Predikátová logika [Predicate logic]
|
|
- Renata Moravcová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza. Příklad: Následovník každého lichého přirozeného čísla je sudé číslo. Číslo 7 je liché. Číslo 8 je sudé. Predikátové logiky vyšších řádů formalizují vztahy mezi vlastnostmi a vztahy, vztahy mezi vztahy vlastnostmi vztahů a vlastností. Výrokovou logiku lze považovat za predikátovou logiku nultého řádu. Formalizuje pouze výroky o entitách. S výrokovou logikou vědecké disciplíny nevystačí. S predikátovou logikou prvého řádu se zpravidla vystačí v matematice i informatice. Logické symboly: Jazyk predikátové logiky obsahuje tuto abecedu: 1. Konečnou nebo nekonečnou spočetnou množinu proměnných (značíme x, y, z, u, v, x 1, x 2,... ). 2. Logické spojky,,,, ( ). 3. Univerzální kvantifikátor (čti pro všechna ). 4. Existenční kvantifikátor (čti existuje). Speciální symboly: 1. Neprázdnou množinu predikátových symbolů P. Různé arity. Vyjadřují vlastnosti a vztahy. 2. Množinu funkčních symbolů F. - Různé arity. Konečnou nebo spočetnou. 3. Množinu konstantních symbolů K. Konečnou nebo spočetnou. Ty lze považovat za funkce arity 0 (nemají žádné proměnné a tedy mají vždy stejnou hodnotu). Značíme a, b, c, a 1, a 2,.... Pomocné symboly: závorky (, ), čárku,. Poznámka: Univerzální kvantifikátor lze chápat jako zobecnění konjunkce, Existenční kvantifikátor jako zobecnění disjunkce, na množiny, které mohou být i nekonečné. 1
2 Gramatika predikátové logiky udává jak vytvářet formule Term (rekurzivní definice) 1. Každý symbol proměnné je term. 2. Každá konstanta je term. 3. Jsou-li t 1,, t m termy a f je funkční symbol arity m, potom je i f(t 1,, t m ) term. 4. Nic jiného než to, co vznikne aplikací pravidel 1., 2. a 3. již term není. Atomická formule Je predikátový symbol aplikovaný na m termů, kde m je arita predikátového symbolu. p(t 1,, t m ). Formule (rekurzivní definice) 1. Každá atomická formule je formule. 2. Jsou-li ϕ a ψ formule, pak také ( ϕ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) jsou formule. 3. Je-li ϕ formule a x proměnné, potom i ( x ϕ) a ( x ϕ) jsou formule. 4. Nic jiného než to, co vznikne aplikací pravidel 1., 2. a 3. již formule není. Závorky lze vynechat, pokud jsou zbytečné vzhledem k obvyklým preferenčním pravidlům pro logické spojky. Vnější závorky se též vynechávají. Výskyt proměnné x ve formuli A je vázaný, jestliže je součástí nějaké podformule x B(x) nebo x B(x) formule A. Proměnná x je vázaná ve formuli A, má-li v A vázaný výskyt. Výskyt proměnné x ve formuli A, který není vázaný, nazýváme volný. Proměnná x je volná ve formuli A, má-li v A volný výskyt. Formule, v níž každá proměnná má buď všechny výskyty volné nebo všechny výskyty vázané, se nazývá formulí s čistými proměnnými. Formule se nazývá uzavřenou, neobsahuje-li žádnou volnou proměnnou. Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou proměnnou se nazývá otevřenou. Uzavřená formule se nazývá větou [sentence]. 2
3 Příklady zápisu výroků v predikátové logice: Univerzum je množina všech lidí. Nikdo, kdo není zapracován (P), nepracuje samostatně (S). x ( P(x) S(x)). Ne každý talentovaný (T) spisovatel (Sp) je slavný člověk (Sl). x ((T(x) Sp(x)) Sl(x)). Někdo je spokojen (Sn) a někdo není spokojen. x Sn(x) x Sn(x). Někteří chytří lidé (Ch) jsou líní (L). x (Ch(x) L(x)). Interpretace Pro to, abychom rozhodli zda je daná formule pravdivá či ne (má hodnotu TRUE či FALSE), je třeba mít vymezeno univerzum a vědět co znamenají všechny v ní užité predikáty, funkční symboly a konstanty. Takovému přiřazení říkáme interpretace. Formálně je interpretace dvojice (U, I), kde U je neprázdná množina zvaná univerzum, I je zobrazení které: Každé konstantě přiřazuje prvek univerza. Každému n-árnímu funkčnímu symbolu přiřazuje funkci n proměnných na univerzu s hodnotami z univerza. Každému n-árnímu predikátu přiřazuje n-ární relaci na univerzu, tvořenou všemi n-ticemi prvků univerza, pro které je daný predikát pravdivý. Pravdivost formule predikátového počtu lze vyhodnotit pouze na základě dané interpretace a daného ohodnocení (valuace) všech volných proměnných. Přitom: Pro stanovení pravdivostních hodnot složených formulí platí stejná pravidla jako u výrokové logiky. Výrok x ϕ(x) je pravdivý právě když I(ϕ) je celé univerzum U (výrok platí pro všechny prvky univerza). Výrok x ϕ(x) je pravdivý právě když I(ϕ) je neprázdná podmnožina univerza (výrok platí aspoň pro jeden prvek univerza). Formule A je splnitelná v interpretaci I, jestliže existuje aspoň jedno ohodnocení e volných proměnných takové, že vznikne pravdivý výrok. Formule A je pravdivá v interpretaci I, jestliže pro všechna možná ohodnocení e volných proměnných vznikne pravdivý výrok. Formule A je splnitelná, jestliže existuje interpretace I, ve které je splnitelná, tj. jestliže existuje interpretace I a ohodnocení volných proměnných e takové, že vznikne pravdivý výrok. Taková dvojice (I, e) interpretace I a valuace e se nazývá model formule. Formule A je tautologií je-li pravdivá v každé interpretaci. Formule A je kontradikcí, jestliže nemá model, tedy neexistuje interpretace I, v která by formule A byla splnitelná. 3
4 Pozn.: Zjevně platí, že A je kontradikce, právě když negace A je tautologie. Model množiny formulí {A 1,, A n } je taková interpretace I v kterém jsou všechny formule splnitelné, tedy interpretace I a ohodnocení e volných v kterém jsou všechny formule volných proměnných), která splňuje všechny formule A 1,, A n pravdivé. Sémantická a logická dedukce v predikátovém počtu Oba typy dedukce se definují obdobně jako ve výrokové logice. Uzavřená formule (věta) ϕ je sémantickým důsledkem (též tautologickým důsledkem značíme ) množiny uzavřených formulí S právě tehdy, když každý model S je také modelem ϕ. To však je obtížné ověřit. Pro logickou dedukci ( ) přebereme I-pravidla a E-pravidla výrokové logiky a přidáme k nim přirozená pravidla pro kvantifikované výroky. Jde především o pravidla ϕ(t) x ϕ(x) x ϕ(x) x ϕ(x) Tabulka pravidel logické dedukce v predikátové logice: Logická spojka Pravidlo pro zavedení Pravidlo pro vyloučení {ϕ ψ, ψ} ϕ princip nepřímého důkazu ϕ ϕ T; ϕ ϕ princip vyloučení třetího a princip dvojí negace {ϕ, ψ} {ϕ ψ, ψ ϕ} ϕ ψ {ϕ, ψ} definice konjunkce ϕ {ϕ ψ, ψ ϕ} definice disjunkce definice konjunkce {ϕ ψ, ϕ α α, ψ α} α princip důkazu rozborem případů {ϕ ψ} ϕ ψ definice implikace {ϕ, ϕ ψ} ψ pravidlo modus ponens Kvalifikátor Pravidlo pro zavedení Pravidlo pro vyloučení ϕ(x) x ϕ(x) x ϕ(x) ϕ(x) ϕ(a) x ϕ(x) { x ϕ(x), ϕ(y) ψ} ψ I zde (stejně jako u výrokové logiky) platí, že postačí jediné pravidlo, modus ponens. Užívání všech pravidel je však přirozenější a vede k závěru snáze. 4
