0.1 Úvod do lineární algebry

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "0.1 Úvod do lineární algebry"

Transkript

1 Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde a, b a c jsou daná reálná čísla a x a y jsou neznámé veličiny 2x + 3y = 4, kde a = 2, b = 3 a c = 4 x 2y = 7, kde a = 1, b = 2 a c = 7 Definice 012 Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,, x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b, kde a 1, a 2,, a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2, x n jsou neznámé veličiny x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6 3x 1 x 2 + 2x 3 4x 4 + x 5 = 2 b = 2 a 1 = 3, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 4, a 5 = 1 a Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč Dohromady zaplatíme 2x + y Kč Celkem zaplatíme 20 Kč, platí tedy rovnice 2x + y = 20 Definice 013 Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel x, y Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice x, y = 5, 10, tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B Další možná řešení: x, y = 10, 0 x, y = 0, 20 x, y = 6, 8 x, y = 8, 4 x, y = 15, 10 x, y = 85, 3 Je zřejmé, že lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení Tato řešení lze znázornit dvěma způsoby

2 2 Matematika KMI/PMATE Grafický přístup Na řešení lineární rovnice o dvou neznámých ve tvaru x, y lze hledět jako na souřadnice bodů v soustavě souřadnic Každému konkrétnímu řešení přísluší jeden bod Pokud graficky znázorníme všechna řešení rovnice, dostaneme přímku ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b y = kx + q Algebraický přístup Rovnici ax + by = c upravíme do tvaru: ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b Volbou x snadno dopočítáme příslušnou hodnotu y Tím opět získáme dvojici x, y Příklad 01 Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření Řešení : Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = = 0 Řešením rovnice je tedy x, y = 10, 0 Volbou x = 3 dostaneme y = = 14 Řešením rovnice je tedy x, y = 3, 14 Obecně, je-li x = t, potom y = 20 2t Obecným řešením rovnice je tedy x, y = t, 20 2t, kde t R Příklad 02 Vyjádřete algebraicky řešení rovnice 4x + 2y = 24 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t Řešením je uspořádaná dvojice x, y = t, 12 2t Je však možné vyjádřit také x pomocí y Je: 4x = 24 2y, tedy x = 6 y 2 Z toho plyne, že je x, y = 6 s/2, s, kde s R 012 Soustava lineárních rovnic Přidejme k předchozí úloze podmínku, že výrobků A chceme koupit o jeden více než výrobků B Kolik jich teď máme koupit? Novou podmínku lze zapsat ve tvaru x = y + 1, resp x y = 1 Chceme, aby obě podmínky platily současně, nalezené řešení proto musí vyhovovat oběma rovnicím 2x + y = 20 x y = 1

3 Matematika KMI/PMATE 3 Dvě předchozí rovnice spolu tvoří takzvanou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Řešením takové soustavy je uspořádaná dvojice čísel x, y, které vyhovují oběma rovnicím, tj jejich dosazením do obou rovnic se tyto rovnice změní ve dvě pravdivé rovnosti Řešením je x, y = 7, 6, neboť platí 2x + y = = 20 x y = = 1 Jak takové řešení získat vypočítat? Povolené operace: násobení obou stran rovnice stejným číslem k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo k jedné rovnici přičtu nenulový násobek druhé rovnice 2x + y = 20 x y = 1 3x + 0y = 21 + Je tedy x = 7, dosazením dostaneme y = 6 Možnosti zakončení Soustava rovnic má jediné řešení x, y Soustava rovnic nemá řešení, tj neexistuje taková dvojice čísel x, y, která by byla řešením obou rovnic Soustava má nekonečně mnoho řešení 013 Matice Poznámka 014 Koeficienty rovnice Rovnice 2x+y = 20 je plně určena svými koeficienty Proto ji můžeme zapsat zkráceně ve tvaru Příklad 03 Napište rovnici, jejímž zkráceným tvarem je Jde o rovnici x + 3y = 2 Příklad 04 Podobně soustavu rovnic lze zapsat ve tvaru: O jakou soustavu rovnic jde? 3x + 2y = 6 2x y = 7

