Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Transkript

1 Limita funkcie y y lim Čo rozumieme pod blížiť sa?

2 Porovnanie funkcií y y lim

3 Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu a, že pre každé číslo a, z tohto okolia je f() b < GEOMETRICKY Pozn. Nezáleží na tom, ako sa správa funkcia v bode =a, tento bod v definícii nevystupuje, iba jeho okolie.

4 VYTVORME PÁS Nech: Hľadáme okolie, z ktorého môžme vyberať, aby sme sa od 3 nevzdialili ďalej ako o Dosadíme do definície: Ku každému, vieme nájsť také = /2 okolie bodu 1, že pre každé číslo 1 z tohto okolia je f() 3 <

5

6 Neeistencia limity Nedokážeme nájsť také okolie bodu c, aby všetky funkčné hodnoty pre tieto padli do pásu všetky funkčné hodnoty pre akekoľvek padnú mimo pásu Pre tento pás neeistujú vhodné

7 Výpočet limít úpravami Pri úpravách odstraňujeme zakázané

8 Nevlastná limita Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu (- ), keď ku každému číslu K, eistuje také okolie čísla a, že pre každé a z tohto okolia je f()>k (f()<k ). K lim f a Nedokážem funkciu v danom bode ohraničiť

9

10 Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu, keď ku každému číslu K, eistuje také okolie čísla a, že pre každé a z tohto okolia je f()>k (f()<k ). Pre ľubovolné K má platiť K Dosadíme do definície: 1 1 K Funkcia má v čísle a=1 nevlastnú limitu, lebo ku každému číslu K, eistuje také okolie čísla a=1: 1 že pre každé 1 z tohto okolia je f()>k. 1 K

11 Limita v nevlastnom čísle Čo rozumieme pod blížiť? Funkcia má v nevlastnom bode, limitu b, ak ku každému číslu >0, eistuje také okolie (k, ) nevlastného bodu, že pre každé z tohto okolia, t.j >k platí: f()-b <. lim f b

12

13 Limita postupnosti Postupnosť funkcia s definičným oborom prirodzených číslam lim a n b n n n a b : n a n0 Postupnosť má limitu b, vtedy, ak ku každému >0, eistuje určitý člen postupnosti a n0 od ktorého všetky ďalšie členy sa líšia od hodnoty b menej ako.

14 Zhrnutie Funkcia môže mať limitu: Konečnú, rovnú hodnote a (vlastná limita) Nekončne veľkú (nevlastná limita) Nemusí eistovať (napr. ak limita sprava sa nerovná limite zľava)

15 Pomocné vety Ak funkcia f, g majú v bode a limity: lim f ( ) a lim g( ) c a b lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) b c a a a lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) b c a a a f ( ) lim f( ) a b lim ak lim g( ) 0 a g( ) lim g( ) c a a

16 Pomocné vety Ak funkcia f, g majú v bode a limity: lim f( ) a lim g( ) a c lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) c a a a lim f ( ) g( ) lim g( ) c a a Neurčité výrazy, výpočet treba urobiť osobitne, často pomôže vhodná úprava 0,,, 0 0

17 Príklad, ktorý ukazuje, ako je dôležité rozumieť, čo znamená blížiť sa k bodu. Toto som si mohol dovoliť iba v prípade, že neberem do úvahy pri úpravach bod 0, inak by som delil nulov!!!!

18 2 2 lim 3 1

19 UKÁŽKY NIEKTORÝCH ČASTO POUŽÍVANÝCH LIMÍT

20 Jednotková kružnica s orientovaným uhlom meranie uhlov Oblúková miera veľkosť uhla sa vyjadruje dĺžkou oblúka, ktorý vytínajú ramená uhla na kružnici s jednotkovým polomerom so stredom vo vrchole uhla. y s r radiany rad A 1 radián 180 stupne

21 Sínus a kosínus pre malé uhly (v radiálnoch) Geometrická definícia sinusu a kosínusu sínus protiľahlá k prepone kosínus priľahlá k prepone pre oblasť malých φ: pre oblasť malých φ: 2 cos 12sin 2

22 Pomocná veta Zovretá funkcia Ak v okolí bodu a platí : g f h( ) a ak eistujú limity: tak eistuje tiež limita: lim g L c lim f L c lim L c

23 zodpovedá dĺžke oblúku

24

25 tg sin cos

26 lim 0 sin 1 cos sin OAB tg ODC blúk OAC R sin lim 1 0 Všetko sú párne funkcie, nerovnosti platia pre okolie bodu 0 cos sin 1 sin cos 1 cos 0 sin 1 1 cos

27

28 Vypočítajme tan lim 0 sin m lim mn, 0 0 sin n 3 sin 2 lim 0 1 cos lim 1 0 2

29 EULLEROVE ČÍSLO DEFINOVANÉ CEZ LIMITU POSTUPNOSTI

30 n 1 n yn 1 1 nn 1 n 2 n 1n n 1! n 2! n 3! n nn 1n 2... n k 1... nn 1n 2... n n 1 k k! n n! n n n n 1 n n 1 n a b a na b a b... b n n n n 1 n 2 2 n y n n 2! n 3! n n k n k! n n n n! n n n n ! 3! n! y n n1 Geometrický rad 2 yn Y n je monotónne rastúce s n a nepresiahne 3. Číslo ku ktorému sa približuje sa nazýva Eullerove a má hodnotu e2,

31 Špecialne limity lim 1 1 e lim e

32 Vypočítajme 0 lim ln 3 ln lim n n n 1 lim cos n 2 cot g

33 Nekonečne malé funkcie, ekvivalencia funkcií Pod nekonečne malou funkciou v bode = 0 rozumieme funkciu, pre ktorú: lim f( ) 0 0 Uvažujme dve funkcie 1 a 2 nekonečne malé v okolí bodu 0. Označme: 1 lim A 0 2 lim A Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1 Obe funkcie môžeme v okolí bodu 0, nahrádzať jednu za druhú

34 Ekvivalencia nekonečne malých veličín Pod nekonečne malou funkciou v bode = 0 rozumieme funkciu, pre ktorú: lim f( ) 0 0 lim A Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1 Obe funkcie môžeme v okolí bodu 0, nahrádzať jednu za druhú

35 Nekonečne malé funkcie, ekvivalencia funkcií Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1 Funkcie 1 a sú 2 rovnakého rádu malosti Funkcie 1 je vyššieho rádu malosti ako 2 Funkcie 1 je nižšieho rádu malosti ako 2 Funkciu sú v okolí bodu 0 ekvivalentné vzájomne nahraditeľné

36 Príklady ekvivalentných funkcií v okolí bodu nula 0 sin lim 1 0 sin tg lim 1 0 tg n 1 1 n lim n 0 n lim Ukážeme, že pre R a 0: 1 1 n n 1 n n 1 n a b a na b a b... b n n n n 1 n 2 2 n

37 Ukážka využitia aproimácie lim , ,

38 Ukážka využitia aproimácie V radianoch sin lim 1 sin 0 sin 0, sin1 0,

39 Matematické kyvadlo l l h

40 mg sin F l y mg

41 mg sin F l Pri malých uhloch to vyzerá ako na priamke, zakrivenie kružnice sa nestihlo prejaviť mg F mgsin Zväčšenina y Nahradíme sin uhlom v oblúkovej miere: y l F mg l g l y y l

42 Určte, ako sa mení hustota materialu pri tepelnej rozťažnosti m m 1 t V 1 t V lim