Prvočíslo a Ulamova spirála

Transkript

1 Gymnázium a SOŠ Cihelní 410, Frýdek Místek Prvočíslo a Ulamova spirála (Seminární práce z Matematiky) Monika Pistovčáková Matematika 13. listopad

2 1. Úvod 3 2. Teoretická část.4 a. Co to je prvočíslo?..4 b. Co to je Ulamova spirála? Praktická část.6 a. Jak spočítat prvočísla? 6 b. Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? -FOTO Závěr Seznam literatury..12 2

3 Úvod Všude okolo se lidé setkávají s čísly. Buď záměrně, nebo čirou náhodou. Málokdo si však uvědomí, jak jsou vlastně čísla kouzelná. Jsou novým světem a nejkrásnější na tom je, že každé číslo představuje něco jiného a má jiný význam. Každý den čísla spadají do našeho života a provází nás na každém kroku. Pythagoras kdysi prohlásil, že prazáklad veškerého bytí a existence je číslo. Dle mého se nemýlil. Bez čísel by totiž neexistovalo vůbec nic. Byl by zmatek a lidé by neměli nic z toho, co mají dnes. Co myslíte, souhlasíte semnou? Mám pravdu, nebo jste proti mému názoru? Na svoji seminární práci jsem si vybrala známou a velice důležitou skupinu. Jsou to prvočísla. 3

4 Teoretická část A, Co to je prvočíslo? Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo) Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla První prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 Prvočísel je nekonečně mnoho Využití o Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA. o Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení všech prvočísel menších než zadaná horní mez Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech př. n. l. Testování prvočíselnosti o Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002 o Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější o V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu. Millerův-Rabinův test prvočíselnosti je jedním z testů prvočíselnosti, tedy z algoritmů rozhodujících, zdali je dané číslo prvočíslo Je podobný Fermatovu testu prvočíselnosti Prvočísla menší než , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 4

5 B, Co je to ulamova spirála? Ulamova spirála, nebo také prvočíselná spirála, je obrázek, který vznikne seřazením přirozených čísel do spirály a zvýrazněním prvočísel Byla objevena matematikem Stanisławem Ulamem v roce 1963 Ulam si napsal přirozená čísla do obdélníkové sítě, jedničku doprostřed a další čísla spirálovitě směrem ven Když zakroužkujeme v této struktuře prvočísla, dostáváme Ulam si všimnul, že prvočísla se vyskytují převážně na některých diagonálních přímkách. Tento vzorek je viditelný i při velmi velkých měřítkách (objevují se pak i vodorovné a svislé čáry). 5

6 Praktická část A, Jak spočítat prvočísla? Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné pouze jedničkou a sebou samým, přičemž samotná jednička prvočíslo není Nejmenší prvočíslo je dvojka je dělitelná beze zbytku jedničkou a dvojkou. Je to zároveň jediné prvočíslo, které je sudé. Všechna ostatní prvočísla jsou lichá, protože jakékoliv jiné sudé číslo je dělitelné kromě jedničky a sebou samým ještě právě dvojkou. Posloupnost několika prvních prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 Posloupnost bez prvočísel o Lze nalézt libovolně dlouhou konečnou posloupnost po sobě jdoucích přirozených čísel, mezi kterými se nevyskytuje ani jedno prvočíslo. Taková posloupnost může mít tvar k!+2, k!+3,k!+k a obsahuje k-1 po sobě jdoucích složených čísel (vykřičník je faktoriál). o Například pro k = 6 dostaneme pět po sobě jdoucích složených čísel ve tvaru: , , , , o Tato čísla jsou postupně dělitelná dvěma, třemi, čtyřmi, pěti a šesti, protože číslo 6! = 720 je určitě dělitelné všemi těmito čísly, protože vzniklo jejich součinem: 6! = o Pokud je číslo 720 dělitelné třemi, pak i číslo musí být dělitelné třemi. Podobně pro ostatní. 6

7 B, Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? FOTO Mým cílem u vytváření projektu bylo především zaujmout. Proto jsem se rozhodla svůj projekt něčím okořenit a zaujmout nejen děti ale i rodiče. Hlavní změnou oproti jiným projektům bylo, že děti budou provázeny tématem nejen mnou ale i velice známým pohádkovým kamarádem Spongebobem. Zaujme hned na první pohled, proto jsem si téměř 100% jistá, že si z mého tématu děti odnesou nejen užitečné informace, ale taky zábavu. 1, 2, 7

8 3, 4, 8

9 5, 6, 9

10 7, 8, 10

11 Závěr Tato práce slouží k poskytnutí bližších informací k danému tématu. Vybrala jsem si ji, protože si myslím, že mnoho lidí (především dětí) neví a hlavně nemají zájem poznávat něco nové. Prvočísla jsou důležitá a dle mého by měl mít každý alepoň základní informace o tomto matematickém úseku. Přínos tedy bude nejen vzdělávací, ale také zábavný. Doufám, že rozvine znalosti okolí stejně tak, jako mě. 11

12 Seznam literatury Osamělost prvočísel- Paolo Giordano, 2009, Odeon Posedlost prvočísly- John Derbyshire, 2007, Galileo Zdroje: