Báze a dimenze vektorových prostorů

Transkript

1 Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň jeden je různý od nuly 0, takové, že s 1 u 1 + s 2 u s n u n = o, řekneme, že vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně závislé. Tedy konečná posloupnost vektorů z V je lineárně závislá, existuje-li lineární kombinace těchto vektorů s koeficienty z T, jež nejsou všechny nulové, taková, že výsledkem této lineární kombinace je nulový vektor. Je-li n = 1, tedy máme-li co do činění s posloupností skládající se pouze z jediného vektoru u z V, pak uvedená definice dává, že vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když u = o. Pro n > 1 se hodí následující kritérium. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n z V, kde n > 1, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje index i {1, 2,..., n} takový, že vektor u i je lineární kombinací vektorů u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n. Důkaz. Jsou-li vektory u 1, u 2,..., u n lineárně závislé, existují prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň jeden není roven nule 0, takové, že s 1 u 1 + s 2 u s n u n = o. Nechť i {1, 2,..., n} je takový index, že s i 0. Pak odtud plyne, že s i u i = s 1 u 1 s i 1 u i 1 s i+1 u i+1 s n u n, takže u i = ( s 1 i s 1 ) u ( s 1 i s i 1 ) u i 1 + ( s 1 i s i+1 ) u i ( s 1 i s n ) u n. Naopak je-li vektor u i lineární kombinací vektorů u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n, pak existují prvky t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n T takové, že u i = t 1 u 1 + +t i 1 u i 1 +t i+1 u i+1 + +t n u n. Odtud vychází t 1 u 1 + +t i 1 u i 1 +( 1) u i +t i+1 u i+1 + +t n u n = o, přičemž koeficient u u i je 1, čili je nenulový. 1

2 Poznamenejme, že z dosavadních úvah jsou patrné mimo jiné tyto skutečnosti: obsahuje-li například posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n z V nulový vektor o anebo obsahuje-li tato posloupnost dvakrát tentýž vektor, pak je lineárně závislá. Buď (V, +, ) opět vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Není-li posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n z V lineárně závislá, řekneme, že tato posloupnost je lineárně nezávislá. Jinak řečeno, vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně nezávislé, jestliže pro libovolná s 1, s 2,..., s n T splňující s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s n u n = o platí, že s 1 = s 2 = = s n = 0. Poznamenejme, že je-li u 1, u 2,..., u n lineárně nezávislá posloupnost vektorů z V, pak každá podposloupnost vybraná z této posloupnosti je rovněž lineárně nezávislá. Je-li M V konečná podmnožina, M = {u 1, u 2,..., u n }, pak místo značení M pro podprostor vektorového prostoru (V, +, ) generovaný množinou M, jenž byl předmětem studia v minulé kapitole, píšeme stručně jen u 1, u 2,..., u n a mluvíme o podprostoru generovaném vektory u 1, u 2,..., u n. Platí následující Steinitzova věta o výměně. Věta. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť v 1,..., v m, w 1,..., w n jsou takové vektory z V, že je splněno v 1,..., v m w 1,..., w n a vektory v 1,..., v m jsou přitom lineárně nezávislé. Pak platí m n a při vhodném přečíslování vektorů w 1,..., w n platí rovněž w 1,..., w n = v 1,..., v m, w m+1,..., w n. Důkaz se provede indukcí vzhledem k m s využitím druhého tvrzení uvedeného v odstavci o generování podprostorů vektorových prostorů v minulé kapitole. Je-li m = 1, pak v 1 w 1,..., w n. Poněvadž v 1 o, je tedy nutně n 1, takže m n. Dále podle právě zmíněného tvrzení z minulé kapitoly existují s 1,..., s n T taková, 2

