Transparentní intenzionální logika (TIL)

Transkript

1 Marek Rychlý Ústav informačních systémů, Fakulta informačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, Božetěchova 2, Brno , Czech Republic rychly@fit.vutbr.cz Abstrakt Transparentní intenzionální logika představuje ve filozofické logice moderní a jednoduché pojetí intenzionální logiky. Tato seminární práce pojednává o extenzionální a intenzionální logice, neformální konstrukci transparentní intenzionální logiky a o jejím uplatnění v softwarovém inženýrství. Klíčová slova: filozofická logika, modální logika, teorie možných světů, extenzionální model, lambda-kategoriální gramatika, transparentní intenzionální logika Obsah 1. Úvod Modální logika Kripkeho teorie možných světů Základní extenzionální model a predikátová logika Lambda-kategoriální gramatika Transparentní intenzionální logika (TIL) Příklad Využití transparentní intenzionální logiky v SW inženýrství Závěr... 7 Bibliografie Úvod Ve vědě je pod obecným pojmem logika zařazeno několik navzájem odlišných a přesto úzce spjatých a prolínajících se vědních disciplín, mezi které patří např. původní sylogistická logika (tj. původní Aristotelovská logika), predikátová logika (dnes známá jako logika 1. a 2. řádu), modální logika (v současné době velmi populární v teoretické informatice) nebo obecná matematická logika (formální aplikace logiky na matematické problémy). Specifickou větev logiky pak tvoří filozofická logika, která navazuje na původní nematematické pojetí logiky ve filozofii, jako prostředku pro porozumění systému reálného světa. 1

2 Filozofická logika je zaměřena na formální aplikaci logiky na filozofické problémy, zejména s využitím prostředků formální logické analýzy přirozeného jazyka. Cílem filozofické logiky je porozumění hlubší sémantice tvrzení formulovaných pomocí přirozeného jazyka. Formální vyjádření sémantiky tvrzení pak umožní překlad přirozeného jazyka do formální logiky, kde mohou být uplatněny klasické logické operace (významnou roli hraje zejména důsledek ). Tato práce se bude zabývat transparentní intenzionální logikou, stěžejním dílem významného českého filozofa a logika prof. Pavla Tichého. Transparentní intenzionální logika patří mezi filozofické logiky a zasahuje také významně do modálních logik. V posledních letech má transparentní intenzionální logika velký význam v informatice, konkrétně v oblasti konceptuálního modelování v softwarovém inženýrství, kde je využívána pro formálně korektní transformaci uživatelských požadavků na datový model informačního systému. V následujících kapitolách budou nejprve zavedeny základní pojmy a teorie filozofické a modální logiky, nezbytné pro konstrukci transparentní intenzionální logiky, která bude poté stručně představena s důrazem na její využití v softwarovém inženýrství. 2. Modální logika Modální logika zavádí do formální logiky prostředky pro vyjádření pravděpodobnostních atributů logických tvrzení (tzv. modalit). Patří sem vyjádření (ne)možnosti a nutnosti platnosti tvrzení. Tyto pravděpodobnostní atributy tedy vyjadřují diskrétní pravděpodobnost s jakou nastane platnost tvrzení. Základní modální logika zavádí společně s klasickými logickými symboly také dva modální operátory 1 (tzv. denotáty): F φ = někdy platí tvrzení φ (denotát možná ) G φ = vždy platí tvrzení φ (denotát nutně ) Existuje mnoho modifikací či rozšíření modální logiky, např. tempolární logiky (zkoumající časové závislosti modalit), deontologické logiky (zkoumající druhy modalit) s v neposlední řadě intenzionální logiky, zmiňované v této práci Kripkeho teorie možných světů [1] Definujme možný svět jako maximální konsistentní (bezrozporný) soubor faktů, které mohou platit. Pak aktuální svět je jeden z možných světů (množina všech platících faktů). Jako logický prostor se zde označuje soubor všech možných světů. Kripke přistupuje k sémantice modální logiky pomocí teorie modelů, kde model představuje trojice (G, K, R), kde: K je množina možných světů, G je prvek z K představující aktuální (reálný) svět, R je relace na množině K, tzv. relace dostupnosti jednoho světa z druhého. 1 Přitom z definice platí rovnost G φ = (F φ). 2

