Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic"

Transkript

1 Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

2 Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde a, b a c jsou daná reálná čísla a x a y jsou neznámé veličiny. Příklady 2x + 3y = 4,... kde a = 2, b = 3 a c = 4.

3 Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde a, b a c jsou daná reálná čísla a x a y jsou neznámé veličiny. Příklady 2x + 3y = 4,... kde a = 2, b = 3 a c = 4. x 2y = 7,... kde a = 1, b = 2 a c = 7.

4 Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde a, b a c jsou daná reálná čísla a x a y jsou neznámé veličiny. Příklady 2x + 3y = 4,... kde a = 2, b = 3 a c = 4. x 2y = 7,... kde a = 1, b = 2 a c = 7.

5 Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6)

6 Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6) 3x 1 x 2 + 2x 3 4x 4 + x 5 = 2

7 Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6) 3x 1 x 2 + 2x 3 4x 4 + x 5 = 2 (a 1 = 3, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 4, a 5 = 1 a b = 2)

8 Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých Lineární rovnice o n neznámých x 1, x 2, x 3,..., x n je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n a b jsou daná reálná čísla a x 1, x 2,... x n jsou neznámé veličiny. Příklad x 1 + 3x 2 7x 3 + 8x 4 = 6 (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 7, a 4 = 8 a b = 6) 3x 1 x 2 + 2x 3 4x 4 + x 5 = 2 (a 1 = 3, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 4, a 5 = 1 a b = 2)

9 Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B.

10 Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč.

11 Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč. Dohromady tedy zaplatíme 2x + y Kč.

12 Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč. Dohromady tedy zaplatíme 2x + y Kč. Celkem zaplatíme 20 Kč, platí tedy rovnice 2x + y = 20.

13 Lineární rovnice o 2 neznámých Odkud se soustavy berou? - Klasická úloha Máte k dispozici 20 Kč. Můžete koupit výrobek A za 2 Kč, nebo výrobek B za 1 Kč. Kolik výrobků A a B můžete koupit, jestliže utratíte všech 20 Kč? Označme písmenem x množství zakoupených výrobků A, písmenem y množství zakoupených výrobků B. Za nákup x kusů výrobku A zaplatíme 2x Kč, za nákup y kusů výrobku B zaplatíme y Kč. Dohromady tedy zaplatíme 2x + y Kč. Celkem zaplatíme 20 Kč, platí tedy rovnice 2x + y = 20.

14 Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B.

15 Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B. Další možná řešení: (x, y) = (10, 0) (x, y) = (0, 20) (x, y) = (6, 8)

16 Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B. Další možná řešení: (x, y) = (10, 0) (x, y) = (0, 20) (x, y) = (6, 8) (x, y) = (8, 4) (x, y) = (15, 10) (x, y) = (8.5, 3)

17 Řešení rovnice Řešení rovnice Řešením lineární rovnice o dvou neznámých je dvojice čísel: hodnota neznámé x, hodnota neznámé y. Tato řešení často uvádíme ve formě uspořádané dvojice čísel (x, y). Řešením rovnice 2x + y = 20 je například uspořádaná dvojice (x, y) = (5, 10), tedy koupě 5 kusů výrobku A a 10 kusů výrobku B. Další možná řešení: (x, y) = (10, 0) (x, y) = (0, 20) (x, y) = (6, 8) (x, y) = (8, 4) (x, y) = (15, 10) (x, y) = (8.5, 3)

18 Grafický přístup Je zřejmé, že lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení. Tato řešení lze znázornit dvěma způsoby. Grafický přístup Na řešení lineární rovnice o dvou neznámých ve tvaru (x, y) lze hledět jako na souřadnice bodů v soustavě souřadnic. Každému konkrétnímu řešení přísluší jeden bod. Pokud graficky znázorníme všechna řešení rovnice, dostaneme přímku. ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b y = kx + q

19 Grafický přístup Je zřejmé, že lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení. Tato řešení lze znázornit dvěma způsoby. Grafický přístup Na řešení lineární rovnice o dvou neznámých ve tvaru (x, y) lze hledět jako na souřadnice bodů v soustavě souřadnic. Každému konkrétnímu řešení přísluší jeden bod. Pokud graficky znázorníme všechna řešení rovnice, dostaneme přímku. ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b y = kx + q

20 Algebraický přístup Algebraický přístup Rovnici ax + by = c upravíme do tvaru: ax + by = c by = ax + c ax b y = a b x + c b Volbou x snadno dopočítáme příslušnou hodnotu y. Tím opět získáme dvojici (x, y).

