Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A

Transkript

1 Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A Motivace: Motivace mého projektu je jednoduchá, pochopit matematiky označovaný nejtěžší a nejdůležitější problém současné matematiky. Cíle: Dokázání téhle hypotézy má zásadní vliv na rozložení prvočísel, dešifrovací algoritmy atd. Metoda: Prvočíselná věta Nejdřív, co to je prvočíslo? Prvočíslo je číslo, které je dělitelné samo sebou a jedničkou. Prvočísla postupně řídnou, pokud si zvolíme určitý seznam čísel např. 0 00, tak zjistíme, že prvočísel je 25 a od už jen 6. Vymizí někdy prvočísla? Tuhle otázku si už položil Euklides a vymyslel, jednoduchý důkaz předpokládejme, že N je prvočíslo utvoříme ( N) + takové číslo nelze dělit beze zbytku od do N vždy dostaneme, zbytek z toho plyne, buď je samo prvočíslem větší než N nebo jeho nejmenší vlastní dělitel je větší než N. Pro nejmenšího vlastního dělitele čísla platí, že je prvočíslo: např. N = 4, pak N = ( 2 3 4) + = 25 a tedy nejmenší vlastní dělitel čísla 25 je 5. Když bylo dokázáno, že je prvočísel nekonečně mnoho, tak se začalo uvažovat o tom, jak určit kolik existuje prvočísel menších než zadané číslo. Tabulka počtu prvočísel menších než zadaná hodnota: N Počet prvočísel menších než N? Z tabulky lze vyčíst postupné řídnutí prvočísel, protože kdyby první řádek držel krok s posledním, tak by měl mít prvočísel.

2 Důležitý pojem prvočíselné věty je také tzv. prvočíselná funkce Je funkce udávající počet prvočísel menších než zadané číslo n. Značení: π(n) Nyní z první tabulkou provedu trik, tak že vydělím první sloupec druhým a přidám logaritmus. N ln N N/ π(n) 000 6,9077 5, ,855 2, ,7232 9, ,630 26, , , , ,4204 Z tabulky vyplívá, že hodnota N/ π(n) se přibližuje hodnotě ln N, tudíž platí čím větší je N, tím je mu v poměru blíž. Lze to napsat také N/ π(n) ~ ln N po upravení téhle formule dostanu tzv. prvočíselnou větu π(n)~ N ln N. Důsledky prvočíselné věty. Pravděpodobnost, že N je prvočíslo je přibližně rovna 2. N té prvočíslo je přibližně rovno N ln N. ln N.

3 Riemannova hypotéza Jeden z nejslavnějších problému současné matematiky pro svoji obtížnost byla zařazena mezi 7 nejdůležitějších nevyřešených úloh 3. Tisíciletí. Byla publikována německým matematikem Bernhardem Riemannem v článku s názvem ( O počtu prvočísel menších než daná hodnota )v roce 859. Je definována jako součet řady: ζ(s) = Kde s R a s > Hodnota funkce pro s > n s ζ(2) = n 2 = π2 6 Tohle je tzv. Basilejský problém který vyřešil až Leonard Euler (lze tady pozorovat zárodek zeta funkce) jde o řadu, která je konvergentní (což znamená, že má konečný součet pro všechna reálná s > ) Hodnota funkce pro s = Pro tuhle hodnotu dostáváme ζ() = n Dostaneme tzv. Harmonickou řadu, jejíž součet je roven Hodnota funkce s = o ζ(0) = n s = Riemann publikoval svoji tzv. Funkcionální rovnici Funkce má vlastnost, že hodnoty zeta funkce od bodu (kritický bod) odkazuje na hodnoty vpravo na zápornou reálnou část grafu. ζ(s) = 2 s π s sin πs 2 Γ( s)ζ( s) Γ- gama funkce

4 V oboru přirozených čísel platí: Γ (n) = (n )! Určení zeta funkce v bodě: s = ζ( ) = 2 π 2 sin π 2 Γ(2)ζ(2) ζ( ) = 2 určení zeta v bodě s = 2 ζ( 2) = 2 2 π 2 sin( π) Γ(3)ζ(3) ζ( 2) = 0 Graf zeta funkce: komplexní rovina Kritický bod () lze ho rozšířit na zápornou část reálné osy Hodnot na jednotlivém intervalu využiju na celém grafu

5 Kořeny zeta funkce: V záporných sudých číslech má zeta funkce kořen ζ( 2n) = 0 - tzv. triviální kořeny Riemann si položil otázku, jestli má i jiné kořeny odpověď je ano. V komplexním pásu mezi 0 existuje nekonečně mnoho kořenů, a jelikož není lehké spočítat, kde leží. Riemann vyslovil hypotézu: Všechny netriviální kořeny zeta funkce mají reálnou část rovnou ½. Výsledky: Když v roce 859 Bernhard Riemann publikoval článek s názvem o počtu prvočísel menších, než zadaná hodnota představil tam poprvé tak zvanou zeta funkci definovanou jako součet nekonečné řády s R a s > Definovanou pro ζ(s) = n s Největší význam Riemannova článku je jeho geniální odvození, tak zvané funkcionální rovnice ζ(s) = 2 s π s sin πs 2 Γ( s)ζ( s) Tahle rovnice je výjimečná, jelikož díky jí lze obejít kritický bod a rozšířit definiční obor funkce na záporná celá čísla s pro s < 0

6 Závěr: Studiem Riemannovy hypotézy jsem se snažil pochopit její tvrzení, které zní: Všechny netriviální nulové body zeta funkce mají reálnou část rovnou 2. Jejím studiem jsem zjistil, že existuje hodně složitá matematika, kterou je popsaná. Podle názoru mnoho matematiku není v současné matematice dostatečný prostředek pro podání důkazu téhle hypotézy. Prý podání tohoto důkazu je tak složité, že by se měl vymyslet nový matematický aparát. Zdroje: kniha: Posedlost prvočísly od Johna Derbshire Bakalářská práce: