Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium. Teória 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika

Transkript

1 Meno a piezvisko: Škola: Školský ok/blok: Pedmet: Skupina: ieda: Dátum: Škola pe mimoiadne nadané deti a Gymnázium Fyzika eóia 2 Mechanika hmotného bodu 2.1 Kinematika Pohyb hmotného bodu po kužnici Pohyb po kužnici je najjednoduchším píkladom kivočiaeho pohybu. V paxi sa s ním stetávame veľmi často: otujúca gulička na lanku, kolotoč, búsny kotúč, pohyb v CD/DVD mechanike, pohyb Zeme okolo vlastnej osi a aj obeh okolo Slnka,.... Poloha hmotného bodu na kužnici je učená spievodičom, ktoého veľkosť je ovná polomeu kužnice, po ktoej sa daný hmotný bod pohybuje. Ak pejde hmotný bod z bodu A do bodu B, opíše spievodič uhol (niekedy sa mu hovoí uhlová dáha). Jednotkou uhlovej dáhy ad. je adián, Rad. je skatka za adián jednotku ovinného uhlu. Napiek tomu, že sa v paxi používajú oveľa častejšie uhly, vo fyzike sa dáva pednosť adiánom (lepšie vyhovuje jednotka,...). Pevody medzi adiánmi (tzv. oblúková miea) a stupňami (tzv. stupňová miea) je možné vykonávať pomocou tojčlenky, ktoej základom je fakt, že 2. ad 36 (pozo, vo vzťahu nie je ovnosť!!!). Hmotný bod pi pechode z bodu A do bodu B pejde dáhu s, ktoá sa ovná dĺžke oblúku AB. Pe veľkosť dĺžky oblúku s platí vzťah: s. ento vzťah je podobný vzťahu pe obvod kužnice o 2. Páve 2 je ten uhol, ktoý musíme po kužnici opísať, aby sme ju celú obehli a je jej polome. Ak náz zaujíma len časť obvodu kužnice, nebude vo vzťahu vystupovať plný uhol 2, ale len jeho časť napíklad. Uhlová ýchlosť sa definuje ako podiel veľkosti uhlu za dobu t a tejto doby:. Jednotkou uhlovej ýchlosti je adián za sekundu t. 1 1 s. Pi výpočtoch sa dosadzuje len s. ad., ktoý opíše polohový vekto Uhlová ýchlosť je vektoová fyzikálna veličina. Jej vekto je kolmý k ovine kužnice, po ktoej obieha hmotný bod ýchlosťou v, a umiestňujeme ho do stedu kužnice. Jeho sme učíme podľa pavidla pavej uky: Ak položíme psty ku kužnici tak, aby ukazovali sme vektoa ýchlosti v, tak vztýčený palec ukazuje sme vektoa uhlovej ýchlosti. Pi ovnomenom pohybe po kužnici sa zachováva veľkosť aj sme uhlovej ýchlosti. Ďalej v našich textoch budeme hovoiť vždy len o veľkosti uhlovej ýchlosti. Ak je konšt., jedná sa o ovnomený pohyb po kužnici.

2 Hmotný bod koná ovnomený pohyb po kužnici vtedy, ak v ovnakých a ľubovoľne malých časových intevaloch opíše jeho spievodič ovnaké uhlové dáhy. Rovnomený pohyb po kužnici je pohyb peiodický. Plný uhol 2 opíše hmotný bod vždy za ovnaký čas obežnú dobu (peiódu). Peióda je doba, za ktoú hmotný bod pohybujúci sa po kužnici, vykoná páve jednu otáčku. Ak dosadíme peiódu do vzťahu pe definíciu uhlovej ýchlosti, dostaneme 2 t Namiesto peiódy môžeme pohyb po kužnici chaakteizovať fekvenciou f. Fekvencia v pípade pohybu hmotného bodu po kužnici udáva počet otáčok za jednotku času (väčšinou za sekundu). Medzi fekvenciou f a peiódou používame jednotku hetz, platí: fekvencie f : 2f. 1 1 platí vzťah f. Jednotkou fekvencie je s. V paxi s 1 1Hz. Uhlovú ýchlosť je možné tiež vyjadiť pomocou 1 Veľkosť ýchlosti je možné učiť pomocou vzťahu s v t t. Veľkosť ýchlosti je teda piamo úmená polomeu kužnice. Najväčšou ýchlosťou sa pohybujú body na obvode kolesa, najmenšou (nulovou) body na ose otáčania. Ak sa jedná o ovnomený pohyb po kužnici, je veľkosť ýchlosti v danej vzdialenosti od osi otáčania stále ovnaká (konštantná). Vekto ýchlosti má v každom bode kuhovej tajektóie sme dotyčnice ku kužnici v danom bode. Expeimentálne oveenie faktu, že body vzdialenejšie od osi otácie sa pohybujú ýchlosťou s väčšou veľkosťou, možno uskutočniť pomocou dáždnika s pestým vzoom. Otvote dáždnik, oztočte ho okolo svojej osi, ktoá je totožná s džiakom dáždnika, a pozoujte vzo. V blízkosti osi otáčania vzo elatívne dobe ozoznáte, zatiaľ čo na obvode bude vzo neozoznateľný vďaka veľkej ýchlosti. Pitom všetky body na dáždniku majú ovnakú uhlovú ýchlosť. Vzhľadom k tomu, že nás bude zaujímať väčšinou ýchlosť na obvode kuhu, disku, kolesa,... hovoíme tejto ýchlosti obvodová ýchlosť. Pi ovnomenom pohybe po kužnici sa teda nemení veľkosť ýchlosti hmotného bodu, ale mení sa jej sme. Z toho vyplýva, že tangenciálne zýchlenie hmotného bodu pi pohybe po kužnici je nulové, zatiaľ čo nomálové zýchlenie nulové nie je (mení sa sme ýchlosti). Zmena vektou ýchlosti je v v 2 v1. Vektoy v 1 a v 2 zvieajú uhol, ktoý zviea spievodič v bode bode A a v bode B. Vekto ýchlosti je kolmý na spievodič. Ak zvieajú spievodiče dvoch bodov na kužnici učitý uhol, musia tento uhol zvieať aj vektoy ýchlosti zostojené v uvažovaných bodoch. 2

