1. Basics of Financial Mathematics (Základy finanční matematiky)

Transkript

1 1. Basics of Financial Mathematics (Základy finanční matematiky) 1.1 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) Inflows: earnings, incomes, revenues, příjmy(černá čísla, black figures), Outflows: expenses, outgoings, výdaje(červená čísla, red figures, bracket figures). V anglosaském účetnictví se záporné hodnoty dávají do závorek: 500 se zapíše ve tvaru(500). Důvod je prostý. Znaménko minus se zapomene napsat s větší pravděpodobností než dvě závorky. Inthistextbyacashflowwemeanasequenceofpayments,notasinglepaymentaswecan sometimesseeintheliterature.considerfirstthesums(payments) CF 0,...,CF T related totheequallyspacedtimeinstants(vekvidistantníchčasovýchintervalech)0,..., T.The interest rate for one period i will alternatively mean the cost of capital, cena kapitálu, the opportunity cost rate, cena příležitosti, i.e., the rate of return that can be earned on an alternative investment. Sometimes it is called valuation interest rate, hodnotící úroková míra, yield, výnos, demanded, asked yield, požadovaný výnos. It depends on the investor. Závisí na hodnotícím subjektu(investorovi). Hence i should be considered as a market interest rate, tržní úroková míra for comparable types of investment regarding maturity, liquidity, credit risk, change in interest rates during the life of the contract or the investment,&c. See also the decomposition of the interest rate in(?). Theformulasbelowareformallyvalidfor i > 1butforthelongtimethe i 0has been considered as the only realistic one. Nowadays we can meet negative interest rates, however.thevector =(CF 0,..., CF T ) representsacashflow.values CF t >0are inflows(amountsreceived)and CF t <0areoutflows(amountspaid,deposits(vklady), costs(náklady), etc.) Define the discount factor(diskontní faktor) v corresponding to the interestrate iby v:=1/(1+i),thediscount(diskont)by d=1 v,andtheforceof interest,interestrate,intenzitaúrokování δbytherelation e δ =1+ior δ=ln(1+i). Let us summarize the notation: v= 1 1+i d=1 v= i 1+i e δ =1+i δ=ln(1+i) [ , 20:50] 1

2 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) Present and Future Value Present Value(Současná hodnota) Oneofthemostimportantcharacteristicsofacashflow isitspresentvalue, PV, alsocallednetpresentvalue, NPV. Net meansthatinflowsandoutflowsatthesame time tareaddedtogetherandthusrepresentedbyasinglenumber CF t. Ifneeded,the dependenceof PV on andeither i, v,or δwillbestressed: PV(,i):= PV(,v):= PV(,δ):= (1.1) CF t (1+i) t= CF t v t = CF t e δt. Note that the present value is expressed in currency units like[czk] or[usd]. Let L T+1 bethelinearvectorspaceofcashflows,i.e.,thespaceoffinitesequencesof maximumlength T+1.Iftheactuallengthofacashflowislessthan T+1,wecomplete itbyzeros. Thepresentvalueisalinearfunctionon L T+1 inthefollowingsense: if α, β ¾ R, A, B ¾ L T+1 then (1.2) PV(α A + β B,i)=αPV( A,i)+βPV( B,i). Letusconsiderthepayments CF 0,..., CF T atequallyspacedtimeinstants0,...,t, again, but with different interest rates in the compounding periods :=(i 1,...,i T )where i t istheinterestrateappliedintheperiod(t 1,t), t=1,...,t. Thenthepresentvalueofthegivencashflowis (1.3) PV(,)=CF 0 + CF 1 1+i CF T (1+i 1 ) (1+i T ) = CF t É t j=1 (1+i j) where É 0 j=1 :=1,bydefinition. Alternatively,ifthevaluationinterestratesarespot(yearly)rates Ê:=(R 1,...,R T ), say, then (1.4) PV(,Ê)= CF t (1+R t ) t. Theinterestrates R 1,...,R T areoftentakenfromtheyieldcurve,see******. 2 [ , 20:50]

3 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 The average interest rate Notethatduetothecompounding,theaverageinterestrateforthetimehorizon1,...,T theusualarithmeticmeanmaynotbeadvisable 1. Fromthelogicofcompoundingthe useofthegeometricmeanismorejustifiableandso1+i G comingfromtheexpression for the geometric mean leads to the explicit formula (1.5) i G = (1+i G ) T = t=1 t=1 (1+i t ) (1+i t ) 1/T 1. This is an eligible average interest rate(see also part on decomposition of the interest ratein(?)). However,forreasonablysmallvaluesof i 1,...,i T,thegeometricmeanmay be close to the arithmetic mean. It follows from the Taylor expansion (1.6) ln(1+i G )= 1 T t=1 ln(1+i t )= 1 T t=1 (i t i 2 t 2 + i3 t 3 ) 1 T Finally,letusassumethatthepayments CF t1,...,cf tt takeplaceinsomegeneral timeinstants t 1 < < t T andthecorrespondingdiscountfactoris v.then (1.7) PV(,v)=CF t1 v t 1 + +CF tt v t T. This formula may be generalized to the case of an arbitrary starting(or valuating) date t 0.Thepresentvaluerelatedtothisdateisthen (1.8) PV(,v)=CF t1 v t 1 t 0 + +CF tt v t T t 0. Onemustbecarefulwithproperinterpretationoftimeinthiscase,however.If t 1 < t 0 < t T thenthelastformulaisamixofthepresentandfuturevalues. Calendar conventions, Day count conventions(kalendářové konvence) SeealsoCipraFormulas,p.7 In practical finance time is measured in different ways depending on the financial instrument involved and/or strategy of the financial institution or the investor. Hence the time in the above formulas should be calculated in accordance with the so called calendar convention or day count convention. The corresponding rules express year fractions or thetimebetweenthetwodatesintermsofthenumberofdaysbetweenthem.thereare tens of them, usually expressed as the ratio t=1 i t. (1.9) days in month daysinyear. 1 Arithmeticmeanofinterestratesisoftenmistakenlypresentedinfinancialliteratureandinpressaswell. [ , 20:50] 3