21 Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x

22 Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0).

23 Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0). Volbou x = 3 dostaneme y = = 14. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (3, 14).

24 Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0). Volbou x = 3 dostaneme y = = 14. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (3, 14). Obecně, je-li x = t, potom y = 20 2t. Obecným řešením rovnice je tedy (x, y) = (t, 20 2t), kde t R.

25 Algebraický přístup Úloha Vyjádřeme řešení rovnice 2x + y = 20 pomocí algebraického vyjádření. Je y = 20 2x Pro x = 10 je y = = 0. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (10, 0). Volbou x = 3 dostaneme y = = 14. Řešením rovnice je tedy (x, y) = (3, 14). Obecně, je-li x = t, potom y = 20 2t. Obecným řešením rovnice je tedy (x, y) = (t, 20 2t), kde t R.

26 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x

27 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x

28 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t.

29 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t).

30 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je:

31 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je: 4x = 24 2y, tedy x = 6 y/2.

32 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je: 4x = 24 2y, tedy x = 6 y/2. Z toho plyne, že je (x, y) = (6 s/2, s), kde s R.

33 Algebraický přístup Úloha Vyjádřete (algebraicky) řešení rovnice 4x + 2y = 24. 2y = 24 4x y = 12 2x Pro x = t je y = 12 2t. Řešením je uspořádaná dvojice (x, y) = (t, 12 2t). Je však možné vyjádřit také x pomocí y. Je: 4x = 24 2y, tedy x = 6 y/2. Z toho plyne, že je (x, y) = (6 s/2, s), kde s R.

34 Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Přidejme k předchozí úloze podmínku, že výrobků A chceme koupit o jeden více než výrobků B. Kolik jich ted máme koupit? Novou podmínku lze zapsat ve tvaru x = y + 1, resp. x y = 1.

35 Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Přidejme k předchozí úloze podmínku, že výrobků A chceme koupit o jeden více než výrobků B. Kolik jich ted máme koupit? Novou podmínku lze zapsat ve tvaru x = y + 1, resp. x y = 1. Chceme, aby obě podmínky platily současně, nalezené řešení proto musí vyhovovat oběma rovnicím. 2x + y = 20 x y = 1

36 Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Přidejme k předchozí úloze podmínku, že výrobků A chceme koupit o jeden více než výrobků B. Kolik jich ted máme koupit? Novou podmínku lze zapsat ve tvaru x = y + 1, resp. x y = 1. Chceme, aby obě podmínky platily současně, nalezené řešení proto musí vyhovovat oběma rovnicím. 2x + y = 20 x y = 1

37 Soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Dvě předchozí rovnice spolu tvoří takzvanou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Řešením takové soustavy je uspořádaná dvojice čísel (x, y), které vyhovují oběma rovnicím, tj. jejich dosazením do obou rovnic se tyto rovnice změní ve dvě (pravdivé) rovnosti. Řešením je (x, y) = (7, 6), nebot platí 2x + y = = 20 x y = = 1 Jak takové řešení získat (vypočítat)?

38 Metody výpočtu řešení Metody výpočtu řešení Povolené operace: násobení obou stran rovnice stejným číslem k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo k jedné rovnici přičtu (nenulový) násobek druhé rovnice 2x + y = 20 x y = 1 3x + 0y = 21 + Je tedy x = 7, dosazením dostaneme y = 6.

