Báze a dimenze vektorových prostorů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Báze a dimenze vektorových prostorů"

Transkript

1 Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň jeden je různý od nuly 0, takové, že s 1 u 1 + s 2 u s n u n = o, řekneme, že vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně závislé. Tedy konečná posloupnost vektorů z V je lineárně závislá, existuje-li lineární kombinace těchto vektorů s koeficienty z T, jež nejsou všechny nulové, taková, že výsledkem této lineární kombinace je nulový vektor. Je-li n = 1, tedy máme-li co do činění s posloupností skládající se pouze z jediného vektoru u z V, pak uvedená definice dává, že vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když u = o. Pro n > 1 se hodí následující kritérium. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n z V, kde n > 1, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje index i {1, 2,..., n} takový, že vektor u i je lineární kombinací vektorů u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n. Důkaz. Jsou-li vektory u 1, u 2,..., u n lineárně závislé, existují prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň jeden není roven nule 0, takové, že s 1 u 1 + s 2 u s n u n = o. Nechť i {1, 2,..., n} je takový index, že s i 0. Pak odtud plyne, že s i u i = s 1 u 1 s i 1 u i 1 s i+1 u i+1 s n u n, takže u i = ( s 1 i s 1 ) u ( s 1 i s i 1 ) u i 1 + ( s 1 i s i+1 ) u i ( s 1 i s n ) u n. Naopak je-li vektor u i lineární kombinací vektorů u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n, pak existují prvky t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n T takové, že u i = t 1 u 1 + +t i 1 u i 1 +t i+1 u i+1 + +t n u n. Odtud vychází t 1 u 1 + +t i 1 u i 1 +( 1) u i +t i+1 u i+1 + +t n u n = o, přičemž koeficient u u i je 1, čili je nenulový. 1

2 Poznamenejme, že z dosavadních úvah jsou patrné mimo jiné tyto skutečnosti: obsahuje-li například posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n z V nulový vektor o anebo obsahuje-li tato posloupnost dvakrát tentýž vektor, pak je lineárně závislá. Buď (V, +, ) opět vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Není-li posloupnost vektorů u 1, u 2,..., u n z V lineárně závislá, řekneme, že tato posloupnost je lineárně nezávislá. Jinak řečeno, vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně nezávislé, jestliže pro libovolná s 1, s 2,..., s n T splňující s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s n u n = o platí, že s 1 = s 2 = = s n = 0. Poznamenejme, že je-li u 1, u 2,..., u n lineárně nezávislá posloupnost vektorů z V, pak každá podposloupnost vybraná z této posloupnosti je rovněž lineárně nezávislá. Je-li M V konečná podmnožina, M = {u 1, u 2,..., u n }, pak místo značení M pro podprostor vektorového prostoru (V, +, ) generovaný množinou M, jenž byl předmětem studia v minulé kapitole, píšeme stručně jen u 1, u 2,..., u n a mluvíme o podprostoru generovaném vektory u 1, u 2,..., u n. Platí následující Steinitzova věta o výměně. Věta. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť v 1,..., v m, w 1,..., w n jsou takové vektory z V, že je splněno v 1,..., v m w 1,..., w n a vektory v 1,..., v m jsou přitom lineárně nezávislé. Pak platí m n a při vhodném přečíslování vektorů w 1,..., w n platí rovněž w 1,..., w n = v 1,..., v m, w m+1,..., w n. Důkaz se provede indukcí vzhledem k m s využitím druhého tvrzení uvedeného v odstavci o generování podprostorů vektorových prostorů v minulé kapitole. Je-li m = 1, pak v 1 w 1,..., w n. Poněvadž v 1 o, je tedy nutně n 1, takže m n. Dále podle právě zmíněného tvrzení z minulé kapitoly existují s 1,..., s n T taková, 2