4 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) andusuallyneedaverbalexplanation. Themostknown(itdoesnotmeanthemost frequently used) are Actual/Actual, Actual/360, Actual/365, 30/360. In all the above conventions there are some differences, accordingly with the recommendations of respectful international associations as ISDA(International Swaps and Derivatives Association) or ICMA(International Capital Market Association). ForthesakeofsimplicitywewillexpressthedateintheformDATE=YYYY,MM, DDmeaning Year,Month,DayorsimplyDate=YYYYMMDD. Calculation of the year fractions and the number of days Assumetheunittimeisoneyear. Ifthenumberofperiods nisnotaninteger,there are different methods to count the difference between the two dates. Consider two dates, DATE 1,DATE 2,say,expressedintheformDATE j =YYYY j MM j DD j, j=1,2.january 13, 2013, is therefore expressed as Next we illustrate some of the conventions. Calendar 30/360 or Euro-30/360. Under this convention all months have 30 days and everyyearhas360days.thenumberofperiods Tiscalculatedas T= (360(YYYY 2 YYYY 1 )+30(MM 2 MM 1 )+ min(dd 2,30) min(dd 1,30)). CalendarUS-30/360. Inthiscase,alldatesendingonthe31starechangedtothe 30thwiththefollowingexception:if DD 1 <30and DD 2 =31then DATE 2 ischanged tothefirstofthenextmonth. Calendar Actual/Actual. This convention assumes the actual number of days between twodateswiththeactualnumberofdaysintheyear. CalendarActual/360.Theactualnumberofdaysineachmonthbut360daysinthe yearareconsidered.asaresult,thenumberofperiodswithinoneyearcanexceedone. CalendarActual/365.Theactualnumberofdaysineachmonthand365daysineach year are considered. The leap year assumes 365 days. Most computer systems are equipped with calendar functions, particularly with the functionwhichreturnsthenumberofdaysbetweentwodates.forexample,mathematica R offers the function DateDifference[date1, date2] which returns the actual number of daysoryearsbetweentwodates.theargumentsdatetakestheform year,month,day sothatmarch14,2001is 2001,3,14 inthisnotation.thesamemathematica R function has option DayCountConvention with possible values Thirty360US, Thirty360, ThirtyE360, ThirtyE360ISDA, ThirtyEPlus360, Actual365, Actual360, Actual365L, ActualActualISDA, and ActualActualICMA Example. Consideracashflow CF t1,...,cf tt wherethe t j snowrepresentdates, the calendar convention Actual/360, the compounding is annual with the discount factor v=1/(1+i)andthestartingdateis t 0.Let d(t j,t k )denotethenumberofdaysbetween thedates t j, t k.inwhatfollowsif t j < t k then d(t j,t k ) >0andif t j > t k then d(t j,t k ) <0. Therefore a care is needed if using the built-in functions in software systems since some of 4 [ , 20:50]

5 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 themmayreturnthepositivevalueinbothcases.inmathematica R,thereisthebuilt-in function DateDifference. (1.10) PV(,v)=CF t1 v d(t 0,t 1 )/ CF tt v d(t 0,t T )/360. Withdailycompoundingwiththeinterestrate i (360) = ip.a.,theformulaforthepresent value reads (1.11) PV(,i (360) )= CF t1 (1+i (360) /360) + + CF tt d(t 0,t 1 ) (1+i (360) /360). d(t 0,t T ) A cash flow often represents an investment opportunity. The dependence of the net presentvalueon iofsuchacashflowisofvitalimportanceforinvestmentdecisionmaking. For the first insight, the graphical representation of the dependence of the present value on the cost of capital(valuation interest rate) is of interest Example. Let us consider the cash flow from Example(?) ( 90000, 15200, 45000, 60000, 25000, 22000, ) attimes,...,t=6. The PV ofthiscashflowindependenceontheinterestrate iisplottedonfigure1.1.suchatypeofgraphiscalledthepresentvalueprofile(profil současné hodnoty) Fig Present value profile Remark. Continuous case(spojitý případ) Speaking of interest rates, we were speaking of present values and future values with constant present values(investments) andacontinuouslyvaryingforceofinterest. Herewedealwiththecasewheneventhe respective cash flow changes continuously. For the sake of simplicity let us suppose that thestartingpointoftimeissetto0andthetimeatwhichthecashflowcomes(received orpaid,inflowsoroutflows)is t.letusdenotethecashflowcomingfortheperiod(0,t) as CF(t).Itmeansthatthenetincomeforthecorrespondingperiodwillbe CF(t),either [ , 20:50] 5

6 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) withplusorminussign.sothetotalpaymentmadebetween(t 1,t 2 )is CF(t 2 ) CF(t 1 ). Supposethat CFisdifferentiablesothatthederivative cf(t)=cf (t)exists.thenthe increment in income may be expressed as (1.12) CF(t 2 ) CF(t 1 )= t2 t 1 cf(s)ds. Nowwehavetoconsiderthetimevalueofmoney.Betweenthetimeinstants t,t+dt, dt being small enough, the total income is approximately cf(t) dt. Therefore, the present valueofmoneyreceivedduringthetimeinterval t,t+dtis v(t)cf(t)dt. Sothepresent valueofthecashflowoverthewholeperiod(t 1,t 2 )is (1.13) PV(CF,t 1,t 2 )= t2 t 1 v(t)cf(t)dt. Future value(budoucí hodnota) Nowweturntothefuturevalue. Letusconsiderthevaluationdate T,acashflow CF 0,...,CF T,andtheaboveinterestratecharacteristics i, v, δ.thenthefuturevalueis FV(,i):= CF T + CF T 1 (1+i)+CF T 2 (1+i) 2 + +CF 0 (1+i) T = (1.14) alternatively (1.15) FV(,v)= CF t v t T, FV(,δ)= Obviously, FV(,i)=(1+i) T PV(,i)inthiscase. Inthecaseofvaryinginterestrateswehave CF t e δ(t t). CF t (1+i) T t, FV(,)=CF T + CF T 1 (1+i T )+CF T 2 (1+i T )(1+i T 1 )+ (1.16) + CF 0 (1+i T )(1+i T 1 )... (1+i 1 ) or (1.17) FV(,)= CF t T j=t+1 (1+i j ) É T with j=t+1 :=1. Incaseofgeneraltimeinstants(see(4))andaconstantinterestrate iweimmediately get the obvious relationship (1.18) FV(,i)=(1+i) t T PV(,i) Exercise Modify the last result to the case of the calendar convention Actual/ [ , 20:50]

