KALENDÁŘ ŘEŠENÍ ÚROVNĚ OBSAH MATEŘSKÁ ŠKOLA. 1. a 2. ROČNÍK. 3. a 4. ROČNÍK. 5. a 6. ROČNÍK

Transkript

1 KALENDÁŘ ŘEŠENÍ ÚROVNĚ MATEŘSKÁ ŠKOLA. a. ROČNÍK. a. ROČNÍK. a. ROČNÍK OBSAH Krokování Autobus Zvířátka dědy Lesoně Slovní úlohy Součtové trojúhelníky 7 Hadi 8 Pavučiny 9 Myslím si číslo 0 Zlomky Geoboard a mříž Mince Násobilkové čtverce Sítě krychle Dřívka 7 Algebrogramy a hvězdičkogramy 7 Kombinatorika a pravděpodobnost 9 Práce s daty 0 Ciferník Krychlové stavby

2 KROKOVÁNÍ Úloha : Doplň šipky. a) = ; b) = ; c) = ; d) = Úloha : Číselné rovnice přepiš do šipkových a vyřeš. a) ( + ) = x = b) 7 ( ) + = x = c) ( ) = x = d) ( x) = = e) (7 (8 ) ) + = x = Úloha : Řešte soustavu rovnic x = y +, x + y =. x =, y = nebo x =, y = Úloha : Řešte soustavu rovnic x + = y, x + y =. x = 0, y = nebo x =, y = nebo x=, y = nebo x =, y = 0 Úloha : Řešte soustavu rovnic x = y + = z +, x + y + z =. x =, y =, z = 0

3 AUTOBUS Úloha : Překresli horní tabulku a přikresli k ní řádek jeli. Odpověz na otázky: a) Kolik cestujících jelo autobusem celkem? b) Kdy bylo v autobusu nejvíce cestujících? c) Na které zastávce z autobusu ubylo nejvíce cestujících? vystoupili 0 nastoupili 0 jeli a) Celkem jelo autobusem 7 cestujících. b) Nejvíce lidí bylo v autobuse při jízdě od umyvadla k oknu a od okna ke skříni. c) Nejvíce lidí ubylo z autobusu u skříně. Úloha : Doplň tabulku, když víš, že na zastávce B nastoupilo do autobusu x více lidí, než z něj vystoupilo. Totéž na zastávce D. A B C D E vystoupili 0 nastoupili 7 0 jeli Úloha : Doplň tabulku. A B C D E vystoupili 0 nastoupili 0 jeli celkem 9 8 Na zastávce _B_ nevystoupil žádný. Nastoupily zde. Na zastávce _C_ nevystoupila žádná. Nastoupili zde. Úloha : Autobus vyjel ze zastávky A a přes zastávky B, C, D dojel na zastávku E. Celkem se vezlo žen a muži. Všichni muži nastoupili na zastávce A. Na každém ze čtyř úseků tratě bylo v autobusu vždy cestujících. Na každé zastávce se počet žen zvýšil o jednu. Napiš tabulku jízdy autobusem. A B C D E vystoupili 0 nastoupili 0 jeli celkem

4 Úloha : Podívej se na harmonogram jízdy autobusu. Podle harmonogramu jízdy vytvoř tabulku jízdy autobusem. Jelo lidí. Pan Modrý nastoupil na zastávce A a na zastávce B vystoupil. Paní Žlutá nastoupila na A a vystoupila na C. Paní Zelená jela z B do D. Pan Fialka z C do D a pan Červený jel z C do E. A B C D E A B C D E vystoupili 0 nastoupili 0 jeli Úloha : Napiš harmonogram i tabulku jízdy autobusem, když znáš následující informace: Autobusem se vezlo celkem lidí. Z nich nastoupili na zastávce A a na zastávce C, jeden se vezl pouze jednu stanici, jeli stanice a jeden se vezl stanice. V autobuse byli stále přítomni alespoň lidé. A B C D E vystoupili 0 nastoupili 0 jeli A B C D E vystoupili 0 nastoupili 0 jeli Úloha 7: Doplň obě tabulky a vytvoř pro ně harmonogram jízdy autobusu. A B C D E vystoupili 0 nastoupili 0 jeli A B C D E vystoupili nastoupili 0 jeli 7

5 ZVÍŘÁTKA DĚDY LESONĚ Úloha : > = > = = = Úloha : Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou. = = = = = = Úloha : Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou. a) = b) = c) = = = = Úloha : Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou a které za maskou v rovnici =. x y V zápisu pomocí čísel a písmen má rovnice tvar x + y = +. Úloha : Najdi všechna řešení rovnice. a) = b) = a) x + y = + x y b) x + y = + = x = a = y = Úloha : Zjisti, které zvířátko se ukrývá za maskou a které za maskou. = = = = Úloha 7: Vyřeš dvojice rovnic. a) = b) = c) = = = = a) + x = y a y = x + = x = a = y = b) x + y = 0 a x = y + = x = a = y = c) x + y = 0 a y + = x + = x = a = y =

6 Úloha 8: Úlohy a) a b) přepiš jako úlohy o vahách a vyřeš je. a) koule a kg závaží na levé misce a 0kg závaží na pravé misce; hmotnost koule je kg; b) koule a kg závaží na levé misce a 0kg závaží na pravé misce; hmotnost koule je kg. Úloha 9: Číselnou rovnici x + = přepiš jako úlohu a) o zvířátkách, b) o vahách. Úlohy vyřeš. a) = = b) koule a kg závaží na levé misce a kg závaží na pravé misce. koule má hmotnost kg.

7 SLOVNÍ ÚLOHY Úloha : Kolik krychlí má Ivo? Kolik krychlí má Eva? Ivo má krychlí. Eva má krychlí. Kolik krychlí mají oba? Dohromady mají. Kdo má více? Více má. Ivo má krychle, Eva. Dohromady mají krychlí. Více krychlí má Ivo. Úloha : Mám komín z pěti krychlí. Postav svůj komín tak, že můj bude o jednu krychli vyšší než ten tvůj. Postavím komín ze krychlí. Úloha : Goran a Petr mají dohromady Kč. Goran má mince a Petr. Přesto má Goran o Kč více než Petr. Které mince má Goran o které Petr? Goran má pětikorunu a dvoukorunu, Petr má dvě dvoukoruny a korunu. Úloha : Když byly Mirkovi roky, narodily se jeho sestry, dvojčata Dana a Jana. Až bude Mirkovi let, budou Janě roky a všem třem sourozencům bude dohromady let. Janě budou roky a všem třem sourozencům bude dohromady 9 let. Úloha : V únoru snížili cenu zimního zboží o polovinu, v dubnu snížili opět o polovinu. Kolik korun stály rukavice v květnu, když jejich cena v lednu byla 00 Kč? Rukavice stály v květnu 7 Kč. Úloha : V dubnu snížili cenu rukavic o polovinu. Kolik korun stály rukavice před slevou v únoru, když jejich cena po slevě v květnu byla 80 Kč? V únoru stály rukavice 0 Kč. Úloha 7: V únoru snížili cenu zimního zboží o polovinu, v dubnu snížili opět o polovinu. Kolik korun stály v lednu rukavice, když jejich cena v květnu byla 0 Kč? V lednu stály rukavice 0 Kč. /x (. x) (. x) = 0/ Úloha 8: Dnes jsou Bedřichovi roky. Když mu bude tolik, co je dnes Adamovi, bude mít Adam 9 let. Kolik let je dnes Adamovi? Adamovi je let. Úloha 9: Tatínek a maminka váží dohromady 7 kg. Tatínek váží o 0 kg více než maminka. Kolik váží maminka? Maminka váží, kg. Úloha 0: Z kohoutku kape voda rychlostí centilitr za ½ minuty. a) za jak dlouho zbytečně odteče litr? b) kolik vody zbytečně odteče za dnů? a) Litr vody odteče za 0 minut, b) Za dnů odteče litrů vody. Úloha : Zimní bunda byla zlevněna o 0 % a následně o dalších 0 %. a) jaká byla konečná cena, když původní cena byla 00 Kč? b) jaká byla původní cena, když nová cena byla 00 Kč? a) Konečná cena bundy je 08 Kč. b) Původní cena bundy byla 70 Kč.

8 SOUČTOVÉ TROJÚHELNÍKY Úloha : Doplň Úloha : Vrať neposedy zpět. 7 Úloha : Najdi všechna řešení. Pokud dosazujeme jen kladná celá čísla nebo nulu, je číslo v prostředním poli horního řádku jedno z čísel,,,,, Úloha : Doplň Úloha : Doplň tak, aby součet dvou čísel ve vybarvených polích byl Úloha 7: Součet všech šesti čísel součtového trojúhelníku je 8. Součet tří čísel prvního řádku je. Najdi tento součtový trojúhelník. Najdi dvě řešení. 0 0 Úloha 8: Z vyřešeného trojúhelníku utekla čísla 9, 7, 7, a ještě jedno číslo, které uteklo z papíru úplně. Jak vypadal ten trojúhelník? Úloha 9: Doplň tak, aby součet dvou čísel v zelených polích byl 0 a součet dvou čísel v modrých polích byl. Záludná úloha, která nemá řešení. Označme čísla horního řádku a, b, c. Pak součet čísel v modrých polích je a + (b + c) a součet čísel v zelených polích je (a + b) + c. Je jasné, že oba součty jsou stejné. a c b b a c 9 7

9 HADI Úloha : Vyřeš hada. 8 Úloha : Vyřeš hada s podmínkou. Úloha : Vyřeš hada s podmínkou. 0 + = = Úloha : Do hada přepiš úlohu: Myslím si číslo. Když jej vynásobím a přičtu, dostanu 9. Které číslo si myslím? Pak úlohu vyřeš. + 9 Úloha : V dubnu stojí bunda 700 Kč. Kolik stála v lednu, když od té doby její původní cenu snížili o třetinu a pak ještě o 00 Kč? Lze si připravit a nadepsat jednotlivé stavy leden 00 duben (leden, mezičas, duben) a postup zlevňování zapsat: mezičas Výpočet: ( ) = 00 Jdu-li proti směru šipky, musím použít opačnou operaci, takže přičtu 00 a násobím. Úloha : Když v hadovi na dalším obrázku položím x =, zjistím, že y = 0. Tato čísla jsou uvedena v prvním sloupci následující tabulky. Doplňte do tabulky scházející čísla. x + 8 y x y Úloha 7: Rút nakreslila hada a řekla, že jej umí doplnit čísly nad šipkami tak, že tento had dá stejnou tabulku jako had z úlohy. Umíte to také? x y 8

