Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba Katedra fyziky Optické vláknové senzory fyzikálních veličin Disertační práce Autor: Školitel: Studijní program: Studijní obor: Mgr. et Bc. Jan Militký doc. RNDr. Petr Hlubina, CSc. Fyzika P1701 Aplikovaná fyzika 1702V001 Ostrava 2017
Prohlašuji, že jsem celou disertační práci vypracoval samostatně, podle pokynů školitele, s použitím uvedené literatury, v souladu se Studijním a zkušebním řádem pro studium v doktorských studijních programech Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava. V souladu s 47a zákona č. 111/1998 Sb. o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů souhlasím s publikováním textu své práce na webové stránce katedry fyziky VŠB TU Ostrava. V Ostravě 2. 5. 2017 Mgr. et Bc. Jan Militký
Na tomto místě chci poděkovat svému školiteli doc. RNDr. Petru Hlubinovi, CSc. za odborné vedení, řadu cenných připomínek, praktických rad a také vstřícný přístup a všestrannou pomoc nejen při psaní této disertační práce, ale také po celou dobu doktorského studia.
Obsah 1 Úvod 1 2 Cíle disertační práce 3 3 Principy šíření elektromagnetických vln v optických vláknech 5 3.1 Úvod do problematiky optických vláken.................... 5 3.2 Vedené vlny a řešení pro vlákno se skokovou změnou indexu lomu.............................. 8 3.3 Vedení vidů optickým vláknem........................ 11 4 Speciální optická vlákna a krystaly 13 4.1 Optická vlákna zachovávající polarizaci.................... 13 4.2 Parametry optického vlákna.......................... 15 4.2.1 Fázový dvojlom vlákna......................... 15 4.2.2 Záznějová délka............................. 15 4.2.3 Skupinový dvojlom vlákna....................... 16 4.3 Parametry dvojlomného krystalu....................... 17 4.3.1 Fázový dvojlom krystalu........................ 17 4.3.2 Skupinový dvojlom krystalu...................... 17 4.4 Fotonická krystalová vlákna.......................... 18 5 Vernierův jev 21 5.1 Úvod do problematiky Vernierova jevu.................... 21 i
5.2 Vernierův jev v senzorice............................ 22 5.3 Vernierův jev v laserové technice....................... 25 5.4 Příklady dalšího využití Vernierova jevu................... 27 6 Spektrální interference vln na výstupu experimentální sestavy 29 6.1 Spektrální intenzita na výstupu tandemové sestavy s dvojlomným prvkem a HB vláknem................ 29 6.2 Spektrální intenzita na výstupu tandemové sestavy se dvěma interferometry........................ 33 7 Charakteristika experimentálních metod a modelování interferogramů 37 7.1 Interferometrický senzor posunutí....................... 37 7.1.1 Standardní uspořádání senzoru pro měření posunutí......... 37 7.1.2 Interferometrický senzor posunutí s využitím Vernierova jevu.... 40 7.2 Standardní uspořádání vláknového senzoru teploty.............. 44 7.3 Uspořádání vláknového senzoru teploty s vyšší citlivostí........... 49 7.4 Interferometrický vláknový senzor teploty s využitím Vernierova jevu........................... 54 8 Výsledky experimentů a diskuse 57 8.1 Výsledky měření pro interferometrický senzor posunutí........... 57 8.1.1 Výsledky měření pro standardní uspořádání senzoru......... 57 8.1.2 Výsledky měření pro uspořádání senzoru s vyšší citlivostí využívající Vernierova jevu............................. 60 8.2 Výsledky měření pro standardní uspořádání vláknového senzoru teploty........................... 62 8.3 Výsledky měření pro uspořádání vláknového senzoru teploty s vyšší citlivostí 65 8.4 Výsledky měření pro interferometrický vláknový senzor teploty využívající Vernierova jevu................................. 67 ii
9 Shrnutí a závěr 69 Literatura 73 Publikace autora disertace 79 iii
Abstrakt Tato disertační práce je zaměřena na využití vysoce dvojlomných optických vláken v optických vláknových senzorech, především ke sledování teploty. K tomuto účelu se využívá spektrální interferometrie v bílém světle. Práce uvádí principy šíření elektromagnetického pole v optických vláknech, popisuje speciální optická vlákna a analyzuje spektrální interferenci vln na výstupu experimentální sestavy. Dále jsou prezentovány a diskutovány výsledky měření spektrální interference s využitím různých experimentálních sestav a typů dvojlomných vláken. V experimentech se využívá interference optických vln, přičemž jde o ortogonálně polarizované vidy dvojlomných optických vláken, nebo o řádnou a mimořádnou vlnu dvojlomného krystalu. Výhodné je, že se jedná o vlny ve viditelné a blízké infračervené oblasti spektra, což snižuje nároky na použitý světelný zdroj i detektor. Popisované experimenty ukazují, jak lze využít optická vlákna v senzorech pro měření různých fyzikálních veličin, a demonstrují možnost využití Vernierova jevu ke zvýšení citlivosti daného měření. Kromě optických vláknových senzorů teploty se práce v experimentální části zabývá také optickým senzorem posunutí využívající Michelsonův interferometr ve standardní konfiguraci a v konfiguraci využívající Vernierův jev ke zvýšení citlivosti měření. Klíčová slova: spektrální interferometrie, bílé světlo, senzory, vysoce dvojlomné optické vlákno, dvojlomný krystal, měření teploty, Michelsonův interferometr, polarimetrická citlivost, citlivost měření, Vernierův jev, zvýšení citlivosti měření
