Počítače a fyzika. Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Počítače a fyzika. Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006"

Transkript

1 1/99 Počítače a fyzika Počítače a fyzika Stanislav Hledík Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006 Abstrakt Počítače a fyzika? Proč ne Fyzika a počítače? A co tak Lidé, počítače a fyzika? Subjektivní pohled očima fyzika, který se s počítači důvěrněji seznámil až poté, co se trochu vyznal ve fyzice.

2 2/99 Počítače a fyzika Obsah 1 Historie Kalkulační pomůcky Počátek 19. století Konec 19. a začátek 20. století První půle 20. století Poválečný rozmach počítačů Vznik počítačového průmyslu Boom mikroprocesorů a personálních počítačů Pár historických výroků Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Příklad na vytvoření počítačové simulace Některé další metody používané v numerických simulacích Další příklad počítačové simulace Reference

3 3/99 Počítače a fyzika 1. Historie Počítače jsou nespolehlivé, lidé také. Avšak počítače jsou v tom mnohem důkladnější. Murphy Fyzika a matematika nejbohatší zdroj podnětů pro rozvoj počítačové technologie; nedávný příklad (1989): CERN Timothy Berners-Lee vynalezl WEB Numerické výpočty byly a jsou potřebné ve fyzice, astronomii, technice, vojenství,... dnes ve všech odvětvích vědy Symbolické manipulace (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 důležité v matematice a teoretické fyzice Počítačová grafika, multimédia moderní odvětví computer science Komunikace, zábava Internet, , počítačové hry, video,... Fyzika Počítače

4 4/99 Počítače a fyzika Orientace v čase Počítání dnů, období, kalendář (Stonehenge v Anglii cca 2800 př. n. l.) Orientace v prostoru Délky, kusy,... Číselné soustavy Desítková, dvanáctková, šedesátková (v anglosaském světě dodnes), dvacítková

5 5/99 Počítače a fyzika Kalkulační pomůcky Čína: abakus (ruská verze)

6 6/99 Počítače a fyzika Pascalina z r francouzského matematika Blaise Pascala ( )

7 7/99 Počítače a fyzika Další kalkulační strojky; vpravo nahoře Leibnizův, v zámku Raduň mechanický kalkulátor pro výpočet daní

8 8/99 Počítače a fyzika... a donedávna používané logaritmické pravítko

9 9/99 Počítače a fyzika Počátek 19. století Charles Babbage, , Anglie: matematik, posedlost kvantifikací čehokoliv, obdivovatel železnice, tunely, žaludeční výplachové pumpy, studoval odolnost lidského těla vůči vysokým teplotám. Nenáviděl pouliční hudebníky, pokoušel se matematicky předpovídat dostihové výsledky. V oblasti výstavby počítačů předběhl dobu o cca 100 let : stavba Difference Engine, řízen pevným programem, pohon parním strojem, rozloha fotbalového hřiště, pro výpočty matematických tabulek, zůstal nedokončen

10 10/99 Počítače a fyzika 1854: děrnými štítky řízený Analytical Engine idea děrných štítků převzata od tkalce a průmyslníka J. M. Jacquarda a mechanika J. de Vausancona. Idea podmíněného skoku připisována Babbageově dlouholeté přítelkyni lady Lovelace

11 11/99 Počítače a fyzika Ada Byron, Lady Lovelace ( ) matematička, první programátor na světě, autorka myšlenky podmíněného skoku v programu, popularizátorka díla Charlese Babbage. V r překlad Babbageova článku o Difference machine, doplněn o její vlastní poznámky.

12 12/99 Počítače a fyzika Podmíněný skok: if (k > 0)... pro kladné k udělá program toto... else... a pro záporné nebo nulové k zase tohle Větvení programu (skok) podle splnění či nesplnění podmínky. Na její počest nazván programovací jazyk Ada vyvinutý v roce 1979 pro potřeby US ministerstva obrany.

13 13/99 Počítače a fyzika Příklad na podmíněný skok: Gaussův algoritmus pro výpočet data Velikonoční neděle (první neděle po prvním jarním úplňku). Vstupem je rok (proměnná year), výstupem měsíc březen (4) nebo duben (3) a den (proměnná day): day=(19*(year%19)+24)%30; day=day+22+((5+2*(year%4)+4*(year%7)+6*day)%7); if (day>=57) day = day-7; if (day>31) printf("%s%2d\n"," 4 ",day-31); else printf("%s%2d\n"," 3 ",day);

14 14/99 Počítače a fyzika

15 15/99 Počítače a fyzika Konec 19. a začátek 20. století Řízení mechanickým záznamem děrné štítky, válce s výstupky, mechanické automaty, hrací strojky,... Herman Hollerith navrhl tabulátor třídil děrné štítky podle kódu ve formě perforovaných otvorů, použito pro sčítání obyvatel r v USA. Značně omezené použití, ale velmi rozšířené. Zakladatel International Business Machines. Začátek 20. stol. ve znamení Hollerithových kalkulátorů První půle 20. století Období mezi světovými válkami Konrad Zuse a Alan Turing. 2. svět. válka hlavně vojenské využití Poválečný rozvoj Vývojový trend přesměrován do komerčních aplikací, USA získávají světovou dominanci v poč. technologiích

16 16/99 Počítače a fyzika Konrad Zuse ( ) Německý letecký inženýr u Henschel Flugzeugwerke, statické výpočty letadel jej r přivedly k myšlence konstrukce výpočetního stroje. Neznal dílo Ch. Babbage. R první stroj Z1 s elektromag. relé. R opět reléový počítač Z3 (2400 relé) řízený děrnou páskou, 50 operací/s, první počítač využívající binární číselné soustavy. R Z4 s větším výkonem, na konci války putoval složitě až na curyšskou polytechniku, zde až do r Zuse Institut Berlin:

