2 METODA KONEČNÝCH DIFERENCÍ V ČASOVÉ OBLASTI

Transkript

1 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. MTODA KONČNÝC DIFRNCÍ V ČASOVÉ OBLASTI V éo čás páe se budeme abýva meodou oečýh dfeeí. Meoda e aložea a om že původě spoá hledaá fue e ahaea sadou dséíh fučíh hodo. Nehledáme ž ed půběh fue ale e sadu eíh hodo v ulovýh bodeh dseačí síě (odud éž ple aleaví pomeováí meoda síí). Nepve se budeme áe abýva meodou oečýh dfeeí ve fevečí oblas (Fe-Dffeee Feque-Doma FDFD) poé meodou oečýh dfeeí v časové oblas (Fe-Dffeee Tme-Doma FDTD). Na ávě apol sováme obě meod př řešeí edoduhého příladu.. Meoda oečýh dfeeí ve fevečí oblas Př řešeí adoeleoýh a movlýh obvodů e ao meoda ečasě užíváa řešeí elmholov ove Ve eé ačí hledaou hodou de eu eleého pole a e vlové číslo. Tao ove má seý va po elou řadu velč hamo poměého eleomageého pole. Na mísě ve vahu (.) mohou sá apřílad fáo duí eleého a mageého pole D a B ea mageého pole mageého veoového poeálu A ebo eovýh veoů. Laplaeův opeáo obsahue duhé paálí devae podle posoovýh poměýh. Jeho dfeečí apoma v evdsaí aésé sí s dseačím oem h ísáme sado Taloovým ovoem fue ao: (.) h h h h... (.a)!!! h h h h... (.b)!!! h h h h... (.)!!! h h h h... (.d)!!! h h h 5 h... (.e)!!!

2 ...!!! 6 h h h h (.f) de ečam vačueme poačováí ovoe a suau lusue ob... Ob... K odvoeí dfeečí áhad Laplaeova opeáou po meodu oečýh dfeeí ve fevečí oblas Sečeím ov (.a) až (.f) obdžíme...! 6 6 5! h h (.) Uvážíme-l že dseačí o h e malý e pa domaí příčou hb učeí duhýh devaí eulovos čvýh devaí a ao hba lesá se čveem velos dseačího ou ebol uvedeý výa učue deva s přesosí duhého řádu ) ( 6 6 5! h O h (.a) Aalogým posupem le odvod dfeečí áhad Laplaeova opeáou po D poblém: ) (! h O h (.b) a D poblém:

3 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí.! O( h ) (.) h Ní dfeečí áhadu (.a) aplueme a elmholovu ov (.). ledaou (spoou) velču ahadíme veoem eíh dséíh hodo v uleh síě. Vhledem omu že ove (.a) udává hodou Laplaeova opeáou v uvažovaém ulu síě s pomoí hodo v oolíh uleh síě obdžíme sousavu leáíh ov A de mae A v sobě obsahue a dfeečí áhad duhýh devaí a oaové popř. hačí podmí. Naleeí hodo hledaé velč e možé poud áme hodou vlového čísla. Velm časo e vša pávě oo číslo eámé. Uvažume apřílad úlohu př íž hledáme eoačí feve du vplěé deleem. Po vlové číslo plaí (.5) πf µε (.6) Naleeí vlového čísla e možé ásleduíím posupem: Nepve přepíšeme vah (.5) do sadadího ápsu sousav leáíh ov: ( I A) (.7) de I e edoová mae seého řádu ao mae A. Tao sousava ov bude mí eválí (eulové) řešeí pávě ehd dž deema výau v ávoe a levé saě (.7) bude ulový ed dž bude vlasím číslem mae A (sove [.5]). Mae A má obeě řadu vlasíh čísel eá odpovídaí edolvým eoačím feveím du. Vlasí veo éo mae pa odpovídaí oložeím eleomageého pole př eoa a příslušé vlasí feve du. usoa (poče ulů) dseačí síě přom učue poče vlasíh čísel mae A a ím poče modů máí eé e umeý model shope poshou. Uvedeý posup s í můžeme demosova a edodušeém příladu: Měme duu v dobém vodč ve vau vádu přčemž eho sa sou po řadě a a a (ob...). ledeme eoačí fevee modů eé maí eu eleého pole olo ve směu.

4 Ob... Ilusae řešeí edoduhého eoáou meodou oečýh dfeeí ve fevečí oblas. Po složu e plaí Dhleova oaová podmía a čřeh sěáh eoáou ož a sěě levé pavé předí a adí ed po řadě po sě splňuíí podmí a a. Po bývaíí sě eoáou pa plaí Neumaova podmía a spodí a hoí sěě ed po a a. S uvažováím ěho podmíe le po hodo ve dvou vříh uleh síě v eoáou apsa sousavu leáíh ov. Uel oblopue šes dalšíh ulů síě. Tř h leží a sěáh s Dhleovou oaovou podmíou hodo v ěho bodeh ed budou ulové. Dva h leží a sěě s Neumaovou podmíou. Podmíu ulovos devae podle omál asíme a že hodou fue v ěho bodeh položíme ovu. Zbývaíím ulem v sousedsví e ž e uel. Na áladě obdobé úvah po duhý uel s eámou hodoou ž le sesav ma sousav A: a a (.8) a a 5 přčemž vlasí čísla éo sousav dávaí. Řešeí sou dvě a popsuí a a pole dvou modů dí velému dseačímu ou a e dos přesě. Vlv velos dseačího ou a přesos učeí eoačíh feveí eoáou bude v éo apole oebá podobě a ém mísě. Meoda oečýh dfeeí ve fevečí oblas e meodou eá se výpočům eleomageýh polí používá ž e řída. V současé době e edoačě přeoáa ým meodam občas bývá užíváa učeí vlasíh fevee mů sousav. V omo díle popsueme

