SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ

Transkript

1 Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ učební text a návody do cvičení Prof. Dr. Ing. Miroslav Pokorný Ing. Vilém Srovnal, Ph.D. Ostrava 2012

2 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Recenze: Doc. RNDr. Jindřich Černohorský, CSc. Název: Systémy s umělou inteligencí Autoři: Miroslav Pokorný, Vilém Srovnal Vydání: první, 2012 Počet stran: Náklad: Studijní materiály pro studijní obor Měřicí a řídicí technika Fakulty elektrotechniky a informatiky Jazyková korektura: nebyla provedena. Určeno pro projekt: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název: Inovace oboru Měřicí a řídicí technika na FEI, VŠB - TU Ostrava Číslo: CZ.1.07/2.2.00/ Realizace: VŠB Technická univerzita Ostrava Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR Miroslav Pokorný, Vilém Srovnal VŠB Technická univerzita Ostrava ISBN 2

3 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ - Obsah OBSAH Pokyny ke studiu 1 - UMĚLÁ INTELIGENCE 1.1 Umělá inteligence vědní disciplína 1.2 Kvantitativní a kvalitativní modelování reálných soustav 2 - SYSTÉMY FUZZY-LOGICKÉ 2.1 Základy teorie fuzzy množin a jazykové fuzzy logiky 2.2 Jazykové fuzzy modely a aproximativní vyvozování 3 - FUZZY EXPERTNÍ SYSTÉMY 3.1 Funkce a architektura fuzzy orientovaných expertních systémů 4 - FUZZY ŘÍDICÍ SYSTÉMY 4.1 Fuzzy regulátory 4.2 Inteligentní regulátory 5 - KOGNITIVNÍ ANALÝZA FUZZY MODELU 5.1 Test konzistence a ternární diagram 6 - PRAVDĚPODOBNOSTNÍ EXPERTNÍ SYSTÉMY 6.1 Pravděpodobnostní systémy MYCIN a PROSPECTOR 7 - SYSTÉMY S UMĚLÝMI NEURONOVÝMI SÍTĚMI 7.1 Vícevrstvá neuronová síť 7.2 Hopfieldovy a Kohonenovy neuronové sítě 8 - SYSTÉMY S GENETICKÝMI ALGORITMY 8.1 Evoluční teorie a genetické algoritmy 8.2 Implementace genetických algoritmů 9 - SYSTÉMY VÝPOČTOVÉ INTELIGENCE 9.1 Integrace metod umělé inteligence KLÍČ K ŘEŠENÍ CVIČENÍ 1 Fuzzy množiny a logika problém udělení výše spropitného CVIČENÍ 2 Fuzzy řízení výšky hladiny vodní nádrže CVIČENÍ 3 Fuzzy řízení inverzního kyvadla CVIČENÍ 4 Regulace teploty pomocí fuzzy řízení typu PSD CVIČENÍ 5 Genetický algoritmus hledání extrémů funkcí 3

4 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ - Obsah CVIČENÍ 6 Genetický algoritmus symbolická regrese CVIČENÍ 7 Genetický algoritmus predikce časově omezených výstupů CVIČENÍ 8 Genetický algoritmus problém obchodního cestujícího CVIČENÍ 9 Neuronové sítě aproximace pomocí vícevrstvé neuronové sítě na základě metody back propagation CVIČENÍ 10 Neuronové sítě predikce pomocí vícevrstvé neuronové sítě na základě metody back propagation CVIČENÍ 11 Neuronové sítě jednoduché učící se neurony CVIČENÍ 12 Samo organizující se neuronové sítě 2D Kohonenova mapa bodů CVIČENÍ 13 Samo organizující se neuronové sítě Třídění barevných segmentů pomocí Kohonenovy mapy CVIČENÍ 14 Elastické neuronové sítě problém obchodního cestujícího 4

5 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Pokyny ke studiu POKYNY KE STUDIU Systémy s umělou inteligencí Pro předmět zimního semestru oboru Měřicí a řídicí technika jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum pro distanční studium obsahující i pokyny ke studiu CD-ROM s doplňkovými animacemi vybraných částí kapitol harmonogram průběhu semestru a rozvrh prezenční části rozdělení studentů do skupin k jednotlivým tutorům a kontakty na tutory kontakt na studijní oddělení Předpoklady studia Pro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu (bude doplněno) Cílem předmětu je seznámení se základními pojmy vědního oboru Umělá inteligence a aplikačních systémů, které využívají jejích přístupů. Po prostudování modulu by měl student být schopen porozumět principům systémů s prvky umělé inteligence a pochopit výhody jejich použití v technické praxi. Pro koho je předmět určen Modul je zařazen do bakalářského / magisterského studia oborů (bude doplněno) studijního programu Měřicí a řídicí technika, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované předpoklady kurzu. Skriptum se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura. Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup: Čas ke studiu: xx hodin Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Někomu se čas může zdát příliš dlouhý, někomu naopak. Jsou studenti, kteří se s touto problematikou ještě nikdy nesetkali a naopak takoví, kteří již v tomto oboru mají bohaté zkušenosti. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět 5

6 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Pokyny ke studiu popsat... definovat... vyřešit... Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly konkrétní dovednosti, znalosti. Výklad Následuje vlastní výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázky, tabulkami, řešenými příklady, odkazy na animace. Shrnutí pojmů Na závěr kapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy, které si v ní máte osvojit. Pokud některému z nich ještě nerozumíte, vraťte se k nim ještě jednou. Otázky Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických otázek. Další zdroje Seznam další literatury, www odkazů ap. pro zájemce o dobrovolné rozšíření znalostí popisované problematiky. CD-ROM Informace o doplňujících animacích, videosekvencích apod., které si může student vyvolat z CD-ROMu připojeného k tomuto materiálu. Klíč k řešení Výsledky zadaných příkladů i teoretických otázek výše jsou uvedeny v závěru učebnice v Klíči k řešení. Používejte je až po vlastním vyřešení úloh, jen tak si samokontrolou ověříte, že jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli. Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přejí autoři výukového materiálu Miroslav Pokorný Vilém Srovnal 6