17 17/99 Počítače a fyzika Detail Z1, 1938

18 18/99 Počítače a fyzika Rekonstruovaný Z3, poprvé použita binární soustava, 1939

19 19/99 Počítače a fyzika Z4, 1942

20 20/99 Počítače a fyzika Detail Z4

21 21/99 Počítače a fyzika K. Zuse u repliky svého počítače

22 22/99 Počítače a fyzika Binární čísla Dekadická soustava báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0,..., 9: =

23 22/99 Počítače a fyzika Binární čísla Dekadická soustava báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0,..., 9: = Dvojková soustava (binary system) báze 2, dvě číslice (bit = binary digit) 0, 1: = = LSB = least signif. bit MSB LSB MSB LSB MSB = most signif. bit

24 23/99 Počítače a fyzika Aritmetické operace s binárními čísly Analogicky jako v dekadické soustavě: = 1, = (10) 2 = (2) 10, (10) = (11) 2 = (3) 10, atd

25 24/99 Počítače a fyzika Konverze z dekadické do dvojkové soustavy Celočíselná část: 109 Kvocient : 2 Zbytek LSB MSB Pozor! Opačné pořadí: LSB MSB. Zlomková část: Zlomek Celé č MSB LSB

26 25/99 Počítače a fyzika Alan Mathison Turing ( ) Britský matematik zabývající se vztahem stroje a přírody umělá inteligence (AI). V r článek On Computable Numbers, v němž popsal hypotetické zařízení zvané dnes Turingův stroj: teoretický základ programovatelných počítacích strojů. V r článek popisující možnost testování inteligence stroje Turingův test. Ve válečných letech práce pro armádu rozluštění kódu německého šifrovacího stroje Enigma. Od r na univerzitě v Manchesteru: vývoj počítacího stroje MADAM (Manchester Digital Automatic Machine).

27 26/99 Počítače a fyzika Turing byl vynikající běžec (maratón pod 3 hodiny).

28 27/99 Počítače a fyzika Příklad jednoduchého Turingova stroje Čtecí/záznamová hlava Děrná páska Stav 3 Start Stav 2 0 Stav 1

29 28/99 Počítače a fyzika Poválečný rozmach počítačů Howard H. Aiken ( ) r na Harvardu reléový Mark I, 23 dekadických míst, log, cos, sin, tg, papírová děrná páska bez zpětného chodu, později Mark II (1947). John W. Mauchly, J. Presper Eckert v r na pensylvánské univerzitě ENIAC (Electrical Numerical Integrator and Calculator) 10 dekadických míst, elektronek, 30 tun (rozměry 30 m 3 m 1 m). Používán armádou do r pro balistickou laboratoř. Na vývoji ENIACu se podílel John von Neumann.

30 29/99 Počítače a fyzika Mark I

31 30/99 Počítače a fyzika ENIAC

32 31/99 Počítače a fyzika ENIAC

33 32/99 Počítače a fyzika John von Neumann ( ) Americký matematik maďarského původu, působil na univerzitě v Princetonu v USA. Během 2. světové války působil jako expert a konzultant několika vládních komisí a byl ve styku s vědci, kteří byli z důvodu utajení od sebe izolováni. Díky tomu měl obrovský přehled v trendech vývoje počítačů. Přivedl k sobě skupinu vědců z Los Alamos (atomová bomba) a skupinu připravující ENIAC. V r publikoval závěry, podle nichž může pčítač mít pevnou fyzickou strukturu a přesto může provádět jakékoliv výpočty řízené programem: von Neumannova koncepce.

34 33/99 Počítače a fyzika John von Neumann

35 34/99 Počítače a fyzika J. R. Oppenheimer a John von Neumann

36 35/99 Počítače a fyzika

37 36/99 Počítače a fyzika Výsledkem von Neumannových prací: flexibilnější a účinnější programování s možností knihovních subrutin. EDVAC Electronic Discrete Variable Automatic Computer, John W. Mauchly, J. Presper Eckert UNIVAC použit při odhadu volebních výsledků v US prezidentské kampani r Předpověď Eisehowerova vítězství, ačkoli novináři nevěřili a uveřejnili opak. Nakonec se předpověď potvrdila a média oslavovala novou techniku. Ferranti Mark I v Anglii na univerzitě v Manchesteru r. 1949, paměťová elektronka F. C. Williamse a T. Kilburna. První demo programy napsány A. Turingem. EDSAC Electronic Delay Storage Automatic Calculator r pod vedením M. V. Wilkese

38 37/99 Počítače a fyzika UNIVAC

39 38/99 Počítače a fyzika Vznik počítačového průmyslu Pionýrská doba: na univerzitách, v armádě; ojedinělé exempláře Průmyslová výroba: počítačoví nadšenci z univerzitního vývoje, obvykle se dostali do finančních problémů a skončili u zavedených firem Tyto obchodně zdatné firmy si uvědomily možnost nového trhu IBM měla počáteční kapitál z prodeje Hollerithových tabulátorů, dosud jeden z největších dodavatelů počítačů na světě Počítače založené na elektronkách:

40 39/99 Počítače a fyzika Přelomový model IBM 360 z roku 1964, založený na monolitických a hybridních obvodech, stavebnicová struktura používaná v podstatě dodnes.