Abstract This thesis deals with uzilization of highly birefringent optical fibers in fiber optic sensors, mainly in temperature sensing. For this purpose white-light spectral interferometry is exploited. The thesis introduces principles of guiding of electromagnetic field in optical fibers, describes special optical fibers and analyzes spectral interference of waves at the output of an experimental setup. Furthermore, results of measurements of spectral interference with utilization of diverse experimental setups and birefringent fibers types are presented and discussed. In experiments, interference of optical waves is exploited, whereas these are orthogonally polarised modes of birefringent optical fibers or ordinary and extraordinary wave of a birefringent crystal. It is advantageous that these waves are in visible or near infrared part of spectrum which lowers demands on used light source and detector. Described experiments show how optical fibers can be used in sensors for sensing diverse physical quantities and demonstrate a possibility of utilization of the Vernier effect for given measurement sensitivity enhancement. Beside optical fiber temperature sensors the thesis in experimental part also deals with an optical displacement sensor utilizing a Michelson interferometer in a standard configuration and in a configuration utilizing the Vernier effect to measurement sensitivity enhancement. Keywords: spectral interferometry, white-light, sensors, highly birefringent optical fiber, birefringent crystal, temperature sensing, Michelson interferometer, polarimetric sensitivity, measurement sensitivity, Vernier effect, measurement sensitivity enhancement
Kapitola 1 Úvod Optická vlákna nalezla v posledních desetiletích široké uplatnění v technické praxi. Samostatnou oblastí by mohly být informační technologie využívající přenosu dat optickými vlákny. Mezi hlavní výhody technologií založených na optických vláknech patří odolnost vůči elektromagnetickému rušení, galvanické oddělení vstupu od výstupu a především pak nízký útlum a minimální disperze na komunikačních vlnových délkách [1]. Významnou oblastí aplikace optických vláken je senzorika. V současné době je známo mnoho měřicích technik pokrývajících široké oblasti uplatnění [2]. Využívá se vysoká citlivost optických vláken k nejrůznějším fyzikálním veličinám a jednotlivé typy senzorů se mohou lišit například principem činnosti, citlivostí a dynamikou měření příslušné fyzikální veličiny [1]. Jako příklady lze uvést senzory mechanického namáhání, teploty a hydrostatického tlaku [3], senzor teploty použitelný až do teploty 900 C [4] nebo bezkontaktní vláknový interferometrický senzor posunutí s rozlišením v řádu nanometrů [5]. Oblast potenciálních aplikací se postupně rozšiřuje s novými dostupnými materiály, přístroji a aparaturami [6]. Z aplikací optických vláknových senzorů je dále možno uvést senzory vlhkosti [7, 8], senzory oxidu uhličitého [9], senzory ozonu [10] či osvětlení [11]. K nejcitlivějším senzorům patří interferometrické optické vláknové senzory [2]. První aplikace vláknových interferometrických senzorů se týkaly měření změn mechanického napětí a teploty a spadají do druhé poloviny sedmdesátých let 20. století [12]. Optický vláknový senzor teploty používá vysoce dvojlomné vlákno (HB vlákno, HBF) jako prvek 1
citlivý ke změně teploty. Jednou z možností, jak dosáhnout dvojlomu ve vláknu, je použití eliptického jádra vlákna. Je-li vlákno dostatečně dlouhé, lze jej v praxi použít k citlivému měření teploty. Shora je délka vlákna omezena rozlišením použitého spektrometru, kterým se detekuje interferogram. Interferogram vzniká interferencí vzájemně ortogonálních polarizačních vidů vlákna promítnutých do vhodného směru analyzátorem. Spektrální interferometrie v bílém světle je metoda využívající zdroje bílého (přesněji polychromatického) světla v kombinaci se standardním Michelsonovým nebo Machovým- Zehnderovým interferometrem [1]. Alternativně lze metodu označovat jako nízkokoherenční interferometrii [13] a lze ji využít například i pro profilometrii biologických objektů [14] nebo k současnému měření indexu lomu a tloušt ky biologického vzorku [15]. Při této metodě není přítomna mnohoznačnost jako v případě interferometrie v monochromatickém světle, a celé interferenční pole je zaznamenáno v jediném okamžiku [16]. Pomocí pozorování interferenčních proužků lze přesně specifikovat parametry optických vláken a jsou využitelné k vyhodnocování měření určité veličiny se standardní citlivostí. Nové experimentální metody a následný způsob zpracování dat umožňují výrazné zvýšení citlivosti měření veličiny [17, 18]. K takovému zvýšení citlivosti a limitu detekce řady senzorů lze například velmi efektivně uplatnit Vernierův jev; mimo oblast aplikace Vernierova jevu popisované v této práci lze uvést senzory chemické, biochemické a fotonické senzory plynů [19]. 2
Kapitola 2 Cíle disertační práce Předmětem disertační práce je teoretická a experimentální analýza optických vláknových senzorů pro měření fyzikálních veličin, například teploty a posunutí. Optické vláknové senzory využívají metod spektrální interferometrie v bílém světle, což představuje výhodu v možnosti použití spektrometru citlivého ve viditelné oblasti spektra. Například optický vláknový senzor teploty využívá jako prvku citlivého na teplotu vysoce dvojlomného optického vlákna. Senzor posunutí využívá Michelsonova interferometru. Pro obě metody je možno zvýšit citlivost měření využitím Vernierova jevu. Cíle disertační práce je možno shrnout do následujících bodů: teoretická a experimentální analýza optického vláknového senzoru teploty optický vláknový senzor teploty ve standardní sestavě optický vláknový senzor teploty v rozšířené sestavě s dvojlomným krystalem (vyšší teplotní citlivost) teoretická a experimentální analýza senzoru posunutí senzor posunutí ve standardní sestavě senzor posunutí v rozšířené sestavě s dvojlomným krystalem využití Vernierova jevu (vyšší citlivost) teoretická a experimentální analýza Vernierova jevu u optického vláknového senzoru teploty 3
Výsledky experimentů prezentované v této práci demonstrují možnosti využití spektrální interferometrie v bílém světle k měření teploty a posunutí. Ze srovnání výsledků měření metodami se základní a s vyšší citlivostí je zřejmé, že lze dosáhnout několikanásobného zvýšení citlivosti měření dané veličiny pomocí jednoduché úpravy metodiky měření a vyhodnocování naměřených dat. 4