39 Zakončení výpočtu Možnosti zakončení Soustava rovnic má jediné řešení (x, y). Soustava rovnic nemá řešení, tj. neexistuje taková dvojice čísel (x, y), která by byla řešením obou rovnic. Soustava má nekonečně mnoho řešení.

40 Matice Koeficienty rovnice Rovnice 2x + y = 20 je plně určena svými koeficienty. Proto ji můžeme zapsat zkráceně ve tvaru ( ) Příklad Napište rovnici, jejímž zkráceným tvarem je ( )

41 Matice Koeficienty rovnice Rovnice 2x + y = 20 je plně určena svými koeficienty. Proto ji můžeme zapsat zkráceně ve tvaru ( ) Příklad Napište rovnici, jejímž zkráceným tvarem je ( ) Jde o rovnici x + 3y = 2.

42 Matice Koeficienty rovnice Rovnice 2x + y = 20 je plně určena svými koeficienty. Proto ji můžeme zapsat zkráceně ve tvaru ( ) Příklad Napište rovnici, jejímž zkráceným tvarem je ( ) Jde o rovnici x + 3y = 2.

43 Matice Matice Podobně soustavu rovnic lze zapsat ve tvaru: ( ) O jakou soustavu rovnic jde? 3x + 2y = 6 2x y = 7

44 Matice Matice Podobně soustavu rovnic lze zapsat ve tvaru: ( ) O jakou soustavu rovnic jde? 3x + 2y = 6 2x y = 7

45 Matice Matice Číselná schémata ve tvaru obdélníkového (čtvercového) pole budeme nazývat matice. ( ) ( ) resp Všechny operace, které jsme zmínili pro práci s rovnicemi platí i pro řádky matice. Tím dostaneme tzv. elementární řádkové operace.

46 Matice Matice Číselná schémata ve tvaru obdélníkového (čtvercového) pole budeme nazývat matice. ( ) ( ) resp Všechny operace, které jsme zmínili pro práci s rovnicemi platí i pro řádky matice. Tím dostaneme tzv. elementární řádkové operace.

47 Elementární řádkové operace Nahrazení řádku jeho nenulovým násobkem. ( ) ( ) ( 3) Nahrazení řádku R i výrazem ar i + br j ( ) ( ) ( 3)

48 Elementární řádkové operace Nahrazení řádku jeho nenulovým násobkem. ( ) ( ) ( 3) Nahrazení řádku R i výrazem ar i + br j ( ) ( ) ( 3) Změna pořadí řádků v matici. ( ) ( )

49 Elementární řádkové operace Nahrazení řádku jeho nenulovým násobkem. ( ) ( ) ( 3) Nahrazení řádku R i výrazem ar i + br j ( ) ( ) ( 3) Změna pořadí řádků v matici. ( ) ( )

50 Matice Příklad Vypočtěte řešení soustavy rovnic: 2x 3y + z = 0 x + 2y z = 3 2x + y + z = 12 Maticový zápis má tvar:

51 Matice Příklad Vypočtěte řešení soustavy rovnic: 2x 3y + z = 0 x + 2y z = 3 2x + y + z = 12 Maticový zápis má tvar:

52 Matice Definice matice Maticí typu (m, n) nazýváme schéma m n reálných čísel a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = (a mn ) = a m1 a m2... a mn (1) Příklady matic A = ( ) B =

53 Matice Definice matice Maticí typu (m, n) nazýváme schéma m n reálných čísel a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = (a mn ) = a m1 a m2... a mn (1) Příklady matic A = ( ) B =

54 Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a A =

55 Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a A = Řešení:

56 Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a A = Řešení: a 23 = 2,

57 Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a A = Řešení: a 23 = 2, a 31 = 6,

58 Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a A = Řešení: a 23 = 2, a 31 = 6, prvek a 42 v dané matici neexistuje