41 40/99 Počítače a fyzika Boom mikroprocesorů a personálních počítačů Altair 8800 v roce 1975 stavebnice fy MITS za 400 USD, paměť 256 Byte, uživatel si musel psát programy sám ve strojovém kódu, neboť na trhu žádné nebyly. Apple II Steve Wozniak a Steve Jobs se zabudovaným interpretem BASICu, barevnou grafikou a 4.1 kb paměti, cena 1300 USD IBM malý počítač Acorn, později známý pod názvem IBM PC. 16 kb operační paměti, klávesnici z el. psacího stroje IBM a připojení ke kazetovému magnetofonu, cena 1300 USD. IBM uvolnilo zdrojový kód tzv. BIOSu a vznikla řada klonů IBM PC kompatibilních počítačů. Apple Macintosh r. 1984, s GUI (grafické rozhraní) IBM 286-AT s aplikací Lotus a Microsoft Word Intel dodavatel mikroprocesorů Microsoft a fenomén Bill Gates

42 41/99 Počítače a fyzika Apple I

43 42/99 Počítače a fyzika Apple II

44 43/99 Počítače a fyzika Apple Macintosh (1984)

45 44/99 Počítače a fyzika Velký superpočítač Cray I ze 70. let

46 45/99 Počítače a fyzika IBM PC

47 46/99 Počítače a fyzika Sinclair ZX80 a ZX 81

48 47/99 Počítače a fyzika Pár historických výroků Vypadá to že jsme narazili na hranici toho, čeho je možné dosáhnout s počítačovými technologiemi. Člověk by si ale měl dávat pozor na takováto tvrzení, protože do 5 let se obvykle ukáží jako pěkná pitomost. John von Neumann, 1949 Počítače by v budoucnu mohly vážit i méně než 1,5 tuny. Časopis Popular Mechanics, 1949 Ale... k čemu by to mohlo být dobré? IBM, 1968 Nemyslím si, že by na světovém trhu byla poptávka po více než pěti počítačích. Thomas J. Watson, 1943 Pro pokrytí celosvětových potřeb by mělo stačit asi deset počítačů. Thomas J. Watson, 1946 Není žádný důvod, proč by lidé měli mít počítače doma. Ken Olsen, 1977 Jednoho dne budeme mít osobní počítače a budeme žít normálněji... Donald E. Knuth, 1978 Počítače jsou k ničemu. Dokáží pouze poskytovat odpovědi. Pablo Picasso 640 KB paměti by mělo každému stačit. Bill Gates, 1981

49 48/99 Počítače a fyzika 2. Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači Binární čísla, aritmetika s binárními čísly Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla: IEEE standard pro reálná čísla Operace s reálnými čísly

50 48/99 Počítače a fyzika 2. Jak a co počítače počítají ve fyzice Reprezentace čísel v počítači Binární čísla, aritmetika s binárními čísly Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla: IEEE standard pro reálná čísla Operace s reálnými čísly Pojďme si s nimi na chvíli pohrát...

51 49/99 Počítače a fyzika Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být ručnímu řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu.

52 49/99 Počítače a fyzika Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být ručnímu řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu. Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška Mgr. Gabriela Töröka zpracování experimentálních dat z rentgenových družic.

53 49/99 Počítače a fyzika Proč a nač se ve fyzice počítače používají? Počítačová fyzika fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na výpočet z analytických formulí apod.) Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být ručnímu řešení zcela nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu. Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška Mgr. Gabriela Töröka zpracování experimentálních dat z rentgenových družic. Řízení experimentu: Urychlovače, Hubbleův vesmírný teleskop, ale v podstatě každý novější laboratorní přístroj je do jisté míry řízen počítačem. Mobily, elektronické systémy aut,...

54 50/99 Počítače a fyzika Příklad na vytvoření počítačové simulace (síla na míč) = (tíhová)

55 50/99 Počítače a fyzika Příklad na vytvoření počítačové simulace (síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu)

56 50/99 Počítače a fyzika Příklad na vytvoření počítačové simulace (síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu) + (Magnusova)

57 51/99 Počítače a fyzika Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh)

58 51/99 Počítače a fyzika Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh) Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka

59 51/99 Počítače a fyzika Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh) Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka Připočtení rotace (faleš): kulatý míč se začne chovat podobně jako křídlo letadla, vzniká vztlak, který jej vychyluje z dráhy Magnusova síla proudnice odpor rotace rychlost odpor vztlak rychlost proudnice

60 52/99 Počítače a fyzika Výsledkem je soustava tří ODR (tzv. pohybových rovnic) pro tři souřadnice středu míče x, y, z: m d2 x dt 2 = 1 dx ( C(v)Sρv 2 dt +C dz MρΩv n y dt n dy ) z dt m d2 y dt 2 = 1 dy ( C(v)Sρv 2 dt +C dx MρΩv n z dt n dz ) x dt m d2 z dt 2 = mg 1 2 ( dx dt přičemž ještě v = dz ( C(v)Sρv dt +C dy MρΩv n x dt n y ) 2 ( + dy ) 2 ( dt + dz ) 2. dt dx ) dt Kromě pohybových rovnic musíme znát počáteční podmínky: odkud a jakou rychlostí fotbalista míč vykopl v čase, který si označíme 0.

61 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost:

62 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost: 2. Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu:

63 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost: 2. Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu: 3. Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu:

64 53/99 Počítače a fyzika Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí programu) naloží? 1. Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost: 2. Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového intervalu: 3. Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu: atd. atd. Pozor musíme mít odhad chyby:

65 54/99 Počítače a fyzika Co od nás počítač bude vyžadovat? Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge Kutta, další pak Bulirsch Stoer Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu.

