VopÏnka, Petr: Meditace o základech vïdy

Transkript

1 VopÏnka, Petr: Meditace o základech vïdy Praha, Práh 2001, s. 205 Meditace o základech vïdy (dále jen Meditace) korunujì dosavadnì dìlo filosofa a matematika Petra VopÏnky. NabÌzejÌ nov vhled do zp sobu, jak m se p irozená ËÌsla podìlejì na vnìmánì reálného svïta. Snad nejvìce se p ibliûujì d ÌvÏjöÌmu Úvodu do matematiky v alternatìvnej teorii mnoûin (Bratislava, Alfa 1989), ale také se odvolávajì na t i p edeölé spisy: Ëty i knihy Rozprav s geometriì (soubornï vydané pod názvem Úheln kámen evropské vzdïlanosti a moci, Praha, Práh 2000), Podivuhodn kvït Ëeského baroka (Praha, Karolinum 1998) a Calculus infinitesimalis pars prima (Praha, Práh 1996). Mnohé z myölenek naërtnut ch v Úvodu je v MeditacÌch struënïji formulováno a uvedeno do souladu se zámïrem knihy, jìmû je vyloûenì nového konceptu p irozeného reálného svïta jako skloubenosti obzor, na nichû vyvstávajì nové kvality jako topologické tvary", jejichû modalita bytì je vyööì neû jsou modality (p irozenï) nekoneënï mnoha jednotliv ch evidovan ch krok, které k vnìmánì nového tvaru" vedou. Neostrost naöeho vnìmánì jev nenì chybou, ba naopak, p irozené nekoneëno skryté v neostrosti dovoluje vnìmat skuteënost naráz jako nov jev - tvar. Na rozdìl od Úvodu, kter je z matematického hlediska nároënïjöì, jsou Meditace psané formou esejì a drobnïjöì matematické pasáûe v druhé p lce knihy jsou bohatï komentovány. V MeditacÌch se setkáme s novï zaveden mi pojmy jako jevy dokreslujìcì, matematika kalkulacì, obzorn ez, p ehledná mnoûina, vïcná a Ëasová obrazovka, a s rozsáhl mi filosofick mi pasáûemi opìrajìcì se o René Descarta, Georga Wilhelma Friedricha Hegela, Martina Heideggera a zvláötï Edmunda Husserla, takûe poslednì dvï meditace, v nichû jsou vyloûeny Ëas i dalöì jevy p irozeného reálného svïta jako stopy - p irozenï nekoneënï mnoha dìlëìch evidencì - ukazujìcì se na obzorech naöich vïdoucìch pohled, nadchnou filosoficky uvaûujìcìho Ëtená e. Meditace jsou spìöe inspirativnìm neû snadn m ËtenÌm. V tom, co následuje, vykládám po adï, co mne nejvìce oslovilo v kaûdé z devìti meditacì tvo ÌcÌch korpus dìla. VlastnÌ úvahy a otázky odkládám vesmïs do poznámek pod Ëarou a na konec textu. Meditace prvnì. O proz enì»lovïk cel ûivot rozplétá spleù jev, aby se v nì vyznal a aby poodhalil [tajemstvì] smyslu svého údïlu, jìmû je pob vánì v této spleti jev " (16).' Fenomenologické Meditace o základech vïdy zaëìnajì od toho, co ËlovÏk bezprost ednï vnìmá. Zkuöenost jevová je základnïjöì neû zkuöenost jazyková, neboù spleù jev vnìmá i dìtï sotva rozumïjìcì eëi. Praxi uûìvánì jazyka p edcházì prvnì porozumïnì" skuteënosti (11), pro které je jev v zvou k rozliöenì nïëeho od nïëeho jiného v zorném poli tïlesného Ëi vnit nìho smyslu. Od rozliöovánì jednotliv ch jev p ejde mysl p i druhém porozumïnì" (12) k rozpoznávánì poukaz, jimiû nïkteré jevy poukazujì na jiné. Teprve '»Ìsla v závorkách odkazujì na stránky MeditacÌ o základech vïdy ORGANON F 11 (2004). No Copyright Filozofick ústav S/tK Bratislava

2 RECENZIE 95 rozpoznánì poukaz mezi jevy umoûnì p ejìt od pasivnìho sledovánì k aktivnìmu nakládánì s jevy - k myölenì. MyölenÌ zapoëìná ve chvìli, kdy mysl zaëne sama aktivnï pouûìvat poukazy mezi jevy, neboù myslet jevy nelze p Ìmo, ale jen zprost edkovanï pomocì poukaz. Poukazy, které mysl sama aktivnï p idala, jsou vnìmány opït jako jevy avöak s odliönou modalitou bytì. Základem pojmového myölenì jsou poukazy mezi jevy. Mysl myslì v pojmech, jestliûe pojìmá jev do myölenì prost ednictvìm poukazu mezi názvem, kter m je najev poukazováno, a jeho v znamem, kter je buôto p Ìmo tìm jevem, na kter je poukazováno, nebo na tento jev dále poukazuje. Názvem m ûe b t slovo, vïta, celá kniha, ale i nevyslovitelná hnutì mysli, protoûe ne vûdy myslìme ve slovech. I názvy jsou druhem jev, které mysl p idává ke stávajìcìm, a sloûitost spleti jev tak nar stá s vïkem jednotlivce i spoleënosti. (14) V kladem jevu (jev ) rozumì Petr VopÏnka takov poukaz (soubor poukaz ), kter (é) pouûìváme k jeho vyloûenì. V klady se na sebe vröì: aëkoli to v tomto mìstï nenì explicitnï eëeno, jsou základem jazyka, 2 kter pak pouûìváme k v klad m dalöìm. Kaûdou dìlëì spleù jev soustavnï vyloûenou naz vá Petr VopÏnka svït. Kaûd svït lze vïdecky zkoumat. Nap Ìklad spleù jev vnìman ch tïlesn mi smysly lze vyloûit jako p irozen reáln svït, p estoûe to souëasná p ÌrodovÏda neëinì, neboù v novovïku p ijala za sv j klasick reáln svït. Spleù jev poznávaná vnit nìm zrakem a ukazujìcì se na obzoru jako geometrické tvary, je vykládána jako geometrick svït. DalöÌmi d leûit mi svïty jsou svït myölenì a rozumïnì. 3 Kaûd jednotliv svït vïda komponuje z dále nesloûen ch prvk, pro které je v MeditacÌch uûìván název objekty. Objekty jsou jevy, kter m byla p iznána osobnost". Jev osobnosti je jevem bezprost ednï vnìmateln m, vûdyù takto ËlovÏk vnìmá sám sebe. P i prvnìm porozumïnì p ipisuje vnìmajìcì mysl osobnost kaûdému jevu, kdeûto vïdeck rozum jen základnìm jev m zkoumaného svïta, a objektem se mu stane osobnost zbavená veökeré vnit nì hloubky, pouh prázdn vïöák", na kter jsou zavïöovány pr vodnì jevy, tj. vlastnosti a vztahy. 4 Pr vodnì jevy buô samy vlastnì bytì postrádajì, nebo je hodnota jejich bytì niûöì neû má objekt, na nïmû jsou zavïöeny. Na druhé stranï závisì hodnota modality bytì jevu p edevöìm na tom, které zjev povaûujeme za primárnì. 5 To jak vïtöinou pojìmáme vïci, vlastnosti a vztahy 2 V MeditacÌch se netvrdì, ûe poukazy jsou základem jazyka, je to vöak z ejmé z kontextu. Nap Ìklad unilaterálnì znak je moûné povaûovat za nïco, co poukazuje na nïco jiného alespoú pokud lze zamïnit termìn poukazuje", kter pouûìvá Petr VopÏnka, za termìn oznaëuje" obvykl v jazykovïdï nebo logice. 1 A patrnï i svït jazyka. 4 Srovnej s popisem v knize Josef M. BocheÚski: Wspóleczne metody myslenia. PoznaÚ 1993, a recenzi této knihy viz T. Sedová, Organon F 1 (1994). N. 2, RozumÌm tomu tak, ûe vïdeck pohled nap Ìklad vidì modalitu bytì mìëe hodnotnïjöì neû jeho Ëervené barvy. Kdyby vöak byla pro naöe vnìmánì svïta primárnì Ëervená barva, stala by se naopak ona objektem a pr vodnìm jevem by pak bylo to, ûe se nacházì na mìëi. Je otázkou, proë vlastnï evidujeme nïkteré jevy jako primárnì a jak majì nap Ìklad vztah k jev m prvoevi-

3 96 RECENZIE dovoluje rozvrstvit jejich bytì do pyramidy (18), a platì, ûe ËÌm ménï jev má danou modalitu, tìm je hodnota tohoto bytì vyööì (viz téû zákon rovnováhy mnoûstvì a modality bytì, 122). PrvnÌ meditace konëì úvahami o pravdï. Jiû v Rozpravách s geometriì poukázal Petr VopÏnka na spojitost antického ideálu na Ëase a mìnïnì nezávislé pravdy s tou, která se vypovìdá o geometrickém svïtï (tvar a velikostì) a která je ovï itelná nezávisl m rozumem. Pr zraëná urëitost, ostrost a bezëasovost geometrick ch poznatk se p enesla do nároku na podobnï trvalou a p esnou pravdu. Pravda odeëtená z geometrického tvaruje p Ìkladem pravdy jako takové, nepodmìnïnï platné, která charakterizuje celek bytì. VÏren v tomto mìstï svému fenomenologickému naladïnì oddïluje Petr VopÏnka pravdy dìlëì, vyslovované v podobï pravdiv ch tvrzenì, od pravdy jako hodnoty, o nìû pìöe Martin Heidegger v p ednáöce O pravdï a bytì jako o odkrytì a osvïtlenì skrytého v jeho neporuöené zjevnosti, k nïmuû jsme vedeni svobodnou v lì, jeû vybìrá to. co je a co b t má. Pravda nenì jen to odkryté, ale i to, co nás k odkrytì vábì. pravda je celistvá zjevnost, kterou vûdy stále jeötï hledáme, - tak se mi jevì, co Ìká v tomto mìstï o pravdï Petr VopÏnka. P esvïdëivï ukazuje, ûe kaûdé dìlëì odkrytì vûdy také zakryje nïco jiného v celku pravdy a ûe hromadïnìm dìlëìch pravd se m ûeme od pravdy dokonce odvracet. Hodnota pravdy nenì souëtem dìlëìch pravdiv ch tvrzenì, 6 modalita jejìho bytì je vyööì. M lì se lidé, kte Ì nerozliöujì mezi dìlëìmi pravdami a celkem pravdy a kte Ì mìnì. ûe kaûdá pravda je jen relativnì a ûe vlastnï ûádná nenì. Jejich názor Petr VopÏnka vyvracì úvahou 7 vyslovenou struënï a pro autora p ÌznaËnÏ: Naopak kdyby byly toliko pravdy relativnì, pak i toto tvrzenì [rozumïj tvrzenì, ûe ûádná pravda jako taková nenì] by p i nïkterém pohledu zachycovalo nepravdu, takûe ti, kte Ì ho zastávajì, tìm vlastnï na sebe prozrazujì, ûe tento pohled nedovedou zaujmout, ûe je jim tìmto tvrzenìm zakryt, a jsou tedy na scestì" (29). Úvahami o pravdï jsou proloûeny v závïru prvnì meditace myölenky o nezp sobilosti modernì vïdy vysvïtlit podstatu osobnosti ËlovÏka. Jestliûe pravda existuje jako to, co ËlovÏk vyznává a pro co se svobodnï rozhoduje, pak vïdecké zkoumánì ËlovÏka jako vyprázdnïného" objektu je beznadïjnï zjednoduöené, protoûe jeho vnit nì svoboda se nijak neukazuje na struktu e pr vodnìch jev na vyprázdnïn ch vïöácìch objekt. Láska a soucit obsahujì vûdy jeötï nep edvìdatelnou dimenzi, kterou ûádn takov v klad nepostihne a p itom to jsou jevy neménï hodnotné neû k vánì kyvadla...kdo toto nevnìmá a pyönï se domnìvá, ûe toliko chladn rozum dob vá pravdu, sklouzává k nepravdï rodìcì zloëin... Nepravda je semeniötïm zla a nep edpojat chladn rozum (tak vysoce ve vïdï cenïn ) m ûe b t dokonce jeho obhájcem." (31a 30) Pravá vïda se má nechat pravdou vést", jejìm úkolem je vyznat se ve spleti jev " a ne si pravdu p ivlastúovat. EmotivnÌ zp sob vyjad ovánì zde a na nemnoha dovateln m, o kter ch se mluvì na s Pro fenomenologa je patrnï primárnost jevu danost, jejìmû p vodem se nezab vá. 6 Tohle plyne také z kontextu Gódelov ch pracì, na které Petr VopÏnka v matematice navázal. 7 známou jiû z Platónovy polemiky s Prótagorou v dialogu Theaitétos