3 Pro Kripkeho je možný svět něco, co umožňuje odlišovat pravdivé věty od nepravdivých. Ve filozofické logice je tedy význam věty charakteristická funkce z K do množiny pravdivostních hodnot (sémantika je závislá na aktuálním světě). Kripkeho sémantika založená na teorii možných světů rozšiřuje význam modální logiky (upřesňuje sémantiku denotátů) i intenztionální logiky, kde z ní vychází prof. Tichý při specifikaci epistémické báze (viz dále). 3. Základní extenzionální model a predikátová logika [2] Zavedeme syntax a sémantiku prvků základního extensionálního modelu. V rámci modelu definujeme následující kategorie (množiny): jména (J) neomezený počet jednoduchých jmen, predikáty (P) neomezený počet jednoduchých predikátů, unární výrokové operátory (O1) jediný jednoduchý výraz, a sice, binární výrokové operátory (O2) tři jednoduché výrazy (výrokové spojky), a sice, a, kvantifikátory (Q) dva jednoduché výrazy, a sice Σ a Π, výroky (V) pouze složené výrazy (žádné jednoduché výrazy): je-li P predikát a J jméno, je P(J) výrok, je-li Q kvantifikátor a P predikát, je Q(P) výrok, je-li O unární výrokový operátor a V výrok, je O V výrok, je-li O binární výrokový operátor a V, W výroky, je V O W výrok, pomocné symboly a závorky. Pokud U je množina individuí (tzv. universum diskursu) a B je množina pravdivostních hodnot, pak významy jednotlivých výrazů definujeme následovně: významem jména je prvek daného univerza U, významem predikátu je funkce z U do B (tj. prvek množiny [U B], tzv. klasifikátorů individuí), významem unárního výrokového operátoru je funkce z B do B (tj. prvek množiny [B B]), konkrétně významem operátoru je ta funkce, která je dána pravdivostní tabulkou negace, významem binárního výrokového operátoru je funkce z B B do B (tj. prvek množiny [B B B]), konkrétně významem operátorů,, jsou funkce dány příslušnými pravdivostními tabulkami, významem kvantifikátoru je funkce z [U B] do B (tj. prvek množiny [[U B] B], tzv. klasifikátorů klasifikátorů individuí), konkrétně: významem kvantifikátoru Π je funkce, která přiřazuje pravdivou hodnotu z B pouze plnému klasifikátoru (tj. klasifikátoru, který pro všechny prvky univerza vrací pravdivou hodnotu), významem Σ je ta funkce, která přiřazuje pravdivou hodnotu pouze neprázdnému klasifikátoru (tj. klasifikátoru, který pro nějaký prvek univerza vrací pravdivou hodnotu), 3

4 významem výroku je pravdivostní hodnota, tedy prvek B, konkrétně pokud P značí význam výroku P, pak: je-li P predikát a J jméno, pak P(J) = P ( J ), je-li Q kvantifikátor a P predikát, pak Q(P) = Q ( P ), je-li O unární výrokový operátor a V výrok, pak O V = O ( V ), je-li O binární výrokový operátor a V, W výroky, pak V O W = O ( V, W ). Pro vyjádření základního extensionálního modelu v predikátové logice prvního řádu zavedeme dále proměnné následující modifikací definice kategorie jmen a sémantiky kvantifikátoru: jména (J) neomezený počet jednoduchých jmen a neomezený počet proměnných, je-li Q kvantifikátor, x proměnná a V výrok, je Qx.V výrok s významem Qx.V = Q ( V x ), kde V x značí klasifikátor individuí splňujících výrok V po dosazení za x. Pak klasifikátory Π a Σ mají význam klasifikátorů a predikátové logiky. Například pokud predikát prezident(x) je pravdivý pokud x je prezidentem a dramatik(x) pokud x je dramatikem, pak (z [2], str. 16): 1. Πx.prezident(x) je v univerzu osob v současném reálném světě nepravdivé, 2. Σx.prezident(x) dramatik(x) je v univerzu osob v reálném světě k 1. lednu 2000 pravdivé. 4. Lambda-kategoriální gramatika [2] Zavedeme syntax a sémantiku lambda-abstrakce, která nám umožní vytvářet z výrazů funkce: jestliže p P a x Q, pak (λx.p) je prvek množiny P/Q, jestliže navíc q Q, pak (λx.p)(q) = p[x q], kde p[x q] značí substituci q za x v p. Gramatickou kategorii definujeme indukcí z kategorie (K) představené v předchozí kapitole následujícím způsobem: 1. je-li k K, pak k je gramatickou kategorií, 2. jsou A, B gramatickými kategoriemi, je gramatickou kategorií i B/A. Definujeme gramatická pravidla, která umožní sestavovat z kategorií složené výrazy: je-li b výraz gram. kat. B/A, a výraz gram. kat. A, pak b(a) je výraz gram. kat. B, je-li b výraz gram. kat. B, a výraz gram. kat. A, x prom. gram. kat. A, pak λx.b[a x], kde b[a x] značí substituci x za a v b, je výraz gram. kat. B/A. Zavedeme doménu D K kategorie K, jako množinu významů prvků z K tak, že pokud k K, pak k D K. Doména kategorie B/A je [D A D B ]. Význam složených výrazů je definován následujícím způsobem: B(A) = B ( A ), λx.b[a x] je funkce f z D A do D B, která pro d D A je f(d)= b a =d. Příklad: (λx.spisovatel(x))(eco) = spisovatel(eco) 4

