CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 17 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B, h: y = C x. Čísla A, B, C jsou čísla přirozená. Grafy funkcí f, g a h zobrazuje obrázek. 1 Které z čísel A, B nebo C je největší? 1 bod Od kruhu o poloměru r cm bylo odříznuto mezikruží tak, že obsah kruhu se zmenšil o 36 %. O kolik % se zmenšil poloměr r? 1 bod 3 Kolik číslic 0 9 je možné dosadit na pozici jednotek označenou neznámou x tak, aby byl splněn níže uvedený vztah? 905x 18, VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Jsou dány body A [ 1; 1], B [3; 5], D [6; 4] v rovině. 4.1 Určete souřadnice bodu C tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. 4. Určete obecný tvar rovnice osy úsečky AB. Maturita z matematiky 0

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V aritmetické posloupnosti pro její členy platí: a 1 a 3 = 8 a + a 3 + a 4 = Jaký je součet prvních čtyř členů této posloupnosti? 5. Určete sedmý člen a 7 této posloupnosti. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Řešte pro přípustné hodnoty reálné proměnné x nerovnici: (5x 3) (x + 1) 3x x. 6 V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 A i x jsou přirozená čísla. Je dán výraz x A A. 7 Která z možností představuje volbu čísel A a x, pro kterou má výraz smysl? A) A = 8 x = 16 B) A = 7 x 6 C) A = 3 x {3, 4, 5, } D) A = 6 x = 3 E) žádná z výše uvedených možností není správná body body 8 Součet dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 39 menší než jejich součin. V kterém z intervalů leží hledaná dvojice čísel? A) 0; 1 B) 10; 16 C) 1; 19 D) 19; 3 E) 19; 9 Maturita z matematiky 0 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 V tabulce jsou uvedeny výsledky podpisové akce firmy Your-Market zajišťující shánění podpisů pod petici s jistým ekologickým tématem. Na jednotlivých pobočkách firmy Your-Market zástupci získávali během čtyřdenního monitorovacího období podpisy pod petici. Jedná se vždy o úhrn všech podpisů, které nasmlouvaní pracovníci firmy Your-Market daný den získali. (Níže uvedená tvrzení se vždy týkají jen uvedeného čtyřdenního období). Praha Brno Plzeň Liberec Ostrava Olomouc Hradec Králové 1. duben duben duben duben České Budějovice 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Maximální počet podpisů získali vždy Praze. 9. Ve všech pobočkách získali v průměru více jak 100 podpisů. 9.3 Nejvyšší rozdíl v počtu získaných podpisů mezi Prahou a Českými Budějovicemi nastal 1. dubna Průměrný rozdíl v počtu klientů mezi Ostravou a Olomoucí čítal 80 podpisů. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Chlapec vyrobil z modelíny dvě kuličky, jednu o poloměru délky 1 mm, druhou o poloměru délky 15 mm. Posléze kuličky spojil a vymodeloval kuličku jednu. Nakonec z této kuličky vymodeloval krychličku, aniž by jakékoliv množství modelíny přidal či odebral. max. 4 body 10 Přiřaďte každému z těles ( ), jeden z povrchů (A F). (Výsledné povrchy byly zaokrouhleny na celé mm.) 10.1 menší z původních kuliček 10. větší z původních kuliček 10.3 kulička vzniklá z původních kuliček 10.4 krychlička A) 576 mm B) 900 mm C) 1810 mm D) 87 mm E) 375 mm F) 461 mm KONEC TESTU 4 Maturita z matematiky 0