59 Vlastnosti matic Prvky matice Jednotlivá čísla v matici nazýváme prvky matice. Každý prvek matice má své souřadnice, které pomáhají jednoznačně určit polohu prvku v matici. Příklad V dané matici nalezněte prvky a 23, a 31, a A = Řešení: a 23 = 2, a 31 = 6, prvek a 42 v dané matici neexistuje

60 Vlastnosti matic Řádkové a sloupcové vektory Jednotlivé řádky, resp. sloupce v matici můžeme chápat jako tzv. řádkové, resp. sloupcové vektory. Např. v matici A = lze druhý řádek chápat jako vektor r 2 = (1, 4, 2); třetí sloupec jako vektor 3 s 3 = 2. 8

61 Vlastnosti matic Čtvercová matice Matici typu n n, tj. matici, která má stejný počet řádků jako sloupců, nazýváme čtvercová matice. Příklady čtvercových matic: A = ( ), B = , C =

62 Vlastnosti matic Čtvercová matice Matici typu n n, tj. matici, která má stejný počet řádků jako sloupců, nazýváme čtvercová matice. Příklady čtvercových matic: A = ( ), B = , C =

63 Vlastnosti matic Obdélníková matice Matici typu n m, kde n m, tj. matici, která má jiný počet řádků než sloupců, nazýváme obdélníková matice. Příklady obdélníkových matic: A = , B = ( ), C =

64 Vlastnosti matic Obdélníková matice Matici typu n m, kde n m, tj. matici, která má jiný počet řádků než sloupců, nazýváme obdélníková matice. Příklady obdélníkových matic: A = , B = ( ), C =

65 Vlastnosti matic Diagonální prvky a diagonála Prvky matice ve tvaru a ii nazýváme diagonální prvky. Všechny diagonální prvky matice vytvářejí tzv. diagonálu. A = , B = ( ), C = Červeně označené prvky v matici představují příslušné diagonální prvky.

66 Vlastnosti matic Horní trojúhelníková (lichoběžníková) matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice. Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice.

67 Vlastnosti matic Horní trojúhelníková (lichoběžníková) matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice. Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice. A = , B =

68 Vlastnosti matic Horní trojúhelníková (lichoběžníková) matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní trojúhelníková matice. Obdélníkovou matici, ve které jsou všechny prvky pod diagonálou rovny nule, nazýváme horní lichoběžníková matice. A = , B =

69 Vlastnosti matic Jednotková a nulová matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice. Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice.

70 Vlastnosti matic Jednotková a nulová matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice. Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice. A = , B =

71 Vlastnosti matic Jednotková a nulová matice Čtvercovou matici, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné, a všechny zbývající prvky jsou rovny nule, nazýváme jednotková matice. Matici, ve které jsou všechny prvky rovny nule, nazýváme nulová matice. A = , B =

72 Vlastnosti matic Rovnost matic Řekneme, že dvě matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu (stejný počet řádků a sloupců) a pro všechny indexy i a j platí rovnost a ij = b ij, tj. a 11 = b 11, a 12 = b 12,..., a mn = b mn =

73 Vlastnosti matic Rovnost matic Řekneme, že dvě matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu (stejný počet řádků a sloupců) a pro všechny indexy i a j platí rovnost a ij = b ij, tj. a 11 = b 11, a 12 = b 12,..., a mn = b mn =

74 Vektory Pojem vektoru Vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ). Definice sčítání vektorů (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n )

75 Vektory Pojem vektoru Vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ). Definice sčítání vektorů (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) Definice násobení vektoru reálným číslem α α (a 1, a 2,..., a n ) = (α a 1, α a 2,..., α a n )

76 Vektory Pojem vektoru Vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ). Definice sčítání vektorů (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) Definice násobení vektoru reálným číslem α α (a 1, a 2,..., a n ) = (α a 1, α a 2,..., α a n )

