Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Transkript

1 HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn hdrostatik Definice hdrostatického problému Orientace ploch Příklad kde je vužívána hdrostatika v prai Šíření tlaku v kapalině - Pascalův zákon Eulerova rovnice hdrostatik - rovnice rovnováh Přírůstek tlaku v kapalině, tlakové ploch, hladina Aplikace hdrostatických zákonů Nestlačitelná kapalina za působení zemské tíže. Stlačitelná kapalina za působení zemské tíže. Hdraulický lis Hdrostatika v relativním prostoru Konec 1

2 Hdrostatika Čím se budeme v hdrostatice zabývat? V hdrostatice se budeme zabývat kapalinou, která je v klidu. To je kapalinou, jejíž částice se nepohbují vůči sobě a vůči stěnám nádob. Síl působící na element kapalin. Hmotnostní síl (Objemové síl) Gravitační síla Setrvačná síla df G df SE = g ρ = A ρ dv dv Plošné síl pouze ve směru normál k ploše - není tam vzájemný pohb. Orientace ploch???? d S F = p ds n = n = Poznámka Orientace ploch aneb plocha jako vektor a její složk ( n, n, n ) = ( cosϕ, sin ϕ, ) S = a b S = a b n S S n + n + nz = 1 = a b n = a b cosϕ = a b n = a b sin ϕ Sz = a b nz = a b = z

3 Příklad z prae Hdraulický píst na ovládání rozváděcích lopatek turbín. Příklad z prae Rozváděcí lopatk oběžného kola kaplanov turbín 3

4 Příklad z prae Příklad z prae 4

5 Příklad z prae Příklad z prae 5

6 Hdrostatika-Pascalův zákon : Je-li kapalina v hdrostatické rovnováze pak se tlak v kapalině šíři všemi směr stejně. Silová rovnováha ve směru p p d dz = p dl dz sin α S = p S p = p = p = p z : p p Blaise Pascal ( ) d dz = p dl dz cos α S = p S Hdrostatika-Eulerova rovnice hdrostatik Euler Leonardo ( ) Eulerova rovnice hdrostatik vjadřuje rovnováhu sil působících na makroskopickou částici, za předpokladu, že kapalina se nachází hdrostatické rovnováze Odvození: 6

7 Hdrostatika-Eulerova rovnice hdrostatik Ve složkách: ve směru : ve směru : ve směru z: Vektorově: 1 p A = ρ 1 p A = ρ 1 p A z = ρ z 1 A grad(p) = ρ Hdrostatika-Přírůstek tlaku v kapalině Přírůstek tlaku můžeme vjádřit obecně platnou diferenciální rovnicí: dp = grad( p).dl Eulerova rovnice hdrostatik (ERHS) 1 A grad(p) = ρ Po dosazení z ERHS dostaneme obecnou diferenciální rovnici funkce tlaku dp = ρa. dl Integrací pak dostáváme funkci tlaku p = ( A.d + A.d A.dz) ρa.dl = ρ + l l z 7

8 Hdrostatika-Tlakové hladin Tlaková hladina je plocha, kde je tlak konstantní. Platí pro ni tato diferenciální rovnice: ρa. dl = Objemové zrchlení (objemová jednotková síla) je na tlakovou hladinu kolmé A dl Konkrétní tlakovou hladinu dostaneme z tlakové funkce. p = ( A.d + A.d A.dz) ρa.dl = ρ + l Dosadíme konkrétní tlak l z Co je to hladina? Hdrostatika-Přírůstek tlaku v kapalině Nestlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Přírůstek tlaku můžeme vjádřit již zmiňovanou rovnicí: dp = ρ Adl dp ( ; g ; ) ( d ; d ; dz) A dl Po integraci = ρ gd p = ρ g + C Okrajové podmínk = p = p p = p + ρ gh = ρ gh p h 8

9 Hdrostatika-Přírůstek tlaku v kapalině Nestlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Jak to bude vpadat, kdž budeme mít dvě kapalin, které se vzájemně nebudou mísit? p = p + ρ1 g h 1 + ρ g h = ρ g h + ρ g h ph 1 1 Hdrostatika-Přírůstek tlaku v kapalině Stlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Musíme nejdříve vjádřit závislost hustot na tlaku. Vcházíme ze vztahu při definici modulu objemové pružnosti: d ρ = ρ dp K Předpoklad K=konst. Po integraci, s uvážením okrajové podmínk že pro p=p, ρ= ρ ρ = ρ p p K e Přírůstek tlaku je dán diferenciální rovnicí dp = ρ g d = ρ p p K e dp = ρ g d g d e p p K 9