7 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) Annuities(Anuity) Consideraseriesof T payments,eachofamount1attimes1,...,t. Suchastreamof payments is called annuity immediate, in arrears, polhůtní, dekurzivní(with payments at theendoftheperiod).thepresentvalueofthiscashflowfor i > 1is (1.19) a T := v+ +v T = 1 vt i = 1 (1+i) T i andoftenitisalsocalledthepresentvalueinterestfactorofanannuityabbreviatedas PVIFA i:t. For i=0wehave a T = T. Sometimestheinterestrateisattachedtosymbol a: a T :ior a T :i%. Consideragainaseriesof Tpayments,eachofamount1butnowattimes0,...,T 1. Such a stream of payments is called annuity due, in advance, předlhůtní, anticipativní (withpaymentsatthebeginningoftheperiod). Thepresentvalueofthiscashflowfor i > 1is (1.20) ä T =1+v+ +v T 1 = 1 vt 1 v =(1+i)(1 (1+i) T ). i Clearly, ä T = Tfor i=0.further, (1.21) ä T =(1+i)a T, ä T =1+a T 1 for T 2. For an infinite stream of constant payments of amount 1, the annuity is called perpetuity andifitisimmediateordue,itspresentvalueis (1.22) a = 1 i or ä = 1+i, i respectively. Thefuturevalueoftheannuityimmediateofanamount1is (1.23) s T :=1+(1+i)+ +(1+i) T 1 = (1+i)T 1 i =(1+i) T a T. Analogously, for an annuity due, the future value is (1.24) s T = (1+i)T 1 d =(1+i) T ä T. Both s T and s T areequalto Tfor i= Exercise Verify the following relations: (1.25) s T =(1+i)s T s T+1 =1+ s T. [ , 20:50] 7

8 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) Remark. Other useful and frequently used relations: (1.26) 1=ia T + v T 1=dä T + v T (1+i) T = is T +1 (1+i) T = d s T Exercise Verify and give the interpretation of the preceeding formulas.(hint: the firstformulamaybeexplainedasthepresentvalueofaloanofamount1overtheperiod 0,1,...,T) Remark. If the regular payments are all equal to PMT(abbreviation for Pay- MenT), then the corresponding present and future values are simply multiples by PMT of the corresponding a s and s s Equation of value(hodnotová rovnice) Slogan býtivčernýchresp. červenýchčíslechznamenápříjmyresp. výdaje. Vtabulkových procesorech jest možné ve volbách takovéto zobrazení nastavit. V anglosaském světě se též místo znaménka minus používá uzavření odpovídající(záporné položky peněžního toku) platby do obyčejných závorek: částka = 123 se tedy vyjádří jako(123). Má to svoji logiku. Závorky musí být dvě, jinak je to podezřelé. Když zapomenete znaménko minus,takjetopodezřelé,ažkdyžjeužpozdě. Ztechnickýchaúčetníchdůvodůje striktní dodržování znamének položek peněžních toků(plus pro příjmy(inflows), minus pro výdaje(outflows) důležité v následujícím vztahu, který se nazývá hodnotová rovnice. Vystupujezdepětproměnných,současnáhodnota PV,budoucíhodnota FV,úroková míra i,anuita PMTapočetobdobí T. Pro polhůtní (dekursivní, immediate) anuitu (platby ve výši P MT v okamžicích 1,...,T)hodnotovárovnicezní (1.27) PV+ PMT a T + FV (1+i) T =0 apropředlhůtní(anticipativní,due)anuitu(platbyvevýši PMTvokamžicích0,...,T 1) (1.28) PV+ PMT ä T + FV (1+i) T =0. Tento přístup je často používán ve finančních kalkulačkách a tabulkových procesorech. Uživatel musí dbáti jisté opatrnosti při zacházení se znaménky plus a minus Remark. Jest zapotřebí mít na zřeteli, že při oceňování některých finančních instrumentů(obligace, opce) se však často neuvažuje jejich pořizovací cena(acquisition 8 [ , 20:50]

9 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 costs). Pro jejich hodnocení se pak použijí vzorce pro současné hodnoty bez respektování znaménka Example.(Pravidelné úložky, Installment Savings) Consider the investment of CZK5000ininstallmentsavingsfor3yearsat3.6percentp.a.,compoundedmonthly,so that i (12) =0.036.Whatwillbethetotalofprincipalandinterestattheend?Reasonably, installment savings represent an annuity due(payments at the beginning of the period) so thattheequationofvalue(23)applieswith PV=0, PMT= 5000, i=i (12) /12=0.003, T=36.Wehave ä 36 =38.069sothat FV= Comparethisresultwiththecaseof 3 installment savings CZK at the beginning of every year with yearly compounding attheinterestrate i=3.6percentp.a. Thisresultsinthetotalsavings FV = Give an explanation as an exercise Example. Example and Exercise(Loans) Suppose you are able to repay CZK 5000monthlyfora3years loanat i (12) =7.2percentp.a.,compoundedmonthly. The question is, how much you can borrow under these conditions. Reasonably, the payments represent an annuity immediate(payments at the end of period) so that(22) applies to loanborrowingpower PV =?, PMT = 5000, i=i (12) /12=0.006, FV =0, T=36. Since a 36 =32.29,youcanborrow PV= IncaseyouareabletopayCZK60000 attheendofeachyearatthesameinterestbutcompoundedyearly,youwillobtainfrom (22)with PMT= 60000, i=0.072, T=3thatyourloanborrowingpowerwilldecrease to PV= Asanexercise,calculate PV underthesameconditionsifyourbalance (= remaining debt) is compounded monthly Remark.(Pravidlo dvojnásobku, The Doubling Rule) Uložíme jednu korunu při úrokovémíře ip.a.taktouloženákorunasepo Tletechzhodnotínadvěkorunyjestliže (1+i) T =2.Jetedy T=ln2/ln(1+i). =0.693/ln(1+i).ZTaylorovarozvojedostaneme ln(1+i) i,takže T 0.693/i.Pro i=0.02jetedyodpovídajícídoba T=35let.Při úrokovémíře i=0.07sevkladzdvojíza T 10letapro T=7letje i Exercise Analyze the profitability of the following product of a Czech bank called Private Account Saving Plan. In the following table you see the interest rates for various balances of the account. The ammounts are in thousands CZK. Částka na účtu <50 <100 <250 < Úr. míra(% p.a.) MonthlyfeeisCZK188.Theinterestisaddedtotheprincipaleverymonthsothatthe interest may change accordingly the above schedule. Moreover, take into account that theacquiredinterestissubjecttotax15%p.a. [ , 20:50] 9