3 že v 1 = s 1 w s n w n. Přitom alespoň jeden z prvků s 1,..., s n je nenulový. Přečíslujme vektory w 1,..., w n, a tím i prvky s 1,..., s n tak, aby bylo s 1 0. Pak odtud plyne, že w 1 = s 1 1 v 1 (s 1 1 s 2) w 2 (s 1 1 s n) w n. Z těchto rovností dále plyne, že w 1,..., w n = v 1, w 2,..., w n, neboť generátory každého z těchto podprostorů jsou obsaženy ve druhém z těchto podprostorů. Platí tedy požadovaná rovnost. Nechť dále m > 1 a předpokládejme, že tvrzení věty platí pro m 1. Vektory v 1,..., v m 1 jsou lineárně nezávislé, takže podle tohoto předpokladu m 1 n a při vhodném přečíslování vektorů w 1,..., w n je w 1,..., w n = v 1,..., v m 1, w m,..., w n. Ale v m w 1,..., w n, takže v m v 1,..., v m 1, w m,..., w n. Podle již zmíněného tvrzení z minulé kapitoly to znamená, že existují t 1,..., t n T taková, že v m = t 1 v t m 1 v m 1 + t m w m + + t n w n. Z předchozího tvrzení přitom plyne, že alespoň jeden z prvků t m,..., t n je nenulový, neboť vektory v 1,..., v m jsou lineárně nezávislé. To také nevyhnutelně znamená, že m n. Přečíslujme vektory w m,..., w n, a tím také prvky t m,..., t n tak, aby bylo t m 0. Pak z poslední rovnosti plyne, že w m = (t 1 m t 1 ) v 1 (t 1 m t m 1 ) v m 1 + t 1 m v m (t 1 m t m+1 ) w m+1 (t 1 m t n ) w n. Odtud potom vyplývá, že v 1,..., v m 1, w m,..., w n = v 1,..., v m, w m+1,..., w n, neboť zase generátory každého z těchto podprostorů leží i ve druhém podprostoru. Odtud a z výše uvedeného indukčního předpokladu nakonec plyne, že w 1,..., w n = v 1,..., v m, w m+1,..., w n. Opět tedy platí požadovaná rovnost. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že konečná posloupnost u 1, u 2,..., u n vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně nezávislé a přitom vektory u 1, u 2,..., u n generují celý prostor V, což znamená, že u 1, u 2,..., u n = V. 3

4 Poznamenejme ale, že odnikud neplyne, že by v daném vektorovém prostoru musela nějaká báze existovat, ani že by snad měla být jen jediná, pokud existuje. Příklady. Nechť (T, +, ) je těleso. Viděli jsme, že pak kartézská mocnina T n = {(s 1, s 2,..., s n ) s 1, s 2,..., s n T } spolu s přirozeně definovanými operacemi sčítání + a skalárního násobení tvoří vektorový prostor (T n, +, ) nad tělesem (T, +, ). Pak vektory e 1 = (1, 0, 0,..., 0, 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0, 0), e 3 = (0, 0, 1,..., 0, 0), e n = (0, 0, 0,..., 0, 1) očividně tvoří bázi vektorového prostoru (T n, +, ). Říkáme, že je to kanonická báze prostoru (T n, +, ). Existuje ale mnoho jiných bází. Kupříkladu následující vektory f 1 = (1, 1, 1,..., 1, 1), f 2 = (0, 1, 1,..., 1, 1), f 3 = (0, 0, 1,..., 1, 1), f n = (0, 0, 0,..., 0, 1) tvoří rovněž bázi vektorového prostoru (T n, +, ). Buď opět (T, +, ) těleso. Viděli jsme také, že pak okruh polynomů (T [x], +, ) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Tento vektorový prostor ale nemá žádnou bázi. Opravdu, pokud by nějaká báze tohoto prostoru existovala, byla by to konečná posloupnost polynomů f 1, f 2,..., f m z T [x], která by kromě jiného měla tu vlastnost, že by pomocí lineárních kombinací generovala celou množinu T [x]. Lze přitom předpokládat, že 4

5 všechny polynomy f 1, f 2,..., f m by byly nenulové. Ve skutečnosti zde ale platí, že f 1, f 2,..., f m T [x]. Stačí si totiž všimnout stupňů polynomů f 1, f 2,..., f m. (Stupněm nenulového polynomu h z T[x] rozumíme nejvyšší exponent k takový, že koeficient u mocniny x k v polynomu h je nenulový.) Pak jistě existuje přirozené číslo n takové, že stupně všech polynomů f 1, f 2,..., f m jsou menší než n. To ale znamená, že pak také stupeň každého nenulového polynomu g z f 1, f 2,..., f m je menší než n. Polynomy f 1, f 2,..., f m tedy negenerují celou množinu T [x]. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M V taková, že M = V, pak z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, lze vybrat konečnou podmnožinu L N takovou, že L = V. Důkaz. Skutečně, jestliže N = V, pak pro každý vektor u M máme u N, takže podle příslušného tvrzení o generování podprostorů z minulé kapitoly existuje přirozené číslo n, vektory v 1,..., v n N a prvky t 1,..., t n T takové, že u = t 1 v 1 + +t n v n. Vyberme pro každý vektor u M takové vektory v 1,..., v n N a sestavme ze všech těchto vybraných vektorů množinu L. Pak L N a L je konečná množina, neboť množina M je konečná. Navíc odtud plyne, že M L, takže M L. Poněvadž M = V, znamená to, že L = V. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M V taková, že M = V, pak z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, lze vybrat nějakou bázi prostoru (V, +, ). Důkaz. Podle předchozího tvrzení pak lze z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, vybrat konečnou podmnožinu L N takovou, že L = V. Ukážeme dále, že z každé konečné podmnožiny L V splňující L = V lze již 5