66 54/99 Počítače a fyzika Co od nás počítač bude vyžadovat? Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge Kutta, další pak Bulirsch Stoer Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu. Jak tyto údaje počítači sdělíme? Pomocí programu. V začátcích počítačů se instrukce programu i data vkládaly pomocí strojového kódu extrémně nepřehledné a špatně modifikovatelné, navíc závislé na hardwaru. Dnes: pomocí určitého programovacího jazyka. Algoritmus = myšlenka, program = její vyjádření v konkrétním jazyce

67 55/99 Počítače a fyzika Programovací jazyky používané pro numerické simulace ve fyzice: Nízkoúrovňové jazyky: C, C++, Fortran #include <stdio.h> int main(void) { float x=1.0/3.0; putchar( \n ); if (3.0*x==1.0) printf("%s\n","correct"); else printf("%s\n","incorrect"); return 0; } PROGRAM quiz_inc IMPLICIT NONE REAL :: x=1.0/3.0 PRINT* IF ((3.0*x).EQ. 1.0) THEN PRINT*, Correct ELSE PRINT*, Incorrect END IF STOP END PROGRAM quiz_inc Vysokoúrovňové jazyky: Mathematica, Maple, IMSL,... Obvykle integrují i grafiku a animaci. N[(1.0/3.0)*3.0]

68 56/99 Počítače a fyzika Ukázka řešení ODR simulace pádu do černé díry. Na rozdíl od míče musíme spočítat dráhu fotonu pro každý obrazový bod pixel!

69 57/99 Počítače a fyzika Některé další metody používané v numerických simulacích Řešení lineárních algebraických rovnic Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x y = x 2.2y = 17.5

70 57/99 Počítače a fyzika Některé další metody používané v numerických simulacích Řešení lineárních algebraických rovnic Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x y = x 2.2y = 17.5 Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z: 4.76x y 67.0z = x 2.2y z = x 2.1y 91.6z = 7.12

71 57/99 Počítače a fyzika Některé další metody používané v numerických simulacích Řešení lineárních algebraických rovnic Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y: 4.76x y = x 2.2y = 17.5 Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z: 4.76x y 67.0z = x 2.2y z = x 2.1y 91.6z = 7.12 Co když máme 1000 rovnic pro 1000 neznámých? Tehdy je Cramerovo pravidlo, které se učí děti na středních školách, k ničemu. Existují metody pro numerické řešení: Gaussova Jordanova eliminace, trojúhelníková faktorizace,...

72 58/99 Počítače a fyzika Interpolace a extrapolace y Interpolace polynomiální, racionální, kubickými splajny,... x

73 59/99 Počítače a fyzika Numerická integrace (kvadratura) Trapezoidální pravidlo, Simpsonovo pravidlo, Rombergova kvadratura, Gaussova kvadratura,...

74 60/99 Počítače a fyzika Hledání kořene a nelineární rovnice y y = f (x) x kořeny rovnice f (x) = 0 Metoda sečen, Newtonova Raphsonova,...

75 61/99 Počítače a fyzika Hledání maxim a minim funkcí y maximum maximum minimum x

76 62/99 Počítače a fyzika Parciální diferenciální rovnice Hyperbolické, parabolické (evoluční); eliptické Vizualizace numerické simulace přílivových sil působících na akreční disk okolo černé díry. Numerická data: John Blondin, North Carolina State University s Physics Department. Vizualizace: program Amira.

77 63/99 Počítače a fyzika Kvantová chemie: simulace hustoty pravděpodobnosti výskytu protonu v argonovém klastru. Vizualizace pomocí Amiry: J. Schmidt- Ehrenberg

78 64/99 Počítače a fyzika Obrázek znázorňuje elektrostatický potenciál ribonukleázy T1. Vizualizace pomocí Amiry.

79 65/99 Počítače a fyzika Simulace proudění vzduchu kolem křídla. Vizualizováno pomocí modulu Amiry pro zobrazení silokřivek.

80 66/99 Počítače a fyzika Animace splynutí neutronových hvězd obíhajících okolo sebe. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam.

81 67/99 Počítače a fyzika Obecně relativistická simulace gravitační energie. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam.

82 68/99 Počítače a fyzika Rychlá Fourierova transformace a spektrální metody Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 ) na O(N log N). Pro počet vzorků N to znamená urychlení výpočtu Jinými slovy: výpočtu, který by trval bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s. Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude: Radioastronomie Zobrazování v medicíně Seismologie Spektroskopie Zpracování obrazu a multimédia Komunikace... a spousty dalších

83 68/99 Počítače a fyzika Rychlá Fourierova transformace a spektrální metody Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 ) na O(N log N). Pro počet vzorků N to znamená urychlení výpočtu Jinými slovy: výpočtu, který by trval bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s. Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude: Radioastronomie Zobrazování v medicíně Seismologie Spektroskopie Zpracování obrazu a multimédia Komunikace... a spousty dalších Co je vlastně ta Fourierova transformace?

84 69/99 Počítače a fyzika Počítačová grafika

85 70/99 Počítače a fyzika Další příklad počítačové simulace

86 71/99 Počítače a fyzika

87 72/99 Počítače a fyzika

88 73/99 Počítače a fyzika

89 74/99 Počítače a fyzika

90 75/99 Počítače a fyzika

91 76/99 Počítače a fyzika

92 77/99 Počítače a fyzika Glorie

93 78/99 Počítače a fyzika Čím jsou způsobeny tyto jevy, včetně všech detailů? Nejjednodušší vysvětlení: geometrická optika. Je schopna přibližně vysvětlit barvy duhy, ale ne nadpočetné proužky a Alexandrův tmavý pás. Glorii neumí vysvětlit vůbec. Všechny tyto jevy vysvětluje exaktní teorie rozptylu elektromagnetických vln na dielektrické kouli náročná na výpočetní výkon.

