Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.

Transkript

1 6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz

2 množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje dva vrcholy hrana je buď orientovaná nebo neorientovaná orientovaná hrana rozlišujeme počáteční a koncový vrchol neorientovaná hrana symetrické spojení dvou vrcholů hrana spojující vrchol se sebou samým smyčka orientovaný graf všechny hrany orientované neorientovaný graf všechny hrany neorientované formálněji:

3 Definice Orientovaný graf je trojice V G ( V, E, ) tvořená neprázdnou konečnou množinou, jejíž prvky nazýváme vrcholy, konečnou množinou, jejíž prvky 2 nazýváme orientovanými hranami, a zobrazením : E V, které nazýváme vztahem incidence. Toto zobrazení přiřazuje každé hraně uspořádanou dvojici ( v1, v2) vrcholů. v v1 2 - počáteční vrchol hrany, - koncový vrchol hrany E e E e v1 v2 v1 v2 hrana spojuje vrcholy a (vede z do ) v 2 v e e vrcholy 1 a jsou incidentní s hranou (hrana je incidentní s těmito vrcholy) jestliže počáteční vrchol hrany = koncový vrchol hrany pak hranu nazýváme smyčkou

4 vrchol, který není incidentní s žádnou hranou izolovaný vrchol je možné, aby několik hran mělo stejné počáteční a koncové vrcholy množina hran grafu může být prázdná V 2 e V 1

5 Definice Neorientovaný graf je trojice G ( V, E, ) tvořená neprázdnou konečnou V množinou, jejíž prvky nazýváme vrcholy, konečnou množinou, jejíž prvky nazýváme neorientovanými hranami, a zobrazením vztahem incidence a které každé hraně dvouprvkovou množinu vrcholů. e E, které nazýváme přiřazuje jedno- nebo těmto vrcholům říkáme krajní vrcholy hrany, jsou incidentní s hranou, hrana e je incidentní s těmito vrcholy E e e () e je-li hrana incidentní pouze s jediným vrcholem, tj. je jednoprvková hrana se nazývá smyčka je možné, aby několik hran spojovalo stejné (jedno- nebo dvouprvkové) množiny vrcholů množina hran grafu může být opět prázdná

6 V 2 e V 1

7 Kreslení grafů Dvojice zobrazení a přiřazuje vrcholům grafu různé body v rovině přiřazuje každé hraně grafu spojující vrcholy v1, v2 jednoduchou křivku s krajními body ( v ), ( v ), přitom požadujeme, aby žádná křivka () e 1 2 neobsahovala žádný z bodů () v jako svůj vnitřní bod () v () e nakreslení grafu je množina bodů a křivek v rovině Rovinné nakreslení takové nakreslení grafu, že libovolné dvě křivky přiřazené různým hranám grafu mají společné nejvýše své krajní body

8 Rovinný graf (planární) takový graf, ke kterému existuje rovinné nakreslení ne každý graf je rovinný i rovinný graf lze nakreslit nerovinným způsobem rovinný graf nerovinný graf

9 násobnost hrany počet hran spojujících vrcholy stupeň vrcholu v1, v2 počet hran incidentních s daným vrcholem, přičemž smyčky se počítají dvakrát prostý graf graf, v němž násobnost každé hrany je nejvýše rovna jedné multigraf graf, v němž násobnosti hran mohou být i větší než jedna

10 dva grafy jsou izomorfní pokud se liší pouze nakreslením a označením (pojmenováním) vrcholů a hran, formálněji: Definice GG, se nazývají vzájemně izomorfní, pokud existují dvě vzájemně jednoznačná zobrazení f : V V a g : E E taková, že zachovávají vztahy incidence případně,.tedy pro každou hranu platí ( e) ( x, y) g( e) f ( x), f ( y) ( e) x, y g( e) f ( x), f ( y) v závislosti na tom, zda se jedná o orientované nebo neorientované grafy. Ozn.: G G