3 že v 1 = s 1 w s n w n. Přitom alespoň jeden z prvků s 1,..., s n je nenulový. Přečíslujme vektory w 1,..., w n, a tím i prvky s 1,..., s n tak, aby bylo s 1 0. Pak odtud plyne, že w 1 = s 1 1 v 1 (s 1 1 s 2) w 2 (s 1 1 s n) w n. Z těchto rovností dále plyne, že w 1,..., w n = v 1, w 2,..., w n, neboť generátory každého z těchto podprostorů jsou obsaženy ve druhém z těchto podprostorů. Platí tedy požadovaná rovnost. Nechť dále m > 1 a předpokládejme, že tvrzení věty platí pro m 1. Vektory v 1,..., v m 1 jsou lineárně nezávislé, takže podle tohoto předpokladu m 1 n a při vhodném přečíslování vektorů w 1,..., w n je w 1,..., w n = v 1,..., v m 1, w m,..., w n. Ale v m w 1,..., w n, takže v m v 1,..., v m 1, w m,..., w n. Podle již zmíněného tvrzení z minulé kapitoly to znamená, že existují t 1,..., t n T taková, že v m = t 1 v t m 1 v m 1 + t m w m + + t n w n. Z předchozího tvrzení přitom plyne, že alespoň jeden z prvků t m,..., t n je nenulový, neboť vektory v 1,..., v m jsou lineárně nezávislé. To také nevyhnutelně znamená, že m n. Přečíslujme vektory w m,..., w n, a tím také prvky t m,..., t n tak, aby bylo t m 0. Pak z poslední rovnosti plyne, že w m = (t 1 m t 1 ) v 1 (t 1 m t m 1 ) v m 1 + t 1 m v m (t 1 m t m+1 ) w m+1 (t 1 m t n ) w n. Odtud potom vyplývá, že v 1,..., v m 1, w m,..., w n = v 1,..., v m, w m+1,..., w n, neboť zase generátory každého z těchto podprostorů leží i ve druhém podprostoru. Odtud a z výše uvedeného indukčního předpokladu nakonec plyne, že w 1,..., w n = v 1,..., v m, w m+1,..., w n. Opět tedy platí požadovaná rovnost. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že konečná posloupnost u 1, u 2,..., u n vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže vektory u 1, u 2,..., u n jsou lineárně nezávislé a přitom vektory u 1, u 2,..., u n generují celý prostor V, což znamená, že u 1, u 2,..., u n = V. 3

4 Poznamenejme ale, že odnikud neplyne, že by v daném vektorovém prostoru musela nějaká báze existovat, ani že by snad měla být jen jediná, pokud existuje. Příklady. Nechť (T, +, ) je těleso. Viděli jsme, že pak kartézská mocnina T n = {(s 1, s 2,..., s n ) s 1, s 2,..., s n T } spolu s přirozeně definovanými operacemi sčítání + a skalárního násobení tvoří vektorový prostor (T n, +, ) nad tělesem (T, +, ). Pak vektory e 1 = (1, 0, 0,..., 0, 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0, 0), e 3 = (0, 0, 1,..., 0, 0), e n = (0, 0, 0,..., 0, 1) očividně tvoří bázi vektorového prostoru (T n, +, ). Říkáme, že je to kanonická báze prostoru (T n, +, ). Existuje ale mnoho jiných bází. Kupříkladu následující vektory f 1 = (1, 1, 1,..., 1, 1), f 2 = (0, 1, 1,..., 1, 1), f 3 = (0, 0, 1,..., 1, 1), f n = (0, 0, 0,..., 0, 1) tvoří rovněž bázi vektorového prostoru (T n, +, ). Buď opět (T, +, ) těleso. Viděli jsme také, že pak okruh polynomů (T [x], +, ) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Tento vektorový prostor ale nemá žádnou bázi. Opravdu, pokud by nějaká báze tohoto prostoru existovala, byla by to konečná posloupnost polynomů f 1, f 2,..., f m z T [x], která by kromě jiného měla tu vlastnost, že by pomocí lineárních kombinací generovala celou množinu T [x]. Lze přitom předpokládat, že 4