77 Početní operace s vektory z R n Zadání Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: w = 3 (2, 6, 4, 3) 2 ( 3, 1, 2, 4) + 4 (7, 6, 3, 2). Řešení w =3 (2, 6, 4, 3) 2 ( 3, 1, 2, 4) + 4 (7, 6, 3, 2) =(6, 18, 12, 9) + (6, 2, 4, 8) + (28, 24, 12, 8) =(40, 40, 20, 7)

78 Početní operace s vektory z R n Zadání Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: w = 3 (2, 6, 4, 3) 2 ( 3, 1, 2, 4) + 4 (7, 6, 3, 2). Řešení w =3 (2, 6, 4, 3) 2 ( 3, 1, 2, 4) + 4 (7, 6, 3, 2) =(6, 18, 12, 9) + (6, 2, 4, 8) + (28, 24, 12, 8) =(40, 40, 20, 7)

79 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace vektorů Řekneme, že vektor U je lineární kombinací skupiny vektorů V 1, V 2,... V n, jestliže existují čísla α 1, α 2,...,α n taková, že Lineární kombinace U = α 1 V 1 + α 2 V α 2 V 2. Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β)

80 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace vektorů Řekneme, že vektor U je lineární kombinací skupiny vektorů V 1, V 2,... V n, jestliže existují čísla α 1, α 2,...,α n taková, že Lineární kombinace U = α 1 V 1 + α 2 V α 2 V 2. Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β)

81 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β

82 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β

83 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β

84 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3

85 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3 Závěr: vektor u je LK vektorů v a w

86 Lineární nezávislost vektorů Lineární kombinace - pokračování Zjistěte, zda vektor u = ( 2; 5; 0) je lineární kombinací vektorů v = (2; 1; 3) a w = ( 2; 1; 2). Řešení: Je-li u LK v a w, potom existují koeficienty α a β, které vyhovují rovnici ( 2; 5; 0) = α(2; 1; 3) + β( 2; 1; 2) = (2α; α; 3α) + ( 2β; β; 2β) = (2α 2β; α + β; 3α 2β) 2 = 2α 2β 5 = α + β 0 = 3α 2β α = 2 β = 3 Závěr: vektor u je LK vektorů v a w

87 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1)

88 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β)

89 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β)

90 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1)

91 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β)

92 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β)

93 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0)

94 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0)

95 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0)

96 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0) Skupina není lineárně závislá.

97 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0) Skupina není lineárně závislá. Skupina vektorů je lineárně nezávislá.

98 Vektory Lineární nezávislost skupiny vektorů Skupinu vektorů V 1, V 2,... V n, ve které žádný vektor není lineární kombinací zbývajících vektorů, nazýváme lineárně nezávislá skupina vektorů. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) (1, 0, 0) = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (0, α, 0) + (0, 0, β) = (0, α, β) (0, 1, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 0, 1) = (α, 0, 0) + (0, 0, β) = (α, 0, β) (0, 0, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, 0, 0) + (0, β, 0) = (α, β, 0) Skupina není lineárně závislá. Skupina vektorů je lineárně nezávislá.

99 Matice Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici. Příklad A = h(a) = 3

100 Matice Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici. Příklad A = h(a) = 3 Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost. Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy.

101 Matice Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádkových vektorů v matici. Příklad A = h(a) = 3 Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost. Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy.

102 Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem.

103 Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů.

104 Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme.

105 Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme. 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice.

106 Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme. 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice. 6 Záměna pořadí sloupcových vektorů.

107 Vlastnosti matic Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: 1 Změna pořadí řádkových vektorů. 2 Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. 3 K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů. 4 Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme. 5 Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice. 6 Záměna pořadí sloupcových vektorů.

108 Vlastnosti matic Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici. Hodnost (tj. počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice

109 Vlastnosti matic Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici. Hodnost (tj. počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru.

110 Vlastnosti matic Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice Matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici. Hodnost (tj. počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru.

111 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací Určeme hodnost matice A, kde: A = 1, 3, 2, 2, 4 2, 6, 3, 0, 1 1, 1, 3, 1, 5 2, 2, 13, 2, 1

112 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus

113 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus

114 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací

115 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací

116 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací , 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 2 +

117 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací , 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 2 +

118 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9.