10 PAVUČINY Úloha : Doplň čísla a šipky do pavučin Úloha : Doplň čísla do pavučin a k šipkám Úloha : Doplň Úloha : Doplň pavučiny, když víš, že a) nejmenší číslo je ; b) největší číslo je 00; c) součet nejmenšího a největšího je ; d) součet všech pěti čísel je. a) b) c) d) Úloha : Zvol růžové číslo tak, aby součet a) tří dolních čísel byl 0; b) tří horních čísel byl 0; c) všech šesti čísel byl. a) b) i c)

11 MYSLÍM SI ČÍSLO Úloha : Myslím si číslo. Když k přičtu myšlené číslo, dostanu. Jaké číslo si myslím? Myšlené číslo je. Úloha 7: Myslím si číslo. Jeho polovina je šest. Jaké číslo si myslím? Myšlené číslo je. Úloha 8: Myslím si číslo. Když k němu přičtu polovinu čísla 8, dostanu. Jaké číslo si myslím? Myšlené číslo je 9. Úloha 9: Myslím si číslo, jeho čtvrtina je 7. Jaké číslo si myslím? Myšlené číslo je 8. Úloha 0: Myslím si číslo. Když k jeho pětinásobku přičtu, dostanu. Jaké číslo si myslím? Myšlené číslo je. Úloha : Myslím si číslo. Jeho polovina je o větší než jeho čtvrtina. Myšlené číslo je 8. Úloha : Myslím si dvě čísla. První je o tři větší než druhé. Součet obou je 7. Jaká čísla si myslím? Myšlená čísla jsou a. 0

12 ZLOMKY Úloha : Polovina tyče je natřena na modro, čtvrtina na zeleno a zbytek na červeno. Jak dlouhá je modrá a jak červená část, když celá tyč měří a) 0, b) 0, c) 7 centimetrů? a) modrá 0 cm, červená cm; b) modrá 0 cm, červená cm; c) modrá cm, červená 8 cm. Úloha : Čtvrtina tyče je natřena na modro, zbytek na zeleno. Jak dlouhá je modrá část a jak celá tyč, když zelená část měří a) 0, b) 0, c), d), e), f) centimetrů? a) celá tyč 0 cm, modrá 0 cm; b) celá tyč 80 cm, modrá 0 cm; c) celá tyč 0 cm, modrá cm; d) celá tyč 8 cm, modrá 7 cm; e) celá tyč cm, modrá cm; f) celá tyč 8 cm, modrá cm Úloha : Řešení bylo součástí textu. Úloha : Čtverec na obrázku je rozdělen na části. Obvod žlutého čtverce je 8 cm, obvod zeleného čtverce je cm. Zjisti, jakou částí obsahu celého čtverce je a) zelený čtverec, b) obdélník složený z modrého a zeleného pole, c) žlutý čtverec, d) modrý obdélník. a) 9 ; b) ; c) 9 ; d) 9. Úloha : Podobný obrázek jako je ten z úlohy, ale rozměry má jiné. Víme, že obvod růžového obdélníku je cm a obvod obdélníku složeného z modrého obdélníku a zeleného čtverce je 0 cm. Dále víme, že obsah žlutého čtverce je 9 obsahu celého čtverce. Zjistěte, jakou částí celého čtverce je modrý obdélník. Modrý obdélník zabírá. Úloha : Vypočítej pomocí ciferníku a) +, b) +. a) je 0 minut a 0 je 0 minut = 0 minut, což je = 0 b) je minut a je 0 minut = minut, což je = Úloha 7: Na číselné ose vyznač čísla 0,,,,, a. Zjisti, do kterého z intervalů tvého obrázku padne číslo: a) 0,; b) 0,; c) 0,; d) 0,; e) 0,; f) 0,; g) 0,7; h) 0,8; i) 0,9; j) 0,; k) 0,. Seřazená čísla: 0,,,,,,. a) mezi 0 a ; b) a ; c) a ; d) a ; e) 0, = ; f) a ; g) a ; h) a ; i) a ; j) a ; k) a.