5 všechny polynomy f 1, f 2,..., f m by byly nenulové. Ve skutečnosti zde ale platí, že f 1, f 2,..., f m T [x]. Stačí si totiž všimnout stupňů polynomů f 1, f 2,..., f m. (Stupněm nenulového polynomu h z T[x] rozumíme nejvyšší exponent k takový, že koeficient u mocniny x k v polynomu h je nenulový.) Pak jistě existuje přirozené číslo n takové, že stupně všech polynomů f 1, f 2,..., f m jsou menší než n. To ale znamená, že pak také stupeň každého nenulového polynomu g z f 1, f 2,..., f m je menší než n. Polynomy f 1, f 2,..., f m tedy negenerují celou množinu T [x]. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M V taková, že M = V, pak z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, lze vybrat konečnou podmnožinu L N takovou, že L = V. Důkaz. Skutečně, jestliže N = V, pak pro každý vektor u M máme u N, takže podle příslušného tvrzení o generování podprostorů z minulé kapitoly existuje přirozené číslo n, vektory v 1,..., v n N a prvky t 1,..., t n T takové, že u = t 1 v 1 + +t n v n. Vyberme pro každý vektor u M takové vektory v 1,..., v n N a sestavme ze všech těchto vybraných vektorů množinu L. Pak L N a L je konečná množina, neboť množina M je konečná. Navíc odtud plyne, že M L, takže M L. Poněvadž M = V, znamená to, že L = V. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M V taková, že M = V, pak z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, lze vybrat nějakou bázi prostoru (V, +, ). Důkaz. Podle předchozího tvrzení pak lze z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, vybrat konečnou podmnožinu L N takovou, že L = V. Ukážeme dále, že z každé konečné podmnožiny L V splňující L = V lze již 5

6 vybrat bázi prostoru (V, +, ). Poněvadž V {o}, musí být L a také L {o}. Vypišme vektory množiny L do posloupnosti w 1, w 2,..., w k. Jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, pak již tvoří bázi prostoru (V, +, ). Jsou-li naopak lineárně závislé, pak poněvadž L {o}, máme k > 1 a podle úvodního tvrzení této kapitoly existuje index j {1, 2,..., k} takový, že vektor w j je lineární kombinací zbývajících vektorů této posloupnosti. To ale znamená, že w j w 1,..., w j 1, w j+1,..., w k, takže máme w 1, w 2,..., w k = w 1,..., w j 1, w j+1,..., w k. Je tedy možné z množiny generátorů L vektor w j vyškrtnout, aniž se změní podprostor, který tato množina generuje. Opakujeme-li tento postup několikrát, nakonec dostaneme vybranou podposloupnost vektorů, tedy podrobněji řečeno, zůstanou nám indexy i 1, i 2,..., i l {1, 2,..., k} splňující i 1 < i 2 < < i l takové, že bude platit w 1, w 2,..., w k = w i1, w i2,..., w il a přitom vektory w i1, w i2,..., w il budou již lineárně nezávislé. Budou tedy tyto vektory tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ). Věta. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Tvoří-li posloupnosti vektorů f 1, f 2,..., f m a g 1, g 2,..., g n dvě báze vektorového prostoru (V, +, ), pak platí rovnost m = n. Důkaz. Podle definice pojmu báze vektorového prostoru jsou vektory f 1, f 2,..., f m lineárně nezávislé a přitom f 1, f 2,..., f m g 1, g 2,..., g n. Podle Steinitzovy věty o výměně tedy platí, že m n. Podobně ale vektory g 1, g 2,..., g n jsou lineárně nezávislé a přitom g 1, g 2,..., g n f 1, f 2,..., f m. Takže opět podle Steinitzovy věty o výměně platí, že n m. Celkem tedy m = n. Ve tvrzení předcházejícím této poslední větě jsme viděli, že každý nenulový vektorový prostor, který je generován nějakou konečnou množinou vektorů, má také nějakou bázi. V poslední větě jsme dále viděli, že pak všechny báze takového prostoru 6

