Borůvka, Otakar: About Otakar Borůvka
|
|
- Štěpánka Fišerová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Borůvka, Otakar: About Otakar Borůvka Eduard Fuchs; Zuzana Voglová Otakar Borůvka, grafové algoritmy a teorie matroidů Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200, Praha, 2006, Persistent URL: Terms of use: Národní technické muzeum, Praha, 2006 Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 Otakar Borůvka, grafové algoritmy a teorie matroidů Eduard Fuchs, Zuzana Voglová Úvod Vývoj každé vědecké disciplíny je pozoruhodným procesem. Řadu proudů, z nichž se tento proces skládá, lze alespoň s jistou dávkou pravděpodobnosti předvídat a mnohé tendence lze alespoň v hrubých rysech vytušit. Jsou však oblasti, kam ani ten nejpronikavější duch nedohlédne; bouřlivý rozvoj překvapivě nastane v oblasti, kde nebylo téměř žádných náznaků těchto trendů. Jedním z takových případů se budeme v tomto příspěvku zabývat. Když na 2. světovém matematickém kongresu v Paříži v srpnu roku 1900 rekapituloval David Hilbert 1 ve své slavné přednášce o 23 problémech stav matematiky na sklonku 19. století, podal plastický a jasnozřivý obraz vývoje matematiky v nastupujícím století dvacátém. Drtivá většina jeho prognóz se téměř bezezbytku naplnila a ještě dnes, po více než sto letech, jsou mnohé jeho tehdejší úvahy pro současnou matematiku inspirativní. Ani génius Hilbertova formátu však nepostihnul a ani nemohl postihnout jednu obsáhlou součást matematiky 20. století, nazývanou nejčastěji diskrétní matematika. Prvotní impulzy, které posléze lidstvo přivedly k vybudování matematiky, byly bezpochyby dvojího druhu: početní a geometrické. Tyto impulzy také předznamenaly jeden z centrálních protikladů, které lze vypozorovat v celé dosavadní historii matematiky vztah diskrétního a spojitého. Typickými reprezentanty matematických objektů, které se nacházejí na straně diskrétního proudu, jsou přirozená, respektive celá čísla, konečné množiny, konečné geometrie apod., spojitý směr reprezentují objekty jako množina všech reálných čísel, přímka, eukleidovská rovina, spojitá funkce apod. Jak již název napovídá, zabývá se diskrétní matematika první z výše uvedených stránek našich modelů reality. Je svým způsobem paradoxní, že poté, co matematika na sklonku 19. století zvládla v Cantorově teorii množin problematiku matematického nekonečna, patří mezi matematické disciplíny, které se ve 20. století rozvíjely nejdynamičtěji, právě diskrétní matematika, jejíž značná část se zabývá studiem konečných množin. Mezi centrální disciplíny moderní diskrétní matematiky patří především kombinatorika a teorie grafů. Na sklonku 19. století, v době Hilbertova vystoupení, samozřejmě kombinatorika patřila mezi standardní matematické partie. Její postavení v komplexu disciplín nazývaných souhrnně matematika však bylo víceméně nevýznamné. S jistou dávkou nadsázky lze říci, že to byla především podpůrná složka klasické teorie pravděpodobnosti. (Takové ostatně počátky kombinatoriky byly.) Nic přitom nenasvědčovalo tomu, že by v nejbližší budoucnosti mohla ve vývoji matematiky sehrávat významnější roli. A teorie grafů se jako vědní disciplína konstituovala teprve ve 20. století, jak se o tom podrobněji zmíníme později. To, že zejména v poslední třetině 20. století prodělala diskrétní matematika přímo bouřlivý rozvoj, bylo způsobeno řadou faktorů. Mezi klíčové patřily následující: neustále se rozšiřující škála aplikací nejen v matematice samotné, především však mimo ni, a to nejen v tradičních přírodovědných oblastech, ale zejména v nových a mnohdy nečekaných souvislostech; intenzívní rozvoj výpočetní techniky, která umožnila provádět výpočty a analýzy, které se ještě před několika desetiletími zdály nemožné a přesahující hranice lidských možností. Není proto překvapující, že tyto faktory nebylo možno v roce 1900 předvídat. Teorie grafů Chceme-li stručně popsat vývoj teorie grafů, nelze se nezmínit o známé úloze o sedmi mostech města Královce, neboť v souvislosti s touto úlohou se v matematice pojem graf objevil poprvé. Připomeňme si její znění. Městem Königsberg (česky Královec, dnešní Kaliningrad v Rusku) teče řeka Pregel. V této řece jsou dva ostrovy, které byly s pevninou a vzájemně propojeny sedmi mosty. Schéma této situace je na následujícím obrázku. 1 David Hilbert ( ), německý matematik. Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha
3 Úkolem je zjistit, zda je možné vyjít z jednoho místa, projít po každém mostě právě jednou a skončit procházku ve výchozím bodě. Tuto úlohu řešil (a dokázal, že řešení neexistuje) v roce 1736 L. Euler 2. Znázorníme-li si jednotlivé části města jako kroužky v rovině a mosty jako spojnice příslušných částí, je okamžitě zřejmé, že vyřešit uvedenou úlohu znamená, názorně řečeno, namalovat jedním tahem graf na následujícím obrázku: Po uvedeném Eulerově výsledku se více než 100 let grafová problematika v matematice neobjevila. Až v polovině 19. století se A. Cayley 3 zabýval otázkou, kolik existuje izomerů uhlovodíku C n H 2n+2. (Jak čtenář patrně ví, první tři členy uhlovodíkové řady, tj. metan, etan, propan, mají jediný izomer, čtvrtý člen již má izomery dva butan a izobutan). Cayley udělal v podstatě tutéž abstrakci jako Euler. Když si znázornil jednotlivé atomy jako kroužky v rovině a spojil hranou kroužky znázorňující ty atomy, mezi nimiž je chemická vazba, převedl chemický problém na problém nalezení počtu různých grafů předepsaného typu, jak je uvádíme na následujícím obrázku. Kroužky, z nichž vycházejí čtyři hrany, odpovídají atomům uhlíku, kroužky, z nichž vychází jediná hrana, odpovídají atomům vodíku. 2 Leonhard Euler ( ), švýcarský matematik působící v Petrohradě a v Berlíně. Jeden z největších matematiků všech dob. 3 Arthur Cayley ( ), anglický matematik. 78 Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha 2006