4 RECENZIE 97 dalöìch mìstech svïdëì podle mého soudu o úctï jejìho autora k pravdï jako hodnotï: spoleëenská sìla takové pravdy spoëìvá v podpo e, kterou obdrûì od lidì usebran ch. své omylnosti si vïdom ch a pravdu pokornï hledajìcìch. Meditace druhá. O novovïké vïdï evropské Ideál trvalé a p esné pravdy byl posìlen zvláötï poté, kdy Isaac Newton (spolu s p edch dci) vytvo il mechanick svït vloûenìm hmoty a geometrick ch objekt do klasického geometrického absolutnï nekoneëného prostoru. Setrval pohyb v takovém prostoru p ebìrá vlastnosti tohoto prostoru, takûe Newton v zákon o setrvaënosti a na nïj navazujìcì ostatnì zákony se opìrajì o vlastnosti tohoto homogennìho prostoru. Protoûe idealita geometrick ch objekt má p vod v rozumu, mohl o nïco pozdïji prohlásit Immanuel Kant, ûe vïdu lze tvo it z Ëistého rozumu a ûe Ëas a prostor jsou dva prameny poznánì, z nichû lze a priori Ëerpat syntetické poznatky. Petr VopÏnka vysvïtluje, ûe Kantovy prameny syntetického a priori majì p vod v povaze p irozen ch ËÌsel a jejich p ÌspÏvku k vnìmánì tvar ". Jak ale rozum uchopuje geometrick svït s jeho tvary? StejnÏ jako v PrvnÌch rozpravách s geometriì i v MeditacÌch se mluvì o duöevnìm zraku, kter dokáûe od tïlesn m zrakem vidïné teëky dojìt do bodu, od Ëáry k úseëce atd. Tvary, které oko rozeznává na zemïpisném obzoru, jsou dále duöevnìm zrakem vyost eny (p irozenï) nekoneën m oddálenìm" aû k pevné mezi, na nìû vyvstanou - tak jako tïlesn zrak i tento duöevnì sklouzne k svému obzoru a tam ulpì (73). V p irozeném svïtï vyvstávajì geometrické tvary na obzoru a v podstatné mì e jej utvá ejì. Jiû v antice byl vöak tento svït jeötï dále rozepnut do absolutnìho nekoneëna. Na obzoru absolutnï nekoneëného svïta vyvstávajì geometrické tvary s ideálnì, absolutnï nekoneënou p esnostì. D vody pro vyost enì p esnosti jsou podrobnïji vyloûeny v PrvnÌch rozpravách s geometriì: objev nesoumï itelnosti délek p imïl Pythagoru uvaûovat o (p irozenï) nekoneënï malé jednotce, pomocì nìû by bylo moûné mï it r zné druhy délek. TÌm se stala délka mï itelnou veliëinou a stanovenì hodnoty r zn ch druh délek v ËÌselném systému se p ipodobnilo stanovenì hodnoty r zn ch druh zboûì v penïûnìm systému. Tak jako musì b t penïûnì jednotka tolikrát menöì neû pomïr penïûnìch hodnot dvou mnoûstvì r zného zboûì, kolikrát m ûeme jejich mnoûstvì zmenöovat, aby bylo jeötï smïnitelné, tak musì b t ËÌselná jednotka tolikrát menöì neû pomïr nap. strany a úhlop ÌËky pïtiúhelnìka, kolikrát lze opakovat evidenci odpovìdajìcìho pomïru na zmenöovan ch pïtiúhelnìcìch, kdyû se strana vïtöìho stane úhlop ÌËkou menöìho. Ve svïtï vnìmatelném smysly proces evidovánì nesoumï itelnosti stran a úhlop ÌËek pïtiúhelnìk brzo narazì na své dno (nap Ìklad na tabuli nenakreslìme menöì pïtiúhelnìk neû jak dovolì tlouöùka Ëáry k Ìdou) a proto p vodnì Pythagorova nekoneënï malá jednotka byla ta, se kterou by dokázal pomï ovat délky Zeus, jehoû schopnosti jen o nïco málo p edëì schopnostì lidské. V ideálnìm p ÌpadÏ je ovöem toto zmenöovánì bludnï nekoneëné: vede tam, kam ani Zeus nedohlédne sv m duöevnìm zrakem, tam, kde proces bludnï opakovaného zmenöovánì pïtiúhelnìk " vede do absolutnìho nekoneëna, jeû antiëtì myslitelé jiû také znali. A právï s eukleidovsk m prostorem do absolutnìho nekoneëna rozepnut m (klasick m) byl ztotoûnïn do vöech stran nekoneën, novovïk vesmìr. Teprve Einsteinova nová koncepce p ÌrodovÏdy rozbila tuto strnu-

5 98 RECENZIE lou geometrickou konstrukci a p edznamenala návrat k jev m sam m, jak doporuëoval krátce p edtìm Edmund Husserl, jehoû odkaz Petr VopÏnka rozvìjì. P Ìklon k ideálu p esné pravdy nebyl jedin m d sledkem prostoupenì geometrického svïta s reáln m svïtem novovïké vïdy. Druh m d sledkem byla matematizace p ÌrodovÏdy, jejìmû nejpodstatnïjöìm rysem jsou kalkuly, 8 Kalkuly slouûì k p edpovìdánì, bez nïhoû by byla novovïká evropská vïda nemyslitelná. Historicky prvnìm byl aritmetick kalkul, kter ovládli indiëtì Arjové dìky vynálezu poziënì ËÌselné soustavy a kter byl dotvo en v 7. stol. n. 1. (35). K nïmu v novovïku p ibyly dalöì kalkuly: algebraick pro eöenì slovnìch úloh, Descart v pro kalkulace v geometrii s uûitìm algebry (Descartes zavröil cestu, kterou nastoupil v 9. stol. matematik al ChvárizmÌ, znalec indického aritmetického kalkulu i Eukleidov ch základ geometrie) a infinitesimálnì kalkul Newton v a Leibniz v pro poëìtánì s funkcemi. Kalkulem zvláötnìho druhu je hláskové pìsmo (38). Kaûd kalkul, kter je provázen jevem velikosti, lze p evést na poëìtánì s reáln mi ËÌsly (45). Pro podrobnïjöì seznámenì s úlohou reáln ch ËÌsel je dobré nahlédnout také do PrvnÌch rozprav s geometriì. Jiû bylo eëeno, ûe Pythagoras zavedl nekoneënï malou jednotku velikosti, aby mohly b t porovnávány r zné druhy délek. ZvolÌme-li takové mï Ìtko, v nïmû je strana pïtiúhelnìka jednotková, je jeho úhlop ÌËka vyjád ena ËÌslem iracionálnìm. D vody pro za azenì iracionálnìch ËÌsel na osu ËÌselnou vzeöly tedy p vodnï z geometrie: protoûe geometrické úseëky byly nynì jevy reáln mi, byly jimi i pomïry délek" (45). RozepnutÌm svïta do absolutnìho nekoneëna doölo k obohacenì ËÌselné osy o iracionálnì ËÌsla. PrávÏ tìm byl p esunut geometrick svït na nep ekroëiteln obzor v absolutnìm nekoneënu. 9 ^ A koneënï t etìm d leûit m d sledkem spojenì geometrického svïta a reálného svïta bylo zneváûenì jev neurëitosti 10 novovïkou vïdou. NeurËitost byla p isouzena subjektivnìmu vnìmánì, zatìmco objektivnìmi se staly jen jevy ostré a p esné. Tak byl i nep esnï vnìmajìcì ËlovÏk vylouëen z okruhu jev, o nichû m ûe vïda pojednat. Za objektivnì zaëaly b t pokládány jevy matematizovatelné (zejména kalkuly), lépe eëeno ty, na jejichû matematizaci stávajìcì vïda staëì, ale to pak znamená, ûe za subjektivnì oznaëila ty, na které nestaëì (50). Zejména nep esnost bere novovïká vïda na vïdomì jen jako urëitou nedokonalost, kterou je t eba co nejvìce omezit. Ale ËlovÏk se sv m nep esn m vnìmánìm je 8 J e m o ûn 'rojì pohled na kalkuly pouûìvané vïdou: 1. praktické uûìvánì, které je mechanickou záleûitostì, 2. volba formálnìch prost edk a optimalizace algoritmu, které jsou záleûitostì matematiky kalkulacì a 3. objev vhodného kalkulu pro dan vïdnì obor, jenû je umïnìm, které je nad jiné obtìûné... a vytvo enì takového dìla bylo vûdy záleûitostì dalekosáhlého dïjinného v znamu (37). Zejména ad 3) napovìdá, ûe kalkuly nepokr vajì oblast racionálnìho úplnï a nelze je proto povaûovat za jediná paradigmata racionálnìho myölenì. 9 Analogicky bych si p ála doplnit, ûe p echod od p irozen ch ËÌsel k racionálnìm doprovázì p echod od teëky k bodu, od rovné Ëáry k úseëce, od kola ke kruhu, od pravidelného Ëty úhlého obrazce k Ëtverci apod., ËÌmû geometrické tvary vyvstanou na obzoru ve vzdálenosti p irozeného nekoneëna. 10 z i ev, neur Ëit ch se Petr VopÏnka zab vá jevy nep esn mi, neostr mi a nerozliöiteln mi, ale neurëité jsou jistï také jeötï jevy nejasné, nez etelné, nestálé, sporné, klamné, matoucì apod. i

