σ r l=1 (c l Q l + b l S l ),, (2.4) e ikr Σ r l=1 (c l S l + b l Q l ). (2.5) kde c l = b l = πx ψ l (x) = 2l + 1 ψ l (γ )ψ l (γ m) mψ l (γ )ψ l(γ m) l(l + 1) χ l (γ )ψ l (γ m) mχ l (γ )ψ l(γ m), (2.6) 2l + 1 ψ l (γ )ψ l(γ m) mψ l (γ )ψ l (γ m) l(l + 1) χ l (γ )ψ l(γ m) mχ l (γ )ψ, (2.7) l (γ m) 2 J l+ 1 (x), χ l (x) = 2 πx 2 H (2) l+ 1 (x). (2.8) 2

99 84/99 Počítače a fyzika Počet členů v nekonečné sumě parciálních vln, jenž je nutné pro danou vlnovou délku λ vzít v úvahu, je [ ] 2πa N = + 1, λ (2.9) Číslo N nabývá hodnot řádově 10 2 (pro a 0.01 mm) až 10 4 (pro a 1 mm), přičemž s klesající hodnotou λ roste a maxima N max nabývá pro λ = λ min. Jsou-li proměnné λ, θ rozděleny po řadě do N λ a N θ hodnot, musíme volat rutiny pro výpočet Besselových funkcí a asociovaných Legendreových polynomů obsažených ve výrazech pro koeficienty c l, b l, Q l, S l řádově N max N λ N θ krát, což může dosáhnout 10 8 až volání. To způsobuje pomalost kódu. Například simulace duhy pro a = 1 mm trvá na sériovém stroji s procesorem Pentium 4/1800 cca 1 den.

100 85/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.01 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

101 86/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.01 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

102 87/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.03 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

103 88/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.03 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

104 89/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

105 90/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

106 91/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

107 92/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

108 93/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.25 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

109 94/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.25 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

110 95/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.5 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

111 96/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.5 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

112 97/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.7 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

113 98/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.7 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

114 99/99 Počítače a fyzika Reference [Jirovský, 2000] Jirovský, V. (2000). Principy počítačů. Matfyzpress, Praha. [Press et al., 1997] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., a Flannery, B. P. (1997). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, Cambridge, 2nd vydání. [Práger a Sýkorová, 2004] Práger, M. a Sýkorová, I. (2004). Jak počítače počítají. Pokroky Mat. Fyz. Astronom., 49(1):32 45.