5 Pro predikátovou logiku platí rovněž věta o úplnosti. Přirozená dedukce je bezrozporná (vše co se dá logicky odvodit je i sémantickým důsledkem). Přirozená dedukce je úplná. Vše co je sémantickým důsledkem lze odvodit i logicky. Tedy S α tehdy a jen tehdy když S α. Důkaz tohoto tvrzení však není snadný. Platí následující důležitá tvrzení: Větu lze odvodit bez předpokladů, právě když je tautologií. Množina vět je bezrozporná, právě když je splnitelná (tedy má nějaký model). Množina vět je rozporná, právě když z ní vyplývá kontradikce. Mezi výrokovým a predikátovým počtem je následující podstatný rozdíl: Každý jazyk predikátové logiky má nekonečně mnoho možných interpretací (už jenom universum lze stanovit nekonečně mnoha způsoby). Tím se liší od jazyka výrokové logiky, který má vždy jen konečný počet interpretací ohodnocení TRUE FALSE výrokových proměnných (jazyk výrokové logiky pracující s n výrokovými symboly má různých 2 n interpretací, je tedy možné, i když časově náročné, ověřit pravdivost všech interpretací ). Tautologičnost formulí predikátové logiky nelze proto sémanticky dokazovat tak, že ukážeme, že každá možná interpretace jazyka je i modelem dané formule. Tímto způsobem jsme postupovali ve výrokové logice, když jsme zjišťovali pravdivostní hodnotu formule pro každou kombinaci pravdivostních hodnot výrokových symbolů. I zde při velkém n narážel tento postup na exponenciální růst výpočetní složitosti. U predikátového počtu nelze tento způsob užít ani teoreticky, bez ohledu na rostoucí časové nároky na výpočet. Přímý logický důkaz probíhá takto: 1. Vyjdeme z množiny S daných předpokladů a prohlásíme ji za množinu dosud dokázaných formulí (tvrzení). 2. Použijeme libovolné pravidlo logické dedukce a libovolné a libovolnou formuli z množiny dosud dokázaných formulí. Důsledek bude formule, kterou k množině S přidáme. 3. Opakujeme bod 2. tak dlouho, dokud se nám nepodaří jako důsledek získat dokazovanou formuli ϕ. Problém je, jak vybírat pravidla a předpoklady z množiny již dokázaných, aby tato cesta vedla k důsledku ϕ. Takový postup je obtížné automatizovat. 5
6 Resoluční princip v predikátové logice Zaveďme některé pojmy analogické pojmům z výrokové logiky: Literál je atomická formule (n-ární predikát aplikovaný na n termů) nebo její negace. Komplementární literály je dvojice literálů z nichž každý je negací druhého. Klausule je věta (formule bez volných proměnných), taková, že obsahuje pouze univerzální kvantifikátory na začátku a následuje disjunkce konečného počtu literálů nebo jediný literál. Zavedeme následující úmluvu: U klausule budeme univerzální kvantifikátory proměnných vynechávat. Protože u disjunkce nezáleží na pořadí, budeme klausule zapisovat pouze jako množiny jejich literálů. Tedy například místo tří klauzulí P(x, y), a ( Q(a) R(a, x) S(f(a), a), a b S(a, b) Q(b) budeme psát pouze množinu tří množin literálů {P(x, y)}, { Q(a), R(a, x), S(f(a), a)}, {S(a, b), Q(b)}. Prázdná klausule neobsahuje žádné literály a je tedy kontradikcí. Obvykle se značí symbolem, někdy též F. Tato klausule není splnitelná. Její přítomnost v množině formulí znamená nesplnitelnost této množiny. Princip rezoluční metody u predikátové logiky je analogický jako u výrokové logiky. Je však komplikovanější, protože není k dispozici přímá analogie k konjunktivně disjunktivní normální formě. Postupně odvozujeme z daných klausulí resolventy tak, že vypouštíme dvojice komplementárních literálů. Původní klausule ponecháme. Postup je založen na tom, že tautologicky platí (ϕ η) (ψ η) (ϕ ψ). V případě výskytu predikátů s proměnnými, konstantami a funkčními symboly je třeba provést substituce. Ukážeme to na příkladech: Příklad 1: Resolventa klausulí C 1 = {P(x, y, z), Q(x, y)} a C 2 = { P(x, y, z), R(x)}, kde x, y, z jsou proměnné je klausule C = { Q(x, y), R(x)}. Komplementární literály P(x, y, z) a { P(x, y, z) lze vynechat. Množiny klausulí {C 1, C 2 } a {C 1, C 2, C} jsou tautologicky ekvivalentní. Mají tytéž modely. Abychom to dokázali, stačí ukázat, že pro každou interpretaci (U, I), kde C 1 a C 2 jsou pravdivé je pravdivé i C. Nechť a, b, c jsou libovolné konstanty z U. Substitujeme-li a za x, b za y a c za z (označme jako x/a, y/b, z/c) odvodíme, že { Q(a, b), R(a)} je pravdivé a tedy C je pravdivé v interpretaci (U, I). 6