13 GEOBOARD A MŘÍŽ Úloha : Modrý tvar rozděl na dvě stejné části. Totéž udělej se žlutým i zeleným tvarem. Modrý čtverec lze rozdělit na dvě shodné části mnoha způsoby. Na první čtyři děti z.. ročníku přijdou, na další dva i mnohé neuvedené přijdou až později, možná až na druhém stupni. Úloha : Ke žlutému trojúhelníku přidej hnědý trojúhelník tak, aby oba trojúhelníky dohromady tvořily čtverec. Úloha : K červenému trojúhelníku přidej hnědý trojúhelník tak, aby oba trojúhelníky dohromady tvořily trojúhelník, který je zvětšením trojúhelníka žlutého (tj. trojúhelník pravoúhlý, rovnoramenný). Úloha : Představ si, že máš trojúhelníkový kachlík, který se přesně vejde do žlutého trojúhelníka. Kolik takových kachlíků je třeba na pokrytí a) modrého čtverce, b) zeleného pětiúhelníku? a) r; b) r. Úloha 7: Tři šipkové zápisy popisují tři obrazce z obrázku nad první úlohou. Vrcholy nejsou popsány písmeny, pouze označeny tečkami. Najdi je a doplň šipkový zápis čtvrtého obrazce. Šipkové zápisy jsou zápisy těchto obrazců: pětiúhelník, červený trojúhelník, žlutý trojúhelník. Chybějící zápis čtverce je. Úloha 8: Zjisti obsah žlutého, modrého i červeného trojúhelníku na obrázku. Žlutý trojúhelník, S = ; modrý čtverec, S = ; červený trojúhelník, S = Úloha 9: Je dána úsečka AB šipkovým zápisem a) A B; b) A B; c) A B; d) A B (tři tečky znamenají, že šipek doprava bude libovolně) Nakresli ji v mříži a dorýsuj čtverec ABCD. Dopiš šipkový zápis čtverce a spočítej jeho obsah. a) A B C D A; S ABCD = ; (A B C D A) b) A B C D A; S ABCD = ; (A B C D A) c) A B C D A; S ABCD = 0 ; (A B C D A) d) V zápise znamenají tři tečky, že šipek doprava bude libovolně. To můžeme zapsat pomocí n, což znamená jakékoliv přirozené číslo. Obrázek již nakreslit neumíme, ale šipkový zápis zapsat umíme. n šipek doprava zapíšeme takto n. Obdobně zapíšeme n šipek nahoru, doleva a dolů. A B C D A; S ABCD = (n + ). n n n n

14 MINCE Úloha : (hra) Dvě hromádky mincí.na první jsou tři jednokorunové mince a na druhé jsou dvě dvoukorunové mince. Jednu hromádku volí dítě, druhou dostane medvídek. Pak oba půjdou nakupovat do mámina obchodu. Tam je ke koupi i míč za Kč. Kdo si jej bude moci koupit? Ten, kdo má dvě dvoukorunové mince. Úloha : Květa má několik pětikorunových mincí a jednu jednokorunovou minci. Šárka má 7 stejných mincí. Když dá Květa Šárce Kč, budou mít obě dívky stejně. Kolik korun má Květa a kolik Šárka? Jeden dostane tři dvoukorunové mince, druhý dostane jednu korunu a jednu pětikorunu a třetí dostane jednu korunu a jednu pětikorunu. Úloha : Na obrázku jsou tři děti a 7 mincí. Rozděl peníze spravedlivě. Květa má tři pětikorunové mince, Šárka má sedm dvoukorunových mincí a ještě od Květy dostala jednu korunu. Úloha : Kolika různými způsoby zaplatíte Kč pomocí a) tří mincí; b) čtyř mincí; c) pěti mincí? a) ; b) jedno řešení: , druhé řešení: ; c) jedno řešení: , druhé řešení: , třetí řešení: Úloha : Žluté lízátko stojí,0 Kč a červené,70 Kč. Dopoledne si Jára koupil žluté a odpoledne červené lízátko. Pokaždé zaplatil Kč. Radim mu řekl, že kdyby si koupil obě lízátka najednou, Kč by ušetřil. Má Radim pravdu? Ano, Radim má pravdu,,0 +,70 = 7,0; po zaokrouhlení 7 Kč. Úloha 7: Aleš má mince: 0 Kč, Kč, Kč. Boris má čtyři jednokorunové mince a Cyril má jednu dvacetikorunovou minci. Hoši vyhráli 99 Kč. Dostali dvě padesátikorunové mince a vrátili Kč. Jak si hoši mince spravedlivě rozdělí? Aleš dostane 0 Kč a vrátí ze svého 0 Kč, Kč, Kč, Cyril dostane 0 Kč a vrátí ze svého 0 Kč a od Borise dostane ještě Kč, Kč, Kč, Boris dostane 0 Kč, 0 Kč, Kč, Kč. Tak všichni ke svému obnosu obdrželi Kč. Úloha 8: Na stole leží 7 Kč v 8 mincích. Tři z nich patří Evičce, zbytek Daně. Když Eva zvýší svůj majetek o třetinu a Dana svůj majetek sníží o čtvrtinu, budou mít dívky stejně. Které mince má Eva? Dana má 0 Kč, 0 Kč, Kč, Kč, Kč. Eva má 0 Kč, Kč, Kč. (V. vydání kalendáře je chyba v zadání v počtu mincí. V řešení a v dalších dotiscích je uvedené správné znění zadání.) Úloha 9: Tomáš má několik pětikorun a Kč. Ondřej má několik dvoukorunových mincí. Oba mají stejně peněz. Zjistěte, kolik mincí má Tomáš a kolik Ondřej, když víte, že dohromady mají a) mincí, b) mincí, c) 9 mincí. a) Tomáš má jednu pětikorunu a Kč, Ondřej má tři dvoukorunové mince, b) Tomáš má sedm pětikorun a Kč, Ondřej má osmnáct dvoukorun, c) Tomáš má dvacet sedm pětikorun a Kč, Ondřej má šedesát osm dvoukorun.

15 NÁSOBILKOVÉ ČTVERCE Úloha : Násobilkový čtverec na obrázku má čtyři rohová čísla (v modrých polích) a čtyři středová čísla (ve žlutých polích). a) Vysvětli, jak ze čtyř rohových čísel můžeme najít všechna středová čísla. b) Vysvětli, jak ze čtyř středových čísel můžeme najít všechna rohová čísla. a) jde o násobení; b) jde o rozklad čísla na součin. 0 Úloha : Doplň scházející čísla. Horní řádek náročnější úlohy c) je stejný jako u čtverce z úlohy b). To napoví řešení Úloha : Vytvoř si násobilkový čtverec. Všechna čtyři středová čísla jsou stejná:. Najdi všechna rohová čísla. Úloha : V násobilkovém čtverci je horní středové číslo 8. Další dvě středová čísla jsou 7 a 8. Najdi čtvrté středové číslo a doplň rohová čísla. Hledej více řešení Úloha : Doplň číslo v červeném rohu tak, aby součet všech čtyř středových čísel byl a) 9, b), c), d), e) 0, f). a), b), c), d), e) 9, f) 7 číslo v červeném poli = součet středových čísel :. Úloha : Ve čtverci z úlohy změň horní číslo na. Když do červeného pole doplníš a najdeš čísla středová, bude jejich součet 8. To je v prvním sloupci tabulky. Doplň tabulku. Úloha 7: Ve čtverci z úlohy změň číslo na. Pro tento čtverec vytvoř stejnou tabulku jako v úloze. Obě tabulky porovnej. Obě tabulky jsou stejné. číslo v červeném poli součet středových čísel Úloha 8: Čtverce zkoumané v úlohách a 7 vedou ke stejné tabulce. Najdi ještě jiný čtverec (v dolním levém poli je, do horního levého a dolního pravého čtverce dáš vhodná čísla), který povede ke stejné tabulce. Musí platit, že (b + d) =, a to je možné způsoby: a) b = 0, d = ; b) b =, d = ; c) b =, d = (Úloha ); d) b =, d = (Úloha 7); e) b =, d = 0.

16 Úloha 9: Najdi H a F, když znáš E = a a) G = ; b) G = 0. Hledej všechna řešení. a) d H a G E c F b b) Úloha 0: Najdi H a F, když znáš a) E =, G = ; b) E =, G = 7. Hledej všechna řešení. a) b) F H Úloha : Najdi vztah, kterým jsou vázána středová čísla E, F, G, H. Vztah dokaž. E G = H F tedy H = E G : F Úloha : Najdi přirozená čísla tak, aby součet E + F + G + H byl a) 0, b), c), d), e), f) 0, g) 0. Hledej více řešení. Pro kontrolu uvádíme počet řešení jednotlivých úloh: a) řešení; b) řešení; c) řešení; d) řešení; e) řešení; f) řešení; g) 9 řešení. E = a b; F = b c; G = c d; H = d a tedy E + F + G + H = a b + b c + c d + d a což je po úpravách (a + b) (b + d). Jinak řečeno, když sečteme rohové číslo a s číslem c a rohové číslo b s číslem d a tyto součty vynásobíme, dostaneme součet středových čísel E + F + G + H.

17 SÍTĚ KRYCHLE Úloha : Z nabídky šesti papírových tvarů vyber střih na šaty pro paní Krychli. Úloha : Spoj šest čtverců a vytvoř síť krychle. Manipulativní. Úloha : V síti krychle: a) vybarvěte protější stěny stejnou barvou; b) obtáhněte strany čtverců tak, aby stejné hrany byly stejnou barvou; c) společné vrcholy krychle vybarvěte stejnou barvou. a) b) c) Úloha : Najdi co nejvíce sítí krychle. Všechny možné sítě krychle, viz Úloha. Úloha : Narýsujte síť kvádru s rozměry hran cm, cm a cm. Např.

18 DŘÍVKA Úloha : a) Přeložením jednoho dřívka změň na čtverec. b) Přidej jedno dřívko a udělej dva čtverce. c) Přilož tři dřívka a vytvoř tři nové trojúhelníky. d) Odeber dřívka, aby zůstaly jen čtverce. e) Odeber dřívka, aby zůstaly jen dva čtverce. a) b) c) d) e) Další řešení posledních dvou úloh s odebíráním dřívek vzniknou otočením tvaru, případně v osové souměrnosti. ALGEBROGRAMY A HVĚZDIČKOGRAMY Úloha : Vyřeš algebrogramy: a) AA = 0 + A, b) BB = 0 + B, c) CC + C =, d) DD + D + D =, e) EE + E + E = 9, f) A A = A + A, g) B B = B + B + B, h) C C = C + C + C + C. a) A = ; b) B = ; c) C = ; d) D = ; e) E = ; f) A = ; g) B = ; h) C =. Úloha : Vyřeš algebrogramy. Najdi všechna řešení. a) A =, B = 9, C = 0; b) A = 9, B =, C = 0; c) pět řešení: A =, B =, C = ; A =, B =, C = 8; A =, B =, C = 0; A =, B = 9, C = 8; A =, B = 7, C = d) čtyři řešení: A =, B =, C = 0; A =, B =, C = ; A =, B = 7, C = ; A = 7, B = 8, C =. Úloha : Vyřeš algebrogramy. Najdi všechna řešení: a) A A = B, b) C C = D + D, c) E E + E = DD D. a) dvě řešení A =, B = ; A =, B = 9; b) C =, D = 8; c) dvě řešení E =, D = ; E =, D =. Úloha : Vyřeš algebrogramy na dělení se zbytkem: a) AA : = B(A), b) AA : = B(A), c) AA : = B(A), d) AA : = B(A), e) AA : 8 = B(A). a) A =, B = ; b) A =, B = ; c) čtyři řešení A =, B = ; A =, B = ; A =, B = ; A =, B = 8; d) A =, B = ; e) A =, B =. Úloha : Vyřeš algebrogramy: a) A A A = B, b) A A A = B B, c) A A A = A B, d) ABC = C C C, e) ABA = C C C, f) AB AB = CAB, g) AAAB = B B B B B a) A =, B = 8; b) A =, B = 8; c) dvě řešení A =, B = ; A =, B = 9; d) tři řešení A =, B =, C = ; A =, B =, C = ; A = 7, B =, C = 9; e) A =, B =, C = 7; f) A =, B =, C =; g) A = 7, B =. Úloha : Vyřeš algebrogramy: a) (A + A + A) : A = A, b) (BB + B) : B = AB, c) AB : A = CC(C) a) A = ; b) A =, B = ; c) sedm řešení A =, B =, C = ; A =, B =, C = ; A =, B =, C = ; A =, B =, C = ; A =, B = 7, C = ; A = 7, B = 8, C = ; A = 8, B = 9, C =. 7

19 Úloha 7: Vyřeš algebrogram KL + L = 8 v případě, že číslice L je a) sudá, b) lichá. a) K =, L = ; b) K =, L = 9. Úloha 8: Vyřešte algebrogramy: a) 7 : A = B(), b) 7 : C = D(), c) 7 : E = F(), d) 7 : G = H(7) a) dvě řešení A =, B = 7; A = 7, B = ; b) dvě řešení C =, D = 9; C = 9, D = ; c) E = 8, F = ; d) nemá řešení. Úloha 9: Aleš vyřešil všechny algebrogramy a říká spolužákům: Vyřešte algebrogram AB : n = B(A) pro každé přirozené číslo n větší než jedna. Dokážete to také? n = : A =, B = 9; n = : A =, B = 9; n = : tři řešení A =, B = ; A =, B = ; A =, B = 9; n = : A =, B = 9; n = : A =, B = 9; n = 7: A =, B = 9; n = 8: A = 7, B = 9; n = 9: A = 8, B = 9. Úloha 0: Řešte hvězdičkogramy, v nichž každá * je nenulová číslice: a) * = 0,* Najděte všech 8 řešení. * = 0,** Najděte všechna řešení. b) * * a) = 0,; = 0,; = 0,; 8 = 0,; = 0,; = 0,; = 0,; = 0,8; b) = 0,; 8 = 0,; = 0,7; 8 = 0,7. 8

20 KOMBINATORIKA A PRAVDĚPODOBNOST Úloha : Čokoláda stojí Kč. V peněžence máš pouze pětikoruny a dvoukoruny. Kolika způsoby můžeš čokoládu zaplatit? Svá řešení zapiš do tabulky (počet mincí můžeš zaznamenat pomocí čísel nebo čárek): způsob platby celkem částka mince způsobů Kč 7 Kč Kč 0 Úloha : Kolika způsoby můžeš zaplatit stejnou čokoládu, když máš v peněžence navíc ještě desetikorunu? způsob platby celkem částka mince způsobů Kč 7 7 Kč Kč Kč Úloha : Hledej různé možnosti, jak zaplatit dvě stejné čokolády, když máš v peněžence všechny druhy českých mincí. Hledání mnoha řešení vede žáky k systematické práci. Pro zjednodušení můžeme k platbě použít třeba jen koruny, pětikoruny a dvacetikoruny. Pokud budeme opravdu uvažovat všechny české mince, existuje dokonce 9 možností, jak zaplatit 8 Kč. Úloha : Házej hrací kostkou. Hoď desetkrát a zaznamenej hozená čísla. Kolikrát padlo sudé a kolikrát liché číslo? Pokračuj v házení a udělej 0, 00, 00 pokusů. Bude častěji padat sudé, nebo liché číslo? Je to jen náhoda? Sudá i lichá čísla budou padat přibližně stejně často. Náhoda to není, protože na hrací kostce je stejný počet sudých i lichých čísel. Úloha : Ze záznamů k předchozí úloze urči, zda padlo častěji číslo, které je násobkem tří, nebo jiné číslo. Při větším počtu házení častěji padne jiné číslo, a to přibližně dvakrát častěji, protože na hrací kostce je násobků tří dvakrát méně než čísel jiných. Úloha : Hoď dvěma kostkami a sečti počet ok. V tabulce vyplň políčko nad příslušným číslem. Když hodíš a, součet je, tak vybarvíš políčko nad pětkou. Odhadni, jak bude tabulka vybarvenápo 00 hodech a správnost svého odhadu ověř s několika kamarády. Vybarvené sloupce vytvoří pyramidu ohraničenou Gaussovou křivkou. Úloha 7: a) U kterých čísel v tabulceje sloupec nejvyšší? b) U kterých čísel v tabulce jesloupec nejnižší? c) Jsou předchozí výsledky zcelanáhodné? a) U čísla 7, případně u jeho sousedů. b) U čísel a, protože ta padnout nemohou. c) Nejsou, protože způsobů, jak ze dvou čísel na kostce složit sedmičku, je nejvíce (), pak následují čísla a 8; a 9; a 0; a ; a, která jdou složit pouze jedním způsobem. Úloha 8: a) Kam dojdeme, pokud nám padne: o, p, p, p, o? b) Co musíme hodit, abychom došly k řece? d) Je nějaké místo, kam zavítáme častěji? Pokud ano, tak proč? a) Dojdeme do ZOO. b) Musíme hodit pannu a orly (nezáleží, v jakém pořadí). d) Nejčastěji navštívíme park a zoo, protože tam vede nejvíce různých cest. Naopak na hrad nebo do kina vede cesta jediná. 9

21 PRÁCE S DATY Úloha : Sova myslí na jedno z čísel,, 7, 9,,,,. Spolužáci se ptají, Sova odpovídá. Je dvouciferné? NE. Je sudé? ANO. Je menší než? NE. Je větší než? ANO. a) Na které číslo Sova myslí? b) Která otázka byla zbytečná? a) Sova myslí na číslo. b) Poslední. otázka je zbytečná. Bylo by možné za zbytečnou označit. otázku místo., protože odpovědi na.,. a. otázku též jednoznačně vedou k číslu. Úloha : Házej dvěma kostkami. Do tabulky zapiš, kolikrát padne součet,,...,. Jaký součet jenejčastější? Proč? Námitku, že + a + jsou stejné součty, mohou žáci vyvrátit například tím, že součet padá mnohem výjimečněji než součet. Součet totiž dostaneme jako + nebo +. Kdybychom + a + považovali za jednu možnost, padal by součet stejně často jako součet. Úloha : Ve škole máme tři. třídy a tři. třídy. a) Je více žáků ve. třídách nebo ve. třídách? b) Jsou. třídy více chovatelské než. třídy? c) Která třída je nejméně a která nejvíce chovatelská? a) Ve. třídách je žáků, což je méně než b). třídy chovají zvířat, což je méně než. třídy ( + + 7). Tedy. třídy mají méně žáků a více chovaných zvířat, dá se říct, že jsou více chovatelské. c) Nejméně chovatelská je. C, což je jediná třída, ve které je poměr počet zvířat : počet žáků menší než :, přesně 7 : 0. Nejvíce chovatelská je. B s poměrem : 8. Úloha : Aneta porovnávala délku ženských a mužských jmen. Aneta tvrdila: Tedy ženská jména jsou delší. Má Aneta pravdu? Tvrzení Anety je záměrně mírně nejasné, protože cílem úlohy je rozproudit ve třídě diskuzi. Mluví Aneta o všech jménech? Co když u jmen začínajících na B to bude naopak? Je možné Anetino tvrzení zpřesnit? Anetino tvrzení by bylo možné upřesnit například takto: Průměrná délka vypsaných ženských jmen je větší než průměrná délka vypsaných mužských jmen. Takové tvrzení je přesnější, ale též obtížněji srozumitelné. V hovorovém jazyce často mluvíme nepřesně, protože spoléháme na kontext a volíme mezi přesností a srozumitelností. Diskusními úlohami tohoto typu vedeme děti k citlivosti na nepřesnosti a nuance, kterých v životě zneužívají někteří obchodníci. Na letáku se píše třeba sleva až 0 % a přitom jen jedno zboží je zlevněno o 0 %, zatímco sleva ostatního zboží je mnohem menší. Slůvko až navíc bývá zmenšeno, nebo dokonce vynecháno. Úloha : Budeš vytvářet seznam čísel. Na začátek seznamu sinapiš číslo 7 a dále postupuj podle vývojového diagramu. Podle pokynů vzniká seznam: 7,,,,,,, 0,,,, 9,,, 0, 8,,, 9, 7,, 0, 8,,, 9, 7,, 0, 8,,,, 7. 0

