Explikace sémantických vztahů a řešení sémantických paradoxů

Transkript

1 Explikace sémantických vztahů a řešení sémantických paradoxů Jiří Raclavský Abstract (Explications of Semantic Relations and Solutions of Semantic Paradoxes): In the first part of the present study, I introduce explications of being truth and various semantic relations. These explications are based on ideas of Pavel Tichý and they are exposed in the explicative framework underlied by his hyperintensional logic. The solution of the key version of Liar paradox proposed already by Tichý follows. The main feature of the solution is the analysis of the essential relativity of semantic phenomena to language. A language is conceived as stratified in the hierarchy of objectually conceived (meta)languages. Since other versions of Liar were studied by the present author elsewhere, there are solved other semantical paradoxes here. The first of them is Löb s paradox showing the absence of negation but a presence of a truth predicate. The solutions of paradoxes (those of Berry, König, Richard, Hilbert-Bernays, Quine, Simmons) containing in fact the concept of reference follow. The greatest effort takes Grelling s heterological paradox whose special variant is Russell s paradox with non-self-applicable predicate. Sdílím přesvědčení mnohých, že logika je užitečným nástrojem při explikaci přirozeného jazyka a mnoha rozmanitých filosofických konceptů. Explikací se rozumí modelování (mnohdy vágních) pre-teoretických konceptů pomocí rigorózních pojmů teoretických. Pro modelování jsou nepochybně vhodné entity matematiky či logiky (nemálo teoretiků pak preferuje funkcionální základ před čistě množinovým). Explikace se řídí známými požadavky, jakými jsou zejména materiální adekvátnost a formální správnost. Připomeňme si, že žádné explikans (model) z principu není dokonale shodné s explikandem, řečeno výstižným obrazem mapa není terén. Sémantické paradoxy, které se týkají klíčových sémantických konceptů jako je pravdivost výrazů, význam, denotace, reference, jsou místem, v němž se různé explikace oněch konceptů setkávají s jedním z nejtěžších protivníků. Načež konfrontace se sémantickým paradoxem odvozením vedoucím z přijatelných premis k nepřijatelnému, typicky kontradiktorickému, závěru ukazuje plauzibilnost té či oné explikace sémantických a dalších klíčových epistemologických konceptů. Aniž bych detailně obhajoval, filosoficky komentoval či dával do rozmanitých souvislostí řešení založené na poznatcích Pavla Tichého a jeho rámci explikace, 1 předkládám níže klíčové aplikace tohoto 1 K tomuto viz Raclavský, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost. Filosofický časopis 56, (v tisku). 1

2 mnou rozvíjeného řešení v problematice sémantických paradoxů. Je zřejmé, že k řešení sémantických paradoxů je třeba nejprve objasnit předpokládanou koncepci explikace významu a dále též explikace pravdivosti sémantických vztahů. Tomu se budu věnovat v první, přípravné, části tohoto textu. V další části ukáži, že tato explikace sémantické paradoxy automaticky řeší. A to je přirozeně důvod pro ocenění uplatňovaného přístupu. 2 EXPLIKACE PŘIROZENÉHO JAZYKA Transparentní intenzionální logika jako nástroj explikace Naše explikace vychází z explikačního rámce navrženého Tichým, rámce, který se opírá o jeho Transparentní intenzionální logiku, TILku. Ta je vlastně jakýmsi objektuálně pojímaným λ-kalkulem (λ-termy jsou viděny jako tzv. konstrukce) opírajícím se o (Churchovskou) a jednoduchou teorii typů a (dost specifickou) rozvětvenou teorii typů. 3 Intenzionální rámec empirického zkoumání. Při konfrontaci s vnějším světem si poznávající subjekt uvědomuje platné fakty. Prostřednictvím jazyka (zejm. vět), jímž disponuje, si své poznatky zaznamenává. Vnější materiální svět můžeme pojímat jako kolekci individuí (tvořících univerzum diskurzu; kolekce ι), skrze něž jsou určitým způsobem rozdistribuovány atributy (zejm. vlastnosti a vztahy). Subjekt zkoumající individua disponuje předteoreticky danou kolekcí (primárních) atributů, intenzionální bází, IB. Atributy z IB odpovídají jednoduchým predikátům jazyka subjektu IB tedy podkládá daný (přirozený) jazyk. Modelovat atributy coby třídy individuí (charakteristické funkce do prvků ο, tj. pravdivostních hodnot T a F, Pravdy a Nepravdy) je neadekvátní, protože každá třída individuí je definičně dána tím, která individua do ní patří. Proto by náležení určitého individua do jisté třídy byla věc logicky nutná, jenže empirické fakty jsou nepochybně typicky kontingentní. Existuje přitom spousta logicky uvažovatelných úplných (realizovatelných) distribucí (primárních) atributů skrze individua (a další objekty). Těmto se říká možné světy a ty pak přeneseně slouží coby modální index (kolekcí takovýchto 2 Pro některého čtenáře mohou být pasáže zejm. z následující sekce poněkud náročnější. Žel je to právě přirozený jazyk, co si vynucuje precizní, tudíž pečlivou, explikaci. Snaha ošidit to zjednodušeními skutečně nevede k cíli. Přesto připouštím, že zrovna ze sekce následující si některý čtenář (samozřejmě na vlastní riziko) může převzít ke čtení zbytku statě jen základní poznatky. Dokonce není vyloučena ani možnost projít sekce přecházející vlastním řešením sémantických paradoxů zběžněji vždycky zbývá možnost návratu za účelem nějakého případného zpětného ujasnění. Každopádně bylo mou snahou, aby text pochopil i ten, kdo se nechce zaobírat technickými detaily, formulemi. 3 Vysvětlení, obhajobu i detaily zvláště definice aparátu TILky viz v Tichý, P. (1988): The Foundations of Frege s Logic. Berlin-New York: Walter de Gruyter (dále jen FFL). Materiál právě této podsekce je vlastně téměř celý přejat od Tichého. 2

3 možných světů coby indexů je ω). Je jisté, že kromě modální podmíněnosti je tu i podmíněnost temporální instanciace jistého atributu individuem se nezřídka v průběhu času mění. Temporální faktor uchopujeme prostřednictvím reálných čísel (jejich kolekcí je τ), která slouží též k reprezentaci časových okamžiků. Objektovou bází TILky pro explikaci přirozeného jazyka je {ι,ο,ω,τ}. Teorie typů. Nad touto objektovou bází jsou dány rozmanité funkce z a do prvků atomických typů (ι,ο,ω,τ) anebo z či do takovýchto funkcí, které jsou utříděny do molekulárních typů. Často parciální funkce z možných světů do chronologií ξ-objektů (tj. objektů libovolného typu ξ) jsou zvány intenze, ((ξτ)ω); ((ξτ)ω) budeme zkracovat na ξ τω a budeme hovořit o funkcích z možných světů a časových okamžiků do ξ-objektů. K nejvýznamnějším intenzím patří propozice, jež mají coby hodnoty pravdivostní hodnoty, ο τω (což budeme zkracovat na π). Další jsou funkce z možných světů a časů do tříd ξ-objektů, (οξ) τω, tedy vlastnosti ξ-objektů; potažmo n-ární vztahy, (οξ...ξ) τω. Rozsah vlastnosti v určitém možném světě W, časovém okamžiku T, je zván její extenzí; komplementem této třídy je antiextenze; v důsledku parciality obou těchto tříd nemusí být jejich sjednocení univerzální třídou objektů daného typu ξ. 4 Všechny typy jsou vzájemně disjunktními kolekcemi. Je dodržován funkcionální princip bludného kruhu: žádná funkce není svým argumentem či hodnotou (přirozeně tím rozumíme, že nesmí být součástí argumentu či součástí hodnoty; podobně níže). Jak známo, jednoduchá teorie typů řeší množinové paradoxy. Konstrukce. Tak jako i jiné objekty, jedna intenze je konstruovatelná nekonečně mnoha konstrukcemi, (abstraktními) strukturovanými procedurami. Jednoduše řečeno: odlišuje se funkce jakožto tabulka a funkce jakožto předpis. Tichého konstrukce se dělí do šesti druhů. Konstantám odpovídají jednokrokové procedury zvané trivializace ( 0 X, kde X je jakákoli entita). Proměnným coby znakům odpovídají proměnné coby konstrukce (např. proměnné možných světů, w, časových okamžiků, t). Aplikacím (funkce na argument) odpovídají kompozice ([FÃ], přičemž Ã je řetězec konstrukcí, F je konstrukce typicky nějaké funkce; [ [[...]w] t] zkracujeme na [...] wt ). λ-abstrakcím odpovídají uzávěry (např. intenze jsou konstruovány uzávěry tvaru λw [λt [...w...t...]]; λw [λt [...]] zkracujeme na λwλt [...] ). Dále tu jsou konstrukce druhu jednoduché exekuce, 1 X, jež nechávají konstruovat X, a dvojité exekuce, 2 X, jež nechávají konstruovat to, co konstruuje konstrukce X (je-li to konstrukce). Některé konstrukce jsou v-nevlastní, nekonstruují v odvislosti od (objektuálně chápané) 4 Komplementarita funkcí při parcialitě je zkoumána v Raclavský, J. (2007): Defining Basic Kinds of Properties. In: T. Marvan, M. Zouhar (eds.), The World of Language and the World beyond Language (A Festchschrift for Pavel Cmorej), Bratislava: Filozofický ústav SAV,

