MATE MATIKA, která baví. Zdroj: MF Dnes

Transkript

1 MATE MATIKA, která baví Zdroj: MF Dnes

2 II Zdroj: MF Dnes

3 MATEMATIKA, která baví Držíte v rukou seriál o výuce matematiky Hejného metodou, který vypracovali lektoři H-mat, o.p.s. ve spolupráci s MF Dnes. Tento seriál vyšel postupně v deníku MF Dnes v září 205. Přejeme vám i vašim dětem či vnoučatům radost z řešení úloh. Obsah 2 Úvod 2 Naučte se matematiku bez biflování a strachu 4 V čem je jiná Hejného matematika 6 I kantor může udělat při řešení chybu, učili se učitelé 0 Úlohy 0 Krokování Autobus 2 Zvířátka dědy Lesoně 3 Slovní úlohy 4 Součtové trojúhelníky 5 Hadi 6 Pavučiny 7 Myslím si číslo 8 Zlomky 9 Geoboard a mříž 20 Mince 2 Násobilkové čtverce 22 Sítě krychle a stovková tabulka 23 Dřívka 24 Kombinatorika a pravděpodobnost 25 Práce s daty 26 Ciferník 27 Rodina 28 Krychlové stavby 29 Rytmus a dělitelnost 30

4 Matematika, 2 která baví Úvod Škola Matematika, kterábaví Dětijsou přirozeně zvídavé, rády tvoříaobjevují svět. Přesně to naplňuje imatematikaprof. Hejného. Děti nejsou příjemci hotových poznatků, algoritmů, vzorců či pouček,ale samy aktivně zkoumají, a postupně tak poznávajícelýsvětmatematiky. Lenka Syrová učitelka matematiky namasarykově ZŠaMŠ včeském Těšíně Díkymetodě mám k matematice velmi kladnývztah av podstatě se jí živím doteď. Později jsem neměl problémy s předměty založenými na matematice,ale naopak s těmi, kde bylo třeba tvrdě memorovat údajebez jakýchkoliv logickýchvztahů. Peter Palušák bývalý žák ZŠHočiminova (Haanova) vbratislavě, nyní softwarový inženýr Hejného metoda Naučte se matematiku bezbiflování astrachu Možná jste odmaturovali z matematiky na výbornou a třeba vás žádný příklad nezaskočí.jestli však chcete navštívit svět matematiky podle profesora Hejného, nechte své poučky za dveřmi.násobilka, vzorce a číslice tu nejsou tak důležité, navrch má radost z poznávání.a vládnou tu vaše děti. V zdát se dobrovolně autority a jako host opatrně vstoupit do hájemství dětí bývá pro rodiče těžké rozhodnutí. Okolik těžší to asijeproučitele? Apřesto tovmatematice funguje, dokonce lépe, nežbyste se kdyodvážilipředstavit. Stačí sivyslechnout vyprávění sestry Hedviky, učitelkymatematiky na brněnské Cyrilometodějské základní škole. Charakterizovat ji jako excelentní počtářku by bylo troufalé, přesto její žáci ovládají matematiku skvěle. Acovíc, baví je ajsou ochotni řešit sipříklady jen tak oprázdninách, opřestávkách, vevolných chvílích,poškole. To proto, že je sestra Hedvikaučí hravě aradost- ně,jakdoporučujeprofesor Milan Hejný,jehož metodu využívá. Hodiny jsou naplněny intenzivní prací dětí, postupným budováním jejich matematických dovedností, poznáváním a chápáním zákonitostí apředevším velkou radostí znově objeveného, líčí řádovásestra, kteráškoláky vlastněneučí. Ona je spíš jen jako trpělivá průvodkyněuvádí do jednotlivých zákoutí matematiky, vnichž děti samy poznávají aučí se vztahy, principy apostupy. Že u toho chybují? Acomábýt! Ažeobčas pochybí iučitelka? Klidně, vždyť jak poučné jepro její žáky, když spolu omylobjeví anapraví. Poučky otravují, chyby inspirují Možná vás taková představa pedagoga vyděsila žádné poučky, žádná připravená schémata řešení achybování je téměřvítáno. Paksetedynechteuklidnitslovyprofesora Hejného: Představte si,žebychomučili batole chodit tak, že bychom mu to předváděli azároveň mu zakázali padat.ale kdyžje dítětisedmlet, ukazujememu, jak se sčítá, akárámeho, když počítáchybně. Dítěti matematiku zaručeně otrávíme, když ho budeme zahlcovat pojmy, poučkami a definicemi. Rozvojdítětenaopakurychlíme, když mu dáme úlohy,čas apovzbuzujemeho, vysvětlujerodičům profesor, který dává před drilováním přednost intuitivnímu vnímání matematiky. 2 Zdroj: MF Dnes

5 Schopnost spočítatpříklady je jen malou částí toho, co jsem se na hodinách matematikynaučil.hejného metoda podporujeaktivitu, samostatné hledánípodstaty věcí alogických vztahů. Boris Ballo bývalý žák Základní školy Košická v Bratislavě, absolvent Stavební fakulty Slovenské vysoké školy technické Pokud o metodě, podle níž se učí přibližně na osmi stovkách českých škol,dál pochybujete,dopřejte sluchu rodičům, jejichž děti prošly či procházejívýukoupodle Hejného. Jako je tomu vrodině Jakuba Šebka z Brna. Všichni jehočtyři potomcimajíshejnéhomatematikou osobní zkušenost. Jsem přesvědčen, že děti tento způsob mnohem víc baví a také si toho víc zapamatují. Možná nepostupují zpočátku tak rychle, ale vurčité chvíli sejim poznatky začnou samy spojovat dologických celků, takže po pěti letech prvníhostupněmajívmatematice Prof. RNDr. Milan Hejný, CSc. Matematik, odborník na didaktiku matematiky aprofesor Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy vpraze rozpracoval metodu výuky matematiky, sníž začal už jeho otec. Ta staví na dětské tvořivosti apřirozené touze poznávat učitel nechává žáky objevovat a samostatně hledat řešení. Metoda se nyní používá vevíce než 800 základních školách. Podrobnosti ohejného metodě najdete na většípřehled ajasno, je přesvědčen JakubŠebek. Aby svoje slova conejlépe ilustroval, přidává jeden zážitek. Zní až neuvěřitelně. Když si děti ve třetí třídě mohly samy zvolit, který předmět chtějí místo nečekaně odpadlé hodiny angličtiny,vybraly si matematiku,přestoževnabídcebyl itělocviknebovýtvarnávýchova, vypráví.skoro sci-fi, že? Jedno povolené řešení neexistuje Jenže takové nadšení pro počty se nerodí samo, aužvůbec ne jednoduše. Pro učitele irodiče je Hejného metoda vede dětik tomu, že samy postupně objevují zákonitosti matematiky,ato hravou formou. Malé děti nesmírně motivuje, když ve 2. třídě probírajíněco, nad čím jejich rodičeudiveně kroutí hlavou. Vtu chvíli je důležité nepropadnout panice a nesnažit se dítěti začít vnucovat tradiční metody výuky. Jakub Šebek otec čtyř dětí, které se učí nebo učily matematiku podle prof. Hejného rozhodně pohodlnější,kdyždodětí vtlučou poučky, vzorce apravidla, které pak při pětiminutovkáchvyzkouší. Kdo(se)chceučitmetodouprofesora Hejného, musí býtsrozuměnsdětskouimaginací akreativitou. Jednopovolenéschémařešení tu neexistuje. Metoda není tak náročná na přípravu učitele, jako spíš na vlastní průběh hodin ahodnocení práce dětí. Učitel se setkává srůznými způsoby řešení,což ho nutí ožákověpráci přemýšlet, odpovídají tvůrci metodickýchpříruček na opakující se dotazy pedagogů. Co platí pro učitele, platí ipro rodiče. Buďte tedy připraveni, že to možná bude zdlouhavé učení, někdyažmoc,zatovýsledkybudoutrvalé. Rodiče musí dětem věřit, dítě totiž potřebuje cítitbezpečí azájem,hledá oporuadobrouatmosféru, objasňuje Tomáš Rychecký, ředitel obecně prospěšné společnosti H-mat, která se věnuje rozvoji Hejného metody. Vaše děti nejsou kalkulačky Když už se sdětmi vydáte na cestu profesora Hejného, nesrovnávejte výkony svých potomků stěmi od sousedů. Tradičně vedení žáci znají naučenépostupyabývají rychlejší vkalkulacích, naši žáci lépe rozumí pojmům, vztahům, situacím, vysvětlujerozdíly Rychecký. Jednoduše řečeno, není umění sčítat nebo násobit, to zvládne každá kalkulačka, ale dokázat vyřešitproblém. Hlavnírozdíljevevztahukmatematice,ve schopnostipoužívatmetodu pokusu aomylu, analyzovat situaci, komunikovat či formulovat myšlenky atakéveschopnostispolupracovat, doplňujevýhodyrychecký. Takže zkusíte to doma taky? MAGDALENA NOVÁ REDAKTORKA TESTU DNES Knihy Z čeho (se) učit HEJNÝ M., JIROTKOVÁ D., SLEZÁKOVÁ-KRATOCHVÍLOVÁ J. Matematika / a /2 Dva díly pracovní učebnice obsahují na spodní liště pokyny pro učitele či rodiče, které vysvětují detaily cvičení. Nakladatelství Fraus, cena od 99 Kč HEJNÝ M., JIROTKOVÁ D., SLEZÁKOVÁ-KRATOCHVÍLOVÁ J. Matematika : pracovní karty Pracovní karty obsahují doplňující materiál kučebnicím matematiky pro. ročník. Na96kartách je 90 stran úloh. Nakladatelství Fraus, cena od 38 Kč HEJNÝ M., JIROTKOVÁ D., SLEZÁKOVÁ-KRATOCHVÍLOVÁ J. Matematika 2/ až 2/3 Pracovní učebnice pro druhý ročník základní školy jerozdělena na tři díly. První díl obsahuje sadu příloh pro všechny tři pracovní učebnice. Nakl. Fraus, cena od 65 Kč MICHNOVÁ J. Zábavná matematika Doplněk pro 2.ročník ZŠobsahuje 62 stan súlohami na 3 kartách. Úkoly jsou podávány tak, aby dítě nepotřebovalo pomoc dospělého. Nakl. Fraus, cena od 59 Kč HEJNÝ M., JIROTKOVÁ D., SLEZÁKOVÁ-KRATO- CHVÍLOVÁ J., MICHNOVÁ J. Matematika 3(učebnice, pracovní sešity) Pro třetí ročník byla zvolena jedna učebnice a2pracovní sešity. Nakl. Fraus, cena učebnice od 07 Kč, pracovní sešity od 44 Kč HEJNÝ M., JIROTKOVÁ D., BOMEROVÁ E. Matematika 4 (učebnice, pracovní sešity) Učebnice se věnují rovnicím, násobení adělení, zlomkům či dělitelnosti. Nakl. Fraus, cena učebnice od 3 Kč, pracovní sešity od 46 Kč HEJNÝ M., JIROTKOVÁ D., MICHNOVÁ J., BOMEROVÁ E. Matematika 5 (učebnice, pracovní sešity) Učebnice obsahuje také barevné rámečky zelené svysvětlujícími texty, červené smezipředmětovými vztahy amodré sdalšími aktivitami. Nakl. Fraus, cena učebnice od 08 Kč, pracovní sešity od44kč Zdroj: MF Dnes 3

6 Matematika, 4 která baví Úvod Škola Matematika, kterábaví Přirozená, tvůrčí ahravá Včem je jiná Hejného matematika UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY Zadání: Hance je0let, má dva bratry: Ivana (8 let) avíta (5 let). Dědovi Adamovi je 67 let adědovi Blažejovi 65 let. Jejím rodičům je dohromady tolik let jako dědovi Blažejovi. Obě Ivanovy babičky jsou stejně staré azadva roky oslaví šedesátiny. Cecílie se vdávala jako 20letá. Když jí bylo 2, narodila se jí dcerka. 65 Trápili jste se při hodinách matematiky s množinami?strašily vás pětiminutovky na začátku hodiny? To vše můžete zapomenout, v Hejného matematice budete s dětmi počítat krokyicestujícívautobusu, skládatorigami nebo oblékat krychle. Ani u toho nepostřehnete, že se učíte aritmetiku či geometrii Zadání: Vtělocvičně stálo 27 chlapců vřadě. Pak přiběhla děvčata tak, žesemezi každé dva chlapce postavilo jedno děvče. Ale na obou krajích stáli chlapci. Z kuste se ve vzpomínkách vrátit do dětství, kdy vás ještě nemusely sužovatpojmyjako násobilka, úhlopříčky, slovní úlohynebopřevodyjednotek. Avzpomínáte sitaké, jak vás tehdy bavilo vystřihovat ozdobné dečky zpapíru, skládat večerníčkovské čapkyaparníky, hrát si sestavebnicínebohledattužkoucestu zbludiště? Aniž jste to tehdy tušili, poznávali jste základní principy matematiky: přirozeně, intuitivně ahravě. Přesně tak, jak by byl profesor Milan Hejný rád, aby seučila matematika na základních istředních školách. Proto tento vysokoškolský pedagog rozpracoval novou metodu výuky matematiky, sníž kdysi začal už jeho otec Vít Hejný.V čem je tak převratná? Dítě vysvětluje, rodič poslouchá Její základní princippraví,ževše objevují žáci sami. Nechte si od svératolesti vyložit,jak se co řeší.projevteradost nadtím,kdyžsechlubí, co všechnovyřešíaodhalí. Můžete sdítětem o úloháchrozmlouvat, nebo se ipřít, alemusíte mítstále na paměti,ževtétodvojici je dítě tím, kdo vysvětluje, a rodič tím, komu je vysvětlováno, zdůrazňuje vpříručce pro rodiče její autorka Pavlína Málková, učitelka matematiky zezákladníškolyveždírcinaddoubravou. Tím, že vám bude školák vysvětlovat své matematické objevy,sesám učí. Navíc mutaková znalostnatrvalozůstane vpaměti. 2 Rychlost nerozhoduje Ikdyž jsou mnozí učitelé matematiky přesvědčeni, žepro jejich předmět jenejdůležitější rychle asprávně počítat,profesor Hejný tvrdí, že klíčovéjenaučitsemyslet. Rychle aspolehlivě umí počítat každá kalkulačka, tuto schopnost na trhu prácevaše dítě vbudoucnu neprodá. Co je abude stále více žádáno, jeschopnost řešit problémya komunikovat. Metoda profesora Hejného učí obojí, upozorňujepavlínamálková. 3Příklady nesmějí nudit ani děsit Až se vám dostane doruky učebnice čipracovní sešity Hejného matematiky, možná vás neobvyklé příklady zaskočí. Někteří rodiče se dokoncezačnou obávat,žepro jejich dětije tahlemetoda příliš náročná. Hejného metoda vpraxi Za Hejného metodou stojí tým odborníků zobecně prospěšné společnosti H-mat. Jejím cílem je rozvoj matematické gramotnosti žáků pomocí metody, jež senazývá matematika orientovaná na budování mentálních schémat. Opírá se o2klíčových principů: budování schémat práce vprostředích prolínání témat rozvoj osobnosti skutečná motivace reálné zkušenosti radost zmatematiky vlastní poznatek role učitele práce schybou přiměřené výzvy podpora spolupráce Více ohejného metodě najdete nastránkách Společnost H-mat podporují Nadace Depositum Bonum, Nadace Karla Janečka anadácia Eset. 4 Zdroj: MF Dnes

7 Příklady, které najdete vučebnicích prof. Milana Hejného, senaprvní pohled odlišují od klasických slovních úloh. Většinou vnich jde mnohem víc ologické myšlení aschopnost řešit problém než okomplikované výpočty asestavování rovnic. Vypočítejte příklady a porovnejte svůj postup s řešením dětí.. Když se manželé Cyril acecílie brali, kolik jim bylo dohromady let? Žák A: Cecílii bylo 2, když se narodila Hanka dnes je jí 2 +0=3let Cecílie +Cyril =65let 65 3=34 Cyrilovi je dnes 34 let. Rozdíl mezi Cecílií acyrilem jsou 3roky. Cecílii bylo 20, když se vdávala Cyrilovi bylo 20 +3=23let Dohromady =43let Žák A: vytvoří si tabulku Hanka Ivan Vít celkem nyní za rok za 2roky za 9let Žák B: Cecílii bylo 2, když se narodila Hanka dnes je jí 2 +0=3let Cecílie +Cyril =65let 65 3=34 Cyrilovi je dnes 34 let Hance je0let, rodiče se brali rok před jejím narozením brali se před lety Cyril seženil ve 23 letech Dohromady =43let 2. Za kolik let bude Hance, Ivanovi avítovi dohromady 50 let? 3. Kolik bylo děvčat? Tvůrci příkladů ovšem zdůrazňují, že Hejného matematika jepřístupná takřka každému. Jistě, jsou děti, kterým spíš vyhovuje naučit se správný postup aten pakopakovat, jiné se lépe učísamostatně, někteří školáci mají dobře vyvinutou arozvinutou matematickou představivost, dalšímjítolik dopřánonebylo. Přesto jsou podle autorského týmu učebnice natolik různorodé, aby každé dítko našlo odpovídající příklady. I mírně podprůměrné děti učivo pochopí adětemsvyspělejším matematickým myšlením jsou poskytnuty úlohy přiměřeně náročnější, poznamenávávpříručce její autorka. 4 Matematika je všude okolo Když už si budete třeba pracovní sešit prohlížet, docela jistě si všimnete toho rozdílu od klasické cvičebnice. Avůbec nejde jen oto, že tady po stránkách poskakuje pomalu víc postaviček apísmen než číslic. Podstatný rozdíl jevtom, že se žáci neučí oddělené matematickéjevy,ale pohybují se v prostředích, která využívají jejich bezprostředních zkušeností a kde se běžně kontaktují s matematikou. Vnichsevšakmatematické jevypřirozeně prolínají. Žák B: nevytvoří sitabulku, ale píše pod sebe jen součty: = = =50 Žák C: Hance je0let, rodiče se brali rok před jejím narozením brali sepřed lety. Od součtu jejich věku nyní (65 let) odečtu let za Cecílii alet za Cyrila 65 22=43let Žák C: Jestliže teď jim je dohromady 23 let, tak do50zbývá 27 let. Jsou tři sourozenci, tak 27 mezi sebe rozdělí třemi. Vychází tedy, že za 9let bude součet jejich věku 50. Žák A: nakreslí sitoapojednom spočítá: x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x Chlapců je 27 adívek 26. Žák B: představí si, žekluk aholka tvoří dvojici, dvojic je 26 anakonci jelichý kluk Dívek je 26. Žák C: má zkušenost, že mezi pěti prsty jsou 4mezery 5prstů 4mezery 27 kluků 26 mezer Dívek je26. Představte si takovou cestu autobusem, to je přece ideální matematické prostředí. Vněm si mohou dětiprocvičovat sčítání aodčítání, ale také třebaprácistabulkamiadaty. 5 Chyby jsou důležité Otřepané rčení říká, že chybami se člověk učí. Jenže veškole pro chybování není místo, tam je třeba předvádět kvůli jedničkám bezchybné výkony. Je přitom paradoxní, co může taková obava ze špatných známek nakonec způsobit: zase jen špatné známky. Strach je jedenzblokátorů myšlení, objasňuje PavlínaMálková. Proto Hejného metoda tolik zdůrazňuje význam atmosféry, vníž si děti navzájem důvěřují sučiteli neborodičiakde senebojíchyb.protože důkladný rozbor toho,kde se taková chybavzala aproč,jenejúčinnějšízpůsob, jaksejípříště vyvarovat. Jednodušechybami se člověk učí... MAGDALENA NOVÁ REDAKTORKA MFDNES Desatero pro rodiče Věřte svým dětem Věřme tomu, že děti jsou chytré ažejsou schopny při dobrém vedení většinu matematických poznatků objevit samy. Povzbuzujte ajásejte Raději nehodnoťte. Jen jásejte, když se dílo daří, apovzbuzujte, když se dařit nechce. Rozhodně však neukazujte, jak se to dělá. Nejdůležitější je radost Oúspěšnosti vaší práce rozhoduje radost dětí z dělání matematiky, radost je největším hnacím motorem matematického poznání, pro vás je zároveň barometrem toho, co děti potřebují. Chyby kpoznání patří Neopravujte chyby, ale pokuste se vytvořit situaci, vníž dítě samo svou chybu objeví. Chyba je důležitým nástrojem poznání. Na chyby neupozorňujte Kchybnému názoru dítěte seraději nevyslovujte. Časem sihodítě přehodnotí samo. Nepřeceňujte ani nepodceňujte děti Žádné dítě nesmí být frustrováno svou neschopností ani otráveno, ženemá co dělat. Úlohy zadávejte přiměřené právě vašemu dítěti, aniž byste jeho výsledky porovnávali sjinými dítky. Nic nevysvětlujte Nic dětem nevysvětlujte ani se nesnažte ukázat, žejste chytřejší. Nezasahujte do poznání Nepřerušujte myšlenkový tok dítěte. Buďte vpozadí Minimalizujte svá slova ainstrukce. Naslouchejte Podporujte komunikaci dítěte. Dítě je ten, kdo ukáže anahlas popíše, jak úlohu řešilo, je tím, kdo vám vysvětlí, jak secodělá. Atoitehdy, když to víte. Zdroj: Příručka pro rodiče žáků svýukou matematiky podle metody prof. Milana Hejného. DÍL SERIÁLU MATEMATIKA JIŽ ZÍTRA Jak učit děti sradostí Sledujte vmfdnes seriál cvičných příkladů podle prof. Hejného pro děti zmateřských škol ipro školáky od.do6.třídy. najdete vždy vúterním magazínu. Zdroj: MF Dnes 5

8 Matematika, 6 která baví Úvod Škola Matematika, kterábaví Reportáž Ikantor může udělat při řešení chybu, učili se učitelé Dvacet kantorek v Janovicích nad Úhlavou zjišťovalo,v čem spočívá kouzlo výuky matematiky Hejného metodou.ta zbavuje žáky strachuzobávanéhopředmětu. T akschválně myslítesi,žedobrýučitel matematiky musí svůj předmět bůhvíjak umět? Není nutno, vyvedou vás z omylu příznivci metody profesora Hejného. Kacířská myšlenka je to jen zdánlivě. Chyby vítáme aklidně nějakou může udělat iučitel. Nikdo sezatonikomu nesměje, na řešení děti přicházejí společně akantor je ktomu pouze motivuje. Není cílem udělat zkaždého excelentního matematika, ale dát zažít dětem úspěch zobjevování podle jejich schopností, vysvětlujelektorkamartina Hálová. Promlouvá ketřídě asi dvaceti učitelek prvního stupně na letníškole vjanovicích nad Úhlavou. Jsou to ty, které metoda Hejného oslovilaapřijelysedonívesvém volnu důkladněji vpravit. V právě probíhajícím workshopu lektorka ukazuje, jak lze dětem vštípit matematické uvažovánípomocívztahůvrodině. Nenásilně, přitažlivě,hrou. K rodinnému prostředí je třeba přistupovat svelikou opatrností. Pro některé dítě by to mohlobýttřaskavé téma, takžebudeme pracovat simaginární celistvou rodinou, na úvod vysvětlí. Pak přítomným rozdá dva listy zpracovníhosešitu prodruhou třídu. Obrázky vlevo zachycují příslušníky jedné části rodiny: Anna aadam mají Cyrila. Cyril má tři děti Víta, Hanku aivana scecílií. Jejími rodiči jsou Blažej abarbora. Přítomné učitelky vroli žáků pak mají za úkol doplňovat, kdojeoteccyrilovymanželky, nebo kdoje dceraannina syna. Třída začne ševelit, někdy se kantorky hned napoprvé netrefí, ale společné snažení nakonecvždyvyústíve správnéřešení. Co myslíte, je pravdivý výrok: Syn mé babičkyjemým strýcem? obracílektorkapozornost k další úloze. Fórum souhlasně zabzučí, ale pak se ozve ipochybnost: Není to chyba, alenepřišlijsmenavšechna řešení.správně by totiž věta měla znít: Syn mé babičky jemým strýcemnebomým otcem. Učitelé si mohou vybrat Ideální příprava na hodinu vypadá tak,že má kantor připravené úlohy pro vyšší i nižší úroveň, tedy pro tynejlepší anadruhé straně ty méně šikovné. Děti mohou pracovat ve skupinkách,nebonemusí, popisuje Martina Hálová. Tahle matematika má sice daleko do drilu a poučování, ale že by vážně dokázala sejmout zdětí strach zobávaného předmětu? Některé učitelky si to však ověřilyisamynasobě. Já měla odmalička kmatematice velice negativní vztah. Ktéhle metodě jsem se dostala náhodou, ale teď už vím, že je to šance ipro slabší žáky. Člověk nemusí být hvězda vmatematice, apřesto hoten předmět může obohacovat, ubezpečuje Michaela Baumlová zklatov. Momentálně je na mateřské dovolené, ale až se vrátí, chce matematiku učit právě tímto způsobem. Jana Čechováučí Hejného metodou už rok ve Studené na Jindřichohradecku. Můžu potvrdit, že děti jsou vhodinách nadšenéanikdo se matematiky nebojí.mají radost,když úlohu vy- 6 Zdroj: MF Dnes

9 ŠKOLENÍ UČITELŮ Je pravdivý výrok Syn mé babičky je mým strýcem? O tom přemítali učitelé na kurzu, kde se učili zásady výuky matematiky podle takzvané Hejného metody. Kurz, z něhož jsou tyto snímky, se uskutečnil v Janovicích nad Úhlavou. Foto: Ladislav Němec, MAFRA Autoritativní učitel by se těžko smiřoval srolí pouhého průvodce hodinou. Klasickáa Hejného matematika protoexistují vedle sebe. řeší, pracují ve skupině ati šikovnější slabším poradí, říká dvaapadesátiletá kantorka. Vlastním příkladem zároveň vyvracídomněnku,že metoda dokáže oslovithlavněmladé. Je to víc o osobnosti kantora než o věku. Autoritativní učitel byseasi těžko smiřoval jen s rolí průvodcehodinou.klasickáahejného matematika existují vedle sebe. Každému vyhovuje něco jiného a my učitelům nechceme nic vnucovat, zdůrazňuje lektorka principdobrovolnosti. Sama původně vystudovala druhý stupeň, obor matematika a tělesná výchova. Na Pedagogické fakultě Univerzity Karlovy jiučil přímo tvůrce metody,profesor Milan Hejný.Jenže toho, kdo začne mít jeho metodu rád, to přirozeně táhne donižších ročníků, kde může děti včas podchytit.martinu Hálovou to bavilonatolik, že si navícudělala lektorskýkurz. Tahle matematika má přesah. Vede děti ke kreativnímu přístupu kživotu. Vlastně tvoří i vztahy ve třídě, zatímco taklasická direktivní ubíjí. Nemotivuje, argumentuje lektorka, která vzáří začne učit třeťáky vpražské základní školenabarrandově. Antitalenty nikdo nedusí Na dalším listěseimaginární rodina košatí. Na obrázcích přibudou ještě další děti Adama a Anny,atoEmilaDana. Rodokmen se takrozšiřuje obratrance,synovce aneteře.avotázkách začíná přituhovat:kolik synovců má Emil?Kolikjejim dohromadylet?jepravda, že můjbratr je synovcemméhostrýce? Je pravda, že dvěneteře téhož člověkajsousestry? Elementaristky ztichnou aponořísedopřemýšlení. Já užjsem ztoho úplně doblblá, zazní upřímný povzdech zfóra. Na této metodě je mi sympatické, ženikoho nedusí. Připouští imatematickouzabedněnost, sekundujedalší hlas. Otevřenostípoznámekseatmosférauvolnía ve třídě dospělých se rozproudí diskuse. To je ta šťastná chvíle, kdyučitelsžáky aktivněhledají správnéodpovědi. Nemusí knim vést jediná cesta, jen ať si každý najde tu svoji. Naopak je důležité, aby zazněly všechny způsoby řešení. Žáci přitom chybují a objevují. Učitelé od nich dostávají zpětnouvazbu,atímsidobíjejí energii, ubezpečuje Martina Hálová. Co když se ale přes to všechno někdo nechytá? Jaktakovémužákovidátemožnost zažít úspěch? táže se jednazkantorek. Odpověď sejídostane zpléna: Prostě dostanelehčí úlohu. Každývynikávněčemjiném a učitel nikomu neutrhne hlavu, když to není zrovna matematika. 5důležitých otázek aodpovědí Jakseděti vyrovnávajíspřechodem na druhýstupeň základní školy, kdese matematika učíklasickou metodou? Zcela bez problémů. Autoři metody mají přímou zkušenost spřechodem dětí zjejich pilotní třídy nadruhý stupeň základní školy i na osmiletá gymnázia. Tito školáci přešli ke čtyřem různým učitelům, kteří vyučovali matematiku klasickým způsobem. Problémy seu dětí neobjevily, naopak mnozí patřili vetřídě kmatematické elitě. Jen nadšení zdělání matematiky uněkterých dětí opadlo, podotýkají propagátoři Hejného metody. Jaká je úspěšnost dětí, které jsou vedeny touto metodou, při přijímacích zkouškách nagymnázia ve srovnání sdětmi učenými klasicky? Metoda profesora Hejného není všelék anikomu automaticky nezajistípřijetínagymnázium. Nadaným dětem rozhodněvevstupunastřední školu nebrání, spíš naopak, podle zkušeností připravuje lépe islabšížáky. Od několikaškol máme zpětnou vazbu, že po zavedenínaší metody se zvýšila úspěšnost přijetíjejich dětí na víceletágymnázia, doplňují lektoři. Mé dítě je ve 4. třídě apořád neumí rychle násobit. Jeho kamarádi násobilku ovládají od 2. třídy. Proč jsou mezi nimi takové rozdíly? Pokud dítě ve4.třídě násobí stále tak, že čísla sčítá, je to úplně vpořádku. Postupem času totiž samo zjistí, že 3 x 2 je stejné jako Rozdíl je v tom, že když tento princip objeví samo, bude násobilku skutečně chápat aumět ji použít, na rozdíl od dítěte, které sejive 2. třídě naučí nazpaměť. Zkušenosti ukazují, že školák, který násobilku mrská ve 2. třídě, ji na 2. stupni už neumí, hájí metodu její autoři. Dítě se ve škole učí matematiku klasicky. Mácenu sním doma zkoušet metodu podle Hejného? Určitě ano, protože podle lektorů učí tato metoda děti přemýšlet, nikoliv memorovat naučené postupy. Atojevelmi důležité pro rozvoj myšlení. Jejasné, že není možné sdětmi probírat učebnice vcelém rozsahu ataké jim bude chybět vzájemná diskuse sespolužáky. Přesto můžeme nazákladě zkušeností rodičů potvrdit, že děti počítání vtéhle podobě baví, zlepšuje jejich schopnosti ijejich vztah kmatematice jako takové, ubezpečuje rodiče tým kolem profesora Hejného. Je nutné stouto metodou začít již vprvní třídě, nebo to jde ipozději? Třeba ažnadruhém stupni? Smetodou lze začít ipozději, samozřejmě čím dříve, tím lépe klidně užvmateřské škole. Pokud seškolák začne učit podle Hejného později, musí rodiče aučitelé počítat stím, že nový způsob práce izměny při řešení úloh budou trvat déle. Učebnice jsou ovšem uzpůsobeny tak, aby umožňovaly dětem začít smetodou v., 3. a6.ročníku. IVANA KARÁSKOVÁ REDAKTORKA MFDNES Zdroj: Zdroj: MF Dnes 7

10 Matematika Mateřská škola sradostí. a 2. ročník. díl Základem počítání je rytmus. Skandujeme adorytmu tleskáme. Třeba Paci paci pacič ky, tojsou moje ručič ky. Pak přidáme chůzi. Rodiče skandují atleskají, dítě do rytmu krokuje. Je-li zde kamarád, krokují oba. Na zem položíme krokovací pás aděti krokují na pásu. Když nám krokování jde, začneme se sčítáním. Na začátku pásu stojí vedle sebe Eva aadam (toho vpřípadě nouze hraje třeba babička). Maminka velí: Evičko, dva kroky apak jeden krok, začni teď! Evička krokuje, všichni tleskají apočítají: Jeden, dva. Jeden. Maminka septá, kolik kroků musí udělat Adam, aby opět stál vedle Evičky. Dítě řekne tři amaminka velí: Adame, udělej tři kroky, začni teď! Hoch odkrokuje, všichni počítají atleskají. Děti stojí vedle sebe, úlohu jsme vyřešili. Další úlohy jsou náročnější apak přijdou ikroky dozadu. Například: Evičko udělej dva kroky dopředu, pak jeden dozadu apak dva dopředu. Když dítě krokuje Jeden krok dopředu, pak tři dozadu apak čtyři dopředu. začíná budovat porozumění záporným číslům. Jestliže krokování dítě zajímá, je naše výuka úspěšná. Krokování Jaknaučit odčítáníiabsolutní hodnotu Kpřiblížení základní teze výukysi pomůžeme příběhem. PanSnaživýpěstuje květy.denně je zalévá akaždé ráno trochu povytahuje, abybylyvyšší. Navzdory péči kvítka chřadnou. Přítel vysvětlilpanu Snaživému, že dobrý pěstitel vychází ztoho,copotřebují kvítka, aneztoho,copotřebuje on. Různé životních zkušeností dítěte/žáka. květy nutno zalévatrůzně,některým Pomocí počtu předmětů se kzáporným číslům dostat nedá. Úloha Mám dvě jablka, tři jsem snědla, kolik mi zbylo? je absurdní. Když však převedeme úlohu do jazyku kroků, žádný problém nevyvstane. = prospíváhnojení apovytahování škodívšem. Sdětmi ažákyjeto podobně.dítě nemá potřebu přebírat hotové poznatky. Má potřebu získávat zkušenosti azískávatjespolečněskamarády. Úloha má řešení, tedy. Vjazyce algebry: 2 3=x,tedy x=. Krokování umožňuje žákovi porozumět záporným číslům. Dokonce ináročnému výrazu mínus před závorkou. To se ukrokování čte čelem vzad (ČV) Například výraz 3 (2 )přeložíme do šipek: ČV Příslušný povel zní: Udělej tři kroky dopředu, čelem vzad, dva kroky dopředu, jeden krok dozadu, čelem vzad. Jestliže žák byl nazačátku tváří ke dveřím, udělá tři kroky kedveřím, pak čelem vzad, pak dva kroky od dveří, pak krok dozadu ke dveřím anakonec čelem vzad (to jeukončení závorky). Tedy ČV ČV ČV Úloha 2. Číselné rovnice přepiš do šipkových avyřeš. a) 5 (+2)=x b) 7 (4 2)+3=x c) 2 (4 3)=x 2 d) 4 (5 x)=2 e) 6 (7 (8 3) 4)+=x = Milan Hejný profesor PedagogickéfakultyUKPraha, autormetody Pokračujeme stále náročnějšími povely. Udělej pět kroků dopředu, čtyři kroky dozadu, dva kroky dopředu, tři kroky dozadu, jeden krok dozadu, začni teď. Takový povel jejiž hodně složitý. Žák si to potřebuje zapsat. Zápisy žáků budou různé aněkdo objeví izápis pomocí šipek. Zmíněný dlouhý povel pak zapíšeme. To se týkáimatematiky. Dospělý člověkse domnívá, že prvním cílemmatematického vzdělávání žáka je hbité aspolehlivé sčítání aodčítání.tojeomyl. Hlavním cílemmatematického vzdělávání je porozumění matematickým jevům pomocí Dospělýnejlépe pomůžedítětitím, že si od něj nechá vysvětlovat, jak co řešil, ptá sejej, ale neradí a nepoučuje.vprvním díle seriálu si ukážeme,jak kporozumění číslům mohou přispětzkušenostidítěte/žáka schůzí. Tento povel dostane Eva aptáme se: Jaký jednoduchý povel mám dát Adamovi, aby opět stál vedle Evy? Pomocí šipek to zapíšeme. Pomocí čísel úlohu zapíšeme =. úlohy zní,tedy. Podobně úlohu = můžeme zapsat + 2=2. Její řešení je,tedy 3. Úloha. Doplň šipky: a) Další náročný matematický pojem, který lze osvětlit pomocí krokování, je absolutní hodnota. Adam stojí na krokovacím pásu, Evička jeden krok před Adamem. Naším úkolem je dát jim takové povely, aby dohromady udělali 5kroků anakonec oba stáli na stejném poli. Jak máme velet? Úloha má dvě řešení: První: Adame, udělej tři kroky vpřed, Evo, udělej dva kroky vpřed, začněte teď! Druhé: Adame, udělej dva kroky dozadu, Evo, udělej tři kroky dozadu, začněte teď! Algebraický zápis úlohy zní: x = y +, x + y =5 Kdybychom krokovací pás očíslovali, přešli bychom kdalšímu prostředí Schody. Adam by stál na schodu 0, Eva naschodu. Uprvního řešení by se oba sešli na schodu číslo 3, udruhého řešení na schodu číslo -2. Úloha 3. Řešte soustavu rovnic x =y +2, x + y =5. Tedy: Adam stojí na schodu,eva na schodu 2. Oba dohromady udělají 5kroků abudou stát na stejném schodu. Úloha 4. Řešte soustavu rovnic x+=y 2, x + y = 3. Tedy: Adam stojí na schodu, Eva naschodu 2. Oba dohromady udělají 3kroky abudou stát na stejném schodu. b) c) d) Úloha 5. Řešte soustavu rovnic x=y+ =z+3, x + y + z = 5. Tedy Adam stojí na schodu 0, Eva naschodu ajiří na schodu 3. Všichni tři dohromady udělají 5kroků abudou stát na stejném schodu. = = = = = vmagazínu vúterý 8. září Autorka úloh: Anna Sukniak 8 Zdroj: MF Dnes

11 Matematika sradostí 2. díl zástupkyně ředitele, pilotní učitelka Hejného metody na 2. stupnizšbodláka apampelišky, Veliš matikysimnozí spojují počítání příkladů, anabízí imnohojinýchaktivit. Není třeba h, nepotřebujete tabuli ani křídu, někdy ani chuť objevovat. Tuto matematiku můžete ivy, domavobýváku,vkuchyni nebo minulém díle jsme se dozvěděli,jak spomocí děti sčítat aodčítat, jakjeseznámit se ičísly.stejným způsobemmůžeme krozvoji ckýchschopnostívyužítstavění kostek,jízdu m, cestukbabičce amnoho dalších běžných atěchtosituacích, kteréjsoudětem důvěrně tavíme matematické série úloh, které objevení některých matematickýchvztahůa apř.prostředí autobusu. Dnešní technickýsvět,grafů, harmonogramů, diagramů apod. busu přivádí dětiktomu, aby se ve všechtěch rmonogramech nejen vyznaly,ale samyje ysnimizacházet. začínácelkem všední záležitostí, jakou je jízda. a2. ročník Se vstupem do školy se zdítka stává žák aautobus je jedním zprostředí, ve kterých se žák pohybuje vhodinách matematiky. Podobně jako vmšpřipravíme autobus, zastávky acestující. Rozdělíme role výpravčích ařidiče autobusu. Začíná hra. Dítě sipři hře musí pamatovat řadu údajů aprůběžně počítat. Má kdispozici papír nebo mazací destičku, na kterou si dělá poznámky. Zatím mu stačí udělat si čárku, když cestující nastoupí, aškrtnout ji, když cestující vystoupí. Po čase položíme zákeřnou otázku. Např. Kolik cestujících vystoupilo na druhé zastávce? Udětí tak vystoupili probudíme potřebu lepšího záznamu jízdy. Děti své záznamy nastoupili vylepšují adiskutují, až vzniká tabulka. Tabulka obsahuje všechny údaje ojízdě. Děti seučí pracovat sdaty. Existuje však otázka, na kterou jim tabulka přímou odpověď nedá: Kolik cestujících jelo od umyvadla koknu? Tento údaj musí dítě ztabulky vyvodit. Výhodnější je však rozšířit tabulku ořádek jeli. Ipak ale najdeme otázky načísla, která nejsou vtabulce uvedena přímo. Například: Úloha : Překresli horní tabulku apřikresli knířádek jeli. Odpověz naotázky: a) Kolik cestujících jelo autobusem celkem? b) Kdy bylo vautobusu nejvíce cestujících? c)nakteré zastávce zautobusu ubylo nejvíce cestujících? Vprvní etapě jsme měli zastávky konkrétně pojmenované. Nyní jsou žáci již schopni přejít kabstraktnějšímu značení zastávek písmeny A,B,C. Úlohy sepostupně vystoupili stávají náročnějšími apřidáváme další nastoupili podmínky. jeli Úloha 2: Doplň tabulku, když víš, že na zastávce B nastoupilo = do autobusu 2x více lidí, než zněj vystoupilo. Totéž inazastávce D. V N J A 0 7 B C D E Autobus Prácestabulkou Autobus je hra, která využívá dětem známé prostředí, která jebaví aukteré získávají své vlastní zkušenosti. Na nich je možné stavět při výuce veškole. Autobus vytvoříme zlepenkové krabice azacestující poslouží hračky nebo zátky od PET lahví. Vmístnosti označíme zastávky např.: Nástupní, UOkna, USkříně akonečná. Ukaždé zastávky jejeden výpravčí aještě je zde řidič autobusu. Výpravčí unástupní zastávky vkládá do autobusu zátku aříká jeden cestující nastoupil. Pak vloží druhou zátku aříká další cestující nastoupil. Řidič skrabicí odkráčí ařekne autobus odjíždí, přijíždí na zastávku UOkna. Výpravčí na zastávce vybere jednu zátku aříká jeden cestující vystoupil. Pak vloží do krabice jinou zátku seslovy jeden cestující nastoupil adruhou zátku seslovy další cestující nastoupil. Takto řidič obejde všechny zastávky, až dorazí na konečnou. Kolik cestujících vystoupí na konečné? m mnoha úloh žák tabulce dobře rozumí alépe se vníorientuje. Dalším krokem je rozdělení cestujících na muže a ženy. Úloha 3: Doplň tabulku A B C D E V 0 N 0 J Celkem Na zastávce nevystoupil žádný. Nastoupily zde. Na zastávce nevystoupila žádná.nastoupili zde. Předchozí úlohy žádaly doplnění tabulky. Poslední úloha této části žádá vytvoření tabulky. Proces jízdy je popsán sérií podmínek ažák musí podle nich vytvořit tabulku. 4 Úloha 4: Autobus vyjel ze zastávky Aapřes zastávky B,C,Ddojel na zastávku E. Celkem se vezlo 5žen a4muži. Všichni muži nastoupili na zastávce A. Na každém ze čtyř úseků tratě bylo vautobusu vždy 6cestujících. Na každé zastávce sepočet žen zvýšil ojednu. Napiš tabulku jízdy autobusem. Mateřská škola Při jízdě autobusem pracuje dítě spočtem lidí, ) kteří jsou vautobusu teď (stav), 2) kteří zautobusu vystoupili nebo do něj nastoupili (změna), 3) kteří na dané zastávce doautobusu přibyli nebo zněj ubyli (porovnání). Dítěti tedy dáváme úlohy na stav, změnu aporovnání. Například: Kolik nás je ustolu? Kolik nás bude, ažpřisedne imaminka? Kolik dětí je na pískovišti? Několik rodičů aučitelek hrálo autobus ispředškoláky. Když začínali sjednoduchými úlohami, malým počtem zastávek (Nástupní, UOkna akonečná) acestujících, hra děti bavila. Postupně lze sdětmi rozšiřovat počet zastávek icestujících. Jestliže není dost dětí, pomůže maminka nebo děda. V. a2.ročníku jsme cestující nerozlišovali. Ve 3. a4ročníku jsme již rozlišovali muže aženy. Teďbudeme rozlišovat jednotlivé cestující. Začneme tvořit apoužívat harmonogram jízdy. To žákovi otevírá cestu kpoužívání dalšího nástroje pro práci sdaty. Harmonogram umožní najednou uchopit sérii procesů. Úloha5: Podívej sena harmonogram jízdy autobusu. Podle harmonogramu jízdy vytvoř tabulku jízdy autobusem. Jelo 5lidí A B C D E Úloha 6: Doplň obě tabulky avytvoř pro ně harmonogram jízdy autobusu. a) b) A B C E V 0 V N 0 N 5 J J 3 2 A B C E D D 0 Pan Modrý nastoupil na zastávce Aana zastávce Bvystoupil. Paní Žlutá nastoupila naaavystoupila na C. Paní Zelená jela zbdod. Pan Fialka zcdodapan Okr jel zcdoe. Úloha 7: Napiš harmonogram itabulku jízdy autobusem, když znáš následující informace: Autobusem sevezlo celkem 5lidí. Znich 3nastoupili na zastávce A a2nazastávce C,jeden se vezl pouze jednu stanici, 3jeli 2stanice ajeden se vezl 4stanice. Vautobuse byli stále přítomni alespoň 2lidé. vmagazínu vúterý 8. září Spoluautorka doprovodných textů: Jitka Michnová Zdroj: MF Dnes 9

12 předplatné na nebo na V ceně je přístup do elektronické verze deníku, o žádné vydání tak nepřijdete. Matematika sradostí 3. díl lektorkahejného metody,spoluautorka učebnic, pilotní učitelkapro. stupeň na ZŠ Ing. M. Plesingera,Neratovice ou potřebu vlastního tělesného iduševního běhat, skákat,ale iexperimentovat, na kloub.nebavíhoučení, pokud učením mání aopakování hotovýchpravd apostupů. od žáka takové učení vyžaduje a většina ůsobí. Ale radostjim matematikanepřinese. pěknářádka let, kdyseodehráltentopříběh. rkachodil po pokoji jakolev vkleci.dostal nic. Nedodrželpředepsanépostupy. Ani nerozumělahodnocení. Podívej, povídá, ržel postupy, nevadí. Hlavně,abystomu ch ihned oponoval: Jo,jo, rozuměl!teď to akhle, mami, anež to pochopím, budemeuž jinýho! estouobjevování, ví, co dělá, asvým pům rozumí. Co je to umět? Zcela přesně pučitele,neborozuměttomu, co dělám, a nguje?který druh znalostí žák vživotělépe dehledatpráci?. a2. ročník Zvířátka přibíráme postupně. Dokonce druhého ročníku vystačíme smyší, kočkou, husou, psem, kozou aberanem. Na následujícím obrázku ješest úloh na porovnání sil přetahujících se družstev. První dvě úlohy jsou vyřešeny. Vdalších čtyřech úlohách najdeme třikrát rovnost ajednou nerovnost. Upřípadů nerovnosti může následovat další úloha: Které zvířátko má přijít slabším na pomoc, aby byla družstva stejně silná? Úloha : Omasopustu se do hry na přetahovanou zapojila zvířátka vmaskách. Uvedeme 3případy: Úloha 2: Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou. a) b) c) Vposlední rovnici jsou dvě stejné masky. Za nimi jsou stejná zvířátka. Jak to bude dítě řešit? Například takto: kozu nahradí psem amyší. Dostane rovnici: Když zobou družstev odebere myš, rovnost zůstane zachována. Dostane: Kdyby zamaskou byla myš, bylo by levé družstvo slabší. Zkusíme dát zamasku kočku aono to vychází. Tedy: Úloha je vyřešena. Během řešení sižák uvědomuje důležité pravidlo pro řešení rovnic: rovnice se nezmění, když zobou stran odebereme stejnou hodnotu. Žák toto pravidlo odhaluje postupně asám, dospělý mujeneukazuje. Dospělý člověk obvykle ihned vidí, že zvířátka lze lehce převádět na čísla myš =,kočka =2,husa =3atd. Zdá se mu zbytečné hrát sisikonkami, když to jde řešit čísly. Jenže sčísly nelze manipulovat jako sikonkami zvířat. Dítě pak přichází ocenné zkušenosti svýměnou zvířátek orůzných hodnotách, řeší jen číselné výpočty. Když ovšem žák sám odhalí přepis ikonek na čísla adokáže snimi pracovat, nebudeme mu vtom bránit. Zvířátka dědy Lesoně Připravujemeporozuměnírovnicím Děda Lesoň pečuje ozvířátka: myšky, kočky, husy, psy, kozy, berany, krávy akoně. Zvířátka dědy Lesoně ráda hrají přetahovanou. Všechny myšky jsou zde stejně silné, všechny kočky jsou stejně silné apod. Vztahy mezi zvířátky zapíšeme pomocí ikon takto: Ikonky zvířátek jsou na kartičkách. Dítě řeší úlohy tak, že skartičkami manipuluje. Přibudou nová zvířátka: kráva akůň: Úloha 3: Zjisti, které zvířátko se Úloha 4: Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou akteré ukrývá za maskou. za maskou v rovnici. Hledej více řešení. a) b) c) Rovnici c) řešil třeťák Matěj takto: z obou stran odebral kočku, chvíli se na to díval, pak krávu vyměnil za dvě kozy ařekl, že pod maskou je koza. Jarka (čtvrtý ročník) přepsala ikonky do čísel: x+x+x+2=0+5+2 =7. To upravila 3x+2=7. Za xdala 4,ale to bylo málo. Napsala x=5, to vyšlo. Tedy za maskou jekoza. Úlohu děti řeší zkoušením. Někteří volí azjistí, že. Jiní dají azjistí, že. Další zvolí anajdou.ti, co zvolí,řešení nenajdou. Úloha má tedy tato tři řešení: Vzápisu pomocí čísel apísmen má rovnice tvar 2x+y=3+4. Experimentováním děti najdou řešení: x 2 3 y 5 3 Úloha5: Najdi všechna řešení rovnice. a) b) Mateřská škola Vdnešní době není samozřejmé, aby se děti běžně setkávaly s domácími zvířaty. Vpředškolním věku je však užitečné, když sidítě vytvoří představu otom, jak domácí zvířátka, nejen ta, která jsou uvedena vnašem prostředí, vypadají. Prospěje jim návštěva farmy, kde si budou moci důkladně prohlédnout různá zvířátka, povídat onich, pohladit si je. Dědu Lesoně zavádíme ažve2.ročníku, ale několik rodičů iučitelů si hrálo na myšku, kočku ahusu isdětmi předškolního věku. Těm se úlohy líbily. Pokud zvířátka představují děti, mají nasobě nějaké označení, např. obrázky zvířátek. Jednu takovou úlohu uvedeme: Proti sobě nastoupí dvě družstva: myš akočka proti třem myším. Které družstvo jesilnější? Myšky jsou tři, proto dítě možná řekne, že jesilnější družstvo myšek. Ale kamarád řekne, žekočka je jako dvě myši. Když děti souhlasí, vymění se dvě myši zakočku, takže vznikne družstvo kočky s myší proti kočce smyší: družstva jsou stejně silná. Děti zde úlohu vyřešily pomocí výměny (substituce). Tuto zkušenost využijí později uřešení rovnic. Mohou však úlohu vyřešit ijinak. Vprostředí zvířátek můžeme zadávat isoustavy dvou rovnic odvou neznámých. Úloha 6: Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou akteré za maskou.. Dítě siprohlédne obrázek aprovede výměnu: zelenou ve spodním řádku nahradí dvěma červenými. Tuto rovnici již řešit umí. Dalším prostředím, které napomáhá žákům porozumět 0 kg kg rovnicím, jsou Váhy. Toto prostředí se běžně ve škole používá již léta. Pro nás je nové to, žesestejná rovnice může uvést jak vprostředí Dědy Lesoně, tak v prostředí Vah. Uobou prostředí sbírají děti zkušenosti, na kterých staví řešení rovnic ijejich soustav. Např. úloha 3a) bude vprostředí Vah dána obrázkem výše aotázkou: Jakou hmotnost mákrychle? Úloha 7: Vyřeš dvojice rovnic. a) b) c) Úloha 8: Úlohy 3a) a3b) přepiš jako úlohy ovahách avyřeš je. Úloha 9: Číselnou rovnici 3x +3=2 přepiš jako úlohu a) ozvířátkách, b) ovahách. Úlohy vyřeš. vmagazínu vúterý 8. září Příští díl vyjde vpondělí 7. září Zítra čtěte ve Víkendu o historii školy Spoluautorka doprovodných textů: Pavla Polechová 0 Zdroj: MF Dnes

13 Matematika sradostí. a2. ročník 4. díl Podobné aktivity jsou důležité ive školním věku, vdobě, kdy se dítě číst teprve učí. Slovní úlohy Úloha : Mám komín z pěti krychlí. Postav svůj komín tak, že můj bude o jednu krychli vyšší než ten tvůj. Často dítě postaví komín ze šesti krychlí. Nechá se zmást slovem vyšší a jednu krychli přidá. Vzájemným porovnáním komínů a diskusí dítě zjistí, že musí lépe poslouchat. První slovní úlohy v učebnici jsou takové, že si dítě potřebné informace vyhledává z obrázku. To přispívá k tomu, že později lépe vyhledává klíčové informace ivpsaném textu. Úloha 3: Goran a Petr mají dohromady 2 Kč. Goran má 2 mince a Petr 3. Přesto má Goran o 2 Kč více než Petr. Které mince má Goran a které Petr? Úloha 2: Kolik krychlí má Ivo? Kolik krychlí má Eva? Ivo má krychlí. Eva má krychlí. Kolik krychlí mají oba? Dohromady mají. Kdo mávíce? Více má. Snaha ulehčit dítěti práci tím, že mu radíme, jak úlohu řešit aco a jak sizapsat, je kontraproduktivní. Dítě cítí, že je podceňujeme a ubíráme mu autonomii. Nechme zcela na dítěti, jak úlohu vyřeší. Případnou chybu si vyjasní rozhovorem nejlépe sjiným dítětem. Důležitéje, že dítěví, co dělá, aumí si svéřešení obhájit.vítaným aúčinným nástrojem řešení slovních úloh je dramatizace situaci sdítětem sehrajeme, nebo aspoň modelujeme. Vítána je také metoda pokus omyl, při které dítě získává = se situací mnoho zkušeností, jako například vnásledujících již obtížnějších úlohách. Úloha 4: Když byly Mirkovi 3 roky, narodily se jeho sestry, dvojčata Dana a Jana. Až bude Mirkovi 5 let, budou Janě roky avšem třem sourozencům bude dohromady let. pilotníučitelka Hejného metody pro2.stupeň na ZŠ Ing. M. Plesingera, Neratovice minkauvaří oběd, je celkemběžné se u uzmínitotom, jak nám chutnalo. je nejendalší výbornýoběd, ale ještě ě. Každýmárád pochvalu,je tonormální Někdy ocenění druhýchani není třeba, opodařilo amámeztoho radost. Máme ovat vdalším díle.asi bychom tuto chuť by násněkdo často hanil. Sdětmi ve škole Ije povzbudí pochvala za práci ajejí mtobychom se ve vztahu kdětem měli ím. Nechejme je,aťexperimentujíabádají. dyž cosi objeví. Povzbuďme je, když víme, bné cestě. Můžeme je inasměrovat,ovšem ávodům. Neukazujme dětem, jak se to bývá medvědí služba, kterápomůže jen do života dítětipříliš nedá. Návodnaživot Na to, jak se to dělá, si musíkaždý přijít kola Různorodost úloh vede krůznorodým řešením. Děti křešení hojně využívají imatematická prostředí, ve kterých se běžně pohybují. Nasíle nabývá argumentace atakový zápis, který je srozumitelný nejen řešiteli. Matematická náročnost se zvyšuje postupně. Viz úlohy 0 2. Úloha 5: V únoru snížili cenu zimního zboží o polovinu, v dubnu snížili opět o polovinu. Kolik korun stály rukavicevkvětnu, když jejich cena v lednubyla 300 Kč? Úloha 7: Vúnoru snížili cenu zimního zboží opolovinu, vdubnu snížili opět opolovinu. Kolik korun stály vlednu rukavice, když jejich cena vkvětnu byla 60 Kč? Uvedeme jednu situaci, jak úlohu řešila skupina dětí. Tonda křešení použil graf: Z předchozích zkušeností s podobnými úlohami již věděl, že zde jde od konce. Číslo 60 chápal jako polovinu z ceny v únoru. Zjistil cenu rukavic vúnoru, tedy 20 Kč.Částku 20 chápaljakopolovinupůvodní ceny rukavic v lednu. Díky grafu uměl svou úvahu ukázat i ostatním přesto, že z matematického hlediska lze grafu ještě leccos vytknout. Míša rozuměla úvaze Tondy, ale protestovala. Graf jí nefungoval pozpátku. Ptala se: Co znamená 60 plus polovina? Adam namítl, že to je jako , tedy 60.2.Míša upravila graf: Úloha 6: Vdubnu snížili cenu rukavic o polovinu. Kolik korun stály rukavice před slevou v únoru, když jejich cena po slevě vkvětnu byla 80 Kč? Nyní se radovali všichni. Iti, kteří měli původně názor jiný. Ocenit se již děti uměly mezi sebou vzájemně. Tato série úloh zaujala děti tak silně, že později samy vytvořily úlohu. 60 leden únor květen :2 :2 60 leden únor květen Zvládnout slovní úlohy znamená především rozumět jazyku, který běžně používáme. Ivobdobí, kdy dítě ještě neumí číst, řeší různé úlohy běžného života, které prožívá srodičem. Vbohaté komunikaci srodiči dítě poznává imnoho zmatematiky -čísla, tvary, vztahy, různé situace. Ptám se čtyřletého hocha: Aleši, kdo je syn tvého táty? Hoch se zamyslí, podívá se na tátu ařekne: Já, joapetr. Pětiletá Bára pomáhá mamince strojit stůl. Máma ji požádá, aby ubrousky přeložila na poloviny. Dívka chvíli kouká apak se zeptá: Tak, nebo takto? (na trojúhelník nebo na obdélník). Maminka: Takhle hezky, na trojúhelníky. Naposteli leží medvídek, panenka abagr. Ptáme se: Kolik je to hraček? Přidám na postel ještě autíčko amíč. Kolik hraček jsem přidal? Kolik hraček je na posteli nyní? Medvídka uklidím do police. Kolik hraček jsem ubral? Kolik hraček je na posteli nyní? Na talíři jsou 4jablka. Dvě vidím aostatní jsou pod ubrouskem. Kolik jablek je ukryto pod ubrouskem? Vmodré misce jsou dvě fazole, včervené čtyři. Kde je víc? Okolik? Zčervené misky přesunu jednu fazoli do modré misky. Kde je víc fazolí nyní? Neváhejme dítko zakaždý krok pochválit atvářit se překvapeně, že úlohu zvládlo. Do popředí se zde začne dostávat matematický jazyk. Na základě získaných zkušeností volí často již žáci uúlohy 7křešení jazyk matematický. Je dětem totiž srozumitelný. Vnímají hojako silný matematický nástroj, který jim usnadňuje situaci. Např. Únor: ½ z x=60, x=20; leden: ½ z y=20, y=240. Spřibývajícími zkušenostmi bude časem řada dětí podobnou úlohu řešit pomocí jedné rovnice. Úloha 8: Dnes jsou Bedřichovi 3 roky. Když mu budetolik, co je dnes Adamovi, bude mít Adam 9 let. Kolik let je dnes Adamovi? Úloha 0: Zkohoutku kape voda rychlostí centilitr za ½minuty. a) za jak dlouho zbytečně odteče litr? b) kolik vody zbytečně odteče za5dnů? Úloha 9: Tatínek a maminka váží dohromady 7 kg. Tatínek váží o60kgvíce než maminka. Kolik váží maminka? Úloha : Zimní bunda byla zlevněna o20% anásledně odalších 20 % a) jaká byla konečná cena, když původní cena byla 3200 Kč? b) jaká byla původní cena, když nová cena byla 2400 Kč? vmagazínu vúterý 8. září Spoluautorka doprovodných textů: Jitka Michnová Zdroj: MF Dnes

14 Matematika sradostí 5. díl člen týmuh-mat, spoluautoručebnic pro2.stupeň Součtové trojúhelníky Od sčítání až ksoustavámrovnic Počítat sloupečky příkladů většinu žáků nebaví. Proto jim předkládáme úlohy nasčítání aodčítání vložené do různých prostředí. Ukázka součtového trojúhelníku jena obrázku. Součet dvou sousedních čísel je vždy zapsán vpoli pod nimi. Mateřská škola ajenázorově úlohynepochopili etojasné.v snaží používat zůstává více Ještě než aaříká: Já už istila? Anička: sem pochopila, že Šubrtové že uznat,želukáš pálená, nikdo na považujeme za ědčeni, že kvalitu alostní. Snažíme Děti se učí tím lépe, čím více smyslů zapojí. Vpředškolním věku získávají zkušenosti stím, že sloučením dvou množství vzniká něco nového. Klíčová je přitom možnost si všechno osahat, prohlédnout a sám vyzkoušet. Úloha : Vezmeme zapnutou mikinu azvedneme ji tak, aby sedolním okrajem dotýkala podložky. Jedno dítě vhodí do levého rukávu malý počet kamínků, druhé dítě vhodí několik kamínků do pravého rukávu. Kolik kamínků vypadne dole? Náročnější obměna: Dítě vidí, kolik kamínků se vhodilo do jednoho rukávu, ale nevidí, kolik dáváme do druhého. Ukážeme mu až kamínky, které vypadly dole. Kolik kamínků jsme hodili dodruhého rukávu? Tato hra sedáhrát například srozdvojkou plastového potrubí nebo strychtýřem, kam senevhodí všechno naráz, ale napřed první hromádka apak druhá. ti. a2. ročník Na začátku.třídy děti neumí psát číslice, což jim ale nebrání učit se rozumět počtu a znázorňovat své výpočty na papír. Zatím pomocí čárek nebo teček připomínajících borůvky. Důležité je hovořit sdítětem klidně abeze spěchu, abychom poznali, jestli rozumí, co znamená přidat, dát dohromady, ubrat apod. Zda přitom zapisuje čárky, puntíky, nebo číslice není podstatné. Cílem je směřovat kporozumění, žetři ajedna jsou čtyři, aje jedno, jestli jde oslony, slepice, nebo tečky. Úloha 2: Doplň. 4 2 Při řešení prvního ztrojúhelníků udělá žák tři výpočty: 4+=5, +2 =3a 5 +3=8. Udruhého trojúhelníku musí čtyřikrát sčítat advakrát odčítat. Objevují se výzvy, které vedou žáky knovým zkušenostem aobjevům. Například vnásledující úloze získávají zkušenosti zoblasti kombinatoriky. Úloha 4: Najdi všechna řešení. 0 5 Úloha 5: Doplň Metodoupokus omylžáci najdoudva řešitelské postupy: rozloží dolní číslo na dvěsousední čísla (tedy 33 =7+6, 43 =22+2a53 =27+26),nebonajdoupravidlo, jak zdanýchčísel najít prostřední číslo vhornímřádku. Objevují se náročnější podmínky, které se týkají například součtu čísel vřádku nebo součtu všech čísel vtrojúhelníku. Následující úlohy patří ktěm náročnějším. Úloha 7: Součet všech šesti čísel součtového trojúhelníku je28. Součet tří čísel prvního řádku je6. Najdi tento součtový trojúhelník. Najdi dvě řešení. Úloha 8: Zvyřešeného trojúhelníku utekla čísla 2, 7, 7, 9aještě jedno číslo, které uteklo z papíru úplně. Jak vypadal ten trojúhelník? Po několikanáhodnýchpokusech žák objeví, že vprostředním poli prvního řádkumohoubýt čísla 0,, 2, 3, 4a5 ažádnájiná. Pakjinýžák navrhne počítat isezápornými čísly anajednou se ukáže, že vtakovém případě má úloha strašně moc řešení. Žáci rychle získají zkušenost, že kvýpočtu trojúhelníku se6čísly je nutno zadat 3čísla. Jsou ale případy, kdy řešení nejde rychle najít Úloha 3: Vrať neposedy zpět. Žáci používají metodu pokus omyl, která jezákladem objevování nejen vmatematice. Například objeví, že největší číslo (zde jeto2) je vdolním poli. 9 Časem se objeví ináročnější úlohy. Spojením dvouřádkových trojúhelníků se pomaličku dopracujeme kvíceřádkovým. Celý proces od jednoduššího ke složitějšímu vmysli dítěte zraje delší dobu. Opět se vyplácí nespěchat. Ukazuje se, že nejúčinnější pomocí je naslouchat dětem, jak úloze rozumí, anechat jemluvit mezi sebou. 6 Dalším krokem je přidání podmínky. Pak můžeme modelovatisoustavu lineárníchrovnic. Úloha6: Doplň tak, aby součet dvou čísel ve vybarvených polích byl 9. 5 Úloha 9: Doplň tak, aby součet dvou čísel vzelených polích byl 0asoučet dvou čísel vmodrých polích byl. 2 Rychlejší žáky vede učitel kobjevování vztahů (například tím, že změní požadovaný součet 9najiný). Pomalejší žáci při používání metody pokus omyl procvičí počítání asvým vlastním tempem vylepšují své řešitelské strategie. První úloha modeluje soustavu rovnic x+y=9,y x=5.druhá soustavu rovnic x+y=9, 2x +3=y. Žáci rychle odhalí, že úloha nemá řešení. Pak přijde hlavní výzva: Jak to dokážeš? vmagazínu v úterý 5. září Spoluautorka doprovodných textů: Eva Šubrtová 2 Zdroj: MF Dnes

15 Matematika sradostí 6. díl lektorkah-mat, učí matematiku na ZŠ amšhlásek vhlásnétřebani prorozvojdítěteazároveň to nejtěžší pronás vost.odnarozenísedítě učí samo,zvlastní adšení dospělých, když se postaví, když,kdyžřekne první slovo,první větu. Každý uje úsměvnáslova svých dětíjakodobřejší Nevnímá je jakochyby,ale jako projev ozvoje logického myšlení dítěte. Rodič,který uje iprvnímatematickékrůčkydítěteapodílí dosti zobjevů, tím inadále udržujevysokou rozvoje.ale snahaurychlit matematické oučovánímjekontraproduktivní. Projeví se stojem dítětekmatematice. ujícímu do světamatematikyposkytuje zúspěšnéhovyřešenípřiměřeně náročné snadné,ani příliš obtížné.tutoradost si žák aznovu. Motivacesestává trvalou, dítě má matikou zabývat.. a2. ročník První úlohy řeší žáci metodou pokus omyl. V7.díle se ometodě dozvíte více. Úloha. Vyřeš hada. 3 8 Úloha2. Vyřeš hada spodmínkou. 4 2 Lenka mánalavici nalepenou číselnou osu. Položila prst na číslo 3a odkráčela sním po ose do čísla 8. Kroky počítala. Napočítala jich 5atoto číslo napsala nad první šipku. Marek řešil nejprve číslo vkroužku. Napsal tam 5, zjistil, že to nevychází, pětku vymazal, napsal 6. Tentokrát to vyšlo. Úloha 3. Vyřeš hada spodmínkou =6 Hadi + =9 Zdeňka domodrého kroužku zapsala 3. To pak přepsala idomodrého čtverce a do posledního kruhu dopsala 7. Běžela to ukázat paní učitelce. Tařekla, ať dá čísla idopodmínky. Zdeňka dopsala do kroužku ičtverce trojky. Pak škrtla číslo 9anapsala tam 6. Paní učitelka úlohu přepsala tak, že podmínku dala na začátek, adívce řekla, ať začne podmínkou. Zdeňka napsala 4+5=9a požádala oradu Marušku. Pod jejím vedením pak úlohu vyřešila. Radek vyřešil nejprve podmínku. Napsal 8+8=6. Čísla přepsal do hada. Do prostředního kroužku dopsal 3aběžel to ukázat paní učitelce. Ta jej pochválila ařekla, ať hledá další řešení. Radek úlohu překreslil adopodmínky napsal 0 +6=6. Čísla 0 a6přepsal do hada, do prostředního kroužku dopsal 5aopět běžel zapaní učitelkou. Cestou zjistil, že tam máchybu akúloze se vrátil až doma. Žádné další řešení najít neuměl, tak požádal tátu, ať mu aspoň jedno další řešení ukáže. Tenmuřekl, že se na tovečer podívá. Radek ale zkoušel dál aposlabé půlhodince přiběhl, že už to vyřešil: Hele, tady atady (ukazuje na modré kruhy vhadovi), tomusí být stejný, protože tojede odtud (a ukázal na prostřední kruh vhadovi); tam musí být 8a8ašmytec, řekl sradostí. Od záznamu stavuajeho změnykfunkcím Vživotě čísly vyjadřujeme stavy (mám 0 Kč) izměny (dostal jsem 5Kč). Stejně ivprostředí hadů máme stavy (čísla vkroužcích) izměny (čísla nad šipkami označující přičítání (odčítání) nebo násobení (dělení)). Vprvním hadovi jsou zapsány dva stavy (3 a8)ajedna změna (přičítej 5). Vdruhém hadovi vidíme tři stavy (, 3,2) advě změny (přičítej 2avynásob 4). Když zhada některé číslo nebo čísla vymažeme, vzniká úloha doplň hada Hadi umožňují zapisovat některé slovní úlohy. Úloha 4. Do hada přepiš úlohu: Myslím si číslo. Když jej vynásobím 2apřičtu 5, dostanu 9. Které číslo si myslím? Pak úlohu vyřeš. Karolína četla úlohu omyšleném čísle po kouskách akreslila hada. Přečetla: Myslím si číslo, anakreslila kroužek. Přečetla: Když je vynásobím 2, anakreslila další kroužek, od prvního šipku kedruhému anad šipku napsala 2. Četla: Přičtu 5, anakreslila další šipku skroužkem anad šipku napsala +5; přečetla: Dostanu 9, adopsala do posledního kroužku číslo 9.Její obrázek měl tento tvar: 2 +5 Někteří žáci zcela spontánně pomocí hadů řeší iúlohy, jako jenásledující: Úloha5. Vdubnu stojí bunda 700 Kč. Kolik stála vlednu, když od té doby její původní cenu snížili otřetinu apak ještě o 00 Kč? 9 Prostředí hadů lze využít inarozvoj funkčního myšlení apochopení jazyka algebry. Mateřská škola Přípravou na hady jsou stolní hry, vekterých se hází hrací kostkou. Číslo, které padne nakostce, určí změnu polohy figurky. Napětí soutěže přispívá kintenzitě prožitku této matematiky. Navíc, když dítě vyhodnocuje situaci autváří si plány na výhru, učí se promýšlet budoucí proces pouze vpředstavě. Poznáme to podle toho, žedítě před hodem volá třeba trojku, trojku. Úloha 6. Když vhadovi na dalším obrázku položím x=,zjistím, že y=0. Tato čísla jsou uvedena vprvním sloupci následující tabulky. Doplňte do tabulky scházející čísla. x x y Úloha 7. Rút nakreslila hada ařekla, že jej umí doplnit čísly nad šipkami tak, že tento had dá stejnou tabulku jako had zúlohy 6. Umíte to také? -8 y x y v magazínu v úterý 5. září Spoluautor doprovodných textů: Hynek Humlíček Zdroj: MF Dnes 3

16 Matematika sradostí 7. díl pilotníučitel Hejného metody 2. stupně na ZŠ Brigádníků, Praha zažité, že chyba je něcotrestuhodného. ích je to sice pravda, když se to týká ypilota letadla nebo úředníka za přepážkou výucematematiky platí Chybo,budiž vítána. namným nástrojem poznání.nestačí chybu ůležitéchybu odhalit apoznatjejí příčinu. dcežáka(rodiče, učitele)jenavodit situaci, lmožnost chybu objevit avdiskusi poznat Vdnešním pokračování představíme avučiny, se kterým žáci pracují od konce ítězde dělá mnoho zajímavých výpočtů, odu pokus omyl. Tedy nejužitečnější rada, ítědostat, je: Tak něco zkus. Dítězvolí to je potřeba prověřit,zda je správným enení, volí dalšíčíslo aprocesověřování se édětipotřebují udělatpokusůaomylů více, vhled asvými pokusyserychlejipřiblíží ke ní.. a2. ročník Úloha. Doplň čísla ašipky do pavučin. První pavučina: Zpravého kolečka vede zelená šipka, která přičítá, do čísla 6. Hledáme tedy číslo, kekterému 2 když přičteme, dostaneme 6. Doplníme 5. Některé dítě odčítá (5 =6 ). Nechme každému dítěti jeho vlastní postup. Vdolním levém kolečku musí být 8(6+2 nebo 5+3). Vdolním pravém kolečku je7(protože 7+ =8,nebo 7=8 ) adoplníme žlutou šipku směřující dolů od 5k7. Po vyřešení druhé pavučiny si některé děti všimnou, že do pravého dolního čísla 2 míří dvě červené šipky aobě začínají ve stejném čísle, v0. Je to první zkušenost se zákonitostí, že když ze dvou kroužků vedou dvě stejně barevné šipky dojednoho kroužku, tak vtěch dvou kroužcích musí být stejná čísla. Chceme-li, aby žáci objevili, že je to zákonitost, které lze využít při řešení některých úloh, připravíme jim sérii dalších pavučin první atřetí pavučina vúloze 2. Úloha 2. Doplň čísla do pavučin akšipkám Pavučiny Od jednoduchých zákonitostí krovnicímaposloupnostem Pavučiny jsou strukturální prostředí. Děti zde pracují sčísly vabstraktní podobě ařešením promyšlených sérií úloh objevují zákonitosti. Získávají zkušenosti vztahující se krovnicím akporozumění obtížnějším pojmům aritmetiky, jakými jsou aritmetická posloupnost aaritmetická řada Vidíme zde čtyři kolečka, vjednom je číslo 6adotří prázdných koleček máme čísla dopsat. Dále je zde žlutá šipka, 2zelené ačervená avytečkovaná úsečka. Žlutá šipka značí přičítej. Do dolního kolečka tedy dopíšeme 7(6+). Zelená šipka říká přičítej 2. Do horního kolečka napíšeme 8 (6+2) adopravého 9(7+2). Červená šipka přičítá 3. Jen zkontrolujeme: 6+3 =9.Tečkovaná úsečka spojuje čísla 8a9.Doplníme tedy žlutou šipku od8k9. Prvnípavučina: Žák řeší pokusem omylem a volí například 6 do prostředního kroužku. Brzy ale zjistí, že pavučina nefunguje, že zelené šipky nepřičítají stejné číslo. Tedy zvolí další číslo, například 8. Opět pavučina nefunguje. Když zvolí doprostřed číslo 9, pavučinu dopočítá, vpravo je 5, a zjistí,že již funguje. Když si dítě zákonitosti nevšimne ani po několika dalších úlohách, které mu nabídneme, vůbec to nevadí,dítě pracovalo,hodně počítalo a získávalo vhled do situace. Třeba na ni přijde později nebo mu ji napoví jiný žák. Jen se zdržme zákonitost sami prozradit. Když vidíme, že dítě uvedenou zákonitost již využívá k řešení, zeptáme se, co kdybychom v zadání změnili 5 na 3, nebo. Když dítě odpoví, že tam budou vždycky stejná čísla,přivedli jsme jej ke skutečnému objevu zákonitosti, která je výše popsána. (Matematicky bychom ji mohli popsat takto:jestliže pro reálná čísla x, y, a platí,že x+a = y+a, pak x = y.) Dále ukážeme,jak děti získávají zkušenosti sřešením jednoduchých rovnic asaritmetickou posloupností. Úloha 3. Doplň Vprvní pavučině vidíme sériitří modrýchšipek. Dítěvidí, že zčísla 7 se dostane dvěma modrými šipkami do 9.Situacejetak výmluvná, že je hned vidět, že vlevo je číslo 8. Modrášipkatedy přičítá avpravémkroužkuje6. (Zapišme to jazykemmatematiky: 7+2m =9,tedy m=.číslo mjeto,které přičítá modrášipka. Dále můžemeříci, že čísla6, 7,8 a9 jsou čtyři po sobě jdoucí členyaritmetické posloupnosti, kterároste po.) Ve druhé pavučině jesituace obdobná, jen trochu méně přehledná. Ve třetípavučině jsoutřemi žlutými šipkami spojena 4čísla posloupnosti: 2,?,?,. Žák siale říká: Z2do se dostanu třemi žlutými šipkami. Ty přičtoudohromady9,tedyjedna žlutá šipkamusí přičíst3. Vpavučinách si děti snadno zkontrolují, zda pavučina funguje apřípadně si samy mohou najít chybu. 2 Úlohou 5otevíráme dokořán dveře rovnicím. Úloha 5. Zvol růžové číslo tak, aby součet a) tří dolních čísel byl 30; b) tří horních čísel byl 30; c) všech šesti čísel byl 5. Úloha 4. Doplň pavučiny, když víš, že a) nejmenší číslo je 5; b) největší číslo je 00; c) součet nejmenšího anejvětšího je ; d) součet všech pěti čísel je Děti, které již umí pracovat sneznámým číslem pomocí x, si doplní x do růžového kolečka adále dopíší x+ a x+2, anahoru x+3, x+4 a x+5. Samozřejmě děti nenutíme do použití písmen. Písmena začnou používat, až uvidí, že jim přinášejí zjednodušení. 3 a) b) c) d) Vúloze a) děti uvažují opozici nejmenšího čísla pavučiny aargumentují, proč nejmenší číslo je zrovna to, ze kterého všechny šipky vycházejí. Obdobně pro největší číslo vúloze b). Úlohy c) ad) jsou již obtížnější avyžadují mnohé počítání. Matematik by využil vztahů čísel varitmetické posloupnosti ařešení by vedlo krovnici odvou neznámých. Vc)jeto 2x+3y =, vd) 5x+0y =5, kde xjedolní, resp. pravé dolní číslo vpavučině ačíslo ypřičítá žlutá, resp. červená šipka. Rovnice vc)má2řešení vpřirozených číslech arovnice vd)jedno. vmagazínu v úterý 5. září Spoluautor doprovodných textů: Darina Jirotková 4 Zdroj: MF Dnes

17 Matematika sradostí 8. díl zástupkyně pro.st. na ZŠ Vratislavova, Praha 2, učí 4. rokem Hejného metodou chybě,kterouudělám já učitel/rodič? upozorní na chybu, poděkuji anahlas em ji udělala.tímto postojem ukazuji tři edna je,žechyba je přirozenávěc,kterou každý. Druhá je,jak schybou pracovat, letnad jejími příčinami.atřetí, jak jsem oučila acomám příštěudělat, abychsejí To je veliceúčinný způsob prohlubování matematice. Učitelé,kteří takto postupují y, brzy zjistí, že žáci sami, bezvyzvání, po yběoznamují její příčinu. Někdy dokonce ní, že minulejsemudělalstejnou chybu. dítěkáráme, zpomalujeme jeho rozvoj a mu oblast, ve kteréchybovalo.když atematice, znechucujeme mu matemati-?????????. a2. ročník Úloha 4: Na stole leží dvě kartičky. Jedna leží rubem adruhá lícem. Když přičtu tyto dvě tečky ktěm, co se ukrývají na vedlejší kartičce, bude jich pět. Kolik teček seukrývá na vedlejší kartičce? Odpověď sidítě prověří. Úloha 5: Myslím sičíslo, když kněmu přičtu jedna, dostanu čtyřku. Jaké číslo si myslím? Dítě sitipuje 2. Pomocí prstů zjistí, že 2+je málo. Jeho druhý tip je 3. Tojedobře neboť 3+=4.Popsaný způsob řešení nazýváme pokus-omyl. Jedná se oklíčovou řešitelskou strategii vprocesu učení se matematice, proto vníděti podporujeme. Díky těmto pokusům aomylům dochází děti khlubším objevům. Ve 2. ročníku seobjeví již ipolovina. Úloha 7: Myslím si číslo. Jeho polovina je šest. Jaké číslo si myslím? Ve 2. ročníku se objeví izáludné úlohy. Úloha 6: Myslím sičíslo. Když k přičtu myšlené číslo, dostanu 5. Jaké číslo simyslím? Složitější text vede některé děti kneúplnému uchopení textu. Dítě slyší čísla a5asloveso přičtu. Taktačísla sčítá aodpoví 26. Jenže slovo přičtu zde není signálem na to, cosemáudělat, ale antisignálem. Poznání příčiny této chyby dítěti výrazně pomůže kporozumění slovním úlohám. Úloha 8: Myslím si číslo. Když kněmu přičtu polovinu čísla 8, dostanu 3. Jaké číslo si myslím? Dítě úlohu rozloží na dvě úlohy. Nejprve najde polovinu z8,tj. 4. Pak hledá číslo, pro které je +4=3. Zkusí číslo 0, vyjde mu 4. Ajiž vidí, že to hledané číslo je 9. Je vidět, že dítě již nepostupuje jen náhodným dosazováním čísel, ale již využívá nabitých zkušeností při práci sčísly. Myslím si číslo Rozvíjíme krátkodobou paměť a řešitelské strategie Prostředí Myslím si číslo rozvíjí schopnost dítěte pracovat sčíselnými vztahy pouze vpaměti, tj. mentálně. Dítě, které tonesvede, sipomůže záznamem čísla nebo obrázkem na papíře. To můžeme poradit dítěti, které mástěmito úlohami těžkosti. Mateřská škola Dítě, které již dobře umí počítat dopěti, které dobře spočítá 3míče amíč, dostane úkol, ve kterém některé počítané předměty nevidí. Musí část výpočtu udělat jen mentálně. Úloha : Dva plyšáky přikryji dekou. Kristián to vidí. Řeknu: Teď pod deku přidám ještě medvídka (přidávám). Kolik zvířátek je pod dekou? Kristián běží, odhalí deku aspočítá. Ptám se jej, zda by to uměl ibez odhalení deky. To je druhý pokus, pak třetí. Nakonec se to povede. Kristián třeba zjistí, že se to dá udělat pomocí prstů. Tento trik mu ale neradíme, ochudili bychom jej oradost zobjevu. Úloha 2: Na schody dám panenku ao3schody výše méďu. Ptám se: Kolik kroků musí udělat panenka, aby bylo vedle médi? Klára počítá ařekne dva. Žádám ji, ať toprověří. Stoupne si vedle panenky, kráčí apočítá. Zjistí, že musí udělat tři kroky. Další úlohu již vyřeší správně. Později přijde náročnější úloha. Úloha 3: Na schodech je jen méďa. Řeknu: Postav se na některý schod tak, žekdyž uděláš tři kroky nahoru, budeš stát vedle médi. Ve 3. a4.ročníku stoupá obtížnost úloh. Pokračují úlohy se zlomky, přichází rovnice azvyšuje se číselný obor. Úloha 9. Myslím si číslo, jeho čtvrtina je 7. Jaké číslo si myslím? Úloha 0. Myslím si číslo. Když kjeho pětinásobku přičtu 6, dostanu 2. Jaké číslo si myslím? Žáci už řeší složitější slovní úlohy. Zjistí ito, ženěkdy je slovní úloha po přepsání do rovnic složitější než úloha řešená jen vhledem. Pěkná ilustrace je úloha. Tapo přepsání do rovnice zní x x = Tuto úlohu asi žáka cvičeného vřešení rovnic nenapadne řešit pomocí obrázku. Ale toho žáka, co tenkrát na řešení obrázkem přišel, to napadnout může. Další takovou úlohou může být: Úloha 2. Myslím si dvě čísla. První je otři větší než druhé. Součet obou je 7.Jaká čísla si myslím? Někteří žáci úlohu mohou řešit metodou pokus omyl. Zvolí nějaké číslo, zvětší jej o3azkoumají, zda posečtení zvoleného azvětšeného čísla dostanou 7. Sčíslem tonevyjde, ale sčíslem 2to vyjde. Jiní žáci si tuto úlohu zapíší jako soustavu dvou rovnic odvou neznámých: y=x+ 3 x+y=7 Úloha : Myslím si číslo. Jeho polovina je o2větší než jeho čtvrtina. Před několika lety skupina učitelek viděla, jak ve 4. třídě Jitka Michnová dala tuto úlohu žákům vrozcvičce. Učitelky udivilo, když seběhem krátké chvíle objevila správná řešení. Lucka vysvětlila, jak tořešila: Nakreslím kruh rozdělený načtvrtiny. Čtvrtina je polovina poloviny. Takže sem napíši 2. Dvojku napsala Lucka do všech čtvrtin. Součet je 8. tedy nespočívalo vpočítání, ale vmalování. Vjednoduchém uchopení celé situace. vmagazínu v úterý 5. září Příští díl vyjde v pondělí 4. září Zítračtěte ve Víkendu: Mistři čísel Spoluautorka doprovodných textů: Jana Slezáková Zdroj: MF Dnes 5

18 Matematika sradostí 9. díl lektorkah-mat, učí na. i2.stupni na FZŠ Barrandov II při PedF UK kdyveškole setkal se situací,kdy vypadatúplněnenápadně,pokud neměl odpověď, nebosijen nebyl myšlenky. Strach zneúspěchu ouzavřel cestukdalšímúvahám. ablokovalmyšlení, překazil nám šího učení. Odstraněním strachu (anejenmatematiky),strachu nalýchřešení se můžeme epři řešení problémů, při Bezpečné prostředí vzájemné žákemjeklíčktouzedítěte Na začátku třetího ročníku můžeme dětem nabídnout následující úlohy. Děti pracují se zlomky, pojmenovávají je, ale ještě nezapisují. Dříve seučí jim porozumět apak ažzapisovat. Úloha. Polovina tyče je natřena na modro, čtvrtina na zeleno azbytek na červeno. Jak dlouhá je modrá ajak červená část, když celá tyč měří a) 20, b) 60, c) 72 centimetrů? Důležité zde je,že se děti seznamují s polovinou a čtvrtinou na jiném modelu,než jsou lentilky nebo pizza. Na obrázku vnímají, že dvě čtvrtiny jsou jako polovina. Když dáme dětem tyč nebo její obrázek,můžemepracovatis jejískutečnou délkou ařešenímohou dětizjistit,neboověřit měřením. Úloha 2. Čtvrtina tyče je natřena na modro, zbytek nazeleno. Jak dlouhá je modrá část ajak celá tyč, když zelená část měří a) 30, b) 60, c) 45, d) 2, e) 42, f) 63 centimetrů? Vzadání úlohy semluví jen očtvrtině, ale žák pracuje se zelenou částí, což jsou tři čtvrtiny. Tedy známe délku tří čtvrtin. Když si dítě nakreslí obrázek tyče avyznačí čtvrtiny, jednu znich obarví na modro, uvidí, že zelená část mátři čtvrtiny, tedy danou délku rozdělí na tři stejné části, atak dostává čtvrtinu. Zlomky Utváříme představu ozlomku od části celkukčíslu Zlomky znali již staří Babyloňané. Více než tisíc let poznávali jen zlomky kmenové, tj. ½, ⅓, ¼, * Proto imystěmito zlomky seznamujeme děti již od první třídy. Mateřská škola Idítě předškolního věku běžně slyší, že maminka kupuje půlku chleba, že pojedeme čtvrt hodiny, že skončila první třetina zápasu. Hlubší porozumění těmto slovům dítě získá, když samo dělí lentilky nebo koláč mezi dva nebo ivíce kamarádů. Lentilky dělí rozdělováním jedna tobě, jedna mně, jedna tobě,. Když je lentilek lichý počet, dostane kamarád ojednu více. Zjistíme to, když lentilky seřadíme do dvou zástupů vedle sebe. Koláč dělí dítě krájením. Jedno dítě krájí adruhé si jako první volí svoji polovinu. Idělení koláče načtvrtiny umí více předškoláků. Sdělením koláče na třetiny jetosložitější. Zeptá-li se dítě rodiče, cojeto pětina, řekneme mu, že když koláč spravedlivě rozdělíme mezi pět dětí, každý dostane jednu pětinu. Když sepředškolák neptá, nic mu ozlomcích neříkáme, ani jej natento jev neupozorňujeme. Snaha opředčasné vyučování dítěte může vjeho mysli vyvolat nechuť, ne-li odpor kezlomkům.. a 2. ročník *Z typografických důvodů používáme pro zápis zlomků šikmé lomítko. Děti se však setkávají vnašich učebnicích se standardním zápisem zlomku. Např Slova rozpůlit a polovina jsou vstupní branou do světa zlomků. Najít střed proužku papíru je totéž, co rozdělit proužek na poloviny. Každý žák dostane proužek papíru atužkou na něm vyznačí střed. Pak přeložením proužku zjistí, jak semýlil. Úlohu mnoho žáků chápe jako výzvu naučit se najít střed. Ve svém vědomí tak propojují polovinu astřed, aritmetiku a geometrii. Úloha odělení zvířátek do tří stejně silných družstev dává žákům zkušenost se zlomkem třetina, očtvrtině se mluví vsouvislosti shodinami, na konci druhého ročníku žák zjišťuje, kolik dní je pětina června akolik šestina června. Ve čtvrtém ročníku začínáme zlomky zapisovat čísly. Žáci řeší iúlohy, které řešili písaři starého Egypta. Ti uměli zapisovat jenom kmenové zlomky anapříklad zlomek 2/3 nevnímali jako část celku, ale jako jeden díl při dělení dvou chlebů mezi tři podílníky. Chleby dělili tak, žekaždý dostal úplně stejné kusy, těch kusů bylo co nejméně abyly různé. Nikdo neměl dva kusy stejné. Na obrázku vidíme, jak to dělali. Tedy každý podílník dostává ½ + chleba. Žáci řešením úlohy odhalí rovnost ⅔ = ½ +. Podobně když dělí 3chleby mezi 5podílníků, nebo 2chleby mezi 5podílníků, odhalí žáci rovnosti = ½ + /0 a = ⅓ + /5. Žáci setakto naučí rozkládat zlomky nasoučet kmenových zlomků. Sčítání aodčítání zlomků odhalí pomocí čokolády. Úloha 3. Pomocí čokolády vypočítej a) ⅓ + ¼ b) ⅓ ¼. Čokoláda obsahuje 2. ⅓ čokolády je jeden řádek, tedy 4. ¼ čokolády je jeden sloupeček, tedy =7. Ale = /2 čokolády. Tedy a) ⅓ + ¼ =7/2 ; b) ⅓ ¼ =/2. Úloha 4. Čtverec na obrázku jerozdělen na 4části. Obvod žlutého čtverce je 8cm, obvod zeleného čtverce je 4cm. Zjisti, jakou částí obsahu celého čtverce je a) zelený čtverec, b) obdélník složený zmodrého azeleného pole, c) žlutý čtverec, d) modrý obdélník. Žák si může obrázek překreslit na čtverečkovaný papír. Ví, že strana žlutého čtverce je2azeleného. Nakreslí tedy čtverec 3x3 arozdělí jej stejně jako naobrázku. Zbytek je již jednoduchý. Úloha 5. Podobný obrázek jako jeten zúlohy 4,ale rozměry má jiné. Víme, žeobvod bílého obdélníku je 6 cm aobvod obdélníku složeného zmodrého obdélníku azeleného čtverce je 20 cm. Dále víme, žeobsah žlutého čtverce je 9/6 obsahu celého čtverce. Zjistěte, jakou částí celého čtverce jemodrý obdélník. Žák může použít metodu pokus-omyl. Protože bílý obdélník má obvod 6 cm, jsou jeho rozměry x7, nebo 2x6, nebo 3x5.Budeme tedy vyšetřovat tři uvedené případy. Vpátém ročníku kesčítání zlomů používáme iciferník. 0 Úloha 6. Vypočítej pomocí ciferníku a) ½ + b) + ½ 9 8 Zlomek jenástroj na práci sčástmi. Není tonástroj jediný. Druhý takový nástroj jsou desetinná čísla. To, že ½ =0,5 a ¾ =0,75,znají již 7 čtvrťáci. Teďpřichází náročnější úlohy napropojení zlomků adesetinných čísel. 2 2 Úloha 7. Na číselné ose vyznač čísla 0,, ½, ⅓, ⅔, a. Zjisti, do kterého zintervalů tvého obrázku padne číslo: a) 0, g) 0,7 b) 0,2 h) 0,8 c) 0,3 i)0,9 d) 0,4 j)0,33 e) 0,5 k)0,34 f) 0, vmagazínu v úterý 5. září Spoluautorka doprovodných textů: Anna Antonová 6 Zdroj: MF Dnes

19 Matematika sradostí 0. díl lektorkah-mat, učitelka Cy cír štědefinici lichoběžníkunebo vzorečekpro rce? Ne?Pročsenám to neudrželo ožejsmetonepotřebovali? Apročjsme se Problém je vtom, jak jsme se to učili. vede žákykautonomnímu hledání řešení ívztahů, rozvíjí jejichschopnostřešit osiluje jejich intelektuálnísebevědomí a kmnohem víc nežučitel, který jim ukazuje, en typ úlohyřešit.první cestavyžaduje as, výsledky se dostavují pomaleji, ale jsou íaschopné dalšího rozvoje.provází je vlastního růstu. Druhá cestajerychlejší,ale še informaci nežskutečnýpoznatek. Navíc poselství, že nemánic vymýšlet,ale,co mu učitel ukáže.jsme přesvědčeni,. a2. ročník Sřadou činností, které dále uvedeme pro žáky. 2. ročníku, mohou začít iděti vpředškolním věku. Důležité je, že dítě zde myslí rukama apoznává pojmy, které později dostanou název jako mnohoúhelník, vrchol, strana, úhlopříčka apod. Začínáme volnou tvorbou. Žáci si sgeoboardem hrají, tvoří různé obrazce. Onich si povídáme. Děti používají metaforický jazyk vypadá to jako domeček, jako zobák apod. Dospělý děti neopravuje, ale sám se snaží používat správné termíny. Ty pak děti od něj postupně převezmou. Ktěmtočtyřem obrazcům se budou vztahovat úlohy. až 8. Úloha. Vytvoř na svůj geoboard postupně obrazce podle obrázku Při kopírování obrazce na geoboard dítě začíná obrazec vnímat hlouběji. Už nestačí, že vypadá jako šipka, ale vnímá jeho vlastnosti, např. mápět vrcholů, různě dlouhé strany, pravý úhel, gumička sedotýká pěti kolíků apod. Dítě při kopírování obrazce analyzuje. Časté diskuse se týkají druhého modrého obrázku. Je to kosočtverec, nebo čtverec? Dítě vidí čtverec postavený na koso. Geoboard ale umožní obrazcem pootočit ažáci tak poznávají, že název obrazce nezáleží najeho poloze. Vidí, že je to čtverec. Následující série úloh směruje naši pozornost na pojem délka úsečky aobsah obrazce, jednotka obsahu aodhalení způsobu, jak určit obsah útvaru bez vzorečku. Úloha 2. Modrý tvar rozděl na dvě stejné části. Totéž udělej sežlutým izeleným tvarem. Úloha 3. Ke žlutému trojúhelníku přidej hnědý trojúhelník tak, aby oba trojúhelníky dohromady tvořily čtverec. Úloha 4. Kčervenému trojúhelníku přidej hnědý trojúhelník tak, aby oba trojúhelníky dohromady tvořily trojúhelník, který je zvětšením trojúhelníka žlutého (tj. trojúhelník pravoúhlý, rovnoramenný). Úloha 5. Červený trojúhelník má tři strany a zelený pětiúhelník jich má pět. Uspořádej tyto strany od nejkratší ponejdelší. Úloha 6. Představ si, že máš trojúhelníkový kachlík, který se přesně vejde do žlutého trojúhelníka. Kolik takových kachlíků jetřeba na pokrytí a) modrého čtverce, b) zeleného pětiúhelníku? Manipulativní zkušeností kporozumění2dgeometrii Rozhovor žáka 6.ročníku sučitelem. U: Jak je definován ostroúhlý trojúhelník? Ž: Má všechny úhly ostré. U: Acotrojúhelník tupoúhlý? Ž: Tenmávšechny úhly tupé. U: Můžeš mi takový trojúhelník nakreslit? Ž: To neumím, játoumím jenom říct. Očem svědčí výpovědi našeho žáka? Žák umí tvořit analogická tvrzení, ale geometrii má uchopenu pouze slovy, definicemi amožná ivzorci, za nimiž chybí představa aporozumění. Představíme nyní prostředí, ve kterém děti získávají mnoho zkušeností sgeometrickými útvary, jejich vlastnostmi avztahy mezi nimi, vněmž mají možnost snadno argumentovat avyvozovat pravidla. Zkušenosti, které procházejí rukama, jsou cenné. Začneme tedy manipulacemi na geoboardu. Geoboard je deska s9(nebo ivíce) kolíky rozmístěnými do čtverce 3x3 (4x4, 5x5, ). Na kolíky natahujeme barevné gumičky atvoříme různé obrazce. Zgeoboardu přecházíme na čtvercovou mříž. Zkolíků sestaly mřížové body aobrazcům budeme říkat mřízové mřížovýtrojúhelník atd. Při hře Telefon děti popisují mřížové obrazce jakoby někomu do telefonu. Pak dostanou výzvu, aby zapsaly obrazce pomocí znaků. Po několika pokusech adiskusích se objeví šipkový zápis mřížového obrazce, neboť jazyk šipek znají děti zkrokování. Na obrázku jetrojúhelník KLM, který je zapsán pomocí šipek takto: K L M K. Zápis čteme: Začínám vbodě K, udělám dva kroky vpravo, jeden nahoru azde označím bod L. Zbodu L pokračuji krok nahoru, krok doleva azde je bod M. Pro kontrolu z M udělám jeden krok doleva adva dolů, jsem opět vk. Narýsuji úsečku KL, LM ataké MK. Úloha 7. Třišipkové zápisy popisují tři obrazce zobrázku nad první úlohou. Vrcholy nejsou popsány písmeny, pouze označeny tečkami. Najdi je adoplň šipkový zápis čtvrtého obrazce. K M L Následující úlohy jsou přípravou na objev Pythagorovy věty. Úloha 0. Je dána úsečka AB šipkovým zápisem a) A B b) A B c) A B d) A... B (tři tečkyznamenají, že šipek dopravabude libovolně) Nakresli ji vmříži adorýsuj čtverec ABCD. Dopiš šipkový zápis čtverce aspočítej jeho obsah. Jednotkou obsahu pro nás bude nyní jeden čtvercový kachlík. Úloha 8. Žlutý trojúhelník má obsah půl čtvercového kachlíku. Zjisti obsah každého zútvarů na obrázku nad první úlohou. Žáci najdou obsah modrého izeleného útvaru, ale sčerveným trojúhelníkem je problém. Žáci jej různě stříhají, někteří dojdou ikzávěru, žeobsah je jeden čtvercový kachlík, ale jistotu nemají. Radou jejim následující úloha. Úloha 9. Zjisti obsah žlutého, modrého ibílého trojúhelníku na obrázku. Žáci snadno zjistí, že modrý trojúhelník má obsah 2kachlíky, protože jeto polovina celého čtverce aten má obsah 4kachlíky. Žlutý trojúhelník je polovina obdélníku sobsahem 2kachlíky, tedy má obsah kachlík. Pak některý žák objeví klíčovou myšlenku: bílý trojúhelník získáme, když odčtverce (4 kachlíky) odřízneme modrý ažlutý trojúhelník. Tedy pro výpočet obsahu platí: 4 2 =.Obsah bílého trojúhelníku je jeden kachlík. vmagazínu v úterý 22. září Spoluautorka doprovodných textů: Darina Jirotková Zdroj: MF Dnes 7

20 Matematika sradostí. díl Jana Slezáková přednáší na PedF UK vpraze, spoluautorka materiálů pro MŠ a učebnic pro.st., lektorka,tutorka Hejného metody Novorozeně přichází na svět vybaveno potřebou růstu. Tělesného iduševního.učí se chodit, učí se mluvit. Když to již umí, má potřebu rozvíjetschopnostmyslet. Dcera se mi chce pochlubit tím, na co přišla ve školce. Jde to ztuha, protože není lehké zformulovatmyšlenku. m Nejraději bych to řekla za ni, neboť vím, co objevila. Ale odolám pokušení aposlouchám dívčino kostrbaté povídání. Nakonec se jí to povede amáme radostobě.dcera ztoho,že jsem pochopila její povídání, já zjejího pokroku.. a2. ročník Hra naobchod pokračuje. Kupující iprodavači jsou žáci. Mince jsou žetony různé hodnoty odlišené barvou avelikostí. Když kupující pětikorunou platí gumu za 4Kč, prodavač muvrátí Kč. Úloha 2. Před dítětem je položeno 8předmětů, ukaždého je cenovka (od 4do20Kč). Vedle jsou průhledné sáčky smincemi ažák má ke každé věci přiřadit sáček sdaným obnosem peněz. Úloha 3. Na obrázku jsou tři děti a7mincí. Rozděl peníze spravedlivě. Pokladna Mince Číslo jakopočet ajakohodnota Prostředí mince dává dítěti zkušenost srozdílem mezi počtem ahodnotou. Pětikoruna má větší hodnotu než tři korunové mince, kterých je více. Ilustruje to následující příběh. Vobchodě dává máma prodavačce na dlani dvě mince: korunovou advoukorunovou. Říká: Tady jsou tři koruny. Její syn sedící vnákupním vozíku protestuje: Dvě! Moudrá máma vymění dvoukorunu apodává prodavačce tři korunové mince. Tentokrát je syn spokojen. Hoch zná číslo jako počet, ale zatím ne jako hodnotu. Po prvních neúspěšných pokusech přidělí žák každému mince vhodnotě 5korun azůstane mu jedna jednokorunová ajedna dvoukorunová mince. Pak jej napadne změnit řešitelskou strategii. Nebudu peníze rozdělovat, ale každému dám obnos 6Kč. Úloha 4. Květa máněkolik pětikorunových mincí ajednu jednokorunovou minci. Šárka má7 stejných mincí. Když dá Květa Šárce Kč, budou mít obě dívky stejně. Kolik korun má Květa akolik Šárka? Viděla jsem dva žáky osmé třídy, jak se pokoušeli tuto úlohu řešit rovnicemi. Po několika neúspěšných pokusech vyřešili úlohu metodou pokus-omyl. Spokojeni nebyli, neboť: My to nevyřešili, ale uhodli. Řekla jsem jim, že nevidím důvod neuznat metodu, která vede ke správnému výsledku. Asi to nevzali. Vprostředí mince se objevují stále obtížnější úlohy, které rozvíjí ikombinatorické schopnosti dětí. Děti si procvičují izaokrouhlování. Úloha 5. Kolika různými způsoby zaplatíte 25 Kčpomocí a) tří mincí b) čtyř mincí c) pěti mincí? Úloha 6. Žluté lízátko stojí 3,60 Kč ačervené 3,70 Kč. Dopoledne si Jára koupil žluté aodpoledne červené lízátko. Pokaždé zaplatil 4Kč. Radim mu řekl, že kdyby sikoupil obě lízátka najednou, Kčbyušetřil. Má Radim pravdu? Mateřská škola Dcerka siráda hrála na obchod. Já byla prodavačka, ona kupující (nebo obráceně) avedly jsme řeči, jaké dívka slyšela vobchodě. Pojisté době sama obohatila hru openíze, které jsme si vyrobily. Později jsem musela vzít opravdové mince. Dívka pochopila, že když si vmém obchodě kupuje tužku za3kč, může dát dvě mince. Dokonce ito, že když mi dá dvě dvoukorunové, musím ji Kčvrátit. Achtěla již platit ipětikorunou. Když již má dítě zkušenosti sjednokorunovými advoukorunovými mincemi, může řešit úlohu: Úloha. (hra) Dvě hromádky mincí. Na první jsou tři jednokorunové mince anadruhé jsou dvě dvoukorunové mince. Jednu hromádku volí dítě, druhou dostane medvídek. Pak oba půjdou nakupovat domámina obchodu. Tamje ke koupi imíč za 4Kč. Kdo sijej bude moci koupit? Trojice úloh naznačí šíři matematických myšlenek, které vprostředí mince lze rozvíjet. Úloha 7. Aleš má 3mince: 0 Kč, 5Kč, 2Kč. Boris má čtyři jednokorunové mince a Cyril má jednu dvacetikorunovou minci. Hoši vyhráli 99 Kč. Dostali dvě padesátikorunové mince avrátili Kč. Jak si hoši mince spravedlivě rozdělí? Klíčem křešení je otázka: Kolik bude mít nakonec Aleš, kolik Boris akolik Cyril? Kdybychom žákovi tuto otázku položili, tak jsme za něj úlohu vlastně vyřešili. Úloha 8. Na stole leží 75 Kč v8mincích. Tři znich patří Evičce, zbytek Daně. Když Eva zvýší svůj majetek otřetinu adana svůj majetek sníží očtvrtinu, budou mít dívky stejně. Které mince má Eva? Úloha 9. Tomáš má několik pětikorun akč. Ondřej má několik dvoukorunových mincí. Oba mají stejně peněz. Zjistěte, kolik mincí má Tomáš akolik Ondřej, když víte, že dohromady mají a) 4mince, b) 25 mincí, c) 95 mincí. vmagazínu vúterý 22. září Spoluautorka doprovodných textů: Hana Kubová 8 Zdroj: MF Dnes

21 Matematika sradostí 2. díl EvaŠubrtová lektorkah-mat, učí na KřesťanskéZŠ amšeliáš vpraze 2. ročník Úloha. Násobilkový čtverec na obrázku máčtyři rohová čísla (v žlutých polích) ačtyři středová čísla (v zelených polích) Násobilkové čtverce a) Vysvětli, jak ze čtyř rohových čísel můžeme najít všechna středová čísla. b) Vysvětli, jak ze čtyř středových čísel můžeme najít všechna rohová čísla. Úlohu a) vyřeší žáci snadno. Trochu náročnější je úloha b), protože zde nejde ojednoduché násobení, ale orozklad čísla na součin. Někdy hned na první pokus žák správně rozloží horní číslo 6na2 3 azbytek již jde lehce. Někdy se to povede až na druhý pokus. Úloha 2. Doplň scházející čísla. Dítějezvídavé atvořivé. Vjeho hlavě se rodí spousta myšlenek, jeho zkušenosti apoznatkyseneustále formují, propojují azrají. Stejně jakoneuspěcháme pečení chleba zvýšením teplotypece, idítětimusíme dátčas, abysevněm představy amyšlenky samy dopekly. Při řešení úloh si sním tedy povídáme aklademe otázky(co jsi vytvořil, jak poznáš, že ). Neptáme se však proto, abychom získali příležitostmutopěkně vysvětlit, ale abychom slyšeli, co nám otom dítěsamo poví. Tím, že nám něcovysvětluje,jenuceno formulovatsvé myšlenky, apokud se mu to napoprvémoc nezdaří, bude se pokoušetsvoje vysvětlení zpřesňovat. Tímzpřesňuje aprohlubuje isvoje myšlení. Snaha rodičedítětivěci vysvětlit vede koslabení potřebydítětevěcem porozumět. Dítěsetím nedostává ke skutečnému poznání, ale pouzekjeho protéze. a) b) c) Od násobilkykalgebře Prostředí násobilkových čtverců začíná až ve 2. ročníku. Je důležiténejen prooperaci násobení, ale ipro dělitelnostaalgebru Horní řádek náročnější úlohy c)jestejný jako učtverce zúlohy b). To napoví řešení. Všechny úlohy, které jsme zatím řešili, měly vždy jediné řešení. Následující úloha jich bude mít více. Úloha 3. Vytvoř si násobilkový čtverec. Všechna čtyři středová čísla jsou stejná: 6. Najdi všechna rohová čísla. Když horní levé rohové číslo žák zvolí (2, 3, nebo 6), lehce dopočítá zbylá tři rohová čísla. Na papíře teď leží čtyři řešení ažák se ptá, zda tadvě, vekterých máme dvě jedničky advě šestky, jsou různá, nebo stejná. Odpovíme, žejena něm, jak si to zvolí. Když se rozhodne považovat jezastejná, protože jedno je jen pootočením druhého, bude úloha mít jen 2řešení. Vopačném případě bude mít řešení Úloha 4. Vnásobilkovém čtverci je horní středové číslo 8. Další dvě středová čísla jsou 27 a8. Najdi čtvrté středové číslo adoplň rohová čísla. Hledej více řešení. Náročná úloha. Žák nejprve zjistí, že dolní středové číslo musí být buď 27, nebo 8. Když je dolní středové číslo 27 apravé středové je 8, tak levé středové vychází 6. Teď má úloha 2řešení. Když je dolní středové číslo 8 apravé středové je 27, tak levé středové vychází 54. Teďmáúloha 3řešení. Úloha 5. Doplň číslo vmodrém rohu tak, aby součet všech čtyř středových čísel byl a) 9, b) 2, c) 5, d) 2, e) 30, f) 54. Začínáme pomocí série úloh odhalovat hlubší zákonitosti tohoto prostředí. Do pravého horního rohu žák postupně dosadí čísla, 2, 3 aodhalí vztah mezi dosazeným číslem asoučtem čtyř středových čísel. číslo v modrém poli součet středových čísel Čísla vnásobilkovém čtverci označíme písmeny tak, jak vidíme na obrázku. Hledáme dva klíčové vztahy: ) jak ze znalosti čísel E, F, Gnajít číslo H. 2) jak ze znalosti čísel a, b, c, drychle najít číslo E+F+G+H. Vím ožákovi druhého ročníku, který přinesl do třídy klíčový vztah 2). Získal jej od rodiče. Vdomnění, že dělá synovi dobře, ublížil mu. Podobně, jako kdyby zaněj snědl čokoládu. Ochudil dítě oradost zobjevu, nebo zpodílení se na společném objevu se spolužáky. Úloha 9. Najdi HaF,když znáš E=aa) G=4; b) G=20. Hledej všechna řešení. Úloha 0. Najdi HaF,když znáš a) E=4,G=5; b) E=6, G=27. Hledej všechna řešení. Žáci, kteří vyřešili poslední úlohu 0b), již asi odhalili klíčový vztah ). Vztah znají, ale zatím neví, proč platí. Ktomu jim pomůže algebra avšestém ročníku tato úloha: Úloha. Najdi vztah, kterým jsou vázána středová čísla E, F, G, H. Vztah dokaž. Poslední úloha ukazuje cestu kodhalení klíčového vztahu 2). Úloha 2. Najdi přirozená čísla tak aby součet E+F+G+Hbyl a) 0, b) 4, c) 22, d) 26, e) 2, f) 60, g) 20. Hledej více řešení Úloha 6. Ve čtverci z úlohy 5 změň horní číslo na 2.Když do modrého pole doplníš a najdeš čísla středová, bude jejich součet 8. To je v prvním sloupci tabulky. Doplň tabulku: Úloha 7. Ve čtverci zúlohy 5změň číslo 2na3.Pro tento čtverec vytvoř stejnou tabulku jako vúloze 6. Obě tabulky porovnej. To,žejsou obě tabulky stejné, musí mít nějakou příčinu. Potřeba žáka odhalit toto tajemství jehlavním cílem úlohy 7.Nápovědou khledání tajemství jenásledující úloha. Úloha 8. Čtverce zkoumané vúlohách 6a7vedou ke stejné tabulce. Najdi ještě jiný čtverec (v dolním levém poli je, do horního levého adolního pravého čtverce dáš vhodná čísla), který povede ke stejné tabulce. d G c H a E F b vmagazínu Autorka úloh: Anna Sukniak Zdroj: MF Dnes 9

22 Matematika sradostí 3. díl Sítě krychle zobrazení pláště těles do 2D geometrie Mateřská škola Radek Krpec Když zvětší krabice odstraníme horní stěnu, vznikne pokojík pro panenku. Když odstraníme ještě další stěnu, vznikne jeviště. Když chceme pokojík nebo jeviště složit, rozstřihneme krabici podél hran tak, aby jibylo možné rozložit do roviny. Tento rovinný útvar nazveme střih na pokojík/jeviště. Další den pak ze střihu opět sestavíme pokojík/jeviště tak, že dáme stěny do původní polohy aslepíme je lepící páskou. Dítě vidí rozložení prostorového tvaru do roviny ajeho opětovné vytvoření. Dítě si může takto samo hrát skrabičkami například od léků. Pozorně mu nasloucháme, když má potřebu něco nám onabytých zkušenostech říct, nebo něco ukázat. vedoucí Katedry matematiky s didaktikou Pedagogické fakulty OU v Ostravě,lektor Hejného metody pro.a 2. stupeň ZŠ Od dvou do pěti uděládítěobrovsképokroky vjazyce.od stručných oznamů ažádostí, kterým často rozumí jen máma, přes nápaditénovotvary jakoomléčil mne (= vylil na mne mléko) až k tvorbě složených souvětí. Rodič můžetento rozvoj urychlit častoua řívětivou komunikacísdítětem. Napříkladsihrajeme na obchod avedeme řeči, které jsme vobchodě slyšeli. Když se dítězeptá: Táto, apročmápes ocas? vyzývá dospělého, abymuněcoopsu ajehoocasu řekl. Otec vykládáadítěnajednou začne povídatsamo.kdyžotecsledujespíše dítěnež sebe, pochopí, že dítěmápotřebumluvit apřenechá mu řeč. Se zájmem mu naslouchá. Dítě samo pak řídí rozhovor, protože ono nejlépe cítí, kdymápotřebu poslouchatakdymluvit. Příroda tutopotřebu řídí tak,aby rozvoj dítětebyl optimální. Vtomto dílepředstavíme dvěprostředí.togeometrickéje přívětivé kdívkám, abychomjim pomohlivyrovnatnáskok, kterýzískali hoši tím,žesi vícehráli se stavebnicemi akostkami. Úloha : Prohlédni si tabulku kalendáře září 205. Představ si, že šachový kůň stojí na čísle 7. Urči, na která políčka se můžeš jedním skokem dostat, pokud se budeš koněm pohybovat jako při hraní šachu. Stovková tabulka Od vztahů mezi čísly vtabulce kporozumění desítkové soustavě. a2. ročník Děti se už od předškolního věku setkávají srůznými typy tabulek, ve kterých se učí orientovat. Náročnějším předchůdcem stovkové tabulky jekalendář. Naobrázku jekalendář měsíce září a2. ročník Žák dostane krychli, několik stejných plastových čtverců velikosti stěny krychle apřílepky, jimiž lze plastové čtverce slepovat. Úloha. Vytvoř střih pro a) jeviště, b)pokojík. Svůj střih prověř. Úloha 2.Z nabídky šesti papírových tvarů vyber střih na šaty pro paní Krychli. Úloha 2: Horní stranu zkalendáře nemáme kdispozici, ale přesto dokážeme napsat, co je vkalendáři nad, pod, vlevo ivpravo od pátku 8. Doplň to. Pátek 8 Julinka vzala první znabízených tvarů, na krajní čtverec položila krychli azačala ji balit. Pět stěn dobře obalila, ale ta šestá nešla. Položila tedy krychli na jiný čtverec aopět balila. Ani tentokrát jí to nevyšlo. Počtvrtém nezdaru se ptala kamarádky, která seototéž marně pokoušela. Obě dívky pak šly paní učitelce říct, že setonedá. Ta jim řekla, ať tedy zkusí jiný papírový tvar. Dívky vzaly kříž aoběma se povedlo obléct dotohoto tvaru krychli. Zjistily, žekříž je dobrý střih na šaty pro paní Krychli. Žáci už vědí, že se dá vytvořit střih krychle, aby zůstal vcelku adal se rozložit do roviny. Takovému střihu říkáme síť krychle. Přecházíme od metaforického jazyka kmatematickému. Paní Krychli nahrazujeme pojmem krychle, švy šatů pro paní Krychli nazýváme hrany. Úloha 3. Spoj šest čtverců avytvoř síť krychle. Žáci nacházejí další adalší sítě, některé opakovaně. Učitel může zřídit na nástěnce koutek sítí krychle. Nakonec je zde různých sítí ažáci nabudou přesvědčení, že více jich najít nelze. Úloha 4. Vsíti krychle: a) vybarvěte protější stěny stejnou barvou, b) obtáhněte strany čtverců tak, aby stejné hrany byly stejnou barvou, c) společné vrcholy krychle vybarvětestejnou barvou. Žák siuvědomuje umístění stěn, hran avrcholů vjejí síti. Existují dvě stovkové tabulky. Ta,která je zde naobrázku, ata, která začíná číslem 0akončí číslem 99. následující úlohy je stejné vobou tabulkách. Úloha 3: Zvolím dvě sousední čísla tabulky. Například 74 a75nebo 42 a52. Součet těchto čísel řeknu Matějovi. On mi ihned řekne, zda jsou moje čísla vedle sebe, nebo pod sebou. Jak to Matěj zjistil? Pro rozvíjení orientace vtabulce, uvědomění si vztahů mezi čísly vřádcích asloupcích, můžeme použít cestování po stovkové tabulce. Přitom procvičujeme operace sčítání, odčítání, popř. zaokrouhlování. Ve stovkové tabulce semůžeme pohybovat doleva, doprava, nahoru adolů vždy ojedno pole. Například: je zápis jedné cesty délky 4. Součet čtyř čísel této cesty zapíšeme S( ) nebo stručně S(35 ). Součet je =22. Úloha 4: Najdi všechny cesty délky 4začínající včísle 24 akončící včísle 36. Urči jejich součty azaokrouhli je na desítky. Žáci již vědí, že existují sítě stejné krychle, které mají různý tvar. Úloha 5. Najdi co nejvíce sítí krychle. Žáci hledají argumentace, zda již mají všech možností, či nikoli. Jelikož jsou již žáci dobře obeznámeni se sítí krychle, přejdeme ke složitějším sítím, např. sítím kvádru, hranolu nebo jehlanu. Úloha 6. Narýsujte síť kvádru srozměry hran 3cm, 2cma4cm. Žákům seotevírá svět algebry. Používáme písmena apomocí nich dokazujeme tvrzení. Cestu 4 3 zapíšeme též n, kde n =4. Cestu zapíšeme též n, kde n =24. Úloha 5: Najděte n, pro které je hodnota výrazu S(n ) S(n ) a) nejmenší, b) největší. Úloha 6: Najděte všechna n, pro která ječíslo a) S(n ), b) S(n ) dělitelné číslem 3beze zbytku. vmagazínu Spoluautorka doprovodných textů: Renáta Zemanová 20 Zdroj: MF Dnes

23 Matematika Jana Hanušová Lektorka a tutorka v H-mat, spoluautorka učebnic pro 2. stupeň Dva lidé nakreslili dům. Obrázky se lišily. Jeden dům byl přízemní, druhý dvoupatrový. K podobné situaci dochází i ve škole. Mluví se třeba o čísle a jeden žák v tom vidí čísla 2, 3, 4, jiný si představuje velká čísla, jiný zlomky a další i čísla záporná. Taková situace může vést k nedorozumění. Nezřídka se představa v hlavě dítěte liší od představy v hlavě učitele či rodiče. Ten pak často nevhodně zamítne představu dítěte, která je svým způsobem oprávněná, jako chybnou. Abychom snížili nebezpečí nedorozumění, snažíme se zviditelnit myšlenkové pochody dítěte. Myšlenku dítěte nezamítneme, ale žádáme vysvětlení. Pozorně nasloucháme a snažíme se pochopit, jak věci vidí dítě. Radost dítěte ze vzájemného porozumění je nám odměnou za naši trpělivost. První z prostředí Dřívka je rozvíjeno v mladším věku (MŠ a. a 2. ročník), Algebrogramy přicházejí až ve třetím ročníku. l í 4. d s radostí. a 2. ročník Žáci vytvářejí obrazce podle vzorů. Přidáváním, ubíráním, přemísťováním dřívek z nich tvoří jiné obrazce. Rozvíjí se tak jak geometrické, tak i kombinatorické schopnosti. Budují se pojmy obsah, obvod, pracuje se se zlomky jako částmi celku. Úloha 2. Přeložením jednoho dřívka změň na čtverec. a) Přidej jedno dřívko a udělej dva čtverce. b) Přilož tři dřívka a vytvoř tři nové trojúhelníky. c) Dřívka Hrou se dřívky poznáváme geometrii. d) Odeber 2 dřívka, aby zůstaly jen 3 čtverce. e) Odeber 4 dřívka, aby zůstaly jen dva čtverce. Obrazce ze dřívek připomínají sirkové hlavolamy. Sirky jsou nahrazeny dřevěnými tyčinkami (někdy i barevnými). Hry se dřívky rozvíjejí jemnou motoriku a dávají prostor dětské fantazii. Výtvory dítěte často obsahují geometrické obrazce čtverec, obdélník, trojúhelník. Úloha 3. a) Rozděl čtverec dvěma dřívky na polovinu. b) Vyznač dvěma dřívky čtvrtinu čtverce. Mateřská škola c) Odděl v obdélníku jedním dřívkem třetinu. Paní učitelka má na stolku hromadu dřívek a žádá děti, aby si každý udělal na lavici čtverec. Mareček běží ke stolku, vezme tři dřívka a běží do lavice. Tam zjistí, že mu jedno dřívko schází. Doběhne si pro dřívko a čtverec vytvoří. Tato zkušenost v budoucnu Markovi pomůže lépe pochopit, že obvod čtverce je 4a. Úloha. Vytvoř z dřívek následující obrázky: a) b) c) d) Děti (s pomocí paní učitelky) obrazce pojmenují, některé řeknou, z kolika dřívek jsou sestrojeny. Později již postaví čtverec, obdélník i trojúhelník bez předlohy. 3. a 4. ročník Většina úloh je gradovaná. To značí, že obsahuje podúlohy a), b), c), s rostoucí náročností. To umožní každému dítěti najít si přiměřenou úlohu. Nejlehčí jsou algebrogramy, ve kterých je jen jedno písmeno. Algebrogramy a Hvězdičkogramy Šiframi k porozumění desítkové soustavě. Algebrogramy budují porozumění desítkové soustavě a umožňují odhalovat hlubší souvislosti aritmetiky. Rozvíjejí i kombinatorické myšlení a schopnost argumentace. Algebrogramy patří mezi nejnáročnější úlohy, se kterými se žák na. stupni setká. Připomínají šifry. Když ve vztahu = 32 zašifrujeme číslice 2 a 6 písmeny A a B, dostaneme algebrogram AB +B = 32. Za stejná písmena dosazujeme stejné číslice, za různá písmena různé číslice. První číslice dvojmístného a vícemístného čísla nesmí být nula. Vyřešit algebrogram znamená najít číslice, které se za písmeny skrývají, a najít všechna řešení. Náš algebrogram má dvě řešení AB = 26 a AB = 3, neboť i 3 + = 32. Hledání řešení vede k mnohým výpočtům, které žáci nepociťují jako nudu. Algebrogramy lze řešit metodou pokus omyl, protože každé písmeno může nabývat nejvýš deseti hodnot: 0, 9. Hvězdičkogramy používají k označení číslic pouze hvězdičky. Například, když máme vrátit neposedy 3, 5 a 6 do výpočtu **.* = 20, budeme zkoušet 56.3, nebo 63.5, nebo Poslední pokus se zdařil, máme výsledek. 5. a 6. ročník Objevují se úlohy zaměřené na mocniny, rovnice, výrazy, dělitelnost, racionální čísla. Úloha 8. Vyřeš algebrogramy: a) A.A.A = B b) A.A.A = B.B c) A.A.A = A.B d) ABC = C.C.C e) ABA = C.C.C f) AB.AB = CAB g) AAAB = B.B.B.B.B Úloha 4. Vyřeš algebrogramy: a) AA = 30 + A b) BB = 50 + B c) CC + C = 24 d) DD + D + D = 65 e) EE + E + E = 39 f) A.A = A+A g) B.B = B+B+B h) C.C = C+C+C+C Úloha 9. Vyřeš algebrogramy: a) (A+A+A):A = A b) (BB+B):B = AB c) AB:A = CC(C) Úloha 5. Vyřeš algebrogramy. Najdi všechna řešení: a) AB b) AA c) AB d) AB + BA + BB + AB + ABB AAC BBC BC BCC Úloha. Vyřešte algebrogramy: a) 37:A = B(2) b) 37:C = D() c) 37:E = F(5) d) 37:G = H(7) Úloha 6. Vyřeš algebrogramy. Najdi všechna řešení: a) A.A = B b) C.C = D+D c) E.E+E = DD-D Úloha 7. Vyřeš algebrogramy na dělení se zbytkem: a) AA: 2 = B(A) b) AA:4 = B(A) c) AA:5 = B(A) d) AA:6 = B(A) e) AA:8 = B(A) Úloha 0. Vyřeš algebrogram KL+L = 28 v případě, že číslice L je a) sudá, b) lichá. Úloha 2. Aleš vyřešil všechny algebrogramy a říká spolužákům: Vyřešte algebrogram AB:n = B(A) pro každé přirozené číslo n větší než jedna. Dokážete to také? Úloha 3. Řešte hvězdičkogramy, v nichž každá * je nenulová číslice: a) * = 0,* Najděte všech 8 řešení. * b) * = 0,** Najděte všechna 4 řešení. * v magazínu Spoluautor doprovodných textů: Hynek Humlíček Zdroj: MF Dnes 2

24 Matematika sradostí 5. díl lektorkah-mat, učí matematiku a fyziku na Gymnáziu Mnichovo Hradiště učitel(ka), mnoho lidí si vybaví autoritu,jejíž adně platí. Ona určí, jak se má úlohařešit,ona ývýsledek je tensprávný.náš pohled na roli Učitel přiměřeně náročnými úlohami vede ímu objevování.trpělivě sleduje práci žákůamápřehled oúrovni jejich znalostí. ti výsledkuipostupu řešenírozhodují sami ntrolou nebo během diskuze, kterou učitel áci sami obhajují svářešenípředspolužáky se korigují. Někdy se stane, že se shodnou na ěru tadypřichází na řadu učitel, abyjim ohu, ve kterésenesprávné úvahyprojeví. ně býtvestejné hodině. Myšlenky,které jsou ormulovataobhájit, jsou střípkymozaiky opoznání, kterou si stavíkaždý žákpodle stíamožností.. a2. ročník Hledání různých možností přenášíme doreálného života. Děti snámi chodí nakupovat arády za nákup platí. To využijeme kvýzvě. Úloha. Čokoláda stojí 24 Kč. Vpeněžence máš pouze pětikoruny advoukoruny. Kolika způsoby můžeš čokoládu zaplatit? Svá řešení zapiš do tabulky (počet mincí můžeš zaznamenat pomocí čísel nebo čárek): částka 24 Kč mince 2Kč 5Kč způsob platby celkem způsobů Úloha 2. Kolika způsoby můžeš zaplatit stejnou čokoládu, když máš vpeněžence navíc ještě desetikorunu? Vytvoř siadoplň podobnou tabulku, jako jevúloze. Úloha 3. Hledej různé možnosti, jak zaplatit dvě stejné čokolády, když máš vpeněžence všechny druhy českých mincí. Kombinatorika & pravděpodobnost Učíme se systematické práci Mateřská škola Děti mají rády stavebnice, soblibou skládají různé vzory amozaiky. Staví různobarevné věže zkostek nebo třeba kombinují oblečení pro panenku. Chlapci aděvčata tak přirozeně zjišťují, že ze stejného počtu stavebních dílů mohou postavit nepřeberné množství staveb, že ze stejné sady oblečků adoplňků pro panenky jimohou připravit na různé příležitosti třeba jen změnou bot aozdob. Nejde nám oto, aby děti počítaly, kolik různých možností mají, ale aby si užily hru, rozvíjely svou kreativitu ahledaly různé možnosti. Stavíme si sdětmi, pobízíme je kzáměnám různých dílků ve stavebnicích, ke kombinování oblečení panenek. Vystřihněte tři trička (např. bílé, žluté ačervené) advoje kalhoty (hnědé a modré). Dítě vyzvěte, aby zjistilo, jak může kombinovat jednotlivé kousky oblečení. Vpondělí si vezme do školky modré kalhoty abílé tričko. Co si obleče další den, aby bylo jinak ustrojené. Kolik dnů může být pokaždé jinak oblečené? Zahrajeme si hru na bytového architekta, který má kdispozici parkety určitého typu a má snimi pokrýt danou podlahu. Dítě zkouší, jaké možnosti položení má, jaké různé vzory může zparket vytvořit. Pro tvorbu dalších úkolů můžeme měnit barvy parket, jejich tvar, můžeme zvyšovat počet barev nebo počet použitých tvarů. Úkoly ztížíme nějakou podmínkou, např. žestejné barvy parket se mohou dotýkat jen růžkem. Hra naobkladače: vystřihněte několik čtverců dvou barev dlaždiček (místo nich můžete použít i dva druhy pexesa) anechte dítě skládat různé vzory. Ty může zakreslovat na čtverečkovaný papír aporovnávat, zda se některý neopakuje. Sdětmi si zahrajeme hru panna nebo orel anecháme je tipovat, co padne častěji. Výsledky simůžeme poznamenávat azkoumat, zda některá strana mince padne častěji. Podobně můžeme házet hrací kostkou. Úloha 4. Házej hrací kostkou. Hoď desetkrát azaznamenej hozená čísla. Kolikrát padlo sudé akolikrát liché číslo? Pokračuj vházení audělej 50, 00, 200 pokusů. Bude častěji padat sudé, nebo liché číslo? Jetojen náhoda? Úloha 6. Hoď dvěma kostkami asečti počet ok. Vtabulce vyplň políčko nad příslušným číslem. Když hodíš a4, součet je 5, tak vybarvíš políčko nad pětkou. Odhadni, jak bude tabulka vybarvená po 00 hodech asprávnost svého odhadu ověř sněkolika kamarády. Úloha 7. a) Ukterých čísel vtabulce je sloupec nejvyšší? b) Ukterých čísel vtabulce je sloupec nejnižší? c) Jsou předchozí výsledky zcela náhodné? Úloha 8. Když jsem přijela na návštěvu ke kamarádce Denise, nemohly jsme se rozhodnout, kam sepůjdeme projít. Plánek čtvrti, ve které Denisa bydlí, jenaobrázku. Dohodly jsme se, že na každé křižovatce hodíme mincí. Když padne panna (p), odbočíme na křižovatce vpravo, apokud padne orel (o), vydáme se vlevo. První den nám padla p,o,o,p,o adošly jsme doparku. a) Kam dojdeme, pokud nám padne: o, p, p, p, o? b) Co musíme hodit, abychom došly křece? c) Takto jsme chodily dva týdny, každý den jednou. hrad řeka park ZOO Udělej také 4 procházek adotabulky zaznamenávej, kam dojdeš. kolikrát byl navštíven d) Je nějaké místo, kam zavítáme častěji? Pokud ano, tak proč? Házení mincemi nebo kostkou jevelice důležité jako příprava natémata pravděpodobnost astatistika. Až na tato témata přijde řada ve škole, bývá už dítě příliš velké namanipulativní činnost ačasto nemá čas ani chuť provádět skutečný pokus smincí nebo kostkou. Bez těchto zkušeností si žák pravděpodobnost nezažije. Úloha5. Ze záznamů kpředchozí úloze urči, zda padlo častěji číslo, které je násobkem tří, nebo jiné číslo Denisa cíl hrad řeka park ZOO muzeum kino orel panna muzeum kino vmagazínu v úterý 6. října Spoluautorka doprovodných textů: Jarka Kloboučková 22 Zdroj: MF Dnes

25 Matematika sradostí 6. díl vyučujematematiku na Pedag. fakultě OU v Ostravě, lektoruje Hejnéhometodu pro.stupeň ZŠ marádů přijde do posilovny, není divu, že každý esjinou zátěží, protože každýjejinak fyzicky tože cvičí na stejném přístroji, jeden posiluje s50kg. Měli by oba raději posilovats35kg? to při nástupudětídoprvního ročníku každý odlišnými předchozími zkušenostmi ipotenciálem voje.pokud učitel zadává všem stejné úlohy, tžákůodrazuje.někteří na úlohyprostě nestačí, řešení snadnýchúloh nudné anepotřebné. šení úlohynemá nikdoznich. Přitom radostje tivaci. ičsipřeje,aby jeho dítě bylo rozvíjeno na horní možností aaby se tato hranicevlivemvhodně zvyšovala. Protojsounašeúlohyčasto několika úrovní obtížnosti. Žák sám si volí rá mu vyhovuje. Protonení anibrzděn ve vývoji, přetížením.. a2. ročník Tabulky jsou vběžném životě všude kolem nás. Vprostředí Autobus (viz 2. díl) děti tabulku objeví. Přijdou na to, že je to velmi efektivní způsob zápisu. Už od. ročníku tak děti vytváří tabulky azjišťují znich odpovědi na různé otázky. Úloha. Do tabulky zapiš, kolik ječeho. Kúloze pokládáme doplňující otázky jako například: Kolik je na obrázku všech zelených symbolů? Kolik čtverečků? Kolik modrých hvězdiček? Některé dítě zde počítá symboly. Todítě, které kodpovědím použije tabulku, dokáže již tento nástroj záznamu využívat. 25 počet žáků počet chovaných zvířat 20 Oblíbená je hra nasovu. Je dána galerie objektů. Úloha 2. Sova myslí na jedno zčísel 2, 6, 7, 9, Například jména: Adam, Anna, Emil, Eva. Sova (jeden 2, 3, 4, 5. Spolužáci se ptají, Sova ze žáků) na jedno jméno myslí. Spolužáci mají jméno odpovídá. Jedvouciferné? NE. Je sudé? ANO. uhodnout. Na jejich otázky Sova odpovídá jen ANO, Je menší než 3?NE. Je větší než 5?ANO. nebo NE. Počet jmen může být výrazně větší. Místo a) Na které číslo Sova myslí? jmen mohou být například písmena,obrázky nebo čísla. b) Která otázka byla zbytečná? Při hře Sova se děti mimo jiné učí iformulovat otázky, používat přesné termíny avzájemně si naslouchat A 3.B 3.C 4.A 4.B 4.C Práce s daty Tabulky, grafy, statistikaináhoda Mateřská škola Už když dítě hraje běžné hry jako pexeso nebo Černého Petra, učí se porovnávat, přiřazovat atřídit. Když potom třídí hračky podle nějakých pravidel, zlepšuje schopnost organizovat soubor dat. Na obrázku vidíme pomůcku Pavly Polechové sadu jednobarevných obrázků zvířátek. Dítě ukládá obrázky atvoří různé vzory. Například dá ksobě všechny červené nebo všechny pejsky. Nebo dá ksobě pejska akočičku. Nebo zelenými zvířátky vyplní celý řádek apejsky celý sloupec. Takobjeví důležité dvojrozměrné uspořádání: vjednom směru stejné barvy, ve druhém stejná zvířátka. Dítě, které rádo hraje stolní hry, například Člověče, nezlob se, můžeme motivovat otázkou: Které číslo padá nejčastěji? Prozkoumáme to experimentem. Na papír napíšeme čísla od do6;dítě hodí kostkou, padne třeba 4, atak na číslo 4položí dítě jedno víčko. Vdalším hodu padne třeba adítě položí další víčko načíslo. Po 0 hodech bude například na čísle 5 sloupec tří víček, ale na čísle 6nebude ani jedno. Tak vzniká první histogram. Když ale během dvou dnů uděláme sto hodů, začnou sesloupce vyrovnávat. Dítě získává první zkušenost spravděpodobností Zkoumání náhody, které jsme dělali naúrovni MŠ, uděláme tentokráte se dvěma hracími kostkami. Úloha 3. Házej dvěma kostkami. Do tabulky zapiš, kolikrát padne součet 2, 3,..., 2. Jaký součet je nejčastější? Proč? Když třída udělá přes dvě stě hodů, žáci vidí, ženejčastější je součet 7asoučty 2a2 padnou jen výjimečně. Vidí, že tabulka je symetrická. Ovysvětlení těchto jevů se pokusí především špičkoví žáci. Argumentují tím, že číslo 2získáme jediným způsobem jako +, ale číslo 7můžeme získat až 6 způsoby: +6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+. Námitka, že 3+4 a4+3 je vlastně jen jedna možnost, vyvolá plodnou diskuzi. Učitel do ní nezasáhne. Žáci sami po jisté době námitku vyvrátí. Důležitá schopnost pro život je číst grafy. Úloha 4. Ve škole máme tři 3. třídy a tři 4. třídy(viz sloupcovýgraf nalevo). U každé třídy známe počet žáků(zelený sloupec) i počet zvířat,která žáci této třídy chovají (červený sloupec). Odpověz na tyto otázky: a) Je více žáků ve 3. třídách nebo ve 4. třídách? b) Jsou 3. třídy více chovatelské než 4. třídy? c) Která třída je nejméně akterá nejvíce chovatelská? Na této úlozejezřetelná gradace.zatímcovotázce a) žácizjišťujíinformaci, kterájezgrafu snadno čitelná, otázky b) ac) jsou náročnější.třída začne diskutovat,coznamená vícechovatelský.většinou se jakoprvníobjevínázor,že třídy 3. Ca4.Cjsounejméně chovatelské,protože chovají nejméně zvířat. Potomale přijdežák, který řekne,že4.cjeméně chovatelská,protože má vícežáků. Tentožák cítí,že jdeopoměr chovaných zvířat kupočtu žáků. Ktétonáročnémyšlence otázkyb)ac)směřují. Statistické zpracování dat je obohaceno oaritmetický průměr. Žáci počítají průměrné známky své icelé třídy. Průměru seale dotýká například inásledující méně tradiční úloha. Úloha 5. Aneta porovnávala délku ženských amužských jmen. Zkalendáře vypsala všech 30 jmen začínajících na A.Zjistila, že vnich je79 písmen. Skoro přesně 6písmen na jedno jméno. Ale uženských jmen je to víc než 6písmen na jméno au mužských jeto méně než 6písmen na jméno. Aneta tvrdila: Tedy ženská jména jsou delší. MáAneta pravdu? Tvrzení Anety je záměrně mírně nejasné, protože cílem úlohy je rozproudit ve třídě diskuzi. Mluví Aneta ovšech jménech? Co když ujmen začínajících na Bto bude naopak? Je možné Anetino tvrzení zpřesnit? Schopnost porozumět tabulkám, grafům arůzným schématům dále rozvíjíme pomocí vývojových diagramů. To jsou vpodstatě jednoduché programy ažáci sedíky nim učí rozumět principům, jak fungují počítače. Úloha 6. Budeš vytvářet seznam čísel. Na začátek seznamu si napiš číslo 7adále postupuj podle vývojového diagramu. ANO Konec. Začni. Kposlednímu číslu seznamu přičti 8. Zapiš výsledek do seznamu. Jsou vseznamu dvě stejná čísla? NE Je poslední číslo větší než 24? ANO Odečti od něj 25. NE vmagazínu v úterý 6. října Spoluautor doprovodných textů: Pavel Šalom Zdroj: MF Dnes 23

26 ka íl 7. d s radostí Rodina Jak prohloubit porozumění složitým vztahům o: ka lektorka H-mat, učitelka. st. na Masarykově ZŠ, Janovice nad Úhlavou ni KLOSOVI BRODYOVI Prostředí Rodina se věnuje jak prohlubování porozumění vztahům, tak početním dovednostem. K tomuto prohlubování dochází při individuální činnosti i během diskuzí. Je důležité respektovat názory dětí, ponechat jim autonomii, podpořit je vlídným slovem a nechat je obhájit si své přesvědčení. MALÍ VÍT BLAŽEJ BARBORA ANNA ADAM DAVID DANA KAREN EMIL JAKUB CECÍLIE CYRIL HANKA IVAN FEDOR Mateřská škola 3. a 4. ročník Pro dvouleté dítě slovo máma označuje jednu konkrétní osobu. Ve třetím ročníku se dozvíme o rodině Brodyových a o bratrovi Cecílie Fedorovi. Hodně otázek se zabývá Pětileté dítě ví, že i kamarád má mámu, ale je překvapeno, že babička je mámina máma. Dítě, které chápe slovo máma jako vztah dvou osob, rozumí tomuto slovu již na úrovni abstrakce. Podobně rozumí slovům otec, dcera, syn, sestra Těmto dětem můžeme dávat úlohy z jejich rodiny: Úloha. Kdo je syn/dcera tvé mámy? Abychom byli schopni všechny základní rodinné vztahy prozkoumat, musíme vycházet z umělé rodiny, ve které tyto vztahy jsou. Výše je zobrazen rodokmen. Předškolákovi z něj vybereme pouze Cecílii, Cyrila a jejich tři děti. Když dítě tento rodokmen pochopí, může dostat úlohu: Úloha 2. Někdo řekl: Vítek je můj syn. Kdo to řekl? Dítě, které odpoví, že Cecílie (nebo Cyril), odpovědělo dobře. Vyspělejší dítě uvede oba rodiče. věkem postav našeho rodokmenu. Ty zde oželíme. Úloha 4. Kdo řekl: Jsem vnučkou mámy mé mámy.? Děti najdou odpověď Karen nebo Hanka. Najde se ovšem dítě, které řekne, že to může být i Dana nebo Cecílie nebo dokonce i Anna či Barbora, protože uvedený výrok může říct kterákoliv žena. Toto zjištění ukazuje, že u některých výroků je nutno doložit informaci, zda je chápeme pouze uvnitř našeho rodokmenu nebo obecně. Úloha 5. Kdo řekl: Jsem dědečkem syna svého syna.? Když mluvíme jen v rámci našeho rodokmenu, řešením je pouze Adam. Obecně může být řešením i Blažej, jestliže bude mít Fedor syna. Může to být i Cyril, když alespoň jeden z jeho synů bude mít syna. Zde naše úvahy vstupují do oblasti hypotéz, které přesně formulujeme takto: Bude-li mít Fedor syna, pak řešením úlohy 5. je i Blažej. 5. a 6. ročník V prostředí Rodina je možné hlouběji proniknout do struktury logiky. V následující úloze jsou použity logické spojky a a nebo. Úloha 6. Mluví Cecílie pravdu, když řekne: a) Fedor a Emil jsou mí švagři. ; b) Fedor nebo Emil je můj švagr.?. a 2. ročník Do rodokmene přibydou všichni čtyři prarodiče Anna, Adam, Blažej, Barbora a Cyrilovi sourozenci Emil a Dana. Univerzální způsob tvorby úloh dává návod: Napište pravdivý vztah a jeden jeho objekt zakryjte. Tak ze vztahu 5 2 = 3 dostávám tři úlohy: 5 2 =?; 5? = 3;? 2 = 3. Podobně z výpovědi Hančin otec je Cyril vytvoříme tři úlohy: Úloha 3. Doplň. a) Hančin otec je. b) Hančin je Cyril. c) otec je Cyril. Úloha a) je nejlehčí. Doplní se poslední slovo Cyril. U složitější úlohy b) se doplňuje prostřední slovo otec. Úloha c) je nejsložitější, schází první slovo, které může být Hančin nebo Vítův nebo Ivanův. O výpovědi a) žáci většinou řeknou, že je pravdivá jen částečně, protože Fedor není Cecíliin švagr, ale bratr. Přesný matematický jazyk ale výrok skládající se ze dvou částí spojených spojkou a považuje za pravdivý tehdy a jen tehdy, když oba výroky jsou pravdivé. Tudíž Cecíliina výpověď a) je výrok nepravdivý. O výpovědi b) obvykle žáci řeknou, že je to popletené, protože Fedora sem není nutné tahat. Přesný matematický jazyk výrok skládající se ze dvou částí spojených spojkou nebo považuje za pravdivý tehdy a jen tehdy, když alespoň jeden z dílčích výroků je pravdivý. Tudíž Cecíliina výpověď b) je výrok pravdivý. Podobně lze najít mnoho Prostředí Rodina připravuje žáka na porozumění náročnějším abstraktním úloh, které uvádí žáky do dalších jevů logiky, jako jsou zápor (není pravda, že ), implikace (jestliže, pak ), ekvivalence (...tehdy a jen tehdy, když ), kvantifikátory (pro všechny platí, resp. existuje takže platí ) pojmům a vztahům, například u práce s funkcí y = (x + )2 ji často potřebujeme rozložit na funkce z = x + a y = z2. Podobně jako vztah bratranec lze rozložit na syn sourozence mého rodiče. Porozumět například komplexním číslům je náročné proto, že se pracuje s objekty, které leží za hranicí žákem dobře sledovatelného světa. U rodokmenu jsme takové objekty viděli v úlohách 4 a 5. Ty pomáhají žákům pochopit náročný termín definiční obor funkce neboli soubor objektů, pro které tvrzení dává smysl. Prostředí Rodokmenu se výrazně zkomplikuje, kdybychom chtěli mluvit o reálných situacích, v nichž dochází k úmrtím, rozvodům, adopcím apod. Spoluautorka doprovodných textů: Anna Sukniak 24 Zdroj: MF Dnes