Kapitola 3 Principy šíření elektromagnetických vln v optických vláknech 3.1 Úvod do problematiky optických vláken Za vynálezce optických vláken je považován britský vědec Charles Kao, který představil první prakticky funkční optické vlákno v roce 1966. Jednou z podmínek rozvoje vláknové optiky bylo rapidní zlepšení přenosových vlastností optických vláken, přičemž ke strmému poklesu ztrát ve vláknech docházelo od roku 1970 [20]. Výroba vláken s nízkým útlumem ve společnostech Corning Inc. a Bell Labs otevřela cestu k využití optických vln v oblasti komunikace a rovněž k výrobě vysoce efektivních vláknově optických senzorů za přijatelnou cenu [21]. Optické vlákno je podélně homogenní válcový dielektrický vlnovod, kterým se mohou šířit elektromagnetické vlny z viditelné a blízké infračervené oblasti spektra [1]. Optická vlákna se vyrábějí z křemenného skla nebo z plastu. Vnitřní oblast vlákna se nazývá jádro. Jádro je obklopeno vrstvou, která je zpravidla tvořena čistým křemenným sklem a nazývá se plášt. Světlo je standardními optickými vlákny vedeno prostřednictvím totálního odrazu; index lomu jádra n 1 je tedy vždy vyšší než index lomu pláště n 2. Toho se v praxi dosahuje dopováním křemenného skla látkami zvyšujícími index lomu, jako je například oxid germaničitý. Energie elektromagnetického pole procházejícího optickým vláknem klesá exponenciálně s uraženou vzdáleností, což je důsledek absorpce a rozptylu. O dnešních optických vláknech lze říci, že koeficient útlumu dosahuje svého absolutního minima na 5
vlnové délce 1550 nm, a jeho hodnota činí přibližně α = 0,16 db/km. Na kratších vlnových délkách útlum roste v důsledku Rayleighova rozptylu a při delších vlnových délkách se silně uplatňuje absorpce. Jestliže P(0), resp. P(L) označuje výkon optického pole na vstupu, resp. výstupu optického vlákna o délce L, lze koeficient útlumu definovat [22]: α = 1 P (0) 10log L P (L) (3.1) Například pro α=3 db/km, resp. α=0,16 db/km, klesá intenzita optických vln na délce L=1 km o polovinu, resp. o necelá 4 %. Aby se vlnění ve vláknu mohlo šířit pomocí totálního odrazu, musí směr, kterým se navazuje do vlákna, spadat do určité oblasti vymezené úhlem θ a, který se nazývá vazební úhel [22]. Názorně je to ukázáno na obrázku 3.1. Nyní můžeme definovat numerickou aperturu NA: 1 NA = sinθ a = n 2 1 n 2 2 (3.2) 2 4 3 2 1 Axiální paprsek 4 3 Obrázek 3.1: Princip vedení paprsků standardním optickým vláknem. Pro vlákna, která mají na rozhraní jádra a pláště skokovou změnu indexu lomu (stepindex fibers, SI) můžeme definovat relativní změnu indexu lomu [22]: = n2 1 n 2 2 2n 2 1 n 1 n 2 n 1 1 (3.3) Index lomu jádra n 1 se pohybuje podle vlnové délky od 1,44 do 1,46 a nabývá typicky hodnot od 0,001 do 0,02 [22]. 6
Při šíření elektromagnetických vln optickým vláknem dochází ke zkreslení signálu v důsledku disperze. Zkreslením rozumíme rozšíření doby trvání přenášeného pulsu. Podrobně rozebranou problematiku disperze lze nalézt v literatuře (například [1, 22]); v následujícím textu jsou jen stručně uvedeny základy. Vidová (též modální) disperze se uplatňuje u mnohavidových vláken a představuje rozdíl mezi nejrychlejším a nejpomalejším světelným paprskem v důsledku jejich rozdílných drah. U standardních optických vláken typu SI se výrazně projevuje modální disperze; vlákna typu graded-index (GI) mají pozvolna narůstající index lomu jádra ve směru do středu a potlačenou modální disperzi [22]. Chromatická disperze je důsledkem toho, že zdroj světla není zcela monochromatický; každé vlnové délce tedy odpovídá určitá rychlost šíření vláknem. Standardní optická vlákna vyrobená z čistého křemenného skla mají nulovou hodnotu chromatické disperze na vlnové délce 1,27 µm; existují vlákna s posunutou disperzní charakteristikou (Dispersion-Shifted Fiber, DSF), a ta mají nulovou chromatickou disperzi na vlnové délce 1,55 µm [1]. Polarizační disperze se projevuje u jednovidových vláken a je důsledkem nedokonalosti symetrie vlákna. Kvůli nesymetričnosti se šíří vzájemně kolmé polarizace přenášeného vidu rozdílnými rychlostmi. Narušení symetrie vlákna může být způsobena i malými ohyby, jednou z možných příčin je také nedokonale vyrobené vlákno. 7
3.2 Vedené vlny a řešení pro vlákno se skokovou změnou indexu lomu Každá složka elektrického a magnetického pole musí splňovat Helmholtzovu rovnici: 2 Ψ + n 2 koψ 2 = 0, (3.4) kde n = n 1 v jádře (r a) a n = n 2 v plášti (r > a). Předpokládáme, že poloměr pláště b je dostatečně velký, abychom jej pro další úvahy mohli položit roven nekonečnu. Protože je optické vlákno válcovým objektem, budeme problém řešit ve válcové soustavě souřadnic, kde má Helmholtzova rovnice tvar: 2 Ψ r 2 + 1 r kde Ψ = Ψ(r, φ, z) je komplexní amplituda. Ψ r + 1 2 Ψ r 2 φ + 2 Ψ 2 z + 2 n2 k0ψ 2 = 0, (3.5) Zajímají nás řešení, kde vlna postupuje ve směru z s konstantou šíření β, takže platí: Ψ(r, φ, z) = u(r, φ)e jβz. (3.6) Rovnice (3.6) popisuje módy vedené optickým vláknem a po dosazení do rovnice (3.5) získáme obyčejnou diferenciální rovnici pro u(r, φ) [20]: 2 u r + 1 u 2 r r + 1 2 u r 2 φ + 2 [k2 0n 2 (r) β 2 ]u = 0, (3.7) Rovnici (3.7) lze díky válcové symetrii řešit pomocí separace proměnných: u(r, φ) = R(r)Φ(φ) (3.8) Po provedení substituce a vydělení rovnice (3.7) členem u(r, φ)/r 2 získáme: r 2 d 2 R R dr + 1 2 r dr + r 2 [k 2 dr 0n 2 (r) β 2 ] = 1 d 2 Φ Φ dφ = 2 +l2, (3.9) kde l = 0, ±1, ±2,..., protože Φ(φ) je periodickou funkcí úhlu φ s periodou 2π. 8