10 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) Internal Rates of Return (Vnitřní míry výnosnosti) InasimpleExample3.1.2wehaveseenthatdependingontheinterestratethepresent valueofacashflowtakeseitherpositiveornegativevalues. Sothecriticalpointisthe value of the interest rate that equates the present value to zero. Consequently, we are motivatedtodefineaninternalrateofreturn(shortlyirr)asasolutiontotheequation (1.29) PV(,IRR)= CF t (1+IRR). Inotherwords,IRRisdefinedastheinterestrate(orthecostofcapital)whichequates the present value of inflows(incomes) to the present value of outflows(costs): (1.30) t:cf t>0 CF t (1+IRR) t= t:cf t<0 CF t (1+IRR) t. Theequivalentproblemistofindadiscountfactor vsuchthat (1.31) PV(,v)= CF T v t =0. If CF T =0thenthelastequationisanalgebraicequationofdegree Tandhenceithas Troots. Therefore,bytheabovedefinition,wehave Tinternalratesofreturn. Allthe solutions can be easily obtained by standard numerical methods. Only real roots greater than 1 may have an economic meaning, however. Some authors define IRR as a positive solution to(24). But it can be simply demonstrated that some(rather strange) cash flows possess only positive IRR s with difficult economic interpretation. The cash flow ( 1000, 3600, 4310, 1716) has IRR s 0.1, 0.2, 0.3, e.g. Nevertheless for well-behaved cash flows we have the following theorem: Theorem. Let A j = È j CF t, j=0,1...,t, A 0 =0, A T =0. Supposethat inthesequence A 0,...,A T withzerosexcludedthesignchangesjustonce.thenthere is exactly one positive IRR. Proof. We have the equation CF t e δt =0 with e δ =1+i.Since CF t = A t A t 1,(A 1 :=0),theequationreads (1.32) A 0 + t=1 (A t A t 1 )e δt =0. 10 [ , 20:50]

11 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 Further, t=1 (1.33) (A t A t 1 )e δt = t=1 A t e δt t=1 A t e δt 1 Thus(1.32)maybewrittenas t=1 A t e δ(t+1) = T 1 (1.34) (1 e δ ) A t 1 e δt = t=1 A t e δt e δ T 1 T 1 (1 e δ ) t=1 A t e δt + A T e δt =0. A t e δt = A t e δt + A T e δt e δ A 0. Withoutlossofgeneralitysupposethat A 0 >0. Thenthereexistsanindex ksuchthat A t 0, t=1,...,k 1, A k >0, A t 0, t=k+1,...t 1, A T <0. Hence(1.34) becomes k 1 (1 e δ ) A t e δt A t e δt A T e δt =0 andaftermultiplicationby e δk weget or (1 e δ ) k t=k+1 1 A t e δ(t k) t=k+1 A t e δ(t k) g 1 (δ)[g 2 (δ) g 3 (δ)] g 4 (δ)=0, A T e δt =0 say.allthe g i sarecontinuous, g 1, g 2 increasing, g 3, g 4 decreasing.thus g= g 1 [g 2 g 3 ] g 4 iscontinuousandincreasing.moreover, lim g(δ)=a T <0 lim g(δ)=+½ δ 0 δ + sothatthereisjustone δ 0 >0suchthat g(δ 0 )=0and IRR=e δ 0 1istheonlypositive IRR Remark. V České republice je v případě spotřebních úvěrů, půjček, leasingu aj. povinné ze zákona uvádět charakteristiku odpovídajícího finančního produktu, která se nazývá roční procentní sazba nákladů, zkráceně RPSN. RPSN není nic jiného, než vnitřní výnosové procento peněžního toku vztahujícího se ke všem platbám, které s příslušným finančním produktem souvisí. Poskytovatel spotřebního úvěru obvykle uvede roční úrokovou sazbu, ale neuvede poplatek za sjednání smlouvy a typicky měsíční poplatky z této smlouvy plynoucí. Je pozoruhodné, že zákonná povinnost uvádět RPSN je splněna [ , 20:50] 11

12 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) uvedením této sazby dvoubodovým oranžovým písmem na červeném pozadí, pro většinu populace bez dalších optických pomůcek nečitelné. Přitom typicky se uvádí: RPSN od 28.65%. Ještě jiná kategorie jsou úvěry, kdy úroková sazba významně překračuje tržní úrokové sazby včetně rizikových přirážek. Takovéto úvěry se po mnohá století nazývaly lichvářskéamnohdybylypovažoványzanezákonné.unástomutakneníauněkterých typů půjček(zvláště získaných po mobilním telefonu) se může RPSN vyšplhat až na 290% p.a.(publikovaný údaj) Example.(Splátkový prodej) Některé obchody nabízejí následující produkt. Zakoupíteunásvýrobek, teďzaplatíte10%zcenyapakpodalších10měsícůtaké 10% z ceny. Jaká je RPSN?(Neuvažujeme pro jednoduchost žádné další poplatky.) V tomto případě se vlastně jedná o vnitřní výnosové procento(v tomto případě RPSN=IRR) peněžního toku (c 0.1c, 0.1c,..., 0.1c), kde c je cena zboží. První položka výše uvedeného peněžního toku c 0.1c znamená, ženášokamžitýpříjemjezbožívceně caokamžitězaplatíme1. splátkuvevýši0.1c. Následuje 10 splátek ve výši 0.1c. Zřejmě IRR tohoto toku nezávisí na c a ekvivalentní peněžní tok je(100 10, 10,..., 10). Odpovídající IRR=1.963% měsíčně, takže roční efektivníirr=( ) 12 1= ,neboli26.27%p.a.,cožvypadánaprvní pohledneuvěřitelně(zaplatímecelkem jenom110%),alejetomutak. Jakuvidíme v následujícím cvičení, podstatně záleží na splátkovém kalendáři. Všimněme si také, že odpovídající nominální úroková míra = , tj. vnitřní výnosové procento rovné 23.56%. p. a Exercise Výše uvedený příklad pochází ze skutečné a často využívané nabídky jednoho obchodního řetězce. Zachovejme předpoklad, že při koupi na splátky zaplatíme ve všech splátkách celkem vždy 110% ceny pořizovaného zboží jehož cena bude opět c. Budeme ale uvažovat různá schémata splácení, a to z hlediska frekvence a doby splácení. Na rozdíl od výše uvedeného skutečného příkladu předlhůtních splátek budeme uvažovat také splátky polhůtní(přirozenější schéma při poskytování úvěrů). Ve všech případech uvažujeme m splátek. Ve výše uvedeném příkladě tedy 11 měsíčních předlhůtních splátek. I Splátky měsíční, úročení měsíční (1) Splátky měsíční předlhůtní: Při m splátkách je odpovídající peněžní tok 1.1c = c m, 1.1c m,..., 1.1c, m takžepro m=2je =(c 0.55c=0.45c, 0.55c),intervalmezioběma položkami1měsíc,jeirrodpovídajícíefektivníúrokovémíře % 2.Pro m=6,tj.6splátekjeirr=59.70%. (2) Splátky měsíční polhůtní: Při m splátkách je odpovídající peněžní tok 1.1c = c, m,..., 1.1c, m 2 Tonenítiskováchyba,jetoskutečněvícenež1000%. 12 [ , 20:50]