4 valuace v nic. Kompozice [FÃ] je v-nevlastní, pokud à ne-v-konstruuje argument, pro nějž je definována funkce v-konstruovaná konstrukcí F (je-li tou F vůbec nějaká funkce v- konstruována). Jednoduchá exekuce 1 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce, nebo je to v-nevlastní konstrukce. Dvojitá exekuce 2 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce anebo pokud to, co X v-konstruuje, není konstrukce nebo je to v-nevlastní konstrukce. Sémantické schéma. Jak se všeobecně uvažuje, hlavním účelem jazyka je být médiem pro přenos informací o stavu světa, čímž je míněno umožnit subjektu zaznamenávat poznatky o mětí určitého atributu určitým individuem, popř. formulovat hypotézy o tom, který atribut určité individuum nese. V souladu s touto oprávněnou vizí spočívá podnik logicko-sémantické analýzy výrazů přirozeného jazyka v určení entity, kterou výraz E v jazyce J vyjadřuje, čili je považována za význam E v J. Tímto jde o explikování preteoretického významu E. V případě třeba věty jako I je V (přičemž I je jméno jistého individua a V jméno jisté vlastnosti) je za její význam uvažována konstrukce druhu uzávěru, jmenovitě λwλt [ 0 V 0 wt I] (tato konstrukce konstruuje propozici); daná konstrukce v principu demonstruje postup zjištění příslušné pravdivostní hodnoty pro jistý svět možný W a časový okamžik T (které jsou hodnotami w, t), totiž: uchop vlastnost V, zjisti, co je její hodnotou-rozsahem ve W, T (což bude jistá třída individuí), uchop individuum I a zjisti, zdali platí, že toto I je v onom rozsahu V. Objekt konstrukcí konstruovaný je chápán jakožto denotát daného výrazu E (v J). Pokud výraz denotuje intenzi, hodnota této intenze v nějakém světě-čase je referent tohoto výrazu E (v J) (u výrazů, které nedenotují intenze, můžeme jejich referent ztotožňovat s denotátem). Rozvětvená teorie typů. Z definice konstrukcí plyne, že konstruuje-li konstrukce nějaký objekt, tak tento objekt je odlišný od ní samé. Proto konstrukční princip bludného kruhu zní: žádná konstrukce nekonstruuje samu sebe či konstrukci, která ji obsahuje coby podkonstrukci. Následkem uplatnění tohoto principu je zcela přirozeně roztřídění konstrukcí do řádů, tj. typů * k (pro 1 k n, kde n jsou přirozená čísla), z nichž každý je disjunktní vzhledem k jakémukoli jinému typu. Např. konstrukce-proměnná c 1 konstruující prvořádové konstrukce (z typu * 1 ) nekonstruuje též samu sebe; c 1 je druhořádovou konstrukcí (patří do typu * 2 ). Sama je konstruována až např. proměnnou c 2, která je třetiřádová; atp. Funkce z či do (i objektů nad objektovou bází) jsou rovněž typově utříděny Tichého rozvětvenou teorií typů (srov. FFL, s. 66, zde si onu definici uvádět nebudeme). 4

5 Formulujme ještě konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu: žádná konstrukce nekonstruuje funkci, jejímž argumentem či hodnotou je ona sama. 5 Definice jako dedukční pravidla. Tichý pro TILku vypracoval vlastní systém přirozené dedukce, jež obsahuje i pravidla substituce. 6 Zde podám jen ústřední myšlenku. Klíčová je shoda x:a. Je to uspořádaná dvojice, jejímž prvým členem je objekt typu ξ či proměnná x, jež konstruuje objekty typu ξ, a druhým prvkem je A, což je konstrukce objektu typu ξ. Shoda je splňována valuací v, pokud x i A konstruují jeden a týž objekt. Shoda tvaru :A je splňována v, pokud A nic ne-v-konstruuje. Dvojice ϕ Σ, jejímž prvým členem je konečná množina shod ϕ a jejímž druhým členem je shoda Σ, je zvána sekvent. Pravidlem odvození je platnost zachovávající operace na sekventech, obecně tvaru ϕ 1 Σ 1 ;... ; ϕ k Σ k = ϕ Σ. Sekventy tvaru x:a 1,..., x:a n x:a značme A 1,..., A n x A; pár sekventů tvaru A x B, B x A značme A x B (B je konstrukce odlišná od A). Nový pojem-konstrukce je zaváděn pomocí odvozovacího pravidla tvaru = A x B, přičemž zaváděný pojem-konstrukce se vyskytuje v A, ale nikoli v B, a x není volná v A či B. Jsem přesvědčen, že je velmi příznivé chápat definice jako takováto odvozovací pravidla = A x B. Zapisuji je stručně A ξ B, přičemž ξ u zastupuje proměnnou konstruující objekt typu ξ, která není volná v A či B; pokud je ξ typem pravdivostních hodnot, tj. ο, budu ξ vynechávat. Každá z A či B je konstrukcí, která obsahuje-li např. volné proměnné w, t, n může být uzavřena uzavírací sekvencí jako např. λwλt.λn.. Takto uzavřená A či B může v následujících definicích vystupovat ve svém η-redukovaném tvaru (λx 1 x n [C x 1 x n ] je η-redukovatelná na C; C je nějaká konstrukce). Uzavřenou η-redukovanou A považujeme za význam desambiguovaného predikátu A. (Podáme-li definici A B, považujeme za danou i definici [ 0 A] [ 0 B].) Uveďme už teď, objekty jakého typu konstruují námi často používané konstrukce. Proměnné možných světů, w (či w ), resp. časových okamžiků, t (či t ), konstruují možné světy (ω-objekty), resp. časové okamžiky (τ-objekty). Proměnná n konstruuje reálná čísla (τobjekty); budu předpokládat běžnou praxi, že výrazy jsou v systému explikace reprezentovány přirozenými čísly (náležícími do τ) získanými gödelizací. Proměnná p konstruuje propozice, probíhá typ π. Proměnná o konstruuje pravdivostní hodnoty, ο- objekty. Konstrukce c k (či c k ) probíhá typ * k, konstruuje tedy k-řádové konstrukce. Negace je 5 Formulace principů bludného kruhu se (v prvotních podobách) vyskytly již v autorových níže citovaných pracích o paradoxech a pravdivosti. Tichý sám vyjádřil jen sympatie s druhým principem (srov. FFL, s. 66). První, poměrně povšechnou, formulaci principu bludného kruhu proslavil Bertrand Russell (už v Russell, B. (1908): Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics 30, 3, ). 6 Srov. příslušné statě v Tichý, P. (2004): Pavel Tichý's Collected Papers in Logic and Philosophy. V. Svoboda, B. Jespersen, C. Cheyne (eds.), Dunedin: Otago UP, Praha: Filosofia. 5