5 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. především ao pomoý posřede pohopeí meod FDTD eé se budeme věova v dalšíh odsavíh.. Záladí pp meod oečýh dfeeí v časové oblas Poud bhom plě al současý sav ěaé sousav a všeh áo eým se řídí mohl bhom plě předpovědě lbovolě vdáleou budouos aové sousav. Blo b omu apořebí e dosaečě výoého počíače. Bohužel (ebo možá bohudí) e vesmí aol olehlý a áo eým se řídí aol složé že e možos eho ompleího popsu ela mmo aše možos. V mohem edodušším případě eleomageého pole vša oo omeeí emusí pla. Na maosopé úov e oo pole velm přesě popsáo Mawellovým ovem eé popsuí souvslos časové mě eleomageého pole a eho oamžého oložeí. Jeho výpoče pavdla požadueme v omeeém posou eý eí a s oolím spoe. Naví e poče velč pole přívě íý pavdla e dva veo a. Ve věšě ehýh úloh můžeme aví ví podmí ulovýh hodo velč pole v počáečím čase (ed máme dspo přesou alos pole v elém všeřovaém obemu). To suečos hovoří po možos výpoču eleomageýh polí v časové oblas. Je ovšem řeba ověž a uvés že př paé eala výpoču pole v časové oblas můžeme vžd bá v úvahu hodo pole v oečém poču bodů a časů aví pa e s oečou přesosí. To musí uě vés omu že vpočeá pole se budou od polí suečýh do sé mí odhlova.... Záladí vah po FDTD Pří meodě oečýh dfeeí v časové oblas vháíme dfeeálího vau Mawellovýh ov D J d J e (.9) B (.) D ρ (.) B (.) D ε (.) B µ (.) J σ (.5) Přom a ačí veo e eleého a mageého pole D a B sou veo eleé a mageé due J a J ačí veo plošé huso poudu duovaého a poudu d e vueého do ρ e obemová husoa áboe a dfeeálí (v. abla) opeáo. Ieae eleomageého pole s posředím e de popsáa (eo) pemv ε pemeabl µ a

6 vodvosí σ. Obeý pops v dalším výladu éo apol aplueme a oopí posředí v ěmž sou uvedeé velč dá salá ε µ σ. Pvé dvě Mawellov ove (.9 a.) obsahuí a pavé saě časové devae veoů eleomageého pole. Podle Taloova ovoe (.) můžeme hodo mageé due B apsa ao B( ) B( ) (.6) poud v ovo aedbáme časové devae duhého a vššího řádu. Devae podle času posoovýh souřad ahaueme př výpočeh meodou FDTD dfeeem. Taovou áhadu le povés ěola působ. Devae le ahad dfeeem a o dopředým F( ) F( ) F / (.7) pěým F( ) F( ) F / (.8) F( / ) F( / ) ebo eálím F / (.9) Po áhadu posoovýh devaí le alé aové uspořádáí dseačíh ulů po edolvé slož pole ab pořebé devae bl vžd počíá dfeeí eálíh eé apomuí hodou devae věě. Poud se časovýh devaí ýče eužívaí se pěé dfeee (vedou dvege výpoču po lbovolou velos časového ou). Dopředé dfeee umožňuí alé výpočeí posup bepodmíečě sablí po lbovolou délu ou. Sabla e voupea uosí vee mae v aždém ou výpoču. Sabla výpoču sama o sobě eameá přesý výpoče. Po počáečím adšeí áem o bepodmíečě sablí meod opadl eboť po seou přesos výpoču epřášeí úspou výpočeího času. Poo e eošířeěší meodou dseae v čase a eá časové devae ahaue eálím dfeeem. Taová dseae př vhodém oděleí slože pole hž ěeé sou dseová v časeh a é v časeh (/) e sablí poud časový o epřeočí sou me v. Couaovu podmíu. Tao á hodoa e áma přesě po aésý souřadý ssém po ěeé další bla učea přblžě. Meoda výpoču s ao posuuým časovým ře se v aglčě aývá leapfog mehod. Učeí mee sabl se budeme v éo apole abýva podě. V aésé souřadé sousavě bla meoda FDTD popvé použa v [.]. leomageé pole má šes slože meově. Po časový vývo pole le pa odvod

7 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. / / / / / / / / ε σ ε ε σ ε σ (.) / / / / / / / / ε σ ε ε σ ε σ (.) / / / / / / / / ε σ ε ε σ ε σ (.) / / / / / / µσ µ µσ µσ (.)