4 Analogicky se přirozeným způsobem k pojmu graf dostal G. Kirchhoff 4 ve svých pracích o elektrických obvodech. V téže době, tj. zhruba v polovině 19. století, začíná historie jednoho z nejslavnějších problémů nejen teorie grafů, tzv. problému čtyř barev. Tento problém byl vyřešen až v roce Za rok faktického zrodu teorie grafů bývá obvykle považován rok 1936, kdy vyšla první monografie o teorii grafů, kterou napsal D. König 5 [Kon36]. Jeho kniha Theorie der endlichen und unendlichen Graphen byla vpravdě průkopnická a po dlouhá desetiletí ve světě prakticky jediná. Doslova bouřlivý rozvoj prodělává teorie grafů od druhé poloviny dvacátého století. Hlavní příčinou je nepředstavitelně široké využití této teorie v aplikacích. I čtenář bez hlubšího matematického vzdělání si jistě dovede představit řadu situací, které lze pomocí grafů popsat. Grafem je například automapa ČR. Vrcholy jsou jednotlivé obce, hrany jsou příslušné silnice. Tento graf je navíc tzv. ohodnocený jednotlivým hranám jsou připsána kladná čísla (vzdálenosti). Grafy jsou schéma zapojení barevného televizoru i plán vodovodní sítě města Brna. Pomocí grafů lze popsat výrobní procesy i vztahy mezi pracovníky v daném závodě, lze jimi charakterizovat strukturu programu pro počítač i rozpis sportovní soutěže atd. Za grafy lze rovněž považovat každou množinu, na níž je definována binární relace. Grafové algoritmy Mimořádně důležitou roli ve vývoji diskrétní matematiky hrají tzv. grafové algoritmy. Chceme-li například v konečném, ohodnoceném grafu najít nejkratší cestu z jednoho vrcholu do druhého, mohlo by se zdát nejjednodušší všechny cesty vypsat (je jich přece pouze konečně mnoho), a pak mezi nimi vybrat tu nejkratší. Nemožnost tohoto postupu vyplývá z toho, že již pro poměrně malé grafy jak zanedlouho ukážeme je všech možností tak mnoho, že ani pomocí počítačů není uvedený postup realizovatelný. Analogickou se na první pohled zdá i úloha tradičně nazývaná problém obchodního cestujícího: Obchodní cestující má projít danou množinou měst a vrátit se tam, odkud vyšel. Náklady na jeho cestu přitom mají být co nejmenší. (Samozřejmě se předpokládá, že jsou známy náklady na cestu mezi každou dvojicí daných měst.) Je zřejmé, že tuto situaci lze popsat ohodnoceným grafem, v němž vrcholy jsou jednotlivá města, hranou spojíme města mezi nimiž je přímé dopravní spojení a každé hraně přiřadíme náklady spojené s cestováním mezi danými vrcholy. Konečně uveďme ještě jeden velmi podobný příklad, jenž bude v dalším výkladu hrát centrální roli. Máme vybudovat kabelovou síť mezi několika městy tak, aby každá dvě města byla propojena. Známe náklady na propojení každé dvojice měst a požadujeme, aby vybudování sítě bylo co nejlevnější. Stejně jako v minulém případě jednotlivá města znázorníme jako uzly grafu, hrany tohoto grafu budou představovat kabelová spojení. Náklady na vybudování kabelové sítě mezi jednotlivými městy budou odpovídat ohodnocení hran. V terminologii teorie grafů nyní hledáme tzv. minimální kostru v daném grafu. Na první pohled by se mohlo zdát, že je daná úloha triviální. Bude-li daných měst například deset, je počet koster v grafu na 10 uzlech jistě konečný. Probereme tedy všechny kostry a mezi nimi vybereme minimální. Skutečnost je však mnohem komplikovanější. Již v roce 1889 dokázal již zmíněný A. Cayley [Cay89], že počet koster v úplném grafu (což je graf, kdy je každý uzel propojen hranami se všemi ostatními) na n uzlech je roven číslu n n 2. V našem případě tedy dostáváme 100 milionů různých koster. V případě 100 měst bychom již museli probrat koster, což přesahuje možnosti i těch nejvýkonnějších počítačů. I kdybychom měli počítač, který projde milión koster za sekundu, vyhledání všech koster by mu trvalo sekund. Vzhledem k tomu, že stáří našeho vesmíru je přibližně sekund, je zřejmé, že úlohy popsaného typu jsou neřešitelné bez vyvinutí vhodných algoritmů. Mimořádnost algoritmu pro hledání minimální kostry nespočívá pouze v tom, že škála jeho aplikací zasahuje do řady oblastí. Jak uvidíme, spočívá jeho dominantní postavení mezi grafovými algoritmy v mnohem hlubším a závažnějším důvodu. Algoritmů pro hledání optimálních řešení zadaných úloh na grafech nejrozmanitějších typů existují stovky. Jejich složitost a vhodnost pro řešení problémů lze hodnotit z nejrůznějších hledisek. Mimořádně důležitou roli hraje fakt, kolik operací je nutno provést k nalezení řešení podle daného algoritmu. To, že tato informace je mimořádně důležitá a pro řešení konkrétních problémů mnohdy fatální, je zřejmé 4 Gustave-Robert Kirchhoff ( ), německý fyzik a mechanik. 5 Dénes König ( ), maďarský matematik. Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha
5 z následující tabulky, v níž demonstrujeme, jak dlouho by pracoval počítač provádějící milión operací za sekundu, kdyby při vložení n vstupních údajů bylo nutno provést f(n) operací: n s s s log 2 n 3, s 6, s 1, s n 10 5 s 10 4 s s f(n) n log 2 n 3, s 6, s 6, s n s 0, 01 s 25 s 2n 2 + 5n 3, s 0, 21 s 50 s n 3 / s 0, 01 s 21 min 2 n 10 3 s roků 4, roků Povšimněme si například, že algoritmus vyžadující n 2 kroků by při 100 údajích potřeboval setinu sekundy, zatím co algoritmus s 2 n kroky by nezpracoval tytéž údaje ani za dobu trvání našeho vesmíru. Z tohoto hlediska jsou za dobré považovány tzv. polynomiální algoritmy, což jsou algoritmy, u nichž lze potřebný počet operací omezit vhodným polynomem. (Jejich rychlost je vidět na prvních sedmi řádcích uvedené tabulky.) Typickým příkladem polynomiálních algoritmů jsou právě algoritmy pro hledání minimální kostry. Existují však i problémy, pro něž nejen že není žádný polynomiální algoritmus znám, ale dokonce převládá přesvědčení, že pro ně ani žádný polynomiální algoritmus neexistuje. Typickým příkladem je již zmíněný problém obchodního cestujícího. Nyní již můžeme také vysvětlit, v čem spočívá výjimečnost algoritmu pro hledání minimální kostry. Lze totiž dokázat, že v jistém slova smyslu lze všechny polynomiální grafové algoritmy odvodit z tzv. hladového algoritmu, což je jedna z verzí algoritmu pro minimální kostry a z algoritmu známého pod označením lineární programování. Jedním z velkých výsledků české matematiky je skutečnost, že objevitelem prvního algoritmu pro nalezení minimální kostry byl v r český matematik Otakar Borůvka. Otakar Borůvka O. Borůvka se narodil na sklonku 19. století, , v malém jihomoravském městečku Uherském Ostrohu. Aby se vyhnul možnému odchodu na frontu, přerušil v době 1. světové války studium na gymnáziu a odešel studovat na Vyšší vojenskou reálku v Hranicích a poté na vojenskou technickou akademii do rakouského Mödlingu. Po skončení války se přihlásil ke studiu na brněnskou techniku. Na jeho další životní dráhu měly v té době zásadní vliv dvě okolnosti. První z nich bylo to, že v r. 1919, po řadě let zápasů o zřízení druhé české univerzity, byla v Brně, druhém největším městě nově vzniklého Československa, založena univerzita, která byla pojmenována po prvním československém prezidentovi, T. G. Masarykovi. Druhou ze zmíněných okolností byl fakt, že prvním profesorem matematiky na Masarykově univerzitě byl jmenován Matyáš Lerch, který přivedl O. Borůvku k matematice a na něhož po celý život O. Borůvka vzpomínal s úctou a vděčností jako na svého prvního a celoživotního učitele. Matyáš Lerch ( ) byl prvním českým matematikem světového jména. V r získal Velkou cenu pařížské akademie za práci Essais sur le calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires aux coefficients entiers. České poměry na sklonku 19. století svým způsobem charakterizuje skutečnost, že přes jeho mimořádné vědecké výsledky pro něho na českých vysokých školách nebylo místo, které získávali mnohem průměrnější adepti. A tak na přímluvu a doporučení svého dobrého přítele a příznivce Ch. Hermitea 6, se stal profesorem matematiky ve švýcarském Fribourgu. Na české školy se vrátil až v r. 1906, kdy byl jmenován profesorem na české technice v Brně. O. Borůvka si víceméně náhodou zapsal matematickou přednášku u Lercha, jemuž se většina studentů snažila vyhnout. Lerchovy přednášky totiž rozhodně pro svou náročnost nepatřily k těm oblíbeným. 6 Charles Hermite ( ), francouzský matematik. 80 Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha 2006
6 O. Borůvka v r Setkání profesora Lercha a mladého studenta Borůvky se pro Borůvku stalo osudové. Jak sám s oblibou říkával, stala se matematika jeho životním posláním proto, že ji neuměl. Začátky u Lercha rozhodně nebyly snadné. Borůvka se však s usilovností sobě vlastní začal matematice věnovat natolik, že když se Lerch stal profesorem na Masarykově univerzitě, nabídl svému studentovi, aby se stal jeho asistentem. A tak Borůvka, stále ještě posluchač techniky, začal na univerzitě mimořádně studovat a současně i pracovat jako Lerchův asistent. Na Masarykově univerzitě pak Borůvka působil 50 let. Zabýval se matematickou analýzou, diferenciální geometrií, v algebře vybudoval teorii rozkladů, po druhé světové válce založil moderní školu diferenciálních rovnic. Vychoval celé generace moravských a slovenských matematiků (po řadu let po 2. světové válce kromě plného úvazku v Brně bezplatně přednášel i na bratislavské univerzitě). Po ruské okupaci v r byl po 50 letech práce z univerzity doslova vyhozen beze slova uznání natož díků. Dožil se však návratu demokracie do své vlasti a byť fyzicky ne zcela v pořádku, tak duševně naprosto svěží se dočkal i všestranného uznání za své celoživotní dílo, které se definitivně završilo , kdy ve svých 96 letech v Brně zemřel. Vraťme se však do zmíněného roku Tehdy se totiž udála zajímavá příhoda, která bezprostředně souvisí s jinou oblastí Borůvkova díla, s výsledkem, jímž navždy vstoupil do historie matematiky. Jak to často bývá, v první chvíli si ani sám Borůvka zřejmě nebyl plně vědom mimořádné důležitosti tohoto výsledku. Na jeho genezi sám vzpomínal takto (viz [Bor96]): Studium na školách technického směru mně velmi přiblížilo inženýrské vědy a způsobilo, že jsem měl pro technické a jiné aplikace matematiky vždycky plné porozumění. Brzy po skončení 1. světové války, na začátku 20. let, prováděly Západomoravské elektrárny v Brně elektrifikaci jižní Moravy. V rámci přátelských styků, které jsem měl s některými jejich pracovníky, jsem byl požádán, abych z hlediska matematického řešil otázku co nejúspornějšího provedení elektrovodní sítě. Podařilo se mně najít konstrukci.... Uvedený výsledek Borůvka uveřejnil v práci O jistém problému minimálním v r ([Bor26]). V té době, jak víme, ještě teorie grafů neexistovala. V celé Borůvkově práci se ostatně pojem graf ani jednou nevyskytuje. Fakticky však Borůvka objevil první a v jistém smyslu dodnes nejlepší algoritmus pro nalezení minimální kostry konečného souvislého grafu. Jak tomu již bývá, byl tento výsledek v následujících desetiletích ještě několikrát znovu objeven, Borůvkova priorita je však naprosto nezpochybnitelná. Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha
7 Ačkoliv je Borůvkova práce psána česky, řešení samotné bylo v závěru práce kompletně přeloženo do němčiny, takže bylo přístupné i zahraničním matematikům. Historie algoritmů pro nalezení minimální kostry je natolik zajímavá a pro vývoj matematiky typická, že se o ní stručně zmíníme. Historie algoritmů pro hledání minimální kostry Algoritmů pro nalezení minimální kostry v konečném ohodnoceném grafu existují desítky. Většina z nich je však modifikací jedné ze tří základních variant, které stručně popíšeme. Mnohé z těchto algoritmů, včetně Borůvkova, byly přitom objeveny několikrát a i v seriozní literatuře lze o jejich historii nalézt řadu nepřesností a zásadních omylů. Většina prací popisujících vznik těchto algoritmů začíná u prací J. B. Kruskala ([Kru56] z roku 1956 a R. C. Prima ([Pri57] z roku U řady autorů lze přitom pochybovat, zda tyto práce vůbec měli v ruce, protože Kruskal i Prim Borůvku korektně citují. Především Kruskal však měl nepochybně zásluhu na tom, že problematika vešla ve všeobecnou známost a podstatně přispěl i k prvním počítačovým implementacím. Všechny algoritmy mají jisté společné jádro. Začínají od izolovaných uzlů, tj. od grafu z daných uzlů, jenž na začátku neobsahuje žádné hrany. Tyto uzly pracovně označme jako triviální fragmenty. V každém kroku se pak k již sestrojeným fragmentům připojí vhodná množina hran, čímž se fragmenty zvětšují. Algoritmus končí, když není možné žádný fragment zvětšit. Algoritmus 1 Původní Borůvkův algoritmus z roku 1926 je nejstarší a historicky nejzajímavější. Mimořádně zajímavá je skutečnost, že ze všech známých algoritmů je dodnes nejrychlejší. (V zájmu spravedlnosti je však nutno dodat, že některé jiné algoritmy lze snáze popsat a pracují průhledněji.) Algoritmus lze stručně popsat následovně: 1. Spoj KAŽDÝ triviální fragment s nejbližším 2. Spoj KAŽDÝ takto vzniklý fragment s nejbližším. 3. Postup opakuj, dokud se všechny fragmenty nepropojí. Jak jsme již uvedli, je Borůvkova priorita nezpochybnitelná. Kromě již zmíněné publikace z roku 1926 o něm navíc v roce 1927 přednášel v Paříži. V akademickém roce , kdy se Borůvka zabýval 82 Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha 2006
8 především diferenciální geometrií, byl na studijním pobytu u E. Cartana 7. V rámci tohoto pařížského pobytu Borůvka navštěvoval, kromě jiných, i seminář prof. Coolidge 8, který v té době v Paříži působil. Na jaře 1927 byl Borůvka Coolidgem vyzván, aby na semináři promluvil o svých výsledcích. Ačkoliv Borůvka víceméně samozřejmě předpokládal, že bude hovořit o svých výsledcích z diferenciální geometrie, nabídl v podstatě formálně Coolidgeovi výběr ze tří témat, z nichž jedno se týkalo onoho minimálního problému. K Borůvkovu nesmírnému překvapení si Coolidge právě ono téma pro seminář okamžitě vybral. A tak Borůvka na semináři referoval na tu dobu o věru netradiční problematice. Poněkud pikantní je následující skutečnost: ačkoliv se uvedené přednášky zúčastnil i Elie Cartan 9, zřejmě na téma přednášky časem zapomněl, neboť v r doporučil pro Comptes Rendus práci G. Choqueta [Cho38], v níž je Borůvkův algoritmus bez citace zopakován. Jen pro dokreslení dodejme, že další objev téhož algoritmu provedl v r G. Sollin. Rukopis však nepublikoval, ačkoliv práce byla již dokonce citována v knize Berge Ghoula-Houri: Programming Games and Transportation Networks, Wiley Algoritmus 2 Autorem je již zmíněný J. B. Kruskal (1956). Popis algoritmu je následující: 1. Uspořádej hrany do posloupnosti tak, že f(h 1 ) f(h 2 )... f(h n ). 2. Utvoř graf (U, ). 3. Přidávej postupně ty hrany h 1, h 2,..., h n, které neuzavřou kružnici. Nezávisle na Kruskalovi popsali tento algoritmus v r H. Loberman a B. Weinberger, nejvhodnější strukturu dat pro implementaci popsali v r J. E. Hopcroft a J. D. Ullman. Algoritmus 3 Autorství je nejčastěji připisováno již zmiňovanému Primovi. Někdy je uváděno, že již před Primem tento algoritmus popsali Kruskal, H. Loberman a B. Weinberger. Skutečným autorem je však V. Jarník 10. Ten dne napsal Borůvkovi dopis, v němž reagoval na původní Borůvkovu práci a navrhoval jednodušší popis algoritmu. Část tohoto dopisu byla o rok později uveřejněna ([Jar30]). Algoritmus pracuje následovně: 1. Zvol libovolný uzel a spoj ho s nejbližším uzlem. 2. Vzniklý fragment spoj s nejbližším uzlem atd. První počítačovou implementaci provedl E.W. Dijkstra (1959). Rychlost tohoto algoritmu později vylepšili v roce 1972 A. Kershenbaum a R. Van Slyke a posléze v roce 1975 D. E. Johnson. Zatím jsme ovšem ponechali stranou jednu zásadní otázku. Při hledání algoritmu pro řešení nějakého typu problémů nejde samozřejmě jen o to, algoritmus nalézt. Stejně důležité a mnohdy mnohem obtížnější je provést důkaz, že popsaný algoritmus opravdu správně funguje. Důkaz správnosti svého algoritmu popsal Borůvka v řeči teorie matic. V té době, tj. ve dvacátých a třicátých letech 20. století, se však již rodila zcela nová matematická teorie, která se stala v moderní diskrétní matematice mocným nástrojem teorie matroidů. Impulsem k jejímu zrození byly právě některé společné rysy teorie grafů a teorie matic. Pomocí teorie matroidů lze relativně snadno správnost Borůvkova algoritmu dokázat. V žádném případě však není možné tvrdit, že by Borůvka patřil k zakladatelům teorie matroidů, byť se takové názory občas objevují. Teorie matroidů Teorie matroidů vznikla ve třicátých letech dvacátého století. V této době docházelo k rychlému rozvoji celé řady dalších matematických disciplín již zmiňované teorie grafů, algebry, teorie svazů a dalších. Zejména algebra zaznamenala ve dvacátých a třicátých letech velké úspěchy. Ve dvacátých letech napsala 7 Elie Joseph Cartan ( ), francouzský matematik. 8 Julian Lowell Coolidge ( ), americký matematik. 9 Osobní sdělení O. Borůvky spoluautorovi. Borůvka měl fenomenální paměť. A tak po více než 60 letech dovedl o všech svých zahraničních cestách vyprávět neuvěřitelné podrobnosti. Prakticky u všech svých zahraničních přednášek (a byly jich desítky) si pamatoval jejich významné účastníky včetně takových podrobností, kde jednotliví účastníci seděli a jak na problematiku reagovali. 10 Vojtěch Jarník ( ), český matematik. Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha
9 E. Noetherová 11 dvě důležité práce o abstraktní algebře: The theory of ideals in rings (1921)a Abstract construction of ideal theory in the domain of algebraic number fields (1927) [viz Noe83], které se staly základním kamenem pro další rozvoj tohoto oboru. Na ni potom navázal B. L. Van der Waerden 12 svým dílem Moderne algebra [Wae37], které je z velké části založeno právě na práci Noetherové. Jeho kniha zahájila novou etapu moderní abstraktní algebry a významně přispěla k rozvoji této části matematiky. Ve třicátých letech se začala formovat také teorie svazů. První zmínky vztahující se ke svazům se objevily sice už v polovině 19. století u Boola, Pierce a Dedekinda, za otce teorie svazů je však považován až G. Birkhoff 13. Spolutvůrcem české terminologie v této oblasti je Borůvka, který v roce 1939 poprvé použil český termín svaz pro anglické slovo lattice. Rozvoj všech těchto matematických disciplín připravil vhodné podmínky a inspiroval amerického matematika Hasslera Whitneyho k napsání článku On the abstract properties of linear dependence[whi35], v němž se poprvé objevil pojem matroid. Popsal matroid jako abstraktní zobecnění lineární nezávislosti v maticích (jak napovídá i samotné slovo matroid), a tudíž i jazyk celé této teorie z velké části odpovídá terminologii lineární algebry. Při definici matroidu se Whitney pokusil zachytit společné základní vlastnosti lineární závislosti v grafech a maticích. Whitneyho článek má tři části. V první části zavádí pojem matroid a podává několik ekvivalentních definic tohoto pojmu. Ve druhé části se věnuje některým speciálním typům matroidů, tématem poslední části je vztah mezi matroidy a maticemi. Matroidy zůstaly dlouhou dobu bez větší odezvy. Koncepci lineární závislosti sice použil van der Waerden ve své výše zmíněné knize [Wae37], další práce uveřejnili například Birkhoff [Bir35], MacLane 14 [MacL36], Dilworth 15 [Dil41] a Rado 16 [Rad42], teprve v padesátých letech, kdy publikoval své práce o matroidech a grafech Tutte 17 [Tut58], však zájem o teorii matroidů a její aplikace rapidně stoupl. Hassler Whitney Hassler Whitney se narodil v roce 1907 v New Yorku. V roce 1928 absolvoval na univerzitě v Yale. Na Harvardu v roce 1932 získal doktorát, disertaci The Coloring of Graphs napsal pod vedením G. D. Birkhoffa 18. V letech 1930 až 1935 vyučoval na Harvardu matematiku, v letech 1931 až 1933 byl členem Národní výzkumné rady. V roce 1935 se stal odborným asistentem, v roce 1940 byl jmenován docentem. V roce 1946 se stal profesorem a na Harvardu zůstal až do roku 1952, kdy přijal nabídku od Institutu pro pokročilá studia v Princetonu. Od roku 1953 do roku 1956 byl předsedou matematického výboru National Research Council. Byl redaktorem časopisů American Journal of Mathematics a Mathematical Reviews. V roce 1976 získal Národní medaili za vědu, v roce 1983 byl oceněn Wolfovou cenou a o dva roky později dostal Steelovu cenu. V roce 1977 odešel do důchodu a roku 1989 zemřel ve Švýcarsku. 11 Emmy Noetherová ( ), německá matematička. 12 Bartel Leendert van der Waerden ( ), nizozemský matematik. 13 Garrett Birkhoff ( ), americký matematik. 14 Saunders Maclane ( ), americký matematik. 15 Robert Palmer Dilworth ( ), americký matematik. 16 Richard Rado ( ), německý matematik maďarského původu. 17 William Thomas Tutte ( ), anglicko-kanadský matematik. 18 George David Birkhoff ( ), americký matematik, otec Garretta Birkhoffa. 84 Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha 2006
