Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Transkript

1 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje F(z), vje x. Řešení:Ne. b) tje F(z), vje y. Řešení:Ano. c) tje F(x), vje x. Řešení:Ano. d) tje F(c), vje y. Řešení:Ano. 2. Buď ϕ formule ( x)(( z)(z < x&y= z) z x) a dále x, y, z různé proměnné, G binární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje G(c, x), vje y Řešení:Ne. b) tje G(c, y), vje y Řešení:Ano. c) tje G(c, c), vje z Řešení:Ano. d) tje G(z, x), vje z Řešení:Ne. UF.1.2. Instance. Varianty. 1.Nechť ynenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo ϕ, ϕ je ϕ(x/y).zjistěte, zda ϕ (y/x)je ϕ.zdůvodněteodpověď. Řešení:Obapředpokladydohromadyzaručují,ževolnývýskyt yve ϕ je právětam,kdejevolnývýskyt xvϕ.tedy xjesubstituovatelnéza ydo ϕ atakérovnostobouuvažovanýchformulíplatí. 2. Buďte x, y, z, u různé proměnné, Q kvantifikátor. Odpovězte a zdůvodněte, zda v následujících případech platí: ψjevarianta ϕ. a) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qz)(z < y ( z)(z= y& z z)) Řešení:Ne. znenísubstituovatelnéza xdo x < y ( z)(z= y& z x). b) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qy)(y < y ( z)(z= y& z y)) Řešení:Ne. yjevolnáve ϕ. c) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qu)(u < y ( z)(z= y& z u)) Řešení:Ano. unenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo x < y ( z)(z= y& z x). 3. Buď P unární predikátový symbol, ϕ formule( y)(y= x)&p(x), ϕ formule( y)(y= y)&p(y). a) Je( x)ϕ varianta( x)ϕ? Řešení: Ne. b) Je xsubstituovatelnédo ϕ za y? Řešení: Ano. c) Je ϕrovno ϕ (y/x)? Řešení:Ne. ϕ (y/x)je( y)(y= y)&p(x). d) Je ϕ ϕ (y/x)? Řešení:Ano.Je ( y)(y= x) ( y)(y= y),protožeoběformule zekvivalencejsoudokazatelné.odtud ( y)(y= x)&p(x) ( y)(y= y)&p(x).

2 2 Pojem modelu a splňování. Axiomatizovatelnost. UF.1.3. Platnost formule v modelu. 1.Buď ϕformule P(x) ( x)p(x),kde P jeunárnírelačnísymbol.vprávě kterýchstrukturách A, P A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A. 2.Buď ϕformule x=c,kde cjekonstantnísymbol.vprávěkterýchstrukturách A, c A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž A 2. 3.Buď ϕformule P(x) ( x)r(x),kde P, Rjsourůznéunárnípredikátové symboly.vprávěkterýchstrukturách A= A, P A, R A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A R A. Zřejmě totiž: A = ϕ P A ar A A, A = ϕ P A Anebo R A = A. UF.1.4. Korektnost substituce. Buď ϕformule( y)(x y)srůznýmiproměnnými x, y.buď ϕ výsledek nekorektnísubstituce ydo ϕzavolnývýskyt x.buď Astruktura.Uvažujmetvrzení: Prokaždé e:var Aje A = ϕ [e] A = ϕ[e(x/y[e])]. a)uveďte,zda( )platípro A= N,+,kde+jesčítánípřirozenýchčísel. Řešení: Ne. b)uveďte,zda( )platípro A= {0}, R,kde R={ 0,0 }. Řešení: Ano. c)právěprokterémodely A= A (teoriečistérovnosti)platí( )? Řešení: Právě pro A s A jednoprvkovým. UF.1.5. Axiomatizovatelnost. 1.BuďK={ A ;velikost Ajesudánebonekonečná}třídamodelůjazyka L čisté rovnosti. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení: T= { existujeprávě2k+1prvků ; k N}axiomatizujeK. 2.Nechť T jeteorievjazyce Lsrovnostítaková,že T mámodelakaždýjejí modeljenekonečný.buď0 < n N.Najděte L-teorii T tak,abym (T )=M (T) a T mělanějakékonečnémodely,atovšechny: a) právě n-prvkové, b) právě n-prvkové nebo 2n-prvkové. Řešení:Buď T = {ϕ ψ; ϕ T }svhodným ψ. 3.Buď0<n N.Najděteteorii T vnějakémjazycesrovností,kterámá nekonečné modely, nemá spočetný model, má konečné modely, všechny kardinality nejvýše n. Řešení:Buď L= c i ; i R skonstantnímisymboly c i a T 0 buď L-teorie {c i c j ; i, j R, i j};hledaná Tje L-teorie {ϕ existujenejvýše nprvků ; ϕ T 0 }. ( ) 4.Buď L= U srovností,přičemž Ujeunárnírelačnísymbol,0 < n Na K={ A, U A ; U A jenekonečnánebonejvýše n-prvková} je třída L-struktur. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení:Nechť T0 jeteorie L-teorie {( x 0,..., x m 1 )( i<j<m x i x j & i<m U(x i));0 < m N}. Pro L-strukturu Aplatí: A = T 0 U A ω.buď χsentence existuje nejvýše nprvků xsu(x).pak T= {ϕ χ; ϕ T 0 },axiomatizujek.