8 / / / / / / µσ µ µσ µσ (.) / / / / / / µσ µ µσ µσ (.5) de ápsem máme a msl hodou slož e eleého pole ve směu v ulu síě s de. oí de pa používáme po vačeí času ačí hodou velč v - ém časovém ou ed v čase. Posu dseae v čase vede a eeločíselé hodo deu a posu edolvýh velč v posou seým působem vede a eeločíselé hodo deů. Geomeá epeae ěho deů e uááa v áesu edé buň dseačí síě a ob... V ovíh (.) až (.5) e avede vlv á př sřídavém mageováí posředí pomoí vodvos σ. Jeí fálí výam bude ešě v dalším eu míě. Vodvos σ v ovíh (.) až (.) v sobě obsahue a suečou ohmou vodvos posředí a vlv deleýh á.

9 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. Ob... Buňa posoové dseačí síě FDTD v aésé souřadé sousavě Vah (. až.5) maí velou výhodu v om že hodo e eleého pole sou počíá hodo e mageého pole a aopa. To umožňue uláda v pamě počíače aždou ulovou velču olo edou. Jamle e vpočea hodoa v dalším časovém ou le í sávaíí hodou přepsa. V elé řadě případů e výpoče povádě mmo magea a vodče v posředí be deleýh mageačíh á ( ) σ σ µ µ popř. mmo vodče v posředí s osaí pemeablou. Poče umeýh opeaí le pa síž avedeím měřía po edu e pole. Tím le ušeř ř ásobeí př přepoču aždé buň. Zavedeme- l apřílad měřío po eu eleého pole a že µ (.6) a uvažueme-l seě velé dseačí o ve všeh řeh posoovýh souřadíh můžeme psá (.7) / / / / / / (.8) / / / / / / (.9) / / / / / / ( ) / / / / / / / / C (.) ( ) / / / / / / / / C (.)

10 ( / / / / ) C (.) de / / C µ ( ) ε ( ) / / Tao měa měřía e eleého pole má výhodu v om že přepočeí všeh šes slože eleomageého pole v edé buňe FDTD e řeba olo ří ásobeí a sčíáí. Vah (.) až (.5) defuí umeý model eý ahovává důležé velč ož ábo poud a dučí o. Výpoč s pomoí ohoo modelu maí edu důležou vlasos eou vele oeí do ladí pogam aložeé a FDTD: Pole v aždém ou výpoču má přímý fálí výam eleomageého pole esuíího v daé suuře v učém čase.... Bueí umeého modelu a oespodee me fevečí a časovou oblasí Sousava ov (. až.5) umožňue vpočía časový vývo eleomageého pole e ámého počáečího savu. Počáečí podmíou e ve věšě řešeýh úloh saovea ulová hodoa veoů pole v elé všeřovaé oblas. Too adáí e doplěo bueím ím že vuíme do ěeýh ulů síě v příslušém čase eulové hodo pole. Jedou možosí e apřílad použí hamoý budí sgál. Taový sgál se bude umeou síí posupě šíř. Po dosaečě velém poču oů se hodo veoů pole v uleh síě přblíží usáleému savu aže máme dspo ompleí řešeí pole v uvažovaé suuře a daé feve. Taové vuží FDTD e možé v případě leáíh sousav (obvodů posředí) vša esue řešeí efevěší. Zísáme l pomoí FDTD časovou odevu leáí sousav a vhodý vsupí sgál můžeme í asfomova do fevečí oblas pomoí Foueov asfomae. Ta můžeme př edém běhu aalý ísa odevu sousav v šoém pásmu feveí. Důležá e volba vhodého půběhu budího sgálu. Zdálvě vhodým vsupím sgálem e Daův mpuls eboť obsahue ovoměě všeh fevee. Pa vša e po FDTD emůžeme vuží eboť (dséí) umeý model má e své podsa omeeou fevečí haaesu (Omeeí vplývá eda e Shao-Koělovova voovaího eoému eda dspee umeého modelu v oddíl..). Namíso ě se užívaí sgál eé maí omeeé speum. V pa se ečasě používá buď mpuls Gaussův ) N ebo Blama-asův v časovém oě S ( ) e (.) ( ) π S( ) os N π 8os 68os N ( ) π ( ) N (.) přom e doba příslušeíí -ému časovému ou polovčí šířa mpulsu a N poče časovýh oů výpoču přpadaíí a do. Sgál se uvažue ao eulový e v časovém oě od. Ta e eo sgál omee ee ve fevečí ale v časové oblas.

