Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe

Transkript

1 Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe Naďa Stehlíková Jana Cachová Studijní materiály k projektu č. projektu: CZ / /0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů JČMF 2006 S U M A

2 Obsah Úvod Konstruktivizmus a naše pedagogické přesvědčení Rámcové vzdělávací programy Úloha příkladů z praxe v dalším vzdělávání učitelů matematiky Pět tezí popisujících podnětnou výuku Závěr Teze 1. Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání Teze 2. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje Teze 3. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost Teze 4. Učitel nahlíží na chybu jako na vývojové stádium žákova chápání matematiky a impulz pro další práci Teze 5. Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění spíše než na reprodukci odpovědi Témata seminárních prací Literatura strana 2

3 Úvod Potřeba změny koncepce výuky matematiky je přetrvávajícím tématem diskusí učitelů, didaktiků, veřejnosti i matematiků. V komunitě didaktiků matematiky dnes převládá přesvědčení, že cestou, která by mohla přispět ke zlepšení současného stavu, je větší uplatnění konstruktivistických přístupů ve výuce. V tomto textu se pokusíme podat jejich stručnou charakteristiku, která postačí jako pozadí pro naše konkrétní ukázky v hlavní části textu. V úvodu se také věnujeme propojení tematiky konstruktivistických přístupů a právě probíhající reformy základního školství prostřednictvím Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. Konstruktivizmus a naše pedagogické přesvědčení [Konstruktivizmus v psychologických a sociálních vědách je] směr druhé poloviny 20. století, který zdůrazňuje aktivní úlohu člověka, význam jeho vnitřních předpokladů a důležitost jeho interakce s prostředím a společností. (Hartl, Hartlová, 2000, s. 271) O konstruktivizmu a jeho přednostech pro vyučování se v didaktice matematiky mluví asi od 80. let minulého století, jeho principy však zůstávají spíše v rovině teoretické než praktické. Konstruktivizmus není jasně vymezenou teorií, ale skládá se z mnoha proudů a neustále se vyvíjí. Také dostává celou řadu přívlastků podle toho, jaké aspekty poznání a výuky akcentuje (radikální, sociální, didaktické apod.). Není naším cílem podat vyčerpávající evidenci různých typů konstruktivizmu, ani se k jedné z nich jednoznačně přihlásit. Spíše se budeme snažit vyjasnit naše chápání konstruktivizmu a přiblížit některé jeho principy na praktických ukázkách. Tzv. radikální konstruktivizmus (např. Glasersfeld, 1995) stručně řečeno, zavrhuje vše, co je vně světa zkušeností jedince. Je tak do jisté míry na opačném pólu spektra než behaviorizmus, který nebere v úvahu existenci mentálních konstruktů nepřístupných přímému pozorování a poznání považuje za objektivní a nezávislé na poznávajícím. Zastánci radikálního konstruktivizmu považují pravdu za důsledek společenského konsensu a nepřipouštějí možnost objektivní pravdy. Psychologové mluví o kognitivním konstruktivizmu, jehož základy lze vysledovat i v pracích klasiků (Piaget, 1985, Dewey, 1932). Poznávání se děje konstruováním tak, že si poznávající jedinec spojuje fragmenty informací z vnějšího prostředí do smysluplných struktur a provádí s nimi mentální operace, které odpovídají úrovni jeho kognitivního rozvoje (Průcha aj., 2001). Práce L. Vygotského (např. Vygotskij, 1970, 1976) jsou základem tzv. sociálního konstruktivizmu, který zdůrazňuje nezastupitelnou roli sociální interakce a kultury v konstrukci poznatků. Z. Kalhous aj. (2002, s. 55) zdůrazňují, že učení... je proces zároveň osobní i sociální, který nastává tehdy, když jedinci spolupracují na budování (konstrukci) sdílených, společných porozumění a významů. Pro konstruktivistické přístupy k vyučování matematice je příznačné aktivní vytváření části matematiky v mysli žáka. Podle povahy žáka může být podkladem pro takovou konstrukci otázka či problém ze světa přírody, techniky nebo matematiky samé. (Kuřina, 2002). Zásadní roli hraje motivace, neboť bez motivace lze těžko očekávat od žáka či studenta aktivitu. Žák či student, který nebude k učení motivován, si žádnou poznatkovou strukturu nevybuduje, ba on ji ani budovat nezačne, neboť k tomu je třeba jeho aktivita (Kuřina, 2002). Motivačně by měly působit i samy otázky a problémy, které jsou studentům předkládány, případně které navrhnou studenti sami. M. Hejný a F. Kuřina (1998, 2001) přetvářejí obecný konstruktivistický přístup k vyučování v tzv. didaktický konstruktivizmus, který bere v úvahu specifika vyučování matematice. Formulují deset zásad, které popisují jejich pojetí k vyučování matematice v době svého vzniku. Zkrácené zásady uvádíme níže. strana 3

4 1. Matematika je chápána jako specifická lidská aktivita, ne jen jako její výsledek. 2. Podstatnou složkou matematické aktivity je hledání souvislostí, řešení úloh a problémů, tvorba pojmů, zobecňování tvrzení, jejich prověřování a zdůvodňování. 3. Poznatky jsou nepřenosné, vznikají v mysli poznávajícího člověka. 4. Tvorba poznatků se opírá o zkušenosti poznávajícího. 5. Základem matematického vzdělávání je vytváření prostředí podněcujícího tvořivost. 6. K rozvoji konstrukce poznatků přispívá sociální interakce ve třídě. 7. Důležité je použití různých druhů reprezentace a strukturální budování matematického světa. 8. Značný význam má komunikace ve třídě a pěstování různých jazyků matematiky. 9. Vzdělávací proces je nutno hodnotit minimálně ze tří hledisek: porozumění matematice, zvládnutí matematického řemesla, aplikace matematiky. 10. Poznání založené na reprodukci informací vede k pseudopoznání, k formálnímu poznání. F. Kuřina dále mluví o tzv. realistickém konstruktivizmu, který podle něho lépe odpovídá reálným možnostem aplikace konstruktivistických přístupů ve výuce. Kromě výše uvedených zásad zdůrazňuje také možnost transmise určitých partií, ovšem stále v intencích základního principu konstruktivizmu, tj. vytváření matematiky v mysli poznávajícího jedince: Při řešení... problému můžeme přirozeně sdělovat žáku všechny potřebné informace, vysvětlovat pojmy, odkazovat na poznatky v příručkách a encyklopediích, ale vše ve službách rodící se matematiky v duševním světě žáka. Konstruktivní vyučování tedy může obsahovat transmisi celých partií, může obsahovat i instrukce k řešení typických úloh. (Kuřina, 2002, s. 6) Realistický konstruktivizmus sice zdůrazňuje nutnost řešení problémů a problémových situací pro poznávání jedince, nicméně mluví explicitně i o čerpání podnětů z okolního světa a zprostředkovaně z učebnic a další literatury, případně prostřednictvím výpočetní techniky a internetu. Vždyť ne všechno se dá vymyslet, k učení potřebujeme i informace. [Například] že procento označujeme %. Hlubší poznání jako co je to procento či k čemu je procento užitečné by však už mělo vznikat v žákově vědomí jeho vlastní konstrukcí. (Hejný, Stehlíková, 1999, s. 33) V tomto textu budeme vyučování, které zahrnuje prvky konstruktivistických přístupů k vyučování, pro jednoduchost nazývat podnětné vyučování. Rámcové vzdělávací programy Určité možnosti pro rozšíření konstruktivistických přístupů do praxe otevřel Národní program rozvoje vzdělávání MŠMT, tzv. Bílá kniha (Kotásek, 2001), a z něj vycházející rámcové vzdělávací programy. Za prvořadý cíl si kladou přizpůsobit vzdělávání celkovému rozvoji společnosti a jejím neustále se měnícím potřebám a zajistit uplatnění absolventů na trhu práce (větší flexibilitou jedince, možnostmi jeho rekvalifikace a programem celoživotního vzdělávání občanů). Dále počítají s uzpůsobením školství novým zdrojům informací, jako jsou počítače, internet, ale také studijní pobyty v zahraničí aj. Podle Bílé knihy a rámcových vzdělávacích programů nemůže tradiční školský systém v budoucnu obstát, je nutná jeho podstatná změna, a to v samotném přístupu učitelů k žákům, v přístupu žáků k dostupným informacím a jejich využívání, ale také v systému hodnocení, vedení škol, v kurikulárním systému, při přípravě a vzdělávání budoucích učitelů atd. Je zapotřebí změnit náplň a cíle vzdělávání a styl vyučování. Hlavní cíle Národního programu rozvoje vzdělávání v zásadě neodporují myšlenkám konstruktivizmu. Hovoří se zde o směrech a vyučovacích metodách umožňujících nové změny, strana 4

