Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu

Transkript

1 Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény Galileo Galilei ( ) a Isaac Newton ( ). Studium pohybu těles a s ním spojené pojmy jako je síla a enegie patří do oblasti fyziky zvané mechanika. Mechanika se zpavidla dělí na kinematiku, popisující - jak se tělesa pohybují, a dynamiku, odpovídající na otázku - poč dochází k pohybu, a zabývající se příčinami pohybu. Kinematika je část fyziky, kteá se zabývá popisem pohybů a jejich klasifikací. Hmotný bod Popsat pohyb eálného tělesa může být náočné. Například padající míč, kteý navíc otuje, se skládá z velkého množství atomů, z nichž každý se může pohybovat po jiné tajektoii a mít v daném okamžiku jinou ychlost. Stojíme pak před poblémem, kteý z atomů (bodů) vybat po popis pohybu míče. Poto zavádíme pojem hmotný bod. Hmotný bod je myšlený objekt, kteý z hlediska vzájemného působení s jinými hmotnými body má vlastnosti eálného tělesa (zejména jeho hmotnost) a jsou zanedbány jeho ozměy, tva nebo oientace v postou, kteé při vyšetřování pohybu tělesa nejsou významné. Poloha bodu Polohu nějakého objektu vždy vztahujeme k nějakému jinému objektu. Budeme-li například cizinci chtít vysvětlit, kde se většinou nacházíme a kde je Zlín, řekneme, že se nachází 160 km seveovýchodně od Vídně. Polohu Zlína jsme tedy definovali dvěma čísly vzdáleností od počátku (Vídně) a azimutem. Nevíme však, jak jsme ve Zlíně vysoko, můžeme sedět v přízemí, ale také v osmém patře, měli bychom tedy doplnit třetí číslo nadmořskou výšku. Poloha bodu (Zlína) je tak učena třemi čísly. Podobně bychom mohli polohu Zlína učit třeba zeměpisnou délkou, šířkou a vzdáleností od středu Země (např. 49 o s.š., 17 o v.d. a 305 m n.m.). Podobných systémů k učování polohy bychom mohli nalézt velké množství, ale polohu objektu v postou musíme v každém z nich definovat vždy třemi čísly. Nejčastěji se používá katézská soustava souřadnic. To je taková soustava souřadnic, ve kteé jsou souřadné osy vzájemně kolmé a potínají se v jednom bodě, kteý je počátkem této soustavy souřadnic (ob. 1.1). V postou má katézská soustava souřadnic tři osy. Souřadnice objektu je možno získat jako kolmé půměty polohy k jednotlivým osám (na obázku 1.1 má bod A souřadnice x A, y A, z A ). Soustava je pojmenována podle René Descata ( ). Obvykle pacujeme s pavotočivou souřadnou soustavou (díváme-li se ve směu osy x a osa y směřuje vlevo, osa z směřuje v pavotočivé soustavě vzhůu). Soustava na ob. 1.1 je pavotočivá. V tomto okamžiku není používání pavotočivé soustavy nezbytné, ale až začneme počítat vektoové součiny, můžeme se s levotočivou soustavou dostat do poblémů. Na otázku, zda se automobil stojící na pakovišti pohybuje, nedokážeme jednoznačně odpovědět. Vzhledem k pakovišti je v klidu, ale uvědomíme-li si, že Země obíhá kolem Slunce, je v pohybu. Poto musí být poloha hmotného bodu i jeho pohyb vždy vztažen k nějaké souřadné soustavě.

2 Ob. 1.1:Katézská soustava souřadnic Polohu bodu popisujeme polohovým vektoem, kteý spojuje počátek soustavy souřadnic s hmotným bodem (ob. 1.). Ob. 1.: Polohový vekto Polohový vekto je popsán souřadnicemi kolmými půměty vektou do jednotlivých os. Jsou-li i, j a k jednotkové vektoy ve směu os x, y a z, můžeme polohový vekto zapsat jako x i+y j+z k (1.1) nebo zkáceně (x,y,z ). Tajektoie je množina všech bodů, jimiž bod během pohybu pochází. Tajektoii můžeme popsat jako závislost polohového vektou na čase (t). Dáha s je délka tajektoie. Jednotkou dáhy je 1 met zkatka m, což je základní jednotka SI. Rychlost Rychlost říká, jak moc (ychle) se v čase mění poloha tělesa. Rychlost zpavidla měříme tak, že odměříme nějakou vzdálenost mezi dvěma body a měříme dobu, za kteou se hmotný bod přemístí mezi těmito body.

3 Ob. 1.3: Posunutí Půměná nebo střední ychlost v p v nějakém časovém intevalu je podíl posunutí mezi dvěma body - 1 (ob. 1.3) a časového intevalu t, ve kteém k tomuto posunutí došlo. v p t Všimněme si, že když se v závodech Fomule 1 jede kvalifikace (měří se čas na jedno kolo), je půměná ychlost všech závodníků nulová (stat a cíl je ve stejném místě, posunutí je tedy nulové). V tomto případě je lepší udávat půměnou velikost ychlosti, kteá je podílem dáhy s a času t. s v p t Zajímá-li nás ychlost v nějakém okamžiku, tedy okamžitá ychlost, zjistíme ji tak, že časový inteval t zkátíme až k nule d v lim t 0. (1.) t Všimněme si na obázku 1.3, že vektoy a 1, vyznačují tajektoii pohybu a vekto - 1 má smě pohybu a je tečný k tajektoii. Z definice (1.) pak plyne, že okamžitá ychlost je vždy tečná k tajektoii (v má podle (1.) stejný smě jako ). Jednotkou ychlosti je met za sekundu - m.s -1. V běžném životě se často potkáme s jednotkou kilomet za hodinu km/h. 1m.s -1 3,6 km/h. Například automobil jedoucí ychlostí 100 km/ h má ychlost 7,8 m.s -1. Jak se deivuje vekto Vyjdeme ze vztahu (1.1). Víme, že deivace součtu je součet deivací a také, že po deivaci funkce f(x) vynásobené konstantou k platí d( k. f ( t)) df ( t) k.. Vektoy i, j a k jsou jednotkové vektoy, tedy z pohledu deivace konstanty. Pak po deivaci vektou platí d d ( x i + y j + z k ) i + j + k v i + v j + v k dx To znamená, že vekto deivujeme po složkách a například x složku ychlosti získáme jako deivaci x souřadnice polohového vektou. dy dz x y z.

4 Angličtina ozlišuje po ychlost tři ůzná slova. Velocity jako vekto ychlosti, speed jako velikost vektou ychlosti a ate jako obecnou ychlost. Angličané zase neznají slovo připostčit :-). Zychlení Stejně jako jsme zavedli pojem ychlosti, když jsme chtěli popsat, jak se mění poloha hmotného bodu v čase, může nás zajímat, jak se v čase mění ychlost. Poto zavádíme pojem půměné zychlení v a p t a analogicky jako u ychlosti i okamžité zychlení dv d a. (1.3) V předchozích kapitolách jsme ukázali, jak můžeme popsat pohyb hmotného bodu, známe-li jeho tajektoii (závislost polohového vektou na čase) pomocí pojmů ychlost a zychlení. Jednotkou zychlení je met za sekundu na duhou - m.s -. Často stojíme před opačnou úlohou: zjistit tajektoii hmotného bodu, když známe jeho zychlení nebo ychlost. Ze vztahu (1.) je jasné, že je-li ychlost deivací polohového vektou podle času, získáme polohový vekto integací ychlosti přes čas v.. (1.4) Analogicky, známe-li zychlení, kteé je definováno jako deivace ychlosti podle času, získáme ychlost jako integál zychlení přes čas v a.. (1.5) Jak v případě (1.4), tak i (1.5) integujeme od počátečního času t 0 až do času t, ve kteém nás ychlost zajímá. Vztahy (1.4) a (1.5) jsou zcela obecné a platí po libovolný pohyb. V dalších dvou kapitolách se budeme zabývat speciálními případy, kdy bude možné integací těchto vztahů získat jednodušší vzoce. Jak se integuje vekto Vyjdeme ze vztahu (1.1). Víme, že integál součtu je součet integálů. A také víme, že po integál funkce f(x) vynásobené konstantou k platí k.f(t) k f(t). Vektoy i, j a k jsou jednotkové vektoy, tedy z pohledu integace jsou to konstanty. Vekto integujeme po složkách a x souřadnice ychlosti je integálem x souřadnice vektou zychlení. Rovnoměný přímočaý pohyb Rovnoměným pohybem nazýváme takový pohyb, při kteém je velikost ychlosti konstantní (v konst.). Rovnoměný přímočaý pohyb je navíc pohyb po přímce, to znamená, že ychlost je konstantní vekto (v konst.). Slovo ovnoměný říká, že se nemění velikost ychlosti, slovo přímočaý mluví o tvau dáhy. Můžeme se setkat i s ovnoměným křivočaým pohybem (např. ovnoměný pohyb po kužnici), kdy se velikost ychlosti nemění, ale smě ychlosti se mění, nebo naopak s neovnoměným přímočaým pohybem, kdy se hmotný bod pohybuje po přímce s poměnlivou ychlostí.

5 Potože deivace konstanty je nula, ze vztahu (1.3) je zřejmé, že zychlení ovnoměného přímočaého pohybu je nulové. Tajektoií ovnoměného přímočaého pohybu je přímka. Vyjdeme-li ze vztahu (1.4) a uvědomíme-li si, jak se integuje konstanta, dostaneme v vt + 0, (1.6) kde 0 je integační konstanta, kteá má význam polohového vektou v čase t 0. Potože se jedná o pohyb po přímce jedním směem, můžeme vztah (1.6) za předpokladu, že dáha v čase t 0 byla nulová, dále zjednodušit na s vt, kde s je dáha pohybu, v je velikost ychlosti a t je doba pohybu. Všimněte si, že vzoec s vt a analogicky v s/t platí pouze ve speciálním případě, kdy jde o ovnoměný pohyb. Chcete-li tedy tento vzoec použít, musíte si být jisti, že se opavdu jedná o ovnoměný pohyb. Rovnoměně zychlený pohyb Při ovnoměně zychleném pohybu je zychlení konstantní vekto (a konst.). Rychlost zychleného pohybu je dána vztahem (1.5). Víme-li, že zychlení je konstantní, můžeme povést integaci v a at + v 0, (1.7) kde v 0 je integační konstanta, kteá má význam polohového vektou v čase t 0. Nyní můžeme výaz po ychlost (1.7) dosadit do vztahu (1.4) a integovat ještě jednou 1 v ( at + v ) 0 at + v0t + 0, (1.8) kde 0 je integační konstanta, kteá má význam polohového vektou v čase t 0. Podobně jako v minulé kapitole je třeba zdůaznit, že vztah s ½at platí jen ve speciálním případě, kdy zychlení a je konstantní a nemění smě, počáteční ychlost i počáteční dáha jsou nulové. Pincip nezávislosti pohybů Z toho, co jsme odvodili po pavidla, podle kteých se integují a deivují vektoy, je zřejmé, že pohyby ve směu ůzných souřadnicových os jsou navzájem nezávislé. To znamená, že například x složka tajektoie pohybu závisí pouze na x složkách vektoů ychlosti a zychlení a není nijak ovlivněna y a z složkou polohy, ychlosti a zychlení. Je-li dána časová závislost x souřadnice tělesa jako xt 3, je x složka ychlosti v x 6t a x složka zychlení a x 1t bez ohledu na to, jak na čase závisí ostatní souřadnice tělesa.