119 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9. Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3. Proto je h(a) = 3.

120 Příklad Úprava matice Gaussovou eliminací 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9 0, 0, 7, 4, 9 1, 3, 2, 2, 4 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 7, 4, 9. Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3. Proto je h(a) = 3.

121 Soustava lineárních rovnic Soustava rovnic Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kde a ij, b i jsou reálná čísla a x i neznámé, se nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic.

122 Matice soustavy rovnic Matice a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn je tzv. matice soustavy a matice a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m se nazývá rozšířená matice soustavy.

123 Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3)

124 Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) = 5

125 Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) = 5 u = (2; 0; 1)

126 Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) = 5 u = (2; 0; 1) = 5

127 Vlastnosti soustav rovnic Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, jehož složky u i, dosazeny za neznámé x i, přemění soustavu m rovnic v soustavu m rovností. 2x 1 4x 2 + x 3 = 5 u = (5; 2; 3) = 5 u = (2; 0; 1) = 5

128 Vlastnosti soustav rovnic Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost. Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1 Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení. 2 Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení. Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n h neznámých voĺıme (všemi možnými způsoby) a zbývajících h neznámých (jednoznačně) vypočítáme.

129 Soustavy homogenních lineárních rovnic Homogenní soustava lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic. Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 kde x 1, x 2,..., x n jsou neznámé a prvky a ij jsou příslušné koeficienty u j-té neznámé v i-tém řádku soustavy.

130 Soustavy homogenních lineárních rovnic Předchozí soustava je pouze speciálním případem soustavy s nenulovou pravou stranou. Má však některé speciální zajímavé vlastnosti. 1 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení. 2 Množina M všech řešení obecné soustavy lineárních rovnic (tj. soustavy rovnic s nenulovou pravou stranou) je rovna součtu m + V libovolného (tzv. partikulárního) řešení m obecné soustavy s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic.

131 Soustava lineárních rovnic Vypočtěte řešení soustavy lineárních rovnic: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 7 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 4 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 5 Soustavu zapíšeme v maticovém tvaru:

132 Gaussova eliminační metoda Při úpravě matice používáme následující úpravy k tomu, abychom ji převedli do tvaru horní lichoběžníkové matice: změna pořadí řádků matice vynásobení řádku matice nenulovým číslem přičtení nenulového násobku i-tého řádku k j-tému řádku vynechání řádku, který je lineární kombinací zbývajících řádků (zejména pokud obsahuje pouze nuly) Tím soustavu rovnic převedeme na jinou, ekvivalentní, soustavu, která má ovšem stejné řešení jako původně zadaná soustava rovnic.

133 Počet řešení soustavy rovnic Podle Frobeniovy věty může mít soustava lineárních rovnic celkem tři různé počty řešení: Soustava nemá řešení Toto nastane tehdy, jestliže se hodnost základní a rozšířené matice nerovnají Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 1.

134 Počet řešení soustavy rovnic Soustava lineárních rovnic může mít celkem tři různé počty řešení: Soustava má právě jedno řešení Hodnost základní a rozšířené matice rovnají a tato hodnota je rovna počtu neznámých Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 = 3, resp. x 4 = 3.

135 Soustava s jediným řešením Nyní uvažujme třetí řádek v závěrečné matici: řádek ( ) představuje rovnici tedy rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, 2x 3 + x 4 = 1. Již víme, že hodnota neznámé x 4 je rovna číslu 3. Rovnici upravíme do tvaru Je tedy 2x 3 + ( 3) = 1, resp. 2x 3 3 = 1. 2x 3 = 2, resp. x 3 = 1. Nyní již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3.

136 Soustava s jediným řešením Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek ( ) představuje rovnici je tedy 0x 1 + 1x 2 + ( 2)x 3 + ( 1)x 4 = 3, x 2 2x 3 x 4 = 3. Již víme, že x 3 = 1 a x 4 = 3. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 2 2 (1) ( 3) = 3, resp. x = 3. Je tedy x 2 = 2. Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3.