5 které se budou v praxi postupně prosazovat jako příklad je uvedeno projektové vyučování. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech (rozumějme žákových) s matematickými objekty a na aplikaci matematiky v reálných situacích; má žákovi poskytovat vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě. Klade důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým postupům, pojmům a jejich vzájemným vztahům. To ostatně odpovídá i zásadám didaktického konstruktivizmu vyučování matematice chápe jako specifickou lidskou aktivitu, ne jen jako její výsledek. Nelze se soustředit pouze na procvičování matematického řemesla (dovedností), ale také na porozumění pojmům a jejich aplikování. Konečně, rámcové vzdělávací programy poskytují prostor pro tvořivost učitele což je pro konstruktivistické přístupy důležité jedině tvořivý učitel může vychovávat tvořivého žáka. O tvořivou činnost v matematice (a o jakoukoli činnost v matematice vůbec) jde především právě jejím prostřednictvím je možné individuálně rozvíjet matematiku v myslích jednotlivých žáků. Shrnutí Člověk není pasivním příjemcem podnětů, přicházejících z vnějšího světa, ale ve zcela konkrétním smyslu tvoří svůj svět (L. von Bertalanffy, 1964) Naším záměrem je systematicky pěstovat matematiku v myslích jednotlivých žáků. Školská praxe se ale většinou bohužel orientuje spíše na formální výstupy zaměřuje se převážně na kontrolu správné odpovědi, čímž vlastně navádí žáky k reprodukci. Tato nepřijatelná skutečnost plyne z hluboce zakořeněné pasivní výuky... Tradiční autokratický styl práce učitele, převážně hromadný způsob výuky, strach ze známkování utlumují žákovu zvídavost, spolupráci a spolutvořivost, snahu z chyb se učit a těšit se z výsledků práce (Kozlík, 2003) Učitel, který studuje, jaké představy má žák o pojmech, nakolik porozuměl souvislostem, pojmům a postupům, jak dokáže poznatky aplikovat, a snaží se tento stav zlepšit, tj. dovést žáka ke správným představám a správnému porozumění, k aplikování matematiky, rozvíjí osobnost žáka patřičným směrem. Možností, jak toho dosáhnout, je podle našeho názoru několik: vést žáka k řešení problémů a k samostatné tvůrčí práci; pracovat na projektech (vycházet ze vztahu matematiky k realitě); naučit se něco, co funguje (pro vnitřní uspokojení žáka); naučit se něco, co bude potřebovat (pro vnější cíle). Důležitá je především činnost v matematice (zvláště ta tvořivá). Vše, co přispívá k rozvíjení matematiky v mysli žáka, je dobré a v souladu s konstruktivistickými přístupy. Je však nutné, aby chtěl sám žák realizace podnětného vyučování a jeho úspěšnost nezávisí pouze na učiteli, ale stejnou měrou i na jeho žácích. Proto je hlavním úkolem učitele probudit zájem a aktivitu. Úloha příkladů z praxe v dalším vzdělávání učitelů matematiky Nelze podat návod na konstruktivistické vyučování. Mluvit o takovém návodu je vnitřně sporné, protože podstatou tohoto přístupu je autentičnost, hledání, bohaté využívání vlastních zkušeností. Jednou z jeho základních charakteristik je nepředvídatelnost. Nové myšlenky se mohou objevovat v kontextech, kde to učitel původně neplánoval. Jak tedy můžeme učitele co neefektivněji seznámit s výukou, kterou zde nazýváme podnětnou, pokud mu nemůžeme prostě předložit nějaký pedagogický dokument či učebnici? Jedna z cest, kterou lze použít a kterou jsme již do značné míry vyzkoušely s budoucími učiteli matematiky strana 5

6 a prvního stupně, zahrnuje analýzu reálné výuky z hlediska principů konstruktivizmu. Protože však nelze zajistit, aby se učitelé scházeli na hospitacích, nabízíme zde alternativní cestu prostřednictvím videonahrávek hodin a ukázek písemných záznamů z hodin. Zde jsme čerpaly z hospitací na různých hodinách matematiky, z literatury, ze zkušeností našich posluchačů, budoucích učitelů, i ze zmíněných videonahrávek. Konkrétní ukázky z reálné výuky mohou překlenout propast, která většinou zeje mezi obecně formulovanými zásadami a jejich aplikací v praxi. S mnohými zásadami se učitel proklamativně ztotožní, avšak v praxi je neuplatňuje, nebo neví, jak je uplatnit. Ilustrace mu pomůže uvědomit si právě toto praktické uplatnění. Jedna ilustrace může vyjádřit víc než celé stránky obecných výkladů. Doufáme, a naše zkušenost s budoucími učiteli i s výsledky podobných kurzů ukazuje, že společná analýza výuky může přispět i ke zvyšování citlivosti učitele k prvkům podnětného vyučování ve vlastní výuce. Z pochopitelných důvodů v tomto textu uvádíme jen konkrétní stručně popsané ukázky. Vlastní kurz, pro který tvoříme tento materiál, bude založen zejména na společném rozboru videonahrávek běžných hodin většinou druhého stupně ZŠ (z několika zemí). Ty mají oproti slovně popsaným ilustracím tu výhodu, že čtenář není závislý na tom, co mu autor ilustrace předloží, jak onu situaci ve třídě popíše. Je možné, že nějaký důležitý aspekt nevědomky vynechá či už v době zápisu špatně interpretuje. U videonahrávky má každý možnost udělat si názor na základě zhlédnutí celé komplexní situace. Každou z ilustrací, které uvádíme níže, se snažíme též okomentovat z hlediska podnětné výuky. Jsme si vědomy toho, že se tím dopouštíme určitého zjednodušení a že naše hodnocení musí být nutně subjektivní. Vyučování je natolik složitý proces, že dává smysl jen jako celek. Vytrhneme-li některý jeho rys, může se jevit v jiném světle, než když se na něj díváme z pohledu ostatních rysů vyučování. Úryvky z hodin používáme proto, abychom lépe ilustrovaly některé naše teoretické úvahy, ne abychom hodnotily celou vyučovací hodinu. Pokud ilustrace a náš komentář vyvolají diskusi a motivují učitele k tomu, aby se zamyslel nad podnětnou výukou z hlediska vlastní výuky, pak splnily svůj cíl. Pět tezí popisujících podnětnou výuku V hlavní části textu se zaměříme na pět tezí, které podle našeho názoru vystihují některé rysy konstruktivistických přístupů k výuce. Teze jsou formulovány z pozice učitele a jeho činností ve výuce. 1. Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání. 2. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje. 3. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost. 4. Učitel nahlíží na chybu jako na vývojové stádium žákova chápání matematiky a impulz pro další práci. 5. Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění spíše než na reprodukci odpovědi. Každou tezi budeme ilustrovat na příbězích z praxe z výuky matematiky na základní škole u nás nebo v zahraničí. Příběhy budeme opatřovat komentáři. Rozumí se, že stejný příběh může často sloužit jako ilustrace několika tezí, ty se mohou navzájem překrývat. Pokud není u ilustrace uveden zdroj, jedná se o vlastní pozorování. Teze 1. Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání Podnětné vyučování vede žáka k budování správných představ, k porozumění a k aplikování matematiky. Velmi důležitou roli zde hraje právě motivace. Motivace je základní podstatou podnětného vyučování. Hlavní motivační sílu představuje zájem žáka, radost z práce a úspěchu. strana 6

