-i- [ gr + (g + 7 tg a) cos2 a] ŕ2

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "-i- [ gr + (g + 7 tg a) cos2 a] ŕ2"

Oldřich Müller
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 3.H. ÍMgrangeove rovnce druhého druhu J4J Príklad 2. Teraz budeme rešť pohyb hmotného bodu po naklonenej rovne, teraz však o nej budeme predpokladať, že sa pohybuje v smere os X so zrýchlením y a jej rýchlosť na začatku počítana času sa rovnala nule. Pre tento účel rovncu naklonenej rovny podľa obr. 3.8 napíšeme v tvare y -f- (tg a) x p tg a = 0 alebo, kedže teraz p = p 0 -\ x- yt2, Z + tg oc(x - p yt2) = 0 (a) df df *. Teda opäť -j = tg a, =, takže aj pre súradnce pohybujúceho sa bodu dosta neme formálne rovnaké výsledky ako v príklade, A tg a J X = ~2~ ^ r t, ma + A.? ^ P o t g a f Konštantu A musíme však teraz vypočítať z rovnce (a), t. j. z rovnce, / A tg x mg + A = - tg a ( - y P o t g a m,\ - Po - - Y? * ) Dostaneme A = m(g -j- y tg a) cos2 a takže x = -, (g -f- ytg a) sm a cos a ŕ- A y = tg a + -- [ gr + (g + 7 tg a) cos2 a] ŕ2 Ked nechceme, aby bod po naklonenej rovne klesal, musí byť g -r g cos2 a -f -f y sn a cos a = 0, z čoho y = g tg a. Tento výsledok sme dostal už v 2. príklade článku 2.7, a to použtím d'alembertovho prncípu. 3.S. Lagrangcove rovnce druhého druhu. Skalárne velčny určujúce jedno značne polohu bodu v prestore nazývajú sa jeho súradncam. Podobne ska lárne velčny, určujúce jednoznačne polohy jednotlvých bodov sústavy hmotných bodov v prestore, nazývajú sa (zovšeobecneným) súradncam sústav}^. K ed v sústave ne sú väzby, jej súradnce (budeme ch označovať qt) sú totožné so súborom ľubovoľných súradníc jej jednotlvých bodov. K e ď však v sústave n hm otných bodov je m holonómnych väzeb, takže stupeň voľnost sústavy je s 3? m, počet zovšeobecnených súradníc sústavy je len 5. Nemusa to však nevyhnutne byť súradnce nektorých bodov sústavy, ale môžu to by ť aj né údaje, ako napr. vzájom né vzdalenost nektorých bodov sústavy, uhly zovreté ch spojncam a pod. lastné súradnce jednotlvých bcdov sústavy a tým aj ch polohové vektory sú funkce zovšeobecnených súradníc (a ak sa v sústave jestvujúce holonómne

2 42 >. Dynamka sústavy hmotných bodov väzby s časom mena), aj času. Teda v prípade holonómnych väzeb vo vše obecnost platí n = r.-íí, g2,..., q},..., <7,, í) Podľa zovšeobecneného prncípu vrtuálnych posunutí (rovnca 3.7.2) je n ^ (f, mfaf). ôr( = 0 () =l Kedže ôr = t w /= g9 rovncu ( ) možno upravť na tvar s n S 2 (f - m!o' ) - - ŕ ^ = 0 <2> = 7= Pretože vrtuálne zmeny (ôq^) zovšeobecnených súradníc (každá zmena zo všeobecnenej súradnce je možná) sú od seba nezávslé, z rovnce (2 ) vyplýva platnosť s rovníc I (f. a,.).- g - = o ktoré môžeme napísať aj takto or» predstavujúc pravú stranu rovnce (3), možno / ^ m a. vyjadrť pomocou knetckej energe K sústavy. Dervujme rovncu r, r (ql, q2,..., q;,..., qs. t) podľa času Sr,. dr, r ~ 2 j ~ d ^ q + ' w, x (4) 7= a túto parcálne podľa tzv. zovšeobecnenej rýchlost dŕ dqf ~ dr,3qj, dostaneme

3 3.H. Ijagrangeove rovnce druhého druhu 43 Z tohto výsledku vyplýva a dŕ, drt d t ' d ľ ŕ dq; dr \! d / dŕ \ dŕt ~ r -~8q' dŕ \ t dľj - d ŕ " dŕ \* ' W d t lebo d dr{ dŕ dqf d2r{. dqxdqf '/ + ' d2r, " ' d l drl I ý r /, I \dqx <h dqí 'h, d% dtdqf ^r \_ dt ) dr takže drf a. Q< - Z í d / dv2 dv2 ;-\ \ - d ~dŕ \2 ^ / dv22 d dvf d r 2 2 Z j 2 d í Z * ' äs: =ďr Z m <x ääľ Z 5r dt Z j d dk dt dk Skúm ajm e teraz význam výrazu P j = (5) y f 5r ktorý predstavuje ľavú stranu rovnce (3). Práca všetkých hnacích síl pr vrtuálnom posunutí bodov sústavy je» t / K eď sa zmení len j-tá zovšeobecnená súradnca, táto práca je ^ = S f -^ ^ = ^ takže P, = lm 4 ť)qj *o ôq, zhľadom na podobnosť vzťahu el4 = P fôqj a vyjadrena práce v prípade, že sa pôsobsko sly posúva pozdĺž os X. d^4 = fx dz. velčna