7 Příklad 2 (již bez podrobného zdůvodnění) Resolventa klausulí {P(x, y, z), Q(x, y)} a C 2 = { P(a, b, z), R(a)}získaná substitucí x/a, y/b je { Q(a, b), R(a)}. Nalézání komplementárních literálů v množině klauzulí lze algoritmizovat. Tento postup je užit například při ověřování, zda dané tvrzení vyplývá z daných předpokladů. Jde o ověření tautologičnosti implikace tautologicky ekvivalentní s tedy s (p 1 p 2 p n ) q, (p 1 p 2 p n ) q, p 1 p 2 p n q Takováto klausule se nazývá Hornovou klausulí. Vyhodnocovací proces (tak zvaný inferenční mechanismus) logického programovacího jazyka PROLOG spočívá v odvozování resolvent z Hornových klausulí. Ty representují fakta a pravidla z databáze. Cílem je ověřit formuli danou dotazem, případně nalézt konstanty, pro které je splněna. Chceme-li rozhodnout zda je splnitelná jakákoliv množina klausulí S, sestrojíme množinu S 1, tak, že k S přidáme resolventy prvého řádu. Dále přidáme resolventy S 1, získáme S 2 a pokračujeme dokud nenastane rovnost S n = S n+1. Dostaneme množiny R 0 (S) = S, R j+1 (S) = R(R j (S)) pro j = 1, 2,.... Platí: S = R 0 (S) R 1 (S)... R k (S).... Položme R Resoluční princip predikátové logiky říká: * ( S) = j= 1 R j (S). Množina S je splnitelná právě když R * (S) neobsahuje prázdnou klausuli. Chceme-li zjistit zda klauzule ϕ je důsledkem (logickým a tedy i sémantickým) množiny klauzulí S, vytvoříme množinu S = S { ϕ} a zjistíme, zda je splnitelná, či nikoliv. Jeli S splnitelná ϕ není důsledkem S. Je-li nesplnitelná, je ϕ důsledkem S. To je princip nepřímého důkazu v matematice. 7
8 Příklad: Splnitelnost formulí S = {{P(x, y), Q(x, y, a)}, { Q(g(v), z, z), R(v, z)}, { R(b, a), { P(x, a)}}, kde a, b jsou konstantní symboly, x, y, z jsou proměnné: Sledujte potřebné dosazování konstant za proměnné! Odvodili jsme prázdnou klausuli. Množina formulí je tedy nesplnitelná. 8
9 Existuje algoritmický postup jak libovolnou množinu formulí predikátové logiky převést na množinu klausulí. Lze to provést v těchto po sobě následujících krocích: 1. Přejmenují se proměnné tak, aby každý kvantifikátor označoval různou proměnnou. Například x P(x) x Q(x, a) změníme na x y P(x) Q(x, a). 2. Spojky, vyjádříme pouze pomocí,, užitím tautologických ekvivalencí α β α β; α β ( α β) ( α β);. 3. Zařadíme negace dovnitř až před atomické formule pomocí tautologických ekvivalencí x α x α; x α x α ; (α β) α β; (α β) α β; α α. 4. Zařadíme disjunkce co nejhlouběji užitím tautologických ekvivalencí α (β γ) (α β) (α γ); α ( x β) x (α β); α ( x β) x (α β). 5. Přemístíme univerzální kvantifikátory užitím tautologické ekvivalence ( x α) ( x β) x (α β). Pokud formule neobsahuje existenční kvantifikátory, získali jsme konjunkci klausulí, která je tautologicky ekvivalentní původní formuli. V případě existenčních kvantifikátorů provedeme tak zvanou skolemizaci (název odvozen od norského matematika Thorlafa Skolema). Nahradíme formuli x P(x) formulí P(a), kde a je konstanta. V případě, že předcházejí univerzální kvantifikátory před existenčním, závisí tato konstanta na proměnných univerzálních kvantifikátorů. V tomto případě musíme tedy užít funkční symbol příslušné arity. Tedy například x z y P(x, y, z) nahradíme x y P(x, y, c(x)) a x y z P(x, y, z) nahradíme x y P(x, y, c(x, y)). Skolemova konstanta závisí tedy na předchozích univerzálních kvantifikátorech. Je