10 Grafy a matice Než ukážeme některé společné vlastnosti hran v grafech a sloupců v maticích, které vedly Whitneyho k zavedení matroidů, připomeňme si několik pojmů z teorie grafů. Grafem budeme nyní rozumět neorientovaný konečný graf, který může obsahovat násobné hrany i smyčky. Smyčkou rozumíme hranu vedoucí z uzlu do sebe samotného. Jsou-li v grafu dva uzly spojeny více než jednou hranou, mluvíme o tzv. násobných hranách. Protože jsme povolili násobné hrany i smyčky, připouštíme i kružnice délek 1 a 2. Na následujícím obrázku jsou kružnice délek 1, 2 a 3. Souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf žádnou kružnici, se nazývá strom. Kostrou grafu G rozumíme takový souvislý podgraf grafu G, který obsahuje všechny uzly grafu G a neobsahuje jako podgraf žádnou kružnici. Říkáme, že podgraf grafu je nezávislý, jestliže neobsahuje kružnici. Množina hran nezávislého podgrafu se nazývá nezávislá. Například množina I všech nezávislých množin grafu G z následujícího obrázku 2 je množina {, {e 1 }, {e 2 }, {e 4 }, {e 5 }, {e 1, e 2 }, {e 1 e 5 }, {e 2, e 4 } {e 2, e 5 }, {e 4, e 5 }. Nezávislé množiny hran každého grafu splňují následující tři vlastnosti: (I1) I (I2) X I, Y X Y I (I3) U, V I, U < V e V U takový, že U {e} I. Množiny vytvořené z hran grafu G, které nejsou nezávislé, nazýváme závislé; množinu všech závislých množin grafu G označíme D. Pro graf G je D = {{e 3 }, {e 1, e 3 }, {e 1, e 4 }, {e 2, e 3 }, {e 3, e 4 }, {e 3, e 5 }} {X E; X 3}. Množinu minimálních (vzhledem k inkluzi) závislých množin označíme C. Jde o ty množiny hran, které vytvoří v grafu G kružnici a neobsahují žádnou hranu, která by do této kružnice nepatřila. Pro graf G je tedy C = {{e 3 }, }e 1, e 4 }, {e 1, e 2, e 5 }, {e 2, e 4, e 5 }}. Je zřejmé, že platí: (C1) / C, (C2) C 1, C 2 C, C 1 C 2, C 1 = C 2. Dále platí: (C3) C 1, C 2 C, C C 2, e C 1 C 2 C 3 C taková, že C 3 (C 1 C 2 ) e. Maximálním nezávislým množinám říkáme báze. (Jsou to ty nezávislé množiny, k nimž už nelze přidat žádný prvek navíc, aby zůstaly nezávislé.) Podobné vlastnosti jako jsme popsali u hran grafu, můžeme najít i u sloupců v matici. Připomeňme si, že maticí rozumíme obdélníkovou či čtvercovou tabulku prvků nějaké množiny. Dále budeme mluvit pouze o maticích reálných čísel. Systémy sloupců matice mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé. Pokud je některý sloupec lineární kombinací jiných sloupců, říkáme, že jsou tyto sloupce lineárně závislé. V opačném případě se nazývají lineárně nezávislé. Množina lineárně nezávislých sloupců matice se nazývá nezávislá. Je-li dána matice, množinu všech jejích nezávislých množin označíme I. Snadno se lze přesvědčit, že pro matici ( ) A =, jejíž sloupce označíme c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, je I = {, {c 1 }, {c 2 }, {c 4 }, {c 5 }, {c 1, c 2 }, {c 1, c 5 }, {c 2, c 4 }, {c 2, c 5 }, {c 4, c 5 }} a tato množina zřejmě splňuje vlastnosti (I1) - (I3). Ostatní množiny vytvořené ze sloupců matice A jsou závislé. Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha
11 Těchto a dalších podobných vlastností si všiml pravděpodobně i Whitney, a proto se pokusil vytvořit nějakou obecnější matematickou strukturu, která by všechny tyto vlastnosti splňovala. Tuto novou strukturu nazval matroidem. V již zmiňovaném článku popsal celou řadu vlastností, které matroidy splňují. Základní pojmy a vlastnosti matroidů Matroidem rozumíme uspořádanou dvojici (E, I), kde E je konečná množina a I je množina podmnožin množiny E splňující vlastnosti (I1)-(I3). Množinu E nazýváme základní množinou matroidu. Matroidy lze definovat několika různými, avšak ekvivalentními způsoby, z nichž mnohé byly popsány ve Whitneyho článku. K jejich definování lze kromě nezávislých množin použít také kružnice, báze, závislé množiny a další. Uvedené definici podle předchozího výkladu evidentně vyhovují nezávislé množiny v grafu i v matici. Pořádkovou funkcí matroidu (E, I) nazýváme zobrazení r : P (E) Z definované takto: r(a) = max{ X ; X I, X A (kde P (E) značí systém všech podmnožin množiny E). Řádem matroidu (E, I) nazýváme číslo r(e). Podmnožina A E se nazývá uzavřená, respektive podprostor či flat matroidu M, když pro všechny prvky x E A platí r(a {x}) = r(a) + 1. (Jinak řečeno, k A nelze přidat žádný prvek bez zvětšení řádu.) Matroidy, jejichž řád je nejvýše roven třem, mají velmi užitečnou geometrickou reprezentaci v rovině. Mluvíme o tzv. eukleidovské reprezentaci v rovině. Mějme matroid M třetího řádu, jehož základní množina má n prvků. Těchto n prvků znázorníme jako body v rovině a křivkou spojíme body každé uzavřené množiny A, pro níž platí A 3, r(a) = 2. Potom bázi matroidu M tvoří všechny tříprvkové podmnožiny základní množiny, které nejsou v diagramu spojeny křivkou. Je jednoduché se přesvědčit, že každý diagram v rovině, skládající se z bodů a křivek takových, že každá dvojice křivek se protíná v nejvýše jednom bodě, reprezentuje matroid, jehož báze jsou tříprvkové podmnožiny bodů, které nejsou v diagramu spojeny křivkou. Příklady matroidů Matroid tedy můžeme vytvořit z grafu (resp. matice) následovně. Základní množinu matroidu tvoří všechny hrany daného grafu (resp. sloupce dané matice). Množinu I potom tvoří nezávislé množiny grafu (resp. množina lineárně nezávislých sloupců matice). Matroid, který získáme výše popsaným způsobem z matice A značíme M[A] a nazýváme jej vektorový matroid. Matroid získaný z grafu G nazýváme cyklický a značíme jej M(G). Matice A a graf G uvedené dříve byly voleny tak, aby matroidy z nich vytvořené byly izomorfní (matroidy M a N jsou izomorfní, jestliže mezi základními množinami matroidů existuje taková bijekce φ, že X E(M) : φx) je nezávislá v N X je nezávislá v M). Matroid, který je izomorfní s cyklickým matroidem, se nazývá grafový. Tak například matroid M[A], který jsme získali z matice A, je grafový. Dalším