Uved me nyní řešení pro vlákno se skokovou změnou indexu lomu. V praxi je rozdíl indexů lomu jádra a pláště malý, proto pro radiální část příčné složky elektrického pole platí následující vztah [20]: r 2 d2 R dr 2 + r dr dr + {[k2 0n 2 (r) β 2 ]r 2 l 2 }R = 0. (3.10) Pro vlnovod profilu s válcovou symetrií a indexem lomu klesajícím z konstantní hodnoty n 1 na ose ke konstantní hodnotě n 2 za rozhraním jádra a pláště může být řešení rovnice (3.10) rozděleno do dvou kategorií; nás zajímá varianta, kdy β 2 nabývá pouze diskrétních hodnot známých jako vedené módy. Pak platí: Uvážíme-li počáteční podmínky n 2 2k 2 0 < β 2 < n 2 1k 2 0 (3.11) n(r) = n 1 0 < r a, (3.12) získáme po jejich dosazení do rovnice (3.10) vztahy [20]: kde r 2 d2 R dr 2 r 2 d2 R dr 2 n(r) = n 2 r > a, (3.13) + r dr dr + U 2 r2 a 2 l2 R = 0; 0 < r a, (3.14) + r dr dr W 2 r2 a + 2 l2 R = 0; r > a, (3.15) U = a(k 2 0n 2 1 β 2 ) 1/2, (3.16) W = a(β 2 k 2 0n 2 2) 1/2. (3.17) Parametr V, označovaný jako normovaný kmitočet, je definován takto: V = (U 2 + W 2 ) 1/2 = k 0 a(n 2 1 n 2 2) 1/2. (3.18) Vedené módy splňují rovnici (3.11) a proto jsou pro ně U a W reálná. Rovnice (3.14) a (3.15) představují konkrétní podoby Besselovy rovnice. Z řešení je nutno vyloučit r = 0 9
v jádře a r v plášti; hodnoty by se pak blížily nekonečnu. Skalární funkce u(r) je spojitá a má v r = a spojitou derivaci: UJ l(u) J l (U) = W K l(w ) K l (W ). (3.19) Derivace Besselových funkcí J l a K l jsou rovny [20]: Charakteristická rovnice má podobu: J l(u) = ±J l 1 (U) l J l(u) U, (3.20) K l(w ) = K l 1 (W ) l K l(w ) W. (3.21) U J l±1(u) J l (U) = ±W K l±1(w ) K l (W ). (3.22) Řešení charakteristické rovnice lze provést graficky vykreslením pravé a levé strany nad osu x a nalezením průsečíků. Pak je počet módů roven počtu průsečíků, tedy kořenů J l±1 (X) menších než V. 10
3.3 Vedení vidů optickým vláknem Elektromagnetická energie je vláknem vedena prostřednictvím takzvaných vidů. Pojmem vidy rozumíme celistvé distribuce elektrických polí ve vlnovodech, optických rezonátorech či ve volném prostoru [23]. Lineárně polarizované vidy jsou označovány zkratkou LP s indexy l a m (LP lm ), přičemž l se vztahuje k azimutální distribuci a m k radiální distribuci vlny [22]. Obě polarizace vidu (l, m) se šíří se stejnou konstantou šíření a mají stejné rozložení elektromagnetického pole v prostoru. Mezní vlnová délka označuje největší vlnovou délku vlnění, pro niž je určitý vid veden vláknem. Lze tedy říci, že čím je vlnová délka kratší, tím více vidů může být daným vláknem vedeno. Mezní vlnová délka pro vid LP 11 představuje hranici pro jednovidový režim, nebot po jejím překročení vlákno přenáší pouze vid LP 01 a funguje v jednovidovém režimu (singlemode fiber). Pro stanovení počtu vidů vedených vláknem se skokovou změnou indexu lomu lze pro V 1 použít přibližný vztah [22]: M 4 π V 2. (3.23) 2 Počet módů vedených vláknem tedy můžeme určit pomocí parametru V, neboli normovaného kmitočtu. Parametr V byl definován vztahem (3.18), mnohdy však bývá uváděn v poněkud názornější podobě: V = a 2π λ NA. (3.24) Jeho hodnota podle vztahu (3.24) závisí na vlnové délce procházejícího vlnění λ, poloměru jádra vlákna a a jeho numerické apertuře NA. Mezní normovaný kmitočet V c označuje hranici mezi vlnou vedenou a vlnou vytékající. Pro vid LP 11 je hodnota mezního normovaného kmitočtu V c =2,4048 a představuje první kořen Besselovy funkce J 0 (X). Rozložení optického pole v průřezu jádra je zobrazeno na obrázku 3.2. Podle počtu přenášených vidů vlákna rozdělujeme na jednovidová (single-mode fibers) a mnohavidová (multi-mode fibers). Jednovidová vlákna mají velmi malý průměr jádra, 11
typicky 8 až 10 µm a získaly zásadní postavení v oblasti komunikací, kde umožňují přenos dat na velké vzdálenosti (například v optických datových kabelech propojujících jednotlivé světadíly). Jsou charakteristické nízkým útlumem a velkou šířkou pásma. Mnohavidová vlákna pracují obvykle na vzdálenosti stovek metrů a typický průměr jejich jádra je 50 až 100 µm. Obrázek 3.2: Rozložení optického pole v průřezu jádra pro vybrané vedené LP vidy [24]. 12
Kapitola 4 Speciální optická vlákna a krystaly 4.1 Optická vlákna zachovávající polarizaci Uvažujme optické vlákno s dokonale kruhovým průřezem. V něm se šíří vidy ve dvou vzájemně kolmých nezávislých polarizačních stavech. Nedochází k výměně energie mezi oběma polarizačními stavy. V reálných vláknech však dochází k nahodilé výměně energie mezi polarizačními stavy, protože vlákna obsahují různé asymetrie a nehomogenity materiálu. Obecně si vlnění během průchodu takovýmto vláknem nezachová svůj původní polarizační stav. Tato vlastnost vláken je akceptovatelná v případech, kdy je při přenosu podstatný pouze celkový přenášený výkon. Potřebujeme-li vstupní polarizační stav elektromagnetického pole zachovat, využijeme vysoce dvojlomné optické vlákno (PMF, polarization maintaining fiber). PMF jsou vyrobena tak, aby vykazovala silný dvojlom, tedy vzájemně ortogonální polarizační vidy se šíří s velmi odlišnými fázovými rychlostmi. Důležitým parametrem charakterizujícím PMF je záznějová délka, která bude definována v následující podkapitole. Podle vnitřní struktury dělíme PMF na vlákna s eliptickým průřezem jádra (obrázek 4.1), vlákna typu Panda (obrázek 4.2) a vlákna typu bow-tie (obrázek 4.3). V případě vláken s eliptickým jádrem je dvojlomnost zajištěna již tvarem jádra. Velká osa elipsy jádra je pomalou osou, kolmo k ní se nachází rychlá osa. Ostatní dva typy PMF užívají dva podélné prvky ze skla s rozdílnou tepelnou roztažností, které v jádře vyvolávají mechanické pnutí [1]. Pomalá osa je v těchto případech ve směru středů elementů vyvolávajících pnutí. 13
Obrázek 4.1: Průřez vlákna s eliptickým jádrem [25]. Obrázek 4.2: Průřez vlákna typu Panda [25]. Obrázek 4.3: Průřez vlákna typu bowtie [25]. 14