3 3 Izomorfní spektra. UF.1.6. Izomorfní spektra v jazyce U, c. Buď L= U, c,kde Ujeunárnírelačníackonstantnísymbol. 1. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {U(c)}. Řešení:I(κ, T)= Cn κ.modely κ, U, c, κ, U, c teorie T jsou izomorfní,právěkdyž U, κ U = U, κ U,přičemž U 1. Všechrůznýchdvojic U, κ U s U 1, U κjeprávě Cn κ. Pro κ < ωjetotiž Cn κ =κ.pro κ ωjebuď U jakékolikardinality < κ,nebo U =κapakmůžebýt κ U jakékolikardinality κ; takovýchmožnostíje Cn κ + Cn κ = Cn κ. 2. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {(!x)u(x)}. Řešení:I(κ, T)=1pro κ=1a2pro κ >1. UF.1.7. Izomorfní spektrum jazyka spočetně konstant. Buď L= c i i<ω,kde c i jsoukonstantnísymboly. 1.Pro L-strukturu Adefinujemeekvivalenci E A na ω: i E A j c A i = c A j. Buďte A, B dvě L-struktury téže velikosti. a) Platí: A = B E A = E B a A {c A i ; i < ω} = B {cb i ; i < ω}. (1) Speciálně je nejvýše kontinuum neizomorfních L-struktur dané kardinality. b) Jsou-li A, B konečné nebo nespočetné, platí: A = B E A = E B. (2) c)najdětespočetné A, B,prokteré(2)neplatí. 2.Pro κ 2jeI(κ, L)=2 ω. Návod: Užijte toho, že na ω je kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, když2 λ ω. Řešení:Buď Eekvivalencena ω, λ(e)počettříd E.Pro κ λ(e)definujme L-strukturu κ E = κ, c E i i<ωtak,abyplatilo: c E i = c E j i E j. Pak: Jsou-li E, E ekvivalencena ωtak κ E = κ E E= E. Tedy: jelikož je na ω kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, jakmile 2 λ ω, existuje alespoň kontinuum neizomorfních L-struktur kardinality κ( 2)adle(1)jichnenívíce. UF.1.8. TeorieDiLOdiskrétníholineárníhouspořádánímáprokaždé κ ωprávě2 κ neizomorfních modelů kardinality κ. Návod:Užijtetoho,žeprokaždé κ ωjeprávě2 κ neizomorfníchlineárních uspořádání s univerzem kardinality κ. Řešení:Proostrélineárníuspořádání A= A, < A buď A(Z)= A Z, < Le lexikografickéuspořádání.jediskrétníakardinalitymax( A, ω). Nechť B= B, < B jelineárníuspořádání.pakplatí A(Z) = B(Z) A = B.Buďtotiž hisomorfizmus A(Z)aB(Z);definujme H: A Btakto: H(a)=b a existuje j a Zsh( a,0 )= b a, j a. Paktojejasnězobrazenína Ba a < A a h( a,0 ) < B(Z) h( a,0 )amezi h( a,0 ), h( a,0 )je nekonečně prvků b a < B b a H(a) < B H(b). Jelikožna κ ωje2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A,máme2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A(Z)na κ Z,tedy2 κ neizomorfních diskrétních lineárních uspořádání, majících každé velikost univerza κ.

