Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
|
|
|
- Vítězslav Musil
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a c (x a + V miulé předášce jsme zjistili, že c 0 f(a a tj že hledaá aproximace je c 1 lim x a f(x f(a x a f (a, f(x f(a + f (a (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a c (x a + Abychom ašli oeficiet c 2, zderivujeme teto vztah a zísáme f (x f (a + 2c 2 (x a + 3c 3 (x a c (x a 1 + Koeficiet c 2 lze pa ajít ze vztahu 2c 2 lim x a f (x f (a x a df dx (a, tj jao derivaci derivace fuce f(x v bodě a Je přirozeé azvat teto výraz druhá derivace fuce f(x v bodě a Obecě defiujeme tou derivaci jao derivaci ( 1 í derivace Defiice Necht existuje ( 1 í derivace f ( 1 (x v oolí bodu a (defiujeme f (0 (x f(x Poud existuje oečá limita azýváme ji tou derivací fuce f(x v bodě a f ( f ( 1 (x f ( 1 (a (a lim, (1 x a x a S tou derivací fuce f(x v bodě a souvisí tý difereciál fuce f(x v bodě a Je to vlastě fuce proměé h dx stupě Defiice Necht má fuce f(x v bodě a tou derivaci f ( (a Pa fuci d f(a; h f ( (a h ( ebo d f f ( (a dx (2 proměé h (ebo dx, azýváme tý difereciál fuce f(x v bodě a Ze vztahem (2 souvisí začeí pro tou derivaci f ( (a d f dx (a Pro fuci jedé reálé proměé jsou pojmy tý difereciál a tá derivace v podstatě totožé a protože difereciály počítáme pomocí derivací, mohlo by se zdát, že derivace 1
2 je důležitější pojem ež difereciál Ale pro fuce více proměých už ta jedoduchá souvislost mezi difereciály a derivacemi eí Záladem je ahrazeí fuce polyomy a to se dělá pomocí difereciálů Proto je pojem difereciálu fuce v matematice důležitější ež pojem derivace, teré slouží pouze výpočtu difereciálů (poud existují Defiice Jestliže existuje -tá derivace fuce f(x v aždém bodě x M, azýváme fuci f ( (x tou derivací fuce f(x a možiě M Z předchozí předášy víme, že poud má fuce f(x a možiě M derivaci, je a možiě M spojitá Z toho plye ásledující věta: Věta Má-li fuce f(x a možiě M tou derivaci, jsou a M spojité všechy derivace f ( (x, de 0, 1,, 1 Defiice Řeeme, že fuce f(x je třídy C (M, jestliže má a M spojitou tou derivaci Má-li derivace f(x a možiě M spojité všechy derivace f ( (x, de N, říáme, že fuce f(x je třídy C (M (čte se třídy C eoečo Z předchozí věty plye C 0 (M C 1 (M C 2 (M C (M C (M Nědy je užitečý vztah pro tou derivaci součiu dvou fucí Věta (Leibizovo pravidlo Jestliže mají fuce f(x a g(x tou derivaci, platí ( f(x g(x f ( (x g ( (x (3 Pozameejme, že vztah (3 je podobý tzv biomicé větě (a + b a b, 0! de je tzv biomicý oeficiet! (! 0 Důaz: Tvrzeí doážeme iducí Pro 1 je (3 vztah pro derivaci součiu (fg f g + fg Necht (3 platí pro Derivací tohoto vztahu dostaeme (+1 ( (fg ( fg f (+1 g ( + f ( g ( ( f (+1 g + 1 f (+1 g ( + fg ( ( f (+1 g + fg (+1 + f ( g ( ( f (+1 g + fg ( f ( g ( f ( g ( +1 f ( g ( +1
3 A protože + 1! ( 1! ( + 1! +! ( + 1 ( + 1!! ( + 1!! (!! + + 1! ( + 1!, je (+1 fg f (+1 g + fg ( ( + 1 f ( g ( ( + 1 f ( g ( +1 Přílad: Necht je f(x x si x Najděte f (77 (x Řešeí: Protože x 1 a x ( 0 pro 2, je podle Leibizova vzorce (3 ( x si x x (( si x (77 (77 (76 x(si x + 77(si x 0 A protože (si x (76 si x a (si x (77 ( si x cos x je ( x si x (77 x cos x + 77 si x Nyí budeme řešit ásledující úlohu: Je dáa fuce f(x, terá má -tou derivaci a bod a Najděte polyom stupě P (x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a c (x a c (x a, (4 terý má v bodě a stejých prvích derivací jao fuce f(x, tj pro aždé 0, 1,, platí P ( (a f ( (a Když do (4 dosadíme x a, dostaeme z podmíy P (a f(a vztah c 0 f(a Když derivujeme P (x dostaeme P (x c 1 + 2c 2 (x a + 3c 3 (x a c (x a 1 c (x a 1 a podmía P (a f (a dává c 1 f (a Druhá derivace polyomu P (x je P (x 2c 2 + 6c 3 (x a + + ( 1c (x a 2 ( 1(x a 2 a z podmíy P (a f (a plye 2c 2 f (a, tj c f (a Pro r tou derivaci polyomu P (x zísáme P (r (x ( 1 ( r + 1c (x a r! ( r! (x a r r 3 r 2 0 1
4 Jestliže do tohoto vztahu dosadíme x a, jsou ulové všechy čley součtu s výjimou čleu, de r Z podmíy P (r (a f (r (a dostaeme r!c r f (r (a c r f (r (a r! Defiice Necht má fuce f(x v bodě a tou derivaci Pa polyom tého stupě T (x; a f(a+ f (a 1! (x a+ f (a 2! (x a f ( (a! (x a azýváme Taylorův polyom stupě fuce f(x se středem v bodě a Pomocí difereciálů (2 lze zapsat Taylorův polyom ve tvaru T (a + h; a terý platí i pro fuce více proměých 0 1! d f(a; h, 0 f ( (a! (x a Taylorovým polyomem aproximujeme fuci f(x v oolí bodu x a Poud ahradíme fuci f(x Taylorovým polyomem (5 uděláme chybu (5 R (x; a f(x T (x; a (6 Výraz (6 se azývá zbyte v Taylorově polyomu stupě fuce f(x se středem v bodě a Je důležité aspoň odhadout veliost tohoto zbytu, tj chybu, teré se dopustíme, dyž ahradíme fuci f(x Taylorovým polyomem Věta Necht má fuce f(x a itervalu a, b spojité derivace až do řádu včetě Necht je x (a, b a f(x f(a + f (a 1! Pa pro zbyte R (x; a platí (x a + f (a 2! (x a f ( (a! R (x; a lim x a + (x a 0 Podobě lze tvrzeí modifiovat pro iterval b, a Důaz: Máme ajít limitu f(x T (x, a lim x a + (x a (x a + R (x; a To je limita typu 0 Předpolady věty zaručují, že a teto výraz lze rát použít 0 l Hospitalovo pravidlo Ta dostaeme f(x T (x, a f (x T lim lim (x, a x a + (x a x a + (x a 1 lim x a + f ( (x f ( (a! f ( (x T ( (x, a lim x a +! 0, 4
5 protože jsme předpoládali, že tá derivace fuce f(x je spojitá Když budeme předpoládat, že fuce f(x má avíc a itervalu a, b derivaci řádu ( + 1, existuje pro zbyte R (x; a ěoli vyjádřeí Uvedeme pouze tzv Lagrageův tvar zbytu, terý má soro stejý tvar jao ( + 1 í čle Taylorova polyomu Věta Jestliže a itervalu a, b existuje f (+1 (x, pa pro aždé x (a, b existuje c (a, x taové, že R (x; a f (+1 (c ( + 1! (x a+1 (7 Přílad: Najděte Taylorův polyom stupě pro fuci f(x e x se středem v bodě a 0 a odhaděte zbyte Řešeí: Protože pro aždé je f ( (x e x, je f ( (0 1 a Taylorův polyom stupě je podle (5 T (x; x 1! + x2 2! + + x! x! Pro zbyte R (x; 0 dostaeme z (7 R (x; 0 e c ( + 1! x+1, de pro x > 0 je c (0, x a pro x < 0 je c (x, 0 Necht je yí x > 0 pevé Protože pro c (0, x je e c < e x, dostaeme R (x; 0 0 e c e x ( + 1! x+1 < ( + 1! x+1 Z toho plye, že aždé x > 0 je lim R (x; 0 0 a ( e x lim T (x; 0 + R (x; 0 lim x! + lim R (x; 0 x! Podobě pro x < 0 je c (x, 0 a dostaeme e c < 1 Proto i pro x < 0 je lim R (x; 0 0 Z toho plye, že pro aždé x R je 0 0 e x x! (8 0 Teto vztah lze použít pro defiici e x i poud je x omplexí číslo Speciálě pro ix, de x R, dostaeme e ix i! x 0 0 ( 1 (2! x2 + i 0 Podobým způsobem lze uázat, že pro aždé x R je ( 1 (2 + 1! x2+1 cos x 0 ( 1 (2! x2, si x ( 1 (2 + 1! x