6 klasickou unární pravdivostní funkcí, (οο)-objektem, konjunkce či disjunkce či implikace pak binární, (οοο)-objektem. Rovnost (identita) je známou relací mezi ξ-objekty, tj. (οξξ)- objektem. Konstrukce identity, konjunkce, disjunkce i implikace vepisuji infixně; místy budu pro vynechávání dvojic závorek užívat tečkovou konvenci ( dot convention ). Existenční kvantifikátor reprezentuje neprázdnou podtřídu ξ-objektů, tj. (ο(οξ))-objekt, obecný kvantifikátor pak reprezentuje celou třídu všech ξ-objektů. Singularizace (Sng) jednoprvkovým třídám přiřazuje jejich prvek, pro jiné třídy je nedefinována, je to (ξ(οξ))- objekt. Konkrétní typ ξ je patrný z kontextu. Seznamem (nechť / zkracuje konstruuje objekt typu ): w / ω, t / τ, n / τ, p / π, o / ο, c k / * k, 0 / (οο), 0 / (οοο), 0 / (οοο), 0 / (οοο), 0 = / (οξξ), 0 / (ο(οξ)), 0 / (ο(οξ)), 0 Sng / (ξ(οξ)). Hierarchie jazyků coby kódů Jazyk jako kód. Co je jazyk, je bezpochyby kruciální otázkou filosofie jazyka a níže se bez určité koncepce jazyka rozhodně neobejdeme. Všeobecně se má za to, že jazyk je systém prostředků, které umožňují transferovat určité informace-zprávy mezi uživateli téhož jazyka. V užším smyslu se jedná o kód, který je vhodně modelován jakožto zobrazení z výrazů do významů. 7 Modelovat jazyk jakožto kód se tedy jeví jako materiálně oprávněné. Je samozřejmé, že žádný model není plně totožný s modelovaným, každý model je idealizací a to idealizací relevantní k cílům explikace. Protože pro nás jsou důležité otázky komunikování významů, modelovat jazyk coby kód je plně oprávněné. Při tomto abstrahujeme od pragmatických funkcí jazyka, tedy např. přenést vyslovením určitého výrazu ani ne tak význam, či nejen význam, ale náladu či záměr mluvčího, apod. Také abstrahujeme od sociální role, sociální povahy jazyka, atd. Je třeba podotknout, že idea, že jazyk je dán gramatikou, nepopírá ideu kódu, pokud se gramatikou myslí něco, co generuje dvojice výraz-význam. Ideu jazyka coby kódu, tedy fixní funkce z výrazů do významů, nepopírá ani leckdy uvažovanou nahodilost vazby výrazu s významem. Nahodilost je přece perfektně modelovatelná coby modální a temporální podmíněnost. Takže zatímco jazyk coby kód je pendantem toho, co se v lingvistice míní synchronně daným jazykem, tak funkce z možných světů a časů do kódů je pendantem toho, co se v lingvistice míní diachronně daným jazykem. (Od jazyků coby modálně a temporálně relativizovaných kódů budeme níže pro jednoduchost odhlížet.) 7 Tuto myšlenku zastával např. i Tichý (srov. FFL, 44). Blíže k vysvětlení jeho (a také mého) pojetí jazyka viz Raclavský, J. (2006): Složení přirozeného jazyka z hlediska Transparentní intenzionální logiky. In: M. Zouhar (ed.), Jazyk z pohľadu sémantiky, pragmatiky a filozofie vedy, Bratislava: Veda,

7 Hierarchie jazyků podle řádů. Protože za významy uvažujeme konstrukce, je zřejmé, že funkce z (gödelizovaných) výrazů do konstrukcí se různí nejen tím, jaké konstrukce jsou přiřazeny jakým výrazům, ale také tím, konstrukce jakého řádu tvoří obor hodnot kódu. Neboli tu jsou prvořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do prvořádových konstrukcí, tj. (* 1 τ)-objekty, dále jsou tu druhořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do druhořádových konstrukcí, tj. (* 2 τ)-objekty, atd. až n-řádové kódy. Už jsme viděli, že v souladu s konstrukčním principem bludného kruhu nemůže být např. konstrukce obsahující proměnnou konstruující např. prvořádové konstrukce sama prvořádová, že musí být druhořádová (či řádem vyšší). Takže typ * 2 je bohatší než * 1 ; to také znamená, že druhořádový kód může být bohatší než kód prvořádový. Níže budeme uvažovat prvořádový kód J 1 a k němu přiléhající druhořádový kód J 2, který je ve srovnání s J 1 bohatší např. o konstrukce konstruující prvořádové konstrukce. Analogicky pak pro každý přiléhající k- řádový kód J k, který je vždy s to diskutovat některé konstrukce, které nemohou být diskutovány prostředky k 1-řádového kódu J k 1. Takovými jsou nejen k 1-řádové konstrukce, ale také rozmanitá zobrazení z či do k 1-řádových konstrukcí. Jeden druh takovýchto konstrukcí zaslouží zvláštní zmínku: je to k-řádová konstrukce 0 J k 1, která konstruuje k 1-řádový kód J k 1, neboli funkci z čísel-výrazů do k 1-řádových konstrukcí. Uvědomme si, že k řádová konstrukce 0 J k 1 nemůže být hodnotou či argumentem (či podkonstrukcí něčeho z toho) k 1-řádového kódu J k 1 žádná konstrukce nekonstruuje zobrazení, jehož by byla hodnotou či argumentem (konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu). Takovýto model plně odpovídá naší představě, že účelem jazyka-kódu je diskutovat jemu vnější objekty (z druhé strany: účelem jazyka-kódu není diskutovat sebe sama). Neboli komentovat nějaký kód či vlastnosti tohoto kódu, znamená být k tomuto v metapozici, být vně toho. Hierarchie kódů jsou tedy vlastně přirozené. 8 Povšimněme si zde alespoň zásadních odlišností od Russella a Tarského. Russell nepropagoval hierarchie jazyků; to, co hierarchizoval, byly strukturované propozice (a atributy), což byly významy vět (predikátů). Tarski sice postuloval hierarchii jazyků, ale těm vtiskl ryze syntaktický výklad. Tichý se sice přihlášení k nepopulárním metajazykům z opatrnosti vyhnul, nicméně plnokrevné metajazyky zlatá střední cestu mezi extrémy Russella a Tarského jsou prakticky bezprostředním důsledkem Tichého myšlenek v FFL ( 44 a kap. 5); každopádně se k nim hlásím já. 9 8 Další poznámky a souvislosti viz v Raclavský, J. (2008) Lhářský paradox, význam a pravdivost Musím zde varovat čtenáře, který by rád zavrhl hierarchické přístupy proto, že zakazují veškerou autoreferenci. Pro takovéto vyhodnocení nedávám (podobně jako Russell či Tarski) jakýkoli podklad. 7