6 vybrat bázi prostoru (V, +, ). Poněvadž V {o}, musí být L a také L {o}. Vypišme vektory množiny L do posloupnosti w 1, w 2,..., w k. Jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, pak již tvoří bázi prostoru (V, +, ). Jsou-li naopak lineárně závislé, pak poněvadž L {o}, máme k > 1 a podle úvodního tvrzení této kapitoly existuje index j {1, 2,..., k} takový, že vektor w j je lineární kombinací zbývajících vektorů této posloupnosti. To ale znamená, že w j w 1,..., w j 1, w j+1,..., w k, takže máme w 1, w 2,..., w k = w 1,..., w j 1, w j+1,..., w k. Je tedy možné z množiny generátorů L vektor w j vyškrtnout, aniž se změní podprostor, který tato množina generuje. Opakujeme-li tento postup několikrát, nakonec dostaneme vybranou podposloupnost vektorů, tedy podrobněji řečeno, zůstanou nám indexy i 1, i 2,..., i l {1, 2,..., k} splňující i 1 < i 2 < < i l takové, že bude platit w 1, w 2,..., w k = w i1, w i2,..., w il a přitom vektory w i1, w i2,..., w il budou již lineárně nezávislé. Budou tedy tyto vektory tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ). Věta. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Tvoří-li posloupnosti vektorů f 1, f 2,..., f m a g 1, g 2,..., g n dvě báze vektorového prostoru (V, +, ), pak platí rovnost m = n. Důkaz. Podle definice pojmu báze vektorového prostoru jsou vektory f 1, f 2,..., f m lineárně nezávislé a přitom f 1, f 2,..., f m g 1, g 2,..., g n. Podle Steinitzovy věty o výměně tedy platí, že m n. Podobně ale vektory g 1, g 2,..., g n jsou lineárně nezávislé a přitom g 1, g 2,..., g n f 1, f 2,..., f m. Takže opět podle Steinitzovy věty o výměně platí, že n m. Celkem tedy m = n. Ve tvrzení předcházejícím této poslední větě jsme viděli, že každý nenulový vektorový prostor, který je generován nějakou konečnou množinou vektorů, má také nějakou bázi. V poslední větě jsme dále viděli, že pak všechny báze takového prostoru 6

7 mají stejný počet vektorů. Můžeme tedy zavést následující pojem. Je-li (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ), který obsahuje konečnou podmnožinu M V takovou, že M = V, a který tudíž má i nějakou bázi, pak počet n vektorů kterékoliv báze tohoto prostoru se nazývá dimenze vektorového prostoru (V, +, ). O prostoru (V, +, ) samotném pak říkáme, že je to vektorový prostor konečné dimenze. Mezi takové prostory řadíme i nulový vektorový prostor ({o}, +, ), jehož dimenzi klademe rovnu 0. Příklad. Buď (T, +, ) těleso a n přirozené číslo. Pak z prvního z předchozích příkladů plyne, že dimenze vektorového prostoru (T n, +, ) je rovna n. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Nechť v 1, v 2,..., v m jsou lineárně nezávislé vektory z V. Pak m n a existují vektory w m+1,..., w n V takové, že posloupnost vektorů v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n tvoří bázi vektorového prostoru (V, +, ). Důkaz. Nechť w 1, w 2,..., w n je nějaká báze vektorového prostoru (V, +, ). Pak v 1, v 2,..., v m w 1, w 2,..., w n. Podle Steinitzovy věty o výměně je tedy m n a při vhodném přečíslování vektorů w 1, w 2,..., w n platí, že w 1, w 2,..., w n = v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n. Generují tedy zejména vektory v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n celý prostor V. Podle předchozího tvrzení to ovšem znamená, že z těchto vektorů v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n lze vybrat bázi prostoru (V, +, ). Poněvadž těchto vektorů je ale jenom n, podle předchozí věty musí tyto vektory samy už tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ). Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že vektory v 1, v 2,..., v m z V tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V, +, ), jestliže tento prostor generují, tedy splňují v 1, v 2,..., v m = V, avšak pro kaž- 7