5 5. Transparentní intenzionální logika (TIL) Intenzionální logika je kombinace lambda-kategoriální gramatiky s kripkovskou možnosvětovou sémantikou [2]. Obecná intenzionální logika zavádí dva základní pojmy: extenze (intenze 0. řádu) funkce z možných světů do kategorie (pravdivostních hodnot, individuí, klasifikátorů individuí atd.), intenze k. řádu (pro k>0 prostě intenze ) je-li T intezne k. řádu, pak funkce z možných světů do T je intezne (k+1). řádu. Extensionální logika pracuje pouze s inteznemi 0. řádu (dále jen extenzemi ). Zavedení intenzí nenulových řádů (dále jen intenzí ) umožňuje pracovat s možnými světy. Např. tvrzení teplota je 30 stupňů Celsia a stoupá nelze v extenzionální logice analyzovat jako (teplota=30) stoupá(teplota), protože z toho lze dokázat stoupá(30), což není význam tvrzení zde tedy potřebujeme vyjádřit vztah aktuálního světa (teplota=30) se světem v relaci dostupnosti (viz 2.1). Montague zavádí rozšířenou gramatiku (tzv. Montaguova intenzionální logika) s motivem minimálního rozšíření extensionální sémantiky o intenze (kde to nejde, vzít do hry intenze). Definuje unární operátor ^ pro zvýšení řádu intenze a k němu inverzní operátor ~ pro snížení řádu intenze: extenze ^E = intenze E, intenze ~E = extenze E, ^~E = ~^E = E. Tím je umožněno posunutí inteze do role extenze a následné uplatnění postupů klasické extenzionální sémantiky. Operátory je definovány pomocí lambda-abstrakce operátor ^ konstruuje funkci možných světů a extenze vzniklá pomocí operátoru ~ je pak považovaná za danou tím, že původní intenze platí pro všechny možné světy: ^A (w)= A, ~A (w) je ta funkce f, že pro každé v W platí f(v)= A (w)(v). Transparentní intenzionální logika (TIL), jejímž autorem je prof. Tichý, rozšiřuje Montaguovu intenzionální logiku, přestože oba přístupy vznikly nezávisle Montague publikoval svou práci v roce 1970 a Tichý v roce Přestože originalita byla díky dřívější publikaci přiznána spíše Montaguově práci, pojetí intenzionální logiky podle prof. Tichého se ukázalo vhodnější [3]. Zatímco Montague upravoval extenzionální model tak, aby do syntaxe a sémantiky zanesl možné světy (úprava pravidel), Tichý prohlásil množinu možný světů za gramatickou kategorii. Tím bylo rozšíření extenzionální logiky na intenzionální tzv. transparentní. Tato logika bývá označována také jako globálně intenzionální logika Příklad Mějme extenzi predikátu spát, extenzi predikátu hlavakatcirkve, jméno papež a jeho extenzi. Aplikaci extenze P na aktuálním světě w budeme označovat jako P w. 1. Větu papež spí analyzujeme v TIL jako λw.spát w (papež w ). 5