8 EXPLIKACE PRAVDIVOSTI A SÉMANTICKÝCH VZTAHŮ Pravdivost propozic / konstrukcí / výrazů Explikace pravdivosti, kterou jsem se detailně zaobíral dříve 10 a odkud vybírám jen to nejnutnější, je založena na základech podaných Tichým (FFL, 44). Ačkoli se tam Tichý nijak detailně explikací pravdivosti nezaobírá, přináší hned dvě nikým řádně neprozkoumané ideje. Především je explikovaná pravdivost výrazů relativizována k jazyku (ve smyslu kódu). Mohlo by být oponováno, že právě toto bylo přece klíčovým příspěvkem Alfréda Tarského. Jenže v úvodu a závěru slavné statě o pojmu pravdivosti 11 sice Tarski říká, že pravdivost výrazů je relativní k jazykům, nicméně žádná z jeho definic nemá následující tvar: věta N je pravdivá v jazyce J = df V (kde V je věta, která je citována výrazem N ). Dále si připomeňme, že Tarski odmítl podat explikace pravdivosti pro přirozený jazyk, což však já níže činit budu. Dále: ani nejvstřícnější kompetentní zastánci nemohli nepoukázat na nedostatek Tarského definic, jímž je, že za primární neměl pravdivost propozic (Tarski to odmítl, protože tehdejší koncept propozice mu byl nejasný); následně neukázal, jak se pravdivost vět odvíjí od pravdivosti propozic, jež tyto věty značí. Právě takovouto věc ale vlastně ukázal Tichý: propozice je pravdivá ve W, T, pokud je ve W, T její hodnotou pravdivostní hodnota T; konstrukce je pravdivá (ve W, T), pokud konstruuje propozici pravdivou (ve W, T); výraz je pravdivý ve W, T v jazyce J, pokud v J vyjadřuje pravdivou konstrukci. 12 Dobře si teď uvědomme, že uvažovat o pravdivosti výrazů nezávisle na tom, co sdělují v určitém jazyce J, by jistě bylo scestné žádná věta přece není pravdivá či nepravdivá absolutně, nezávisle na tom, co v tom či jiném jazyce říká. Níže specifikuji vybrané druhy pravdivostní vlastnosti propozic (v horním indexu značeno pomocí π ), tj. (οπ) τω -objekty, dále vlastnosti konstrukcí (značeno *k ), tj. (ο* k ) τω - objekty, následně vlastnosti výrazů (v horním indexu neznačeno), tj. (οτ) τω -objekty (jakmile nahradíme v těchto definicích konstrukci specifického kódu patřičnou proměnnou, získáme vztahy mezi výrazy a kódy, (οτ(τ* k )) τω -objekty). U každého z těchto druhů jsou odlišitelné druhy parciální (v horním indexu značeno pomocí P ), totální ( T ). Rozumějme tím, že 10 Raclavský, J. (2008): Explikace druhů pravdivosti. SPFFBU, (v tisku). 11 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages. In: J. H. Woodger (ed.), Logic, Semantics and Metamathematics. Oxford: Clarendon Press, (podobně Tarski, A. (1944): The Semantic Conception of Truth: and the Foundations of Semantics. Philosophy and Phenomenological Research 4, 3, ). 12 Podotkněme, že samy pravdivostní hodnoty T a F jsou pochopitelně nedefinovatelné každé definování je přece předpokládá (blíže viz FFL, 38). 8

9 totální druh má extenzi takovou, jaká s extenzí komplementárního pojmu nepravdivosti tvoří univerzální třídu daných objektů, neboli exhaustivně rozdělí daný typ; ovšem parciální druh takový není, neboli k sobě komplementární vlastnosti parciální pravdivosti a nepravdivosti některé objekty daného typu neroztřídí. U pravdivosti konstrukcí se parciální druh dělí na celkem tři druhy, z nichž nejzajímavější je parciální-totální ( PT ), u pravdivosti výrazů se parciální druh dělí na celkem pět druhů, přičemž parciální-totální je nejzajímavější. 13 Níže se omezíme jen na druhy pro nás nejdůležitější. Pravdivost propozic. Jak jsem již uvedl, pravdivost propozice ve W, T obnáší, že v dané W, T je její hodnotou T. Zákonitě je propozice nepravdivá, když tou hodnotou je F. Druh parciální: [ 0 Pravdivý πp wt p] [p 0 wt = 0 T] je takový, že pokud ve W, T nemá propozice, která je hodnotou p, žádnou pravdivostní hodnotu, rovnost nedostane argument a tak nevrací nic, tj. [p 0 wt = 0 T] je v-nevlastní. Ze zjednodušené verze [ 0 Pravdivý πp wt p] p wt je ještě více zjevné, že tato propoziční pravdivost k propozici na pravdivosti nic nepřidává, ani neubírá, čímž je redundantní. Nyní uveďme druh totální. O propozici, která nemá ve W, T žádnou pravdivostní hodnotu, například o propozici, že král Francie je holohlavý, se nedá říci, že je či není pravdivá πp. My však celkem přirozeně říkáme, že takováto propozice není pravdivá ( not true, v češtině neodlišované od nepravdivá ). K ztotálnění bude sloužit existenční kvantifikátor, který propozici bez pravdivostní hodnoty v dané W, T přiřadí F: [ 0 Pravdivý πt wt p] [ 0.λo [ [p 0 wt = o] 0 [o 0 = 0 T] ]] Pravdivost konstrukcí. Konstrukční pravdivost parciální je jednoduše definovatelná takto: [ 0 Pravdivý *kp wt c k ] [ 0 Pravdivý πp 2 wt c k ] (nebo jen: [ 0 Pravdivý *kp wt c k ] 2 c k wt) ( 2 c k nechává konstruovat proměnnou c k a pak také jí dodanou konstrukci, čímž je možno se dostat k propozici). Příslušný predikát má presupozici, že existuje propozice konstruovaná příslušnou k-řádovou konstrukcí, přesněji, že existuje pravdivostní hodnota této propozice. Druh totální má definici následující: [ 0 Pravdivý *kt wt c k ] [ 0 Pravdivý πt 2 wt c k ] 13 Tichý v FFL sice užívá propoziční pravdivost, nicméně ji nijak nedefinuje, ani necharakterizuje (srov. FFL, s. 218). Podobně je tomu s konstrukční pravdivostí, která je alespoň charakterizována (srov. FFL, s. 225), snad měl na mysli totální konstrukční pravdivost. Pravdivost výrazů (definovaná jinak než u mne) je zjevně totální (srov. FFL, s. 229). 9