8 dou podmnožinu M {v 1, v 2,..., v m }, M {v 1, v 2,..., v m } je již M V. Dále řekneme, že vektory w 1, w 2,..., w n z V tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ), jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, avšak pro kterýkoliv vektor z V vektory w 1, w 2,..., w n, z jsou již lineárně závislé. Dodejme, že v této situaci musí ovšem vektor z očividně být lineární kombinací vektorů w 1, w 2,..., w n. Takže pak vektory w 1, w 2,..., w n rovněž generují celý prostor (V, +, ). Odtud a z předchozích výsledků potom plyne následující chrakterizace bází vektorového prostoru (V, +, ). Důsledek. Buď (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libovolnou posloupnost u 1, u 2,..., u n vektorů z V jsou následující tři podmínky ekvivalentní: (i) u 1, u 2,..., u n tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V, +, ), (ii) u 1, u 2,..., u n tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ), (iii) u 1, u 2,..., u n je báze prostoru (V, +, ). Každý podprostor vektorového prostoru konečné dimenze je sám prostorem konečné dimenze: Tvrzení. Buď (V, +, ) vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Pak pro každý podprostor W V platí, že prostor (W, +, ) sám je konečné dimenze, a je-li m jeho dimenze, pak m n, přičemž m = n právě tehdy, když W = V. Důkaz. Je-li W = {o}, není co dokazovat. Předpokládejme tedy, že W {o}. Podle předchozího tvrzení žádná posloupnost lineárně nezávislých vektorů z W nemůže mít více než n vektorů. Vyberme lineárně nezávislou posloupnost w 1, w 2,..., w m vektorů z W tak, aby jejich počet m byl nejvyšší možný. Pak ovšem m n a přitom w 1, w 2,..., w m zřejmě tvoří maximální 8

9 lineárně nezávislou posloupnost vektorů v podprostoru W, takže jde o bázi prostoru (W, +, ). Má tedy tento prostor konečnou dimenzi m. Přitom zmíněnou bázi lze doplnit dalšími vektory z V na bázi celého prostoru (V, +, ). Je-li ovšem m = n, pak již w 1, w 2,..., w m musí být bází prostoru (V, +, ), takže W = V. Je-li (V, +, ) vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a je-li W V podprostor tohoto vektorového prostoru, pak podle posledního tvrzení víme, že prostor (W, +, ) sám je konečné dimenze m n. Tuto dimenzi m prostoru (W, +, ) značíme symbolem dim W anebo podrobněji, je-li potřeba zdůraznit úlohu tělesa (T, +, ), symbolem dim T W. Platí věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů: Věta. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť X, Y V jsou podprostory tohoto vektorového prostoru. Pak platí rovnost dim X + dim Y = dim(x + Y) + dim(x Y). Důkaz. Je-li X = {o} nebo Y = {o}, pak uvedená rovnost zřejmě platí. Předpokládejme tedy dále, že X {o} = Y, takže dim X > 0 a dim Y > 0. Průnik podprostorů X Y je pak též podprostorem ve (V, +, ), a tedy buďto X Y = {o}, anebo X Y {o}, takže dim(x Y) > 0. V tom případě nechť posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k, kde k > 0, tvoří bázi vektorového prostoru (X Y, +, ). Případu X Y = {o} pak odpovídá hodnota k = 0. Podle předminulého tvrzení potom existují vektory x 1, x 2,..., x h takové, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k tvoří bázi vektorového prostoru (X, +, ), přičemž h + k > 0, a též existují vektory y 1, y 2,..., y l takové, že posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l tvoří bázi vektorového prostoru (Y, +, ), přičemž k+l > 0. Ukážeme, že pak posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l 9

10 tvoří bázi vektorového prostoru (X + Y, +, ). Tím potom bude ověřena také výše uvedená rovnost, neboť pak bude vycházet dim X + dim Y = h + k + k + l = dim(x + Y) + dim(x Y). Fakt, že výše uvedené vektory generují celý podprostor X + Y, plyne přímo z toho, že vektory x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k generují celý podprostor X a vektory z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l zase generují celý podprostor Y. Zbývá tedy dokázat lineární nezávislost výše uvedených vektorů. Nechť tedy r 1, r 2,..., r k, s 1, s 2,..., s h, t 1, t 2,..., t l T jsou takové prvky, že platí s 1 x 1 + s 2 x s h x h + r 1 z 1 + r 2 z r k z k + t 1 y 1 + t 2 y t l y l = o. Odtud pak plyne, že s 1 x 1 + s 2 x s h x h + r 1 z 1 + r 2 z r k z k = t 1 y 1 t 2 y 2 t l y l. Vektor na levé straně rovnosti ovšem náleží do podprostoru X, zatímco vektor na pravé straně rovnosti náleží do podprostoru Y. Náleží tedy oba tyto vektory do podprostoru X Y. Bází vektorového prostoru (X Y, +, ) je ovšem posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k (pokud k > 0). Znamená to tedy, že musí existovat prvky q 1, q 2,..., q k T takové, že platí t 1 y 1 t 2 y 2 t l y l = q 1 z 1 + q 2 z q k z k, odkud vychází, že q 1 z 1 + q 2 z q k z k + t 1 y 1 + t 2 y t l y l = o. Poněvadž ale posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l tvoří bázi vektorového prostoru (Y, +, ), plyne odtud, že q 1 = q 2 = = q k = t 1 = t 2 = = t l = 0. Z druhé ze shora uvedených rovností pak ale plyne, že s 1 x 1 + s 2 x s h x h + r 1 z 1 + r 2 z r k z k = o, 10