11 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. Uvedeý sgál vuíme příme do příslušýh ulů síě. Je přom důležé ab eo sgál val evýše a dlouho ežl ěmo ulům doaí vla odažeá od vlasího obvodu. Poud bhom uo ásadu edodžel odala b se v mísě bueí vla pě do všeřovaé suu a ím b eslla vpočeé oložeí pole. Př výpoču vlasosí movlýh obvodů e e spávému vbueí suu řeba á a aplova oložeí pole vl a vedeí eým e všeřovaá suua apáea. Rověž a po učeí hodo přeosů a odaů e vhodé a výsupí sgál sousav bá ol hodou v edom ulu síě ale saláí souč vpočeého oložeí eleomageého pole s oložeím pole příslušého modu vsupuíí vl. Zvlášě vhodé e o ehd dž sou a uvežovaém vedeí edolvé mod oogoálí. Pa ož můžeme popsaého saláího souču vuží vloučeí bů vššíh vdů eé b ovlvl hodou símaou v edom ebo ěola málo uleh síě. Ořeměme o a příladu výpoču pole v oaálí suuře. Na vsupí výsupí báě le předpoláda domaí mod TM. leá ea příslušá omuo modu má adálí smě. Poud se ohodeme po bueí Gaussovým mpulsem budeme do buě vsupí bá vuova hodou ) N e ( ) (.5) Za výsup vl a edolvýh baáh beeme S( ) ( ). (.6) de sumae e pováděa přes všeh buň v daém řeu oaálího vedeí vdáleos od os suu. Teo posup e edoduhý v případě d sou oložeí e eleomageého pole áma ed eméa v případě vlovodů s ovovým plášěm de le oložeí sado odvod ebo alé v leauře [.8.]. Po é p vedeí e ěd řeba oložeí pole vdů uč dalším výpočem meodou FDTD. e... Dspee umeého modelu Couaova podmía Doposud sme uvedl áladí vah po výpoče eleomageýh polí v časové oblas pomoí meod FDTD. Opomíel sme př om důležou suečos eé se í budeme věova podobě. Dseaí původě spoého pole a áhadou devaí dfeeem a posoovým a časovým se uě dopoušíme učé hb. Po paé uží e alos éo možé hb důležá. Zalos vahu me velosí dseačího ou a hbou výpoču pěě umožňue saoveí huso dseačí síě po dosažeí požadovaé přesos. Uvažume řešeí pole v homogeím oopím saoáím deleu přčemž použeme edoe omalovaýh a ab plalo ε µ σ. Pa můžeme vásob vah (.9) magáí edoou a sečís s (.) čímž obdžíme ompaí fomula pvýh dvou Mawellovýh ov ( ) ( ) (.7)

12 Subsuí ( ) Λ ísáme áps Λ Λ (.8) Uvažume í ovou vlu eá se šíří posoem v obeém úhlu. Můžeme po psá ( ) K J I K J I e Λ Λ ω (.9) de sme polohu voů pole v dseačí sí oačl velým písme ab edošlo áměě deu K s osaou šířeí. S uvažováím vahů (.) až (.5) pa ísáme Λ Λ s s s s K J I K J I ω (.) Roepsáím veoového souču a levé saě (.) do ov po ř slož obdžíme homogeí sousavu ov. Vhledem omu že válí řešeí ameá ulové hodo pole e ehého hledsa aímavé e řešeí eválí. To esue pávě dž e deema sousav ulový. Podmíou po o e Λ Λ Λ s s s s ω (.) Odomueme-l í posředí obeví se hlos svěla a levé saě ove: s s s s ω (.) Po všeřeí dspee umeého modelu bývá povés sováí se šířeím vl spoým (suečým) posředím. Dspeí ove de má va ω (.) Sováím (.) a (.) sado ahlédeme že po dseačí o blížíí se ule sou obě ove deé. Poěud obížěší e učeí hb v případě oečýh oů. Je možé e povés ume [.]. Výsledý pomě fáovýh hlosí šířeí ve volém posou a v umeém modelu ávsí.a směu šířeí vl. Ta po pě dseačíh řeů a vlovou délu se podle směu šířeí vl pohbue me 9 až 98 po dese řeů me 988 až 995 a po

13 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. řeů a vlovou délu olísá me 997 až 999. Mmálí hba přom asává př šířeí ve směu dagoál mamálí př šířeí podél ěeé e souřadýh os př mešeí dseačího ou a polovu lesá hba přblžě. Numeý model (. až.5) se ed hová ao aoopí posředí a o v případě že eho posředvím modelueme oopí posředí. Vl se v omo modelu šíří vžd pomale ežl ve suečos. Vlá hba v učeí hlos šířeí ose s eleým omě všeřovaé suu. Ta apř. po dseačíh řeů a vlovou délu a vdáleos odpovídaíí vlovým délám dode fáové hbě as supňů. To vlasos sou uvažovaému modelu vlasí a ele e sado odsa. Ovlvňuí především přesos učeí fáe přeosů všeřovaýh suu a přesos učeí eoačíh feveí eoáoů. Vhledem áhadě časovýh devaí eálím dfeeem e výpočeí poes sablí e do učé velos časového ou. Tuo velos ou e sadé uč po aésou souřadou síť. Ká me (Couaova podmía) e dáa ao ( ) ( ) ( ) (.) e přom hlos svěla v op eřdším posředí v uvažovaé suuře. Př paém ávhu dseačí síě posupueme pavdla a že epve učíme poče dseačíh řeů v posou. Volíme e pavdla a ab a edu délu vl v op ehusším posředí přpadalo alespoň dseačíh řeů. Vlovou délou přom oumíme délu vl o evěší feve a íž heme vhodoova vlasos obvodu. Přom musíme as ab budí sgál eobsahoval výamé možsví fevečíh slože s feveí ešě všší. Úměě voleé dsea pa učíme velos časového ou podle (.). Povšměmě s že po mešeí fáové hb e řeba síž posoový dseačí o. To vvolá osmásobé výšeí poču ulovýh velč a áoveň áeí časového ou a polovu výpoče ed bude pavděpodobě va 6 déle. /... Implemeae oaovýh podmíe K aleeí řešeí po oéí eleomageé pole e řeba Mawellov ove v dfeeálím vau dopl o oaové podmí. Be h e adáí úloh eúplé. V meodě FDTD o podmí uě pořebueme po přepoče oaovýh ulů síě. Každá velča e ož počíáa hodo dvou ýh velč eé s í sousedí. Ul a oa suu vša aové soused emaí a poo e musíme uč a. Poměě edoduhé e avedeí eleýh a mageýh sě e eýh požadueme ulovos ečé slož příslušé e pole ebo ulovos devae podle omál. Posačí pa požadova buď ulovos ečé slož ebo ulovou deva (o e oožé s asaveím hodo ové hodoě slož éhož duhu a směu ležíí eblíže ve směu omál. Poěud obížěší e avedeí podmíe absopčíh eé b měl auč beodaové aočeí síě. Přom pávě eo duh podmí e velm pořebý po řešeí mohýh polí apřílad po aleeí vařovaíh dagamů aé řešeí odaů vl od přeáže a polí v beodaovýh omoáh. Poměě dobře le ealova beodaové aočeí umeé síě v případě d e ám smě vl dopadaíí a sěu síě. Taová suae asává a vedeíh dosaečě daleo od všeh

14 dsou. Poože se vla šíří směem ve obvodu ámou hlosí můžeme do buě a ha umeé síě dosad hodo e sousedííh vříh buě odebaé ve vhodém předhoím oamžu. Ta poud b ohaí leželo v ově a vla se ěmu blížla po směu os síí s dseačím oem můžeme použí M S S M (.5) de musíme použí aový časový o ab M všlo eločíselé. Tao povedeé beodaové aočeí se od deálího lší e vůl umeé dspe eá měí hlos šířeí vl (v oddíl..). Pa le ealova oda a úov db. Ve věšě úloh eáme předem smě e eého bude vla a ohaí dopada. To emožňue účou absop výše uvedeým aočeím síě. Poo blo posupem času vvuo ěol dalšíh meod aočeí síě (absopčíh podmíe agl Absobg Codo áeě ABC). gqus a Mada vll přísup v. edosměé vlové ove. Mšleu můžeme uáa ásledově: Zapšme vlovou ov po lbovolou eu pole U U U U U (.6) Uvážíme-l hamoou ávslos ( ) Ue U ω můžeme psá po devae U U a U U ω. Pa plaí U ω (.7) ož můžeme oepsa ásledově: U ω ω (.8) Rov () le opeáoově apsa (.9) L U L LU de opeáo L umožňue šířeí v lbovolém směu. Napo omu opeáo espeve popsuí šířeí vl poue v ladém esp. ápoém smslu os. Kdbhom o opeáo al mohl bhom e aplova a fu U a ím ela odsa oda od aočeí. I dž blo doááo [.] že o opeáo umožňuí oálí pohleí vl dopadaííh pod lbovolým úhlem esou dosud přesě ám. Růí auoř e ůým působem apomoval čímž ísal aočeí umeé síě umožňuíí úplě absobova vl dopadaíí pod edím ebo ěola ůým úhl. L L

15 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. Užívaou apoma přpůsobeou dseovaým hodoám polí uvedla páe [.]. Nehť ačí lbovolou ečou složu pole a ha ed. Nepve učíme devae v půl dseačího ou pomoí příslušýh dfeeí: (.5) (.5) (.5) (.5) Duhé devae pa ahadíme půměem duhýh devaí v oolíh bodeh dosadíme do a po úpavě obdžíme posup po auala hodo ulů ležííh a ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) Muova podmía umožňue dosáhou odau.5 až.. Všší lumeí odažeé vl e možo dosáhou dalším přísupem pomoí v. dooale přpůsobeé vsv (Pefel Mahed Lae PML). V ásleduíím eu se budeme věova éo podmíe přčemž budeme čepa přímo [.6]. Dopadá l eleomageá vla a ohaí dvou posředí dode pavdla odau ehd poud esou vlové mpedae obou posředí shodé. Vlová mpedae e přom dáa vahem σ ωε ωµ Z v (.55) Ve velé věšě úloh dopadá vla a ha všeřovaé oblas posředí s malým ebo žádým áam ed posředí s eálou hodoou mpedae. Má-l doháe e lumeí vl musí bý posředí áové. To podle () ameá že eho vlová mpedae e ompleí číslo a poo b př dopadu beeáového posředí a posředí áové doháelo odau. Teo poblém le vřeš ehd má-l pohlvé posředí ee omple pemvu ale pemeablu (ed doháí e

16 vu epla př přepolaováí eéol e pole). Impeda aového posředí můžeme popsa vahem Z v ωµ σ ωε σ (.56) ve eém σ asupue á př přemageováváí posředí. Tao le osuova pohluíí maeál umožňuíí beodaově přý ovové osue. Podobým působem e v časové oblas avžeo posředí eé má oba p á a umožňue účě pohl vl eávsle a směu dopadu. Záladí mšlea e dále uvedea podle [.6] po vlu T eá má a ohaí slož. Nepve vužeme lea Mawellovýh ov a odělíme složu a dva díl : ( ) ε σ (.57) ε σ ( ) (.57) µ σ (.58) µ σ (.59) Uvedeá sousava ov ve vaíh (.58) a (.59) umožňue odděl slož e mageého pole podle oho se eou složou e eleého pole ové vl souvsí. Naví í máme dspo elem čř vlasos posředí eým můžeme ovlvňova oda vl ož σ σ σ σ. Poud bude mí posředí pvé dva ěho paameů eulové bude pohlova vlu šíříí se ve směu poud budou eulové duhé dvě vodvos bude posředí účě pohlova vlu šíříí se ve směu. Ta e avžeo uspořádáí umeého modelu eý e ohače dooalým vodčem. Vodč a oa e př vsvou pohlvého maeálu PML a že á ohoo maeálu posupě směem od povhu e ovu osou přčemž e dodžeo podmía mpedae shodé s volým posoem Ampluda vl e lumea ao: σ σ σ σ případě (.6) ε µ ε µ σ osφ ε σ s Φ ε U U e e (.6) de úhel Φ e úhel sevřeý me eou dopadaíí vl a osou. Na příslušýh sěáh sou umísěa posředí pohluíí vžd poue vlu dopadaíí ve směu omál. Posředí v oíh de se edolvé sě přeývaí má eulové všeh čř slož vodvos v ob....auo [.6] udává že po účé polačeí odaů a úoveň 7 db posačue pě vsev PML hž aždá má sílu edé buň umeého modelu. Zá edolvýh vsev slýh δ osou a že

17 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. ma ( σ δ σ ρ / ) přom ρ ačí buď σ ebo vl e pa σ maδ osθ R( ) e ( ) ε σ. Koefe odau v ávslos a úhlu dopadu Θ (.6) Po vlu šíříí se ovoběžě s ohaím vháí se velý oda aová vla e vša účě ulumea sousedí sěou s PML. Ob... Ilusae použí PML Koep PML (ěd éž aývaý podle svého auoa Beegeova oaová podmía) umožňue dosaečě účé polačeí odaů po aposou věšu aplaí. V ověšíh paeh bla..5. Sabla algomu Po řešeí eleomageýh polí meodou FDTD má velý výam učeí velos v. mamálího sablího časového ou. Poud volíme časový o velm malý bude výpoče sě sablí bude vša velm áočý a doe (především a čas výpoču). Napo omu přílš velý časový o vede evhuelě esablě ed omu že vpočeé hodo v ěeýh uleh síě posupě osou ade všeh mee. Máme-l as sablu výpoču musíme přesě uč ebo alespoň přblžě uč ou hodou časového ou. Za ou hodou časového ou Máme a msl výpoče s vužím eálíh dfeeí v časové posoové oblas a ao v elé apole.

18 považueme aovou eho velos d aždý o věší ež ý vede esablě výpoču. Jeho velos e přesě áma po olehlé síě v aésém souřadém ssému de e dáa vahem (.). Po řvočaé souřade e dosud velos ého ou časo odhadováa meodou pousu a omlu po ěeé případ síí ž bla saovea (apř. [.9.]). Pousme se í áoě přblíž pp poeálí esabl u FDTD algomu: Síť ve eé e povádě výpoče má oečé omě. Modelue ěleso o oečýh oměeh. V obemu ohoo ělesa může eleomageé pole ma a elé řadě feveí. Těmo feveím přísluší ůé působ oložeí eleomageého pole mód. Je ámo že řešeím elmholov ove po pole v aovém obemu e moža v. módů (sýh oložeí pole) a ěmo módům příslušeí v. haaesá čísla. Je vem seřad a očíslova mód přoeým čísl podle vůsaííh haaesýh čísel. Kdbhom eýol mód použl ao počáečí podmíu po Mawellov ove a hěl á eho vývo v čase sl bhom že eho posoové oložeí se eměí poue doháí e měám amplud v mu časové ávslos. Poud e posředí v uvažovaém obemu leáí de o ávslos hamoou s feveí úměou příslušému haaesému číslu módu. Tao suae e obdobá v dséím případě: Řešeím FDFD ov e možé ísa (dséí) mód s příslušým haaesým hodoam. Kdbhom ěeý ěho módů položl ao počáečí podmíu po algomus FDTD e eého daé FDFD ove vl výsledem b bl eo mód maíí v mu sé (dséí) časové ávslos s feveí úměou haaesému číslu a časovému ou FDTD. Kdbhom pa použl všší mód (s všším pořadovým číslem) máí b mělo (př seém časovém ou) věší feve. V případě modelovaé suu e poče modů (a eoačíh feveí) eomeeý. V případě dseovaého modelu odpovídaí vlasím modům suu vlasí mod dseačí mříže modelu. Zde e vša věšováí fevee lmováo a odíl od spoého případu voováím časové ávslos. Poud ž epeea modu edovolí malá husoa síě v čase (fevee ž emůže bý obaea eboť esplňue podmíu daou voovaím eoémem) dode e valavě odlšému evu epoeálímu ůsu amplud módu ed esablě. Mohlo b se dá že esablě můžeme ame aovým působem bueí modelu ab v sí FDTD ebl příom esablí mód. Koečá přesos ame počíače vša působí že se v sí vžd obeví všeh možé mód přesě všeh mód eé voleá posoová dseačí síť může epeeova. Poud sou me m mód esablí eh ampluda s časem ose může v elavě áém čase mohoá převýš ampludu sablíh módů a působ a přemeším áu přesos případě aposé houeí výpočů. Po paé výpoč e ed ebé as sablu všeh módů eé se mohou v sí vsou. esablě dode př všováí časového ou dříve u módu s všší haaesou hodoou. Našěsí e dséíh módů e oečý poče a odíl od spoého případu a esue ed mód s evšším haaesým číslem. Časový o ed le asav a ab bl sablí všeh mód. Po učeí ého časového ou FDTD e ed ohoduíí evšší haaesá hodoa módů odpovídaííh FD ov. Z eoeého hledsa e ím úloha vřešea bývá e oeba ěeé působ řešeí FD ov. Zaveďme epve ásleduíí áps Mawellovýh ov ve eém e pomoí eálh dfeeí oepsáa poue časová měa velč pole: Uvažume dfeečí ove FDTD ve eýh e pomoí deu () oepsaé poue časové shéma: a b (.6)

19 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. am b M (.6) oefe a am b a b M vplývaí vlasosí posředí a velos časového ou. Měme í ěaý vlasí mod daé suu: ~ S ϕ e (.65a) ~ ( ) S ϕ e (.65b) S ~ S a ~ sou podobě ao ve vaíh () veoové voovaé fue ávslé a posoovýh souřadíh ompleí a eávslé a čase. Dseae (voováí) v posou eí áoěo žádým deem; oo voováí vplývá posoového uspořádáí dseačí síě. Nebudeme eho va omeova abhom eomel použelos posupuϕ oespodue s úhlovou feveí. Časová ávslos ve vau (.65) suečě přese po dosaeí do (.6 a.6) výsled. Zísáme ož ~ ~ ϕ ϕ S S ( e a e ) (.66) b ~ ~ ϕ ϕ S S ( e am e ) (.67) b M To vah předsavuí ove po eámou ϕ. Časová ávslos (.65) e omeeá (a řečeo e sablí ) poud Im {} ϕ > (.68) Poud uo podmíu aučíme po všeh možé hodo eámé ϕ bude sablí elý algomus FDTD. Koefe a levýh saáh sousav (.66) sou ávslé a časovém ou poo eo o bude ovlvňova výsledá řešeí ϕ. To posue adě že volbou časového ou bude suečě možé as podmíu (.68). Úplou dsus e vša ué povádě po oéí působ opsu oefeů a a b a b. M M Předpoládeme í beeáového posředí a oefe a a M b ε a b M µ. Po přehledos v dalším budeme veháme hoí de S ebudeme důaňova ompleí haae velč. Sousava (6) po úpavě ásledue: ( ) s ϕ ε (.69) ( ) s ϕ µ (.7) V ěho vaíh sme defoval (pomoí svoe) oefe. To umoží povádě výpoče časového ou ve dvou eávslýh oíh: Učíme-l uvedeýh ov eámou plaí ( ) s (.7) Na ha sabl e ϕ π (voováí v čase pa pobíhá pávě dvaá a peodu). ϕ

20 Po učeí časového ou a ha sabl ed ého časového ou musí bý do (.7) dosaea evěší možá hodoa oefeu (. ) e všeh možýh řešeí sousav (.69.7). Nesabla asává po. Poom m m (.7) Po učeí ého časového ou e ebé řeš sousavu ov (.69.7). Nasííme de poue řešeí eé odpovídá -dmeoálímu FDTD algomu popsuíímu poue učou podmožu módů: µ ( [ ] ) (.7a ) ε ( [ ]) (.7b ) (.7) ( ) ε [ ] Sousava veoovýh ov (.68) e de oepsáa po složáh. Sousava () předsavue dseovaou elmholovu ov. ( [ ( [ ]) ( [ ]) ] µ ε ) L ε Po daé oložeí voů µε e včísle čle (.7) εµ ve všeh bodeh síě a o hodo sou použ výpoču pomoí (.7). Poože ove (.7) v éo fá posupu emusí pla po daé oložeí dosaeme odlšé hodo ( ) v aždém bodě síě. Ralegho vah (v íže) e použ po výpoče odhadu (. ) hodo. Oačme daé oložeí ao (-á esm eae). Pomoí vahu (.7) e vpočíáo ové oložeí (eae ) voů : µε esm (.75) Poedua e asavea dž e měa pomoí Ralegho vahu [.6.7] esm ( ) ( ) me eaem e dosaečě malá a odhad povádíme esm (.76) K omu ab výsledem popsaého posupu bla spává hodoa (a ed výsledý ý časový o ) použeme bý dsea FDFD ao posoové shéma původí meod FDTD. Popsaou eačí meodou le řeš složé va síí a příomos víe dele.

21 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí.. Pogam v MATLABu Popsaé algom oečýh dfeeí bl mplemeová v posředí MATLAB v6.. Zvoleou esovaí úlohou e aalýa eoačíh feveí ooměého duového eoáou o oměeh 5 mm... Pogam FDFD Pogam vužívaíí meodu oečýh dfeeí ve fevečí oblas (FDFD) řeší poblém vlasíh čísel příslušýh ma sousav A (.7). Z ao ísaýh vlasíh čísel le po edoduhé úpavě ísa eoačí moč daé suu. Řešea e poue eda složa pole po eou sou a sěáh eoáou saove příslušé oaové podmí. Na čřeh sěáh ovoběžýh s daou složou e avedea Dhleova oaová podmía a složa de musí bý ova ule. Na bývaííh dvou polehlýh sěáh olmýh všeřovaému veou musí bý splěa Neumaova podmía a o pomoí sudé smee slož podle ohaí. Zbývaíí dvě slož pole mohou bý edoduše vřeše pemuaí oměů eoáou. Jedolvé slož a esou umísě ve seýh bodeh v posou ale poládaě ed aalog Yeeovu algomu. V úvahu bl bá všeh posoové mód ed sedoeí výsledů všeh ří slože. V abule. e uvedeo pvíh dese vpočeýh eoačíh močů po ůé huso síě. Záladí dseačí síť má omě 5 buě eměší síě maí dvoásobou pěásobou a deseásobou husou buě a hau. Chba eoačího moču s feveí soupá avša už po pěásobě husší síť epřesahue edo poeo. vdová čísla Reoačí moč [.G] Zeměí síě přesé mp Žádé 5 řešeí Tab.. Reoačí moč ísaé meodou FDFD.. Pogam FDTD Algomus aložeý a meodě oečýh dfeeí v časové oblas (FDTD) aplue Yeeho algomus (..5) po homogeí a beeáové posředí. Poče časovýh oů pořebýh po ísáí dosaečě přesýh výsledů e de dá požadovaým fevečím olšeím ve speu. Vbue sou všeh ř posoové slož eleé e v edom pogamovém běhu a všeh ř sou aé símá. Tím ísáme ř spea se řem sadam eoačíh močů ehž sedoeím opě dosaeme úplý soubo eoaí všeh posoovýh vdů. Bueí a símáí e