6 RECENZIE 99 také souëástì skuteënosti a zp soby, jak mi pozoruje, aù uû jsou to tïlesné smysly nebo p Ìstroje, jimiû vnìmavou schopnost prodluûuje, se mìrou p esnosti principiálnï neliöì od pozorované skuteënosti. SvÏt, v nïmû ûijeme, je nep esn. NenÌ to tak, ûe se jevì nep esn, on nep esn skuteënï je. Stavby a stroje, které navrhujeme jako ideálnì geometrické a mechanicko-elektromagnetické konstrukce, ovï ujeme pomocì v poët s omezen m poëtem desetinn ch mìst - v principu tedy vystaëìme s pomïrnï mal mi p irozen mi ËÌsly. Je povïreëné vidït je jako ideálnì konstrukce: v pozadì pak totiû nestojì nic jiného neû p edpoklad dokonale bystrozrak ch smysl, které by vidïly svït prav a jedinï správn. Ale takového se nedohledáme. Jsou snad nejsprávnïjöìm vysvïtlenìm pro zvlnïné obilné pole klasy obilì, nebo buúky v klasech, nebo atomy v buúkách atd.? Naöe pohledy nesou peëeù rozmïr Ëidla: co pod mikroskopem vidìme jako jednotlivé buúky v zrnech, zblìzka jako obilné klasy, to zdálky vidìme jako zvlnïné obilné pole. Vöechny pohledy jsou pro nás d leûité, teprve dohromady tvo Ì reáln svït. Omezenost urëitého pohledu nenì chybou, ale naopak pozoruhodnou schopnostì nás omezen ch bytostì pochopit neomezené. Pro neomezené pouûìvali sta Ì Rekové termìn apeiron. Kdyû o apeiru pojednává v PrvnÌch rozpravách s geometriì, Petr VopÏnka Ìká, ûe apeiron k ûivoucìmu svïtu bytostnï náleûì", je vöude témï na dosah ruky" a jakoûto naprosto neohraniëené nem ûe b t p edmïtem ûádné vïdy". Od apeira odliöuje nekoneëno, které nemá vlastnì hranici alespoú v jednom smïru" a p edmïtem vïdy tedy b t m ûe. Neostrost, jìû je poznamenán kaûd náö pohled, nenì apeirem úplnï. Pokrok vïdy spoëìvá znovu a znovu v tom, ûe z apeira, které se v nïkterém aspektu omezì, se stane nekoneëno, s nìmû uû si vïda dovede poradit. TÌm, co pohled omezuje a p emïúuje apeiron na nekoneëno, je obzor, kter je v pohledu vûdycky p Ìtomen. Pohled na obzor vûdycky dohlédne a v tom smyslu je obzor koneënï blìzk, a p itom je zase naopak nekoneënï vzdálen poëtem krok, které musìme p ekonat cestou po p edmïtu nïkam jinam - na obzor. Obzor nenì daleko a p ece je nekoneënï daleko (134). Tento rozpor je zdrojem neostrosti vidïnì a v nïm skrytého nekoneëna. Meditace t etì. O fundamentálnì triádï PrvnÌm krokem pro porozumïnì neostrosti vnìmánì jako nekoneënu je zavedenì fundamentálnì triády. FundamentálnÌ triádou Petr VopÏnka rozumì následujìcì t i Ëásti, které má kaûd náö pohled: 1. to, co právï vidìme, tj. osvïtlenou Ëást toho, na co se dìváme, 2. obzor naöeho pohledu; na nïm je to, na co se dìváme, tvarováno naöì schopnostì vidït, 3. to, co nevidìme, tj. neosvïtlená Ëást toho, na co se dìváme. TermÌny pohled, obzor, osvïtlená Ëást, vidïnì jsou zde uûity jako metafory: vïdïnì je p ipodobnïno k vidïnì. Nap Ìklad obzorem se nerozumì pouze zemïpisn obzor, ale obzor v nejobecnïjöìm slova smyslu omezujìcì kaûdé vïdïnì. Na obzoru se obraznï eëeno pozorovan p edmït" vyno uje na svïtlo vïdïnì, anebo mizì do tmy nevïdïnì. To, co na obzoru vidìme, nenì p edmït sám, ale jeho pozmïnïná podoba, skrze niû se na obzoru ohlaöuje, co z stalo doëasnï nebo trvale

7 100 RECENZIE skryté za obzorem a co naöe vnìmanì p idává" k p edmïtu." Podle tzv. iniciálnìho principu (61) je obzor vhodn m nástrojem k pronikánì do neosvïtlené Ëásti jakéhokoli p edmïtu naöeho zájmu, kam Ëást tohoto p edmïtu zapadla". Obzor je obecnï tìm, co ohraniëuje probuzenost naöeho porozumïnì (62). NemusÌme tedy znát cel p edmït do vöech podrobnostì, abychom mu dokázali porozumït jako celku, aëkoli je jistï pravda, ûe tìm celkem omezen m obzorem tu pak nenì p edmït jako takov, ale to, jak se nám jevì. MusÌ ale vûdycky za obzorem nïco b t? KrajnÌm p Ìpadem by bylo, kdyby se p edmïtem zájmu staly modality bytì. Pak by obzor ohraniëoval tento p edmït absolutnï a bytì na obzoru by p eölo do nebytì za obzorem. Obzor by pak poukazoval na p echod toho, co je (nïjak) jsoucì, do nicoty" (65), triáda by p eöla v dyádu a iniciaënì princip by pozbyl smyslu. Tento krajnì p Ìpad obvykle pomìjìme, jsme-li p esvïdëeni, ûe cesta za obzor nevede do nicoty, ale je uskuteënitelná.»asto se dokonce vyplácì p ijmout p edpoklad (tezi), ûe se za obzorem nenacházì v podstatï nic jiného, neû p ed obzorem. Za p esvïdëenì tohoto druhu vdïëì vïda dvojì naladïnosti: antické a st edovïké. V antice lidé vï ili, ûe se za obzorem nenacházì nic, co by bylo v rozporu s nïëìm p ed obzorem. NÏco nebezpeëného se tam ale objevit m ûe, jak o tom svïdëì Homérova Odyssea. Naproti tomu Kolumbova cesta na samém konci st edovïku vypovìdá o p ekonánì strachu z neznáma a neohroûeném pronikánì za obzor. Pro novovïkou vïdu je pronikánì za obzor bytostnï d leûité. Obzor nenì ûádnou pevnou Ëarou na p edmïtu, jeho umìstïnì se mïnì se zmïnou pozorovacìho stanoviötï: obzor po p edmïtu klouûe. AËkoli ze silnice vidìme jen Ëást bïûìcì k obzoru, m ûeme postupnï poznat i Ëást za obzorem. V tomto p ÌpadÏ spadá celá neosvïtlená Ëást p edmïtu do operaënìho pásma obzoru" (72). V tezi o vöudestejnosti p edmïtu za obzorem spoëìvá sláva i pád vïdy: kdyby se obzor dal vûdycky odsunout za p edmït, nez stalo by za obzorem nic a nebylo by co objevovat. Obrat me nynì pozornost k jev m, které se ukazujì p Ìmo na obzoru. P edstavme si, ûe bychom mohli vidït stále ost eji nap Ìklad st l stojìcì p ed námi. Nejprve lupou, poté stále silnïjöìm mikroskopem by se nám da ilo oddalovat obzor. Brzy bychom zaëali vidït r zné hrboly a prolákliny, které by se Ëasem mïnily v dìry procházejìcì stolem. Tvar stolu by se mïnil aû bychom se po jisté dobï dokonce bránili nazvat stolem to, co bychom vidïli. Nejinak by tomu bylo, kdybychom si sice ponechali své dosavadnì zrakové schopnosti, ale neustále se zmenöovali. V tomto p ÌpadÏ by dokonce pozorovan st l zanedlouho p esáhl naöe zorné pole, a kdybychom se v takovém postavenì ocitli naráz, nebyli bychom v bec schopni poznat, ûe se nacházìme uvnit nïjakého stolu. Spolu se sv m tvarem by zmizel i pozorovan st l. D ÌvÏjöÌ tvary stolu tedy odcházejì s obzory d ÌvÏjöÌch pohled. Jin mi slovy, tvar pozorovaného stolu - a pochopitelnï netoliko stolu - je jevem ukazujìcìm se na obzoru daného pohledu... krátce eëeno obzor tvaruje náö reáln svït" (73-74). A protoûe je obzor " Analogicky jako se na zemïpisném obzoru ukazujì mìsto útvar tvary - mìsto st ech dom lomené Ëáry, mìsto kopc obliny atd. - ukazujì se na obzoru geometrického vidïnì mìsto lomen ch Ëar úseëky, mìsto oblin kuûeloseëky atd. a na obzoru vïdïnì mìsto konkrétnìch fakt obecniny, principy a hodnoty. Á

8 RECENZIE 101 tìm, co p idává k pohledu pozorovatel, je patrné, ûe reáln svït je souvztaûn s ËlovÏkem" (76). Máme pak v bec právo hovo it o nïjak ch objektivnìch tvarech r zn ch vïcì, které nejsou závislé na naöem pohledu? Takto se táûe Petr VopÏnka a nepokládá za vylouëené, ûe lidé mikrosvïta nebo megasvïta by mohli na sv ch obzorech pozorovat úplnï jiné tvary neû my a ûe p edpoklad objektivnìch tvar nenì niëìm jin m neû p edpokladem, ûe tyto mïnìcì se tvary konvergujì k nïjaké limitï, nebo alespoú ûe r zné zp soby zaost ovánì pohled a pono ovánì se do' hlubin mikrosvïta vedou k limitám navzájem nïjak soudrûn m a podobnï. K p ijetì takové hypotézy ovöem ûádné pádné d vody nemáme" (74-75). OdmÌtnutÌ objektivity geometrick ch tvar. tj. tvar, které nezávisì na ûádn ch pohledech, se net ká geometrick ch tvar, které se ukazujì na obzoru nïjakého v bec nejost ejöìho - to je BoûÌho - pohledu" (74). Petr VopÏnka se domnìvá, ûe BohoËlovÏkovo na pohledech nezávislé stanoviötï si p ivlastnila novovïká vïda, a s nìm i p edpoklad, ûe reálné je to, co vidì BohoËlovÏk. Klasick reáln svït vïdy p eváûil nad p irozen m. T etì meditace konëì zamyölenìm o d sledcìch klouzánì obzoru v operaënìm pásu. InfinitesimálnÌ kalkul objeven Newtonem a Leibnizem na p elomu 17. a 18. stol. je zaloûen na rozliöenì dvojìho postavenì obzoru: toho, na kterém se ukazujì jevy p irozeného geometrického svïta, a toho, na kterém se ukazujì jevy klasického geometrického svïta (podrobnïji viz VopÏnk v spis Calculus infinitesimalis, pars prima, Praha, Práh 1996). P i klouzánì obzoru mezi tïmito dvïma polohami se nemïnì geometrické tvary, ale mïnì se p irozená ËÌsla (p ib vá jich p i p esouvánì smïrem ke klasickému obzoru). Algebraické kalkulace provádïné na obzoru klasického geometrického svïta symbolicky zastupujì iracionálnì ËÌsla jako rc, ^12, e apod., avöak vlastnì aritmetické v poëty jsou provádïny na obzoru p irozeného geometrického svïta, takûe poëìtánì s tïmito ËÌsly nevyboëì z oblasti mal ch p irozen ch ËÌsel (kalkulace provádìme s omezen m poëtem cifer). Tato podvojnost se vyplácì: most se nez ÌtÌ, p estoûe jeho ideálnï navrûenou geometrickou konstrukci nejsme schopni ideálnï propoëìtat ani p esnï zhotovit. Dosahovaná (p irozená) p esnost je vöak dostateëná pro funkënost staveb a stroj. Meditace Ëtvrtá. O mnoûstvìch»tvrtá meditace p ipravuje matematické prost edky svïta abstraktnì matematiky, v nïmû je moûné modelovat povstávánì tvar na obzoru. PodobnÏ jako v prvnì meditaci jsou povaûovány za základnì prvky tohoto svïta objekty, neboli ty jevy, jimû byla p iznána (okleötïná) osobnost. Objekty si lze p edstavit jako jakési prázdné vïöáky, 12 jeû byly odlouëené (abstrahované) od jev, které na nich byly zavïöeny. AbstraktnÌ objekty jsou vnit nï prázdné, nestrukturované, samostatné a naprosto neteëné. Jsou úplnï stejné a p itom od sebe ost e oddïlené (94). Jedin m jevem, jenû samovolnï a 12 Prázdné vïöáky Petra Vopénky p ipomìnajì nahá individua Pavla Tichého (viz jeho O Ëem mluvìme. Vybrané stati k logice a sémantice. Praha, Filosofie 1996 a téû jeho Ëlánek Jednotliviny a ich roly", Organon F 1 (1994), N. 1-4, 29-42, , , ).