22 CIFERNÍK Úloha : Pět dětí stojí v kruhu a předávají si hračku. a) Kolikrát dojde k předání, než se hračka znovu dostanek prvnímu dítěti? b) Hračka se předala které dítěji teď drží? a) předání. b) Dítě, které je na. místě. Úloha : Na ciferníku vytvoř čtverec tak, aby součet čísel ve všech jeho vrcholech byl co nejmenší/největší. Nejmenší součet:,, 7, 0. Největší součet:,, 9,. Úloha : Rozděl ciferník jednou rovnou čarou (přímkou) tak, aby v obou částech byl po sečtení čísel stejný výsledek. Rovnou čarou rozdělíme ciferník tak, že v jedné části budou čísla 0,,,,,, ve druhé zbylá, tedy,,, 7, 8, 9. Úloha : Rozděl ciferník a) dvěma, b) pěti rovnými čarami tak, aby součet v každém poli byl stejný. a) V jedné části budou čísla,,,, ve druhé části 0, 9,, a ve třetí 8, 7, a. b) V jedné části bude a, dále a, 0 a, 9 a, 8 a, 7 a. a) b) Úloha : Zkontroluj správnost rovností v ciferníkové aritmetice. Oprav chyby, hledej více řešení. Správné úlohy: a), c), e), f), g). Chybné úlohy: b), d), h). Následující chybné rovnosti lze opravit třemi způsoby uvedeno v závorce. b) 9 + = (9 + =, 9 + =, 8 + = ); d) 8 = ( 8 =, 0 =, 8 = ); h) = ( =, =, = ). Úloha : Doplň scházející číslo tak, aby v ciferníkové aritmetice platila rovnost, hledej více řešení. Varianta a) i b) má jediné řešení, a to číslo 9 (9 + 7 = ; 9 = ). Varianta c) má dvě řešení: = a také 7 =, varianta d) má tři řešení: + = 7; + = 7; 0 + = 7. Úloha 7: Pokaždé, když malá ručička postoupí o jednu hodinu, ozve se gong. Gong se ozval poprvé v pondělí v jednu hodinu odpoledne. Teď právě zazněl po. Jaký je dnes den a kolik je hodin? : = (), tedy uběhnou dva dny a hodin, čili je čtvrtek hodiny ráno. Úloha 8: Ciferník trpasličích hodin je rozdělen na sedm stejných částí. Jsou na něm čísla,,,,, a 7. Počísle 7 tedy následuje číslo. Řešte úlohu na trpasličím ciferníku. Každá z úloh má jediné řešení + 7 =, =, =, + = 7

23 Úloha 9: V ciferníkové aritmetice s čísly nemá rovnice x = řešení. Zjistěte, jaké je třeba zvolit číslo n, aby rovnice n x = měla alespoň jedno řešení. n je liché. Úloha 0: O jaký úhel se velká ručička otočí za: a) min, b) 0 min, c) min? a) 0 ; b) 0 ; c) 70. Úloha : Kolik minut uplyne, když se velká ručička hodin otočí o: a) 0, b) 90, c) 0? a) 0 min; b) min; c) min. Úloha : Kolik hodin uplyne, když se malá ručička hodin otočí o: a) 0, b) 90, c) 0? a) hod; b) hod; c) hod Úloha : Na obrázku je pravidelný dvanáctiúhelník ABCDEFGHIJKL. Zjistěte velikosti úhlů: a) LCF, b) LBF, c) LEF, d) LSB, e) LSA, f) LDH, g) LFB. a) LCFI je čtverec; b) LBFH je obdélník; c) LEFK je také obdélník, všechny tři úhly jsou pravé, jedná se o Thaletovu kružnici. d) LSB je šestina pravidelného šestiúhelníku LBDFHJ, což je 0 ; e) LSA je polovina úhlu LSB, tedy 0 ; f) LDH je rovnostranný trojúhelník, všechny vnitřní úhly jsou třetinou přímého úhlu, což je 0.

24 KRYCHLOVÉ STAVBY Úloha : Na obrázku a) jsou dvě různé věže ze tří krychlí červené, modré a bílé. Kolik dalších různých věží z těchto tří krychlí můžeš postavit? Všech různých věží z daných tří krychlí je. Úloha : Obyvatelé planety Krychlov žijí v krychlových stavbách postavených právě ze čtyř krychlí. Kolik nejvíce může být v Krychlově domů, když žádné dva nejsou stejné? V Krychlově může být nejvíce různých staveb. Nejsou zobrazeny pootočené stavby. Úloha : Gábina postavila z krychlí vláček (obr. A). Nakonec před ní stála věž (obr. F). Plány staveb, které Gábina zapsala, jsou na obrázcích A, B, C, D, E, F, ale v jiném pořadí. Navíc z plánu D jsou vymazány tečky. Najdi pořadí plánů a doplň tečky do plánu D. A E C D B F Úloha : Jaký největší a jaký nejmenší povrch má krychlová stavba s objemem: a) krychle, b) 8 krychlí, c) 7 krychlí? Představme si, jak stavba vzniká přidáváním jedné krychle. Povrch bude největší, pokud každou přidanou krychli přilepíme pouze jednou stěnou k tomu, co už bylo postaveno. Může tak vzniknout mnoho rozmanitých staveb, z nichž nejjednodušší pro představu je věž a), b) 8, c) 7. Jejich povrch je tvořen a) 8, b), c) 0 stěnami krychlí. Nejmenší povrch má a) hranol, b) krychle, c) krychle. Jejich povrch je tvořen a), b), c) stěnami krychlí.