typem matroidu je uniformní matroid U k,n řádu k. Základní množina E uniformního matroidu U k,n má n prvků, množina nezávislých množin je I = {X P (E), X k}. Báze uniformního matroidu řádu k jsou všechny k-prvkové podmnožiny základní množiny, kružnice jsou všechny (k + 1)- prvkové podmnožiny základní množiny. Platí: r(a) = A pro A k, r(a) = k pro A k. Matroid, v němž je každá podmnožina základní množiny nezávislá, se nazývá volný. Jedná se vlastně o speciální případ uniformního matroidu, v němž k = n. Zajímavým typem matroidu je tzv. Fanův 19 matroid(viz hořejší obrázek). Jedná se o matroid, jehož základní množina je tvořena prvky x 1, x 2,... x 7, báze tohoto matroidu jsou všechny tříprvkové podmnožiny základní množiny, kromě množin {x 1, x 2, x 6 }, {x 1, x 4, x 7 }, {x 1, x 3, x 5 }, {x 2, x 3, x 4 }, {x 2, x 5, x 7 }, 19 Gino Fano ( ), italský matematik. 86 Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha 2006
12 {x 3, x 6, x 7 }, {x 4, x 5, x 6 }. Jde vlastně o projektivní rovinu 2. řádu. Znázornění Fanova matroidu v eukleidovské reprezentaci je na obrázku. Teorie matroidů se stala jednou z nejrychleji se rozvíjejících částí diskrétní matematiky a nachází uplatnění v celé řadě matematických disciplín. Podrobnější popis vývoje teorie matroidů lze nalézt například v knize [Kun86]. Literatura [Bir35] Birkhoff, G.: Abstract linear dependence and lattices. American Journal of Mathematics ), [Bor26] Borůvka, O.: O jistém problému minimálním. Práce Moravské přírodovědecké společnosti 3 (1926), [Bor77] Borůvka, O.: Několik vzpomínek na matematický život v Brně. Pokroky matematiky,fyziky a astronomie 22 (1977), [Bor96] Otakar Borůvka. Universitas Masarykiana, Brno [Cay89] Cayley, A.: A theorem on trees. Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 23 (1889), [Dil41] Dilworth, R. P.: Ideals in Birkhoff lattices. Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941), [Dil41b] Dilworth, R. P.: Arithmetic theory of Birkhoff lattices. Duke Math. J. 8 (1941), [Dil44] Dilworth, R. P.: Dependence relations in semimodular lattice. Duke Math. J. 11 (1944), [Cho38] Choquet, G.: Etude de certains réseaux de routes. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l Académie des Sciences, Paris 206 (1938), [Jar30] Jarník, V.: O jistém problému minimálním. (Z dopisu panu O. Borůvkovi.), Práce Moravské Přírodovědecké společnosti 6 (1930), [Kon36] König, D.: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Leipzig [Kru56] Kruskal, J. B.: On the shortest spanning tree of a graph. Proc. AMS 7 (1956), [Kun86] Kung, J. P. S.: A SourceBook in Matroid Theory. Boston, Birkhäuser [MacL36] MacLane, S.: Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry. American Journal of Mathematics 58 (1936), [Noe83] Noether, E.: Gesammelte Abhandlungen Collected Papers. Ed. N. Jacobson, Springer [Oxl92] Oxley, J.: Matroid Theory. New York, Oxford University Press Inc., New York, [Pri57] Prim, R. C.: Shortest connection networks and some generalizations. Bell Syst. Tech. J. 36 (1957), [Rad42] Rado R.: A theorem on independence relations. Quart. J. Math. 13 (1942), [Rad49] Rado R.: Axiomatic treatment of rank in infinite sets. Canad. J. Math. 1 (1949), [Tut59] Tutte, W. T.: Matroids and graphs. Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), [Tut58] Tutte, W. T.: A homotopy theory for matroids I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 88 (1958), [Wae37] van der Waerden, B. L.: Moderne Algebra. Vol. 1., Berlin, Springer-Verlag, [Wel95] Welsh, D. J. A.: Handbook of Combinatorics. Massachusetts, The MIT Press Cambridge, [Whi35] Whitney, H.: On the abstract properties of linear dependence. American Journal of Mathematics 57 (1935), Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc. Mgr. Zuzana Voglová Katedra matematiky Katedra matematiky PřF MU PřF MU Janáčkovo nám. 2a Janáčkovo nám. 2a Brno Brno fuchs@math.muni.cz zuzana.voglova@foxis.cz Rozpravy Národního technického muzea v Praze, sv. 200 Řada Dějiny vědy a techniky, sv. 14, Praha
Matematika v proměnách věků. IV
Matematika v proměnách věků. IV Zuzana Voglová Hassler Whitney a počátky teorie matroidů In: Eduard Fuchs (editor): Matematika v proměnách věků. IV. (Czech). Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2007.
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek Poznámky k postgraduálnímu studiu matematiky učitelů škol 2. cyklu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 6, 363--366 Persistent
O nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
Kombinatorika. In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp. 3 [6].
Kombinatorika Předmluva In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1980. pp. 3 [6]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403963 Terms of use: Antonín Vrba, 1080 Institute of
Základy teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
O dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
Determinanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Emil Calda; Oldřich Odvárko Speciální třídy na SVVŠ v Praze pro žáky nadané v matematice a fyzice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13 (1968), No. 5,
Jan Sobotka (1862 1931)
Jan Sobotka (1862 1931) Martina Kašparová Vysokoškolská studia Jana Sobotky In: Martina Kašparová (author); Zbyněk Nádeník (author): Jan Sobotka (1862 1931). (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 231--234.