7 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Umělá inteligence 1 UMĚLÁ INTELIGENCE 1.1 Umělá inteligence vědní disciplína Čas ke studiu: 1,5 hodiny Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět vysvětlit pojem umělé inteligence a její náplň jako vědního oboru pojednat o hlavních etapách jejího vývoje a nejvýznamnějších výsledcích charakterizovat význam umělé inteligence v moderní vědě Výklad Co je to umělá inteligence? Pojem inteligence [1] je spjat s některými vlastnostmi vyšších organizmů, zvláště člověka. Stručně lze říci, že inteligentní schopnosti umožňují reagovat na složité projevy životního prostředí a aktivně je využívat ve svůj prospěch, k dosažení svých cílů. Vlastní pojem inteligence je velmi složitý a nebyl nikdy přesně vymezen. Nicméně existují metody pokoušející se kvantifikovat stupeň lidské inteligence (např. IQ-testy). Každá z nich má však své omezení a žádnou nelze považovat za zcela objektivní. Přesto je chování živých organizmů, které je možno považovat za projev jejich inteligence, natolik zajímavé, že neuniklo pozornosti vědců zkoumajících metody a prostředky, jak takové inteligentní chování strojově napodobit tj. vytvořit umělé systémy, které by vlastnosti inteligentního chování vykazovaly. Postupy a algoritmy, které by ve svých důsledcích vedly k jistému napodobení projevů inteligentního chování člověka, se s vývojem poznání a vědy staly předmětem zkoumání nové vědní disciplíny umělé inteligence (1956). (Tento termín se postupně zcela vžil a odsunul do pozadí pokusy o jiné interpretace, např. strojový intelekt ). Není-li pojem inteligence u živých organizmů přesně definován, nelze ani čekat přesné vymezení pojmu inteligence umělé. Nehledě na skutečnost, že pokusů bylo v tomto směru provedeno na stovky (např. na VIII. Mezinárodní konferenci IJCAI v roce 1983 v Karlsruhe bylo předloženo na 180 definic umělé inteligence). V současné době převládá názor, že pro vytvoření praktických aplikací nejde ani tak 7

8 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Umělá inteligence o přesné vymezení pojmu umělá inteligence, jako spíše o vytvoření intuitivní představy o jejím obsahu. Jestliže expertní systémy ve svých různých variantách patří k dnes nejvíce prakticky rozšířeným nástrojům vědního oboru umělé inteligence, věnujme pozornost alespoň třem definicím umělé inteligence, které můžeme označit jako zdařilé. Minského definice umělé inteligence Marvin Minsky předložil v roce 1961 definici, která vychází z tzv. Turingova imitačního testu: Umělá inteligence je věda o vytváření strojů a systémů, které budou při řešení určitého úkolu užívat takového postupu, který kdyby tak postupoval člověk bychom považovali za projev jeho inteligence. Hovoří-li definice o řešení určitých úkolů, má na mysli zřejmě úkoly komplikované, složité. Složitost úkolu pak lze ohodnotit počtem všech variant jeho řešení, které připadají v úvahu. Rozhodně nelze považovat za inteligentní způsob řešení postup, při němž jsou postupně přebírány a ověřovány varianty postupně jedna za druhou. Inteligentním naopak nazveme takový postup, při němž budou ověřovány pouze varianty nadějné. Ty, které neposkytují dostatečnou šanci na úspěch řešení, budou apriorně vynechány. Přitom mechanizmus, který umožňuje řešiteli některé varianty apriori odmítnout, je nesporně založen na využívání informací, znalostí o řešeném problému. Ukazuje se, že využití znalostí je pro konstrukci inteligentních postupů zcela relevantní. Znalosti mohou být získány jednak převzetím od člověka, který je schopen úlohu inteligentně řešit (tedy nutně experta v daném oboru), jednak analýzou příkladů a jejich inteligentních řešení. Lidské znalosti můžeme rozdělit do dvou skupin. Předně jsou to znalosti objektivní, obecné či exaktní (někdy nazývané také znalosti hluboké), k nimž mají přístup odborníci např. při studiu daného oboru (teorémy, fyzikální zákony apod.). Druhou skupinu tvoří znalosti subjektivní, často heuristické až meta-heuristické (někdy nazývané znalosti mělké nikoli však ve smyslu povrchní!), získané vlastním poznáním a dlouholetou praxí. Ukazuje se, že pro kvalitu řešení z hlediska umělé inteligence sehrávají tyto subjektivní znalosti podstatnou roli. Zvláštní význam pak budou tyto subjektivní znalosti vykazovat při konstrukci expertních systémů. Richova definice umělé inteligence Richova definice umělé inteligence se úspěšně vyhýbá filozofickým úvahám, které většině pokusů o definici inteligence či umělé inteligence dominují. Říká, že Umělá inteligence se zabývá tím, jak počítačově řešit úlohy, které dnes zatí lépe zvládají lidé. 8

9 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Umělá inteligence Podle tohoto vymezení je obsah umělé inteligence bezprostředně vázán na aktuální stav počítačových věd a lze tedy očekávat, že s rozvojem počítačové techniky se bude těžiště umělé inteligence posouvat a měnit. Jde o velmi stručné a poměrně přesné vymezení toho, co tvoří skutečný obsah umělé inteligence jako vědní disciplíny. Kotkova definice umělé inteligence Kotkova definice je blíže spjata s pojmem a posláním technické kybernetiky jako praktické vědy o sdělování a řízení v živých organizmech, strojích a společnosti: Umělá inteligence je vlastnost člověkem uměle vytvořených systémů vyznačujících se schopností rozpoznávat předměty, jevy a situace, analyzovat vztahy mezi nimi a tak vytvářet vnitřní modely světa, ve kterých tyto systémy existují, a na tomto základě pak přijímat účelná rozhodnutí, předvídat důsledky těchto rozhodnutí a objevovat nové zákonitosti mezi různými modely nebo jejich skupinami. Zavedení definice vnitřních modelů dovoluje definovat postup řešení úlohy takto: je dán model počátečního stavu prostředí a model cílového stavu prostředí. Dále jsou dány přípustné akce, kterými lze stav prostředí měnit. Úkolem je nalézt takové posloupnosti akcí, které převedou počáteční stav do stavu cílového při respektování předem zadaných omezení. Takto formulovaný problém nazýváme v umělé inteligenci řešením úloh (jak uvidíme později, vystihuje tato formulace paradigma třídy plánovacích expertních systémů). Formulace modelů a akcí je pak zahrnována do problematiky reprezentace znalostí. Kotkova definice umělé inteligence umožňuje také explicitně určit a vyjmenovat dílčí teoretické úlohy, které do ní jako vědní disciplíny spadají (rozpoznávání, reprezentace znalostí vč. logiky jako nástroje pro tuto reprezentaci, řešení úloh, adaptace a učení, expertní systémy a komunikace se strojem v přirozeném jazyce). Problematika expertních systémů je pak spjata s problematikou efektivního strojového využívání znalostí špičkových expertů pro obecné úlohy diagnostiky a plánování. Trocha historie úvodem Dnes můžeme říci, že umělá inteligence je jednou z nejrychleji se rozvíjejících vědních disciplín v celé historii. Až v létě roku 1956 byla totiž na Darmtouth College v New Hampshire (USA) zorganizována poměrně malá konference The Darmouth Summer Research Project on Artificial Intelligence, na kterou byli pozváni přední odborníci zabývající se mentálními schopnostmi lidí a strojů. Sešli se tak odborníci z oblasti matematiky, elektrotechniky, elektroniky, lingvistiky, neurologie, psychologie a filozofie. Tato konference se zapsala do dějin umělé inteligence zlatým písmem. Jejím náplní byla diskuze domněnky, že Každé hledisko učení nebo jakýkoliv jiný příznak inteligence může být v principu tak přesně popsán, že může být vyvinut stroj, který ho simuluje. 9