94 79/99 Počítače a fyzika

95 80/99 Počítače a fyzika

96 81/99 Počítače a fyzika

97 82/99 Počítače a fyzika

98 83/99 Počítače a fyzika Mieova teorie E a r = H a r = 0, E a ϑ = E0 cos ϕ k E a ϕ = E0 sin ϕ k H a ϑ = E0 sin ϕ k H a ϕ = E0 cos ϕ k (2.1) e ikr Σ r l=1 (c l S l + b l Q l ),, (2.2) e ikr Σ r l=1 (c l Q l + b l S l ), (2.3) e ikr Σ r l=1 (c l Q l + b l S l ),, (2.4) e ikr Σ r l=1 (c l S l + b l Q l ). (2.5) kde c l = b l = πx ψ l (x) = 2l + 1 ψ l (γ )ψ l (γ m) mψ l (γ )ψ l(γ m) l(l + 1) χ l (γ )ψ l (γ m) mχ l (γ )ψ l(γ m), (2.6) 2l + 1 ψ l (γ )ψ l(γ m) mψ l (γ )ψ l (γ m) l(l + 1) χ l (γ )ψ l(γ m) mχ l (γ )ψ, (2.7) l (γ m) 2 J l+ 1 (x), χ l (x) = 2 πx 2 H (2) l+ 1 (x). (2.8) 2

99 84/99 Počítače a fyzika Počet členů v nekonečné sumě parciálních vln, jenž je nutné pro danou vlnovou délku λ vzít v úvahu, je [ ] 2πa N = + 1, λ (2.9) Číslo N nabývá hodnot řádově 10 2 (pro a 0.01 mm) až 10 4 (pro a 1 mm), přičemž s klesající hodnotou λ roste a maxima N max nabývá pro λ = λ min. Jsou-li proměnné λ, θ rozděleny po řadě do N λ a N θ hodnot, musíme volat rutiny pro výpočet Besselových funkcí a asociovaných Legendreových polynomů obsažených ve výrazech pro koeficienty c l, b l, Q l, S l řádově N max N λ N θ krát, což může dosáhnout 10 8 až volání. To způsobuje pomalost kódu. Například simulace duhy pro a = 1 mm trvá na sériovém stroji s procesorem Pentium 4/1800 cca 1 den.

100 85/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.01 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

101 86/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.01 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

102 87/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.03 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

103 88/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.03 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

104 89/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

105 90/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

106 91/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

107 92/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

108 93/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.25 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

109 94/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.25 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

110 95/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.5 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

111 96/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.5 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

112 97/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.7 mm, plošné Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

113 98/99 Počítače a fyzika Poloměr kapky 0.7 mm, bodové Slunce přirozená horizontální polarizace vertikální polarizace

114 99/99 Počítače a fyzika Reference [Jirovský, 2000] Jirovský, V. (2000). Principy počítačů. Matfyzpress, Praha. [Press et al., 1997] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., a Flannery, B. P. (1997). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, Cambridge, 2nd vydání. [Práger a Sýkorová, 2004] Práger, M. a Sýkorová, I. (2004). Jak počítače počítají. Pokroky Mat. Fyz. Astronom., 49(1):32 45.

Martin Hejtmánek hejtmmar@fjfi.cvut.cz http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/ hejtmmar

Martin Hejtmánek hejtmmar@fjfi.cvut.cz http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/ hejtmmar Základy programování Martin Hejtmánek hejtmmar@fjfi.cvut.cz http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/ hejtmmar Počítačový kurs Univerzity třetího věku na FJFI ČVUT Pokročilý 21. května 2009 Dnešní přednáška 1 Počátky

Více

1. Historie počítacích strojů Předchůdci počítačů. 2. Vývoj mikropočítačů Osmibitové mikropočítače Šestnácti a dvaatřicetibitové počítače IBM

1. Historie počítacích strojů Předchůdci počítačů. 2. Vývoj mikropočítačů Osmibitové mikropočítače Šestnácti a dvaatřicetibitové počítače IBM PŘEHLED TÉMATU 1. Historie počítacích strojů Předchůdci počítačů Elektronické počítače 0. generace Elektronické počítače 1. generace Elektronické počítače 2. generace Elektronické počítače 3. generace

Více

SÁLOVÉ POČÍTAČE. Principy počítačů. Literatura. Harvard Mark I 1944-1959. Grace Murray Hopper ENIAC

SÁLOVÉ POČÍTAČE. Principy počítačů. Literatura. Harvard Mark I 1944-1959. Grace Murray Hopper ENIAC Principy počítačů SÁLOVÉ POČÍTAČE Literatura www.computerhistory.org C.Wurster: Computers An Ilustrated History R.Rojas, U.Hashagen: The First Computers History and Architectures Myslím, že na světě je

Více

VY_32_INOVACE_INF.15. Dějiny počítačů II.

VY_32_INOVACE_INF.15. Dějiny počítačů II. VY_32_INOVACE_INF.15 Dějiny počítačů II. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 První programovatelné stroje V roce

Více

Historie počítačů 1. Předchůdci počítačů Počítače 0. a 1. generace

Historie počítačů 1. Předchůdci počítačů Počítače 0. a 1. generace Historie počítačů 1 Počítače 0. a 1. generace Snaha ulehčit si počítání vedla už daleko v minulosti ke vzniku jednoduchých, ale promyšlených pomůcek Následoval vývoj mechanických počítacích strojů, který

Více

1 Historie výpočetní techniky

1 Historie výpočetní techniky Úvod 1 Historie výpočetní techniky Základem výpočetní techniky jsou operace s čísly, chcete-li záznam čísel. V minulosti se k záznamu čísel používaly různé předměty, jako například kameny, kosti, dřevěné

Více

Trocha obrázků na začátek..