4.2 Parametry optického vlákna 4.2.1 Fázový dvojlom vlákna Lze definovat fázový dvojlom optického vlákna podle rovnice: B(λ) = n x (λ) n y (λ), (4.1) kde n x (λ) a n y (λ) jsou indexy lomu v polarizacích x a y (dva polarizační vidy). Analogicky ke vztahu (4.1) platí pro fázový dvojlom dvojlomného vlákna vztah: B(ω) = (c/ω)[β x (ω) β y (ω)], (4.2) kde β x (ω) a β y (ω) jsou konstanty šíření ortogonálně polarizovaných vidů vedených vláknem a c je rychlost světla ve vakuu. 4.2.2 Záznějová délka Záznějová délka L B (λ) představuje délku, při níž vlna určité vlnové délky v jednom vidu získá zpoždění rovné jedné vlnové délce oproti druhému polarizačnímu vidu, tedy 2π [26]. Čím vyšší je dvojlom optického vlákna, tím je záznějová délka kratší, což je patrné ze vztahu (4.5). Veličinu definujeme takto: L B = 2π β x β y = λ n x n y. (4.3) Průběh změn polarizace ve vláknu znázorňuje obrázek 4.4. Záznějové délky pro vysoce dvojlomná vlákna nabývají hodnot typicky 1-2 mm při vlnové délce He-Ne laseru 633 nm, zatímco standardní telekomunikační optická vlákna mají záznějovou délku několik metrů až kilometr [27]. Jedna z možností měření záznějové délky je založena na využití červeného světla He- Ne laseru. Světlo vstupuje do vlnovodu pod úhlem 45 k pomalé a rychlé ose vlákna, což zajišt uje rovnoměrné rozdělení světelného toku mezi obě osy. Při tom se uplatňuje Rayleighův rozptyl, který umožňuje vidět podél vlákna střídající se světlé a tmavé oblasti. Světlé oblasti odpovídají místům, kde jsou vlny pomalé a rychlé osy ve fázi [27]. 15
Záznějová délka Obrázek 4.4: Průběh změn polarizace ve vláknu typu PANDA; lineárně polarizované světlo vstupuje do vlnovodu pod úhlem 45 k osám X, Y a šíří se podél osy Z (podle [28]). 4.2.3 Skupinový dvojlom vlákna Pro skupinový dvojlom vlákna platí [1]: G(λ) = N x (λ) N y (λ) = λ 2 d[b(λ)/(λ)], (4.4) d(λ) kde N x (λ) a N y (λ) jsou skupinové indexy lomu polarizačních vidů. Skupinový dvojlom lze měřit metodou spektrální tandemové interferometrie s přesností lepší než 0,1 % [2]. Při této metodě se používá Michelsonův interferometr s optickým dráhovým rozdílem nastaveným tak, že se kompenzuje skupinový optický dráhový rozdíl mezi polarizačními vidy vlákna. Závislost fázového dvojlomu na vlnové délce je možno odvodit z analogické závislosti pro skupinový dvojlom, je-li známa hodnota fázového dvojlomu na jedné hodnotě vlnové délky; fázový dvojlom lze změřit metodou příčných sil ve spektrální oblasti [2]. V závislosti na změně polohy působiště vnější síly je pozorován fázový posuv spektrálních interferenčních proužků. Pak se dá určit záznějová délka L B (λ) a z ní nakonec fázový dvojlom, pro který platí [1]: B(λ) = λ/l B (λ). (4.5) 16
4.3 Parametry dvojlomného krystalu 4.3.1 Fázový dvojlom krystalu V jednoosém krystalu se může šířit řádná a mimořádná vlna, které jsou popsány indexy lomu n o (λ) a n e (λ), resp. fázovým dvojlomem, který je definován rovnicí: B c (λ) = n e (λ) n o (λ). (4.6) Disperze fázového dvojlomu závisí na vlnové délce prostřednictvím vztahu [29]: B c (λ) = H + Iλ2 λ 2 K + Jλ2 (λ 2 L), (4.7) pro jednoosý krystal křemenného skla, mají disperzní koeficienty při pokojové teplotě hodnoty: H = 29, 435688.10 3, I = 134, 804456.10 3, J = 294, 96110.10 3, K = 2, 17641576.10 2 a L = 80, pokud λ je vlnová délka v mikrometrech. Analogicky ke vztahu (4.6) platí pro spektrálně závislý fázový dvojlom krystalu: 4.3.2 Skupinový dvojlom krystalu B c (ω) = n e (ω) n o (ω). (4.8) Dále je jednoosý krystal popsán skupinovými indexy lomu N o (λ) a N e (λ), resp. skupinovým dvojlomem: G c (λ) = N e (λ) N o (λ) = λ 2 d[b(λ)/(λ)]. (4.9) d(λ) Po dosazení z rovnice (4.7) dostáváme pro disperzi skupinového dvojlomu vztah: G c (λ) = B c (λ) + 2IKλ2 (λ 2 K) 2 + 2JLλ2 (λ 2 L) 2. (4.10) 17
4.4 Fotonická krystalová vlákna Jde o další typ speciálních optických vláken. Kromě pojmu fotonická krystalová vlákna se můžeme setkat i s pojmem mikrostrukturní vlákna [1], popřípadě holey fiber nebo holeassisted fiber [30]. Často používaná zkratka PCF však může kromě photonic crystal fiber označovat také polymer cladded fiber [30]. Mikrostrukturní vlákna byla vyvinuta v roce 1991 pod vedením Philipa St. Johna Russella [22, 30] a ukázala se být velmi zajímavým prvkem využitelným v mnoha aplikacích, mimo jiné pro optické vláknové senzory různých fyzikálních veličin. Z dalších výhod oproti klasickým optickým vláknům můžeme jmenovat například schopnost přenášet vyšší výkon, vhodnost pro nesení iontů vzácných zemin či silnější dvojlom [31]. Mikrostrukturní vlákna jsou na rozdíl od standardních vláken vyrobena jen ze základního materiálu bez dopantů. Rozdílu indexů lomu je tedy dosaženo díky mikrostruktuře pláště a vlákna jsou označována jako index guiding [1]. Nejčastěji užívaným materiálem pro výrobu fotonických krystalových vláken je tavený křemen [30]. Oblast s chybějící dírou má vyšší efektivní index lomu než oblast s dírami vyplněnými vzduchem, analogicky k jádru konvenčního optického vlákna (obrázek 4.5). Mechanismus takového vedení vlnění jádrem lze v angličtině označit jako modified total internal reflection [31]. Vlákno pak můžeme charakterizovat průměrem díry (hole), vzdáleností středů děr (pitch) a průměrem jádra. Další informace o mikrostrukturních vláknech lze nalézt například v práci [32]. Obrázek 4.5: Průřez fotonického krystalového vlákna [30]. Existují také vlákna označovaná jako photonic bandgap fibers (PBG fibers). V tomto 18