7 mají stejný počet vektorů. Můžeme tedy zavést následující pojem. Je-li (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ), který obsahuje konečnou podmnožinu M V takovou, že M = V, a který tudíž má i nějakou bázi, pak počet n vektorů kterékoliv báze tohoto prostoru se nazývá dimenze vektorového prostoru (V, +, ). O prostoru (V, +, ) samotném pak říkáme, že je to vektorový prostor konečné dimenze. Mezi takové prostory řadíme i nulový vektorový prostor ({o}, +, ), jehož dimenzi klademe rovnu 0. Příklad. Buď (T, +, ) těleso a n přirozené číslo. Pak z prvního z předchozích příkladů plyne, že dimenze vektorového prostoru (T n, +, ) je rovna n. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Nechť v 1, v 2,..., v m jsou lineárně nezávislé vektory z V. Pak m n a existují vektory w m+1,..., w n V takové, že posloupnost vektorů v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n tvoří bázi vektorového prostoru (V, +, ). Důkaz. Nechť w 1, w 2,..., w n je nějaká báze vektorového prostoru (V, +, ). Pak v 1, v 2,..., v m w 1, w 2,..., w n. Podle Steinitzovy věty o výměně je tedy m n a při vhodném přečíslování vektorů w 1, w 2,..., w n platí, že w 1, w 2,..., w n = v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n. Generují tedy zejména vektory v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n celý prostor V. Podle předchozího tvrzení to ovšem znamená, že z těchto vektorů v 1, v 2,..., v m, w m+1,..., w n lze vybrat bázi prostoru (V, +, ). Poněvadž těchto vektorů je ale jenom n, podle předchozí věty musí tyto vektory samy už tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ). Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že vektory v 1, v 2,..., v m z V tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V, +, ), jestliže tento prostor generují, tedy splňují v 1, v 2,..., v m = V, avšak pro kaž- 7

8 dou podmnožinu M {v 1, v 2,..., v m }, M {v 1, v 2,..., v m } je již M V. Dále řekneme, že vektory w 1, w 2,..., w n z V tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ), jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, avšak pro kterýkoliv vektor z V vektory w 1, w 2,..., w n, z jsou již lineárně závislé. Dodejme, že v této situaci musí ovšem vektor z očividně být lineární kombinací vektorů w 1, w 2,..., w n. Takže pak vektory w 1, w 2,..., w n rovněž generují celý prostor (V, +, ). Odtud a z předchozích výsledků potom plyne následující chrakterizace bází vektorového prostoru (V, +, ). Důsledek. Buď (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libovolnou posloupnost u 1, u 2,..., u n vektorů z V jsou následující tři podmínky ekvivalentní: (i) u 1, u 2,..., u n tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V, +, ), (ii) u 1, u 2,..., u n tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ), (iii) u 1, u 2,..., u n je báze prostoru (V, +, ). Každý podprostor vektorového prostoru konečné dimenze je sám prostorem konečné dimenze: Tvrzení. Buď (V, +, ) vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Pak pro každý podprostor W V platí, že prostor (W, +, ) sám je konečné dimenze, a je-li m jeho dimenze, pak m n, přičemž m = n právě tehdy, když W = V. Důkaz. Je-li W = {o}, není co dokazovat. Předpokládejme tedy, že W {o}. Podle předchozího tvrzení žádná posloupnost lineárně nezávislých vektorů z W nemůže mít více než n vektorů. Vyberme lineárně nezávislou posloupnost w 1, w 2,..., w m vektorů z W tak, aby jejich počet m byl nejvyšší možný. Pak ovšem m n a přitom w 1, w 2,..., w m zřejmě tvoří maximální 8