10 V důsledku dosazení na základě definice totální propoziční pravdivosti tedy [ 0 Pravdivý *kt wt c k ] [ 0.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 [o 0 = 0 T] ]]. Nyní definujeme parciální-totální konstrukční pravdivost. Definiens je poněkud obtížnější : [ 0 Pravdivý *kpt wt c k ] 2 [ 0 Subst k [ 0 Triv (*kπ) [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]]] 02 c k 0 [ 0.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 [o 0 = 0 T] ]] ] Konstrukce 0 Subst k konstruuje funkci typu (* k * k* k * k ), která nějakou konstrukci A dosadí za konstrukci B v konstrukci C, kterou tak mění na konstrukci D. A je v našem případě získávána tak, že necháme zkonstruovat hodnotu c k, cože vede a) k propozici, kterou nám pak předá funkce singularizace (konstruovaná pomocí 0 Sng). Dále je v případě a) tato propozice P zobrazena na svou trivializaci (díky funkci trivializace, 0 Triv (*kπ) / (* k π)), a tato 0 P je dosazena za 2 c k do konstrukce, jež je vlastně definiens totální propoziční pravdivosti. Díky dvojité exekuci je vykonána i tato konstrukce, takže je vrácena T, pokud P je pravdivá, F, pokud pravdivá není. Případem b) je, když hodnotou c k je konstrukce nekonstruující objekt typu propozice (či dokonce vůbec nic). Následně [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]] nekonstruuje nic, takže zbytek proces popisovaného pro případ a) se nekoná. Definiens v případě b) tedy nekonstruuje žádnou pravdivostní hodnotu. Neboli aby definiens konstruovalo jednu určitou pravdivostní hodnotu, musí existovat (tj. presupozice) propozice konstruovaná konstrukcí [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]]. Pravdivost výrazů. Vlastností pravdivosti výrazů v J k je celkem šest zásadních druhů. Definiens čtyř druhů snadno získáme tak, že v definiendech konstrukčních pravdivostí namísto c k uvedeme konstrukci [ 0 J k n], která konstruuje hodnotu k-řádového kódu J k pro výraz-číslo konstruované proměnnou n, takže získáme určitou k-řádovou konstrukci. Níže budeme uplatňovat jen dva nejpřirozenější druhy pravdivosti výrazů, proto si uvedeme definice jen těchto. Druh totální je definován takto: [ 0 Pravdivý T wt n 0 J k ] [ 0 Pravdivý *kt wt [ 0 J k n]] Uvědomme si, že jde vlastně o [ 0 Pravdivý T wt n 0 J k ] [ 0.λo [ [ 2 [ 0 J k n] wt 0 = o] 0 [o 0 = 0 T] ]]. Čili jakýkoli výraz tj. také Es regnet, Pavel Tichý, kykyryký, Král Francie je holohlavý je řazen do extenze či antiextenze takto explikované vlastnosti pravdivosti výrazů. Neboli nepravdivé T jsou ty výrazy např. prvořádového kódu češtiny, které v něm nemají význam, nebo je jejich významem konstrukce něčeho jiného než propozice, nebo je jejich významem konstrukce nepravdivé πt propozice. Tento druh pravdivosti výrazů se začal vyskytovat ve filosofii až po vystoupení Bas van Fraassena, který diskutoval parcialitu a sémantické presupozice. Do té doby i filosofové považovali za poněkud přirozenější o výrazu, který je 10

11 významuprázdný v nějakém jazyce, říkat, že se nedá v rozumném smyslu vypovídat, že daný výraz je pravdivý či nepravdivý protože není splněna presupozice, že vůbec něco sděluje. Podobně tomu bývalo i pro výrazy, které nedenotují propozice např. není přirozené o vlastním jménu nějakého individua říkat, že je či není pravdivé. Neboli jsou tu hned dvě presupozice: vyjadřovat v daném jazyce vůbec něco a to konstrukci propozice. Nepochybně je otázkou empirického zkoumání, jaký predikát pravdivosti lidé považují za přirozený; jistě se však nedá říci, že je to rozhodně ten pravdivý T. Onen predikát pravdivosti s presupozicí, resp. parciální-totální pravdivost výrazů, definuji takto: [ 0 Pravdivý PT wt n 0 J k ] [ 0 Pravdivý *kpt wt [ 0 J k n]] Díky substituci do definiens tedy: [ 0 Pravdivý PT wt n 0 J k ] 2 [ 0 Subst k [ 0 Triv (*kπ) [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 [ 0 J k n]]]] 02 c k 0 [ 0.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 [o 0 = 0 T] ]] ] Jak již bylo uváděno, výrazům, které jsou významuprosté v J k, nebo v J k vyjadřují konstrukci jiného objektu než propozice, nepřiřazuje definiens ani T, ani F; to znamená, že nejsou ani pravdivé PT, ani nepravdivé PT. Na závěr této sekce bych rád poznamenal, že předkládané explikace pravdivosti výrazů jsou v konformitě s Tarského teorémem. 14 V mém pojetí: žádný k-řádový kód J k neobsahuje coby významuplný plnokrevný predikát pravdivosti výrazů v J k. 15 Sémantické vztahy Kromě predikátu být pravdivý výraz/věta jsou dalšími predikáty, které denotují k jazyku vztažené vztahy, i vztahy významu, denotace, reference. 16 Tímto následně plně potvrzuji Tarského zjištění, že žádný takový sémantický vztah pro určitý jazyk není 14 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages... (cit. s. 247). 15 Tarski si byl vědom (srov. tamtéž), že lze v objektovém jazyce definovat fragmentární predikát pravdivosti výrazů. Po nástupu trojhodnotového přístupu pak zvláště Solomon Feferman dokazoval (za určitých omezujících podmínek) tuto možnost pro parciálně definovaný predikát pravdivosti (srov. Feferman, S. (1984): Toward Useful Type-Free Theories I. The Journal of Symbolic Logic 49, 1, ). Podotýkám, že při mém přístupu také mohu na základě axiómu reducibility (v konstrukční variantě) do objektového jazyka zavést ekvivalent 0 Pravdivý PT. Cena by však byla vysoká: musela by být vypuštěna relativizace k jazyku-kódu, což je podstatný rys přirozené explikace pravdivosti. Mylný dojem, že se takto nic vážného neděje, je založen na hlubší chybě: takovíto teoretici totiž při studiu logických jazyků neberou v úvahu výrazy, jimiž se tyto jazyky odlišují, takže se vlastně zabývají pouze konstrukcemi načež pak ale směšují 0 Pravdivý* kpt, který není jazykově relativní, s jazykově relativním 0 Pravdivý PT, neboť jim konstrukce a jejich zápisy, a to je ta chyba, spadají v jedno. 16 Analýzy predikátů být věta, popř. být výraz, budeme v této stati ignorovat, vystačíme si jen s n; konjunkcí připojitelná podmínka, že n je věta, není pro řešení paradoxů relevantní. Poznamenávám ještě, že v kódech, které uvažuji výše, jsou v syntaktické komponentě (oboru argumentů kódů) pro úplnost všechny výrazy nad abecedou explikovaného daného jazyka; neboli např. výraz denotovat (v J k ) je jak v J k, tak v jakémkoli přiléhajícím kódu nižším či vyšším. 11

12 definovatelný v rámci onoho jazyka, kódu. 17 Tato skutečnost je zcela přirozená: uvažme, jak absurdní by byl kód (používaný třeba jistou armádou), jehož výrazové prostředky by vyzrazovaly, co je významem (denotací, referencí) znaků tohoto kódu, že by tak kód na sebe prozrazoval to, co vlastně kóduje (tj., co je on sám). Nyní uvažujme, že ξ a ζ jsou navzájem odlišné typy typicky je ξ typ intenzí do ζ- objektů, přičemž tyto typy probíhají proměnné d (či d ) a r (či r ). V závorkách uvádíme alternativně uplatnitelné koncepty. V definiens si všimněme si, že konstrukce [ 0 J k n] dodává význam výrazu n v J k, 2 [ 0 J k n] dodává denotát n v J k, 2 [ 0 J k n] wt dodává referent n (denotujícího intenzi) v J k. Je jistě žádoucí, abychom hovořili nejen o referenci výrazů denotujících intenze (takovéto referování je značeno I ), ale také o referenci výrazů intenze nedenotujících (takovéto referování je značeno N ), ovšem s tím, že toto je shodné s jejich denotováním; následně se nám sémantické vztahy týkající se referování dělí do dvou dílčích druhů. Nejdříve zaváděné konstrukce nekonstruují přímo vztahy, ale modálně a temporálně podmíněné parciální funkce z dvojic výraz-(konkrétní) kód: 0 VýznamV (popř. 0 VyjádřenéV, 0 SdělenéV) / (* k τ(* k τ)) τω, 0 DenotátV / (ξτ(* k τ)) τω, 0 ReferentV I / (ζτ(* k τ)) τω, 0 ReferentV N / (ξτ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definujeme: [ 0 VýznamV wt n 0 J k ] *k [ 0 J k n] [ 0 DenotátV wt n 0 J k ] 2 ξ [ 0 J k n] [ 0 ReferentV I wt n 0 J k ] 2 ζ [ 0 J k n] wt [ 0 ReferentV N wt n 0 J k ] 2 ξ [ 0 J k n] (či prostě: ξ [ 0 DenotátV wt n 0 J k ] ) K těmto přiléhají následující konstrukce totálních a konstantních vztahů, resp. díky obsazení druhého členu argumentu konkrétním kódem J k vlastností. Totiž 0 BýtVýznamuplnýV (popř. 0 VyjadřovatNěcoV, 0 SdělovatNěcoV) / (οτ(* k τ)) τω, 0 DenotovatV ( 0 JmenovatNěcoV) / (οτ(* k τ)) τω, 0 ReferovatV I / (οτ(* k τ)) τω, 0 ReferovatV N / (οτ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definujeme: [ 0 BýtVýznamuplnýV wt n 0 J k ] [ 0.λc k [c k 0 = [ 0 J k n] ]] [ 0 DenotovatV wt n 0 J k ] [ 0.λd [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]] [ 0 ReferovatV I wt n 0 J k ] [ 0.λr [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ]] [ 0 ReferovatV N wt n 0 J k ] [ 0.λd [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]] (či prostě: [ 0 DenotovatV wt n 0 J k ] ) 17 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages... (cit. s. 164, 252). 12