13 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 takžepro m=2je =(c, 0.55c, 0.55c),intervalmeziplatbami1měsíc, IRR=115.23%, pro m = 6 je IRR=39.18%. II Splátky rozložené do jednoho roku (1) Splátky předlhůtní: Při m splátkách je odpovídající peněžní tok opticky stejný jako v případě splátek měsíčních, avšak podstatný rozdíl spočívá v okamžicích plateb: při m ročních splátkách jsou okamžiky splátek 0,1/m,2/m,...,(m 1)/m,1.Jednotkačasujerok.Pro m=1jetotoschémapřirozeně nesmyslné. Proč bych platil okamžitě 110% pořizovací ceny v okamžiku nákupu,kdyžmohupřímozaplatitaktuálnícenu,tj.100% 3 (2) Splátky polhůtní Visgrafy,vlevopřípadI,vpravoII Exercise Jaká je ztráta 1% z obchodování nějakého titulu na burze za jeden den přepočtená na roční ztrátu? Exercise (Nákup na splátky) Analyzujte tuto nabídku finanční služby: Na splátky s navýšením 1% měsíčně Při nákupu neplatíte nic. Úvěr splácíte od 5 do 15 měsíců. Příklad: 5 měsíců = 5 % navýšení, 8 měsíců = 8 % navýšení. RPSN od 21.68% při splnění smluvních podmínek poskytovatele. Tato informace není pro hodnocení pozice nakupujícího samozřejmě úplná. Proberte možné varianty a interpretace uvedené nabídky Remark.(Leasing) Naše(současné?) zákony(o dani z příjmu, dani z přidané hodnoty) pojem leasing přímo neobsahují, ale mluví o něm jako o finančním pronájmu s následnoukoupínajatévěci 4.Přidodrženíminimálnídélky(leasingové)smlouvyjemožné leasingové splátky započítat přímo do daňově uznatelných nákladů, délka smlouvy je přitom většinou kratší než doba odepisování předmětu při jeho vlastnictví. Leasing je obchodní operace mezi pronajímatelem(lessor) a nájemcem(lessie) za účelem pořízení majetkové hodnoty pronajímatelem podle potřeb a požadavků nájemce za úplatu s možností jejího přechodu do vlastnictví nájemce po ukončení doby trvání leasingové smlouvy. Financial leasing is an alternative form of financing. It takes a form of an agreement between two parties, the lessee and the leasing company called lessor. The lessee obtains therighttousea(usuallyreal)assetforaperiodoftimewhiletheownershipofthat assetremainswiththelessor.attheendoftheleasetheownershipstillremainswiththe lessor. But the residual(or salvage) value is usually negligible. There are many reasons forleasing,letusmentionsomeofthem.first,acompanyoranindividualmaynothave moneyavailabletopurchasetheasset.thisisoftenthecaseiftheassetistooexpensive like tanker or airplane. Second, there is a risk that the asset will become obsolete. Third, 3 Vtomtotextuhlavněmodelujemesituace,kdyseinvestoři,případnějinésubjektypohybujícísevekonomice chovají racionálně. Bohužel tomu v reálném světě tak není, a neracionálním způsobem mohou podstatně ovlivnit ekonomiku vlády, parlamenty, ba i jedinci disponující dostatečnou likviditou. 4 Od sejižnepoužívávlegislativěpojem pronájem,ale dodánízbožíneboposkytnutíslužby. Zdesevšakdržímeponěkudsrozumitelnějšízastaralejšíterminologie. [ , 20:50] 13

14 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) in most countries there exists a tax deduction advantage to promote investment. See [141], p. 512 for details Example.(Leasing) The following numerical example presents an analysis of leasing a car. The SKODA car priced CZK is leased under the following conditions: the lessee pays the sum of CZK immediately,(advanced payment, akontace). Then thelesseepays(i)czk 6943=: PMT 36 monthlyfor36monthsor(ii)czk 6192=: PMT 42 monthlyfor42months.inbothcasesthepaymentsareattheendofthemonth andthesalvagevalueofthecarisczk122sothat. FV= 122.Thusthecorresponding cashflowforcase(i)lookslike( , 6943,..., 6943,Thequestionarises, what is the effective interest rate counted by the lessor. The IRR methodology gives theanswer. Wehave PV = =193715,annuitieswiththeminussign givenabove, T=36and T=42months,respectively. Usingafinancialcalculatorora spreadsheetprogram,wefindtherespectiveirr sare IRR 36 = and IRR 42 = percentmonthlynominalinterestrate,sothat IRR36=18.86and 12 IRR42= per cent p.a., effective interest rate Definition. Investment projects represented by cash flows are called normal or regular if the payments change their sign just once, and are called nonnormal or irregular in the opposite case Remark. IRR assumes that positive cash flows are reinvested at the same rate ofreturnasthatoftheprojectthatgeneratedthem. Morelikely, thefundswillbe reinvestedatarateclosertothefirmscostofcapital. IRRthereforegivesanunduly optimistic picture. thus, for comparing the projects more fairly, weighted average cost of capital, WACC should be used. For high IRR projects this presents a problem since there isfrequentlynotanotherprojectavailablethatcanearnthesamerateofreturnasthefirst project. When the calculated IRR is higher than the true reinvestment rate for interim cash flows, the measure will overestimate sometimes very significantly the equivalent return from the project. The formula ssumes that the investor has additional projects with equally attractive procpects in which to invest the interim cash flows(inflows) Remark.(Weighted average cost of capital, Vážená průměrná cena kapitálu) The weightedaveragecostofcapital(wacc)istheaveragepriceofthefirm scostsforthe useoftheirowncapital.thesecostsareexpressedintermsoftheinterestrate: WACC= D D+E r d(1 r tax )+ E D+ E r e, where D themarketvalueofthefirm sdebt, E themarketvalueofthefirm sequity, r tax corporatetaxrate(interestcostareincludedinfirm scosts), r d askedreturnon debtfinancing, r e askedreturnofequity. By asked return we mean the wish of the stockholders Example. Mějme firmu, která chce investovat do projektu vlastních Kč, dalších Kč by si půjčila od banky s úrokem 15%. Firma požaduje výnosnost 14 [ , 20:50]

