Příklad 1.3: Mocnina matice

Transkript

1 Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Její řešení je sice možné získat numericky (například v Simulinku), a v případě přítomnosti i jen jednoduchých nelinearit jiná praktická možnost není, avšak vyplatí se studovat i analytické řešení. Dá nám totiž vhled do struktury řešení. Jednou z důležitých informací, které ze stavového modelu můžeme vyčíst bez nutnosti numerického řešení diferenciálních rovnic, jsou módy systému. Procvičeny budou dovednosti vedoucí k jejich získání, které jsou založené na výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matic. Další z důležitých vlastností dynamických systémů, která se projevuje i v jejich řešení, je stabilita. Volně řečeno souvisí stabilita s omezeností (konečností) řešení. Existují však i metody, které stabilitu dokáží otestovat bez nutnosti numerického hledání řešení. Tím nejsilnějším nástrojem je Ljapunovova druhá věta. Mimo jiné bude pomocí ní ukázáno, že požadavek na polohu pólů v levé komplexní polorovině není dostačující, jakmile se parametry systému mohou měnit v čase. Testy založené na zkoumání polohy pólů jsou rovněž těžko uplatnitelné v případě systémů, jejichž stavový prostor je nekonečně dimenzionální, jako jsou například systémy se zpožděním. Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze 1

2 1 Řešení spojitých i diskrétních lineárních časově invariantních stavových modelů Příklad 1.1: Odvození obecného tvaru řešení pro spojitý model Řešit LTI systém popsaný stavovým modelem dx(t) = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t) při počátečních podmínkách daných vektorem x(t 0 ) a známé vstupní proměnné u(t) znamená prostě najít (vektorovou) funkci y(t) (případně i celý stavový vektor x(t)) pro t t 0, která vyhovuje rovnicím definujícím model. Samozřejmě je možné získat takové řešení numericky, například v Simulinku, ale v případě LTI systémů to jde i bez výpočetně drahých numerických operací. Odvod te, jak vypadá obecný tvar takového řešení a komentujte jeho strukturu. (Toto asi nelze považovat za skutečný příklad, jako spíše ověření, že tento nejzákladnější teoretický výsledek znáte a rozumíte jeho důsledkům). Příklad 1.2: Odvození obecného tvaru řešení pro diskrétní model Odvození obecného tvaru odezvy spojitého LTI systému je sice jednoduché, nicméně odvození stejného výsledku pro diskrétní LTI přenos je ještě jednodušší (součty místo integrace). Nalezněte takový vztah pro systém popsaný x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k 0, x(0) = nějaký konstatní vektor 0 (1) y(k) = Cx(k) + Du(k) (2) Příklad 1.3: Mocnina matice Z analytického vztahu pro řešení diskrétního modelu lze vidět, že vztah mezi řešením v nějakém čase (pořadí) k 0 a řešením v jiném čase k je dána funkcí matice A. Tou funkcí je mocnina A (k k0). Ta se nazývá stavová matice přechodu. A my budeme potřebovat umět tuto maticovou funkci (se čtvercovými maticemi jako argumenty) počítat. Je snad jasné, že obecně nelze takovou funkci získat aplikací funkce na každý jednotlivý prvek matice! Samozřejmě, že můžeme (n 1)-krát násobit matici. V případě matice řádu několik set to však již bude nezanedbatelná výpočetní zátěž. Použijte tři lepší způsoby pro výpočet A 10 pro libovolnou matici řádu 3. Příklad 1.4: Výpočet maticové exponenciály e At Z analytického vztahu pro řešení lineárního časově invariantního systému lze vidět, že funkce e At je mimořádně důležitá, nebot slouží jako stavová matice přechodu u spojitých systémů. Proto je velmi důležité umět ji počítat. Můžeme opět použít způsoby uvedené pro výpočet mocniny matice, jen si musíme uvědomit, že jde o exponenciálu matice závislé na parametru t. Vypočítejte e At třemi různými způsoby pro libovolnou matici A řádu 3. Příklad 1.5: Výpočet analytického vztahu pro odezvu LTI systému na počáteční podmínky a vstup Uvažujte systém popsaný ẋ(t) = [ x(t) + u(t) (3) 1 2 1] Najděte analytický vztah pro odezvu na nenulové počáteční podmínky a obecný nenulový vstup. 2 Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze

3 2 Módy LTI systému Příklad 2.1: Jednoduchý příklad Módy LTI systému nejsou nic jiného než sada průběhů, z jakých se lineární kombinací vždy poskládá odezva systému na různé počáteční podmínky. (Řečí matematiků: módy systému tvoří bázy vektorového prostoru řešení soustavy diferenciálních rovnic). Jak se který mód uplatní v odezvě záleží na umístění nul systému a konkrétních počátečních podmínkách. Módy LTI systému se určují z vlastních čísel a vlastních vektorů matice dynamiky A stavového modelu. Určete módy systému popsaného stavovým modelem >> A = [ 2 6 0; 6 2 0; ] ; b = [1 2 0] ; c = [1 0 0 ] ; d = 0; >> G = ss (A, b, c, d ); Příklad 2.2: Módy podélné dynamiky letounu F16 Podélná dynamika letounu F16 je v pracovním bodě daným přímým a vodorovným letem rychlostí 1500 km/h s těžištěm v 0.3 c (vzdálenost působiště aerodynamické síly) je dána maticí >> A = [ e 2, e0, e1, e 1; e 4, e0, 0.0, e 1; 0.0, 0.0, 0.0, 1.0 e0 ; e 11, e0, 0.0, e0 ] Jednotlivé stavové proměnné jsou: vzdušná rychlost v T, úhel náběhu α, úhel podélného sklonu θ a rychlost klonění (otáčení) okolo osy křídel q (pitch rate). Zjistěte módy systému, jejich koeficient relativního tlumení a periodu kmitání. Zjistěte, jak moc se který mód projevuje v jednotlivých veličinách. Příklad 2.3: Módy stranové-směrové dynamiky letounu F16 Stranová-směrová dynamika letounu F16 je za stejných podmínek jako v předchozím příkladu dána maticí >> A = [ e 1, e 2, e 2, e 1; 0.0, 0.0, 1.0 e0, e 2; e1, 0.0, e0, e 1; e0, 0.0, e 2, e 1] Jednotlivé stavové veličiny jsou: úhel vybočení β, úhel příčného náklonu φ, rychlost otáčení okolo osy letadla p (roll rate) a rychlost změny směru r (yaw rate). Opět určete módy systému, jejich koeficient relativního tlumení a periodu kmitání. Zjistěte, jak moc se který mód projevuje v jednotlivých veličinách. 3 Načrtnutí stavového portrétu Stavový portrét jsou vlastně vykreslené trajektorie z navzorkované množiny počátečních stavů. Samozřejmě čitelný je takový portrét jedině v případě systémů druhého řádu. Ale i to nám stačí k získání vhledu. V případě LTI systému můžeme hrubý náčrtek provést jen se znalostí vlastních vektorů a vlastních čísel. Načrtněte stavový portrét pro homogenní systém ẋ(t) = Ax(t) >> A1 = [ 1 0; 0 4] A1 = >> [V,D] = eig (A1) V = 1 0 D = Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze 3

4 Příklad 3.1: Načrtněte stavové portréty pro systémy s maticemi 2 1 A 2 = = A 3 = = 3 2 A 4 = = A 5 = = A 6 = = A 7 = = A 8 = = A 9 = = 2 4 Tyto příklady pokrývají všechny zajímavé situace, kdy například dva vlastní vektory jsou sice nezávislé, nikoliv však ortogonální, nebo existuje pouze jediný vlastní vektor, a tím pádem invariantní směr, a nebo dokonce neexistuje žádný (v reálném oboru). Vlastní čísla můžou být i nestabilní, a trajektorie tak můžou divergovat od počátku souřadnicového systému. 4 Stabilita dynamických systémů Příklad 4.1: Rovnovážné stavy pro jednoduché systémy Najděte rovnovážné stavy pro dynamické systémy 1 3 ẋ(t) = x(t) x(k + 1) = Příklad 4.2: Asymptotická vs. BIBO stabilita Uvažujte LTI systém popsaný diferenciální rovnicí [ 0 1] u(t) (4) 2 0 x(k) (5) ẋ(t) = sin x(t) (6) ÿ(t) + ẏ(t) 2y(t) = u(t) u(t) (7) Ověřte, zda je tento systém BIBO stabilní a zda je asymptoticky stabilní. Příklad 4.3: BIBO stabilita pro nekonečně dimenzionální systém U systémů, které lze modelovat racionálními přenosovými funkcemi je jednoduchým testem BIBO stability zápornost reálné složky pólů. Jsou však systémy, kde takový test není užitečný, a musíme použít jiné, obecnější testy. Příkladem je systém, jehož vstupně výstupní chování je popsáno na obr. 1 Jaká je přenosová funkce tohoto systému? Je systém BIBO stabilní? Pro jaké hodnoty a? Umíte to určit z kořenů přenosové funkce? K testu BIBO stability použijte absolutní integrovatelnost impulsní odezvy. 4 Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze

5 Obrázek 1: Zpětnovazební zapojení se zesílením a zpožděním. Příklad 4.4: Vícenásobné póly na imaginární ose Jestliže mají póly LTI systému ẋ(t) = Ax(t) záporné reálné části, je systém Ljapunovsky stabilní (dokonce asymptoticky). Pokud má jednoduché póly na imaginární ose, pak je stále ještě zaručena Ljapunovská stabilita. V případě, že má ale násobné póly na imaginární ose, může o Ljapunovskou stabilitu přijít. Uved te příklady jednoduchého systému, který má dvojnásobný pól na imaginární ose, a je přitom Ljapunovsky stabilní, a systému, který Ljapunovsky stabilní není. Příklad 4.5: Póly vs. asymptotická stabilita časově proměnného systému Běžným testem asymptotické stability lineárního systému je zjišt ování, zda póly systému mají zápornou reálnou část, jak jsme viděli v předchozím příkladu. Toto však platí pouze za předpokladu, že parametry systému se nemění v čase. Uvažujte například systém ] [ẋ1 (t) ẋ 2 (t) [ α e 2αt = 0 α ] [ x1 (t) x 2 (t) kde α > 0. Tento systém má zřetelně v každém časovém okamžiku vlastní čísla matice A v leve komplexní polorovině. Je systém asymptoticky stabilní? (Ověřte nalezením analytického řešení). 5 Řešení lineární časově proměnných stavových modelů Příklad 5.1: Fundamentální matice a stavová matice přechodu Najděte fundamentální matici a stavovou matici přechodu pro systém ẋ(t) = x(t) (9) 0 t ] (8) Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze 5