13 Následují konstrukce konstruující vztahy, resp. vlastnosti, které jsou parciální ( P ), ovšem za přirozenější můžeme považovat jejich totální dvojníky (v horním indexu neznačeno) 0 ZnamenatCoV (P) (popř. 0 VyjadřovatCoV (P), 0 SdělovatCoV (P) ) / (οτ* k (* k τ)) τω, 0 DenotovatCoV (P) ( 0 JmenovatCoV (P) ) / (οτξ(* k τ)) τω, 0 ReferovatnaCoV (P)I / (οτζ(* k τ)) τω, 0 ReferovatnaCoV (P)N / (οτξ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definice: [ 0 ZnamenatCoV P wt n c k 0 J k ] [c k 0 = [ 0 J k n] ] [ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ] [d 0 = 2 [ 0 J k n] ] [ 0 ReferovatnaCoV PI wt n r 0 J k ] [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ] [ 0 ReferovatnaCoV PN wt n d 0 J k ] [d 0 = 2 [ 0 J k n] ] (či prostě: [ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ]) [ 0 ZnamenatCoV wt n c k 0 J k ] [ 0.λc k [ [c k 0 = [ 0 J k n]] 0 [c k 0 = c k ] ]] [ 0 DenotovatCoV wt n d 0 J k ] [ 0.λd [ [d 0 = 2 [ 0 J k n]] 0 [d 0 = d ] ]] [ 0 ReferovatnaCoV I wt n r 0 J k ] [ 0.λr [ [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ] 0 [r 0 = r ] ]] [ 0 ReferovatnaCoV N wt n d 0 J k ] [ 0.λd [ [d 0 = 2 [ 0 J k n]] 0 [d 0 = d ] ]] (či prostě: [ 0 DenotovatCoV wt n d 0 J k ]) Ačkoli se sémantické vztahy týkající se referování dělí do dvou dílčích druhů, můžeme zavést konstrukce vztahů týkajících se referování, které jsou aplikovatelné jak na výrazy denotující intenze, tak na výrazy intenze nedenotující. První z následujících definic obsahuje ošetření parciality, protože možnost nedodání argumentu (pravdivostní hodnoty) konstrukcí nalevo či napravo od konstrukce disjunkce by ohrozilo, co dává celé definiens. Ošetření je dosaženo tak, že ona konstrukce pravdivostní hodnoty slouží jako tělo konstrukce propozice, o níž zjišťujeme, zda je (v totálním smyslu) pravdivá; takže případné nekonstruování jisté pravdivostní hodnoty onou konstrukcí, což vede k nedefinovanosti oné propozice, je chápáno jako nepravdivost té propozice, takže je disjunkci dodána pravdivostní hodnota F. (Další dvě definice takovéto ošetření nepotřebují, neboť definiens konstrukcí, které se vyskytují v konstrukcích po stranách konstrukce disjunkce, vždy konstruují nějaký objekt, neboť jsou uvozeny existenčním kvantifikátorem.) Definice ( 0 ReferentV / (ξτ(* k τ)) τω, 0 ReferovatV / (οτ(* k τ)) τω, 0 ReferovatnaCoV / (οτξ(* k τ)) τω ; není podmiňováno, že typ ξ, který je probíhán d, není typem ζ τω ): [ 0 ReferentV wt n 0 J k ] ξ [ 0 Sng.λd [ [ 0 Pravdivý πt wt [λw λt [d 0 = [ 0 ReferentV I w t n 0 J k ]]]] 0 [ 0 Pravdivý πt wt [λw λt [d 0 = [ 0 ReferentV N w t n 0 J k ]]]] ]] [ 0 ReferovatV wt n 0 J k ] [ [ 0 ReferovatV I wt n 0 J k ] 0 [ 0 ReferovatV N wt n 0 J k ] ] [ 0 ReferovatnaCoV wt n d 0 J k ] [ [ 0 ReferovatnaCoV I wt n d 0 J k ] 0 [ 0 ReferovatnaCoV N wt n d 0 J k ] ] 13

14 (alternativa poslední definice s parciálními variantami referování na něco: [ [ 0 Pravdivý πt wt [λw λt [ 0 ReferovatnaCoV PI w t n d 0 J k ]]] 0 [ 0 Pravdivý πt wt [λw λt [ 0 ReferovatnaCoV PN w t n d 0 J k ]]] ] ) SÉMANTICKÉ PARADOXY Lhářský paradox Lhářský paradox je bez nejmenších pochyb nejznámějším sémantickým paradoxem. Také je historicky nejstarším a bylo o něm nejvíce napsáno. Pozoruhodný je i množstvím variant, které klasifikuji níže. Pro ilustraci paradoxu uvažme P: Věta P je nepravdivá. Předpokládáme-li (nekriticky), že P je pravdivá, pak by mělo být pravdivé, co P říká, tj. měla by být nepravdivá to ale protiřečí předpokladu. Předpokládáme-li, že P je nepravdivá, pak by mělo být nepravdivé, co P říká, tj. měla by být pravdivá to ale protiřečí předpokladu. Podobně dopadneme i u dalších variant, které klasifikuji následovně: 18 autoreferenční nedeskripční varianta ( Věta P je nepravdivá. ), autoreferenční deskripční varianta (v rámečku R: Věta v rámečku R je nepravdivá. ), autoreferenční kvantifikační varianta (Xenie v místnosti č. 231: Vše, co Xenie vyslovuje v místnosti č. 231, je nepravdivé. ), heteroreferenční nedeskripční varianta (věta V 1 : Věta V 2 je nepravdivá., věta V 2 : Věta V 1 je pravdivá. ), heteroreferenční deskripční varianta (Jourdainův paradox: Následující věta je nepravdivá., Předchozí věta je pravdivá. ), heteroreferenční kvantifikační varianta (Platón říká Vše, co řekl Sókrates, je pravdivé., Sokrates říká Vše, co řekl Platón, je nepravdivé. ), heteroreferenční kvantifikační deskripční varianta (Yablův paradox: Všechny následující věty jsou nepravdivé., Všechny následující věty jsou nepravdivé., atd.). Kromě lhářských vět existují ještě vlastní lháři: přímý Lhář (Eubulides říká Eubulides lže. ), deskripční Lhář (Xenie sama v místnosti č. 231 říká Ten, kdo je v místnosti č. 231, lže. ), kvantifikační Lhář (Kréťan Epimenides říká Všichni Kréťané jsou lháři. ). Všechny varianty s výjimkou vlastních lhářů mohou být naformulovány tak, aby se týkaly nikoli a) vět, ale b) větami vyjadřovaných konstrukcí, či c) větami denotovaných propozic (u teoretiků, kteří neodlišují rovinu denotace a významu, je jen rovina významu-sdělení-tvrzení); dají se uvažovat d) i podoby o referenci na pravdivostní hodnoty. 18 Navazuji přitom na klasifikaci mnou poprvé podanou v Raclavský, J. (2007): Paradox lháře a jeho řešení. In: V. Havlík (ed.), Meze formalizace, analytičnosti a prostoročasu,