případě je vlnění vedeno na principu fotonického zakázaného pásu a označuje se photonic bandgap guiding [1]. V případě PBG vláken tedy není nutno, aby centrální oblast měla vyšší index lomu než okolí, nebot se zde neuplatňuje totální odraz a ve středu průřezu vlákna tak může být díra (obrázek 4.6) [22]. Mikrostrukturní plášt vlákna se projevuje jako dvourozměrný fotonický krystal, který zabraňuje šíření světla v určitých frekvenčních oblastech oknech (fotonické zakázané pásy, photonic band gaps, PBG). Vidy, jejichž frekvence spadají do oblasti PBG, mohou být vedeny pouze v oblasti jádra, které má odlišné optické vlastnosti než obklopující mikrostruktura [1]. Vlákna typu PBG jsou také téměř úplně necitlivá k ohybu; mohou být ohnuty na průměr menší než 1 cm bez jakéhokoli ovlivnění přenášeného pole [33]. Obrázek 4.6: Průřez vlákna typu PBG [34]. Díky velkému rozsahu možností designu fotonických krystalových vláken lze získat vlákna s širokým spektrem vlastností, například: - mnohavidová vlákna s velmi vysokou NA s využitím například v laserové technologii [35], - jednovidový režim ve velmi široké oblasti spektra [1, 36], - PCF s velkými dírami, které lze vyplnit plyny či kapalinami, například s využitím jako optické vláknové senzory [30], - vysoce dvojlomná vlákna s asymetrickým uspořádáním děr [1, 37], - PCF s velmi neobvyklými vlastnostmi chromatické disperze [30], 19
- PCF s více jádry s případnou energetickou vazbou mezi jednotlivými jádry [30]. Lze předpokládat, že v oblasti PCF bude pokračovat intenzivní vývoj, a to jak vláken s novým designem, tak i co se týká aplikací PCF [30]. 20
Kapitola 5 Vernierův jev 5.1 Úvod do problematiky Vernierova jevu Vernier (v angličtině vernier scale) neboli nonius je pomůcka k jemnějšímu odečítání délek, resp. vzájemné polohy dvou stupnic. Představuje jednoduchou metodu ke zvýšení přesnosti měření přístroje. Principem jsou dvě stupnice s rozdílnou periodou, přičemž jedna stupnice je pohyblivá po druhé stupnici. Překrytí mezi čarami obou stupnic je využito při provedení měření. Pravděpodobně nejznámějším i nejjednodušším přístrojem využívající tohoto principu je posuvné měřítko. Analogicky lze tento takzvaný Vernierův jev (v angličtině Vernier effect) využít v případě různých složitějších měření; několik příkladů využití v experimentální činnosti je uvedeno v následujícím textu. V současné době nachází Vernierův jev široké uplatnění například v oblasti zpracování signálu a v telekomunikacích, dále se s jeho aplikacemi lze nezřídka setkat v senzorice a v laserové technice. V senzorice se Vernierův jev využívá jako účinný způsob zvýšení citlivosti a snížení detekčního limitu u různých typů senzorů [19]. 21
5.2 Vernierův jev v senzorice V této disertační práci je Vernierův jev využit ke zvýšení citlivosti měření posunutí a teploty. Teplotní senzor se dvěma kaskádově uspořádanými vláknovými Sagnakovými interferometry využívající Vernierův jev je řešen v práci [38]. Oba interferometry používají stejný typ PMF, vlákna se však liší délkou. Jeden z interferometrů působí jako filtr, druhý interferometr je citlivý na teplotu. Délka vlákna v senzorickém interferometru je 2,05 m, délka vlákna ve filtrovém interferometru je 1,78 m. Interferenční signál filtrového interferometru je vstupním signálem senzorického interferometru. Výsledné spektrum na výstupu kaskády je součinem spekter jednotlivých interferometrů, a vykazuje maxima na vlnových délkách, na nichž se interferenční maxima jednotlivých interferometrů alespoň částečně překrývají. Velikost maxim je závislá na velikosti tohoto překryvu. Označíme-li přenosové funkce senzoru a filtru T s a T f, pak přenosová funkce celé sestavy pracující s Vernierovým jevem bude [19]: T = T f T s. (5.1) Teplotní změny způsobí posuv spektra senzorického interferometru a několikrát vyšší posuv obálky spektra kaskádového senzoru. Obálka kaskádového senzoru má citlivost na změnu teploty přibližně 9x vyšší než obálka senzoru založeného na jediném vláknovém interferometru, což souvisí s rozdílnými FSR interferometrů (zkratka označující free spectral range vyjadřuje odstup vlnových délek dvou po sobě jdoucích odražených nebo prošlých optických maxim či minim). Velikost FSR závisí na délce použitých vláken. Experimentálně zjištěná citlivost měření teploty popsanou metodou využívající kaskádového optického vláknového senzoru je díky využití Vernierova jevu 13,36 nm/ C. V odborné literatuře jsou popsány různé další aplikace Vernierova jevu v senzorice. V práci [39] je Vernierův jev využit u senzoru indexu lomu, který se skládá ze dvou kruhových rezonátorů zařazených do kaskády. Každý z rezonátorů má vlastní hodnotu FSR. Přenos sestavy lze charakterizovat vztahem (5.1). Senzor je pokryt pláštěm s otvorem odhalujícím jeden z rezonátorů; ten se pak chová 22
jako prvek citlivý na měřenou veličinu a lze jej nazvat senzorickým rezonátorem. Senzorický kruhový rezonátor se chová jako pohyblivá část vernieru, protože jeho evanescentní pole může reagovat na index lomu v okolním prostředí senzoru, jehož změna způsobí posuv rezonančních vlnových délek. Druhý kruhový rezonátor, který lze nazvat filtrovým senzorem, se chová jako pevná část vernieru, nebot je oddělen pláštěm od okolního prostředí a na změny indexu lomu tedy nemůže reagovat. Popsaný princip lze využít ke konstrukci senzoru, v němž malý posuv rezonančních vlnových délek senzorického rezonátoru vyvolá mnohem větší posuv spektra propustnosti kaskády. Prototyp popsaného senzoru dosahuje detekční meze 8,3.10 6 RIU (zkratka označující refractive index unit; jednotka se používá například pro senzory indexu lomu) a citlivosti ve vodě 2169 nm/riu. Práce [40] popisuje rovněž optický senzor využívající Vernierův jev skládající se ze dvou kaskádových mikroskopických kroužků (rezonátorů). Senzor je na platformě z nitridu křemíku a je použitelný ke studiu biomolekul v různých aplikacích v reálném čase. Mezi senzorickým a filtrovým kroužkem senzoru je malý rozdíl v FSR (FSR s, FSR f ), díky čemuž se uplatňuje Vernierův jev a senzor tak dosahuje velmi vysoké citlivosti. Názorně je princip ukázán na obrázku 5.1: Rozdíl v FSR se projeví velkou periodou (FSR VE ) mezi dvěma po sobě jdoucími maximy, změna indexu lomu ( n 0) v senzorickém kroužku senzoru (čárkované šipky) způsobuje velký posuv vlnové délky (λ VE ) ve srovnání s posuvem vlnové délky (λ s ) pro samotný senzorický kroužek. Perioda FSR VE je dána vztahem [39, 40]: FSR VE = FSR ffsr s FSR s FSR f. (5.2) Senzor dosahuje detekční meze 3,16.10 6 RIU a citlivosti 6317 nm/riu. Práce [19] popisuje senzor využívající vláknový Machův-Zehnderův interferometr. Senzorická oblast se nachází na jednom z ramen interferometru a jako jediná část senzoru není pokryta pláštěm. Senzor může být vystaven okolnímu vzduchu a fungovat tak pro analýzu plynů, nebo být ve vodném roztoku a sloužit pro biochemické aplikace. Výstupem senzoru je spektrum v oblasti kolem 1,55 µm se sinusoidálním průběhem. Dojde-li ke změně koncentrace analytu, spektrum se posouvá ke kratším nebo k delším vlnovým délkám (podle 23
Obrázek 5.1: Princip využití Vernierova jevu v senzorických aplikacích [40]. rozdílu indexů lomu plášt ů obou ramen). Tento jednoduchý senzor může být rozšířen o filtrový kruhový rezonátor; vznikne tak kaskádový senzor využívající Vernierův jev, který má místo senzorického kruhového rezonátoru vláknový Machův-Zehnderův interferometr. Vypočtená detekční mez je pro tento senzor 1,84.10 7 RIU a citlivost dosahuje -1694,1 µm/riu. V práci [41] je prezentován extrémně citlivý senzor indexu lomu plynů využívající Fabryho-Perotův interferometr a mechanicky upravené fotonické krystalové vlákno. Experimentálně byla u tohoto senzoru díky Vernierovu jevu změřena citlivost 30899 nm/riu. Senzor je potenciálně využitelný pro monitorování vlhkosti vzduchu a měření koncentrace plynů. 24
5.3 Vernierův jev v laserové technice V laserové technice lze využít Vernierův jev u laditelných laserů ke zvýšení rozsahu ladění vlnových délek. Pak stačí malé změny indexu lomu k výrazné změně vlnové délky. Kontinuální elektronické ladění vlnové délky je limitováno maximální dosažitelnou změnou indexu lomu. Rozsah spojitého ladění je běžně omezen na 0,5-1 % vlnové délky. Mnohem větších rozsahů ladění lze dosáhnout v kvazikontinuálním a diskontinuálním režimu. To je umožněno přeskoky longitudinálních vidů z jednoho na následující. U polovodičových laserových diod bylo dosaženo rozsahu ladění cca 100 nm při vlnové délce 1,55 µm [42]. Konkrétní aplikaci Vernierova jevu v oblasti polovodičových laserů popisuje práce [43], kde je prezentován laser s digitálně přepínatelnou vlnovou délkou, přičemž Vernierův jev je využit k výraznému rozšíření rozsahu vlnových délek. Výhodou je jednoduchost výroby a kompaktnost ve srovnání s ostatními laditelnými lasery. Laser má dvě dutiny s mírně rozdílnými optickými drahami, což má za následek, že i mezi intervaly rezonančních frekvencí f, resp. f, je malý rozdíl. Vzdálenost mezi dvěma rezonančními maximy shodné frekvence, f c, odpovídá FSR složené dutiny. Změna frekvence laseru δf, která závisí na indexu lomu, je díky Vernierovu jevu znásobena faktorem f/ f f, tedy: δf = f f f δf. (5.3) Názorně je toto využití Vernierova jevu znázorněno na obrázku 5.2. Jako příklad uvažujme f=100 GHz a f =90 GHz; rozsah ladění je pak desetinásobný oproti využití samotné změny indexu lomu. Vernierův jev se využívá i v jiných typech laserů, například v DBR laserech (distributed Bragg reflectors; rozložené Braggovy reflektory jako koncová zrcadla). 25
Obrázek 5.2: Schéma znázorňující vztah mezi rezonančními spektry s ekvidistantními čarami obou dutin; podle [43]. 26
5.4 Příklady dalšího využití Vernierova jevu Vernierův jev dále nachází využití v optických filtrech. Tyto filtry se uplatňují například ve vícekanálových systémech WDM (zkratka označující wavelength division multiplexing; technologie, při níž se využívá několik vlnových délek k přenosu většího počtu signálů jedním optickým vláknem) k selekci jedné vlnové délky ze širokého spektrálního rozsahu. Příkladem je tepelně laditelný optický filtr popsaný v práci [44]. Jedná se o optický filtr skládající se ze dvou kaskádových mikroskopických kroužků (rezonátorů). Tepelné ladění je umožněno tím, že je užito miniaturních ohřívačů integrovaných přímo ve vlnovodech mikroskopických kroužků a prostřednictvím uvolňovaného tepla působícího na vlnovody je laděna vlnová délka. Využití Vernierova jevu umožňuje u tohoto filtru zvýšit citlivost 23x a navíc dosáhnout nízké spotřeby energie. Na výstupu tohoto filtru je určitá vlnová délka ze spektrálního rozsahu 1520-1600 nm. V práci [45] jsou rozebrány možnosti konstrukce optických filtrů založených na větším množství kruhových rezonátorů s případným využitím Vernierova jevu, s jejichž pomocí lze vyrobit optický filtr ostře filtrující vybranou vlnovou délku. V případě, kdy sestava rezonátorů pracuje s Vernierovým jevem, jsou dva rezonátory spřaženy vlnovodem. Filtr popsaný v této práci propouští výhradně vlnovou délku okolo 1,55 µm a je tedy vhodný pro použití v oblasti telekomunikací. Dále práce rozebírá sériové a paralelní řazení rezonátorů; počet rezonátorů řazených v sérii určuje tvar výstupního spektra filtru a vyšší počet řazených rezonátorů znamená lepší filtrování vlnové délky. Další zajímavou oblastí možného využití Vernierova jevu je WSN (zkratka označující wireless sensor network; bezdrátová sít skládající se z několika v prostoru rozmístěných autonomních senzorických jednotek a přenosové brány). Tyto sítě lze využívat například pro vzdálené sledování kvality ovzduší, vody a půdy, monitorování stavu stavebních konstrukcí, průmyslových strojů nebo procesů. V práci [46] je prezentován WSN systém krátkého dosahu využívající Vernierův jev ke zvýšení rozlišení měření vzdálenosti. Systém využívá radiových vln a pracuje na principu ToF (zkratka označující time of flight; jde o měření doby, kterou potřebuje například elektromagnetická vlna k šíření na určité vzdálenosti v prostředí). Sleduje se tedy čas potřebný k překonání vzdálenosti mezi jednotlivými 27