3 Ak je uhol malý (tj. pokiaľ je možné nahadiť oblúk s v v s, teda v v. s podobnosti tojuholníkov písať: úsečkou), je možné na základe 2 v s v v Veľkosť zýchlenia učíme zo vzťahu a d.. Pe malý uhol je zmena s t ýchlosti v kolmá k ýchlosti v. Zýchlenie má sme zmeny ýchlosti, je teda tiež kolmé k okamžitej ýchlosti. V pípade ovnomeného pohybu po kužnici je celkové zýchlenie zhodné s nomálovým (dostedivým) zýchlením. Je dobé namaľovať si vlastný obázok a skúsiť si naysovať vekto v v 2 v 1. Ak splníte podmienky opísané pi odvodzovaní (hlavne malý uhol ), mal by mieiť vekto v (pibližne) do stedu kužnice. Splnenie podmienok je možné dosiahnuť tak, že zvolíte kužnicu s elatívne veľkým polomeom a body, v ktoých budete konštuovať vektoy okamžitej ýchlosti, zvolíte blízko seba. Čňim bližšie, tým skô bude vekto v mieiť do stedu kužnice Rovnomený pohyb po kužnici, ovinný uhol, uhlová ýchlosť, píklady Keď má tajektóia kivočiaeho pohybu tva kužnice, hovoíme o pohybe po kužnici. Pohyb po kužnici je zvláštnym pípadom kivočiaeho pohybu. Všetky body tajektóie sú v tomto pípade ovnako vzdialené od jedného bodu, umiestneného v jej stede. V dynamike sa budeme zaobeať píčinou zakivenia tajektóie hmotného bodu do tvau kužnice silou, ktoá smeuje vždy do stedu tajektóie. Na obázku je znázonená tajektóia v tvae kužnice s geometickým stedom v bode S, a polomeom. Polohu hmotného bodu a ýchlosť jeho pohybu po kužnici budeme učovať vzhľadom na bod S. Oientované úsečky a,, sú polohové vektoy bodov A, B, ktoými hmotný bod pechádza v čase t a t t. Majú ovnakú veľkosť,. Rýchlosti A B ovnakú veľkosť v v, v. v, a v sú kolmé na polome a majú v bodoch, Platia známe vzťahy: s v ; t s s t v Ak chceme zdôazniť, že ýchlosť pohybu súvisí s pohybom po kužnici, používame názov obvodová ýchlosť. Okamžitá poloha bodu na kužnici vzhľadom na bod S, je úplne učená aj v súadnicovej sústave v ktoej piadíme každému bodu dve súadnice - veľkosť polohového vektoa a uhol, ktoý tento vekto zviea s nehybnou polpiamkou p. Napíklad bod A na pedošlom obázku má súadnice A,. Sú to poláne súadnice. Veľkosť ovinného uhla môžeme vyjadiť v dvoch ôznych jednotkách: 3

4 1. Jednotka uhla v stupňovej miee - uhlový stupeň 1 je definovaný ako 36 plného uhla (PU). 2. Jednotka uhla v oblúkovej miee - adián ad je definovaný ako stedový uhol, ktoému na obvode kužnice pislúcha kuhový oblúk o dĺžke jej polomeu. Radián je odvodená jednotka SI. Plnému uhlu zodpovedá oblúk s dĺžkou 2, peto je 36 2 ad. Ľubovoľnej dĺžke s s oblúka na obvode kužnice s polomeom zodpovedá stedový uhol ad. Na opis pohybu hmotného bodu po kužnici zavádzame vektoovú fyzikálnu veličinu, ktoá súvisí so zmenou oientovaného uhla opísaného polohovým vektoom a nazýva sa uhlová ýchlosť. Veľkosť uhlovej ýchlosti ovnomeného pohybu po kužnici je daná vzťahom: 1 ad s t t Uhlová ýchlosť číselne udáva veľkosť uhla opísaného polohovým vektoom hmotného bodu za časovú jednotku. Obazom uhlovej ýchlosti ako vektoovej veličiny je oientovaná úsečka, ktoú umiestňujeme kolmo na ovinu kužnice, do jej stedu S. Dohodnutý sme uhlovej ýchlosti je učený pavidlom pavej uky. Ak psty pavej uky ukazujú sme okamžitej ýchlosti, vztýčený palec ukazuje sme vektoa. Píklad 1 Nájdite pe ovnomený pohyb po kužnici vzťah, ktoý vyjaduje závisloť veľkosti uhla, opísaného polohovým vektoom, od času. Riešenie: Zo vzťahu pe veľkosť uhlovej ýchlosti vyjadíme uhol vzťahom Je to lineána funkcia, podobne, ako vzťah t s s v t pe dáhu ovnomeného pohybu. V píode sa s ovnomeným pohybom po kužnici, podobne, ako s ovnomeným piamočiaym pohybom, nestetávame. Pohyb planét slnečnej sústavy okolo Slnka, ale aj pohyb iných objektov, sa k nemu do istej miey pibližuje. Veľký význam má tento duh pohybu v technickej paxi. Javy, ktoé sa po uplynutí ovnakého času (peiodicky) opakujú, sú peiodické javy. Rovnomený pohyb hmotného bodu po kužnici je peiodický pohyb. Čas, za ktoý polohový 4

5 vekto hmotného bodu opíše plný uhol 2 a hmotný bod pejde po kužnici dáhu 2, sa nazýva peióda, alebo obežná doba. Počet peiód, alebo počet obehov po kužnici za časovú jednotku učuje fyzikálna veličina fekvencia. Definujeme ju vzťahom 1 1 f 1Hz s 1Hz = 1Hetz Píklad 2 Pe ovnomený pohyb po kužnici nájdite vzťahy: 1. medzi veľkosťami obvodovej a uhlovej ýchlosti, 2. medzi veľkosťou obvodovej ýchlosti, alebo uhlovej ýchlosti a peiódou alebo fekvenciou. Riešenie: 1. Vzťah medzi uhlom v adiánoch, opísaný polohovým vektoom za čas t, a zodpovedajúcou dáhou s na kužnici s polomeom, zapíšeme v tvae Po vydelení tohoto vzťahu časom t s dostávame výaz s t t, z ktoého vyplýva vzťah medzi veľkosťou obvodovej ýchlosti a uhlovej ýchlosti v 2. Vo vzťahoch pe veľkosť ýchlosti a uhlovej ýchlosti zvolíme čas t, pe ktoý je s 2 a uhol v adiánoch je 2. Po dosadení získame vzťah medzi veľkosťou obvodovej ýchlosti a peiódou (alebo fekvenciou) 2 v 2f a vzťah medzi veľkosťou uhlovej ýchlosti a peiódou, alebo fekvenciou 2 2f Poblémy na iešenie 1. Ktoá podmienka je splnená, keď je pohyb po kužnici ovnomený? 2. Vzhľadom na ktoý vzťažný bod učujeme ýchlosť pohybu po kužnici? 3. Napíšte vzťahy pe učenie veľkosti ýchlosti ovnomeného pohybu po kužnici. 4. Aký je vzťah medzi jednotkami ovinného uhla - uhlovým stupňom a adiánom? 5. Pepočítajte hodnoty uhlov 4, 135, 27, 36 na hodnoty v adiánoch. 6. Pepočítajte hodnoty uhlov ad, 1 ad 4 na hodnoty v stupňoch. 7. Ktoým vzťahom je daná veľkosť uhlovej ýchlosti ovnomeného pohybu po kužnici a akú má jednotku? 8. Vypočítajte veľkosť uhlovej ýchlosti bodu, ktoý polovicu svojej dáhy po obvode kolesa pešiel za čas,1 s. Načtnite gaf závislosti t pe pohyb so stálou veľkosťou uhlovej ýchlosti. 9. Vysvetlite pojmy peióda, fekvencia a učte ich jednotku. 1. Odvoďte vzťah medzi ýchlosťou a uhlovou ýchlosťou pohybu po kužnici. 11. Vyjadite závislosť ýchlosti a uhlovej ýchlosti od a) peiódy, b) fekvencie pohybu po kužnici. 5