4 44 3. Dynamka sústavy hmotných bodov nazýva sa Lagrangeova sla. K e ď sú hnace sly konzervatívne, t. j. ak ch práca závsí len od zmeny polohy sústavy, potom Pjôqj = ôa ôu, takže v tom prípade du dq. p,= a rovnca (3) je du ÔK _d dŕ (?) Takýchto rovníc v prípade sústavy, ktorá m á s stupňov voľnost svojho pohybu, je s. Sú to tzv. Lagrangeove rovnce druhého druhu v tvare platnom pre sústavy s konzervatívnym slam. In á č môžeme napísať len = ±dk^ j dŕ ÔK (S) Pretože polohová energa U ne je funkcou aj zovšeobecnených rýchlostí ť/j. rovncu (7) môžeme napísať aj takto d d (K U) dŕ alebo, ak rozdel K platť d (K U) :») nazývaný Lagrangeovou funkcou označíme L, bude d dŕ (0) Príklad. N a plošne vozíka s hmotnosťou M, ktorého kolesá m a jú zanedbatelne m alú hmotnosť, je umestnené matematcké kyvadlo, hm otný bod s hmotnosťou m, zavesený na nehmotnej n t dĺžky l (obr. 3.9J. N a začatku počítana času, ked celé z í j í ( < ( Ic lo v f t k o j a stred vozíka bol v meste určenom súradncou rr0. hm otném u bodu bola udelená začatočná rýchlosť v0. Pomocou Lagrangeových rovníc druhého druhu odvodíme prebeh pohybu vozíka aj kyvadla. K netcká energa celého zaradena je K = M x 2 -f- m(x + (p l )2 ked predpokladáme, že uhol <p je stále dostatočne malý. Polohovú energu zaradena určuje vzorec U = mgl{ cos q>)

5 3.8. Ijdgrangeove rovnce druhého druhu 45 takže Lagrangoova funkca m á tvar L dx M x2 = + Mx + m(x lep + mgl(l + l*p)t coh ^m) dtp d d = M x + m<* + ), = «*<* + '?> a rp) j., = mq s n w mgl rp dtp = 0 dx Dosadením týchto výsledkov do Lagrangeovej rovnce druhého druhu (0) dostaneme dferencálne rovnce pre súradnce x a, cp Mx + + lep) = 0 (a) ml(x + ľ<f>) = mglrp (b) Z rovnce (a) vyplýva ml M -j- m z čoho po dosadení do rovnce (b) dostaneme M M m l<p = g<p g M + m qj = - - f <p I m,. (c) Rovnca (c) je dferencálna rovnca harmonckého pohybu, takže kruhová frekvenca u) = r q M I ^ l M _ a peróda kývana kyvadla T = 2z j/ ----M m, _ vv. teda vacsa na vozíku, ktorý sa môže pohybovať, ako na zabrzdenom vozíku, ked (ako veme zo štúda / ~ fyzky na strednej škole, pozr aj čl. 4.0) T 2tt j. Prebeh pohybu kyvadla určuje zrejme funkca <p = <Po sn cot yplýva z nej, že p rp0(d2 sn ujt, čo dosadené do rovnce (a) dáva (M -f m) x = ml<p0 co2 sn cot d dť?nl(p0co2 sn cot M -J- m a ntegrácou v hrancach od 0 do ť ml(p0(o M + m Ďalša ntegráca poskytuje (cos cot - ) (d)

6 «5. Dynamka sústavy hmotných bodov K ra jn ú uhlovú odchýlku kyvadla <p0 vypočítame z rovnce p axp0 cos a)t, ktorá vyplýva z rovnce (d), jej dervovaním podľa času, ked do nej za 9?dosadíme v0/l a súčasne za t nulu, t. j. >'o teda n = = vo vn cp j- sn cot 0) m 77 v0. x xn H--,,----- vnt sm u)t 0 M M 4 - m O) 3.9. Hamltonove rovnce. K netckú energu hmotného bodu určuje vzorec K = ~^ mv2 -^ m(x2 -f- ý2 -)- ž2), takže n ap r. tm = mx. zhladom na UX L tento vzťah, keďže súčn mx predstavuje veľkosť zložky pz vektora hybnost hmotného bodu p = mv = m(x -f- ýj + ž k), parcálna derváca knetckej energe sústavy hm otných bodov, vyjadrenej pomocou zovšeobecnených sú radníc, rýchlostí a príp. aj času, podľa nektorej zovšeobecnenej rýchlost sa v mechanke sústav nazýva zovšeobecnená hybnosť (nevhodne aj mpulz) a označuje sa p } dk = -5T P = -KTdqf m ( ) kde L = K U je Lagrangeova funkca. H a m l t o n (sr W lla m Row an H am lton, , írsky matem atk a astronóm) zavedením zovšeobecnených hybností a svojej funkce S = (2) odvodl z Lagrangeových rovníc druhého druhu svoje rovnce, ktoré sa pre svoju jednoduchosť výborne osvedčl nelen v mechanke, ale aj v štatstc kej a kvantovej fyzke. Z s rovní 3 ( ), defnujúcch zovš3obecnené hybnost, možno vypočítať zovšeobecnené rýchlost qj ako funkce zovšeobecnených súradníc qjt h y b ností p j a času. K e ď zovšeobecnené rýchlost vystupujúce v rozdele H YjPŔ) L vyjadrím e všetky pomocou týchto premenných aj HamUonova funkca sa stane funkcou len týchto premenných. Utvorme parcálnu dervácu Ham ltonovej funkce (2 ) ako funkce zo všeobecnených súradníc, hybností a času podľa zovšeobecnenej súradnce qr. Dostaneme oqf dh v ô,h

Podobné dokumenty

4 Mechanika sústavy hmotného bodu a tuhého telesa

4 Mechanika sústavy hmotného bodu a tuhého telesa 4 Mechanka sústavy hmotného bodu a tuhého telesa Z matematky veme že ťažsko štvorca sa nachádza na presečníku jeho uhloprečok Ale ako to bude s ťažskom telesa ktoré ne je symetrcké? Napríklad kde sa bude