DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ HYDRODYNAMIKA

Transkript

1 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ HYDRODYNAMIKA Obsah Úod... Průtok kapaliny... Ronice kontinuity... 3 Energie proudící kapaliny... 3 Objemoá hustota energie... 3 Bernoulliho ronice... 3 Aplikace Bernoulliho ronice... 4 Výtok kapaliny otorem... 4 Pitotoa trubice... 4 Dynamické účinky kapalin... 5 Věta o hybnosti kapaliny... 5 íla proudu kapaliny na stěnu... 5 Roinná stěna... 5 těna taru duté polokoule... 6 Pael chauer (6) - hydrodynamika

2 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ Úod Hydrodynamika se zabýá prouděním kapalin a plynů. Podle časoé záislosti rozdělujeme proudění na: a) neustálené proudění (průtok i plocha průtočného průřezu jsou funkcemi času a dráhy) b) ustálené proudění (průtok je konstantní, nezáislý na čase a dráze), dále se dělí na: - ronoměrné proudění (rychlost i plocha průtočného průřezu jsou konstantní) - neronoměrné proudění (rychlost i plocha průtočného průřezu jsou funkcemi dráhy) Další text bude ěnoán ustálenému proudění. Průtok kapaliny U pohybujících se kapalin definujeme da různé průtoky, objemoý průtok a hmotnostní dx (za čas ) dv, dm=ρdv obr. Potrubí s proudící kapalinou průtok. Objemoý průtok kapaliny je definoán jako objem kapaliny, který proteče zoleným průřezem potrubí za jednu s, tedy dv Q V =, () kde dv je objem elementu proudící kapaliny a d t je čas, za který urazí element proudící kapaliny dráhu d x, jak ukazuje obr.. Hmotnostní průtok kapaliny je definoán jako hmotnost kapaliny, která proteče zoleným průřezem potrubí za jednu s, tedy dm Q m =, () kde d m je hmotnost elementu proudící kapaliny, jak ukazuje obr.. Oba průtoky spolu dm ρ dv souisí. ouislost ododíme jako Qm = = = ρqv, tedy Qm = ρ Q V. (3) Objemoý průtok daném místě lze yjádřit průřezem potrubí a rychlostí proudění. Zjistíme ho z definice objemoého průtoku s yužitím údajů na obr., dv dx dx Q V = = = =. Objemoý průtok lze tedy yjádřit ronicí Q V =. (4) Podobně, s yužitím ronice (3), hmotnostní průtok daném místě potrubí lze yjádřit průřezem potrubí a rychlostí proudění ronicí Q m = ρ. (5) Pael chauer (6) - hydrodynamika

3 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ Ronice kontinuity Ronice kontinuity říká, že hmotnostní průtok kapaliny různých místech téhož nerozěteného potrubí je stejný, tedy Q m = Qm. (6) Dosadíme-li průtok z ronice (5) dostaneme pro stlačitelnou kapalinu ( ρ ρ ) ronici kontinuity ρ =. (7) ρ a podobně pro ideální nestlačitelnou kapalinu ( ρ = ρ ) =. (8) Pro naše potřeby bude postačoat ronice kontinuity (8) pro nestlačitelnou kapalinu. Energie proudící kapaliny de=de k +de pp +de ph dv, dm=ρdv h obr. K odozeni energie proudící kapaliny Element o objemu dv proudící kapaliny (obr. ) má tři formy energie, kinetickou de k, potenciální tlakoou d a potenciální ýškoou. Jeho energii tedy můžeme yjádřit souč- d E ph tem E p p d E = de k + de pp + de ph. (9) Jednotlié členy ronice (9) lze yjádřit. Prní člen kinetický (pohyboý) bude de druhý člen tlakoý zjistíme jako k = dm = ρ dv, (0) d p = F dx = p dx = p dv () E p a třetí člen ýškoý bude de ph Objemoá hustota energie = dm gh = ρ dvg h. () U proudící kapaliny je ýhodnější sledoat energii jednotce objemu. Proto zaádíme objemoou hustotu energie w. Pro proudící kapalinu bude mít tar de w = dv = ρ + p + ρ gh. (3) Bernoulliho ronice Vyjádříme zákon zachoání energie pro proudění ideální kapaliny potrubí. plníme tedy podmínku w = konst. yužitím ronice (3) to bude Pael chauer (6) - hydrodynamika