6 Když srováme posledí tři vztahy, dostaeme tzv Eulerův vzorec Z ěj apřílad plyou vztahy e ix cos x + i si x, x R cos x eix + e ix 2, si x eix e ix 2i Přílad: Najděte Taylorův polyom stupě pro fuci f(x l(1 + x se středem v bodě a 0 a odhaděte zbyte Řešeí: Fuce f(x defiováa pro x > 1 Proto budeme předpoládat, že x > 1 Iducí se sado uáže, že pro aždé 1 je f ( (x ( 1 1 ( 1! (1 + x Pro oeficiety v Taylorově polyomu pa dostaeme c 0 l 1 0, c f ( (0! ( 1 1, 1 Tedy Taylorův polyom stupě pro fuci f(x l(1 + x se středem v bodě a 0 je Z (7 dostaeme pro zbyte T (x; 0 ( 1 1 x 1 R (x; 0 ( x +1 (1 + c +1, de c (0, x pro x > 0 a c (x, 0 pro x ( 1, 0 Pro x > 0 platí erovost R (x; 0 x a pro 1 < x < 0 je x +1 R (x; 0 ( + 1 ( 1 x +1 Protože pro x ( 1, 1 je lim R (x; 0 0, dostaeme pro tato x stejě jao předchozím příladě vztah l(1 + x ( 1 1 x Speciálě, pro x 1 dostaeme 1 l 2 (
7 Ja jsme se již zmíili, ahrazujeme Taylorovým polyomem fuci f(x v jistém oolí bodu a Zajímavý je případ, dy je f ( (a 0 pro 1, 2,, 1 a f ( (a 0 Pa je Taylorův polyom stupě rove a pro fuci f(x platí T (x; a f(a + f ( (a! (x a f(x f(a + f ( (a! Speciálě, je-li a stacioárí bod fuce f(x, je f(x f(a + f (a 2 (x a + R (x; a (9 (x a 2 + R 2 (x; a Má-li fuce f(x v jistém oolí bodu a spojité druhé derivace, je R 2 (x, a lim x a (x a 0 2 Proto apřílad ε 1 4 f (a > 0 existuje δ > 0 taové, že pro aždé x, 0 < x a < δ, má výraz 1 f (a(x a 2 + R 2 2 (x; a stejé zaméo jao f (a Je-li f (a > 0 je pro taová x f(x f(a f (a (x a 2 + R 2 (x; a > 0 2 a fuce f(x má v bodě a loálí miimum Naopa je-li f (a < 0, je f(x f(a < 0, tedy fuce f(x má v bodě a loálí maximum Doázali jsme tedy ásledující větu Věta Necht má fuce f(x v jistém oolí bodu a druhou derivaci, terá je spojitá v bodě a a f (a 0 Pa platí: 1 Je-li f (a > 0 má fuce f(x v bodě a loálí miimum 2 Je-li f (a < 0 má fuce f(x v bodě a loálí maximum Jestliže je ve stacioárím bodě f (a 0, můžeme o tom, zda má fuce f(x v bodě a loálí extrém rozhodout pomocí prví eulové derivace fuce f(x v bodě a Je-li tato derivace lichého řádu, tj je-li f ( (a 0 pro 1,, 2 a f (2+1 (a 0, emá fuce f(x v bodě a loálí extrém, protože prví eulový čle má vlevo a vpravo od bodu a růzá zaméa Je-li tato derivace sudého řádu, tj je-li f ( (a 0 pro 1,, 2 1 a f (2 (a 0, má fuce f(x v bodě a loálí extrém; je-li f (2 (a > 0 je v bodě a loálí miimum a je-li f (2 (a < 0 je v bodě a loálí maximum Existují eulové fuce, teré mají derivace všech řádů a pro teré je f ( (a 0 pro aždé N Příladem taové fuce je f(x e 1/x2 pro x 0 a f(0 0 Tato fuce má všechy derivace v bodě x 0 rovy ule, a tedy její Taylorův polyom libovolého stupě je rove ule Pro taové fuce je lim R (x; a 0 pro aždé x a Zajímavější 7
8 jsou fuce, pro teré existuje oolí bodu a taové, že pro aždé x z tohoto oolí je lim R (x; a 0 Tyto fuce lze v oolí bodu a vyjádřit pomocí eoečé řady, tzv Taylorovy řady, jao f(x c (x a, de c f ( (a! 0 Taové fuce se azývají aalyticé v bodě a a budeme se jimi zabývat později Podobě jao prví derivace rozhodovaly o tom, zda fuce a itervalu roste ebo lesá, rozhodují druhé derivace o tom, zda a itervalu roste ebo lesá prví derivace, tj směrice tečy To byla právě vlastost ovexích a oávích fucí Proto by emělo být příliš převapující, že platí ásledující věta Věta Necht má fuce a itervalu I druhou derivaci 1 Je-li f (x > 0 pro aždé x I, je fuce f(x a itervalu I ovexí 2 Je-li f (x < 0 pro aždé x I, je fuce f(x a itervalu I oáví Důaz: Necht jsou x 1, x 2, x 3 I a platí x 1 < x 2 < x 3 Z Lagrageovy věty plye, že existují c 1 (x 1, x 2 a c 2 (x 2, x 3 taová, že f(x 2 f(x 1 x 2 x 1 f (c 1 a f(x 3 f(x 2 x 3 x 2 f (c 2 Předpoládejme, že je a itervalu I druhá derivace f (x > 0 Pa je prví derivace f (x a itervalu I rostoucí fuce a protože c 1 < c 2 je f (c 1 < f (c 2, tj f(x 2 f(x 1 x 2 x 1 < f(x 3 f(x 2 x 3 x 2 To ale zameá, že je fuce f(x a itervalu I ovexí Důaz pro f (x < 0 je obdobý Má-li fuce f(x a itervalu I druhou derivaci, mohou být iflexí body pouze body, ve terých je f (x 0 O tom, zda je bod a, ve terém je f (a 0 iflexí bod, rozhodeme bud pomocí chováí fuce f(x v oolí bodu a ebo pomocí vyšších derivací jao v případě stacioárích bodů Napřílad je-li v bodě f (a 0 a f (a 0, má fuce f(x v bodě a iflexí bod 8
5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
1. Přirozená topologie v R n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu
6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Matematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Komplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Definice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných
- 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme
Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
Přednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
![11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel](/thumbs/94/121764039.jpg "11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel")
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
P. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
( x) ( lim ( ) ( ) 0
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a
MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
Nové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
Matematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu
Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především
Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
Iterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Petr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia
1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Kombinatorika a grafy I
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje
Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017
66. ročí matematicé olympiády III. olo ategorie A Liberec, 26. 29. březa 2017 MO 1. Na hromádce leží 100 očíslovaých diamatů, z ichž 50 je pravých a 50 falešých. Pozvali jsme svérázého zalce, terý jediý
2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
NEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
množina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
Mocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
ZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Digitální učební materiál
Digitálí učebí mateiál Číslo pojetu CZ07/500/34080 Název pojetu Zvalitěí výuy postředictvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové ativity III/ Iovace a zvalitěí výuy postředictvím ICT Příjemce podpoy Gymázium
!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě
Kapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!