7 Lokšová a Lokša (1999) rozlišují motivační činitele podněcující výkonnost žáka na: vnitřní činitele (poznávací potřeby a zájmy, potřebu výkonu, potřebu vyhnutí se neúspěchu a dosažení úspěchu, sociální potřeby potřebu pozitivního vztahu a prestiže) a na vnější činitele (známky, odměnu a trest, vztah žáka k jiným lidem, k vlastní budoucnosti a ke společnosti). Motivy dělí v souladu se sociálním přístupem na tři základní okruhy, a to: vnitřní motivy vlastní touha víc vědět a poznat, radost z poznávání, žák sám chce poznávat; vnější nebo sociální motivy při nich se žák učí pro někoho, na kom mu záleží nebo kdo mu to nařídil, prostě protože musí v opačném případě ho čeká trest nebo nepříjemnosti; interiorizované sociální motivy chce svou prací prospět společnosti. Nebudeme se zde zabývat vnější motivací typu známka, pochvala učitele, soutěže atd. Naopak se zaměříme na vnitřní motivaci vyrůstající z vnitřních pohnutek, tzn. jak dosáhnout toho, aby žáci sami chtěli v matematice něco zjistit. Ilustrace 1.1: Strašení matematikou (4. ročník) Učitelka dětem rozdala pracovní listy s obrázkem, který si mohou vybarvit, pokud správně vyřeší početní úlohy k jednotlivým políčkům obrázku a určí tak barvy, kterými mají obrázek vybarvovat. U: (pět minut před zvoněním) Ve zbytku hodiny si můžete, ale úplně potichu, vymalovávat obrázek. Jak nebudete ticho, budeme ještě počítat! Ačkoli učitelka rozdala dětem pracovní listy s hravým počítáním a zřejmě tak chtěla žáky motivovat, svým komentářem k práci udělala pravý opak. Počítání používá k zastrašení dětí ukazuje jim, že lepší a zábavnější je pro ně vybarvování, kdežto počítat budou za trest. Takový přístup ze strany učitele jistě nepřispívá k utváření kladného vztahu dětí k matematice a neposiluje jejich zájem o ni. Úkol pro čtenáře: Zamyslete se nad svou vlastní výukou. Daří se vám vždy podporovat kladný vztah dětí k poznávání? Nezastrašujete také občas své žáky matematikou? Školní vyučování matematice, místo aby rozvíjelo, naopak často potlačuje tvořivé myšlení žáka, jeho aktivitu a zájem o předmět. Dokládá to i následující příběh. Ilustrace 1.2: Adámkovo zaujetí velkým číslem (5. ročník) V 5. ročníku žáci procvičují písemné násobení víceciferným činitelem. Pracují samostatně do sešitů, přitom vždy jeden žák současně počítá pro kontrolu na tabuli. U jedné z početních úloh vyšel výsledek Z lavice na něj spontánně reaguje Adam: Ty vogane, to už je milión, paní učitelko, kolik je to miliónů? Učitelka neodpovídá (nejspíš takové vykřikování považuje za rušivé). Adam, fascinovaný velkým číslem, otázku ještě dvakrát zopakoval (přidal i na intenzitě hlasu), ale odpovědi se nedočkal. Učitelka po hodině vysvětlila své přehlížení Adamovy reakce na velké číslo tím, že jde o autistu, který vše příliš prožívá. To, že Adama fascinovala velikost čísla, je v tomto věku přirozené děti potřebují velká čísla nejprve prožívat, představit si, jak jsou velká, a až poté s nimi mohou pracovat jako s abstraktními objekty. Učitelka však přešla Adamův zájem o čísla mlčením to příště Adama spíše odradí od dalšího přemýšlení o číslech a zajímání se o ně. Učitelka promarnila velký motivační impuls. Podobně asi nebude podporovat studenty v konstrukcích jejich vlastní matematiky učitel střední strana 7