10 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Umělá inteligence Byla poprvé vyslovena myšlenka, že počítače by mohly pracovat se symboly stejně dobře jako s čísly. Díky návrhu organizátora konference J. McCarthyho byla nově se rýsující vědní disciplína nazvána již v názvu konference - umělou inteligencí. Představy odborníků v polovině padesátých let byly velmi optimistické. Vědci předpovídali, že do 25 let nahradí počítače veškerou lidskou intelektuální činnost. Bohužel, historie vývoje umělé inteligence jim za pravdu nedala. Celá byť relativně krátká historie rozvoje umělé inteligence je velmi zajímavá, vymyká se však poněkud poslání této učebnice. V krátkosti lze říci, že historický vývoj umělé inteligence prošel třemi základními etapami. První etapa je datována do zbytku 50. a celých 60. let minulého století. Je typická nadšeným úsilím odborníků a rozvojem prvních nástrojů umělé inteligence. Především je třeba jmenovat LISP (1960) dodnes jeden z nejpoužívanějších jazyků umělé inteligence a dále systém GPS General Problem Solving (1960) nejznámější program pro řešení obecných problémů. Přes řadu úspěšných výsledků se již koncem 60. let začalo ukazovat, že původní optimistické předpovědi byly značně přemrštěné a řešení problémů umělé inteligence bude spojeno s celou řadou problémů. Druhá etapa, situovaná do 70. let minulého století, je označována jako etapa skepse a stagnace. Bylo omezeno či dokonce zrušeno financování celé řady projektů a omezen výzkum umělé inteligence. Přece však úsilí nadšenců přineslo i v této situaci pozitivní výsledky, soustředěné hlavně do oblasti reprezentace znalostí, prohledávacích technik, zpracování přirozeného jazyka a počítačového vidění. Objevily se první expertní systémy, které se staly prototypy dodnes používaných technik (DENDRAL-1971, MYCIN-1976, PROSPECTOR-1978). Byl publikován dodnes široce používaný jazyk umělé inteligence PROLOG (1975). Třetí etapa z let 80. navázala na výsledky etapy druhé. Je považována za období nového rozvoje umělé inteligence, charakterizované především komercionalizací vyvinutých nástrojů, vytvoření odborné terminologie, publikací monografií k jednotlivým oblastem umělé inteligence, návrhy počítačů s architekturami vhodnými pro umělou inteligenci (LISPovské a PROLOGovské počítače). Byly zahájeny rozsáhlé výzkumné programy, především japonský projekt počítačů páté generace ( ). Z hlediska dnešního pohledu je místo umělé inteligence v moderní vědě, společnosti i praxi zcela pevné. Její výzkum se stal systematickou součástí odborných pracovišť univerzit a akademií, její produkty jsou postupně rozšiřovány jak v průmyslové tak i ve spotřební elektronice. Uplatňují se v celé řadě technických i netechnických oborů. 10

11 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Umělá inteligence Shrnutí pojmů Expertní systémy jsou specializované počítačové programy, které simulují rozhodovací činnost člověka při řešení složitých problémů. Kvalita lidských rozhodnutí je závislá na úrovni jeho intelektu komplexu jeho mentálních schopností. Rozhodovací činnosti počítače, pokud mají být kvalitní, musí vykazovat specifické vlastnosti svých procedur, které jsou řešeny v rámci vědního oboru umělá inteligence. Historický vývoj umělé inteligence prošel třemi etapami. První představovala nadšený vstup do výzkumu a vývoje specializovaných prostředků, které měly být praktickými nástroji umělé inteligence (programovací jazyk LISP, prostředek pro řešení problémů GPS). Druhá etapa přinesla skepsi a stagnaci, přesto vyprodukovala některé užitečné výstupy (programovací jazyk PROLOG, první použitelné expertní systémy). Třetí etapa přinesla opět oživení zájmu, hlavně díky dlouhodobému japonskému projektu počítačů páté generace. Jediná exaktní definice umělé inteligence neexistuje, z mnoha pokusů lze však vybrat takové, které lze intuitivně označit jako zdařilé. Patří sem především definice Minského (stroje řeší problém postupy, které lze s ohledem na obdobu postupů člověka označit jako inteligentní), definice Richova (počítače zvládají úlohy, dostupné doposud jen člověkovi) a definice Kotkova (definuje pojem vnitřního modelu světa a umožňuje označit technické úlohy, které jsou pro metody umělé inteligence typické). Otázky Kdy a čím je datován vznik vědního oboru umělá inteligence? Jakými etapami prošel vývoj umělé inteligence do dnešních dnů? Jaké jsou nejznámější definice vědního oboru umělá inteligence? Jaké jsou praktické aspekty Kotkovy definice umělé inteligence? Další zdroje [1] Mařík, V. a kol.: Umělá inteligence I, II, Academia Praha, 1997, ISBN

12 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování 1.2 Kvantitativní a kvalitativní modelování reálných soustav Čas ke studiu: 3 hodiny Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět porozumět paradigmatům numerického a nenumerického modelování vysvětlit principy kvalitativního modelování a simulací vysvětlit pojem kvalitativní proměnné a jejích kvalitativních hodnot provádět počítání s kvalitativními hodnotami kvalitativních proměnných sestavovat kvalitativní modely Výklad Konvenční matematicko-statistické analytické modely představují modely, pro jejichž sestavení je k dispozici (předem nebo následně) přesná a úplná informace. Pod přesnou a úplnou informací si zpravidla představujeme takovou informaci, která se dá reprezentovat či modelovat tak, že jak struktura tak i všechny parametry jsou jednoznačně určeny. Modely, vykazující takovou formální dokonalost, nejsou zpravidla adekvátní skutečnosti, která je vágní a složitá. Představa, že dostatečně složitý matematický model může reprezentovat realitu s libovolnou přesností či adekvátností, není zřejmě správná. Formálně složité matematické modely vyžadují informace, které jsou náročné jak způsobem svého objektivního získávání, tak i nároky na svoji kvalitu. Tato skutečnost je zvláště závažná u modelů, určených pro práci v informačních nebo řídících systémech reálného času. Potřebná rozsáhlá a náročná měření jsou v těžkých provozních podmínkách buď zcela nemožná, nadměrně náročná na údržbu, nebo při zajištění potřebné robustnosti je kvalita jejich informace tak nízká, že jsou nepoužitelná. Na tuto skutečnost poprvé upozornil L.A.Zadeh [1], když v r formuloval princip inkompatibility slovy: "Tak, jak roste složitost nějakého systému, klesá naše schopnost činit precizní a přitom ještě použitelná tvrzení o jeho chování, dokud není dosaženo prahu, za nímž se stávají preciznost a použitelnost (nebo relevantnost) téměř vzájemně se vylučujícími charakteristikami." Studovaná část reálného světa vykazuje zpravidla mnoho nejasného a vágního. Klasické metody pro formalizaci nepřesnosti předpokládají stochastický charakter ne zcela přesně determinovaných jevů. Takový stochastický přístup ke zpracování neurčitosti pomocí aparátu pravděpodobnosti a matematické statistiky vyžaduje, aby 12

13 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování příslušné jevy byly dobře definovanými prvky množiny a měly právě tak dobře definovaný význam výpovědí o nich. Dále je nutno dodržet řadu předpokladů o datech a mít k dispozici dostatečný počet pozorování. Inženýrské projekty řízení složitých technologických procesů ukázaly, že klasická matematická statistika se svým principiálním pojetím a řadou omezení není prostředkem k formalizaci a efektivnímu využití takového typu neurčitosti, který nazýváme vágností (pojmovou neurčitostí), jež je při jazykovém popisu složitých systémů podstatná. Definujme složkovou charakteristiku objektu vztahem [2] kde RC = ( r uv ) uv ( a a ) r = r, u v představuje souvislosti vstupních a výstupních veličin složek zkoumaného objektu. Matematické modely vycházejí z předpokladu, že relační charakteristika objektu je definována ostře, precizně a odchylky mezi odhadovanými a pozorovanými hodnotami závisle proměnné jsou tudíž výsledkem chyb pozorování. Původ odchylek mezi pozorovanými a vypočítanými hodnotami závisle proměnné veličiny mohou však být nezanedbatelnou měrou způsobeny špatnou definovaností systémové struktury. Příčiny těchto odchylek můžeme hledat i v ne zcela ostrém charakteru systémových parametrů. V této souvislosti vyvstává relevantní problém metod formalizace a efektivního zpracování neurčitých informací. Ukazuje se, že právě schopnost lidského mozku konstruovat a využívat jednoduché algoritmy pro vyvozování závěrů v podmínkách neurčitosti je hlavní příčinou kvality lidského uvažování. Problematika poznávání obecných zákonitostí kognitivních procesů prostřednictvím modelování a simulací a snaha vytvořit metody a jim odpovídající systémy pro řešení složitých úloh takovými způsoby, které bychom považovali při řešení stejných úloh člověkem jako projevy jeho intelektu, je jednou z definicí předmětu zájmu vědního oboru umělá inteligence. Za jedny z jejích dosavadních výsledků můžeme považovat i nekonvenční techniky modelování, simulací a řízení takových procesů, jejichž popis je vágní a pro jejich formalizaci nelze dobře použít klasickou metodu popisu neurčitosti - matematickou statistiku. V řadě inženýrských aplikací, které využívají statistických metod pro vyjádření míry neurčitosti jevů, narážíme na problém malých rozsahů výběrových souborů. Počty vykonaných experimentů bývají často nedostatečné. Doplňková pozorování přitom často nejsou z technických nebo ekonomických důvodů dostupná. Rozpor mezi informační náročností statistiky a omezenými informačními zdroji není jediný, na nějž se při použití klasických formálních prostředků na zpracování informací naráží. Další problémem může vyplývat ze složitosti studovaných soustav 13

14 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování a dějů, které v nich probíhají. Nemáme-li k dispozici dostatečný počet pozorování za reprodukovatelných podmínek, nelze variabilitu přírodních dějů eliminovat tím, že vyhovíme požadavkům reprodukovatelnosti stanovením příliš obecných podmínek. Získáme tím výsledky, jejichž rozptyl či konfidenční intervaly jsou natolik široké, že výsledky znehodnotí. Potíže přetrvávají tehdy, pokud se snažíme pracovat pouze s objektivně zjištěnými informacemi. Problémy řeší metody, které připouštějí využití subjektivně zabarvených informací To jsou objektivní důvody, proč se ve zvýšené míře v řadě aplikací uplatňují metody umělé inteligence. Od ní se očekává, že nabídne východisko z problémů, které vznikly snahou o objektivizaci jak v přírodovědeckých, tak i inženýrských disciplínách. V souladu s rozvojem aplikací metod umělé inteligence vzniká trend přechodu od zpracování údajů ke zpracování znalostí [3], [4]. Lidské znalosti můžeme rozdělit do dvou kategorií: a) v první jsou tak tzv. znalosti hluboké, jejichž zdrojem je vlastní poznání přírodních dějů ve formě přírodních zákonů. Jsou to znalosti objektivní, dostupné více či méně široké odborné veřejnosti. Jsou produktem analytických, abstraktních a teoretických postupů zkoumání jevů reality. Hluboké znalosti jsou vyjadřovány formou analytických matematických vztahů. b) druhou kategorii znalostí označujeme jako znalosti mělké, povrchové (nikoli však povrchní!). Jsou to poznatky, jejichž zdrojem je dlouhodobá zkušenost, praxe a vlastní experimentování. Jsou to subjektivní znalosti, které kvalifikují úroveň experta. Mělké znalosti jsou vyjádřitelné formou predikátových kalkulů, heuristických pravidel, rámců či kvalitativních vztahů. V procesu modelování hraje rovněž významnou roli dělení znalostí na znalosti apriorní, známé již ve fázi tvorby modelu a znalosti aposteriorní, získávané až v etapě jeho identifikace a využívání. Využití hlubokých znalostí je typické pro metody konstrukce konvenčních, matematických statisticko-analytických modelů. Tyto modely, formalizované soustavami algebraických či diferenciálních rovnic, odrážejí díky aplikaci objektivních znalostí a metod obvykle širší třídy problémů a mají ponejvíce obecnou platnost. Uplatnění subjektivních znalostí v takových modelech není typické. Cesta uplatnění specifických (subjektivních, heuristických) znalostí vede k metodám tvorby nekonvenčních nenumerických (jazykových) modelů, které využívají vícehodnotové logiky a různé formální aparáty jak pro reprezentaci neurčitých pojmů, tak i pro aproximativní (přibližné) vyvozování. Mělké znalosti však nepodchycují podstatu vztahů uvnitř modelované soustavy. Nedostatečnost mělkých znalostí vede k odkazům na metaznalosti - znalosti o znalostech. Použití mělkých znalostí vede mnohdy ke zjednodušení principů a mechanizmů metod vyvozování. Přesto, že řada takto koncipovaných přístupů dosáhla komerčního úspěchu, 14

15 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování v mnohých případech se projevila významnost limit jejich funkčních schopností. V první řadě zde stojí skutečnost, že konstrukce a kvalita takového modelu je plně závislá na existenci kvalitního experta v dané problémové oblasti. Dále pak celou řadu problémů přináší role znalostního inženýra, jehož úkolem je vedení dialogu s expertem, čerpání jeho znalostí, volba vhodné metody jejich formalizace a způsobu aproximativního vyvozování. Vyvození, která takové systémy poskytují, mají vyhraněně lokální charakter. Obecně je možno říci, že systémy, založené výhradně na mělkých znalostech, trpí ohraničenými možnostmi efektivního strukturování jimi realizovaných rozhodovacích procesů a zjednodušenými principy odvozovacích a vysvětlovacích mechanizmů. Snaha o přiměřené uplatnění hlubokých znalostí v nekonvenčních modelech z oblasti umělé inteligence vedla k přístupům, které umožňují integraci objektivních a subjektivních informací. Jejich výraznou charakteristikou je uplatnění globálních pohledů při rozhodování, plynoucích právě z uplatnění objektivních informací. Hluboké znalosti jsou rovněž nazývány znalostmi kvantitativními, mělké znalosti pak znalostmi kvalitativními. Možnost jejich integrace má zvláště velký význam v oblasti diagnostiky technologických procesů s ohledem na možnost predikce jejich poruchových stavů (bezpečnostní inženýrství). Kvalitativní modelování Přechodem mezi numerickým a jazykovým popisem chování složitých soustav je kvalitativní modelování. Ke kvalitativnímu popisu zkoumaných jevů přistupujeme tehdy, pokud nechceme (nebo neumíme) analyticky přesně (analyticky) popsat vztahy mezi proměnnými veličinami popisovaných dějů [4], [5]. Důležitým znakem kvalitativního uvažování (Common Sense - naivní fyzika) je přechod k novému oboru proměnných. Místo reálných čísel, typických pro matematický (numerický, kvantitativní) popis, je oborem hodnot množina hodnot, která umožňuje kvalitativně charakterizovat aktuální hodnotu číselné proměnné relativně vůči jejím významným hodnotám. Kvalitativní hodnota proměnné je pak dána údajem o velikosti hodnoty, charakterizující polohu aktuální hodnoty proměnné vůči významným mezním hodnotám (kladná větší než nula, záporná menší než nula a nulová) a údaji o vývojové tendenci proměnné (její velikost roste, klesá, je konstantní). Čas je reprezentován uspořádanou množinou symbolů, odpovídající významným okamžikům. Kvalitativní průběh proměnné v čase je funkce, která přiřazuje významným okamžikům a intervalům mezi nimi kvalitativní hodnoty. Chování soustavy (kvalitativní model) je vyjádřeno pomocí formulí (kvalitativních rovnic neboli konfluencí), vytvořených z množiny kvalitativních 15

16 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování proměnných a kvalitativních vazeb. Vazby jsou relace, definované na kvalitativních hodnotách tak, aby co nejpřesněji popisovaly běžné aritmetické operace, vztahy derivací, rovností a nerovností. Zde je třeba zdůraznit, že na rozdíl od kvantitativního popisu, kde jsou vazby funkcemi, jde v případě kvalitativních vazeb o relace, neboť výsledek aplikace kvalitativní operace na kvalitativní hodnoty nelze určit jednoznačně Kvalitativní simulace systému spočívá v odvození kvalitativního průběhu jeho proměnných ze soustavy konfluencí, které systém charakterizují a z kvalitativních hodnot nezávisle proměnných ve zvoleném časovém okamžiku. Kvalitativní proměnné jsou v přístupech kvalitativního modelování značeny X: X(1), X(2),..., X(n). Kvalitativní proměnné mohou nabývat tří kvalitativních hodnot, a to [K+, K0, K-]. Kvalitativní hodnota proměnné X může být tedy pozitivní (K+), negativní (K-) nebo nulová (K0). Kvalitativní dynamické chování systému je dáno hodnotami kvalitativních derivací jeho proměnných. DX(1) je první a DDX(1) druhá derivace proměnné X(1). Zkušenosti s řešením reálných inženýrských problémů ukazují, že pro postačující popis chování systému je dostatečné uvažovat kvalitativní specifikaci proměnné X(1) ve tvaru tzv. kvalitativního tripletu X(1), DX(1), DDX(1)] [ Pro n- proměnných je pak užito n-tripletů [X(1),DX(1),DDX(1);X(2),DX(2),DDX(2);...;X(n),DX(n),DDX(n)] n-triplet pak udává kvalitativní stav soustavy ve zvoleném časovém okamžiku. Kvalitativní algebra Kvalitativní algebra je tvořena kvalitativními operacemi, které jsou specifikovány následujícími předpisy. a) Kvalitativní součet je definován podle Tab.1 X ( i) + X ( j) = X ( s) 16

17 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování [+] X(j) K+ K0 K- X(i) K+ K+ K+? K0 K+ K0 K- K-? K- K- Tab.1 b) Kvalitativní součin je definován předpisem podle Tab.2. X ( i) X ( j) = X ( s) [ ] X(i) X(j) K+ K0 K- K+ K+ K0 K- K0 K0 K0 K0 K- K- K0 K+ Tab.2 c) Kvalitativní derivace součtu je definována vztahy DX ( s) = DX ( i) + DX ( j) DDX ( s) = DDX( i) + DDX( j) d) Kvalitativní derivace součinu je definována vztahy ( DX ( i) DX ( j) ) = X ( i) DX ( j) + X ( j) DX ( ) DX ( s) = i e) Druhou kvalitativní derivaci součinu lze vyjádřit pomocí vztahu pro derivaci první. Zkušenosti však ukazují, že toto vyjádření je příliš složité a výsledek je vágní. Proto je v inženýrské praxi hodnota druhé derivace součinu implicitně považována jako hodnota "?", tedy pro triplet proměnné X(s) X ( s) A DX ( s) B DDX( s)? f) Kvalitativní časová derivace je dána jednoduchými vztahy X ( j) = DX ( j) DX ( j) = DDX ( j) DDX ( j) = DDDX ( j) Kvalitativní model QM je pak dán soustavou kvalitativních rovnic, kterou lze rozdělit 17

18 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování do dvou podsoustav. První podsoustava SMD je soustavou takových kvalitativních rovnic, které jsou odrazem přírodních zákonů a reprezentují tedy tzv. hluboké znalosti. Jejich zdrojem je obvykle kvalitativní transformace rovnic matematických. Naproti tomu druhá podsoustava SMS je soustavou kvalitativních rovnic, generovaných využitím zkušeností, experimentů nebo heuristik, tedy znalostí mělkých. Charakteristickým rysem obou submodelů SMD a SMS je skutečnost, že společně reprezentují znalost úplnou. Kvalitativní modelování lze tedy považovat za jednu z metod, umožňující integraci znalostí. Kvalitativní simulace probíhá metodou položení kvalitativního dotazu QU. Dotaz QU je tvořen množinou kvalitativního zadání kde [ X ( 1), DX(1), DDX(1) ] [ T, T T ] T i ( K+, K, K0,? ) 1 2, 3 Kvalitativní řešení kvalitativního modelu QM je množina M všech n-tripletů takových, které neodporují žádné modelové relaci. Nejjednodušším algoritmem odvození množiny řešení M je postupné generování všech možných n-tripletů a jejich testování proti modelu QM. Metodologie vytvoření kvalitativního modelu závisí v prvé řadě na dostupnosti matematického (kvantitativního) modelu konvenčního. V případě jeho existence lze kvalitativní model získat metodou kvalitativní transformace a jsou-li navíc známy i velikosti Obr numerických konstant, lze výsledky kvalitativních řešení s výsledky kvantitativními konfrontovat. Typičtější je však situace, kdy kvantitativní model je znám jen částečně a velikosti numerických konstant jsou známy v nejlepším případě jen přibližně. Pro konstrukci kvalitativního modelu lze téměř vždy inženýrskou analýzou problému sestavit alespoň výchozí rovnice, odrážející platnost základních přírodních zákonů - zákona zachování hmoty nebo energie. Jiný přístup ignoruje algebraické (hluboké) znalosti a staví kvalitativní model pouze na "chování" soustavy a ne na interpretaci algebraických vztahů. Stavový graf Další formou výstupní informace kvalitativního modelu je tzv. stavový graf. Stavový graf udává možné přechody jednoho kvalitativního stavu do stavu druhého. Jako příklad lze uvést přechod, který je graficky interpretován na Obr.1. 18