4 4 Matematika KMI/PMATE Definice 015 Číselná schémata ve tvaru obdélníkového čtvercového pole budeme nazývat matice resp Všechny operace, které jsme zmínili pro práci s rovnicemi platí i pro řádky matice Tím dostaneme tzv elementární řádkové operace Elementární řádkové operace Nahrazení řádku jeho nenulovým násobkem Nahrazení řádku R i výrazem ar i + br j Změna pořadí řádků v matici Příklad 05 Vypočtěte řešení soustavy rovnic: 2x 3y + z = 0 x + 2y z = 3 2x + y + z = 12 Maticový zápis má tvar: Definice 016 Maticí typu m, n nazýváme schéma m n reálných čísel a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a mn = 1 a m1 a m2 a mn Příklady matic A = B = Vlastnosti matic Definice 017 Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici Příklad 06 V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a 42 A =

5 Matematika KMI/PMATE 5 Řešení : a 23 = 2, a 31 = 6, prvek a 42 v dané matici neexistuje Definice 018 Jednotlivé řádky, resp sloupce v matici můžeme chápat jako tzv řádkové, resp sloupcové vektory Např v matici A = lze druhý řádek chápat jako vektor r 2 = 1, 4, 2; třetí sloupec jako vektor s 3 = Definice 019 Matici typu n n, tj matici, která má stejný počet řádků jako sloupců, nazýváme čtvercová matice Příklady čtvercových matic: A = , B = , C = Definice 0110 Matici typu n m, kde n m, tj matici, která má jiný počet řádků než sloupců, nazýváme obdélníková matice Příklady obdélníkových matic: A = , B = , C = Definice 0111 Prvky matice ve tvaru a ii nazýváme diagonální prvky Všechny diagonální prvky matice vytvářejí tzv diagonálu A = , B = , C = Červeně označené prvky v matici představují příslušné diagonální prvky Definice 0112 Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice A = , B = Definice 0113 Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice

6 6 Matematika KMI/PMATE A = , B = Definice 0114 Řekneme, že dvě matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu stejný počet řádků a sloupců a pro všechny indexy i a j platí rovnost a ij = b ij, tj a 11 = b 11, a 12 = b 12,, a mn = b mn Vektory = Definice 0115 Vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 0116 Součet dvou vektorů je definován následujícím způsobem: a 1, a 2,, a n b 1, b 2,, b n = a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n Definice 0117 Součin vektoru s reálným číslem je definován následujícím způsobem: α a 1, a 2,, a n = α a 1, α a 2,, α a n Početní operace s vektory z R n Příklad 07 Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: Řešení: w = 3 2, 6, 4, 3 2 3, 1, 2, , 6, 3, 2 w =3 2, 6, 4, 3 2 3, 1, 2, , 6, 3, 2 =6, 18, 12, 9 + 6, 2, 4, , 24, 12, 8 =40, 40, 20, 7 Definice 0118 Řekneme, že vektor U je lineární kombinací skupiny vektorů V 1, V 2, V n, jestliže existují čísla α 1, α 2,,α n taková, že U = α 1 V 1 + α 2 V α 2 V 2 Příklad 08 Zjistěte, zda vektor u = 2; 5; 0 je lineární kombinací vektorů v = 2; 1; 3 a w = 2; 1; 2 Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici 2; 5; 0 = α2; 1; 3 + β 2; 1; 2 = 2α; α; 3α + 2β; β; 2β = 2α 2β; α + β; 3α 2β 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3 Závěr: vektor u je LK vektorů v a w

7 Matematika KMI/PMATE 7 Definice 0119 Skupinu vektorů V 1, V 2, V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů u = 1, 0, 0, v = 0, 1, 0, w = 0, 0, 1 1, 0, 0 = α0, 1, 0 + β0, 0, 1 = 0, α, 0 + 0, 0, β = 0, α, β 0, 1, 0 = α1, 0, 0 + β0, 0, 1 = α, 0, 0 + 0, 0, β = α, 0, β 0, 0, 1 = α1, 0, 0 + β0, 1, 0 = α, 0, 0 + 0, β, 0 = α, β, 0 Skupina není lineárně závislá Skupina vektorů je lineárně nezávislá Definice 0120 Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici Příklad 09 A = ha = 3 Definice 0121 Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice 6 Záměna pořadí sloupcových vektorů Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici Hodnost tj počet řádků této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru

8 8 Matematika KMI/PMATE Příklad 010 Určeme hodnost matice A, kde: A = 1, 3, 2, 2, 4 2, 6, 3, 0, 1 1, 1, 3, 1, 5 2, 2, 13, 2, 1 Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus , 3, 2, 2, , 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, , 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3 Proto je ha = 3 Definice 0122 Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kde a ij, b i jsou reálná čísla a x i neznámé, se nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic Matice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn je tzv matice soustavy a matice a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m se nazývá rozšířená matice soustavy Definice 0123 Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = u 1, u 2,, u n R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností

9 Matematika KMI/PMATE 9 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = 5; 2; = 5 u = 2; 0; = 5 Věta 0124 Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1 Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení 2 Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n h neznámých volíme všemi možnými způsoby a zbývajících h neznámých jednoznačně vypočítáme Definice 0125 Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 kde x 1, x 2,, x n jsou neznámé a prvky a ij jsou příslušné koeficienty u j-té neznámé v i-tém řádku soustavy Předchozí soustava je pouze speciálním případem soustavy s nenulovou pravou stranou Má však některé speciální zajímavé vlastnosti 1 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení 2 Množina M všech řešení obecné soustavy lineárních rovnic tj soustavy rovnic s nenulovou pravou stranou je rovna součtu m + V libovolného tzv partikulárního řešení m obecné soustavy s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic Příklad 011 Vypočtěte řešení soustavy lineárních rovnic: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 7 Soustavu zapíšeme v maticovém tvaru: 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 4 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = Při úpravě matice používáme následující úpravy k tomu, abychom ji převedli do tvaru horní lichoběžníkové matice: změna pořadí řádků matice vynásobení řádku matice nenulovým číslem přičtení nenulového násobku i-tého řádku k j-tému řádku

10 10 Matematika KMI/PMATE vynechání řádku, který je lineární kombinací zbývajících řádků zejména pokud obsahuje pouze nuly Tím soustavu rovnic převedeme na jinou, ekvivalentní, soustavu, která má ovšem stejné řešení jako původně zadaná soustava rovnic Podle Frobeniovy věty může mít soustava lineárních rovnic celkem tři různé počty řešení: Soustava nemá řešení Toto nastane tehdy, jestliže se hodnost základní a rozšířené matice nerovnají Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 1 Soustava má právě jedno řešení Hodnost základní a rozšířené matice rovnají a tato hodnota je rovna počtu neznámých Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar resp 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 = 3, x 4 = 3 Nyní uvažujme třetí řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, tedy rovnici 2x 3 + x 4 = 1 Již víme, že hodnota neznámé x 4 je rovna číslu 3 Rovnici upravíme do tvaru Je tedy 2x = 1, resp 2x 3 3 = 1 2x 3 = 2, resp x 3 = 1 Nyní již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3 Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 0x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 1x 4 = 3, je tedy x 2 2x 3 x 4 = 3 Již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3 Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x = 3, resp x = 3 Je tedy x 2 = 2 Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3

11 Matematika KMI/PMATE 11 Nakonec uvažujme první řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 Víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3 Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x = 2, resp x = 2 Je tedy x 1 = 1 Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3 Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: x 1, x 2, x 3, x 4 = 1, 2, 1, 3 Soustava má nekonečně mnoho řešení Hodnost základní a rozšířené matice se rovnají a tato hodnota je menší než počet neznámých Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar Poslední rovnice 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0, resp 0 = 0 nepřináší žádnou informaci, proto ji vůbec nebereme v úvahu Třetí řádek v závěrečné matici představuje rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, tedy jednu rovnici s dvěma neznámými: 2x 3 + x 4 = 1 Již víme, jak tyto rovnice řešit Neznámou x 3 položíme rovnu parametru t a neznámou x 4 vyjádříme pomocí tohoto parametru Je x 3 = t, kde t R a platí 2t + x 4 = 1, tedy x 4 = 1 2t Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek představuje rovnici 0x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 1x 4 = 3, je tedy x 2 2x 3 x 4 = 1 Již víme, že x 3 = t a x 4 = 1 2t Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 2 2t 1 2t = 3, resp x = 3 Je tedy x 2 = 2 Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R První řádek v závěrečné matici představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 Víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x t t = 2, resp x t = 2

12 12 Matematika KMI/PMATE Je tedy x 1 = t Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = t, x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: x 1, x 2, x 3, x 4 = t, 2, t, 1 2t t R Řešení soustavy lze zapsat i v jiném tvaru Je: x 1, x 2, x 3, x 4 = t, 2, t, 1 2t t R = 0, 2, 0, 1 + t, 0, t, 2t = 0, 2, 0, 1 + t1, 0, 1, 2, kde vektor 0, 2, 0, 1 představuje partikulární řešení nehomogenní soustavy rovnic a množina t1, 0, 1, 2 je obecným řešením příslušné homogenní soustavy rovnic Operace s maticemi Definice 0126 Označení V následujícím textu bude symbol Mm, n značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci Symbol M2, 2 tedy např značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci Příklad M2, 3 Příklad M3, 2 Definice 0127 Nechť a ij a b ij jsou libovolné matice z množiny Mm, n Potom sčítání matic a ij a b ij je definováno vzorcem: a ij + b ij = a ij + b ij, je tedy a 11 a 1n a 21 a 2n + b 11 b 1n b 21 b 2n = a 11 + b 11 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2n + b 2n a m1 a mn b m1 b mn a m1 + b m1 a mn + b mn Příklad = Definice 0128 Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto αa ij = αa ij Příklad 015 Příklad = Lze snadno ověřit, že množina Mm, n spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor o dimenzi m n