11 Podgrafy G G G graf je podgrafem grafu, vznikne-li z grafu vynecháním nějakých (nebo žádných) vrcholů a hran podgraf musí být opět grafem spolu s každou hranou, která je v podgrafu, tam musí být i oba její krajní vrcholy každý graf je podgraf sebe sama dva druhy podgrafů G G G V ( G) V ( G) je faktor grafu, vznikne-li z grafu pouze vynecháním některých (nebo žádných) hran, tj. platí-li G A V ( G) je podgraf indukovaný množinou vrcholů (též úplný podgraf na množině A), jestliže podgraf G má množinu vrcholů A a obsahuje všechny hrany grafu, jejichž oba vrcholy leží v G A

12 Podgrafy G indukovaný podgraf lze získat z grafu tím, že vynecháme vrcholy, které neleží v množině A, a potom vynecháme všechny hrany, které byly incidentní s vynechanými vrcholy (aby to byl opět graf) G obecný podgraf můžeme vždy získat jako faktor nějakého indukovaného podgrafu a také jako indukovaný podgraf nějakého faktoru původního grafu rozdíl je v tom, zda nejdříve vynecháváme hrany nebo vrcholy

13 sled posloupnost vrcholů a hran v0, e1, v1, e2, v2... orientovaný, neorientovaný sled vrcholy a hrany na sebe navazují u orientovaného navíc požadujeme, aby byly všechny hrany orientovány,,vpřed ve směru sledu vrcholy i hrany se mohou opakovat triviální sled sled, který obsahuje jediný vrchol a žádnou hranu lze pokládat za orientovaný i neorientovaný orientovaný (neorientovaný) tah orientovaný (neorientovaný) sled, v němž se žádná hrana neopakuje

14 orientovaná (neorientovaná) cesta orientovaný (neorientovaný) sled, v němž se neopakuje žádný vrchol z toho plyne, že s v ní neopakují ani hrany, tedy každá cesta je zároveň tahem a sledem zatímco tah je vždy sledem, ale není vždy cestou uzavřené sledy sled (orientovaný nebo neorientovaný), který má alespoň jednu hranu a jehož počáteční a koncový vrchol splývají uzavřené tahy obdobně

15 uzavřené cesty sledy, v nichž se neopakují vrcholy ani hrany (kromě toho, že počáteční vrchol se rovná koncovému) orientovaná uzavřená cesta cyklus, neorientovaná uzavřená cesta kružnice cyklus je zároveň i kružnicí, ale ne naopak triviální sled nepokládáme za sled uzavřený kružnice, která má tři hrany, se nazývá trojúhelník

16 cyklický graf orientovaný graf obsahující alespoň jeden cyklus acyklický graf orientovaný graf bez cyklu souvislý graf takový graf, jehož každé dva vrcholy jsou spojeny neorientovanou cestou komponenta souvislosti grafu G G je každý podgraf grafu, který je souvislý a který je maximální s touto vlastností, tj. není částí většího souvislého podgrafu

17 les graf, který neobsahuje kružnici strom graf, který neobsahuje kružnici a je navíc souvislý komponentami souvislosti lesa jsou tedy stromy každý souvislý graf má faktor, který je stromem kostra grafu faktor grafu G, který je stromem každý souvislý graf má kostru ohodnocený graf graf, jehož hrany nebo vrcholy jsou opatřeny nějakými hodnotami minimální kostra kostra grafu s nejmenším součtem ohodnocení hran mezi všemi kostrami grafu

18 hranový stupeň souvislosti grafu minimální počet hran, jejichž odstraněním se stane graf nesouvislým definován pro grafy s alespoň dvěma vrcholy pro grafy s jedním vrcholem je tento stupeň roven nule graf nazýváme hranově k-souvislým, je-li jeho hranový stupeň souvislosti alespoň k vrcholový stupeň souvislosti minimální počet vrcholů, jejichž odstraněním se stane graf nesouvislým definován pro všechny grafy kromě úplných grafů (a kromě multigrafů, které obsahují úplný graf jako svůj faktor) graf nazýváme vrcholově k-souvislým, je-li jeho vrcholový stupeň souvislosti alespoň k