5 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B, h: y = C x. Čísla A, B, C jsou čísla přirozená. Grafy funkcí f, g a h zobrazuje obrázek. 1 Které z čísel A, B nebo C je největší? Graf funkce f prochází bodem [ 1; 1], dosadíme tedy x = 1 a y = 1 do jejího předpisu. 1 = 1 + A 0 = 1 + A 0 = 1 + A A = 1 Podobným způsobem u funkce g procházející bodem [; 1] určíme, že B =, a u funkce h, která prochází bodem [ 1; 5], zjistíme, že C = 5. Největším číslem je tedy C. Řešení: C 1 bod Od kruhu o poloměru r cm bylo odříznuto mezikruží tak, že obsah kruhu se zmenšil o 36 %. O kolik % se zmenšil poloměr r? Od kruhu o poloměru r 1 byl odříznut kruh o poloměru r tak, že πr = πr 1 0,36πr 1 πr = 0,64πr 1 Upravíme-li rovnici, zjistíme, že: r = 0,8 r 1 r = r 1 0, r 1 Původní poloměr byl tedy zmenšen o 0 %. Řešení: o 0 % Maturita z matematiky 0 5

6 1 bod 3 Kolik číslic 0 9 je možné dosadit na pozici jednotek označenou neznámou x tak, aby byl splněn níže uvedený vztah? 905x 18, Je třeba mít všechna racionální čísla vyjádřena zlomkem se stejným jmenovatelem, aby šla porovnávat. 18,8 = = = 83 = = = x x {3; 4} Za neznámou x lze dosadit pouze číslice 3 a 4. Tedy pouze dvě přichází v úvahu. Řešení: dvě VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Jsou dány body A [ 1; 1], B [3; 5], D [6; 4] v rovině. 4.1 Určete souřadnice bodu C tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. Bod C vznikne posunutím bodu B ve směru vektoru AD. C = B + AD = [3; 5] + (6 + 1; 4 + 1) = [10; 0] Řešení: C [10; 0] 4. Určete obecný tvar rovnice osy úsečky AB. Určíme souřadnice středu S úsečky AB, kterým bude osa procházet. S = [ ; 1 5 ] = [1; 3] Dále určíme směrový vektor úsečky s = AB. Je nutné si uvědomit, že je osa úsečky AB na úsečku AB kolmá, proto je normálový vektor osy úsečky AB, který potřebujeme k určení její obecné rovnice, rovnoběžný se směrovým vektorem s úsečky AB. AB = (3 + 1; 5 + 1) = (4; 4) Určíme vektor n, který je normálovým vektorem osy úsečky AB. s = (4; 4) = 4 (1; 1) n = (1; 1) Sestavíme obecnou rovnici osy úsečky AB. x y + c = 0 Dosadíme do ní střed S [1, 3] úsečky AB, abychom určili hodnotu koeficientu c ( 3) + c = 0 c = 4 Obecná rovnice osy o úsečky AB má tvar o: x y 4 = 0 Řešení: x y 4 = 0 6 Maturita z matematiky 0

7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V aritmetické posloupnosti pro její členy platí: a 1 a 3 = 8 a + a 3 + a 4 = Jaký je součet prvních čtyř členů této posloupnosti? Pokud sečteme obě rovnice soustavy, zjistíme odpověď okamžitě: a 1 a 3 + a + a 3 + a 4 = 8 a 1 + a + a 3 + a 4 = 8 s 4 = 8 Součet s 4 prvních čtyř členů této posloupnosti je 8. Řešení: s 4 = 8 5. Určete sedmý člen a 7 této posloupnosti. Vyjádříme všechny členy soustavy pomocí členu a 7 a diference d. a 7 6d (a 7 4d) = 8 a 7 5d + (a 7 4d) + a 7 3d = 0 A soustavu vyřešíme pro neznámé a 7 a d. d = 4 a 7 = 16 Sedmý člen a 7 této posloupnosti je roven 16. Řešení: a 7 = 16 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Řešte pro přípustné hodnoty reálné proměnné x nerovnici: (5x 3) (x + 1) 3x x. 6 V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Nerovnici upravuje pro x R {0; 1 3 }. Výraz na levé straně nerovnice upravíme na součin: (5x + 3) (x + 1) 3x x 5x 30x + 9 x x 1 x(3x 1) 4x 3x + 8 x(3x 1) 8(3x 3x x + 1) x(3x 1) 8(3x 1)(x 1) x(3x 1) x 1 x Maturita z matematiky 0 7

8 x (, 0) x (0; 1 3 ) x ( 1 3, 1 x 1, + ) x 1 + x x 1 x + + Řešením jsou x ( ; 0) 1; ). Řešení: x ( ; 0) 1; ) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 A i x jsou přirozená čísla. Je dán výraz x A A. 7 Která z možností představuje volbu čísel A a x, pro kterou má výraz smysl? A) A = 8 x = 16 B) A = 7 x 6 C) A = 3 x {3, 4, 5, } D) A = 6 x = 3 E) žádná z výše uvedených možností není správná body Určíme si podmínky výrazu: x A 1 x A 7 A A 7 Je jasné, že A nemůže být rovno 8. Možnost A není správná. Je-li A = 7, musí být x alespoň 7, tedy ani možnost B není správná. Možnost D nesplňuje podmínku první, že x A, tedy ani tuto možnost nelze zvolit. Je-li A = 3 a x N, potom má výraz podobu: x = x Takový výraz má smysl pro přirozená čísla větší než 3, tj. x {3, 4, 5, }. Možnost C je správná, a vylučuje tak výběr možnosti E. Řešení: C body 8 Součet dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 39 menší než jejich součin. V kterém z intervalů leží hledaná dvojice čísel? A) 0; 1 B) 10; 16 C) 1; 19 D) 19; 3 E) 19; 9 8 Maturita z matematiky 0

9 Označíme dvě po sobě jdoucí přirozená čísla jako n a n + 1 Dle zadání sestavíme rovnici: n + n = n(n + 1) n + 40 = n + n n n 40 = 0 (n 16)(n + 15) = 0 Protože n je přirozené číslo, je řešením rovnice n = 16. Jedná se tedy o čísla 16 a 17, která leží právě jen v intervalu 1;19. Správně je možnost C. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 V tabulce jsou uvedeny výsledky podpisové akce firmy Your-Market zajišťující shánění podpisů pod petici s jistým ekologickým tématem. Na jednotlivých pobočkách firmy Your-Market zástupci získávali během čtyřdenního monitorovacího období podpisy pod petici. Jedná se vždy o úhrn všech podpisů, které nasmlouvaní pracovníci firmy Your-Market daný den získali. (Níže uvedená tvrzení se vždy týkají jen uvedeného čtyřdenního období). Praha Brno Plzeň Liberec Ostrava Olomouc Hradec Králové 1. duben duben duben duben České Budějovice 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Maximální počet podpisů získali vždy Praze. 9. Ve všech pobočkách získali v průměru více jak 100 podpisů. 9.3 Nejvyšší rozdíl v počtu získaných podpisů mezi Prahou a Českými Budějovicemi nastal 1. dubna Průměrný rozdíl v počtu klientů mezi Ostravou a Olomoucí čítal 80 podpisů. ANO NE 9.1 Z prvního sloupce je odpověď viditelná, v Praze byli nejúspěšnější každý den i za všechny 4 dny dohromady. Tvrzení je pravdivé. 9. Níže uvedená tabulka sice uvádí průměrné podpisy, ale výpočet průměrů lze i odvodit, ve všech pobočkách (v každém sloupci) je pozitivní odchylka od průměru vyšší než negativní, třeba v Liberci je to 135 nad (poslední dva dny) a 5 pod průměrem (první dva dny). Protože 135 > 5 je určitě průměr více jak 100 podpisů. Podobným argumentem je, že na všech pobočkách získali více jak 400 podpisů za uvedené období, čili průměr musí být vyšší než 100. Maturita z matematiky 0 9

10 Praha Brno Plzeň Liberec Ostrava Olomouc Hradec Králové 1. duben duben duben duben České Budějovice průměr 446,75 7,5 115,5 17,5 109, ,5 118,5 Tvrzení je pravdivé dubna 014 byl rozdíl vyšší, a to 398 podpisů, zatímco 1. dubna 014 to bylo pouhých 397. Tvrzení je nepravdivé. 9.4 Rozdíly v počtu podpisů, u nichž budeme ignorovat, zda jsou ve prospěch Olomouce nebo Ostravy, činí 4, 90, 101 a 75 podpisů, tj. celkem 308 podpisů, v průměru tedy 77 podpisů. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Chlapec vyrobil z modelíny dvě kuličky, jednu o poloměru délky 1 mm, druhou o poloměru délky 15 mm. Posléze kuličky spojil a vymodeloval kuličku jednu. Nakonec z této kuličky vymodeloval krychličku, aniž by jakékoliv množství modelíny přidal či odebral. max. 4 body 10 Přiřaďte každému z těles ( ), jeden z povrchů (A F). (Výsledné povrchy byly zaokrouhleny na celé mm.) 10.1 menší z původních kuliček 10. větší z původních kuliček 10.3 kulička vzniklá z původních kuliček 10.4 krychlička A) 576 mm B) 900 mm C) 1810 mm D) 87 mm E) 375 mm F) 461 mm 10.1 Vypočteme povrch P 1 menší z obou kuliček. P 1 = 4π(1) = 1810 Povrch menší z kuliček byl 1810 mm. Řešení: C 10 Maturita z matematiky 0

11 10. Vypočteme povrch P větší z obou kuliček. P = 4π(15) = 87 Povrch větší z kuliček byl 87 mm. Řešení: D 10.3 Abychom zjistili povrch vymodelované kuličky, která vznikla spojením předchozích, musíme určit její poloměr. Ten vyjádříme z objemu, který je na základě aditivity objemů roven součtu objemů dílčích kuliček. V = 4 3 π(r r 3 ) Určíme poloměr. r = 3 r r 3 A dosadíme jej do vzorce pro povrch. Dosadíme konstanty a určíme velikost povrchu. P = 4π( 3 r r 3 ) P = 4π( ) = 375 Povrch nové kuličky byl 375 mm. Řešení: E 10.4 Tentokrát víme, že objemy koule a krychle jsou stejné, potřebujeme tedy vyjádřit hranu krychle. Porovnáme oba objemy, krychle V a kuličky V. V = 4 3 π(r r 3 ) V = a 3 Vyjádříme hranu a. 4 3 π(r r 3 ) = a π(r r 3 ) = a Dosadíme do vzorce pro povrch P krychle. P = 6a = 6 ( π(r r 3 )) P = 6 ( π( )) = 461 Povrch krychličky byl 461 mm. Řešení: F KONEC TESTU Maturita z matematiky 0 11

12 1 Maturita z matematiky 0

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 0 17 výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 C o 0 % 1 bod 3 dvě 1 bod C [10; 0] 1 bod 4. x y 4 = 0 1 bod 5.1 s 4 = 8 1 bod 5. a 7 = 16 1 bod (5x + 3) (x + 1) 3x x 5x 30x + 9 x x 1 x(3x 1) 4x 3x + 8 x(3x 1) 8(3x 3x x + 1) x(3x 1) 8(3x 1)(x 1) x(3x 1) x 1 x x (, 0) x (0; 1 3 ) x ( 1 3, 1 x 1, + ) x 1 + x x 1 x + + Řešením jsou x ( ; 0) 1; ). Maturita z matematiky 0 13

14 7 C body 8 C body ANO 9. ANO 9.3 NE 9.4 NE 4 podúlohy b. 3 podúlohy 1 b. podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b C 10. D 10.3 E 10.4 F max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. podúlohy b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 14 Maturita z matematiky 0

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 0 17 výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 3 1 bod bod 4. 1 bod bod 5. 1 bod 6 Maturita z matematiky 0 15

16 7 body 8 body podúlohy b. 3 podúlohy 1 b. podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. podúlohy b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 0