4 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ ρ + p + ρ gh = konst. (4) Ronice (4) se nazýá Bernoulliho ronice. Aplikace Bernoulliho ronice Mnoho aplikací lze řešit s yužitím Bernoulliho ronice. Je to např. určení rychlosti proudění užitím Pitotoy trubice, měření průtoku kapaliny Venturiho odoměrem, měření bodoé rychlosti a statického tlaku Pranloou trubicí, určení ýtokoé rychlosti z otoru a jiné. Některé si ukážeme. h obr. 3 Výtok kapaliny otorem a z Bernoulliho ronice Výtok kapaliny otorem Z Bernoulliho ronice lze určit rychlost kapaliny, která ytéká otorem e stěně nádoby hloubce h pod hladinou kapaliny. Poronáme kontinuitu proudění a energii proudící kapaliny u hladiny (index ) a u otoru (index ). Z ronice kontinuity dostaneme = (5) ρ + ρ gh = ρ. (6) Jednoduchou úpraou získáme. ( ) = gh Dosadíme-li za rychlost posuu hladiny = a zanedbáme <<, dostaneme Torriceliho zorec pro ýtokoou rychlost z otoru e stěně Pitotoa trubice = gh. (7) = Pomocí Pitotoy trubice se určuje rychlost proudící kapaliny na základě rozdílu tlaků. Její schéma je na obr. 4. yužitím Bernoulliho ronice h najdeme rychlost proudění kapaliny. Kapalina má místě ohnuté trubice (index ) nuloou rychlost, zatímco u roné trubice (index ) má kapalina rychlost proudění. ou energii si kapalina zachoáá, proto bude platit obr. 4 Pitotoa trubice a oud = ρ p (8) p + Pael chauer (6) - hydrodynamika

5 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ ( p p) ρ gh = =, (9) ρ ρ kde rozdíl tlaků jsme určili z rozdílu hladin obou trubicích, p p = ρ gh Dynamické účinky kapalin F' s F V, m=ρv obr. 5 íla kapaliny při zakřiení potrubí. Pokud je kapalina donucena změnit sůj směr proudění, působí na okolí silou. Zjistíme elikost této síly jednoduchých případech. K odození působící síly použijeme ětu o hybnosti, se kterou jsme se seznámili dynamice hmotného bodu. Věta o hybnosti kapaliny Na čereně zakreslený objem proudící kapaliny na obr. 5 (dále jen ybraný objem kapaliny) působí při ustáleném toku kapaliny síla F r, která způsobí zakřiení proudu. Tato síla působí po dobu průtoku ybraného objemu kapaliny zakřienou částí, tedy po dobu t =, kde je konstantní eli- s kost rychlosti proudění (směr rychlosti konstantní není) a s je dráha, kterou kapalina urazí od začátku do konce zakřiení. Potom pro ybraný objem kapaliny platí ěta o hybnosti r r r r r I = p ( ) p = m, (0) kde p r a p r jsou hybnosti ybraného objemu kapaliny na konci a začátku zakřiení. Za impuls síly I r r r r ronici (0) dosadíme z jeho definice I = F t (platí pro F = konst. ) a ronici upraíme r m r r r r F = ( ) = Qm( ). () t Ronice () určuje sílu, která působí na ybraný objem kapaliny. My šak hledáme její r r reakcí F ' = F, kterou působí kapalina na sé okolí. Proto hledaná síla kapaliny na sé okolí při zakřiení proudu bude r r r F = Q ( ). () ' m íla proudu kapaliny na stěnu ýtok po stěně Σ = 0 proto s = s = obr. 6 K ýpočtu síly proudu kapaliny na roinnou stěny Roinná stěna Předpokládejme proud kapaliny ytékající rychlostí r kolmo na roinnou stěnu, která se pohybuje rychlostí r s, jak zobrazuje obr. 6. Obě rychlosti mají odoroný směr osy x. Znaménka rychlostí e směru osy x budou kladná, proti směru osy x záporná. Ookoý proud kapaliny se po stěně kruhoě rozteče ronoměrně na šechny strany, tj. ektoroý součet rychlostí e Pael chauer (6) - hydrodynamika

6 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ směru stěny bude nula. Oékající kapalina se tedy bude pohyboat pouze kolmo ke stěně a to jen tehdy, pokud bude stěna pohybu. Vektor ookoé rychlostí tedy bude roen rychlosti r r stěny, = s. íla, kterou bude působit proudící kapalina na stěnu pak bude podle ronice () r r r F ' = Qm( s ), (3) kde rychlost stěny bude kladná při pohybu stěny na obr. 6 dopraa a záporná, pokud se stěna pohybuje dolea. těna taru duté polokoule Naše zadání nyní pozměníme tak, že roinnou stěnu zaměníme za stěnu e taru duté r r r polokoule. Nyní bude ektor ookoé rychlosti roen = s, jak ukazuje obr. 7. íla, kterou bude působit proudící kapalina na stěnu nyní podle ronice () bude = s - r r r r r r F ' = Qm[ ( s ) ] = Qm( s). (4) Roněž zde bude rychlost stěny kladná při pohybu stěny na obr. 7 dopraa a záporná, pokud se stěna pohybuje dolea. íla na stěnu taru duté polokoule tedy bude obr. 7 K ýpočtu síly proudu kapaliny na dutou kuloou stěnu = + s s s s s = + krát ětší než při působení na roinnou stěnu. s Pael chauer (6) - hydrodynamika