9 102 RECENZIE nerozluënï provázì povstávánì abstraktnìch objekt je jev mnoûstvì a abstraktnì matematika je jeviötïm, na nïmû mnoûstvì p edvádì své rozmanité tvá e (95). Vedle mnoûin klasického svïta abstraktnì matematiky, povaûuje Petr VopÏnka za souëást svïta mnoûin také polomnoûiny, druhotné nositelky 13 jev neostrosti, které vyvstávajì jako vlastnì podt Ìdy na velk ch mnoûinách abstraktnìch objekt. Polomnoûinou je nap Ìklad t Ìda vöech p irozen ch ËÌsel, pro nïû platì, ûe odebereme-li z nïjaké hromady pìsku takov to poëet zrnìëek, stále jeötï zbude hromada pìsku" (83), a poznáme je podle toho, ûe se vyskytujì spolu s paradoxy, pokud jimi v öiröìm smyslu rozumìme také dvojznaënost, mnohoznaënost a vágnost. P Ìkladem paradoxnì dvojznaënosti jsou následujìcì dvï tvrzenì: 1. mládïtem opice m ûe b t zase jen opice a 2. podle Darwinova uëenì se ËlovÏk vyvinul z opice, takûe nïkdy muselo nastat, ûe se potomkem opiëáka stal ËlovÏk. Polomnoûinou na mnoûinï Ëlen darwinovské ady, jejìmû prvnìm prvkem je opiëák a poslednìm ËlovÏk, je vlastnì podt Ìda tïch Ëlen, které jsou opicemi. Obor abstraktnìch t Ìd p edstavuje univerzálnì matematiëno. Jestliûe rozumìme abstraktnì strukturou matematick ch svït rozvrh poukaz mezi jeho jednotliv mi jevy odlouëen od náplnì tïchto jev (96), pak je moûné modelovat na oboru abstraktnìch t Ìd strukturu vöech ostatnìch matematick ch svït i reálného svïta vykládaného jako spoleëenstvì objekt. Lze modelovat dokonce i jevy dokreslujìcì, jejichû typick m p edstavitelem je prostor. Prostor je v topologii modelován tak, ûe se zaplnì geometrick mi body, které je moûné pochopit jako abstraktnì strukturu (99). V dodatku ke Ëtvrté meditaci je ukázáno, ûe i p irozená ËÌsla lze modelovat na oboru abstraktnìch t Ìd, a takov mi modely jsou nap Ìklad John von Neumannovy modely p irozen ch ËÌsel. PrávÏ ony jsou zvláötï vhodné pro ËÌslovánÌ polomnoûinov ch ËástÌ velk ch kaln ch mnoûin, jak se pozdïji ukáûe p i matematizaci neostrosti resp. nerozliöitelnosti v meditaci öesté resp. sedmé. 14 Ale jeötï p edtìm, v páté meditaci se staneme svïdky, jak se tzv. p irozené nekoneëno ukazuje jiû na pomïrnï mal ch (koneën ch) p irozen ch ËÌslech modelovan ch na oboru abstraktnìch t Ìd. Meditace pátá. O nekoneënu, neostrosti a p irozen ch ËÌslech JednÌm z hlavnìch cìl MeditacÌ je oûivit do nevïdomì zasouvan oboustrann odkaz mezi nekoneënem a neostrosti" (113). NekoneËno je vöude kolem nás: je p Ìtomno v neostrosti jev p irozeného svïta. NekoneËno, které se nám bezprost ednï a prvotnï ukazuje" (112) nenì klasické, ale p irozené. Matematicky je p irozené nekoneëno nekoneënou mnoûinou, poëet jejìchû prvk n je koneën m ËÌslem a platì 13 Petr VopÏnka rozliöuje prvotnì a druhotné nositelky jevu neostrosti. PrvotnÌmi nositelkami jevu neostrosti jsou vlastnosti jako zelenost, zajìmavost, öpinavost nebo tìûe apod., a druhotn mi nositelkami jsou vlastni podt Ìdy kaln ch mnoûin, nap. podt Ìda zelen ch list na kalné mnoûinï vöech list na stromech v nïjakém podzimnìm listnatém lese, podt Ìda vöech pro mne zajìmav ch knih na kalné mnoûinï vöech knih v dané mïstské knihovnï, öpinav ch aut v Praze nebo tïûk ch balvan v urëitém kamenolomu (83-84). 14 John von Neumannovy modely modelujì ordinálnì p irozená ËÌsla.

10 RECENZIE 103 n=n+l. Pro ilustraci p Ìpadu 11 /7= 1000 m ûe slouûit p ÌbÏh o poëtu host v hotelu o tisìci pokojìch: P edstavme si nejprve hotel o nekoneënï mnoha pokojìch, které jsou oëìslovány vöemi p irozen mi ËÌsly a vöechny jsou obsazené, kaûd jen jednìm hostem. OznaËme A mnoûinu vöech host tohoto hotelu. P esto je moûno ubytovat dalöìho hosta, kter p iöel poûádat o nocleh, aniû by v nïkterém pokoji byli ubytováni dva hosté. UËinÌme to tak, ûe ho ubytujeme do pokoje ËÌslo I a zároveú kaûdého hosta z pokoje ËÌslo n p estïhujeme do pokoje n+l. Je z ejmé, ûe tìmto zp sobem mnoûinu B, utvo enou p idánìm nového hosta k mnoûinï A, vzájemnï jednoznaënï zobrazìme na mnoûinu A. P edstavme si ale, ûe náö hotel má pouze tisìc obsazen ch pokoj. P esto m ûeme postupovat stejnï jako prve. NovÏ p ÌchozÌho hosta m ûeme ubytovat do pokoje ËÌslo 1, hosta z pokoje ËÌslo 1 do pokoje ËÌslo 2 atd. PonÏvadû stïhovánì host provádìme postupnï, nebude zcela jistï bïhem noci ukonëeno (na hosta u pokoje ËÌslo tisìc se v bec nedostane). P itom stejnï jako prve bude kaûd host témï po cel den ubytován. V tomto p ÌpadÏ tedy mnoûina o tisìci pokojìch p edstavuje polomnoûinovou Ëást, do nìû náleûejì ty pokoje, v nichû asi probïhne stïhovánì. Tato polomnoûina se chová podobnï jako klasická mnoûina vöech p irozen ch ËÌsel. Mohli bychom sice namìtnout, ûe v prvnìm p ÌbÏhu lze celé stïhovánì provést naráz. PochopitelnÏ, ËÌm vìce budeme podmìnky zost ovat, tìm ménï polomnoûin bude povstávat, ale tìm vìce se bude naöe uvaûovánì odpoutávat od p irozeného reálného svïta. Mohli bychom vöak opáëit, ûe v prvnìm z uveden ch p ÌbÏh se musì stïhovat nesrovnatelnï vìce host, a jak druh p ÌbÏh ukazuje, drtivá vïtöina z nich se stïhuje zbyteënï." ( ) Pro poëet host tedy i v druhém p ÌpadÏ platì, ûe n=n+1, takûe pouûìvánì rovnosti 1000=1001 je v tomto p ÌbÏhu naprosto oprávnïné" (151). P estoûe je ËÌslo 1000 koneëné, chová se jako nekoneëné. Vûdyù rovnost n=n + l je tou vlastnostì, kterou se liöì nekoneëná ËÌsla od koneën ch. U zrodu VopÏnkovy koncepce p irozeného nekoneëna 16 stály názory Bernarda Bolzana (114, viz téû VopÏnkovu knihu Podivuhodn kvït Ëeského baroka. Praha, 15 V PrvnÌch rozpravách s geometriì je uveden jako p Ìpad p irozeného nekoneëna poëet hvïzd na jasné noënì obloze p i pozorovánì pouh ch okem. Podle astronomick ch p ÌruËek m ûeme za jasné noci na severnì polokouli vidït jen koneën poëet hvïzd - asi sedm tisìc hvïzd a p esto se oku zdá, ûe je jich nekoneënï mnoho, protoûe vidì stále vìce hvïzd ménï jasn ch, aû nakonec nedokáûe poznat, zda mnohá neurëitá problesknutì hvïzdami jsou nebo nejsou. 16 NekoneËno je v této koncepci modelováno pomocì neost e vymezen ch vlastnìch t Ìd - polomnoûin, které jsou souëástì p irozeného oboru abstraktnìch t Ìd vykládaného v duchu Husserlova návratu k jev m. P irozené nekoneëno, s nìmû se na vlastnìch podt Ìdách setkáváme je potenciálnì (na rozdìl od aktuálnìho nekoneëna Canlorova univerza mnoûin) a p irozen obor abstraktnìch t Ìd je nevyëerpateln (vûdy jeötï ne zcela aktualizovan ). Tzv. tvrdá sloûka oboru abstraktnìch t Ìd má hierarchickou stavbu, která smïrem k vrcholu pozb vá ostrost: p esnïji je stále obtìûnïjöì udrûet ostrost p i vymezovánì mnoûin stále vyööìch stupú hierarchie" (117). zatìmco mïkká sloûka je tvárná" a musì po tvrdé sloûce klouzat jako obzor po zkoumaném p edmïtu". PrávÏ mïkká sloûka slouûì k zachycenì a sledovánì mnoûstvì jakoûto nositele jevu neostrosti a jeho zmïn" (117).