15 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 vlastního kapitálu 8%(požadavek akcionářů), daňová sazba je 21%. WACC= (1 0.21) =0.0971=9.71%. Do projektu se firmě vyplatí investovat, pokud bude mít výnosnost alespoň 9.71%. To znamená, že pokud bude výnosnost nižší než 9.71%, tak projekt neuspokojí buď nároky na vlastní kapitál(cena příležitosti), nebo nároky na cizí kapitál(např. úroky). Uvedeme nyní dvě modifikace vnitřní míry výnosnosti, které částečně odstraňují necnosti IRR. Předpokládejme nejprve, že příjmy(inflows) peněžního toku jsme schopni reinvestovat při běžné ceně kapitálu(úrokové míře) k(a ne při IRR). Modifikovaná vnitřní míra výnosnosti, MIRR je definována vztahem (1.35) PV(výdaje,k)= PV(FV(příjmy,k),MIRR), cožvedenavztah (1.36) t:cf t<0 CF t (1+k) t= 1 (1+MIRR) T t:cf t>0 CF t (1+k) T t. V tomto případě(na rozdíl od IRR) je možné vyjádřit MIRR explicitně. Poznamenejme, ževpřípadě k= IRRje MIRR=IRR. V druhém případě se předpokládá, že výdaje(investice) a příjmy(které jsou znovu investovány) jsou hodnoceny rozdílnou hodnotící úrokovou mírou. Nechť náklady investičníhokapitálu(financerate)jsou k O avýnoszpříjmů(reinvestmentrate)je k I. Modifikovaná vnitřní míra výnosnosti MIRR(ponecháváme stejné označení) je v tomto případě definována rovnicí (1.37) t:cf t<0 CF t (1+k O ) t= 1 (1+MIRR) T t:cf t>0 CF t (1+k I ) T t. I v tomto případě je možné vyjádřit MIRR explicitně Example. MIRR Example Let us show you MIRR Calculation with an exampleinvestmentproposal. Letusassumewesetoutonaninvestmentthatrequiresan initialoutlayofusd100,000andweexpecttoreceivebenefitsandincurcostsasusd 40,000 35,000-20,000 40,000 38,000 40,000. We further assume that our reinvestment rate (WACCorsimplythediscountrate)is11%andfinancerateis13%. MIRR = 14.16% Example.??????? Uvažujmepeněžnítok = ( 1000, 4000,5000,2000). Odpovídající IRR=25.48%.Přijednotnéceněkapitálu k=11%máme PV(výdaje,k)= = [ , 20:50] 15

16 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) tudíž FV(příjmy,k)=5000(1+0.11)+2000=7550 MIRR= /3 1=17.93.% Uvažujeme-lirozdílnéhodnocenívýdajůapříjmů, k O =10% k I =12%,dostaneme PV(výdaje,k O )= = FV(příjmy,k I )=5000(1+0.12)+2000=7600 tudíž MIRR= /3 1=17.91% Remark. Výše uvedený princip je možné aplikovat i pro alternativní definici současné hodnoty, kdy se různou hodnotící úrokovou mírou oceňují příjmy a výdaje. Ponecháme-li výše uvedené značení, můžeme definovat současnou hodnotu peněžního toku jako (1.38) PV(,k O,k I )= t:cf t<0 t:cf t<0 CF t (1+k O ) t+ t:cf t>0 CF t (1+k I ) t. Při rozdílných okamžitých(spotových) ročních úrokových mírách pro výdaje a příjmy (různýchvýnosovýchkřivkách)danýmivektory Ê O a Ê I,můžemesoučasnouhodnotu definovat vztahem CF t CF t (1.39) PV(,Ê O, Ê I )= (1+R Ot ) t+ (1+R It ) t. t:cf t> Duration and Convexity(Durace a konvexita) The duration is defined as the time-weighted average of the discounted payments(průměrná diskontovaná doba splatnosti): (1.40) D(,v)= È T tcf tv t È T CF tv t = 1 PV(,v) tcf t v t. Alternatively,withweights w t (1.41) D(,v)= tw t, w t = CF tv t PV(,v) 16 [ , 20:50]

17 Characteristics of Cash Flows (Charakteristiky peněžních toků) 1.1 Duration is expressed in time units. So if the payments are semiannual, for instance, the durationisexpressedinhalvesofyear.itisalsocalleddiscountedmeantermofthecash flow.wehave PV(,v) v = 1 v andthusthedurationmaybeexpressedas (1.42) D(,v)= tcf t v t = 1 v D(,v)PV(,v) v PV(,v) PV(,v). v Ineconomicsthelastexpressionisknownaselasticitysothatwemayinterpretthe durationasanelasticityofthenetpresentvaluewithrespecttothediscountfactor.an alternative formula for the duration expressed in terms of the interest rate reads (1.43) D(,i)= 1+i PV(,i) PV(,i). i Fromtheaboveexpressionsitfollowsthatthedurationmayserveeitherasameasureof thesensitivityofthecashflowtotheinterestrateorasthedurationofthecorresponding investment project. The first interpretation will become clear if we write the first few termsofthetaylorexpansionoftherelativeincrementofthepresentvalueofthegiven cashflowasafunctionoftheinterestrate;thederivativesaretakenwithrespecttothe second argument: PV(,i+ i) PV(,i) = PV(,i) PV (,i) PV(,i) i+1 PV (,i) 2 PV(,i) ( i)2 + (1.44) 1 1+i D(,i) i. Notethatduration,unlikethepresentvalue,isnotalinearfunctionofthe s.to overcome this disadvantage sometimes the dollar duration is used: (1.45) D $ (,v)= tcf t v t. In literature and applications we can also meet the modified duration: D mod (,v)=v D(,v) or,intermsof i D mod (,i)= 1 PV(,i) PV(,i). i [ , 20:50] 17