137 Soustava s jediným řešením Nakonec uvažujme první řádek v závěrečné matici: řádek ( ) představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2. Víme, že x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x ( 3) = 2, resp. x = 2. Je tedy x 1 = 1. Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 a x 4 = 3. Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1, 2, 1, 3).

138 Počet řešení soustavy rovnic Soustava má nekonečně mnoho řešení Hodnost základní a rozšířené matice se rovnají a tato hodnota je menší než počet neznámých Uvědomte si, že poslední rovnice v soustavě má tvar 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0.

139 Soustava s nekonečně mnoha řešeními Poslední rovnice 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0, resp. 0 = 0 nepřináší žádnou informaci, proto ji vůbec nebereme v úvahu.

140 Soustava s nekonečně mnoha řešeními Třetí řádek ( ) v závěrečné matici představuje rovnici 0x 1 + 0x 2 + 2x 3 + x 4 = 1, tedy jednu rovnici s dvěma neznámými: 2x 3 + x 4 = 1. Již víme, jak tyto rovnice řešit. Neznámou x 3 položíme rovnu parametru t a neznámou x 4 vyjádříme pomocí tohoto parametru. Je x 3 = t, kde t R a platí 2t + x 4 = 1, tedy x 4 = 1 2t.

141 Soustava s nekonečně mnoha řešeními Nyní uvažujme druhý řádek v závěrečné matici: řádek ( ) představuje rovnici je tedy 0x 1 + 1x 2 + ( 2)x 3 + ( 1)x 4 = 3, x 2 2x 3 x 4 = 1. Již víme, že x 3 = t a x 4 = 1 2t. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x 2 2t ( 1 2t) = 3, resp. x = 3. Je tedy x 2 = 2. Nyní již víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R.

142 Soustava s nekonečně mnoha řešeními První řádek ( ) v závěrečné matici představuje rovnici 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2. Víme, že x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t. Tyto hodnoty dosadíme do předchozí rovnice a dostaneme x t + 2( 1 2t) = 2, resp. x t = 2. Je tedy x 1 = t. Tím jsme získali hodnoty všech neznámých: x 1 = t, x 2 = 2, x 3 = t a x 4 = 1 2t, kde t R. Toto řešení zapíšeme ve vektorovém tvaru: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (t, 2, t, 1 2t) t R.

143 Soustava s nekonečně mnoha řešeními Řešení soustavy lze zapsat i v jiném tvaru. Je: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (t, 2, t, 1 2t) t R = (0, 2, 0, 1) + (t, 0, t, 2t) = (0, 2, 0, 1) + t(1, 0, 1, 2), kde vektor (0, 2, 0, 1) představuje partikulární řešení nehomogenní soustavy rovnic a množina t(1, 0, 1, 2) je obecným řešením příslušné homogenní soustavy rovnic.

144 Operace s maticemi Označení V následujícím textu bude symbol M(m, n) značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci. Symbol M(2, 2) tedy např. značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci. Příklad ( ) M(2, 3)

145 Operace s maticemi Označení V následujícím textu bude symbol M(m, n) značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci. Symbol M(2, 2) tedy např. značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci. Příklad Příklad ( ) M(2, 3) M(3, 2)

146 Operace s maticemi Označení V následujícím textu bude symbol M(m, n) značit množinu všech matic o rozměrech m n, tedy matici s m řádky a n sloupci. Symbol M(2, 2) tedy např. značí množinu všech čtvercových matic s dvěma řádky a dvěma sloupci. Příklad Příklad ( ) M(2, 3) M(3, 2)

147 Operace s maticemi Sčítání matic Necht (a ij ) a (b ij ) jsou libovolné matice z množiny M(m, n). Potom sčítání matic (a ij ) a (b ij ) je definováno vzorcem: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ), je tedy a 11...a 1n a 21...a 2n b 11...b 1n b 21...b 2n..... = a 11 + b a 1n + b 1n a 21 + b a 2n + b 2n..... a m1...a mn b m1...b mn a m1 + b m1...a mn + b mn Příklad ( ) ( ) = ( ).