10 Hdrostatika-Přírůstek tlaku v kapalině Stlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Tuto rovnici budeme integrovat: p p K K e = ρ g + C S uvážením okrajové podmínk že pro = je p=p, dostaneme výsledný vztah: ρ p = p K ln 1 g h K Zkusme srovnat tlak vod v hloubce 1 m bez uvažování stlačitelnost a s uvažováním stlačitelnosti. Modul objemové stlačitelnosti při t= C, K=, a) nestlačitelná kapalina ph = 1 Pa = 1 MPa b) stlačitelná kapalina ph = Pa = 1, 146 MPa Rozdíl je 1 46,5 Pa to odpovídá hloubce,1 m Rozdíl při m odpovídá tlaku 8,5 m vodníhosloupce Hdrostatika-Pascalův zákon a hdraulický lis U hdraulických lisů můžeme hmotnostní síl zanedbat vůči silám plošným. O S F << F Předpokládáme-li že ρ = konst., pak Eulerova rovnice hdrostatik má tvar: grad (p) = Ztoho vplývá, že p= konst. Pak platí: F S 1 p = = 1 S F = F1 S F S 1 1

11 Hdrostatika - Relativní prostor rovnoměrně zrchlený/zpomalený ve vodorovném směru rovnoměrně zrchlený/zpomalený ve svislém směru Rotující nádoba Hdrostatika - Relativní prostor Rovnoměrně zrchlený/zpomalený ve vodorovném směru dp = ρ Adl ( ; g ; ) ( d ; d ; dz) A a dl 11

12 Hdrostatika - Relativní prostor Rovnoměrně zrchlený/zpomalený ve svislém směru dp = ρ A dl Adl ( ; ± a g ; ) ( d ; d ; dz) Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Nádoba je v klidu. Známe: poloměr R, výšku hladin v nádobě h, výšku nádob H v 1

13 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Nádoba rotuje konstantní úhlovou rchlostí. Známe: úhlovou rchlost w Hledáme: tvar hladin, vztah pro určení tlaku v nádobě. Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Vcházíme ze vztahu pro přírůstek tlaku v kapalině dp = ρ A dl ( rω, g) A dl( dr, d) 13

14 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Vcházíme ze vztahu pro přírůstek tlaku v kapalině dp = ρ A dl ( rω, g) A dl( dr, d) Po dosazení a integraci ( rω dr ) p = ρ gd r ω p = ρ ρ g + C Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Vcházíme ze vztahu pro přírůstek tlaku v kapalině dp = ρ A dl ( rω, g) A dl( dr, d) Po dosazení a integraci ( rω dr ) p = ρ gd r ω p = ρ ρ g + C Jak určíme integrační konstantu? 14

15 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba r ω p = ρ ρ g + C Určení integrační konstant C. Víme že pro platí r = = p = p a Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba r ω p = ρ ρ g + C Určení integrační konstant C. Víme že pro platí r = = p = p a pak C = p + ρ g a 15

16 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba r ω p = ρ ρ g + C Určení integrační konstant C. Víme že pro platí r = = p = p a pak C = p + ρ g a a ted r ω p = pa + ρ + ρ g ( ) Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Jak určíme velikost? Určíme ho z rovnosti objemů. 16

17 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Nejdříve určíme objem V I V = π.r.h Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Nejdříve určíme objem V I V I = π.r.h Objem V II V II R π = r ω g rdϕdr = R ω g πr 17

18 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Nejdříve určíme objem V I V I = π.r.h Objem V II V II R π = r ω g rdϕdr = R ω g πr Srovnáním dostaneme h = R ω 4 g = h h = h R ω 4 g Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Dále platí: H = R ω g =.h 18

19 Hdrostatika relativní prostor rotující nádoba Výsledná rovnice pro přírůstek tlaku v rotující nádobě ted je: ω R p = pa + ρ r + ρ g Rovnice hladin pak je = h ω + ρ r.g R ( h ) 19