13 Matematika KMI/PMATE 13 Definice 0129 Nechť u a v jsou dva vektory z aritmetického vektorového prostoru R n, tedy u = u 1,, u n, v = v 1,, v n Skalární součin u v vektorů u a v je roven Příklad 016 u v = u 1,, u n v 1,, v n = u 1 v u n v n 1, 5, 4, 3 2, 6, 3, 1 = = 41 Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým Příklad = = 44 Příklad 018 1, 5, = = 44 Definice 0130 Nechť a ij Mp, q a b ij Mq, r Potom součinem matic a ij a b ij rozumíme matici c ij Mp, r, pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a iq b qj, tedy platí, že prvek c ij je skalárním součinem i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice Příklad = = Příklad = Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit Vlastnosti součinu matic II Násobíme-li dvě matice, potom výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice a stejný počet sloupců jako druhá matice Příklad = =

14 14 Matematika KMI/PMATE Vlastnosti součinu matic III Násobení matic není obecně komutativní Nestačí říci, které matice násobíme - musí se také určit, v jakém pořadí se mají vynásobit Příklad a1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 c 1 c 2 c 3 c = a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 c 1 c 2 c 3 c 4 a1 a = 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Výše uvedený příklad ukazuje, že jednotková matice má charakter jednotkového prvku vzhledem k násobení matic, tedy AJ = A, resp JA = A, kde J značí jednotkovou matici Právě uvedenou vlastnost JA = AJ = A často využíváme při řešení maticových rovnic Mějme matici a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a ij = a m1 a m2 a mn Řekneme, že matice b ij je transponovaná matice k matici a ij značíme b ij = a ij T, jestliže platí a 11 a 21 a m1 a ij T = b ij = a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Příklad 023 Vypočtěte transponovanou matici k matici A, kde A = Řešení: Je Inverzní matice A T = T = Jsou dány matice A, B, X, kde A = , B = 5 5, X = x y z Rozepište maticovou rovnici AX = B Řešení: Nejprve nalezneme matici AX Je zřejmé, že výsledná matice bude mít tři řádky a jeden sloupec AX = x y z = x + 2y + 5z 3x + 5y + 8z 2x + 4y + 9z

15 Matematika KMI/PMATE 15 Nyní porovnáme matici AX s maticí B Je x + 2y + 5z AX = B 3x + 5y + 8z = 5 5 2x + 4y + 9z 8 x + 2y + 5z = 5 3x + 5y + 8z = 5 2x + 4y + 9z = 8 Soustavu rovnic lze přepsat ve tvaru AX = B, kde A je matice soustavy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn X = x 1, x 2,, x n T je vektor matice neznámých a B = b 1, b 2,, b m T je vektor matice hodnot pravých stran soustavy Definice 0131 Mějme čtvercovou matici A Matici A 1, pro kterou platí rovnost A A 1 = A 1 A = J, kde J je jednotková matice, nazýváme inverzní maticí k matici A Inverzní matice nám v jistých případech pomůže vypočítat řešení soustavy rovnic Je AX = B A 1 AX = A 1 B JX = A 1 B X = A 1 B soustava rovnic řešení soustavy rovnic Výpočet inverzní matice pomocí eliminační metody Uvedeme způsob výpočtu inverzní matice pomocí eliminační metody Za zadanou matici A doplníme příslušnou jednotkovou matici Pomocí úprav neměnících hodnost matice pak přepočítáváme matici tak, aby v první části matice vznikla jednotková matice V druhé části matice se pak nachází inverzní matice A Příklad 024 Vypočtěte inverzní matici k matici A, kde A = A 1 =

16 16 Matematika KMI/PMATE Příklad 025 Vypočtěte řešení soustavy Při řešení použijeme výsledek předchozí úlohy: A = X = A 1 B = X = x y z = resp X = x, y, z T = 1, 3, 4 T = , B = = 3 4

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ). Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57

3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic nad obecným

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více