148 Operace s maticemi Sčítání matic Necht (a ij ) a (b ij ) jsou libovolné matice z množiny M(m, n). Potom sčítání matic (a ij ) a (b ij ) je definováno vzorcem: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ), je tedy a 11...a 1n a 21...a 2n b 11...b 1n b 21...b 2n..... = a 11 + b a 1n + b 1n a 21 + b a 2n + b 2n..... a m1...a mn b m1...b mn a m1 + b m1...a mn + b mn Příklad ( ) ( ) = ( ).

149 Operace s maticemi Násobení matic reálným číslem Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto α(a ij ) = (αa ij ). Příklad ( ) = ( ).

150 Operace s maticemi Násobení matic reálným číslem Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto α(a ij ) = (αa ij ). Příklad ( ) = ( ). Lze snadno ověřit, že množina M(m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor o dimenzi m n.

151 Operace s maticemi Násobení matic reálným číslem Násobení matice libovolným číslem α R je definováno takto α(a ij ) = (αa ij ). Příklad ( ) = ( ). Lze snadno ověřit, že množina M(m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor o dimenzi m n.

152 Operace s maticemi Skalární součin vektorů Necht u a v jsou dva vektory z aritmetického vektorového prostoru R n, tedy u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ). Skalární součin u v vektorů u a v je roven u v = (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v u n v n. Příklad (1, 5, 4, 3) (2, 6, 3, 1) = ( 3) 1 = 41

153 Operace s maticemi Skalární součin vektorů Necht u a v jsou dva vektory z aritmetického vektorového prostoru R n, tedy u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ). Skalární součin u v vektorů u a v je roven u v = (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v u n v n. Příklad (1, 5, 4, 3) (2, 6, 3, 1) = ( 3) 1 = 41

154 Operace s maticemi Skalární součin vektorů Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým. Příklad = = = 44

155 Operace s maticemi Skalární součin vektorů Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým. Příklad = = = 44 Příklad (1, 5, 4) = = = 44

156 Operace s maticemi Skalární součin vektorů Skalárně můžeme násobit i sloupcové vektory, nebo řádkový vektor se sloupcovým. Příklad = = = 44 Příklad (1, 5, 4) = = = 44

157 Operace s maticemi Násobení matic Necht (a ij ) M(p, q) a (b ij ) M(q, r). Potom součinem matic (a ij ) a (b ij ) rozumíme matici (c ij ) M(p, r), pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a iq b qj, tedy platí, že prvek c ij je skalárním součinem i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice. Příklad ( ) ( ) = = ( ( 1) ( 1) 5 ( ) )

158 Operace s maticemi Násobení matic Necht (a ij ) M(p, q) a (b ij ) M(q, r). Potom součinem matic (a ij ) a (b ij ) rozumíme matici (c ij ) M(p, r), pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a iq b qj, tedy platí, že prvek c ij je skalárním součinem i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice. Příklad ( ) ( ) = = ( ( 1) ( 1) 5 ( ) )

159 Operace s maticemi Příklad ( ) = ( ). Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj. jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků. Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit.

160 Operace s maticemi Příklad ( ) = ( ). Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj. jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků. Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit. Vlastnosti součinu matic II Násobíme-li dvě matice, potom výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice a stejný počet sloupců jako druhá matice.

161 Operace s maticemi Příklad ( ) = ( ). Vlastnosti součinu matic I Dvě matice lze vynásobit, jestliže lze provést příslušné skalární součiny, tj. jestliže první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků. Pokud se tyto počty nerovnají, matice nelze násobit. Vlastnosti součinu matic II Násobíme-li dvě matice, potom výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice a stejný počet sloupců jako druhá matice.

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více