18 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) Jemnější mírou citlivosti peněžního toku na změnu úrokové míry je konvexita, angl. convexityafinermeasureofthesensitivityofacashflowtotheinterestrateisthe convexity: (1.46) C(,v)= È T t(t+1)cf tv t È T CF tv t. Someauthorsuse t 2 insteadof t(t+1)intheaboveformula. Convexityisexpressedin squared time units. If the payments are accomplished semiannually, convexity is expressed in[year 2 /4],e.g.Takingintoaccountthat PV (,i)= 1 (1+i) 2C(,i)PV(,i) we can substitute in(36*******) and get a more precise formula for the relative increment ofthepresentvalueintheform PV(,i+ i) PV(,i) PV(,i) (1.47) 1 1+i D(,i) i+ 1 2(1+i) 2C(,i)( i)2. Inliteraturewecanfindaslightlydifferentdefinitionoftheconvexity,asananalogueto the modified duration: C mod (,i)= PV (,i) PV(,i). Thentheequationfortherelativechangeofthepresentvaluemaybeexpressedinterms of the modified measures as (1.48) PV(,i+ i) PV(,i) PV(,i) D mod (,i) i+ 1 2 C mod(,i)( i) Internal Value(Vnitřní hodnota) Supposethatthecashflowinquestiondependsalsoonanothervariableorparameter 5 y say, = (y). Fordecisionmaking,animportantmeasureisthevalueof y= y(i) suchthatthepresentvalueforagiveninterestrate iiszero.callthisvaluetheinternal valueofthecashflowanddenoteitbyhiv.(hivhasbeenintroducedinhurt,j.and Koch, R., Mathematical methods of risk control, Proceedings of the Seminar on Actuarial Sciences, Czech Society of Actuaries 2000/2001, Praha, 2001, pp (Czech) but we 5 ymaybepossiblyvector-valued. 18 [ , 20:50]

19 Elementary Comparison of Investment Projects (Elementární hodnocení investičních příležitostí) 1.2 admit that such a simple indicator might have been known before.) Mathematically, HIV is defined implicitly by the relation (1.49) CF t (HIV(i)) (1+i) t =0. Often, the dependence of the present value on y is simple, for instance linear or quadratic. Hence, for a fixed interest rate, the analysis of the present value profile becomes more simple. Application of HIV is many-sided. Particularly, HIV is useful in valuation of all transactions where the foreign exchange rate(fx) appears, like currency swaps. In thiscase y=fx,theforeignexchangerate. TheHIVcanalsobeemployedforthe risk analysis of loans payable in foreign currencies or cash flows dependent on interest rateslikelibor,etc. Ifmorethanonevariableinfluencethecashflowinvolved,the abovedefinitionisstillofuse. Theanalysisismorecomplexinthiscase,however. Also atwo-dimensionalanalysisifboththeinterestrate iand yvaryisarathercomplextask and needs a further research and analysis of particular situations. HIVmaybegeneralizedforthecaseofvariableinterestrates. Letustakethespot interestrates Ê,i.e.ThenHIVisdefinedasasolutiontotheequation (1.50) CF t (HIV(Ê)) (1+R t ) t = Example. swap see archive LP 1.2 Elementary Comparison of Investment Projects (Elementární hodnocení investičních příležitostí) As usual, investment projects will be represented by the corresponding expected cash flows. Since the future cash flows are uncertain, the results of decision making process are also uncertain. The detailed qualified analysis may reduce uncertainty, however. Wewilldealwithasetofcompetingprojects. Thedecisionmakermayacceptone ormoreprojectsandmayevendecidenottoacceptany. Theprojectsaresaidtobe mutually exclusive(vzájemně se vylučující) if at most one of the involved projects can be accepted. And they are said to be independent if an arbitrary number of the competing projects(including none of them) can be accepted. There are two broad classes of investment projects that often arise in practise. In the first case, the investors use their own capital for the initial investment and they obtain incomes generated by the initial investment in successive periods. Such projects are [ , 20:50] 19

20 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) characterized by negative payments in the initial period(s) and positive ones afterwards. CallthemclassIprojects.Inthesecondcase,theinvestorstakealoanatthebeginning, makeaninvestment,andthentheyacquirethebenefitsandalsoshouldpaybackthe loan. Such projects are characterized by positive payments in the initial period(s) and negative ones afterwards. Call them class II projects. Thereisavarietyofmethodsfordecisionmakingandwewillmentiononlysomeof the principles. All the methods start with a careful analysis of the expected stream of payments including dividends, interest obtained or paid, salvage value of the assets at the end of the project s life, etc. The cost of capital(the valuation interest rate) should take into account the riskness(uncertainty) of the project Profitability Index(Index ziskovosti) AsimpleindicatorforaclassIproject =(CF 0,CF 1,...,CF T )istheprofitability index defined by (1.51) PI(,i)= 1 CF 0 PV((0,CF 1,...,CF T ),i). where PV isconsideredwithrespecttotime0.thismeasureseemstobetrivialbutin factitis,insomesense,equivalenttothemeasuresbasedonthepresentvalueprofile as we will see later. Among competing projects we select those with highest profitability indexesgreaterthanone;weselectnoneofthemifallpi sarelessthanone Payback Method(Doba návratnosti) Another simple and rough method is the payback method applied again to class I projects. Itisbasedonthepaybackperiodthatisthenumberofperiodsrequiredtorecoverthe initialoutflows.foraclassiprojectwehave A 0 <0.Let kbethefirstindexsuchthat A k >0.Thenthepaybackperiodisdefinedby (1.52) PB()=k 1 A k 1 CF k. Here k 1istheperiodjustpreceedingthefullrecovery, A k 1 istheuncoveredcostat thebeginningofthisperiod,and CF k (obviouslypositive)isthepaymentintherecovering period.ifsuchakdoesnotexist,wesetformallythepaybackperiodtoinfinity.based on the payback method, we select the project(s) with the shortest payback period, or none of them if their payback periods all equal infinity. A little better method based on this idea is the so called discounted È payback method. Let ibeaproperlychosenproject scostofcapitalanddefine A (i) j j = CF t/(1+i) t. Assumeagain A (i) 0 <0and kthefirstindexsuchthat A (i) k > 0. Then the discounted payback period is defined as (1.53) PB(,i)=k 1 A (i) k 1 CF k /(1+i) k. 20 [ , 20:50]

21 Elementary Comparison of Investment Projects (Elementární hodnocení investičních příležitostí) 1.2 Ifsuchakdoesnotexistwesetformallythediscountedpaybackperiodtoinfinity.The decisionsbasedonthediscountedpaybackmethodarethesameasincaseoftheusual payback method Exercise Analyzeandtrytoprovethefollowingconjecture. ForaclassIprojectoflength T (A T >0),thediscountedpaybackperiodapproaches T astheinterestrateapproaches theinternalrateoftheproject, i IRR Methods Based on the Present Value Profile (Metody založené na profilu současné hodnoty) Typically, for class I projects the present value is a decreasing(and often also convex) function of the valuation interest rate i and the opposite is true for class II projects; the presentvalueisanincreasing(andoftenconcave)functionof i.however,thisisnotthe rule as shown in the following counterexample Example.(Protipříklad) Consider an artificial cash flow Z =( 6, 10, 4, 8, 3, 5,18.5,18.5). TheassumptionsofTheorem(?) onpage10arefulfilled. TheonlypositiveIRRis But PV( Z,i)isdecreasingfor i <0.39andincreasingfor i >0.39. Hence the investor should take care of the individual present value profile, i.e., the graph of the present value in dependence on the interest rate involved. Theleadingruleissimple;foragiven iaccepttheprojectifitspresentvalueatthis interest rate i is positive: Acceptif PV(,i) >0. ForclassIprojects,thecriterionofpositivepresentvalueisequivalentto PI(,i) > 1. In case of independent projects we select all the projects with the positive present values atthegiveninterestrate. Iftheprojectsaremutuallyexclusiveweselectthatwiththe highest present value. If we investigate a set of projects which are mutually exclusive dependent on the valuation interest rate we should select the project that is determined by the upper envelope of the present value profiles. Foroneproject,thecriticalpointisIRR.If PV isadecreasingfunctionof ithenwe accept the project if the valuation interest rate is less than IRR and reject it otherwise. Analogously,if PV isanincreasingfunctionof i,weaccepttheprojectifthevaluation interest rate is greater than IRR. For projects which do not possess a monotonous present value profile, we should perform a more careful analysis. Fortwoormoreprojects,thecriticalpointsarenotonlytheIRR softheindividual projects but also their crossover rates. A crossover rate of two projects is such an interest [ , 20:50] 21

22 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) rateforwhichthepresentvaluesofthetwoprojectsareequal.formally,letusconsider twoprojects A and B.Thecrossoverrate i AB isdefinedasasolutiontotheequation PV( A,i AB )=PV( B,i AB ). Obviously,theremaybemorethanonesolutionsothatwemustselectthatonewitha reasonable economic interpretation. Since the present value is a linear function on the spaceofcashflows,weseethatthecrossoverrate i AB isinfacttheinternalrateofreturn determinedbythedifferencebetweenthetwoprojects, IRR A B : PV( A B,IRR A B )=0. In the neighborhood of the crossover rate the investor should take care and carefully study also the sensitivity of the present value profiles with respect to the interest rate. This is bestdonebylookingonthedurationandpossiblyontheconvexity.suchananalysiswill be better understood from the example Example. Let us consider five projects: (1)A: A =( 1000,300,500,200,100) (2)B: B =( 1000,47,47,47,1047) (3)C: C =( , , ,300,200) (4)D: D =( 600, 500, 300,400,500,600) (5)E: E =(1200, 400, 300, 200, 400). ProjectsA,B,C,DareclassIprojectswhileEisaclassIIproject. B represents thecashflowofafouryearscouponbondpurchasedfortheparvalue1000givingthe holder yearly coupons of 47 with redemption value The present value profiles of these projects are shown in Figure 1.2. Visually the present value profiles of the projects AandCcoincide.Alsoobservethatdespitethedependenceofthepresentvalueon iis nonlinear, we are not able to distinguish the corresponding profiles from the straight lines ontheplot.thepaybackperiodsforthefirstfourprojectsare PB( A )=3.00 PB( B )=3.82 PB( C )=3.50 PB( D )=4.83 andthediscountedpaybackperiodsfortwoselectedinterestrates(i=0.02, i=0.04)are: PB( A,0.02)=3.40, PB( B,0.02)=3.89, PB( C,0.02)=3.70, PB( D,0.02)= 4.99and PB( A,0.04)=3.84, PB( B,0.04)=3.97, PB( C,0.04)=3.92, PB( D,0.04)= +½. In case of independent projects, based on the discounted payback method we accept projectsa,b,c,dif i=0or i=0.02.for i=0.04weaccepta,b,candrejectd.if theprojectsaremutuallyexclusive,weacceptonlyaforallthreevaluesof i. 22 [ , 20:50]

23 Elementary Comparison of Investment Projects (Elementární hodnocení investičních příležitostí) 1.2 PV Projekty A a C Projekt B i Projekt E 150 Projekt D Fig Současné hodnoty pěti projektů D i Fig Durace projektů A a C 1000 C i Fig Konvexity projektů A a C Thepresentvalueisadecreasingfunctionof iforprojectsa,b,c,d,andanincreasing function for project E. Thus the acceptance region depends on the corresponding IRR s: IRR A =0.0471IRR B =0.0470IRR C =0.0472IRR D =0.0208IRR E = Consider first the case of independent projects. We accept A, B, C, D for [ , 20:50] 23

24 1. Basics of Financial Mathematics(Základy finanční matematiky) i 0.021(= IRR D ).For0.021 < i 0.033(= IRR E )weaccepta,b,c.for0.033 < i < 0.047(approximately)weacceptA,B,C,E;andweacceptonlyEfor i > PV i D i C i Fig.1.5. Rozdílycharakteristikprojektů Ca A, C A Second, consider mutually independent projects A, C, E only. Since the projects A and Chavealmostidenticalpresentvalueprofiles, wemustlookfirstatthedifferenceof theirpresentvalues.inobr.1.5wehaveplotsof PV( C,i) PV( A,i), D( C,i) D( A,i), and C( C,i) C( A,i). Weseethat PV( C,i) PV( A,i)and thatthedifferenceisnegligible 6. Alsothedurationsoftheprojects Aand C almost coincide. See Obr.1.3. An observable difference is in convexities, see Figure 1.4. We alsohave PV( A,0.02)=PV( C,0.02)and D( A,0.02)=D( C,0.02).Sincethe convexitiesfulfiltheinequality C( C,i) > C( A,i)wecandecideinfavorofproject CagainstA.Further,thecrossoverrateforprojectsCandEis IRR C E = Thus tosummarize,for i ,weacceptCandfor i >0.0391weacceptE,amongthe candidatesa,c,e.ifweconsiderallthefiveprojects,thenweobviouslyselectbfor i < IRR B E =0.041andEforgreatervaluesof i. 6 Zdáse,ževabsolutníchčástkáchjerozdílzanedbatelný.Avšakvpřípadech,žejdeoobjemyobchodů10 9 jižtomutaknení. 24 [ , 20:50]