11 104 RECENZIE Karolinum 1998). Bernard Bolzano se domnìval, ûe pojem nekoneëna se t ká skladby mnoûstvì. A právï dìky skladbï von Neumannov ch model p irozen ch ËÌsel m ûe za jist ch okolnostì platit n=n+1 i pro koneëné n. O jak ch okolnostech se tu mluvì, zeptá se udiven Ëtená po cel ûivot utvrzovan v p edstavï, ûe ËÌslo tisìc se nikdy nerovná ËÌslu tisìc plus jedna, Ëtená, kter by ubytovánì tisìce a jednoho hosta eöil radïji p esnï" tak, ûe by namìsto celodennìho ubytovánì sëìtal minutové pobyty v r zn ch pokojìch nebo by prostï tisìcìho prvnìho hosta ubytovat odmìtnul. Takového Ëtená e - donedávna jsem jìm byla sama - by ani ve snu nenapadlo pochopit p ÌbÏh o hotelu a hostech jako ilustraci skladebn ch vlastnostì p irozen ch ËÌsel, coû je p esnï to, co se nynì po nïm ûádá: podìvat se nov ma oëima na p irozená ËÌsla. Shrneme, co je o nich v MeditacÌch eëeno. Petr VopÏnka p edevöìm ËinÌ rozdìl mezi mal mi p irozen mi ËÌsly, koneën mi p irozen mi ËÌsly a tïmi, která jsou sice koneëná, ale chovajì se jako nekoneëná. Malá p irozená ËÌsla se ukazujì vlastnï na kaûdém shluku jev, kter nenì jednolit, a v tomto smïru jsou to jevy univerzálnì.»ìsla majì i svou kvalitativnì stránku, nïkteré jevy reálného svïta se vûdy ukazujì ve dvojicìch, trojicìch..." (64). Protoûe se ukazujì i ve svïtï poznávaném tïlesn mi smysly, jsou to zároveú jevy p ÌrodnÌ" (63). Malá p irozená ËÌsla jsou p Ìmo vnìmatelná dokonce vöemi pïti smysly, vûdyù ËÌslo t i ukazujìcì se na t ech kamenech m ûeme uvidït i nahmatat, t i údery zvonu m ûeme uslyöet, t i r zné chutï ochutnat a t i r zné v nï ucìtit" (63). NÏkterá vïtöì p irozená ËÌsla jsou p Ìmo evidovatelná. opìráme-li se o znalost poëetnìch pravidel (183), nap. evidenci öedesáti Ëty polìëek öachovnice opìráme o znalost násobku 8.8=64. Ta skuteënï malá p irozená ËÌsla jsou jediné jevy v osvïtlené Ëásti svïta poznávaného tïlesn mi smysly, která jsou naprosto ostrá: ËÌslo t i jako takové, to je nikoliv t i kameny Ëi t i údery zvonu a podobnï, je jevem naprosto ostr m, na nïmû nenì nic neurëitého. Nejinak je tomu s ËÌsly 4,5,..." a také nïkteré vztahy mezi nimi, jmenovitï jejich pomïry, tedy téû ËÌsla lomená s mal m Ëitatelem i jmenovatelem" (73, 182-3) a právï tato ËÌsla jsou tìm, co nám umoûúuje vynáöet apriornì syntetické soudy o reálném svïtï" (63). P irozená ËÌsla jsou jevy univerzálnì a zároveú p ÌrodnÌ (63). Pro Ëistou p ÌrodovÏdu jsou malá p irozená ËÌsla pramenem syntetického poznánì a priori. Postupujeme-li v ËÌselné adï smïrem k vïtöìm p irozen m ËÌsl m potkáváme stále ËastÏji ËÌsla, která jsou sice koneëná, ale chovajì se jako nekoneëná. Pozb vajì ostrosti, nelze je p Ìmo vnìmat a pro jejich chovánì p ijìmáme r zné v klady. Proti v kladu známému jako klasická podoba p irozen ch ËÌsel (pokraëujì stále stejn m zp sobem podle neslábnoucìho ostrého principu indukce a splúujì Peanovy axiomy), vznáöì Petr VopÏnka t i námitky: 1. Podle zákona rovnováhy mnoûstvì a modality bytì majì stále vyööì ËÌsla stále niûöì modalitu bytì, coû znamená, ûe aritmetika velk ch ËÌsel je jen kalkulacì s prázdn mi názvy" (121-3). 2. SÌla indukce se m ûe daleko za obzorem vyëerpat, takûe p i p epoëìtávánì dané mnoûiny nedospïjeme vûdy k témuû ËÌslu a za obzorem m ûeme nap Ìklad spadnout do Ëerné dìry" (123-4). 3. Gódelova

12 RECENZIE 105 nerozhodnutelná vïta se nedá dokázat s ËÌsly splúujìcìmi Peanovy axiomy, ale dala by se dokázat buô ona nebo jejì negace p ijetìm axiom jin ch (125-7). 17 Jiû z uvedeného nástinu je z ejmé, ûe názor na povahu (p irozen ch) ËÌsel, kter Petr VopÏnka zastává, je legitimnì, a pokud jej za takov uznáme, máme na vybranou dvï cesty. BuÔ podrûìme tezi o vöudestejnosti p irozen ch ËÌsel a zab edneme do problém novovïké vïdy s jejìm odklonem od toho, co skuteënï vnìmáme, nebo 17 Petr VopÏnka neuvaûuje v souvislosti s Gódelovou nerozhodnutelnou vïtou ani o celku dokazateln ch vït, ani o souvislosti dokazatelnosti a pravdy apod., ale o zp sobilosti p irozen ch ËÌsel pomocì aritmetick ch operacì kalkulovat" d kaz pravdiv ch vït. PodobnÏ jako v geometrii, kde rozhoduje o podobï (Eukleidovy, LobaËevského nebo Riemannovy) geometrie vïta o rovnobïûkách, rozhoduje v aritmetice o podobï mnoûiny p irozen ch ËÌsel Gódelova nerozhodnutelná vïta. JednÌm z moûn ch uspo ádánì mnoûiny p irozen ch ËÌsel je takové, v nïmû je nerozhodnutelná vïta pravdivá, jin m uspo ádánìm mnoûiny p irozen ch ËÌsel je takové, v nïmû je nerozhodnutelná vïta nepravdivá. Petra VopÏnku tedy zajìmá ten aspekt Gódelovy nerozhodnutelná vïty, kter souvisì s povahou p irozen ch ËÌsel. Vûdyù nerozhodnutelná vïta je nepochybnï tvrzenìm o p irozen ch ËÌslech: vznikla jako ËÌselná funkce jedné celoëìselné promïnné po dosazenì Gódelova ËÌsla (p irozeného ËÌsla) za tuto promïnnou. Petr VopÏnka upozorúuje na onen z ejm fakt, ûe Kurt Gódel dokázal, ûe existujì nerozhodnutelná tvrzenì t kajìcì se p irozen ch ËÌsel, která nelze z uveden ch axiom ani dokázat ani vyvrátit. Nedalo by se tomu odpomoci dodánìm dalöìho axiomu? Kurt Gódel provedl d kaz za p edpokladu, ûe p irozená ËÌsla splúujì Peanovy axiomy (0 je ËÌslo, následnìk jakéhokoli ËÌsla je ËÌslo, ûádné dvï ËÌsla nemajì stejného následnìka, 0 nenì následnìkem ûádného ËÌsla a (indukce) kaûdá vlastnost, kterou má ËÌslo 0 a která náleûì následnìku kteréhokoli ËÌsla, majì vöechny ËÌsla). Peanovy axiomy vyjad ujì vöudestejnost p irozen ch ËÌsel a to i u tak velk ch ËÌsel, u kter ch to prakticky nikdy nebylo ovï eno. Petr VopÏnka se domnìvá, ûe kdybychom vypustili princip vöudestejnosti p irozen ch ËÌsel, nap. princip indukce nebo to, ûe ûádná dvï ËÌsla nemajì stejného následnìka, a nahradili jej p edpoklady slaböìmi v oblasti velk ch ËÌsel, pak by se nerozhodnutelná tvrzenì poda ilo rozhodnout. A mohlo by se stát dodateën m axiomem. BuÔto by bylo pravdivé v nïjaké jedné vïtvi ËÌselného oboru nebo nepravdivé v jiné vïtvi. To odpovìdá oné intuici o povaze mnoûiny p irozen ch ËÌsel, která tuöì neostrost v oblasti velk ch ËÌsel, takûe se p i vytvá enì stále vïtöìch ËÌsel dostaneme aû do oblasti, kde je jejich tvo enì závislé na zp sobu, jak m je uskuteëúujeme. Cestu vytvá enì p irozen ch ËÌsel p irovnává Petr VopÏnka v tomto mìstï k cestï ûivota. Ta má také slepá ramena, která se neuskuteënì a nelze se k nim jiû vrátit. Analogicky kdybychom chtïli utvo it novou mnoûinu p irozen ch ËÌsel museli bychom dosud vöechna utvo ená smazat a zaëìt je uskuteëúovat znovu. Pak bychom moûná öli po jiné vïtvi" (127). P irozená ËÌsla by pak nebyla jediná, nebyla by Bohem daná jednou provûdy, jak o nich mluvil Leopold Kronecker, ale existovaly by rovnocenné obory p irozen ch ËÌsel, mezi nimiû bychom si mohli vybrat podle zp sobu, jak m se nám ten kter obor uplatúuje ve skuteënosti (analogicky s v bïrem geometrie, která nejlépe vystihuje pozorované vlastnosti prostoru). To mne vede k poloûenì otázky: Co by znamenalo, kdyby byla nerozhodnutelná vïta dokázána a jako pravdivá p ipojena k axiom m Gódelova systému? Dal by se pak rozhodnout kaûd problém teorie ËÌsel a byl by eöiteln v nïjaké mnoûinï p irozen ch ËÌsel? A co by to pak znamenalo pro eöitelnost problém obecnï?