Trocha obrázků na začátek.. Trocha obrázků na začátek.. Elementární pojmy LCD panel tower myš klávesnice 3 Desktop vs. Tower tower desktop 4 Desktop nebo Tower? 5 Obraz jako obraz? 6 A něco o vývoji.. Předchůdci počítačů Počítadlo

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií Jan Outrata KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI přednášky Úvod Jan Outrata (Univerzita Palackého v Olomouci) Úvod do informačních technologií Olomouc, září

Více

2.1 Historie a vývoj počítačů

2.1 Historie a vývoj počítačů Název školy Číslo projektu Autor Název šablony Název DUMu Tematická oblast Předmět Druh učebního materiálu Anotace Vybavení, pomůcky Ověřeno ve výuce dne, třída Střední průmyslová škola strojnická Vsetín

Více

Jak to celé vlastně začalo

Jak to celé vlastně začalo Historie počítače Jak to celé vlastně začalo Historie počítačů, tak jak je známe dnes, začala teprve ve 30. letech 20. století. Za vynálezce počítače je přesto považován Charles Babbage, který v 19. století

Více

HISTORIE VÝPOČETNÍ TECHNIKY. Od abakusu k PC

HISTORIE VÝPOČETNÍ TECHNIKY. Od abakusu k PC HISTORIE VÝPOČETNÍ TECHNIKY Od abakusu k PC Předchůdci počítačů abakus - nejstarší předek počítačů, počítací pomůcka založená na principu posuvných korálků. V Číně byl abakus používán od 13. století, v

Více

Principy počítačů Historie

Principy počítačů Historie Principy počítačů Historie snímek 1 Principy počítačů Část I Historie VJJ 1 snímek 2 První záznam čísel Začátky používání čísel spadají do dávnověku počítání dnů mezi náboženskými obřady počítání částí,

Více

Historie výpočetní techniky. Autor: Ing. Jan Nožička SOŠ a SOU Česká Lípa VY_32_INOVACE_1121_Histrorie výpočetní techniky_pwp

Historie výpočetní techniky. Autor: Ing. Jan Nožička SOŠ a SOU Česká Lípa VY_32_INOVACE_1121_Histrorie výpočetní techniky_pwp Historie výpočetní techniky Autor: Ing. Jan Nožička SOŠ a SOU Česká Lípa VY_32_INOVACE_1121_Histrorie výpočetní techniky_pwp Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity:

Více

Informační a komunikační technologie

Informační a komunikační technologie Informační a komunikační technologie 1. www.isspolygr.cz Vytvořil: Ing. David Adamovský Škola Integrovaná střední škola polygrafická Ročník Název projektu 1. ročník SOŠ Interaktivní metody zdokonalující

Více

HISTORIE VÝPOČETN ETNÍ TECHNIKY

HISTORIE VÝPOČETN ETNÍ TECHNIKY HISTORIE VÝPOČETN ETNÍ TECHNIKY STRUČNÝ PŘEHLEDP ČASOVÁ OSA VÝVOJE VT ČASOVÁ OSA VÝVOJE VT NĚKDY MEZI 3. - 1. TISÍCILET CILETÍM M PŘED P N.L. ABAKUS KOLEM ROKU 200 N.L. PRVNÍ POČÍTADLO S TRIGONOMETRICKÝMI

Více

www.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín

www.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín VY_32_INOVACE_31_01 Škola Název projektu, reg. č. Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Tematická oblast Název Autor Vytvořeno, pro obor, ročník Anotace Přínos/cílové kompetence Střední

Více

Historie počítačů. 0.generace. (prototypy)

Historie počítačů. 0.generace. (prototypy) Historie počítačů Historie počítačů se dělí do tzv. generací, kde každá generace je charakteristická svou konfigurací, rychlostí počítače a základním stavebním prvkem. Generace počítačů: Generace Rok Konfigurace

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. 3. ročník učebního oboru Elektrikář Přílohy. bez příloh. Identifikační údaje školy

VÝUKOVÝ MATERIÁL. 3. ročník učebního oboru Elektrikář Přílohy. bez příloh. Identifikační údaje školy VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková

Více

INFORMATIKA. Jindřich Kaluža. Ludmila Kalužová

INFORMATIKA. Jindřich Kaluža. Ludmila Kalužová INFORMATIKA Jindřich Kaluža Ludmila Kalužová Recenzenti: doc. RNDr. František Koliba, CSc. prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD. Vydání knihy bylo schváleno vědeckou radou nakladatelství. Všechna práva vyhrazena.

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 18 Literatura http://phoenix.inf.upol.cz/~outrata/courses/udit/index.html

Více

Historický vývoj výpočetní techniky. Miroslav Flídr Počítačové systémy LS 2006-1/14- Západočeská univerzita v Plzni

Historický vývoj výpočetní techniky. Miroslav Flídr Počítačové systémy LS 2006-1/14- Západočeská univerzita v Plzni Počítačové systémy Historický vývoj výpočetní techniky Miroslav Flídr Počítačové systémy LS 2006-1/14- Západočeská univerzita v Plzni Co je to počítač? Počítač: počítací stroj, převážně automatické elektronické

Více

NSWI120 2010/2011 ZS HISTORIE. Vše, co bylo možné vynalézt, již vynalezeno bylo. Charles Duell, americký patentový ústav, 1899. Thomas Watson, 1943

NSWI120 2010/2011 ZS HISTORIE. Vše, co bylo možné vynalézt, již vynalezeno bylo. Charles Duell, americký patentový ústav, 1899. Thomas Watson, 1943 Pi Principy i počítačů čů HISTORIE Vše, co bylo možné vynalézt, již vynalezeno bylo. Charles Duell, americký patentový ústav, 1899 Myslím, že na světě je trh pro asi 5 počítačů. Thomas Watson, 1943 Doplňková

Více

Klasifikace počítačů a technologické trendy Modifikace von Neumanova schématu pro PC