Co víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
O dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
Borůvka, Otakar: About Otakar Borůvka
Borůvka, Otakar: About Otakar Borůvka Eduard Fuchs Otakar Borůvka a Francouzská matematika Práce z dějin vědy, Vol. 21, Ústav pro soudobé dějiny AV ČR, Praha, 2009, ISBN 80-7285-050-1, 69-80 Persistent
Malý výlet do moderní matematiky
Malý výlet do moderní matematiky Úvod [též symboly] In: Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Malý výlet do moderní matematiky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1972. pp. 3 6. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403755
Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života
Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Organizace JČMF In: Jiří Dolejší (editor); Jiří Rákosník (editor): Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života. (Czech).
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
O dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
O dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
Matematika v 19. století
Matematika v 19. století Martina Němcová František Josef Studnička a Americký klub dam In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v 19. století. Sborník přednášek z 15. letní školy
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 11. Násobení v množinách In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 89--93. Persistent
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987 Zdeněk Horský Písemnosti z pozůstalosti prof. dr. A. Seydlera In: Libor Pátý (editor): Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862
Úvod do neeukleidovské geometrie
Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:
Polynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
Booleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
Úvod do filosofie matematiky
Úvod do filosofie matematiky Axiom nekonečna In: Otakar Zich (author): Úvod do filosofie matematiky. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947. pp. 114 117. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403163
Funkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
Co víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vítěslav Jozífek Poznámky k teorii vyučování matematice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 14 (1969), No. 3, 148--151 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139905
Rovinné grafy. III. kapitola. Tři domy, tři studně a muří noha aneb věta Kuratowského
Rovinné grafy III. kapitola. Tři domy, tři studně a muří noha aneb věta Kuratowského In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1977. pp. 43 50. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403907
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Úlohy o maximech a minimech funkcí
Úlohy o maximech a minimech funkcí 1. kapitola. Základní pojmy a nejjednodušší úlohy In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 5 15. Persistent
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
Komplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Výpočet objemu tělesa In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
Zlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
Otakar Borůvka. Brno. Terms of use:
Otakar Borůvka Brno In: Zdeněk Třešňák (author); Petra Šarmanová (author); Bedřich Půža (author): Otakar Borůvka. (Czech). Brno: Nadace Universitas Masarykiana v Brně, 1996. pp. 70--77. Persistent URL:
Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef B. Slavík; B. Klimeš Hluk jako methodická pomůcka při zjišťování příčin chvění v technické praxi Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 2 (957), No.
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
Základy teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
Nerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 2. Lineární rovnice o dvou neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 10 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402867
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
Determinanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi Rejstřík In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp.
Matematika v proměnách věků. I
Matematika v proměnách věků. I Karel Lepka Souvislost mezi Fermatovými kvocienty a kvocientem Wilsonovým In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v proměnách věků. I. Sborník. (Czech).
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Antonín Bohun Elektronová emise, luminiscence a zbarvení iontových krystalů Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 6 (1961), No. 3, 150--153 Persistent URL:
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 3. Neurčité rovnice 1. stupně o 3 neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 15 20. Persistent URL: http:dml.czdmlcz402868
O rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
Kongruence. 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence
Kongruence 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 43 54. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403656
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 2. Rozklady v množině In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 22--27. Persistent
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
Faktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 7. kapitola. Různé In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 72 81. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403522 Terms
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Historický vývoj geometrických transformací
Historický vývoj geometrických transformací Věcný rejstřík In: Dana Trkovská (author): Historický vývoj geometrických transformací. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2015. pp. 171 174.
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
PANM 16. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 16 List of participants In: Jan Chleboun and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
Rovinné grafy. In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Rovinné grafy VIII. kapitola. Konvexní mnohostěny In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1977. pp. 99 112. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403912 Terms of use: Bohdan
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Zdeněk Češpíro Výbojový vakuoměr bez magnetického pole Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 3 (1958), No. 3, 299--302 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137111
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích
Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Perspektiva. In: Emil Kraemer (author): Perspektiva. (Czech). Praha: Přírodovědecké nakladatelství, pp
Perspektiva Úvod In: Emil Kraemer (author): Perspektiva. (Czech). Praha: Přírodovědecké nakladatelství, 1951. pp. 7 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402924 Terms of use: Jednota českých matematiků
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
LATINSKÉ ČTVERCE předložil LEONHARD EULER ( ) petrohradské akademii proslulou úlohu o 36 důstojnících:
LATINSKÉ ČTVERCE 17. 10. 1776 předložil LEONHARD EULER (1707-1783) petrohradské akademii proslulou úlohu o 36 důstojnících: Sestavte 36 důstojníků 6 různých hodností ze 6 různých pluků do čtverce tak,
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
O náhodě a pravděpodobnosti
O náhodě a pravděpodobnosti 13. kapitola. Metoda maximální věrohodnosti neb o tom, jak odhadnout počet volně žijících divokých zvířat In: Adam Płocki (author); Eva Macháčková (translator); Vlastimil Macháček
Graf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.
Graf 2 0 3 1 4 5 Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd. Běžné reprezentace grafu Uzly = indexy Stupně uzlů
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
Otakar Borůvka a diferenciální rovnice
Otakar Borůvka a diferenciální rovnice Život a dílo O. Borůvky In: Petra Šarmanová (author): Otakar Borůvka a diferenciální rovnice. (Czech). Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 1998.
Metody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
O náhodě a pravděpodobnosti
O náhodě a pravděpodobnosti 2. kapitola. Stromy neboli grafické znázornění průběhů a výsledků náhodného pokusu In: Adam Płocki (author); Eva Macháčková (translator); Vlastimil Macháček (illustrator): O
PANM 14. List of participants. http://dml.cz. Terms of use:
PANM 14 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
Dějepis Jednoty českých mathematiků
Dějepis Jednoty českých mathematiků II. Změna stanov; studentský spolek se rozšiřuje na Jednotu českých mathematiků In: Václav Posejpal (author): Dějepis Jednoty českých mathematiků. K padesátému výročí
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Cyril Dočkal Automatické elektromagnetické váhy Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky F. Císař Kinematografie při vyučování matematice. [II.] Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 60 (1931), No. 3, D39--D43 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123948
Faktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 5. kapitola. Několik otázek z matematické statistiky In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 964. pp. 50 59. Persistent URL:
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde