2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

Transkript

1 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální přípdy). str Pás: průnik polorovin jejichž hrniční přímky jsou rovnoěžné mjí neprázdný průnik. Trojúhelník: průnik tří polorovin. 2. Prvý úhel: shodný se svým úhlem vedlejším. 3. Úhly vedlejší - η, δ; vrcholové -, ; souhlsné -, γ; střídvé -, δ. 1

2 4. Dv ostré úhly s rmeny k soě kolmými jsou shodné Odchylk přímek v rovině: Odchylkou dvou přímek, nzýváme velikost nulového, ostrého neo prvého úhlu, který má liovolně zvolený vrchol V rmen n přímkách procházejících odem V rovnoěžně s přímkmi, (udeme znčit, ). Z uvedené definice je ptrné, že odchylk dvou rovnoěžek je Klsifikce trojúhelníků Trojúhelníky dělíme podle velikostí strn n: různostrnné ( c ); rovnormenné ( = c); rovnostrnné ( = = c). γ γ c c 2

3 Podle úhlů dělíme trojúhelníky n: prvoúhlé ostroúhlé (,, γ < 90 (, < 90, ); γ = 90 ); c γ c tupoúhlé (, < 90, γ > 90 ). c γ 7. - Věty o strnách úhlech oecného trojúhelník sinov vět, cosinov vět td. 8. Připomeňme si definici shodnosti dvou trojúhelníků: Dv trojúhelníky jsou shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznčná korespondence mezi jejich vrcholy tková, že odpovídjící si strny odpovídjící si úhly jsou shodné. Dv trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ) ve všech třech strnách (vět sss); ) ve dvou strnách v úhlu jimi sevřeném (vět sus); c) ve dvou strnách v úhlu proti větší z nich (vět Ssu); d) v jedné strně v oou úhlech k ní přilehlých (vět usu). 3

4 9. Dv trojúhelníky jsou podoné, jestliže existuje vzájemně jednoznčná korespondence mezi jejich vrcholy tková, že odpovídjící si úhly jsou shodné. Dv trojúhelníky jsou podoné, shodují-li se ) v poměrech délek všech tří odpovídjících si strn (vět sss); ) v poměrech délek dvou odpovídjících si strn v úhlu jimi sevřeném (vět sus); c) v poměrech délek dvou odpovídjících si strn v úhlu proti větší z nich (vět Ssu); d) ve dvou úhlech (vět uu) Eukleidov vět o výšce: Osh čtverce sestrojeného nd výškou prvoúhlého trojúhelník se rovná oshu odélník sestrojeného z úseků přepony tvořených výškou (v 2 = c c ). v c 0 Podoné trojúhelníky 0 0, tj pltí: = v c c = c v c v2 = c c 4

5 Eukleidov vět o odvěsně: Osh čtverce sestrojeného nd odvěsnou prvoúhlého trojúhelník se rovná oshu odélník, jehož jednou strnou je přepon druhá strn je shodná s úsekem přepony přilehlým k této odvěsně ( 2 = c c, resp. 2 = c c ) v c 0 Podoné trojúhelníky 0, tj pltí: c = c 2 = c c = v c Pythgorov vět: Osh čtverce sestrojeného nd přeponou prvoúhlého trojúhelník je roven součtu oshů čtverců sestrojených nd odvěsnmi. (c 2 = ). 2 = c c 2 = c c = c c + c c = c(c + c ) = c 2 5

6 11. Dokžte věty: Osy strn trojúhelník se protínjí v jednom odě, který je středem kružnice opsné trojúhelníku. o c = {X E 2 ; X = X } o = {X E 2 ; X = X } o = {X E 2 ; X = X } o o c = {S} S = S S = S S = S S o Osy vnitřních úhlů trojúhelník se protínjí v jednom odě, který je středem kružnice vepsné trojúhelníku. - nlogicky 6

7 Výšky trojúhelník se protínjí v jednom odě. K trojúhelníku sestrojíme trojúhelník tkto:,, osy strn trojúhelník jsou zároveň výšky trojúhelník tj. výšky se protnou v jednom odě. 7

8 12. Dokžte větu (mtemtická indukce): Součet vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku je (n 2) 2R. V (3) : (3 2) 2R = vět součet úhlů v trojúhelníku je 180 V (n) V (n + 1): Pro n-úhelník pltí; dokážeme, že pltí pro n+1-úhelník. K n-úhelníku přidáme trojúhelník XY Z: (n 2) 2R + 2R = (n + 1 2) 2R 13. Dokžte, že žádné tři kolineární ody neleží n téže kružnici. 8

9 14. Vzájemná poloh přímky kružnice Vzájemná poloh dvou kružnic Úsečk spojující středy nesoustředných kružnic se nzývá středná.oznčme s velikost středné dvou kružnic. Je-li s > r 1 + r 2, potom kružnice nemjí žádný společný od leží vně see (kružnice, ). Je-li s = r 1 + r 2, potom kružnice mjí jediný společný od (od dotyku) dotýkjí se vně (kružnice g, h). 9

10 Je-li r 1 r 2 < s < r 1 + r 2, potom kružnice mjí společné právě dv ody (tzv. průsečíky) (kružnice c, d). Je-li s = r 1 r 2, potom kružnice mjí jediný společný od (od dotyku) dotýkjí se uvnitř (kružnice j, i). Je-li s < r 1 r 2, potom kružnice nemjí žádný společný od jedn leží uvnitř druhé (kružnice e, f). 15. Úhel přímky kružnice, dvou kružnic - str Průměr je nejdelší tětiv 10

11 17. Důkz zákldní věty o ovodových úhlech Všechny ovodové úhly příslušné k témuž olouku jsou shodné mezi seou i úsekovým úhlem příslušným k témuž olouku. Kždý ovodový úhel je roven polovině příslušného středového úhlu. Y k ω ϕ ϕ S ϕ M k ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 S ω 1 ϕ 2 Zvolme n kružnici k(s; r) tři různé ody,, M. Úhel M se nzývá ovodový úhel úhel S středový úhel, úhel Y tvořený tečnou kružnice v odě sečnou se nzývá úsekový úhel. Mohou nstt tři přípdy Přímk MS rozdělí ovodový úhel ϕ n dv úhly ϕ 1 + ϕ 2 = ϕ středový úhel ω n dv úhly ω 1 + ω 2 = ω. Trojúhelníky M S M S jsou rovnormenné S = SM = S = r MS = MS ( tké MS = MS) Součet dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven protějšímu vnějšímu úhlu Sečtením dostneme ω = ω 1 + ω 2 = 2ϕ 1 + 2ϕ 2 = 2(ϕ 1 + ϕ 2 ) = 2ϕ. ω 2 M 11

12 18. Sestrojte množinu odů v rovině, z nichž je dnou úsečku vidět pod úhlem φ = 30 φ =