13 106 RECENZIE 4 p ijmeme nov pohled na p irozená ËÌsla a rehabilitujeme spolu s Petrem VopÏnkou v znamnou Ëást svïta jev, kter je naöìm p irozen m svïtem. Meditace öestá. O matematizaci neostrosti.»tená alespoú zbïûnï obeznámen s Úvodem do matematiky v alternatìvnej teorii mnoûin je potïöen zjednoduöen m formalismem, kter dovoluje vyloûit myölenky, které Petr VopÏnka sleduje p inejmenöìm od roku 1979, kdy vyöla jeho prvnì ucelená publikace o alternativnì teorii mnoûin v anglické verzi. Vhodn m matematick m svïtem pro matematizaci neostrosti, je obor abstraktnìch t Ìd, kter aspiruje na p evzetì role univerzálnìho matematického svïta, do nïhoû lze jednotn m zp sobem p etlumo- Ëit v podstatï vöechno, co bylo dosud v matematice vykonáno. Dosud hrálo v matematice roli takového univerzálnìho svïta Cantorovo universum mnoûin, neboù vöe, co se v klasické matematice odehrává, lze do Cantorovy teorie mnoûin p etlumoëit" (130). Jedná se Petru VopÏnkovi o nahrazenì Cantorova univerza mnoûin nïjak m jin m? OsmÏluji se podotknout, ûe metafora obzoru, která se opìrá o pochopenì povahy p irozen ch ËÌsel a jejich role v p irozeném a klasickém geometrickém svïtï, otevìrá nov obecnïjöì pohled na univerza mnoûin k tïmto svït m p Ìsluöná, a ûe VopÏnkova koncepce mnoûin proto patrnï nenì jen pouhou alternativou ke CantorovÏ, za jakou ji skromnï oznaëuje, ale obecnïjöìm hlediskem. Co o tom sám soudì snad vyloûì, jak slibuje, na závïr nïkterého budoucìho spisu o CantorovÏ teorii mnoûin" (130). P istupme nynì k matematizaci neostrosti, která je hlavnìm námïtem öesté meditace. V zásadï jsme opït svïdky p esunutì jev z klasicky vyostreného obzoru do pop edì na obzor p irozen a p echodu od klasického nekoneëna k p irozenému, jak to bylo p edvedeno jiû v Úvodu do matematiky v alternatìvnej teorii mnoûin. Tentokrát ale nenì obzor fixován ve vzdálenosti odpovìdajìcì pohledu nadëlovïka (tj. ve vzdálenosti limitnï vyostreného p irozeného nekoneëna), a to má za následek, ûe se p ed obzorem ukazuje daleko vìce neostr ch jev, matematicky uchopiteln ch v podobï polomnoûin. P ed obzorem ohraniëujìcìm krajinu" jev vnìmateln ch tïlesn mi smysly vidìme nynì vöechny jevy jako neostré s v jimkou mal ch p irozen ch ËÌsel. 18 Protoûe prvky mnoûin i polomnoûin (neost e vymezen ch podt Ìd) si vykládáme jako ostré, je neostrost vyjad ována jako p Ìtomnost Ëi nep Ìtomnost prvk v (pod) > t ÌdÏ. Vhodnou (pod)t Ìdou, na nìû se ukazuje neostrost nap. Ëervenosti, je ta, jejìû prvky jsou mnoûiny evidencì jednotliv ch podob Ëervenosti: DÌtÏ, které se uëì poznávat barvy, se s Ëervenosti setká nejprve na nïkolika stejnï Ëerven ch vïcech, na nichû je tento jev ost e oddïlen od ostatnìch barev a jin ch podob Ëervenosti. To nám umoûúuje vykládat seskupenì tïchto vïcì jako mnoûinu. Brzy se vöak ukáûe, ûe tento jev nenì tak ost e vymezen, jak se to p i prvnìm setkánì s nìm zdálo, a tak p ibude k mnoûinï vïcì v raznï Ëerven ch mnoûina vïcì sice rovnïû Ëerven ch, ale p ece 18 DomnÌvám se, ûe Petr VopÏnka tu do p esné matematické eëi p evádì, co nap Ìklad Willard Van Orman Quine naz vá neurëitostì reference a Mark R. Sainsbury neurëitostì (vágnostì) vöech pojm. NeurËitost, o niû se tu jedná, nenì naprostá (apeiron). aleje neurëitostì v urëitém ohledu a je tedy nekoneënem.

14 RECENZIE 107 jenom jinak Ëerven ch; to se pak m ûe opakovat jeötï nïkolikrát... jev Ëervenosti se nám ukazuje v jeho neostrosti" (137-8). Matematické modelovánì neostrosti spoëìvá nynì v tom, ûe se urëì obzorn ez na von Neumannov ch modelech p irozen ch ËÌsel, kter oëìsluje jednotlivé evidence jevu, (je nekoneënou polomnoûinou, protoûe pro poëet jeho prvk platì n=n+1) a jeho zásluhou je tzv. p ehledná t Ìda, tj. t Ìda, jejìmiû jednotliv mi prvky jsou jednotlivé mnoûiny jevu Ëervenosti evidované dìtïtem, skuteënï p ehledná" (termìn blìzk termìnu spoëetná). Hledanou vlastnì t Ìdou jevu Ëervenosti je tzv. a-t Ìda na daném obzorném ezu, která je sjednocenìm v öe uveden ch mnoûin stejn ch podob Ëervenosti, takûe se v nì objevì prvky p edstavujìcì tytéû podoby Ëervenosti jen jednou (v tomto konkrétnìm p ÌpadÏ se kaûdá dìtïtem evidovaná mnoûina uplatnì v a-t ÌdÏ jen jednìm prvkem). Jev Ëervenosti je povaûován za vlastnost (pr vodnì jev) a modelován o-t Ìdou, na nìû je rozloûen pomocì jednoargumentové funkce, jejìmû definiënìm oborem je dan obzorn ez (ËÌslujÌcÌ jednotlivé evidence Ëervenosti). Protoûe je obzorn ez polomnoûinou, je polomnoûinou i k nïmu p Ìsluöná a-t Ìda, která modeluje jev Ëervenosti vëetnï neostrosti, která vzr stá smïrem k obzoru a na nïm kulminuje.»ervenost vede aû na obzor a ne dále; od nïj se tento jev odráûì zpït, a jen proto, ûe se od nïj odráûì, m ûe b t uchopen v celé své úplnosti. Ne jednotlivé podoby tohoto jevu, ale obzor, na nïjû lze dohlédnout onìm ustálen m pr hledem ve spleti jev, do nìû jsme uvrûeni, udrûuje soudrûnost tohoto jevu" (138). 19 Meditace sedmá. O nerozliöitelnosti Podobnou roli, jakou hrajì p i popisu neostrosti a-t Ìdy jako sjednocenì mnoûin, hrajì p i popisu nerozliöitelnosti 7t t Ìdy jako pr nik mnoûin. DalöÌ rozdìl spoëìvá v tom, ûe neostrost je modelována jako vlastnost (jednomìstn vztah) objekt náleûejìcìch do urëité t Ìdy, nerozliöitelnost je modelována relacì (dvojmìstn m vztahem) mezi dvïma objekty urëité t Ìdy. V chozìm p Ìpadem matematického modelovánì nerozliöitelnosti je vznikánì geometrick ch tvar v topologickém prostoru, jìmû se rozumì prostor vyplnïn do poslednìho mìsta mnoûinou bod (objekt ) tohoto prostoru. Relace nerozliöitelnosti je vztahem (funkcì) nad dvojicemi tïchto objekt. VopÏnkova koncepce topologie p ikládá relaci nerozliöitelnosti v znam d vodu vznikánì topologick ch tvar a uvaûuje vedle ekvivalence nerozliöitelnosti také symetrii nerozliöitelnosti, která vede k vysvïtlenì vzniku topologick ch patvar " (170-1) " Modelujeme-h Ëervenost jako vlastnost, pak cel tento jev z stává p ed obzorem. Jestli tomu dob e rozumìm, pak Ëervenost m ûeme modelovat také jako relaci - symetrii (nikoli ekvivalenci) nerozliöitelnosti na dvojicìch jev Ëervenosti v urëitém uspo ádánì. PodobnÏ jako pro tóny neplatì ani pro odstìny barev tranzitivnost relace nerozliöitelnosti: odstìn a nerozlìöime od nepatrnï jinak zabarveného odstìnu v a ten opït od odstìnu z, a p itom odstìny x z jiû rozliöit dovedeme. Z toho soudìm, ûe pojem Ëervené barvy je figurou, která je topologick m patvarem" (viz ). - Naopak topologick tvar tïlesa v geometrickém prostoru p ÌsluöÌ vlastnosti b t dan m tïlesem", která náleûì tïm objekt m (bod m) topologického prostoru, které evidujeme jako souëást tïlesa daného topologického tvaru. Celá tato vlastnost se nacházì p ed obzorem.

15 108 RECENZIE V p irozeném oboru abstraktnìch t Ìd je topologick tvar jevem leûìcìm na obzoru tzv. mediálnìho pohledu, p i kterém nevidìme z etelnï mnoûinu, ale jen jakousi jejì stopu, kterou po sobï zanechala, kdyû zapadla za obzor. A tato stopa má urëit topologick tvar, jenû je monádou, kdyû se mnoûstvì vzájemnï nerozliöiteln ch objekt mnoûiny ukazuje jako bod na obzoru, a je figurou, kdyû je sjednocenìm monád a na obzoru se ukazuje jako figura na pozadì. Topologické tvary povstávajì na obzoru jakoûto stopy, které tam po sobï zanechaly za obzor propadlé mnoûiny a jejich podt Ìdy. Jsou závislé jak na ekvivalencìch nerozliöitelnosti tïchto pohled, tak i na pozorovan ch mnoûinách a jejich podt Ìdách. Od tïchto mnoûin a t Ìd je vöak lze nejen odlouëit a osamostatnit, ale p iznat jim i vyööì modalitu bytì. Vûdyù tyto tvary nazìráme, kdeûto mnoûiny a t Ìdy, které nás na nï upozornily, m ûeme vykládat jen jako domnïlé... O tom, co b vá povaûováno za objektivnì reáln prostor nelze Ìci o mnoho vìce, neû ûe to je skloubenost tvar vyvolan ch na obzoru p i pohledech veden ch zrakem, pop ÌpadÏ hmatem (aù jiû tïlesn m nebo duöevnìm) do svïta poznávaného tïmito smysly" (165). StojÌ za povöimnutì, ûe neostrost i nerozliöitelnost jsou podloûeny nutnostì projìt p irozenï nekoneën poëet krok (evidencì jevu) po obzorném ezu na obzor. Cesta na obzor je p irozenï potenciálnï nekoneëná a nové jevy na obzoru - tvary - se ukazujì právï dìky tomuto nekoneënu, které naöe vnìmánì p eklene, aby vymezilo p edmït. Tvary jsou nov m jevem, kter se vyno Ì dìky potenciálnï nekoneënému poëtu jednotliv ch evidencì skuteënosti, takûe jì porozumìme jako celku. Tvary jsou bezprost ednï pozorovan mi jevy a protoûe jimi lze jednotlivé evidence pomï ovat a vznikajì skrze relaci ekvivalence, 20 je moûné povaûovat je za hodnoty. Tvary mohou b t vykládány také jako nové kvality a matematika se tu stala korektorem Hegelova zákona o p er stánì kvantity v kvalitu ( ). Petr VopÏnka nez stává jen u tvar topologického prostoru v obvyklém slova smyslu. Nap Ìklad na polomnoûinï neost e vymezené charakterem, inteligencì, zájmy, zdravìm nebo fyziognomiì lidì v dané spoleënosti vyvstanou p i mediálnìch pohledech p Ìsluöné topologické tvary", které m ûeme rovnïû bezprost ednï nazìrat a pokusit se pojmenovat. P Ìsluön m prostorem je tu prostor spoleëensk. JistÏ bychom mohli uvaûovat i o jin ch typech prostor. V podstatï kaûd svït, kter si umìme p edstavit jako soubor objekt, lze vyloûit jako prostor a zkoumat jeho tvary" vzpomeúme Quinovo nenì entity bez identity". 21 Co by se stalo, kdybychom za prostor povaûovali prostor jazyka? PokusÌm se nynì nap Ìklad mediálnï" zahledït do prostoru tvrzenì, které jsem pronesla v údobì poslednìho roku. Za objekty prostoru tïchto tvrzenì budeme povaûovat jejich pravdivostnì hodnoty. Tvo Ì t Ìdu, která je dostateënï velká a kalná, takûe na nì vyvstane polomnoûina pravdiv ch tvrzenì: o pravdivosti nïkter ch je obtìûné rozhodnout (pronesla jsem nap. lhá skou vïtu, r zná matematická tvrzenì, která zatìm nikdo nedokázal, nebo kolik zub z stalo naöemu starému kocourovi v tlamï, kdyû se p ed rokem vrátil ze sv ch toulek atd.) Budeme-li pravdivostnì hodnotu povaûovat za vlastnost, pak bude charakterizována o-t Ìdou. P ejdeme-li od zkoumánì neostrosti k nerozliöitelnosti, pak relace ekvivalence nerozliöitelnosti pravdy na polomnoûinï pravdiv ch tvrzenì vytvo Ì ji-t Ìdu, která by byla jednoprvkovou monádou, kdyby se o pravdivostnì hodnotï dalo jednoznaënï rozhodnout, ale protoûe tomu tak nenì, je figurou. Aù uû monádou Ëi figurou, je tato pravda k