6 2. Větu Papež je hlavou katolické církve analyzujeme v TIL jako λw.hlavakatcirkve w (papež). V prvním případě věta vypovídala o úřadu a jeho obsazení závisí na možném světě (proto je zde papež extenze jména), v druhém případě je reč o tom, kdo úřad zastává (proto je zde Papež pouze jméno, tj. individuum). Další příklady viz [2] strana Využití transparentní intenzionální logiky v SW inženýrství Tichý uvádí, že aktuální svět nelze nikdy poznat, protože je to nespočetná množina platných faktů. Argumentuje tvrzením, že pokud by se jednalo o spočetnou množinu, byla by dána výčtem svých prvků, což by vyžadovalo vědět všechna platná fakta a to není možné. Toto je zásadní problém SW inženýrství, které se snaží zachytit v informačním systému model určité oblasti aktuálního světa. Aktuální svět sice nelze logicky vypočítat, ale lze ho empiricky zjišťovat pomocí platných poznatků. Poznatky sdělujeme oznamovacími větami, tzv. propozicemi, kde každá propozice vyčleňuje v množině možných světů podmnožinu, ve kterých je ona pravdivá. Propozice pravdivé v daném časovém okamžiku vyčleňují tedy podmnožinu možných světů, která zaručeně obsahuje aktuální svět. Mějme čtveřici (B, T, U, W), tzv. epistémickou bázi, kde B je množina pravdivostních hodnot, T množina časových okamžiků (používají se také jako reálná čísla), U množina individuí a W množina možných světů (tzv. logický prostor, který je dán a priori). Typ nad epistémickou bází je objekt určený prvky epistémické báze. Pak objekt P je: extenze (intenze 0. řádu) pokud neexistuje Q nad epistémickou bází tak, že P=(W T) Q, intezne k. řádu (pro k>0) je-li Q intezne (k-1). řádu a P=(W T) Q. Pro objekty nad epistémickou bází platí: 1. třídy individuí = (U B)-objekty = extenze, 2. vlastnosti individuí = ((W T U) B)-objekty = intenze, 3. propozice = ((W T) B)-objekty = intenze, 4. individuové úřady = ((W T) U)-objekty = intenze, 5. veličiny = ((W T) T)-objekty = intenze, 6. třídy vlastností = (((W T U) B) B)-objekty = extenze. Příklady z praxe: 1. třídy individuí: lidé, zaměstnanci, produkty, faktury atd. 2, 2. vlastnosti individuí: být zaměstnancem, být oprávněným uživatelem, být proplacenou fakturou, 3. propozice: uživatel (Jan Novák) vystavil k datu ( ) fakturu (1274/2006), 4. individuové úřady = jednatel dané společnosti, 5. veličiny = mzda daného zaměstnance za daný měsíc, 2 Jen pokud individua nemění svoje zařazení, tj. nejsou zařazeny vlastnostmi individuí. 6

7 6. třídy vlastností = položky tvořící adresu zaměstnance. Při vyjádření specifikace informačního systému (konceptuální modelování) pomocí analýzy v TIL lze převést sémantiku na formule intenzionální logiky. S těmi pak lze provádět různé operace při zachování sémantické korektnosti. Podrobněji viz [4]. 7. Závěr Transparentní intenzionální logika patří mezi nejvýznamnější teorie moderní filozofické logiky. Své uplatnění nalezne především v místech, kde je třeba analyzovat sémantiku tvrzení přirozeného jazyka se závislostí na možných světech (extenzionální logika je zde slabá). Jednou z takový oblastí je konceptuální modelování (datové modelování, část SW inženýrství) v podobě datového modelu HIT [4]. Tato seminární práce stručně představila filozofickou logiku teorii možných světů, extenzionální a původní intenzionální logiku a Tichého transparentní intenzionální logiku. Transparentní intenzionální logika byla z didaktických důvodů představena jako rozšíření Montaguovy intenzionální logiky (autor se snažil nezacházet do problematiky objektuální sémantiky, kterou představil Gottlob Frege a ze které původně vychází prof. Tichý [3]). Je třeba upozornit, že tato práce prezentuje neformálně pouze vybranou část filozofické logiky (z prostorových důvodů nebyly mimo jiné formálně zavedeny definice některých pojmů, které se v této práci vyskytují) a zásadně nepokrývá celou problematiku transparentní intenzionální logiky, ale pouze nastiňuje její myšlenku. Podrobnější úvod do transparentní intenzionální logiky lze nalézt například v [3]. Bibliografie 1. Jiří Raclavský. Předmět Filosofická logika. Studijní materiály. Masarykova univerzita v Brně, Filozofická fakulta. Brno. URL [ Jaroslav Peregrin. Úvod do teoretické sémantiky. Komplet studijních materiálů (rozšířený sylabus). Univerzita Karlova v Praze, Filozofická fakulta. Praha. URL [ Andrew Holster. An Introduction to Pavel Tichy and Transparent Intensional Logic. URL [ to Pavel Tichy and Transparent Intensional Logic.doc] Marie Duží. Konceptuální modelování - datový model HIT. Filozoficko-přírodovědecká fakulta, Slezská universita Opava. Opava