15 Tichý předložil v FFL rozbor klíčových lhářů, totiž větné podoby autoreferenční deskripční varianty a dále přímého lháře. 19 V mé stati o lhářských paradoxech 20 jsem předložil rozbor dalších větných podob (je samozřejmé, že s explikacemi sémantických vztahů nemáme potíže s žádnými podobami ad. a), b), c), či d)) a také obou silnějších lhářů, zesíleného lháře a mstivého lháře. Zde se omezím jen na velmi stručné podání autoreferenční nedeskripční i deskripční varianty. Když k-řádový kód je funkcí z výrazů do významů-konstrukcí, je zjevné, že jméno tohoto k-řádového kódu J k, tj. J k, nemůže být významuplné v kódu J k nemůže mít v něm coby význam 0 J k, konstrukci, která konstruuje tento kód J 1. Jinak by totiž byl porušen zcela oprávněný princip konstrukčně-funkcionálního kruhu. Díky kompozicionalitě významu je v kódu J k zákonitě významuprostý jakýkoli výraz obsahující (necitované) jméno J k. Pravdivost výrazů je odvislá od toho, co sdělují v určitém jazyce, takže věta je pravdivá v kódu J k jedině pokud vyjadřuje konstrukci konstruující pravdivou propozici. Věta významuprostá v kódu J k nemůže být v kódu J k pravdivá PT či nepravdivá PT ; může být však zvána nepravdivá T v J k. Desambiguovaná lhářská věta P obsahuje pravdivý v J k, tudíž není významuplná v kódu J k, je v něm významuprostá. To znamená, že P není pravdivá PT nepravdivá PT v J k. Postihnuto jinak (takto to vyhodnocuje Tichý v FFL, s. 229), je nepravdivá T v J k. Paradox nevzniká, protože nejsme na základě údajné platnosti P nuceni k tvrzení, že by měla být vlastně nepravdivá, neplatná. To však neznamená, že věta P pokoušející se diskutovat J k (pro jakékoli k) je významuprázdná v jaksi absolutním smyslu. My přece P rozumíme, jistý význam tedy sděluje. Jenže až v metajazyku k J k, totiž v k+1-řádovém kódu J k+1 či (popř. vyšším). Pro zjednodušení úvah budeme níže uvažovat, že k=1. Významem desambiguované věty P, totiž Věta P je nepravdivá v J 1., je v J 2 (analogicky ve vyšším) konstrukce (jde vlastně o dvě konstrukce lišící se obsahováním 0 Pravdivá PT, popř. 0 Pravdivá T ): λwλt [ 0 [ 0 Pravdivá PT/T wt 0 g(p) 0 J 1 ]] Přičemž 0 g(p) konstruuje gödelovské číslo věty P (tj. τ-objekt), 0 J 1 konstruuje k-řádový kód J 1, 0 Pravdivá PT/T konstruuje a) parciální-totální, b) totální vztah pravdivosti mezi výrazy-čísly a k-řádovými kódy (jde o (οτ(* k τ)) τω -objekt). To, kterou propozici tato konstrukce konstruuje, se odvíjí od významu P v J 1. Protože v J 1 není žádný, naše druhořádová konstrukce konstruuje a) propozici nedefinovanou v dané W, T, b) propozici mající v dané W, T coby hodnotu pravdivostní hodnotu F. Jak si domyslíme, průběh obou propozic je 19 Podání Tichého návrhu srov. v Raclavský, J. (op. cit.). 20 Raclavský, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost

16 konstantní, čili ona konstrukce konstruuje propozici a) nedefinovanou pro všechny světy a časy, b) mající pro všechny světy a časy přiřazenu pravdivostní hodnotu F. Samozřejmě, že nyní můžeme uvažovat prostředky metajazyka k J 2, tj. třetiřádového kódu J 3, o tom, zda je P pravdivá v J 2. Významem třetiřádové věty P jak budu za účelem desambiguace říkat je konstrukce: λwλt [ 0 [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(p) 0 J 2 ]] Desambiguovaná třetiřádová P je tedy: Věta P není pravdivá v J 2. Pomocí této věty se zamýšlíme nad druhořádovou P mající coby význam konstrukci uváděnou výše. To, kterou propozici konstruuje naše třetiřádová konstrukce, se odvíjí od pravdivosti té druhořádové konstrukce. Viděli jsme už, že ta je konstrukcí a) propozice nedefinované pro všechny světy a časy, b) mající pro všechny světy a časy pravdivostní hodnotu F. V následku tohoto je druhořádová konstrukce λwλt [ 0 [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(p) 0 J 2 ]] konstrukcí a) ve všech světech a časech nepravdivé πt propozice, b) zrovna tak. Neboli třetiřádová P je nepravdivá. Uvědomme si, že si nesmíme plést tuto třetiřádovou P s druhořádovou P a prohlašovat, že P čistě o sobě říká, že je nepravdivá. Je tomu pouze a právě tak, že třetiřádová P o té druhořádové P říká, že je nepravdivá. (Analogicky pro vyšší řády.) Povšimněme si, že zcela analogická vyhodnocení platí pro: PP: Věta PP je pravdivá v J 1. Věta PP nemá význam v J 1, tedy není pravdivá PT či nepravdivá PT v J 1, je nepravdivá T. PP má v J 2 či vyšším jako význam konstrukci: λwλt [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(p) 0 J 1 ] a ta konstruuje a) propozici všude nedefinovanou, b) vždy přiřazující F. Třetiřádová PP hovořící o druhořádové PP je v důsledku toho nepravdivá. Nyní prostudujme autoreferenční nekvantifikační deskripční variantu lhářské věty. Mějme: D: Věta v rámečku R je nepravdivá v J 1. Věta jako D se používá ke komentování pravdivosti vět náhodně se vyskytujících v rámečku R. Omezíme úvahy na případ, kdy v R je právě jedna věta ( věta v rámečku R je tedy deskripce); problematiku type/token budeme ignorovat. Tato D by měla náležet do druhořádového kódu J 2 v tom smyslu, že jedině v tomto (popř. vyšším) kódu může být diskutována pravdivost vět v J 1. V krajním případě se v R vyskytuje právě 16