16 RECENZIE 109 Meditace osmá. O povstávánì jev v p irozeném reálném svïtï. P irozen reáln svït je to, co pozorujeme na vïcné obrazovce, jeû je skloubena z mnoha r zn ch obzor, na nichû vyvstanou jevy nazìrané tïlesn mi smysly i vnit nìm vnìmánìm, takûe zemïpisn obzor je jen jednìm z mnoha. NovovÏká vïda zkoumá vïtöinou jen jevy p ed nïkter mi z tïchto obzor a marnï hledá obzor, kter by byl základem pro vöechny ostatnì. 22 Meditace devátá. O zmïnách jev v Ëase V deváté meditaci p idává Petr VopÏnka k vïcné obrazovce jeötï obrazovku Ëasovou. PojetÌ Ëasu opìrá o Aristotel v názor vysloven ve spise Fyzika, podle nïhoû je základem Ëasu rytmus, tj. diskrétnì sled jednotliv ch ráz oddïlen ch od sebe mezerami. VyloûÌme-li si tyto rázy jako objekty oboru abstraktnìch t Ìd, pak rytmus zrychlìme vkládánìm dalöìch ráz mezi p vodnì. ZrychlovánÌm rytmu m ûeme dojìt aû na hranici nerozliöitelnosti jednotliv ch ráz : rázy po sobï následujì (p irozenï) nekoneënï rychle. Ekvivalence nerozliöitelnosti urëì t Ìdu nerozliöiteln ch objekt, jejìû stopou ukazujìcì se na obzoru je kontinuum, které naz váme Ëasem (189).»as jako takov je tedy také jevem leûìcìm na obzoru, je figurou a proto je modalita jeho bytì vyööì neû modalita jednotliv ch ráz, které v kontinuum splynuly. Dále je moûné ukázat, ûe teô" je monádou, kterou po sobï zanechal ráz spolu se vöemi od nïho nerozliöiteln mi rázy, a je 7i-t Ìdou, zatìmco minulost, p Ìtomnost a budoucnost jsou cr-t Ìdami (190). P ipraven matematick aparát je vhodn i k v kladu plynul ch a skokov ch zmïn v Ëase. Takov mi skokov mi zmïnami jsou nap Ìklad fázové p echody a p erod kvantity v kvalitu. Dokonce i pochopit vlastnì Já lze skrze tvar vyvstal na základï p irozenï nekoneënï mnoha podob, jichû ËlovÏk bïhem Ëasu nab vá. Já má pak vyööì modalitu bytì neû jeho jednotlivé podoby a vyvstává na obzoru mediálnìho pohledu jako stopa zanechaná tïmito podobami. 23 Jevy, které Já vnìmá, lze rozdïlit na jevy soukromého p irozeného reálného svïta a jevy p irozeného reálného svïta vïdy. Soukromému p irozenému reálnému svïtu ponechává Petr VopÏnka to, co kaûd ËlovÏk má jen sám pro sebe: p edstavy, sny, vidiny, nálady atd. (191) Nov m p irozen m reáln m svïtem vïdy. kter m by mïl b t nahrazen klasick reáln svït, rozumì Petr VopÏnka svït jev a v klad na vïcné a Ëasové obrazovce, v obou p Ìpadech stopou za obzor zapadlé mnoûiny mnou vysloven ch pravd a nenì tedy jednou dalöì pravdou v adï, jak by mohlo nïkomu p ipadat, a modalita jejìho bytì je vyööì, neû je modalita bytì kteréhokoli tvrzenì v chozì mnoûiny. Pravda, která tu vyvstala, je pravdou nepodmìnïnou, k nìû m ûe dospït kdokoli na základï sv ch vlastnìch tvrzenì. P itom to nenì pravda absolutnì, protoûe nevyvstala na obzoru absolutnï vyost eném. ale p irozeném. Je vöem spoleëná a tedy objektivnì. 22 P irozen reáln svït Petra VopÏnky nenì dogmatick m svïtem hotov ch pravd, ale svïtem, kde na obzorech vöechno stále znovu vzniká a se vyjevuje. Je svïtem objevovánì nového a jeho metoda v tomto smyslu aspiruje na metodu (logiku) vïdeckého objevu. 23 Sokratovská moudrost vì, ûe náö bezpeën ostrov vïdy je ve skuteënosti ukotven v apeiru a ûe apeiron je p Ìtomno také v hlubinách naöeho vlastnìho já.

17 110 RECENZIE které jsou p Ìmo p Ìstupné naöemu vnìmánì v podobï topologick ch tvar vyvstávajìcìch dìky naöim p irozenï nekoneën m pohled m na obzor: CentrálnÌ Ëást nového reálného svïta, jìû je svït poznávan tïlesn mi smysly, se tedy odehrává na obzoru... Obzor se tak stává tìm, co reáln svït zakládá, co umoûúuje, aby pojem reálného svïta mohl b t v bec utvo en" (185). VÏda, která se jeho zkoumánì chopì, bude spìöe chápajìcì neû vysvïtlujìcì, p istupujìcì k záhadám bytì s pokorou s vïdomìm nejistoty a vratkosti poznánì spleti roztodivn ch jev, do nichû jsme uvrûeni ajejichû rozplétánì se stalo naöìm údïlem" (57). Poznámky K modalitï cìtïného bytì. V pasáûi vïnované modalitám bytì Petr VopÏnka Ìká, ûe takovou nìzkou, byù velmi zajìmavou modalitou je bytì pouze cìtïné, pro nïû si nedovedeme zjednat porozumïnì o p Ìsluöném,to', které toto bytì má" (18). K tomu bych ráda poznamenala, ûe vedle tohoto nìzkého cìtïného bytì" existujì i tzv. vyööì morálnì city (city pro dobré a zlé, o kter ch mluvì nap. F. Schiller v Estetické v chovï nebo Roger Scruton v knize Pr vodce inteligentnìho ËlovÏka po modernì kultu e, Praha: Academia 2002) kladené poblìûe vrcholu pomyslné pyramidy modalit bytì. Ptám se: nemohly by b t vyööì city pochopeny jako topologické tvary", které vyvstanou na p Ìsluöném obzoru mediálnì obrazovky jako stopy zapadl ch mnoûin za tento obzor a které majì vyööì modalitu bytì neû mnoûiny s p Ìsluönou relacì, na nichû vyvstávajì? P Ìsluönou binárnì relacì na zapadlé mnoûinï lidsk ch skutk by byla ekvivalence nerozliöitelnosti jejich dobra. V této souvislosti bych ráda p ipomenula, ûe jiû Platón p ipisoval podobné úvahy Sokratovi, zejména v dialogu Protagoras i jinde. Co znamená návrat k jev m? V MeditacÌch se Ìká, ûe teprve Michelson v experiment znovu postavil vïdu p ed úkol.zachránit jevy', rozumì se na úkor matematiëna. Tohoto úkolu se vskutku velkolep m zp sobem zhostil Einstein" (47). Podle K. R. Poppera postupuje experimentálnì vïda metodou hypotéz a vyvrácenì a kaûdé zda ilé pozorovánì nového jevu je v p ÌrodnÌ vïdï milnìkem. Jeden aspekt návratu k jev m má proto triviálnì smysl: pokrok vïdy spoëìvá v objevovánì nov ch jev a proto je vyhledávejme. Existuje vöak i druh aspekt, kter má netriviálnì smysl: je t eba se vrátit k jev m, které nenì t eba objevovat, neboù jsou nám d vïrnï známé, ale které jsou vïdou p ehlìûené. Lze je ut Ìdit následovnï: 1. jevy ostré, klamy. Jde o smyslové klamy tj. rozporné jevy poskytované od r zn ch tïlesn ch smysl, s jejichû pomocì p ÌrodnÌ vïda Ëasto objevuje skryté zákony (viz 3. dìl Rozprav s geometriì). Pat Ì sem nap. h l pono ená ve vodï, která se jevì zraku jako zlomená, aëkoli hmatem lze zjistit, ûe zlomená nenì. Spadá sem i geometrická perspektiva jako zp sob vidïnì a souëást realistické malby. Perspektivu vidìme zrakem, ale za skuteënost pokládáme to, co by se jevilo hmatu. Apod. 2. jevy neostré: a) takové, jejichû neostrost náleûì k reálnému svïtu (absolutnï dokonalou krychli nelze vyrobit z ûádného materiálu), b) takové, jejichû neostrost náleûì naöemu vnìmánì: jevy ukazujìcì se na obzorech naöich pohled. DomnÌvám se, ûe Meditace vyz vajì k návratu k jev m ad 2b). Nap Ìklad Ëervené svïtlo je neostr jev a nelze je nahradit ËÌslem vyjad ujìcìm vlnovou délku Ëerveného

18 RECENZIE 111 svïtla. Mezi chladnou objektivitu vïdy a subjektivnì proûitek Ëervené klade Petr VopÏnka vïdeck v klad jevu Ëervenosti spolu s jeho neostrostì Co je objektivnì? Pokud slovem objektivnì rozumìme závisl pouze na rozumu, jak tento termìn vyloûil Gottlob Frege v Základech aritmetiky, 24 a pokud je vnìmánì tvar záleûitostì p edevöìm toho, co k p edmït m (kantovsk ) p idává rozum - a o tom se nás pokouöì Petr VopÏnka p esvïdëit pak geometrické tvary, tak jak je vnìmáme, by se mohly liöit od tvar, jak by je vnìmali lidé mikrosvïta nebo megasvïta, pokud by mïli jinak ustrojen rozum (resp. p irozená ËÌsla). Pro zp sob naöeho rozumu jsou naöe tvary objektivnì, pro zp sob jejich rozumu - pokud by mïli jin - jejich. Ani jedny ani druhé tedy nejsou absolutnì, ale souvztaûné s bytostmi, jejichû rozum je za takové má a jsou tedy objektivnì ve Fregeho smyslu: objektivnì jako spoleëné pro vöechny lidi. Zdá se. ûe Petr VopÏnka pouûìvá termìn objektivnì ve smyslu silnïjöìm: objektivnì jako nezávislé na lidech. NenÌ mi ale úplnï jasné, jestli právï tohle naopak nevyt ká novovïké vïdï. Na s. 46 Ìká, ûe novovïká vïda zaëala za objektivnì reáln svït povaûovat vyostrenou kostru svïta poznávaného tïlesn mi smysly" a tento svït umoû- Úoval ostrou a dokonalou vïdu vytvá enou jen z pouhého rozumu". Pro novovïkou vïdu je dokonalost a ostrost skuteëná a proto objektivnì. Naproti tomu mluvì na s. 74 o objektivnìch tvarech r zn ch vïcì, to je takov ch, které nejsou závislé na ûádn ch pohledech. To by bylo moûné vlastnï jen tehdy, kdyby ölo o tvary ukazujìcì se na obzoru nïjakého v bec nejost ejöìho - to je BoûÌho - pohledu. I kdyby vöak nap Ìklad námi jiû zmiúovan st l takov objektivnì tvar mïl, nebyl by jìm ten tvar, kter vidìme nynì, ani ten, kter bychom vidïli mikroskopem atd. Takov m slìdïnìm ve spleti jev bychom se asi k jeho objektivnìmu tvaru v bec nedopracovali." - Nebyl by tady na mìstï spìöe termìn absolutnì? JeötÏ jednou: NovovÏká vïda povaûuje za objektivnì takové poznatky, které nezávisì na tom, jak je lidé nab vajì, ale jen na tom, jak svït je. P iëemû buôto zamlëené p edpokládá, ûe ten prav je klasick reáln svït nebo ten prav, finálnì doufá brzo nalézt. Petr VopÏnka se domnìvá, ûe nem ûeme vïdït, jak svït je v poslednì instanci, protoûe naöe poznatky jsou souvztaûné s naöì schopnostì vnìmat a rozumït. M ûeme znát jen to, co se nám nïjak jevì, a proto naöe poznatky nemohou b t objektivnì ve smyslu nezávislé na nás, jak by si to p ála novovïká vïda (181,184) Paradoxy a polomnoûiny. Pro polomnoûiny je charakteristická neostrost náleûenì prvku do polomnoûiny (vyjád ená jako p Ìtomnost a nep Ìtomnost prvku) a tedy dvojznaënost a nikoli logick paradox, kter, jak mi nynì p ipadá, náleûì spìöe Cantorovu svïtu aktuálnï nekoneën ch mnoûin. Moûná je to tak, ûe Petr VopÏnka odsunul stranou problém paradox spolu s klasick m reáln m svïtem. Jin m d vodem pro mal zájem, kter paradox m vïnuje, m ûe b t i to, ûe se nepokouöì nahlédnout 24 Gottlob Frege: Pod objektivitou rozumiem nezávislosù od náöho vnìmania, nazerania a predstavovania, od vytvárania vnútorn ch obrazov zo spomienok na dávnejöie vnemy, nie vöak nezávislosù od rozumu Lebo zodpovedaù otázku, Ëo veci sú, nezávisle od rozumu, by znamenalo súdiù bez toho, ûe by sme súdili, um vaù koûuch bez toho, ûe by sme sa namoëili" (s. 35 slov. vyd., prel. P. Balko, PrÌloha Ogranonu F, Veda 2001)

19 112 RECENZIE dovnit objektu". Objekty jsou základnìmi prvky jak novovïké vïdy, tak jeho univerzálnìho oboru abstraktnìch t Ìd a stranou je pak ponechána otázka, jak jsou takové objekty moûné, coû vyûadovalo hluböì porozumïnì logické totoûnosti a jejì odvrácené tvá e - paradoxnosti. K pojmu struktury a dïlenì na celky a Ëásti. V MeditacÌch je v slovnï eëeno, ûe ponechávajì stranou téma celek a Ëást (20), ale mnï p ipadá lákavé tuto zdrûenlivost poruöit. Podle Petra VopÏnky má kaûd svït strukturu, tj. rozvrh poukaz mezi jednotliv mi jevy odlouëen od náplnì tïchto jev... ve zjednoduöené podobï nám svou strukturu p edkládá zkouman jev, je-li vykládán jako spoleëenstvì objekt... nahrazen ch abstraktnìmi vïöáky,... takûe struktura svïta se pak jevì jiû jen jako pouhé rozloûenì vlastnostì a vztah na tïchto abstraktnìch vïöácìch... AbstraktnÌ struktury vytvá Ìme dosazovánìm poukaz do oboru abstraktnìch objekt, p i nïmû nám za p edlohu slouûì struktura nïjakého svïta vykládaného jako spoleëenstvì objekt " (96-7) P eloûìme-li, co Ìká Petr VopÏnka o struktu e, do eëi celk a ËástÌ, pak celkem Petr VopÏnka rozumì kaûd svït strukturovan vlastnostmi a vztahy nad v chozìmi nestrukturovan mi objekty. - Ve zcela jiném smyslu jsou v MeditacÌch vymezeny celky v mìstech, kde se hovo Ì o obzoru, kter klouûe po p edmïtu. Celkem je tu libovoln p edmït naöeho zájmu a obzor tento celek urëit m zp sobem ukonëuje (vymezuje). Neboù na obzoru vyvstávajì tvary a tvar je omezenìm tïlesa" (Platón, Menón 76a). Celkem je to, co je omezeno tvarem a obzor by pak byl hranicì toho celku. V tomto smyslu by byl obzor nejen tìm, co tvaruje, ale také tìm, co celkuje". Co Meditace" ÌkajÌ o procesu abstrahovánì? TermÌn abstraktnì pouûìvá Petr VopÏnka neproblematicky a velmi Ëasto (87-163) jako to, co je odlouëené. Nap Ìklad abychom mohli z objekt sejmout i ty jevy, s nimiû byly doposud pevnï svázány, musìme je z tïchto jev odlouëit, neboli abstrahovat" (87). AbstraktnÌmi objekty zde tedy Petr VopÏnka rozumì objekty dále nestrukturované, prázdné, holé, bez vlastnostì a bez vztah k jin m. AbstraktnÌ matematikou pak rozumì svït, jehoû základnìmi prvky jsou abstraktnì objekty. - Naproti tomu v jiném smyslu pouûil termìn abstraktnì v mìstï, ve kterém za abstraktnì jev povaûuje jev odlouëen od jednotliv ch evidencì: tak nap Ìklad... jednotlivé koëky [poukazujì] na abstraktnì (to je z tïchto p Ìpad odlouëen ) jev koëky" (11). Jev koëky je pak ovöem jevem, kter se ukazuje na obzoru naöeho pohledu jako topologick tvar" svého druhu. AbstrahovánÌ v tomto druhém smyslu by pak bylo nïco jako nazìránì topologick ch tvar ". Pojem prostoru. AËkoli mu Petr VopÏnka nevymezil samostatnou meditaci jako Ëasu, domnìvám se, ûe i prostor by se dal v oboru abstraktnìch t Ìd analyzovat velmi podobnï jako Ëas. Pojem prostoru nenì vystiûen body, které jej vyplúujì (jako nenì Ëas vystiûen rázy, které jej rytmizujì), aleje kontinuem, které povstalo jako tvar na mnoûinï s urëitou ekvivalencì nerozliöitelnosti; je stopou zanechanou mnoûinou nerozliöiteln ch bod propadl ch za obzor. K problému nesymetrick ch opak. Úvahy o tom, ûe zrovnoprávnìme-li prvoevidovatelné jevy (136-7) s jejich negacemi, pak nám nezb vá neû vykládat vlastnosti jako neostré jevy (149) p ipomìnajì v logice p ijìman úzus, ûe k tomu, aby negace ost e obracela v znam jazykov ch v raz na opaën, je t eba, aby vöechny v znamy

20 RECENZIE 113 pouûit ch jazykov ch v razu byly p esnï stanoveny a vágnost pojm aby byla vylouëena. To mne vede k domnïnce, ûe pojmy náleûejìcì prvoevidovateln m jev m jsou nutné vágnì. DajÌ se interpretovat topologické tvary vlastnostì (resp. vztah ) jako pojmy? DomnÌvám se, ûe modelovánì vlastnostì (resp. vztah ) na oboru abstraktnìch t Ìd m ûe b t v znamn m p ÌspÏvkem k teorii pojmu. Kaûd pojem (pokud jej p esnï nestanovìme definicì) je ve své podstatï neostr, coû m ûe b t zachyceno polomnoûinou (a-t Ìdou) nad vöemi jeho uûitìmi v jazyce (tj. nad objekty daného jazykového prostoru). V znam pojmu by pak byl topologick m tvarem urëen m jako ekvivalence nerozliöitelnosti na t ÌdÏ jeho dìlëìch uûitì. Jak je moûné syntetické aprioril Na rozdìl od Immanuela Kanta, kter mïl za to, ûe také Ëas a prostor jsou prameny poznánì, z nichû lze a priori Ëerpat mnoho syntetick ch poznatk, domnìvá se Petr VopÏnka, ûe za moûnost syntetick ch soud a priori vdïëìme mal m p irozen m ËÌsl m (63), která jsou smyslovï vnìmatelná, zcela univerzálnì a na nichû se zakládá i naöe pojetì prostoru a Ëasu. Otázka matematická: V jakém vztahu jsou obzorné ezy k Dedekindov m ez m pro iracionálnì ËÌsla? Otázka vöeteëná: Nelze spat ovat ve stopách na obzoru, které jsou kontinuem, p irozené aktuálnì nekoneëno? ZávÏrem Meditace o základech vïdy mohou b t povaûovány za svébytn pokus zp Ìstupnit matematické základy nové teorie mnoûin filosofické ve ejnosti a naopak zase matematik m p edvést, jak m ûe b t jejich obor obohacen a rozvinut, kdyû je obhlìûen z filosofické perspektivy. Jsou ale schopny zaujmout nejen matematiky a jejich filosofujìcì kolegy. ZvláötÏ p ÌrodovÏdci a kupodivu souëasnï také logikové, pokud se zab vajì anal zou p irozeného jazyka, by si mïli povöimnout konceptu nového p irozeného reálného svïta jako skloubenosti obzor a jev na nich se ukazujìcìch. Meditace nep ináöejì pouze nov vhled do geometrie jako vïdy o tvarech, ale i do fyziky jako vïdy o pohybech a sémantiky jako vïdy o v znamech. Neboù vöech uveden ch disciplìn se tak Ëi onak t ká nov pohled na p irozená ËÌsla a s nimi spojená rehabilitace p irozeného nekoneëna. K dobru MeditacÌ je t eba p ipsat cit pro filosofovánì v Ëeském jazyce. Meditace o základech vïdy skuteënï nejsou vytrûenìm, ale usebránìm rozumu, jak slibuje nápis na p ebalu. P edstavujì v Ëeském prost edì nevìdané dìlo úctyhodné öì e. Jejich studium je obtìûné, ale dobrodruûné, proniknutì do autorova stylu namáhavé, ale objevné. OstatnÏ které p vodnì filosofické dìlo lze oznaëit za snadné ËtenÌ? MeditovánÌ Petra VopÏnky nenì filosofovánìm pro supermany, navigujìcìmi s absolutnì p esnostì prostor zabydlen dokonal mi automaty, ale spìöe filosofiì lidì, kte Ì neodmìtnou prosbu o nocleh, p estoûe je v hotelu ménï l ûek neû nocleûnìk, a kte Ì najdou zp sob, jak nasytit zástupy, aëkoli majì jen bochnìk chleba a koö ryb. Meditace o základech vïdy jsou filosofiì pro t etì tisìciletì. Blaûena ävandová