19 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování ČASOVÝ INTERVAL BOD ČASOVÝ INTERVAL [ ] [ ] [+ - - ] Obr Označení možných přechodů kvalitativních stavů dává kvalitativnímu modelu významnou predikční schopnost. Kvalitativní interpretace časového průběhu proměnné X na Obr je tedy dána sekvencí tripletů [+ - +] [+ 0 +] [+ + +] Kvalitativní znalost, popsaná touto sekvencí, není tak specifická, jako kvantitativní informace na Obr Kvalitativní transformace tedy představuje jistou "degeneraci" kvantitativního popisu, je však schopna vyjádřit integrovaně v jednom modelu jak znalost kvantitativní (hlubokou), tak kvalitativní (mělkou - experimentálně zjištěnou či expertní nebo hypotetickou). Řešené úlohy 1.2 Příklad Převeďte kvantitativní konvenční rovnici 2y + x/3 - z = 2 na kvalitativní transformací převést na kvalitativní rovnici (konfluenci) Řešení: Y + X - Z = K+ 19

20 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování Příklad Konstrukce kvalitativního vyjádření jednoduchého kvantitativního průběhu, vyjádřeného jeho časovou funkcí, je uvedeno na Obr.1. Obr.1 Interval AB je kvalitativně reprezentován jako [ X = PLUS( + ), DX = MINUS( ), DDX = PLUS( + ] = [ + + ] AB = ) Bod B a interval BC jsou kvalitativně charakterizovány triplety [ ] = [ ] B =, BC Příklad Na Obr.2 je nakreslen příklad jednoduchého chemického reaktoru, který lze popsat jednoduchou diferenciální rovnicí dv / dt = F r i F o 20

21 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování Obr.2 Jelikož nebyla definována funkce kvalitativního rozdílu, je třeba přepsat rovnici do tvaru dv / dt + F = F r o i Tuto rovnici lze vyjádřit blokovým schématem na Obr.3, které je pro konstrukci kvalitativního modelu velmi vhodné. Obr.3 Toto blokové schéma lze zapsat ve formě soustavy dvou konfluencí s jednou pomocnou proměnnou P1 jako P1= dvr / dt F i = P1 + F 0 Soustavu těchto konfluencí lze dále zapsat ve formě matice, vhodné pro počítačové programování 21

22 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování 1 d / t VR P1 0 2 add P1 F0 F1 Řešením tohoto kvalitativního modelu je množina n-tripletů, kde n je celkový počet kvalitativních proměnných modelu. Každá proměnná je popsána svým jednoduchým tripletem. Všechna možná řešení modelu jsou uvedena v následující tabulce Tab.1. DDV DF0 DFI ? ? ? ? ? ? Tab.1 Všechny proměnné jsou uvažovány jako pozitivní. V tabulce jsou jako příklad vybrány z tripletů proměnných pouze hodnoty jejich prvních derivací. Otazníky označují sporná (nejednoznačná) kvalitativní řešení, neboť např. v řešení č.4 ( DDV = + ) + ( DF0 = ) = +? závisí polarita součtu na absolutní velikosti sčítanců. Shrnutí pojmů Ke kvalitativnímu popisu zkoumaných jevů přistupujeme tehdy, pokud nechceme (nebo neumíme) analyticky přesně popsat vztahy mezi proměnnými veličinami popisovaných dějů. Důležitým znakem kvalitativního modelování je přechod k novému oboru proměnných. Místo reálných čísel, typických pro matematický popis, je oborem hodnot množina hodnot, která umožňuje kvalitativně charakterizovat aktuální hodnotu číselné proměnné relativně vůči jejím významným hodnotám. Kvalitativní 22

23 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování hodnota proměnné je pak dána údajem o velikosti hodnoty, charakterizující polohu aktuální hodnoty proměnné vůči významným mezním hodnotám (kladná větší než nula, záporná menší než nula a nulová) a údaji o vývojové tendenci proměnné (její velikost roste, klesá, je konstantní). Kvalitativní model je vyjádřen pomocí kvalitativních rovnic neboli konfluencí, vytvořených z množiny kvalitativních proměnných a kvalitativních vazeb. Kvalitativní simulace systému spočívá v odvození kvalitativního průběhu jeho proměnných ze soustavy konfluencí. Kvalitativní hodnota proměnné X může být pozitivní (K+), negativní (K-) nebo nulová (K0). Kvalitativní dynamické chování systému je dáno hodnotami kvalitativních derivací jeho proměnných. DX(1) je první a DDX(1) druhá derivace proměnné X(1). Pro popis stavu kvalitativní proměnné se používá kvalitativního tripletu [X(1), DX(1), DDX(1)]. Kvalitativní algebra je tvořena kvalitativními operacemi, které umožňují aritmetické operace s kvalitativními hodnotami. Operace jsou specifikovány předpisy pro kvalitativní součet, součin, derivaci součtu, derivaci součinu a časovou derivaci. Kvalitativní simulace probíhá metodou položení kvalitativního dotazu QU. Dotaz QU je tvořen množinou kvalitativního zadání. Kvalitativní řešení kvalitativního modelu QM je množina M všech n-tripletů takových, které neodporují žádné modelové relaci. Nejjednodušším algoritmem odvození množiny řešení M je postupné generování všech možných N-tripletů a jejich testování proti modelu QM. Stavový graf udává možné přechody jednoho kvalitativního stavu do stavu druhého. Otázky Jaký je rozdíl mezi kvantitativním (matematickým) a kvalitativním popisem (modelováním) chování složité soustavy? Co je to kvalitativní triplet? Proč jsou některé kvalitativní operace nejednoznačné? Jak probíhá proces kvalitativní simulace? Čím je významný kvalitativní stavový graf? Úlohy k řešení Vymyslete sami matematickou rovnici (nebo soustavu rovnic), reprezentující fyzikální soustavu. Určete parametry takto napsaného modelu soustavy a pouvažujte o možnosti přesného stanovení jejich číselných hodnot! Uveďte objekt, který považujete z hlediska jeho matematického modelování za složitý. 23