17 (nedesambiguovaná) věta D. Protože jí rozumíme, tiše si ji desambiguujeme a spojujeme si v J 2 její význam s druhořádovou konstrukcí: λwλt [ 0 [ 0 Pravdivá PT/T wt [ 0 Sng.λn [ 0 VRámečkuR wt n]] 0 J 1 ]] (konstrukce 0 VRámečkuR konstruuje vlastnost výrazů-čísel, (οτ)) τω -objekt). Jak si již jistě dovodíme, v J 1 je věta D zákonitě bez významu. Proto právě diskutovaná prvořádová konstrukce konstruuje v daném světě W a čase T, kdy D je v R, propozici a) bez pravdivostní hodnoty, b) s pravdivostní hodnotou F. Povšimněme si ještě, že při těchto úvahách jsme jistě užili naneštěstí nedesambiguovanou větu D, nicméně v jejím třetiřádovém významu: λwλt [ 0 [ 0 Pravdivá PT/T wt [ 0 Sng.λn [ 0 VRámečkuR wt n]] 0 J 2 ]] Neboť jsme tvrdili něco o pravdivosti druhořádové věty D (jejíž význam v J 2 obsahuje podkonstrukci 0 J 1 ) v druhořádovém kódu J 2, pro což jsme tudíž museli diskutovat tento kód J 2 (proto je ve významu třetiřádové D podkonstrukce 0 J 2 ). Po desambiguaci je zjevné, že vyskytuje-li se v rámečku R druhořádová D, Věta v R není pravdivá v J 1., tak my k uvažování nad její pravdivostí uplatňujeme třetiřádovou D, Věta v R není pravdivá v J 2., která vlastně striktně vzato v R není. (Pokud desambiguujeme tak, že v R je třetiřádová věta D, tak úvahy o její pravdivosti vedeme pomocí čtvrtořádové věty D. Atd., výš a výš.) Nenastává tedy, že by sama věta v rámečku o sobě sdělovala, že je nepravdivá. löbův paradox M. H. Löb před časem uvedl sémantický paradox, 21 který byl později mylně přisouzen H. B. Currymu, načež se paradoxu nejčastěji říká Curry-Löbův. Paradox plodí: L: Je-li věta L pravdivá, pak je každá věta pravdivá. Při ignoraci hierarchie jazyků-kódů je předpoklad, že L je nepravdivá, neprůchodný. Znamenalo by to, že nepravdivý je antecendent implikace, ale tak by celá L musela být pravdivá. Předpoklad, že L je pravdivá, ale obnáší, že antecedent je pravdivý, načež musí být pro pravdivost celé implikace pravdivý i konsekvent. Následně bychom pak měli přijmout, že všechny věty jsou pravdivé což je ale v rozporu s naším přesvědčením, že nemálo vět je nepravdivých. Důležitost Löbova paradoxu tkví v tom, že paradox plodící věta neobsahuje negaci. Někteří teoretikové totiž předpokládají, že věta Tato věta je pravdivá je bezproblémová, protože neplodí žádný zjevný paradox. Načež se jim pak zdá, že paradox zapříčiňuje 21 Löb, M. H. (1955): Solution of a Problem of Leon Henkin. Journal of Symbolic Logic 20, 2, (cit. s. 117). 17

18 kombinace predikátu pravdivý dohromady s negací (srov. větu P ). Proto často nalezneme tendenci povolovat, aby jazyk obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát pravdivosti, ale nepovolovat, aby obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát nepravdivosti ( not true ). Löbův paradox však poukazuje na slabiny takového návrhu. Řešení paradoxu není při mnou rozvíjeném přístupu těžké. Desambiguovaná věta L, Je-li věta L pravdivá v J 1, pak je každá věta pravdivá v J 1. nemůže být pravdivá PT či nepravdivá PT v J 1, neboť v J 1 nemůže mít význam (v J 1 nemá význam její důležitá část, jméno J 1 ), význam má až v J 2 (či vyšším). Jmenovitě je tímto významem ( 0 g(l) / τ): λwλt [ [ 0 Pravdivá PT 0 wt g(l) 0 J 1 ] 0 [ 0.λn [ 0 Pravdivá PT wt n 0 J 1 ]] ]. Poznamenávám, že při tomto vyhodnocení L jsem záměrně uplatňoval predikát pravdivý PT (samozřejmě odvisle od J k ). Kdybychom užili pravdivý T, tak bychom sdělovali, že celá věta-implikace není pravdivá T, dává tedy F, ovšem antecedent také není pravdivý T, čili opět dává F; to se jeví pochybné. Navíc je tu nebezpečí, že by někdo chtěl přehodnotit distribuci pravdivostních hodnot, aby byla konzistentní, načež by zpětně upadl v paradox. Berryho paradox Nejznámějším a nejjednodušším paradoxem z rodiny referenčních paradoxů, které se nyní budeme věnovat, je Berryho paradox. 22 Mějme: B: nejmenší celé číslo nepojmenovatelné výrazem majícím méně než dvacet devět slabik B ale není jménem je deskripcí a deskripce referují, nepojmenovávají. Pojmenování je záhodno chápat ve smyslu denotování, což je samozřejmě jazykově relativní záležitost (např. 7 pojmenovává to číslo, které denotuje, ale především prezident USA pojmenovává tou deskripcí denotovanou intenzi, nikoli náhodný referent tu G. W. Bushe, tu B. Clintona). Paradoxní konstatování, že přece jen je to B, co pojmenovává, referuje na ono číslo, neboť má 28 slabik, je mylné. Deskripce B totiž v J 1 na nic nereferuje, neboť v J 1 je významuprostá. B má význam až v J 2. Nicméně referování B v J 2 (či vyšším) je odvislé od absence reference B v J 1, jež je nulová, takže B ani v J 2 na nic nereferuje. (Analogické platí pro vyšší řády.) Za význam B v J 2 můžeme považovat konstrukci (část s obecným kvantifikátorem zajišťuje, že ono b je nejmenší): λwλt [ 0 Sng.λb [ [ 0 Celé b] 0 [ 0 [ 0.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n b 0 J 1 ] 22 Znění je adaptováno z Russell, B. (1908): Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics 30, 3, (cit. s. 223). Vlastně tam nejde ο původní Berryho formulaci, jež se týkala ordinálů. 18

19 0 [ 0 MítMéněNež29Slabik wt n] ]]] 0 [ 0.λb [ [ [ 0 Celé b ] 0 [ 0 [ 0.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n b 0 J 1 ] 0 [ 0 MítMéněNež29Slabik wt n] ]]] 0 [ 0 [b 0 = b]] ] 0 [b 0 < b ] ]] ]] přičemž b, b / τ, 0 Celé / (οτ) (výraz číslo neanalyzujeme, protože jen indikuje typ objektů, které mají být celé), 0 < / (οττ), 0 MítMéněNež29Slabik / (οτ) τω. Jak známo, Berryho paradox je zjednodušeným pendantem paradoxu Juliuse Königa, resp. Julese Richarda. 23 Např. Königův paradox (v běžném zadání) vychází z toho, že jazyk jako čeština má (nanejvýše) spočetné nekonečno výrazových prostředků; nicméně ordinálních čísel je nespočetně nekonečně mnoho, takže jazyk je nemůže všechny pojmenovat, referovat na ně. Na nejmenší z takovýchto nepojmenovatelných ordinálních čísel prý referuje deskripce nejmenší ordinální číslo, na který nereferuje žádný výraz. Po desambiguaci je zjevné, že tato deskripce v jazyce J 1, jenž zmiňuje, na nic nereferuje (analogicky pro kódy vyšších řádů). Zadání Richardova paradoxu je ještě složitější, nicméně paradox opět vzniká nekritickým přístupem k referenci příslušné deskripce. Zcela souhlasím s Grahamem Priestem, že adekvátní řešení sémantických paradoxů musí umět řešit všechny sémantické paradoxy. 24 Vůbec však nesdílím jeho názor, že to máme činit za jím navrhovanou cenu (ztráta klasických logických principů). Priestovo řešení (tamtéž) připisuje příčinu nereferování deskripcí (jako té Berryho, Richardovy, Königovy, Hilbert-Bernaysovy) údajné neplatnosti disjunktivního sylogismu a podobně. Zjevně tedy nepostihl klíčové místo zákonitou jazykovou relativnost reference. Ještě je třeba poznamenat, že Priest nikde nepředložil řešení dalších mnou řešených sémantických paradoxů (nepočítáme-li paradox lháře) a to je další důvod pro prioritu přístupu rozvíjeného mnou. Hilbert-Bernaysův paradox Graham Priest před časem připomněl paradox plodící deskripci uvedenou v knize Grundlagen der Mathematik (1934) Davida Hilberta a Paula Bernayse: HB: celočíselný kladný následník čísla, na které referuje HB 23 König, J. (1967, původně 1905): On the Foundations of Set Theory. In: J. v. Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, (viz s. 147); Richard, J. (1967, původně 1905): The Principles of Mathematics and the Problem of Universal Sets. In: J. v. Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, (viz s. 143). 24 Srov. Priest, G. (2006): The Paradox of Denotation. In: T. Bolander, V. F. Hendricks, S. A. Pedersen (eds.), Self- Reference. Stanford: Center for the Study of Language and Information,