tedy funkčním symbolem arity rovné počtu předchozích univerzálních kvantifikátorů. Obecně: x 1,, x n y ϕ(y, x 1,,x n ) nahradíme formulí x 1,, x n ϕ(f(x 1,,x n ), x 1,,x n ), kde f je nový funkční symbol arity n. Je-li n = 0 užijeme konstantní symbol. Celý postup ozřejmí následující příklad: Užitím resoluční metody ověřte správnost následujícího úsudku: Každý holič na ostrově holí kohokoliv, kdo se neholí sám. Žádný holič na ostrově neholí kohokoliv, kdo se holí sám. Důsledek: Na ostrově nejsou žádní holiči. Převod do predikátové logiky: Univerzum: Všichni lidé na ostrově. B(x) unární predikát: člověk je holič. S(x, y) binární predikát osoba x holí osobu y. 9
10 Náš úsudek ve formalizovaném tvaru: x (B(x) y ( S(y, y) S(x, y)) x (B(x) y (S(y, y) S(x, y)) x B(x). Úsudek bude správný, pokud je nesplnitelná následující množina tří formulí: { x (B(x) y ( S(y, y) S(x, y)), x (B(x) y (S(y, y) S(x, y)), x B(x)}. Tyto formule je třeba transformovat na tautologicky ekvivalentní klausule. Provedeme to standardním algoritmizovatelným postupem, který byl v předchozím odstavci popsán obecně: Přejmenujeme proměnné a převedeme prvé dvě formule na klausule. Poslední klausulí je. x (B(x) y ( S(y, y) S(x, y)) x ( B(x) y ((S(y, y) S(x, y))) x y( B(x) S(y, y) S(x, y)) ; x (B(x) y (S(y, y) S(x, y)) z ( B(z) u ( S(u, u) S(z, u)) z u ( B(z) S(u, u) S(z, u)). Poslední klausule obsahuje existenční kvantifikátor Zaměníme jej za klausuli B(a), kde a je Skolemův konstantní symbol. Úsudek bude správný, pokud bude množina klausulí nesplnitelná. Užijeme resoluční strom: S = {{ B(x), S(y, y), S(x, y)}, { B(z), S(u, u), S(z, u}, (B(a)}} Náš úsudek byl tedy správný. 10
Výroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
Více2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice
2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [101104-1520] 19 2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice Rezoluční metoda v predikátové logice je obdobná stejnojmenné metodě ve výrokové logice. Ovšem vzhledem
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceRezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu Petr Pudlák Logika prvního řádu (Někdy nepřesně nazývaná predikátová logika.) Výhody Vyšší vyjadřovací schopnost jazyka, V podstatě
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
Více2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceÚvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,
VíceVýroková a predikátová logika - VI
Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
Více(zkráceně jen formule), jestliže vznikla podle následujících pravidel:
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Výroky. Máme danou neprázdnou množinu A tzv. elementárních výroků (též jim říkáme logické nebo výrokové proměnné). Konečnou posloupnost prvků z množiny A,
VíceDalší (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20
Predikátová logika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20 Jazyk predikátové logiky Má dvě sorty: 1 Termy: to jsou objekty, o jejichž vlastnostech chceme hovořit. Mohou být proměnné. 2 Formule:
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VícePřednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
Více2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.
6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceHilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však
Více3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice
3.10. Rezoluční metoda ve výrokové logice [070405-1102 ] 27 3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice Rezoluční metoda rozhoduje, zda daná množina klausulí je splnitelná nebo je nesplnitelná. Tím je také