24 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Kvantitativní a kvalitativní modelování Uveďte příklad mělké a hluboké znalosti v oboru, který je Vám blízký (řízení automobilu, hra v šachy apod.) Promyslete kvalitativní popis řízení směru jízdy automobilu řízením natočení kol přední nápravy Popište kvalitativním tripletem kladnou kvalitativní proměnnou X, jejíž hodnota exponenciálně roste Popište kvalitativním tripletem proměnnou, jejíž hodnota exponenciálně roste Převeďte do kvalitativní formy následující rovnici 2 2 ( 3x + 2x) ( 2z) = y Sestavte kvalitativní model funkce popsané jejím průběhem na obrázku Obr.4.. Obr.4 Další řešené příklady naleznete v kapitole: CVIČENÍ 1 Fuzzy množiny a logika problém udělení výše spropitného Další zdroje [1] Zadeh,L.A.: The Concept of Linguistic Variable and its Application to Aproximate Reassoning, American Elsevier P.C., New York, 1973 [2] Noskievič,P.: Modelování a identifikace systémů, MONTANEX a.s., ISBN [3] Mařík, V. a kol.: Umělá inteligence I, II, Academia Praha, ISBN [4] Pokorný, M.: Umělá inteligence v modelování a řízení, BEN Praha, ISBN [5] Dohnal,M.: Methodology of Qualitative Modelling, Proc. SCAI 89, Tampere,

25 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Systémy fuzzy-logické 2 SYSTÉMY FUZZY-LOGICKÉ 2.1 Základy teorie fuzzy množin a jazykové fuzzy logiky Čas ke studiu: 3 hodiny Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět objasnit pojem fuzzy množiny použít fuzzy množinu pro formalizaci vágního slovního výrazu definovat pojem jazykové proměnné jazykového modelu a její hodnoty použít fuzzy množiny v jazykových modelech vyložit principy fuzzy logiky Výklad Fuzzy množinová teorie V první části učebnice jsme zdůraznili úlohu zkušeností jako zdroje informací, které má k dispozici lidský expert a dovede jich velmi efektivně využívat při řešení složitých problémů, tedy např. i k řešení problému popisu chování či řízení složité soustavy. Lidské zkušenosti lze vyjádřit větami přirozeného jazyka, tedy jazykovým popisem. Slova, která jsou v takových popisech relevantními prvky, jsou nositeli neurčitosti, zvané, jak jsme již uvedli, pojmovou neurčitostí čili vágností. Jestliže jsme došli k závěru, že právě efektivní využití vágnosti spolu s exploatací jednoduchých, ale výkonných nenumerických algoritmů umožňují člověku činit dobré závěry, je potom jednou z principielních otázek nalezení formálního aparátu pro reprezentaci vágnosti a efektivní práci s ní. Vágnost, jako průvodní jev všech složitých, špatně popsatelných soustav, případně soustav, v jejichž funkci se uplatňuje lidský faktor, je nejčastěji formalizována pomocí aparátu fuzzy množinové teorie, jejímž zakladatelem je profesor kalifornské university v Berkeley Lotfi A. Zadeh [1], [2]. Ukázalo se, že fuzzy množiny jsou přirozeným prostředkem pro formalizaci vágnosti. V další části této kapitoly uvedeme základní principy fuzzy množinové matematiky, které jsou nezbytné pro pochopení jejích aplikací. V teorii klasických množin prvek do množiny buď patří nebo nepatří. Hovoříme pak o (plné) příslušnosti nebo o nepříslušnosti prvku do dané množiny. V Zadehově fuzzy množinové teorii, která je zobecněním teorie abstraktních množin, je fuzzy 25

26 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Systémy fuzzy-logické množina definována jako třída, která přiřazuje prvkům neurčitost pomocí vlastnosti jejich částečné příslušnosti formou tzv. míry příslušnosti. Nechť X 0 je klasická množina a µ A : X <0,1> nechť je zobrazení. Fuzzy množinou pak budeme nazývat uspořádanou dvojici A = ( X, μ ) A Množinu X přitom nazveme univerzem fuzzy množiny A, µ A nazveme funkcí příslušnosti fuzzy množiny A. Pro každé x X nazveme reálné číslo µ A (x) stupněm příslušnosti prvku x k fuzzy množině A, přičemž µ A (x) budeme interpretovat takto: je µ A (x) = prvek x do množiny A nepatří µ A (x) = prvek x do množiny A patří µ A (x) (0,1)... nelze s jistotou určit, zda x patří do A, přičemž velikost µ A (x) vyjádřením stupně příslušnosti x k A. Klasifikace určitého objektu stupněm příslušnosti k určité fuzzy množině je ryze subjektivní a její velikost záleží čistě na vnitřním přesvědčení lidského experta. Z tohoto hlediska nelze zaměňovat stupeň příslušnosti µ(x) se statistickou, objektivně vypočitatelnou hodnotou pravděpodobnosti P(x) <0,1>! Jak jsme již uvedli, má člověk k popisu reality k dispozici přirozený jazyk. Jednou z jeho hlavních schopností je efektivní používání vágních pojmů. Typickou vlastností vágního pojmu je při tom skutečnost, že charakterizuje určitou třídu problémů, jejíž hranice bychom velmi těžce určovali. Kdy lze např. o daném objektu prohlásit, že to je (není) vysoký strom, že to je (není) červená barva a pod.? Konvenční přístupy modelují vágní pojmy pomocí klasických množin a hraniční prvky tedy musí být zařazeny do množiny (míra příslušnosti 1), nebo mimo ni (míra příslušnosti 0). Ukazuje se, že v tom je hlavní příčina časté neadekvátnosti matematických metod v praxi. Fuzzy množinové operace Stejně jako v konvenční množinové matematice, která definuje operace mezi obyčejnými množinami, jsou ve fuzzy množinové matematice definovány operace mezi fuzzy množinami. A.Operace s fuzzy množinami definovanými na jednom univerzu Uvažujme dvě fuzzy množiny A a B s prvky x, definovanými na univerzu U, s funkcemi příslušnosti A(x) a B(x) a stupni příslušnosti μ (x A ) resp. μ (x B ) 0, 1. Operace sjednocení 26

27 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Systémy fuzzy-logické Sjednocením dvou fuzzy množin A a B nazýváme fuzzy množinuc = A B, jejíž funkci příslušnosti určíme podle vztahu [ A( x), B( )] C( x) = A( x) B( x) = max x, x U. (2.1.1) x (1) Poznamenejme, že operace maxima, použitá v takové definici sjednocení, odpovídá v matematické logice disjunkci dvou logických tvrzení. Ve fuzzy množinové matematice však můžeme definovat operaci sjednocení i pomocí jiných vztahů než (2.1.1). Velmi často je používána operace Lukasiewiczova sjednocení, definovaného vztahem C ( x) = A( x) B( x) = 1 ( A( x) + B( x)), x U. (2.1.2) (2) Operace průnik Sjednocením dvou fuzzy množin A a B nazýváme fuzzy množinuc = A B, jejíž funkci příslušnosti určíme podle vztahu [ A( x), B( )] C( x) = A( x) B( x) = min x, x U. (2.1.3) x (3) Poznamenejme opět, že operace minima, použitá v takové definici průniku, odpovídá v matematické logice konjunkci dvou logických tvrzení. Podobně jako v případě operace sjednocení, můžeme ve fuzzy množinové matematice definovat operaci průniku i pomocí jiných vztahů než (3). Velmi často je používána operace Lukasiewiczova průniku, definovaného vztahem C ( x) = A( x) B( x) = 0 ( A( x) + B( x) 1), x U (2.1.4) (4) Operace doplněk Doplněk A fuzzy množiny A je definován nejčastěji používaným vztahem A( x) = 1 A( x), x U. (2.1.5) (5) Rozšíření fuzzy množinových operací Přirozený jazyk, který používáme k vzájemné komunikaci, je tak složitý, že interpretace významu jeho výrazů pomocí fuzzy množin a významu jeho jazykových konstrukcí s použitím základních operací (1) až (5) je mnohdy nedostačující. 27