11 což vzhledem k tomu, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k tvoří bázi vektorového prostoru (X, +, ), má za následek, že také s 1 = s 2 = = s h = r 1 = r 2 = = r h = 0. Toto zjištění spolu s předchozím potvrzuje lineární nezávislost shora uvedené posloupnosti vektorů. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť vektory f 1, f 2,..., f n představují některou bázi tohoto prostoru. Pak pro každý vektor u V existují jednoznačně určené prvky s 1, s 2,..., s n T takové, že u = s 1 f 1 + s 2 f s n f n. Poznámka. Prvky s 1, s 2,..., s n se pak nazývají souřadnice vektoru u v bázi f 1, f 2,..., f n. Důkaz. Existence prvků s 1, s 2,..., s n plyne z faktu, že vektory f 1, f 2,..., f n generují prostor (V, +, ). Jejich jednoznačnost plyne z lineární nezávislosti vektorů f 1, f 2,..., f n následující úvahou. Nechť t 1, t 2,..., t n T jsou obecně jakékoliv prvky takové, že u = t 1 f 1 + t 2 f t n f n. Odečtením odtud dostáváme, že o = (s 1 t 1 ) f 1 + (s 2 t 2 ) f (s n t n ) f n. To znamená, že s 1 t 1 = 0, s 2 t 2 = 0,..., s n t n = 0, takže máme s 1 = t 1, s 2 = t 2,..., s n = t n. V situaci z posledního tvrzení tedy pro každý vektor u V existují jeho jednoznačně určené souřadnice s 1, s 2,..., s n T v bázi f 1, f 2,..., f n, to znamená prvky takové, že je splněno u = s 1 f 1 + s 2 f s n f n. Vzpomeneme-li si nyní na násobení matic nad vektorovým prostorem (V, +, ) s maticemi nad tělesem (T, +, ) zavedené na konci kapitoly o vektorových prostorech, můžeme tuto rovnost zapsat také ve tvaru s 1 u = ( ) f 1 f 2... f n s 2.. s n 11

12 Zavedeme-li ještě označení f = ( f 1 f 2... f n ) a označíme-li symbolem s výše zapsaný sloupec souřadnic s 1, s 2,..., s n, pak poslední rovnost lze psát rovněž ve stručném tvaru u = f s. Nechť ještě jednou (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a nechť f 1, f 2,..., f n je některá jeho báze. Značme opět f = ( f 1 f 2... f n ). Nechť r T je libovolný prvek a nechť u, v V jsou libovolné dva vektory. Nechť s 1, s 2,..., s n, resp. t 1, t 2,..., t n jsou souřadnice vektoru u, resp. v v bázi f. Pak s 1 + t 1, s 2 + t 2,..., s n + t n jsou souřadnice vektoru u + v a r s 1, r s 2,..., r s n jsou souřadnice vektoru r u, obojí ovšem opět v bázi f. Z této skutečnosti je patrno, že zobrazení : V T n f přiřazující každému vektoru u V uspořádanou n-tici jeho souřadnic (s 1, s 2,..., s n ) v bázi f je bijekcí množiny vektorů V na kartézskou mocninu T n, která přitom zachovává operace sčítání + i vnějšího skalárního násobení ve vektorových prostorech (V, +, ) a (T n, +, ). Názorně lze tuto skutečnost vystihnout sdělením, že na oba zmíněné prostory je takto možno hledět jako na dvě kopie jednoho a téhož vektorového prostoru nad tělesem (T, +, ). V této situaci říkáme, že zobrazení f je izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) na vektorový prostor (T n, +, ). Přesně bude pojem izomorfismu dvou vektorových prostorů nad týmž tělesem zaveden později. 12