8 průmyslové školy, který snahu jednoho ze svých studentů ohodnotil slovy: místo, aby se učil, vymýšlí vlastní postupy, které nestojí za nic Další ukázka se týká vlivu úrovně obtížnosti úlohy na motivaci dítěte úloha, která je pro žáka příliš obtížná, jej může odradit na druhou stranu ale příliš jednoduché úlohy rovněž demotivují. Dokladem jsou často děti, které při vstupu do školy dokáží počítat i do sta, ale nedostávají žádnou příležitost, aby své dovednosti využily. Jejich zájem pak přirozeně opadá. Ilustrace 1.3: A přece to jde! (5. ročník) Učitelka zadala dětem samostatnou práci sestavit ze čtyř devítek a vhodných znamének početních operací úlohu s výsledkem 100. Žáci začali nadšeně počítat. (Učitelka třídu hodnotí jako šikovnou a pracovitou, která velmi ráda řeší různé problémy.) Po chvíli se hlásí dva žáci, ale ani jeden z nich nevyřešil úlohu správně. Po pěti minutách řešení, kdy doposud nikdo z dětí nepřišel na správný výsledek, začíná pomalu zájem některých jedinců opadat přestávají se soustředit na práci, odkládají pera, otáčejí se, hrají si pod lavicí. Učitelka proto přistupuje k jednomu chlapci, který ještě stále pracuje, a mírně mu napoví. Za chvíli se chlapec hlásí se správným řešením. Na většinu dětí to působí jako vzpruha jak na ty, které doposud stále ještě řešení nevzdaly, tak na ty ostatní znovu se chápou propisek a přemýšlejí nad úlohou. Po několika minutách se hlásí čtyři žáci, že rovněž nalezli řešení úlohy Učitelka zná dobře děti ve své třídě. Ví, že je sice neúspěch dokáže odradit, ale pokud vidí, že je v jejich silách řešení objevit (někomu ze třídy se to podaří), dostanou tak nový impuls, aby chyby překonaly a nalezly správné řešení. To zafungovalo i nyní. Ačkoli ostatním žákům neporadila, dala jim nepřímo podnět k dalšímu hledání. Ilustrace 1.4: Statistika (Austrálie, 8. ročník) Učitel rozdává dětem hrací kostky a pracovní list se šesti oválky. Přitom parafrázuje úlohu z pracovního listu: Má žena peče báječné čokoládové sušenky. Bohužel v poslední době se počet čokoládových kousků v sušenkách zmenšil, takže mi už tak nechutnají. Každá sušenka by měla obsahovat aspoň tři čokoládové kousky, aby byla dobrá. Vaším úkolem bude zjistit, kolik čokoládových kousků musíme dát do těsta na šest sušenek, abychom zajistili, že v každé sušence budou aspoň tři. Použijte hrací kostku k simulaci situace. Děti pak ve dvojicích házejí kostkou a při každém hodu zaznamenávají, do které sušenky přibyl čokoládový kousek. Takto získaná data jsou pak zapsána do společné tabulky a využita pro zjištění základních statistických hodnot jako průměr, medián, modus, horní a dolní kvartil. Motivace uvedeným příběhem se ukázala jako vhodná. Děti skutečně s nadšením zjišťovaly uvedené charakteristiky a posléze se dohadovaly, které z nich nejlépe popisují situaci. Uvedené statistické pojmy zde sloužily jako prostředek zjištění výsledku nějaké pro děti smysluplné aktivity, nebyly vlastním cílem (alespoň z hlediska dětí). Ilustrace 1.5: Ekonomický obal Představte si, že určitá firma chce vyrábět nový výrobek. Musí navrhnout a vyrobit takový obal, který by byl co nejlevnější, ovšem i spolehlivý a aby se co nejlépe převážel např. v krabicích. Navrhněte takový obal a vyčíslete náklady na výrobu 100 ks. (Parafráze úlohy z Littler, 2004.) Děti dostanou určitý předmět (nejlépe nějaký nepravidelný), pro který se má vytvořit obal, a materiál (papír, nůžky, lepidlo). Při práci musí brát v úvahu mnoho faktorů: náklady a jednoduchost výroby obalu, skladnost jednotlivých obalů, množství odpadu, případně i barevný návrh obalu. Pro zjištění nákladů musí počítat i povrch obalu a obsah odpadu. Z hlediska matematických pojmů pracují i s procenty, poměrem, objemem apod. Ilustrace zahrnuje motivaci ze skutečného života. Úloha může být zpracována jako interdisciplinární projekt nejen v hodinách matematiky, ale také výtvarné výchovy. Pro žáky je toto strana 8

9 zadání zajímavější, než kdyby měli počítat obsahy a objemy určitých útvarů. Úloha je formulována poměrně otevřeně. Někteří žáci si s jejím konkrétním vypracováním poradí dobře, jiným bude třeba pomoci. Učitel by však neměl sklouznout k tomu, aby úlohu pro žáky rozpracoval do posloupnosti konkrétních kroků (viz teze 2 níže). Shrnutí Podle Hvozdíka (1986) existují další rozmanité způsoby a metody, jak rozvíjet motivaci žáka. Vybereme z nich ty, které odpovídají principům podnětného vyučování a kde zájem žáka o vyučování vyrůstá z vnitřní podstaty matematiky (nejedná se o přesný citát, provedly jsme výběr a principy jsme jinak utřídily): příznivé klima ve třídě aktivita, hledání, produkce, humor; řešení problémů (zejména vyvolání zájmu o problém), alternativní řešení, tvorba hypotéz, aktivita; uplatnitelnost v budoucím životě; tvořivé úlohy; učení se činností; učení se ve skupinách; práce s informacemi; vyučování hrou didaktické hry; rozmanitost ve vyučování variabilita, změna rytmu a tempa, metod a forem práce, překvapivost; pocit úspěchu, radost z toho, že se něco podařilo, že žák něco dokázal. Radost z vlastní matematické práce, z toho, že žák něco, byť se jednalo o sebenepatrnější poznatek, objevil, je z hlediska motivace nezastupitelná, i když se jedná snad o nejobtížněji dosažitelný motivační impuls. K tomu, aby žákovo matematické sebevědomí stouplo, nestačí pochvala a dobrá známka. K tomu je nutný vnitřní pocit radosti ze zdolání překážky. Ten může přinést i chybná myšlenka. Radost totiž není důsledkem správnosti výsledku, ale námahy vynaložené k jeho získání a přesvědčení, že je to výsledek aspoň v něčem dobrý. Učitel, který nakonec musí žáka dovést k poznání, že výsledek je chybný, může uchovat v jeho vědomí zkušenost, že intelektuální práce může být zdrojem velké vnitřní radosti. (Hejný, 2004, s. 74) Uvedly jsme, že podle konstruktivistického přesvědčení je k nabytí poznání nutná intelektuální aktivita žáka a že důležitou, dokonce rozhodující roli zde hraje jeho vnitřní motivace. To dokládá i výzkum motivace, který provedli Lokšová a Lokša (1999). Výsledky výzkumu potvrdily, že u žáků ročníku základní školy převládá snaha získat v budoucnu odbornost, snaha dostat dobrou známku, ale rovněž i touha nabývat vědomostí. Úlohou učitele je vnitřní motivaci navozovat. Protože se výuka odehrává v kolektivu, jsou faktory, které zde působí, jak sociální, tak psychologické a jistě i kognitivní. Součinností všech faktorů je ve třídě vytvářeno jisté prostředí a cílem konstruktivisticky zaměřeného učitele je, aby toto prostředí bylo podnětné, aby povzbuzovalo zvídavost žáků, aby jim dopřálo pocit radosti z nového poznání i pocit sociální seberealizace. Pokud jde o faktory kognitivní, potřebné jsou takové podněty, které jim umožní propojovat nové poznatky s již existujícími zkušenostmi či poznatky a které současně vycházejí z jejich předchozích zkušeností se světem, jenž je obklopuje. Požadavek spojení podnětů v matematice s reálným životem často vede, podle našeho mínění, k nesprávnému názoru, že všechny úlohy mají být reálné. Domníváme se, že ona reálnost nevychází pouze ze světa, který nás obklopuje, ale týká se propojenosti na životní zkušenost daného jedince. Tak může být pro dítě reálný kontext, který je pro dospělé naprosto imaginární, či který je čistě matematický. strana 9