Klasifikace počítačů a technologické trendy Modifikace von Neumanova schématu pro PC Přednáší: doc. Ing. Jan Skrbek, Dr. - KIN Přednášky: středa 14 20 15 55 Obsah: Historie počítačů Počítačové generace Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz 16 10 17 45 tel.: 48 535 2442 Klasifikace počítačů

Více

Stručná historie výpočetní techniky část 1

Stručná historie výpočetní techniky část 1 Stručná historie výpočetní techniky část 1 SOU Valašské Klobouky VY_32_INOVACE_1_1 IKT Stručná historie výpočetní techniky 1. část Mgr. Radomír Soural Za nejstaršího předka počítačů je považován abakus,

Více

NULTÁ GENERACE reléové obvody 30. a 40. let minulého století Harvard Mark I Harvard Mark II Konráda Zuseho Z2 SAPO

NULTÁ GENERACE reléové obvody 30. a 40. let minulého století Harvard Mark I Harvard Mark II Konráda Zuseho Z2 SAPO HISTORIE NULTÁ GENERACE Základ - reléové obvody 30. a 40. let minulého století. Typičtí představitelé: Harvard Mark I, Harvard Mark II či stroje německého inženýra Konráda Zuseho Z2 a Z3. Čechy - první

Více

Úvod do problematiky návrhu počítačových systémů. INP 2008 FIT VUT v Brně

Úvod do problematiky návrhu počítačových systémů. INP 2008 FIT VUT v Brně Úvod do problematiky návrhu počítačových systémů INP 2008 FIT VUT v Brně Čím se budeme zabývat Budou nás zejména zajímat jednoprocesorové číslicové počítače: Funkce počítače Struktura propojení funkčních

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Historie výpočetní techniky 4. část. ČTVRTOHORY éra elektrického proudu a počítačů

Historie výpočetní techniky 4. část. ČTVRTOHORY éra elektrického proudu a počítačů Historie výpočetní techniky 4. část ČTVRTOHORY éra elektrického proudu a počítačů Počítače čtvrtohor se dále dělí na jednotlivé generace, pro které je typická hlavní součástka : - elektromagnetické relé

Více

Architektura počítačů

Architektura počítačů Architektura počítačů Studijní materiál pro předmět Architektury počítačů Ing. Petr Olivka katedra informatiky FEI VŠB-TU Ostrava email: petr.olivka@vsb.cz Ostrava, 2010 1 1 Architektura počítačů Pojem

Více

Přednášky o výpočetní technice. Hardware teoreticky. Adam Dominec 2010

Přednášky o výpočetní technice. Hardware teoreticky. Adam Dominec 2010 Přednášky o výpočetní technice Hardware teoreticky Adam Dominec 2010 Rozvržení Historie Procesor Paměť Základní deska přednášky o výpočetní technice Počítací stroje Mechanické počítačky se rozvíjely už

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Úvod do programování ALG110006

Úvod do programování ALG110006 Úvod do programování ALG110006 KONTAKT jonathan.verner@matfyz.cz http://jonathan.verner.matfyz.cz/vyuka POŽADAVKY (zimní semestr) Nutno získat 216 bodů! zápočtový test, 144 bodů (50 %) domácí úkoly, 120

Více

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 Maturitní zkouška se skládá ze společné části a profilové části. 1. Společná část maturitní zkoušky Dvě povinné zkoušky a) český jazyk a literatura b) cizí jazyk

Více

Historie výpočetní techniky 1. část. PRVOHORY Staré výpočetní pomůcky

Historie výpočetní techniky 1. část. PRVOHORY Staré výpočetní pomůcky Historie výpočetní techniky 1. část PRVOHORY Staré výpočetní pomůcky Staré výpočetní pomůcky Základem pro počítání je zaznamenávání čísel. V minulosti k tomu sloužily předměty, kam bylo možno dělat zářezy

Více

Pojem architektura je převzat z jiného oboru lidské činnosti, než počítače.

Pojem architektura je převzat z jiného oboru lidské činnosti, než počítače. 1 Architektura počítačů Pojem architektura je převzat z jiného oboru lidské činnosti, než počítače. Neurčuje jednoznačné definice, schémata či principy. Hovoří o tom, že počítač se skládá z měnších částí

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Číslo a název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. 65-51-H/01 Kuchař - Číšník. IKT Informační a komunikační technologie

Číslo a název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. 65-51-H/01 Kuchař - Číšník. IKT Informační a komunikační technologie Číslo projektu školy Číslo a název šablony klíčové aktivity Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0963 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_ICT_II_S1_01 Popis výukového materiálu

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Profilová část maturitní zkoušky 2013/2014

Profilová část maturitní zkoušky 2013/2014 Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2 751 52 Přerov Profilová část maturitní zkoušky 2013/2014 TEMATICKÉ OKRUHY A HODNOTÍCÍ KRITÉRIA Studijní obor: 78-42-M/01 Technické lyceum Předmět: TECHNIKA

Více

Principy počítačů. Historie. Martin Urza

Principy počítačů. Historie. Martin Urza Principy počítačů Historie Martin Urza Co je cílem tohoto kurzu? Kurz by měl osvětlit, co je to vlastně počítač, že se nejedná pouze o PC, a vysvětlit, čím se jednotlivé druhy počítačů odlišují. Posluchač

Více

PB002 Základy informačních technologií

PB002 Základy informačních technologií Počítačové systémy 21. září 2015 Základní informace 1 Přednášky nejsou povinné 2 Poku účast klesne pod pět studentů, přednáška se nekoná 3 Slidy z přednášky budou vystaveny 4 Zkouška bude pouze písemná