19 speciální grafy diskrétní graf úplný orientovaný graf úplný (neorientovaný) graf bipartitní graf úplný bipartitní graf regulární (pravidelný) graf k-regulární (k-pravidelný) graf

20 speciální grafy diskrétní graf nemá žádné hrany, podle potřeby jej lze považovat za orientovaný či neorientovaný G ( V, R) úplný orientovaný graf je prostý graf (násobnost každé hrany je nejvýše 1), kde R je množina všech uspořádaných dvojic různých vrcholů z množiny V úplný (neorientovaný) graf je prostý neorientovaný graf bez smyček, jehož každé dva různé vrcholy jsou spojeny hranou, má-li n vrcholů, značíme jej K n

21 speciální grafy bipartitní graf je takový graf G, jehož množina vrcholů VG ( ) je disjunktním sjednocením dvou množin S, T a platí E( G) W G ( S), tedy hrany grafu jsou množina všech hran, jejichž jeden vrchol leží v S a druhý v neleží S tj. každá hrana má vrchol v a druhý v S T úplný bipartitní graf je takový bipartitní graf, kde každá dvojice vrcholů z S a z T je spojena právě jednou hranou, je-li S m, T n, značíme graf K mn, regulární (pravidelný) graf mají-li všechny vrcholy stejný stupeň, k-regulární (k-pravidelný) graf stupeň vrcholů k

22 homeorfismus grafů G, G z druhého 1 2 se nazývají vzájemně homeomorfní, jestliže lze získat jeden dělením hrany odstraněním vrcholu stupně 2 Kuratowského věta Graf je rovinný právě tehdy, když neobsahuje podgraf homeomorfní s grafem nebo. K5 K3,3

23 topologický rovinný graf rovinný graf chápaný společně se svým nakreslením stěna topologického rovinného grafu část roviny ohraničená křivkami, které jsou obrazy hran jedna ze stěn je vždy neomezená, ostatní jsou omezené dvě stěny nazýváme sousedními, jestliže společná část jejich hranice je tvořena jednou nebo několika křivkami, které jsou obrazy hran stěna je incidentní s hranou, jestliže křivka, která je obrazem hrany, tvoří část hranice (nebo celou hranici) stěny stupeň stěny počet hran, s nimiž je stěna incidentní, přičemž každou hranu, která je mostem (jejím odstraněním zvýšíme počet komponent souvislosti), počítáme dvakrát

24 konvexní mnohostěny přirozeným způsobem určují graf vrcholy mnohostěnu = vrcholy grafu hrany mnohostěnu = hrany grafu konvexní mnohostěn jeho graf je rovinný graf je grafem konvexního mnohostěnu právě tehdy, když je rovinný a vrcholově 3-souvislý

25 pravidelný mnohostěn je takový mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné mnohoúhelníky a všechny vrcholy mají stejný stupeň graf pravidelného mnohostěnu je regulární a navíc všechny jeho stěny mají stejný stupeň existuje (až na izomorfismus) pět grafů s těmito vlastnostmi

26 Pro každý souvislý topologický rovinný graf platí Eulerova formule F V E 2 E - počet hran (edge) F - počet stěn (face) V - počet vrcholů (vertex) Důkaz Odvoďte zobecnění Eulerovy formule pro nesouvislé grafy

27 Pro každý topologický rovinný graf platí F V E C 1 E - počet hran (edge) F - počet stěn (face) V - počet vrcholů (vertex) C - počet souvislých komponent

28 Reprezentace grafu matice sousednosti matice incidence seznam vrcholů a hran