10 Teze 2. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje Tato teze se týká činnosti, která je každému učiteli matematiky vlastní. Ukážeme však, že nejde jen o to vybrat vhodné úlohy, ale zejména o to, vhodně s nimi pracovat. Ilustrace 2.1: Procvičování sčítání desetinných čísel (5. třída, pozorování studentky učitelství) V učebnici je nejprve předložena série klasických úloh typu: 0,9 + 3,1 = 12,5 + 6,7 = atp. Na závěr procvičování zařadili autoři učebnice slovní úlohu: Anička si šla nakoupit školní potřeby. Koupila si sešit za 14,60 Kč, tužku za 8,30 Kč, plnicí pero za 28,90 Kč a trojúhelník za 17,20 Kč. Kolik zaplatila za svůj nákup? Děti mají v této úloze řešit problém z reálného života. Blíží se konec hodiny, děti si přečtou zadání úlohy a paní učitelka říká: To prostě jenom sečtete, jako v těch předchozích úlohách, a je to. Paní učitelka zasáhla do práce dětí podle našeho názoru nevhodným způsobem. Jednoduše je seznámila s principem řešení. Děti nemusí hledat žádnou strategii, prostě mechanicky sečtou čísla v úloze (podobně jako v předchozích procvičovacích úlohách). Jistě, chápeme, že se blíží konec hodiny a učitelka chce dodělat začaté téma. Pak je však nutné se zamyslet, zda bylo nezbytné dávat dětem úlohu z reálného života, stačilo by jim dát o jeden procvičovací úkol navíc. Problém z reálného života zařazujeme zejména proto, aby si děti uvědomily, že matematika je nástrojem pro jeho řešení, a aby se naučily analyzovat text a rozhodovat o vhodné strategii. Ilustrace 2.2: Tabulka a graf (6. ročník) Na začátku 6. ročníku opakovaly dvě učitelky se svými žáky přímou úměrnost. Obě třídy řešily stejnou úlohu: Kája si kupoval čokolády s nálepkami, které sbíral. Jedna čokoláda stála 7 Kč. - Kolik korun stálo Káju 3, 5, 6, 11, 12 čokolád? - Kolik čokolád si mohl koupit za 14, 28, 56 a 98 Kč? - Počet koupených čokolád a částku za ně zaplacenou zanes do grafu. V první ze tříd žáci nejdříve přesně sestrojili tabulku hodnot (učitelka dbala na to, aby ji narýsovali a ne jen načrtli), pak si narýsovali soustavu souřadnic, určili měřítko, popsali hodnoty na osách. Graf však již vynést nestačili, protože zvonilo. Žáci měli úlohu dokončit za domácí úkol. Ve druhé třídě učitelka donesla dětem pracovní listy s připravenou soustavou souřadnic. Děti si načrtly tabulku, do níž zapsaly hodnoty, a do připravené soustavy pak příslušné údaje vyznačily. Nakonec vynesly graf. Obě učitelky měly stejný cíl zopakovat přímou úměrnost pomocí slovní úlohy, v níž měly děti nejprve sestavit tabulku hodnot a poté sestrojit graf. Úkol pro čtenáře: Kterému z obou použitých pracovních postupů byste dali přednost? Proč? Učitelé mnohdy trvají na pečlivém rýsování tabulek, grafů, obrázků i tam, kde přílišná pečlivost neplní svůj účel prvořadé není narýsovat tabulku, ale připravit si hodnoty, které budou ilustrovat průběh funkce. Stejně tak není důležité, aby musel vždy žák celý graf samostatně sestrojit. Graf je jen jiným jazykem, který popisuje podstatu věci pomáhá zvýšit názornost. Proto je v určitých případech možné, aby učitel žákům práci usnadnil a žáci hodnoty pouze zaznamenávali do připravené šablony. Tím jim naopak umožní nerozptylovat pozornost a soustředit se na skutečnou podstatu věci. strana 10

11 Ilustrace 2.3: Otáčení o 90 stupňů (Boaler, 2002, s. 30 a 31; 8. ročník) Na tabuli jsou nakresleny dvě úsečky o délce 1 a 3: Učitel se ptá (S znamená student nebo studenti, U učitel): U: Máme-li úsečku délky 3 a úsečku na ni kolmou délky 1, co se stane, pokud to otočíme o 90 stupňů? S (vykřikují): Jde to dokola. Doleva. Doprava. U: Jak to bude? S: Jde to nahoru. U: Ano, nahoru, že? Nakreslí obě úsečky otočené: 1 3 S: dívají se na obrázek a nereagují. U: Vidíte, co se stalo? Vyměnily se; úsečka délky 3 jde nahoru a délka 1 jde napříč, takže si pamatujte, že když děláte rotaci o 90 stupňů, prostě si vzpomeňte, že se mají vyměnit. Učitel vlastně vyzval studenty, aby přestali přemýšlet o tom, k čemu dochází u rotace o 90 stupňů, a zapamatovali si pravidlo. Tato situace je zhoubná zejména pro to, jakou představu si děti vytvoří o matematice. Jistě, je možné, že i kdyby učitel nechal studenty, aby si tento poznatek sami odvodili, všichni by to nepochopili a někteří by se nakonec naučili pravidlo. Ovšem alespoň by nezískali mylný dojem, že matematika je o zapamatování pravidel. Ilustrace 2.4a: Součet úhlů v mnohoúhelníku (Stigler, Hiebert, 1999, s. 45) Žáci měli doma změřit úhly v konvexním šestiúhelníku a sečíst jejich velikost (viz obrázek níže bez vyčárkovaných úseček). 3 1 Druhý den se učitel zeptal, zda všichni získali výsledek blízký 720 stupňům. Pak pokračoval: U: Kdybych vzal ten úhel D a přesunul ho sem dolů, změní se ten součet? S: Ne. U: Neměl by, že? Proč? Stále mám kolik úhlů? S: Stále máte šest. Učitel zde značně náhodnou otázkou vede žáky k odpovědi. Ovšem žáci ještě nevědí, že počet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku je klíčovou informací pro zjištění součtu úhlů! Hodina pokračuje. Ilustrace 2.4b: Součet úhlů v mnohoúhelníku (pokračování) U: Stále mám šest úhlů. Existuje vzorec a budeme se ho učit po jarních prázdninách, ale dám vám teď aspoň nápovědu. Když vezmu počet stran a odečtu dva a vynásobím to číslo 180 stupni, tak dostanu, kolik je součet úhlů. Kolik stran má tento útvar? (Pauza.) Šest. Ano? Počet stran mínus dva mi dá co? S: Čtyři. U: Čtyři. Kolik je čtyřikrát 180 stupňů? strana 11

12 S: 720. U: A mělo to být 720, že? Kolik stupňů by mělo být u pětiúhelníka? (Pauza.) Vezměte si vzorec, počet stran je pět... odečtěte dva a násobte 180 stupni. S: 590? U: 540 stupňů. Všechny pětiúhelníky obsahují 540 stupňů. Úloha, která mohla být použita problémově, byla použita jako čistě procedurální. Studenti nemuseli vůbec přemýšlet, v podstatě ani dosadit do vzorce, protože stačilo odpovídat na otázky náročnosti prvního stupně základní školy. Učitel změnil úlohu na rutinní záležitost. Opět se nabízí otázka, jakou představu o matematice žáci získají. Odstrašujícím příkladem je autentická výpověď jednoho žáka 8. ročníku: V matematice si musíme pamatovat, v jiných předmětech můžeme taky přemýšlet. Problémové použití této úlohy si dokážeme představit. Znají-li děti součet úhlů v trojúhelníku, mohou pak rozdělit mnohoúhelníky pomocí úhlopříček na trojúhelníky a doplňovat následující tabulku: Mnohoúhelník počet stran počet trojúhelníků součet vnitřních úhlů čtyřúhelník = 360 pětiúhelník = 540 šestiúhelník 6 sedmiúhelník 7... n-úhelník n Je pravděpodobné, že k zobecnění se samostatně propracují jen některé děti. Nicméně i ti ostatní budou zřejmě schopni vyplnit konkrétní hodnoty tabulky a alespoň tak se podílet na celkovém řešení. Učitel může přistupovat k dětem individuálně v tom, že některým poradí např. jak si mají mnohoúhelník rozdělit na trojúhelníky, jiné upozorní na hledání souvislosti mezi číslem, kterým násobíme 180 stupňů, a počtem stran, jiné nechá zcela bez nápovědy. Podle toho, jak se mu děti jeví, ale zejména podle toho, jakou nápovědu děti vyžadují. Rozhodně mají dostat dostatek času na začátku, aby se pokusily najít strategii řešení samy. V následující ilustraci je popsáno, jak je možné formulovat podobný úkol (tentokrát o součtu vnějších úhlů v mnohoúhelníku) pro práci s počítačem. Ilustrace 2.5: Součet vnějších úhlů v mnohoúhelníku (Austrálie, 8. ročník) Žáci dostali pracovní list s následující úlohou: Vnější úhel mnohoúhelníka vznikne, když prodloužíme jednu z jeho stran. Vnější úhly leží mimo mnohoúhelník. V této úloze odhalíte vztah pro součet velikostí vnějších úhlů mnohoúhelníka počínaje pětiúhelníkem. Zkonstruuj: Krok 1: Zkonstruuj orientované polopřímky AB, BC, CD, DE a EA podle obrázku. strana 12

13 Krok2: Uspořádej body tak, aby pětiúhelník ABCDE byl konvexní. Krok 3: Na polopřímkách mimo pětiúhelník zkonstruuj body tak, že F leží na polopřímce AB, G na BC, H na CD, J na DE a K na EA. Krok 4: Změř vnější úhly KAB, FBC, GCD, HDE a JEA. Vypočítej součet velikostí těchto úhlů. Poznámka: Tímto způsobem vznikl jeden soubor vnějších úhlů. Kdybychom udělali polopřímky orientované na opačnou stranu, vznikl by další soubor. Zkoumej: Pohybuj vrcholy pětiúhelníka a zjišťuj, zda a jak se mění součet velikostí úhlů. (Pětiúhelník ale musí zůstat konvexní.) Je tento součet stejný pro všechny pětiúhelníky? Zkonstruuj vnější úhly a změř jejich velikosti pro trojúhelníky, čtyřúhelníky, šestiúhelníky a jiné mnohoúhelníky. Jaké součty vnějších úhlů dostaneš? Napiš svou hypotézu. Učitel nejprve se studenty probral pro ně neznámou terminologii a pomocí zpětného projektoru nastínil, jak byl zkonstruován onen pětiúhelník. Pak požádal studenty, aby si do sešitu zapsali svoji hypotézu, kolik asi bude onen součet pro pětiúhelník. Studenti pak utvořili dvojice a šli pracovat k počítači, kde již byl puštěn program Sketchpad, v němž byl nakreslen útvar z obrázku. Učitel do jejich práce prakticky nezasahoval, reagoval jen na konkrétní dotazy. Studenti se volně bavili mezi sebou (pokud lze soudit, tak skutečně o zadaném úkolu). Je dobré, že žáci dostali úkol přehledně zapsán na pracovním listu a rozepsán do jednotlivých kroků. Mají tak stále před sebou, co vlastně mají dělat, a mohou se soustředit na vyšší cíl, kterého mají dosáhnout, tj. zobecnění. Učitel se také hned na začátku ujistil, zda všichni rozumějí terminologii, a podnětným způsobem vyjasnil nejasné termíny (viz ilustrace 4.6). Konečně zamezil případným dotazům i tím, že podrobně na fólii ukázal, jak vznikl pětiúhelník a jeho vnější úhly. Teprve pak třída přešla k počítačům a začala vlastní práce. Učitel si uvědomuje, že mají-li žáci dospět k objevu, je nutné jim dát prostor k samostatnému experimentování, a tak jejich práci nijak neurychluje. Srovnejme tuto ilustraci s ilustrací 2.6. Ilustrace 2.6a: Odhalování obvodu kruhu (8. ročník, půlená třída) Učitel zopakoval s dětmi pojem obvod a formuloval problém: Jak určit obvod kruhu, resp. délku kružnice? Na tabuli je nakreslena kružnice. Po chvíli jeden z žáků navrhl opsat kružnici čtverec. Učitel ho vyzval k nakreslení na tabuli, poté sám shrnul, co vlastně žák udělal, a upozornil, že takové řešení je značně nepřesné. Formulovaný problém představuje dobrou výchozí situaci. Žáci se cítili aktivizováni a byli strana 13

14 schopni navrhnout začátek řešení. V jejich možnostech bylo však i to, aby formulovali poznatek, že takové řešení je ještě značně nepřesné. To už za ně udělal učitel. Ilustrace 2.6b: Odhalování obvodu kruhu (pokračování) Uvedeme fragment rozhovoru, který následoval po učitelově výzvě ke zpřesnění řešení. S: A můžeme udělat čtverec dovnitř? U: Ano, to by šlo. To by bylo výborný. Udělat to dovnitř. Vepsat.... U: Ale potom ten průměr je čím? Průměr je v tom čtverci čím? Průměr je ve čtverci... S: Úhlopříčkou. U: Úhlopříčkou. Průměr je ve čtverci úhlopříčkou a byla by s tím asi trochu starost, jak určit obsah takového čtverce.... U: A z toho byste dokázali spočítat stranu, ano. Ale jednoduše byste na tu stranu nepřišli. Tak obvod tohoto čtverce neurčíš. Jinak. S: Tak bych třeba použil osmiúhelník. U: Osmiúhelník. Zase neurčíš stranu. Ale kdy určíš stranu velice jednoduše? S: Trojúhelník. U: Trojúhelník, ne také ne. Stando? S: Šestiúhelník. Od této chvíle pokračuje učitel v práci v podstatě sám, vše píše i na tabuli. Postupně zpřesňuje řešení tím, že čtverci vepisuje 12, 24, 48 a 96úhelník. Žákům se zřejmě osmiúhelník jeví jako logické pokračování čtverce. Učitelovo chabě zdůvodněné a pro žáky zřejmě nepochopitelné odmítnutí osmiúhelníku a následně trojúhelníku (který je zase poměrně logickou reakcí na otázku kdy určíš stranu velice jednoduše? ) vede k tomu, že se již dále nesnaží. (Z hlediska učitele je ovšem jeho reakce logická, protože on se chce dostat k 96úhelníku.) Signál, který žáci dostali, tedy že jedině učitel ví, jaké je správné řešení (resp. jedině on ví kritéria správnosti), na ně zapůsobí demotivačně. Z matematického hlediska není hodině co vytknout. Jednotlivé části na sebe navazují, ovšem nemůžeme se ubránit dojmu, že pouze v mysli učitele. Učitel ve svém nadšení, s jakým chce ukázat dětem pěkné odvození vzorce pro obvod kruhu, dělá všechnu práci za ně. Uvedené ilustrace můžeme nahlížet jako ukázky toho, že úloha není vnitřně konstruktivistická, záleží na způsobu jejího podání. I standardní, procedurální úloha typu rovnice 4 x + 5 = 19, může být použita problémově. Učitel může položit otázky typu Co když rovnici napíšeme jako 19 = 4 x + 5, bude stejné řešení?, Můžeme dělit obě strany rovnice libovolným číslem?, nebo dokonce začít diskusi o ekvivalentních úpravách rovnic. Naopak podnětná úloha může být použita procedurálně, když učitel např.: dá dítěti řadu návodů, které ho vedou krůček po krůčku k výsledku; předčasně mu prozradí výsledek; upozorní ho na chybu, aniž by je nechal nejdříve chybu samostatně odhalit; vede dítě k použití strategie, o níž se domnívá, že je nejvhodnější (zpravidla ta, která je nejrychlejší a nejekonomičtější), aniž by je nechal rozvinout vlastní strategie, apod. Ilustrace 2.7: Odhalování vět o shodných trojúhelnících (Austrálie, 8. ročník, dívčí třída) Děti si zopakovaly, co to jsou shodné trojúhelníky, a dostaly následující úkol: Každý narýsuje jeden trojúhelník a pak bude diktovat ostatním ve skupině pokyny tak, aby i oni narýsovali stejný trojúhelník. Pro kontrolu vzniklý trojúhelník vystřihněte a přiložte na původní trojúhelník. Úkolem je přijít na to, jaký je minimální počet údajů (velikost stran a úhlů), které musíte strana 14

15 sdělit druhému, aby zreprodukoval váš trojúhelník. Učitelka vysvětlila, co budou dělat, a zdůraznila hlavní cíl. Prozradila, že hledají čtyři způsoby, jak vytvořit soubor instrukcí ke konstrukci shodného trojúhelníka. Žákyně pracují ve skupinách po dvou a po třech, v hodině je trochu ruch, ale zdá se, že všichni pracují na zadaném úkolu. Učitelka obchází třídu a odpovídá na dotazy, pak se ptá, co kdo dělal. Jednotlivé skupiny jí ukazují, jaké trojúhelníky sestrojily a jaké pokyny vypracovaly. Učitelka nekomentuje, zda to je správně nebo ne, spíše klade doplňující otázky a přeformulovává jejich pokyny tak, aby obsahovaly pojmy velikost stran a úhlů. Když učitelka vidí, že jsou dívky hotovy, sumarizuje to, co objevily. Při tom používá jejich řešení a jejich slova. Vzniká diskuse, z níž je patrné, že jsou studentky zvyklé takto pracovat doplňují učitelku, přerušují a navrhují svá řešení. Objevuje se též řešení využívající velikostí všech tří úhlů. Učitelka na to poukazuje a ptá se, zda to stačí. Otevírá se prostor pro diskusi o podobných trojúhelnících, který však učitelka nevyužívá. Celá hodina se dá charakterizovat vysokým pracovním nasazením dětí dělají (objevují) matematiku. Úloha, kterou učitelka zvolila, se nám jeví jako podnětná skutečně vedla k odhalení vět o shodných trojúhelnících. Rýsování bylo použito ve smysluplném kontextu. Narýsování trojúhelníku nebylo použito jen jako cíl sám o sobě, ale jako prostředek hledání řešení určitého problému. Úkol pro čtenáře: Vyhledávejte ve své výuce i při násleších příklady procedurálních úloh použitých problémově a naopak problémových úloh použitých procedurálně. Shrnutí V tomto odstavci jsme ukázaly, že nestačí si připravit podnětnou úlohu pro výuku, je také nutné ji podnětně použít. Domníváme se, že v případě ilustrací 2.1, 2.3, 2.4 a 2.6 zůstala příležitost k podnětné výuce nevyužita. V žádném případě netvrdíme, že se tak událo úmyslně, učitel je veden dobrými úmysly. Nechce nechat žáka tápat, chce ho vést úskalími matematické práce. Činí tak ovšem na úkor aktivity žáka (o tom více níže). Po zadání úlohy musí učitel činit řadu rozhodnutí. Podívejme se např. na některé ilustrace z části 1. U ilustrace 1.2 se učitelka rozhodla neprozradit žákům výsledek, ale vhodnou nápovědou jedné ze skupinek se jí podařilo žáky povzbudit. U ilustrace 1.4 má učitel také více možností. Buď nechá studentům zcela volné pole působnosti, nebo jim trochu napoví nebo jim přímo řekne, jaké kroky musí učinit. Závěrem uvedeme některé výsledky TIMSS Video Study z roku 1999, které úzce souvisejí s naší tezí. Tato studie vyhodnocovala náhodně vybrané hodiny matematiky v 8. ročníku v několika zemích, mezi nimiž byla i Česká republika. V každé zemi bylo natočeno na video asi 100 hodin výuky, které potom analyzovaly týmy sestavené z pedagogů, psychologů, matematiků a didaktiků přesně stanovenou procedurou (podrobněji viz Hiebert aj., 2003). Dívaly se např. i na to, jaké procento tvoří procedural tasks (procedurální úlohy úlohy, které se dají řešit použitím nějaké konkrétní předem známé procedury), making connections tasks (lze volně přeložit jako podnětné úlohy úlohy vedoucí na konstrukci vztahů mezi matematickými pojmy a postupy; většinou zahrnují matematické uvažování typu tvorba hypotéz, ověřování, zevšeobecňování) a stating concepts tasks (např. úlohy vyžadující příklad nějakého matematického pojmu nakresli rovnostranný trojúhelník ). Rozložení těchto typů úloh ve výuce v jednotlivých zemích je v grafu na obr strana 15

16 Obr. 2.1 Všimněme si, že procento procedurálních a podnětných úloh je např. v České republice a v USA podobné. Ovšem ČR dopadla v TIMSSu lépe, proto samo použití podnětných úloh ve výuce nemohlo tyto lepší výsledky vysvětlovat. Odborníci (Hiebert aj., 2003) se tedy soustředili ještě na to, jakým způsobem jsou úlohy ve výuce skutečně použity. Graf na obr. 2.2 ukazuje skutečné použití procedurálních úloh, graf na obr. 2.3 skutečné použití podnětných úloh. Obr. 2.2 strana 16

17 Obr. 2.3 Zde jsou již změny patrné. V USA nebyly téměř žádné úlohy skutečně problémově použity. Potěšitelné je, že v České republice byly i některé procedurální úlohy použity problémově (srovnej ale např. s Japonskem) a asi polovina podnětných úloh byla skutečně problémově použita. Závěrem dodejme, že problematika správného využití úlohy je velice komplexní a do značné míry i subjektivní. Dokládá i to následující výrok studentky učitelství matematiky. Hned na začátku musím konstatovat, že i když je mi teoreticky jasné, jaký je rozdíl v termínech procedurální úloha a problémová úloha, v praxi mi připadá těžké rozhodnout, jakého typu daná úloha je. Myslím si, že většina úloh se nachází někde na pomezí a záleží hlavně na učiteli, jak dokáže využít možnosti, které úloha nabízí, ve prospěch žáků. Teze 3. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost Učit se matematice vyžaduje konstrukci, ne pasivní přijetí, a znát matematiku vyžaduje konstrukční práci s matematickými objekty v matematické komunitě. (Davis, Maher, Noddings, 1990, s. 2) S touto tezí by jistě jen málokterý učitel nesouhlasil. V praxi však nebývá důsledně uplatňována, nebo bývá zaměňována za, řekněme, pseudočinnost, kdy žák pouze reaguje na dílčí otázky učitele, který má na mysli směřování k nějakému obecnějšímu cíli ten však žák nezná (srovnej s ilustracemi 2.4 a 2.6). Ilustrace 3.1: Kosinová věta Na čtyřletém gymnáziu učí studentka učitelství. Studenti opakují sinovou větu a je zavedena kosinová věta. Nemají učebnice, vše si píší. Jsou velmi klidní a dělají vše, co jim učitelka řekne. Výuka jde ve velmi rychlém tempu, každou otázku si učitelka zodpoví po nepatrné pauze sama. Kosinová věta je napsána na tabuli ve standardním tvaru jako fakt. Učitelka vyzve studenty, aby napsali tuto větu pro jinou stranu než a. Než mají čas zareagovat, napíše na tabuli zbylé dvě formulace. Ptá se, čeho se kosinová věta týká. Sama si okamžitě odpoví, že dvou stran a úhlu naproti nim. strana 17

18 Přicházejí procvičovací úlohy standardního charakteru. Učitelka postupně prochází řešení krok za krokem, dokonce upravuje výrazy na tabuli tak, aby studentům stačilo jen dosadit konkrétní čísla. Přichází zajímavější otázka. Učitelka se ptá, proč u jedné úlohy, kde byla použita sinová věta, vyšly dva výsledky a tam, kde používali kosinovou větu, taková situace nenastala. Než mají možnost se zamyslet, sama si odpovídá odkazem na vlastnosti sinu a kosinu. Za domácí úkol dostávají žáci trochu nestandardní úlohu. Učitelka však kreslí na tabuli obrázek a upozorňuje na to, že tam vznikne trojúhelník. Studentům stačí jen rozhodnout, zda použijí kosinovou nebo sinovou větu. Studentka ve snaze stihnout vše, co si na hodinu připravila, dělá vše za studenty. Ti nemuseli během hodiny ani minutu myslet. Stačilo dosazovat do vzorečku a odpovídat na dílčí otázky. Nemuseli ani jednou stanovit strategii řešení. Podmínky pro práci byly přitom mimořádně vhodné. Studenti byli klidní a reagovali na učitelku pozitivně. Nedávali najevo otrávenost, naopak se zdálo, že jsou připraveni se učit. Ilustrace 3.2: Výrazy (9. ročník, pozorování studenta učitelství) Žáci upravovali výrazy a jeden z nich se během hodiny zeptal, zda u úlohy (3u+v)/(u-v) může krátit (u+v). Paní učitelka odpověděla, že krátit může jen tehdy, když mezi u a v je operace násobení. Pomiňme teď fakt, že učitelka trochu pozměnila žákovu otázku ten se neptal na to, zda lze krátit jednou z proměnných u nebo v, ale na celý výraz u + v. Podívejme se na ukázku z hlediska zkoumané teze. Domníváme se, že učitelka zde nevyužila možnost iniciovat diskusi o matematickém problému, který nastolil jeden ze žáků (procedurální úloha mohla být užita problémově). Reagovala tak, že řekla pravidlo, které si žáci okamžitě zapsali (hodina sama byla plná pravidel, které žáci sborově odříkávali). Spíše bychom očekávali, že se s položenou otázkou obrátí na celou třídu. Žáci mohli např. vyzkoušet dosadit nějaké konkrétní hodnoty za u a v a pak zkusit vykrátit číslem u + v. Mohli být také požádáni, aby napsali takový lomený výraz, kde by se výrazem u + v již krátit dalo. Tato otázka by jistě byla pro žáky zajímavá (většinou nemají v hodinách matematiky nic vytvářet, spíše řeší to, co vytvořili jiní), aktivizovala by je a navíc by její řešení ukázalo, zda krácení výrazů správně rozumí. Ilustrace 3.3: Pythagorova věta I (8. ročník) Učitelka standardně zavedla Pythagorovu větu. Na tabuli je nakreslen pravoúhlý trojúhelník se standardně označenými stranami a, b, c. Děti řeší procvičovací úlohy individuálně, ve třídě je klid. Vždy jeden žák předvádí řešení u tabule. V učebnici je u učiva historická vsuvka o modelování pravoúhlého trojúhelníka o stranách 3, 4 a 5 pomocí provázku. Učitelka vyzývá děti, aby si otevřely učebnice a potichu si poznámku přečetly. Modelování pravoúhlého trojúhelníka pomocí provázku se nám jevilo jako vhodná činnost v jinak velmi standardní hodině. Na dotaz, proč nenechala žáky trojúhelník vymodelovat, učitelka odpověděla, že by byl v hodině ruch. K tomu není co dodat. Hlavním cílem vyučování matematice nemůže být, aby byl ve třídě klid. Pokud je ruch z dobrého důvodu žákova dělání matematiky, pak se s ním učitel musí smířit. Míra aktivity žáka při čtení byť z našeho pohledu zajímavého poznatku je sporná. Jeho motivační hodnota pro žáky taktéž. Ilustrace 3.4: Pythagorova věta II (Holandsko, 8. ročník) Učitelka chce zavést Pythagorovu větu. Upozorní žáky na obrázek z učebnice (obr. 3.1). Pak zapne zpětný projektor a ukazuje žákům na připravených fóliích, jak to s Pythagorovou větou je. Má vystřižených osm shodných pravoúhlých trojúhelníků a na dvou fóliích nakreslen obrys velkého čtverce. Trojúhelníky posunuje na fólii tak, aby vytvořila názornou ukázku platnosti Pythagorovy strana 18

19 věty (viz obr. 3.2). Výsledný obrázek popíše konkrétními čísly. Celý výklad trvá asi 6 minut. Děti sedí v lavicích a poslouchají. Obr. 3.2 Obr. 3.1 Ilustrace je ukázkou podnětného vyučování na půl cesty. Podívejme se na sebereflexi učitelky, kterou napsala po zhlédnutí videozáznamu své hodiny: Pythagorova věta je v knize vysvětlena pomocí dvou čtvercových desek stejné velikosti a osmi shodných pravoúhlých trojúhelníků. Místo toho, abych to nechala dětem číst, chtěla jsem jim to tentokrát ukázat. Fungovalo to velmi dobře. Studenti získali lepší porozumění tomu, jak to funguje, než v minulých letech. Vidíme, že učitelka si uvědomuje, že pouhé přečtení textu z učebnice a pasivní zhlédnutí obrázku nestačí ke správné představě o Pythagorově větě. Proto se tentokrát rozhodla, že vše předvede názorněji a dynamičtěji. Přestože je přesvědčena o tom, že žáci takto získali lepší porozumění věty, domníváme se, že tomu tak ve skutečnosti není. Na videozáznamu je vidět, že učitelčina ukázka Pythagorovy věty je poměrně rychlá a pro žáka, který ještě větu nezná, téměř neuchopitelná. Sebereflexe učitelky však dává naději, že v budoucnu si toto uvědomí a nechá děti situaci modelovat samotné. Pokud si předem připraví vystřižené útvary, nemusí celá činnost být časově náročnější. Práci se zpětným projektorem může využít pro konečné shrnutí pro všechny žáky. K rozvíjení matematického světa žáka významně přispívá pěstování různých jazyků matematiky, a to využíváním jak psaného textu, mluveného projevu a obrázků, tak i počítačů, kalkulaček a konečně i rozličných učebních pomůcek. Podívejme se např. znovu na ilustraci 3.3, v níž učitelka nechala děti, aby si pouze přečetly o modelování trojúhelníku o stranách 3, 4 a 5. Práce s provázkem, která by situaci vymodelovala v praxi, by byla jistě názornější a přispěla by k vytvoření správné představy spíše než pouhé přečtení. Stejnou roli by sehrálo i vymodelování situace popsané v ilustraci 3.4 přímo dětmi. Úkol pro čtenáře: Prostudujte pět přístupů k výuce Pythagorovy věty v knize Hejný, Kuřina (2001) a vyberte ten, který je nejbližší tomu, jak skutečně tuto látku učíte. Pak navrhněte postup, který by podle vašeho názoru byl pro výuku Pythagorovy věty ideální (kdybyste měli dostatek času i nadšené žáky). strana 19