28 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Systémy fuzzy-logické Základní fuzzy množinové operace jsou proto rozšířeny o jejich další varianty, které vzniknou jejich zobecněním. Tato skutečnost je pro fuzzy množinovou matematiku (a také, jak bude uvedeno dále, fuzzy logiku) specifická a v konvenční matematice nemá obdobu. Variantní operace se definují pomocí tzv. t-norem (triangulační normy) [Novák ZFM]. Binární funkce T : [0,1] x [0,1] [0,1] se nazývá t-norma, pokud splňuje pro všechna x, y, z [0,1] následující vztahy: T(x,y) = T(y,x) T(x, T(y,z)) = T( T(x,y), z) jestliže x y, pak T(x,z) T(y,z) T (0,x) = 0 a T(1,x) = x komutativnost asociativnost monotónnost omezenost Platí,že t-normy mohou být spojité i nespojité. Základní t-normy jsou: M ( x, y) = x y = min( x, y) obyčejná (minimum) konjunkce P ( x, y) = x. y Larsenova konjunkce T ( x, y) = 0 ( x + y 1) Lukasiewiczova konjunkce W ( x, y) = x y, x y = 1 0 jinak drastický součin Pro jednotlivé t-normy platí vztah uspořádání W ( x, y) T ( x, y) M ( x, y). Drastický součin dává tedy nejmenší a minimum největší hodnotu mezi všemi t- normami. t-normy lze definovat různými způsoby. Tak např. existuje tzv. Frankova rodina t-norem nebo Hanacherova rodina t-norem [2]. Prakticky významné je, že pomocí t-norem se pak definují operace, realizující ve fuzzy systémech průnik fuzzy množin C = A B, právě když C( x) = T( A( x), B( x) ). T Obdobně jako pomocí t-norem se definují operace realizující průnik fuzzy množin, sjednocení fuzzy množin je definováno pomocí odpovídajících s-norem (tkonorem). Vztahy mezi t-normami a s-normami můžeme vyjádřit pomocí výrazu S ( x, y) = 1 T(1 x),(1 y) Základní s-normy odpovídají základním t-normám a jsou vyjádřeny vztahy 28

29 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Systémy fuzzy-logické N ( x, y) = x y = max( x, y) obyčejná (maximum) disjunkce Q ( x, y) = x + y - x. y Larsenova disjunkce T ( x, y) = 0 ( x + y 1) Lukasiewiczova disjunkce W ( x, y) = x y, x y = 0 1 jinak drastický součet Pro jednotlivé s-normy platí vztah uspořádání N( x, y) S ( x, y) V ( x, y). Jak již byl uvedeno, prakticky významné je, že pomocí s-norem se pak definují operace, realizující ve fuzzy systémech sjednocení fuzzy množin C = A B, právě když C( x) = S( A( x), B( x) ). S B.Operace s fuzzy množinami definovanými na různých univerzech Kartézský součin Jsou-li A U, B V fuzzy množiny, pak jejich kartézským součinem je fuzzy množina A B U V definovaná jako ( A B)( x, y ) = A( x) B( y) pro všechna x U a y V. Symbol x, y pak představuje uspořádanou dvojici prvků x a y. Tato definice představuje základ definice fuzzy relací. Namísto operace minima můžeme obecně použít kteroukoliv t-normu. Pak lze definovat kartézský součin dvou fuzzy množin vztahem ( B)( x, y ) = A( x) TB( y). A T Fuzzy relace Obecně n-ární fuzzy relace je definována jako fuzzy množina na vícerozměrném (n-rozměrném) univerzu U 1,, U n. R U... 1 U n. 29

30 SYSTÉMY S UMĚLOU INTELIGENCÍ Systémy fuzzy-logické Fuzzy relace R je neostrá relace mezi prvky vybíranými z univerz U 1,, U n. Stupeň příslušnosti R(x 1,,x n ) <0,1> vyjadřuje náležení prvku n-rozměrného univerza k této relaci. Graficky si můžeme fuzzy relaci představit jako vícerozměrnou fuzzy množinu, jejíž funkce příslušnosti je reprezentována vícerozměrnou plochou. Jazyková proměnná Při konstrukci jazykových popisů chování či řízení systémů se dostáváme do nenumerické oblasti, v níž musíme definovat základní prvky a operace. Jedním ze základních pojmů nenumerické matematiky je bezpochyby jazyková proměnná. Podle definice, kterou podal L. A. Zadeh [1], [2] nazýváme jazykovou proměnnou p uspořádanou pětici * * { P, T( P ), U, SY SE} p :, kde P * je jméno (identifikátor) jazykové proměnné p, T(P * ) je množina jazykových hodnot, kterých může P * nabývat, U je univerzum, SY je syntaktické pravidlo, pomocí kterého jsou generovány prvky T(P * ) a SE je sémantické pravidlo, které přiřazuje každé jazykové hodnotě její význam ve formě fuzzy množiny s univerzem U. Uvedenou obecnou definici obvykle interpretujeme takto: a) T(P * ) je konečná množina jazykových hodnot J = {J 1,J 2,...,J n } b) Syntaktické pravidlo SY je omezeno na výčet prvků množiny T(P * ). c) Sémantické pravidlo SE interpretuje každou jazykovou hodnotu J i, i = 1,2,3,...,n, jako fuzzy množinu J i = (R,µ Li ) kde R je univerzum reálných čísel. Znamená to tedy, že pravidlo SE označuje jednotlivé fuzzy množiny přímo názvy jejich odpovídajících jazykových hodnot. Tím je každá jazyková hodnota J i jazykové proměnné p formalizována pomocí fuzzy množiny J i. Tím je realizována fuzzy interpretace neurčitosti, kterou každá lingvistická hodnota obsahuje. Fuzzy množina J i, daná funkcí µ, tak reprezentuje hodnotu jazykové proměnné p, která bude vystupovat jako proměnná v jazykovém modelu. Fuzzy jazyková logika Binární ohodnocování situací, které je typické pro klasickou logiku (ano-ne, černý-bílý, 0-1), se - jak jsme již konstatovali - stává na určité úrovni popisu chování a řízení systémů neefektivním. Je-li naším cílem vybudovat formální aparát pro reprezentaci a efektivní využití neurčitosti, je nezbytné nahradit binární logiku logikou vícehodnotovou. Vícehodnotová logika je jedním z typických nástrojů metod umělé inteligence. 30