Více

5. Historie výpočetní techniky Druhy počítačů

5. Historie výpočetní techniky Druhy počítačů 5. Historie výpočetní techniky Druhy počítačů - Předchůdci počítačů (počitadla [Abacus], princip mechanické kalkulačky, děrnoštítková zařízení, Babbageův analytický stroj) - přehled vývojových typů počítačů

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana Kubcová Název

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 NUMERICKÉ SIMULACE ING. KATEŘINA

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek

Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek Z čeho vycházíme = Vycházíme z Von Neumannovy architektury = Celý počítač se tak skládá z pěti koncepčních bloků: = Operační paměť = Programový řadič = Aritmeticko-logická

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Výstavba PC. Vývoj trhu osobních počítačů

Výstavba PC. Vývoj trhu osobních počítačů Výstavba PC Vývoj trhu osobních počítačů Osobní počítač? Sálový počítač (Mainframe) IBM System/370 model 168 (1972) Minipočítač DEC PDP-11/70 (1975) Od 60. let počítač byl buď velký sálový nebo mini, stroj,

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Popis výukového materiálu

Popis výukového materiálu Popis výukového materiálu Číslo šablony III/2 Číslo materiálu VY_32_INOVACE_I.14.2 Autor Petr Škapa Datum vytvoření 24. 11. 2012 Předmět, ročník Tematický celek Téma Druh učebního materiálu Anotace (metodický

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. 3. ročník učebního oboru Elektrikář Přílohy. bez příloh. Identifikační údaje školy

VÝUKOVÝ MATERIÁL. 3. ročník učebního oboru Elektrikář Přílohy. bez příloh. Identifikační údaje školy VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu 1 Podklady předmětu pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana Obsah 2 Obsah předmětu, Požadavky kreditového systému, Datové typy jednoduché, složené, Programové struktury, Předávání dat. Obsah předmětu

Více

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5 Obsah Obsah 1 Číselné soustavy 1 2 Paměť počítače 1 2.1 Měření objemu paměti počítače................... 1 3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače................. 3 4 Problémy

Více

PB002 Základy informačních technologií

PB002 Základy informačních technologií Operační systémy 25. září 2012 Struktura přednašky 1 Číselné soustavy 2 Reprezentace čísel 3 Operační systémy historie 4 OS - základní složky 5 Procesy Číselné soustavy 1 Dle základu: dvojková, osmičková,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více

Praktické využití Mathematica CalcCenter. Ing. Petr Kubín, Ph.D. xkubin@fel.cvut.cz www.powerwiki.cz Katedra elektroenergetiky, ČVUT v Praze, FEL

Praktické využití Mathematica CalcCenter. Ing. Petr Kubín, Ph.D. xkubin@fel.cvut.cz www.powerwiki.cz Katedra elektroenergetiky, ČVUT v Praze, FEL Praktické využití Mathematica CalcCenter Ing. Petr Kubín, Ph.D. xkubin@fel.cvut.cz www.powerwiki.cz Katedra elektroenergetiky, ČVUT v Praze, FEL Obsah Popis Pojetí Vlastnosti Obecná charakteristika Ovladače

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Martin Lísal. Úvod do MPI

Martin Lísal. Úvod do MPI Martin Lísal září 2003 PARALELNÍ POČÍTÁNÍ Úvod do MPI 1 1 Co je to paralelní počítání? Paralelní počítání je počítání na paralelních počítačích či jinak řečeno využití více než jednoho procesoru při výpočtu

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači

Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači V. Kučera Katedra numerické matematiky, MFFUK Praha 7.2.2013 Aerodynamický flutter Tacoma bridge, 1940 Fyzikální model Realita je komplikovaná Navier-Stokesovy

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Základní pojmy, historie počítačů, jednotky a převody, dvojková soustava

Základní pojmy, historie počítačů, jednotky a převody, dvojková soustava Základní pojmy, historie počítačů, jednotky a převody, dvojková soustava Obsah OBSAH... 1 1 ZÁKLADNÍ POJMY... 1 2 HISTORIE POČÍTAČŮ... 2 2.1 GENERACE POČÍTAČŮ... 3 2.2 KATEGORIE POČÍTAČŮ... 3 3 KONCEPCE

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Міжнародний збірник наукових праць. Випуск 2(11)

Міжнародний збірник наукових праць. Випуск 2(11) УДК 657 Міжнародний збірник наукових праць. Випуск 2(11) Michal Hora OD KAMÍNKŮ KE STANDARDU IBM PC 1 Příspěvek se zaměřuje na historický vývoj počítacích pomůcek od dávného starověku až po osobní počítače

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0157 Numerické metody a programování Lekce 1 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Architektura počítačů

Architektura počítačů Architektura počítačů Historie První počítače v dnešním slova smyslu se začaly objevovat v průběhu 2. světové války a těsně po ní. Největší vliv na utváření představ, jak by počítače měly být konstruovány,

Více

Střední odborné učiliště Domažlice, škola Stod, Plzeňská 322, 33301 Stod

Střední odborné učiliště Domažlice, škola Stod, Plzeňská 322, 33301 Stod Střední odborné učiliště Domažlice, škola Stod, Plzeňská 322, 33301 Stod Registrační číslo projektu : Číslo DUM : CZ.1.07./1.5.00/34.0639 VY_32_INOVACE_04.02 Tématická oblast : Inovace a zkvalitnění výuky

Více

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata? Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Kód výstupu:

Více

Základní pojmy a historie výpočetní techniky

Základní pojmy a historie výpočetní techniky Základní pojmy a historie výpočetní techniky Vaše jméno 2009 Základní pojmy a historie výpočetní techniky...1 Základní pojmy výpočetní techniky...2 Historický vývoj počítačů:...2 PRVOHORY...2 DRUHOHORY...2

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více