22 povedeo v polehlýh oíh eoáou čímž e ašěo vbueí všeh požadovaýh vdů. Budím mpulsem e edoový mpuls. V abule. sou opě uvede vpočeé eoačí moč eoá po meodu FDTD. Přesos e řádově seá po obě meod. Vdová čísla Reoačí moč [G] Zeměí síě přesé mp Žádé 5 řešeí Tab. Reoačí moč ísaé meodou FDTD f [] 8 9 Ob..5 Speum odev ísaé meodou FDTD po složu eměou síť a fevečí olšeí M Doba výpoču e po meodu FDTD mohem věší vůl asaveému fevečímu olšeí M. Př použí hubšího speálího asu apř. M b se přesos odeču eoačíh feveí e spea sížla a deseá mísa avša áoveň b lesl soové čas a deseu původíh hodo. Taé e řeba mí a pamě že pogam FDFD e ué poběhou řá po

23 Te o FDTD ope apol h poue po sude FL ČVUT předmě Počíačové modelováí polí. ísáí úplého soubou feveí aímo FDTD počíá se všem složam eleého pole současě. Soový čas [hod:m:se] pogam eměí síě žádé 5 FDFD :: :: :: ::5 FDTD :: ::7 :5: 6:5: Tab. Soové čas pogamů FDFD a FDTD Ze sováí výpočeíh časů vháí meoda FDFD víěě. Přeso vša e meoda FDTD v pa vužíváa mohem víe. Zaímo meoda FDTD povedla ve sovávaím esu ompleí výpoče časového vývoe pole v daé suuře bl meodou FDFD saove pávě e eoačí fevee. Zaímo meodou FDTD umožňue řešeí šoé říd úloh e meoda FDFD po řešeí obeýh řídmeoálíh suu použelá e omeeě. Meod poo blo možo sova e př aalýe poblému eý e řešelý oběma přísup ož v uvedeém případě ameá řešeí poblému šého a míu po meodu FDFD. Leaua [.] Yee K. S.: Numeal Soluo of Ial Bouda Value Poblems Ivolvg Mawell s quaos Isoop Meda I Tasaos o Aeas ad Popagao (966)5 pp. -7 [.] Taflove A.: Compuaoal leodams The Fe-Dffeee Tme-Doma Mehod Aeh ouse Lodo 995 [.] Che Y.- Ma R. ams P.: Fe-Dffeee Tme-Doma Algohm fo Solvg Mawell s quaos Roaoall Smme Geomees I Tas. o MTT (996)6 pp [.] Tme-Doma Mehods fo Mowave Suues. (ded b T. Ioh ad B. oushmad) I Pess Psaawa 998 [.5] Reos K. a ol.: Přehled užé maema. SNTL Paha 988. [.6] Beege J.: A Pefel Mahed Lae fo he Absopo of leomage aves Joual o Compuao Phss Oobe 99 [.7] Tme-Doma Mehods fo Mowave Suues. (ded b T. Ioh ad B. oushmad) I Pess Psaawa 998 [.8] Tsl V.-Růžča. Obvod a eha velm vsoýh močů. SNTL Paha 985 [.9] Pau L. Švo Z.: Sabl of FDTD Cuvlea Coodaes. I: UROCON. Baslava I p. -7 vol.. [.] Pau. L. Švo Z: FDTD Sabl: Cal Tme Ieme. Radoegeeg Vol. () pp. 8-5 [.] gqus B Mada A.: Absobg Bouda Codos fo he Numeal Smulao of aves Mahemas of Compuao vol. 977 pp [.] Mu G.: Absobg Bouda Codos fo he Fe-Dffeee Appomao of he Tme-Doma leomage Feld quaos I Tas. o MC Novembe 98 [.] Mauw : avegude adboo MGaw-ll Lodo 956 [.] Alle Taflove : Advaes Compuaoal leodams Aeh ouse 998 [.5] Sas Z.S. D.M. Kgslad R.Lee: A pefel mahed asoop absobe fo use as a absobg bouda odo I Tas. o Aeas ad Popagao Vol. 995 [.6] Ralso A. Zálad umeé maeme. Aadema Paha 97.

24 [.7] Maháč J. Novoý K. Voua J Švo Z.: Numeé meod eleomageého pole spum ČVUT Paha.