9 lineárně nezávislou posloupnost vektorů v podprostoru W, takže jde o bázi prostoru (W, +, ). Má tedy tento prostor konečnou dimenzi m. Přitom zmíněnou bázi lze doplnit dalšími vektory z V na bázi celého prostoru (V, +, ). Je-li ovšem m = n, pak již w 1, w 2,..., w m musí být bází prostoru (V, +, ), takže W = V. Je-li (V, +, ) vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a je-li W V podprostor tohoto vektorového prostoru, pak podle posledního tvrzení víme, že prostor (W, +, ) sám je konečné dimenze m n. Tuto dimenzi m prostoru (W, +, ) značíme symbolem dim W anebo podrobněji, je-li potřeba zdůraznit úlohu tělesa (T, +, ), symbolem dim T W. Platí věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů: Věta. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť X, Y V jsou podprostory tohoto vektorového prostoru. Pak platí rovnost dim X + dim Y = dim(x + Y) + dim(x Y). Důkaz. Je-li X = {o} nebo Y = {o}, pak uvedená rovnost zřejmě platí. Předpokládejme tedy dále, že X {o} = Y, takže dim X > 0 a dim Y > 0. Průnik podprostorů X Y je pak též podprostorem ve (V, +, ), a tedy buďto X Y = {o}, anebo X Y {o}, takže dim(x Y) > 0. V tom případě nechť posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k, kde k > 0, tvoří bázi vektorového prostoru (X Y, +, ). Případu X Y = {o} pak odpovídá hodnota k = 0. Podle předminulého tvrzení potom existují vektory x 1, x 2,..., x h takové, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k tvoří bázi vektorového prostoru (X, +, ), přičemž h + k > 0, a též existují vektory y 1, y 2,..., y l takové, že posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l tvoří bázi vektorového prostoru (Y, +, ), přičemž k+l > 0. Ukážeme, že pak posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l 9

10 tvoří bázi vektorového prostoru (X + Y, +, ). Tím potom bude ověřena také výše uvedená rovnost, neboť pak bude vycházet dim X + dim Y = h + k + k + l = dim(x + Y) + dim(x Y). Fakt, že výše uvedené vektory generují celý podprostor X + Y, plyne přímo z toho, že vektory x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k generují celý podprostor X a vektory z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l zase generují celý podprostor Y. Zbývá tedy dokázat lineární nezávislost výše uvedených vektorů. Nechť tedy r 1, r 2,..., r k, s 1, s 2,..., s h, t 1, t 2,..., t l T jsou takové prvky, že platí s 1 x 1 + s 2 x s h x h + r 1 z 1 + r 2 z r k z k + t 1 y 1 + t 2 y t l y l = o. Odtud pak plyne, že s 1 x 1 + s 2 x s h x h + r 1 z 1 + r 2 z r k z k = t 1 y 1 t 2 y 2 t l y l. Vektor na levé straně rovnosti ovšem náleží do podprostoru X, zatímco vektor na pravé straně rovnosti náleží do podprostoru Y. Náleží tedy oba tyto vektory do podprostoru X Y. Bází vektorového prostoru (X Y, +, ) je ovšem posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k (pokud k > 0). Znamená to tedy, že musí existovat prvky q 1, q 2,..., q k T takové, že platí t 1 y 1 t 2 y 2 t l y l = q 1 z 1 + q 2 z q k z k, odkud vychází, že q 1 z 1 + q 2 z q k z k + t 1 y 1 + t 2 y t l y l = o. Poněvadž ale posloupnost vektorů z 1, z 2,..., z k, y 1, y 2,..., y l tvoří bázi vektorového prostoru (Y, +, ), plyne odtud, že q 1 = q 2 = = q k = t 1 = t 2 = = t l = 0. Z druhé ze shora uvedených rovností pak ale plyne, že s 1 x 1 + s 2 x s h x h + r 1 z 1 + r 2 z r k z k = o, 10