4 4 Základy dedukce. UF.1.9. Syntaktický důkaz bezespornosti teorie rovnosti v L. Nechť T je teorie rovnosti v L, tj. L-teorie s rovností bez mimologických axiomů. Buď dnovýkonstantnísymbol.pro L-formuli ϕbuď ϕ formule,kterásezískázϕ odstraněním všech kvantifikací a nahrazením každého termu konstantním symbolem d.pak ϕ jevýroknadprvovýroky d=d, R(d,..., d),kde RjerelačnísymbolzL. a)je-li ϕlogickýaxiomneboaxiomrovnosti,kroměaxiomu x=x,je ϕ tautologie. Řešení: Pro logický axiom ϕ, který není axiomem rovnosti, to je jasné. Axiomyrovnosti ϕkromě x=xpřejdouna ϕ tvaru d=d d=d (R(d,..., d) R(d,..., d)) nebo d=d d=d d=d apakovšem v(ϕ )=1. b) T ϕ v(ϕ )=1,jakmile vjeohodnoceníuvedenýchprvovýrokůtakové, žeplatí v(d=d)=1.speciálněje Tbezesporná. Návod: Užijte indukci na teorémech T. Řešení:Indukcínateorémech T.Proaxiom ϕtoplatí,neboť(x=x) je d=d.buď v(d=d)=1.nechťpro ψ, ψ ϕtoplatí.pak1= v((ψ ϕ) )=v(ψ ϕ )av(ψ )=1,tedy v(ϕ )=1.Platí-litopro ϕ,tak v((( x)ϕ) )=v(ϕ )=1. UF Dokazatelné, vyvratitelné, nezávislé a bezesporné formule. 1. Buďte P, R různé unární predikátové symboly. Zdůvodněte, zda formule ϕ je dokazatelná, vyvratitelná či nezávislá v logice, kde ϕ je a) P(x) b) P(x) R(x) c)( x, y)(p(x) (R(x) P(x))) d)( x)p(x) Řešení:a)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ.b)nezávislá. 2,,2 = ϕ, 2,2, = ϕ.c)dokazatelná,neboť P(x) (R(x) P(x))jetautologie.d)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ. 2. Najděte nějaké nezávislé sentence teorie čisté rovnosti, teorie lineárního uspořádání, teorie grup, teorie těles. 3. Nechť T ( x)ϕ(x). Co lze říci o dokazatelnosti, vyvratitelnosti, nezávislosti, konzistenci ϕ, ϕ vzhledem k T? UF Vlastnosti kvantifikátorů. 1. ( x)(ϕ ψ) ((Qx)ϕ (Qx)ψ),kde Qznačíkvantifikátor. Návod: Užijte větu o konstantách. Řešení: Buďte T logické axiomy v jazyce rozšířeném o nové konstantní symboly c i ; ϕ(x, x 1 /c 1, ) resp. ψ(x, x 1 /c 1, ) označme ϕ (x) resp. ψ (x)(konstantysubstituujemezavšechnyvolnéproměnné,kromě x). Pak T,( x)(ϕ ψ ) ϕ ψ,dlepravidladistribucekvantifikátoru i T,( x)(ϕ ψ ) (Qx)ϕ (Qx)ψ azbytekdávětaodedukcia konstantách. 2. a) ( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení:Je ( x)ϕ ϕ, ϕ(x) ( x)ϕ;odtudpomocípravidlatranzitivity implikace plyne dokazované. b) ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x) ϕ ( x)ϕ. Řešení:Prváekvivalence.Implikace : ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ( x)ϕ ( x)ϕ. Implikace : ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ϕ ( x)ϕ.užitímdemorganovýchvztahůplyne druhá ekvivalence.

5 5 3. a) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává axiom substituce. ii) ( x)ϕ ( x)( x)ϕ plyne z ( x)ϕ ( x)ϕ pravidlem -zavedení. Z i), ii) plyne ihned dokazované. b) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i)( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává pravidlo -zavedení. ii)( x)ϕ ( x)( x)ϕplynezplatnéhovztahu ψ ( x)ψ.zi),ii) plyne ihned dokazované. UF Vytýkání kvantifikátorů- protipříklady. 1. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A R A A.Pak A =( x)(p(x) R(x)), A =(P(x) ( x)r(x))[a]. Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)). 2. (ϕ ( x)ψ) ( x)(ϕ ψ). a A P A, P A R A.Pak A =(P(x) ( x)r(x))[a], A =( x)(p(x) R(x)). Tedy A =(P(x) ( x)r(x)) ( x)(p(x) R(x)). 3. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A A, R A =.Pak A =( x)(p(x) R(x)) (protožeexistuje b A P A ), A =(P(x) ( x)r(x))[a] (protožeje a P A ). Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)).