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
VícePredikátová logika dokončení
Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen
VíceIA008 Computational logic Version: 6. května Formule je v konjunktivní normální formě (CNF), pokud má tvar α 1... α n,
1 Převody do normálních forem Příklad 1.1: Vyjádřete následující formule v DNF pomocí pravdivostní tabulky a pomocí převodu logických spojek. a) (A B) C b) (A B) C c) (A B) (C D) Formule je v disjunktivní
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceÚvod do výrokové a predikátové logiky
Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování
VíceKapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
VíceLogika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceZáklady matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceNormální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
VíceSkolemizace. x(x + f(x) = 0). Interpretace f unární funkce, která pro daný
Skolemizace převod formulí na formule bez existenčních kvantifikátorů v jazyce, který je rozšířen o tzv. Skolemovy funkce; zachovává splnitelnost idea převodu: formuli x 1... x n yp (x 1,..., x n, y) transformujeme
Více7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceÚvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1
Úvod do predikátové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 1 Relace Neuspořádaná vs. uspořádaná dvojice {m, n} je neuspořádaná dvojice. m, n je uspořádaná dvojice. (FLÚ AV ČR) Logika:
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceKlasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
VícePredikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy
1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené
VíceVýroková logika syntaxe a sémantika
syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být
VíceZáklady logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky 22. 4. 2015 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování,
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceV této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu.
1 Predikátová logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu. Výstupy z výukové jednotky Student se seznámí se základními termíny
Více6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceVyrokova logika. Zakladnim pojmem vyrokove logiky je vyrok.
Vyrokova logika Zakladnim pojmem vyrokove logiky je vyrok. V tzv. dvouhodnotove logice vyrokem rozumime tvrzeni (oznamovaci větu), o kterem je smysluplne prohlasit, zda je pravdive či nikoliv. Je-li tvrzeni
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VícePřednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Vícevhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí
Rezoluce: další formální systém vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí pracujeme s formulemi v nkf (též klauzulárním tvaru), ale používáme
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2015/2016 1 / 22 Herbrandova věta Úvod Redukce nesplnitelnosti na
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceDatabázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model
Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceÚvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceCvičení ke kursu Klasická logika II
Cvičení ke kursu Klasická logika II (12. května 2017) 1. Nechť P a Q jsou unární a R binární predikát. Dokažte, že následující formule jsou logicky platné, ale obrátíme-li (vnější) implikaci, ve všech
Více