11 což vzhledem k tomu, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x h, z 1, z 2,..., z k tvoří bázi vektorového prostoru (X, +, ), má za následek, že také s 1 = s 2 = = s h = r 1 = r 2 = = r h = 0. Toto zjištění spolu s předchozím potvrzuje lineární nezávislost shora uvedené posloupnosti vektorů. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť vektory f 1, f 2,..., f n představují některou bázi tohoto prostoru. Pak pro každý vektor u V existují jednoznačně určené prvky s 1, s 2,..., s n T takové, že u = s 1 f 1 + s 2 f s n f n. Poznámka. Prvky s 1, s 2,..., s n se pak nazývají souřadnice vektoru u v bázi f 1, f 2,..., f n. Důkaz. Existence prvků s 1, s 2,..., s n plyne z faktu, že vektory f 1, f 2,..., f n generují prostor (V, +, ). Jejich jednoznačnost plyne z lineární nezávislosti vektorů f 1, f 2,..., f n následující úvahou. Nechť t 1, t 2,..., t n T jsou obecně jakékoliv prvky takové, že u = t 1 f 1 + t 2 f t n f n. Odečtením odtud dostáváme, že o = (s 1 t 1 ) f 1 + (s 2 t 2 ) f (s n t n ) f n. To znamená, že s 1 t 1 = 0, s 2 t 2 = 0,..., s n t n = 0, takže máme s 1 = t 1, s 2 = t 2,..., s n = t n. V situaci z posledního tvrzení tedy pro každý vektor u V existují jeho jednoznačně určené souřadnice s 1, s 2,..., s n T v bázi f 1, f 2,..., f n, to znamená prvky takové, že je splněno u = s 1 f 1 + s 2 f s n f n. Vzpomeneme-li si nyní na násobení matic nad vektorovým prostorem (V, +, ) s maticemi nad tělesem (T, +, ) zavedené na konci kapitoly o vektorových prostorech, můžeme tuto rovnost zapsat také ve tvaru s 1 u = ( ) f 1 f 2... f n s 2.. s n 11

12 Zavedeme-li ještě označení f = ( f 1 f 2... f n ) a označíme-li symbolem s výše zapsaný sloupec souřadnic s 1, s 2,..., s n, pak poslední rovnost lze psát rovněž ve stručném tvaru u = f s. Nechť ještě jednou (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a nechť f 1, f 2,..., f n je některá jeho báze. Značme opět f = ( f 1 f 2... f n ). Nechť r T je libovolný prvek a nechť u, v V jsou libovolné dva vektory. Nechť s 1, s 2,..., s n, resp. t 1, t 2,..., t n jsou souřadnice vektoru u, resp. v v bázi f. Pak s 1 + t 1, s 2 + t 2,..., s n + t n jsou souřadnice vektoru u + v a r s 1, r s 2,..., r s n jsou souřadnice vektoru r u, obojí ovšem opět v bázi f. Z této skutečnosti je patrno, že zobrazení : V T n f přiřazující každému vektoru u V uspořádanou n-tici jeho souřadnic (s 1, s 2,..., s n ) v bázi f je bijekcí množiny vektorů V na kartézskou mocninu T n, která přitom zachovává operace sčítání + i vnějšího skalárního násobení ve vektorových prostorech (V, +, ) a (T n, +, ). Názorně lze tuto skutečnost vystihnout sdělením, že na oba zmíněné prostory je takto možno hledět jako na dvě kopie jednoho a téhož vektorového prostoru nad tělesem (T, +, ). V této situaci říkáme, že zobrazení f je izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) na vektorový prostor (T n, +, ). Přesně bude pojem izomorfismu dvou vektorových prostorů nad týmž tělesem zaveden později. 12

Lineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:

Lineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky: Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů

Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) Připomeňme, že konečná posloupnost u 1, u 2,, u n vektorů z V je

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

10. Vektorové podprostory

10. Vektorové podprostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Co je to univerzální algebra?

Co je to univerzální algebra? Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Lineární algebra : Lineární zobrazení

Lineární algebra : Lineární zobrazení Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Lineární (ne)závislost

Lineární (ne)závislost Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru

Více

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ). Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1

Více

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S. 1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

9. Vektorové prostory

9. Vektorové prostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 9. Vektorové prostory Vektor je kterýkoliv prvek některého vektorového prostoru.

Více

Charakteristika tělesa

Charakteristika tělesa 16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1 Datum sestavení dokumentu: 9 srpna 22 Lineární algebra L ubomíra Balková e-mail: lubomirabalkova@fjficvutcz Slovo na úvod: Abstraktnost, logická výstavba a univerzálnost lineární algebry jsou výhodami

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně

Více

10 Přednáška ze

10 Přednáška ze 10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský

Více

[1] samoopravné kódy: terminologie, princip

[1] samoopravné kódy: terminologie, princip [1] Úvod do kódování samoopravné kódy: terminologie, princip blokové lineární kódy Hammingův kód Samoopravné kódy, k čemu to je [2] Data jsou uložena (nebo posílána do linky) kodérem podle určitého pravidla

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více