27 Matematika sradostí 8. díl lektorkah-mat, přednášínapedf UK aučí matematiku na. a2. stupni FZŠ Táborská vpraze řívemluví,jinédříve chodí. Bylo by yserodič snažil pořadí toho,co příroda, měnit. Anglickýfilosof Francis naturæ enim non imperatur,nisi příroděnelzeporoučet jinak, nežžeji me). Když ale dítě povyroste, nejednou odpovědnostzapřírodu aříkáme dítěti, hrát,jak si má hrát,skýmsimáhrát. se,ževíme lépe neždítě, že by si mělo bnicí, kterou jsme koupilizadrahý peníz, kterým dává přednost. Zamysleme senad účinnějšípodporovat tu činnost, kterou ěteď dělat.samozřejmě somezeními, avíabezpečnostdítěte.. a2. ročník Ciferník můžeme používat nejen kurčování času, ale ikseznamování žáků sezákladními geometrickými tvary. Při využití vhodné pomůcky (viz 0. díl ogeoboardu) jsou tvary relativně přesné odpadá nutnost přesně rýsovat nebo vystřihovat. Gumička napnutá mezi kolíky zajišťuje konstrukci přesných hranic objektů imanipulativně méně obratným dětem. Takto můžeme tvořit obrazce, které se pomocí tradičního rýsovacího nářadí obtížně konstruují pravidelný dvanáctiúhelník či rovnoramenný lichoběžník vznikne zcela spontánně propojením vhodných kolíků. Geometrické obrazce můžeme evidovat pomocí názvů vrcholů/čísel. Tak např. vytvoříme rovnostranný trojúhelník (4,8,2) nebo obdélník (,3,7,9). Uvedené úlohy propojují geometrii (tvary) aaritmetiku (čísla). Vtomto období řešíme úlohy především pomocí fyzického modelu, ale můžeme již také využívat ciferník narýsovaný na papíru. Úloha 2. Na ciferníku vytvoř čtverec tak, aby součet čísel ve všech jeho vrcholech byl co nejmenší/největší. Úloha 3. Rozděl ciferník jednou rovnou čarou (přímkou) tak, aby vobou částech byl posečtení čísel stejný výsledek. Úloha 4. Rozděl ciferník a) dvěma, b) pěti rovnými čarami tak, aby součet vkaždém poli byl stejný. Vmateřské škole se scyklem může dítě seznámit na dnech týdne, na obrázcích ročních období, která lze dobře znázornit ve čtvrtinách kruhu. Když např. pro jaro zvolíme zelený podklad, pro léto žlutý svelkým sluníčkem, pro podzim podklad do hnědo-červena apro zimu podklad světle modrý, můžeme ještě uvnitř čtvrtkruhů odstíny tónovat pro jednotlivé měsíce. Některé měsíce mají svá specifika září, kdy vidíme děti jít do školy, listopad, kdy padá listí, prosinec svánočním stromečkem nebo nám pro výběr obrázku kdanému měsíci pomůže básnička či říkanka. Úloha. Pět dětí stojí vkruhu apředávají si hračku. Kolikrát dojde kpředání, než se hračka znovu dostane kprvnímu dítěti? Hračka sepředala 6x které dítě ji teď drží? Ciferník Od orientace v čase k modulární aritmetice či úhlům Řeknu-li, že dnes je pátek , má tentoúdajdva typy informací. Rok205 je včasovémsledu jen jeden. Vlonibyl rok204, příští rokbude206aza50 letse bude psát2065. Je-li dnes 25. září,nebude za 0 dní35. září, ale 5. října. Zdese číslaopakují vjistých cyklech. Nejpřesnějšícyklus je na hodinách -ciferníku. Ciferník je jednoduchou pomůckou. Primárně jeurčen kurčování času, ale můžeme jej využít prodalší aktivityvmatematice. Zatímco na číselné ose po čísle 2 následuječíslo 3,naciferníkupočísle 2 následuje číslo. Toto zvláštní počítánípřináší do chápání aritmetikydůležitýimpulz. Jednotliváčísla po obvodu ciferníkujsou pravidelně rozmístěna, cožumožňuje konstruovatrůzné obrazce.tedy dalšíimpulz, tentokrátpro geometrii. Mateřská škola Vciferníkové aritmetice +2=,neboť když jeteď hodin, tak za 2hodiny bude hodina. Podobně pak 2=. Úloha5. Zkontroluj správnost rovností vciferníkové aritmetice. Oprav chyby, hledej více řešení. a) 8+7=3 b) 9+4=2 c) 6+2=6 d) 8=3 e) 5 7=0 f) 2 7=2 g) 4 4=4 h) 5 5=5 Na ciferníku jemožné zkoumat iúhly. Úloha 0. Ojaký úhel se velká ručička otočí za: a) 5min b) 20 min c) 45 min? Úloha. Kolik minut uplyne, když sevelká ručička hodin otočí o: a) 60 b) 90 c) 50? Úloha 2. Kolik hodin uplyne, když semalá ručička hodin otočí o: a) 60 b) 90 c) 50? Úloha 3. Na obrázku je pravidelný dvanáctiúhelník ABCDEFGHIJKL. Zjistěte velikosti úhlů. a) LCF e) LSA b) LBF f) LDH c) LEF g) LFB d) LSB Úloha 6. Doplň scházející číslo tak, aby vciferníkové aritmetice platila rovnost, hledej více řešení. a) _+7=4 b) _ 3=6 c) 2 _=2 d) 3 _+=7 Úloha 7. Pokaždé, když malá ručička postoupí ojednu hodinu, ozve se gong. Gong se ozval poprvé v pondělí vjednu hodinu odpoledne. Teďprávě zazněl po 64. Jaký je dnes den akolik je hodin? Úloha 8. Ciferník trpasličích hodin je rozdělen na sedm stejných částí. Jsou na něm čísla, 2, 3, 4, 5, 6a7.Po čísle 7tedy následuje číslo. Řešte úlohu 6na trpasličím ciferníku. Úloha 9. Vciferníkové aritmetice s2čísly nemá rovnice 2 x = 3řešení. Zjistěte, jaké jetřeba zvolit číslo n, aby rovnice n x =3měla alespoň jedno řešení. I J H K G L S F A E B D C vmagazínu v úterý 6. října Spoluautor doprovodných textů: Václav Strnad Zdroj: MF Dnes 25

28 Matematika sradostí 9. díl docentka na KMDM PedF UK vpraze, spoluautorka učebnic pro.i2.stupeň, lektorkah-mat dostanou řešit úlohu a hned se ptají: Je to na známky?" vní tři dostanou jedničku." Pár dětí se ani nepustí do řešení. rychlí počtáři. ačíná hodina: Dneska si zahrajeme na detektivy a budeme řešit pad. Vodítko je ukryto v tajence. Abychom tajenku vyluštili, ešit tyto úlohy. Několik dětí po vyluštění dvou,tří písmen dne a dál už nepočítají. Jiné děti si ale rády všechny úlohy ž tajenkajejiž jasná. padě mluvíme o motivaci vnější dítě usiluje o dobrou hvalu, sociální úspěch. Chuť pracovat pomíjí, jakmile pomine ulz. Vnější motivace nemůže přerůst ve vnitřníaje tedy jen hém případě mluvíme o atrakci příběh děti zaujala začaly terých dětízájem o příběh přerostl ve vnitřní motivaci achtěly některých nepřerostl a úlohy už neřešily.atrakce může přerůst aci. Pouzevnitřní motivace založená na vlastním prožitkuje mdalšíhopoznání.. a2. ročník Úloha. Stavbu na obrázku nazveme 4stupňové schodiště. Postav ji. Kolik krychlí na stavbu potřebuješ? Kterých je více, modrých nebo červených? Mnoho dětí počítá po jedné. Objevují se iřešení =0, nebo: modré +3 ačervené 2+4, celkem 0. Dítě, které upozorní na to, že tam mohou být ikrychle schované, které nejsou na obrázku vidět, má vyspělé geometrické myšlení schopnost vmysli pracovat sobjekty, které vdaný okamžik nevnímá zrakem. Děti také získávají zkušenost slichými (modré) asudými (červené) čísly asrytmem. Otázku: Kterých krychlí je ve schodišti více? vyřešila jedna dívka tak, že přemístila nejvyšší červenou krychli avytvořila stavbu jako naobrázku. Bez počítání odpověděla, že červených krychlí je o2více. Vidíme, žeprostor pro různé argumentace dětí jepřekvapivě velký. Další úlohou podpoříme vnímání rytmu aposloupnosti čísel. Úloha 2. Přidej jednu věž avytvoř 5stupňové (6stupňové, 7stupňové) schodiště. Jak může dítě postupovat, má-li před sebou tento úkol? Některé děti dodrží rytmus barev apřistaví věž zpěti modrých krychlí apak odpoví, jiné dříve odpoví, než postaví, některé vůbec nepostaví ařeší úlohu jen vpředstavách. Následující úlohou rozvíjíme kombinatorickémyšlení. Úloha 3. Na obrázku jsou dvě různé věže ze tří krychlí červené, modré a bílé. Kolik dalších různých věží ztěchto tří krychlí můžeš postavit? Úloha 4. Obyvatelé planety Krychlov žijí vkrychlových stavbách postavených právě zečtyř krychlí. Kolik nejvíce může být vkrychlově domů, když žádné dva nejsou stejné? Krychlové stavby Rozvíjímeprostorovoupředstavivost Toto prostředí navazuje na zkušenosti dětí s kostkami, zasahuje do aritmetikya silně přispívá k rozvoji prostorové představivosti. Mateřská škola Děti nejdříve staví podle fantazie hradby, domy, ohrady, schody, věže, Zkušenosti rukou pomáhají rozvíjet prostorovoupředstavivost dítěte. Rodič může pomáhat dítěti tím, že ojeho stavby jeví zájem avkomunikaci a komentářích činností upřesňuje jeho slovník. Dítě mluví orohu krychle amy, aniž bychom dítě opravovali, používáme termín vrchol. Dítě řekne: Tady to položím na toto. My můžeme jeho činnost komentovat: Vidím, že jsi přiložil(a) stěnu na stěnu. Již nyní se také rozvíjí iargumentační schopnosti dětí. Jazyk, který dítě používá kpopisu stavby, odráží jeho vlastní zkušenost apředstavy, proto dítě vysvětluje aobhajuje své pojmenování avyjasňuje si popisy druhých dětí. Dítě rozvíjí své komunikační dovednosti vzájmu dorozumět se. Zrůzných staveb, které děti tvoří, seomezíme na ty, které vznikly přikládáním stejně velkých krychlí vždy celou stěnou nacelou stěnu. Nazveme je krychlové stavby. Stavba na obrázku tedy vnašem smyslu krychlovou stavbou není, neboť dolní stěna modré krychle se shorní stěnou červené ibílé krychle překrývá jen částečně. Od volné tvorby přecházíme ke kopírování. Děti sradostí aspontánně kopírují stavbu kamaráda. Často dochází mezi dětmi ke spolupráci akomunikaci otom, kam kterou kostičku přiložit. Je patrné, žepohled dítěte nastavbu je již hlubší, všímá si detailů, např. počtu krychlí, jejich uspořádání, počtu podlaží apod. Zde se začínají rodit budoucí pojmy jako objem, výškatělesa, povrch, Hra na schovávanou rozvíjí krátkodobou prostorovoupaměť apřipravuje budoucí pojem shodnost těles. Krychlová stavba je někde ukryta. Dítě jinajde, zapamatuje si ji apostaví usebe na koberci. Pak seschovaná stavba přijde podívat nasvé dvojče. Reakce dětí při porovnávání staveb ať již shodných, nebo zrcadlově souměrných, nebo jinak pozměněných bývají spontánní, radostné anabité diskusemi. Úloha propojuje geometrii akombinatorikuapři nedostatkukrychlí vyvolává potřebu nějakého záznamu. Obvykle děti diskutují otom,které stavby jsou stejné (shodné) azda jsou napříkladdvě stavby na obrázku stejné,nebo různé.radkatvrdí, že jsou stejné,protože když se jedna znich podívádozrcadla, vidí se,jakobybyla ta druhá. Šimon oponuje.říká, že levá bota je jiná nežpravá bota. Konečné rozhodnutí necháme na dětech. Někdy na druhém stupnidojdou ktomu,žejsou to nepřímo shodná tělesa. Návrhy dětí nazáznamy staveb se postupně vyvíjí scílem, aby všechny děti záznamu rozuměly auměly jej vytvořit. Po čase se objeví záznam, který je pro všechny přijatelný. Stavbu znázorníme takto: Nakreslíme, jak ji vidíme shora, apočtem puntíků vjednom čtverci vyjádříme počet krychlí nad sebou. Dostáváme plán krychlové stavby. Na obrázku je plán levé stavby zobrázku uúlohy 4. Úloha 5. Gábina postavila zkrychlí vláček (obr. A). Přeložila jednu krychli na jiné místo anovou stavbu zapsala plánem. Pak přeložila další krychli avzniklou stavbu opět zapsala plánem. To opakovala ještě třikrát. Nakonec před nístála věž (obr. F). Plány staveb, které Gábina zapsala, jsou naobrázcích A, B,C,D,E,F,ale vjiném pořadí. Navíc zplánu Djsou vymazány tečky. Najdi pořadí plánů adoplň tečky do plánu D. A B C D E F Pracujeme s objemem krychlových staveb azkoumáme povrch. Jednotkou objemu je krychle, jednotkou obsahu je čtverec, který je stěnou krychle. Tak např. 4stupňové schodiště zúlohy má objem 0 krychlí apovrch 36čtverců. Úloha 6. Jaký největší ajaký nejmenší povrch má krychlová stavba sobjemem: a) 4krychle b) 8krychlí c) 27 krychlí? vmagazínu v úterý 6. října Spoluautorka doprovodných textů: Lenka Bořánková 26 Zdroj: MF Dnes

29 Matematika sradostí 20. díl členka týmu H-mat, spoluautorkaučebnic pro2.st., učí na ZŠ Cesta k úspěchu, Praha6 pokračování seriálu je čas na shrnutí. Každézprostředí, dstavili (i mnohá, kterájsme nepředstavili), zasahuje do matickýchoblastí. Například Krokováníobsahuje práci se y, práci se závorkou, soustavy rovnic ipojem absolutní druhé straně každámatematickáoblastje přítomna v ostředích. Například rovnice najdeme nejen vkrokování, ylesoně,myslímsičíslo isoučtových trojúhelníků. Díky línání prostředí amatematickýchpojmů avztahůsidítě itní dlouhodobou představu omatematice. Nejdůležitější oznání, kterédítězíská, ale jeho radostzúspěšného ho rozvoje.ktomu dochází díkytrpělivostirodiče íplně respektují myšlenkovousamostatnostdítěte. riáluje věnován dělitelnosti. Je to prostředí vhodné pro algebry apro získávánízkušenostívnejdůležitější činnosti vdokazování.zde jsme se zaměřili hlavně na propojení rytmus.dělitelnostpoznává žák ivprostředí Součtových ásobilkovýchčtverců, Mřížeavdalších. Hrajeme ve třídě hru tleskni dupni. Učitelka pomalu počítá: Jedna, dvě, tři, čtyři, Nakaždé sudé číslo dívky tlesknou, nakaždé třetí číslo (3, 6, 9, ) hoši dupnou. Učitelka dopočítala do 9. Úloha 6. Kolik zaznělo a) tlesknutí; b) dupnutí; c) současně dupnutí itlesknutí? Opět se zde prolínají dva rytmy dvojkový atrojkový, tentokráte ne vizuálně, ale včase. Ktéto hře lze tvořit náročnější úlohy. Úloha 7. Do kolika musíme počítat, aby tlesknutí bylo a) 9; b) o5více než dupnutí? Udělení se zbytkem nacházíme podíl izbytek. Například při dělení 76 :5je podíl 5 azbytek.zapisujeme to 75 :5=5(). Podíl izbytek můžeme zjistit opakovaným odčítáním. Ktomu žáka dovede vývojový diagram: Mateřská škola. a2. ročník Rytmus a dělitelnost Dítě vpředškolním věku ví, že při chůzi pravidelně střídá nohy. Bude-li své kroky počítat, získává zkušenost spojmy sudé aliché číslo. Sdělitelností získává dítě zkušenosti, když spravedlivě dělí třeba lentilky mezi sebe adva kamarády. Vprvním díle jsme pracovali srytmem včase. Vobrázku níže je rytmus vizuální, mimočasový. Vztahují se kněmu úlohy až4. Začni. Konec. Do žlutého pole zapiš počet čísel vseznamu. Zvol číslo mezi 00 a50. Úloha8. Veronika zvolila číslo 47. Zapsala jej do seznamu. Veronika odečetla 47 3=34. Do seznamu za číslo 47 zapsala 34. Protože to není menší než 3, opět odečetla 3 adostala 34 3=2. Tozapsala jako třetí číslo seznamu. Pokračovala až do konce. Dopiš celý seznam Veroniky. Seznam: 47, 34, 2, Úloha9. Víme, že 47 :3= (4). Zjisti, kde vzáznamu Veroniky je možné najít podíl azbytek 4. Úloha0. Doplň chybějící čísla do dělení se zbytkem. a) 22 :5= ( ) b) 4 : =3( ) c) :6=5() d) 7 : = (2) Výsledek zapiš do seznamu ANO Je poslední číslo vseznamu menší než 3? Zapiš číslo do seznamu Od posledního čísla vseznamu odečti 3. NE Následující série úloh ukazuje, jak lze žáka dovést kobjevu rovnosti: zbytek při dělení n :3je stejný jako zbytek při dělení CS(n):3. Třidále uvedené úlohy jsou ilustrací výrazně většího počtu úloh, které bude žák řešit. Úloha. Zčíslic 0,, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9sestavte co nejvíce dvoumístných čísel dělitelných číslem 3. Úloha. Je vhorní řadě více dívek, nebo hochů? Umíš to zjistit bez počítání? Stejnou úlohu řeš pro dolní řadu. Úloha 2. Dívky ahoši utvořili kruh, ve kterém se pravidelně střídá hoch adívka. Víme, že dívek je vkruhu 8. Kolik je vkruhu všech dětí? Úloha 3. Figurky vhorním řádku obrázku vybarvi pravidelně: první červeně, druhou modře, třetí žlutě, čtvrtou opět červeně, pátou modře atd. Zjisti, zda naobrázku bude více červených hochů, nebo žlutých dívek. Stejnou úlohu vyřeš ipro dolní řádek obrázku. Úloha 4. Nakresli stejnou řadu jako vpředchozí úloze, ale delší. Tvoje řada bude mít 20figurek. Kolik je na tomto obrázku červených dívek? Na kterém místě vřadě stojí? Okolik figurek musíme řadu prodloužit, aby vníbylo stejně červených dívek jako žlutých hochů? Vobrázcích snimiž žák pracuje, máme dva rytmy. Rytmus figurek DaHarytmus barev červená, modrá, žlutá. Zkušenosti sprolínáním rytmu dvojkového atrojkového využije žák všestém ročníku při zavádění náročného pojmu nejmenší společnýnásobek. Ve školní matematice se pojem cifernýsoučet zavádí vsouvislosti sdělitelností. Je však dobré začít sjeho zavedením už dříve. Trojmístné číslo 32 má ciferný součet 3+ +2= 6. To zapíšeme CS(32) =6. Úloha5. Vypište všechna trojciferná čísla, jejichž ciferný součet je: a) 4; b) 6. Kolik těch čísel je? Úloha 2. Doplňte scházející číslici tak, aby číslo bylo dělitelné 3: a) 24*; b) 2*4; c) *24. Úloha 3. Zjistěte, zda je pravdivé tvrzení: A. Součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný 3. B. Součet čtyř posobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný 3. C. Jestliže je číslo n dělitelné 3, pak součet čísel n, n +, n +2a n +3je dělitelný 3. Učitel si zahraje na kouzelníka. Řekne: Napište trojmístné číslo ABC takové, že A>C.Rozdíl ABC CBA vydělte číslem a tento podíl vydělte ještě číslem 3. Výsledek si zapište.řekněte mi číslo ABC a já vám do tří vteřin,řeknu váš výsledek. Kuba si myslel číslo 834. Počítal =396. Pak 396:=36. Konečně 36:3=2. Kuba řekl učiteli číslo 834 aten ihned řekl výsledek dvanáct. Úloha 4. a) Dokažte, že číslo AB BA(A>B) je dělitelné 3. b) Dokažte, že číslo ABC CBA (A >C)je dělitelné 3. c) Dokažte, že číslo AB0 A Bje dělitelné 3. d) Dokažte, že číslo ABC (A+B+C)je dělitelné 3. vmagazínu v úterý 6. října Spoluautor doprovodných textů: Milan Hejný Zdroj: MF Dnes 27