senzorickými jednotkami radiovými vlnami. Radiové vlny se běžně používají v WSN na vzdálenosti řádu kilometrů, ale pro menší vzdálenosti je využití problematické kvůli vysoké rychlosti šíření signálu a nejistotě synchronizace hodin. Senzorické jednotky musejí dosahovat synchronizace času v řádu pikosekund [46]. Výhodnost inovativního řešení využívajícího Vernierův jev spočívá v tom, že není potřeba časová synchronizace, a v jednoduchosti potřebného hardwaru. Systém dosahuje rozlišení 12,5 ns, což odpovídá vzdálenosti 3,75 m, a nejistoty měření 1,875 m. Práce popisuje úvodní výzkum metody dokazující experimentálně její proveditelnost a předpokládá se, že využitím lepšího hardwaru bude dosaženo vyššího rozlišení. 28
Kapitola 6 Spektrální interference vln na výstupu experimentální sestavy 6.1 Spektrální intenzita na výstupu tandemové sestavy s dvojlomným prvkem a HB vláknem Uvažujme experimentální sestavu tvořenou dvojlomným křemenným krystalem s polarizátorem a dvojlomným vláknem s analyzátorem v tandemovém uspořádání (obrázek 7.12). Popišme nyní spektrální intenzitu ve frekvenční oblasti. Orientaci os propustnosti polarizátoru, orientaci osy x optického vlákna a orientaci os propustnosti analyzátoru znázorňují obrázky 6.1, 6.2 a 6.3. Definujme P (ω), C(ω), F (ω) a A(ω) jako spektrálně závislé propustnosti polarizátoru, krystalu, vlákna a analyzátoru; spektrální hustota zdroje vyjádřená prostřednictvím pole zdroje E 0 (ω) bude G(ω)= E 0 (ω) 2. Dále definujme fázová zpoždění Φ c (d; ω) = (ω/c)b c (ω)d a Φ(L; ω) = (ω/c)b(ω)l. Spektrální intenzita je měřitelnou veličinou a obecně je funkcí úhlů α, β, γ a úhlové frekvence ω. Uved me řešení spektrální intenzity pro dva speciální případy. V prvním je β = 0 a spektrální intenzita S + (α, γ; ω) = S(α, β = 0, γ; ω) pak bude [47]: S + (α, γ; ω) = S 0 (ω){sin 2 αsin 2 γ + cos 2 αcos 2 γ + (1/2)sin2αsin2γRe{exp{-i[Φ + (ω)]}}}, (6.1) 29
Ee P α Eo Obrázek 6.1: Orientace osy propustnosti polarizátoru P vůči řádné ose dvojlomného prvku E 0 je vyjádřena úhlem α. Ee y x β Eo Obrázek 6.2: Orientace osy x dvojlomného vlákna, která je orientována ve směru hlavní osy eliptického vlákna jádra, vůči řádné ose dvojlomného prvku E 0, je vyjádřena úhlem β. kde a S 0 = A(ω)F (ω)c(ω)p (ω)g(ω) (6.2) Φ + (ω) = Φ c (d; ω) Φ(L; ω) = (ω/c)[b c (ω)d B(ω)L]. (6.3) Ve druhém případě je β = 90 a spektrální intenzita S (α, γ; ω) = S(α, β = 90, γ; ω) pak bude [47]: S (α, γ; ω) = S 0 (ω){sin 2 αcos 2 γ + cos 2 αsin 2 γ (1/2)sin2αsin2γRe{exp{+i[Φ (ω)]}}}, kde (6.4) Φ (ω) = Φ c (d; ω) + Φ(L; ω) = (ω/c)[b c (ω)d + B(ω)L]. (6.5) 30
y A γ x Obrázek 6.3: Orientace osy propustnosti analyzátoru A vůči ose x dvojlomného vlákna je vyjádřena úhlem γ. Spektrální intenzita na výstupu uvedené sestavy pak bude [47]: I ± (α, γ; ω) = I ± 0 (α, γ; ω){1 + V ± (α, γ)re{γ ± (ω)]}}, (6.6) kde je referenční spektrální intenzita, I + 0 (α, γ; ω) = I 0 (ω)(sin 2 αcos 2 γ + cos 2 αsin 2 γ) (6.7) V + (α, γ) = 1 sin2αsin2γ 2 sin 2 αcos 2 γ + cos 2 αsin 2 γ (6.8) je funkce viditelnosti a Γ ± (ω) je dáno vztahem: Γ ± (ω) = 0 R(ω ω )exp{ i[φ ± (ω )]}dω. (6.9) Spektrometr má odezvovou funkci v podobě Gaussovy funkce s pološířkou Γ R : R(ω ω ) = (1/πΓ R )exp (ω ω )/Γ 2 R. (6.10) Popišme nyní spektrální intenzitu v oblasti vlnové délky. Dvojlomný krystal tloušt ky d, resp. dvojlomné vlákno délky L, jsou charakterizovány fázovým dvojlomem B c (λ), resp. 31
B(λ). Projde-li vlna uvedenou sestavou, na výstupu lze zaznamenat spektrální intenzitu určenou vztahem [47]: I ± (α, γ; λ) = I ± 0 (α, γ; λ){1 + V ± (α, γ)v ± R (λ)cos[φ ± (λ)]}, (6.11) kde V ± R (λ) = exp[ (π/2) τ ±2 (λ)/τ 2 c ] (6.12) reprezentuje funkci viditelnosti jako důsledek vlivu spektrometru, přičemž τ ±2 (λ) = Φ ± (λ) je první derivací fázového zpoždění a τ c = (2π) 1/2 /Γ R je modifikovaná doba koherence. Skupinový optický dráhový rozdíl g± (λ) mezi vlnami v sestavě lze vyjádřit [47]: g± (λ) = λ2 d[b c (λ)d B(λ)L] 2π dλ = G c (λ)d G(λ)L, (6.13) kde G c (λ) a G(λ) jsou skupinové dvojlomy krystalu a vlákna. Po dalších úpravách lze dospět k výrazu definující funkci viditelnosti V ± R (λ) takto [47]: V ± R (λ) = exp{ (π 2 /2)[(G c (λ)d G(λ)L) λ R /λ 2 ] 2 }. (6.14) 32
6.2 Spektrální intenzita na výstupu tandemové sestavy se dvěma interferometry Uvažujme experimentální sestavu tvořenou dvěma interferometry v tandemovém uspořádání (obrázek 7.4). První interferometr je tvořen polarizátorem, dvojlomným křemenným krystalem tloušt ky d a analyzátorem, druhý je Michelsonův interferometr. Mějme optickou vlnu E o definovanou: E o = E(ω; t + τ o ). (6.15) Prochází-li vlna E o Michelsonovým interferometrem, rozdělí se děličem svazku na dvě vlny, mezi nimiž je na výstupu interferometru optický dráhový rozdíl M : M = cτ M, (6.16) kde c je rychlost šíření optické vlny v daném prostředí a τ M zpoždění mezi vlnami na výstupu interferometru. Dále uvažujme vlnu, která prochází polarizátorem, dvojlomným prvkem a analyzátorem. Na výstupu dvojlomného vzorku jsou po průchodu polarizátorem tyto dvě vlny: p o (α)e(ω; t + τ o ), (6.17) p e (α)e(ω; t + τ e ), (6.18) kde τ o, resp. τ e je zpoždění řádné, resp. mimořádné vlny v dvojlomném krystalu. Jak je zřejmé z obrázku 6.4, intenzita obou vln je funkcí úhlu orientace osy polarizátoru. Je-li polarizátor nastaven tak, že je jeho osa rovnoběžná s řádnou, resp. mimořádnou osou, vzniká jen řádná, resp. mimořádná vlna. Po průchodu obou těchto vln analyzátorem budou na výstupu tyto dvě vlny: a o (β)p o (α)e(ω; t + τ o ), (6.19) a e (β)p e (α)e(ω; t + τ e ). (6.20) Jak je zřejmé z obrázku 6.5, intenzita obou vln je funkcí úhlu orientace osy analyzátoru. 33
Ee E 0 α Eo Obrázek 6.4: Orientace osy polarizátoru vůči řádné a mimořádné ose dvojlomného prvku je vyjádřena úhlem α. Ee E 0 β Eo Obrázek 6.5: Orientace osy analyzátoru vůči řádné a mimořádné ose dvojlomného prvku je vyjádřena úhlem β. Konečně uvažujme uspořádání, kdy vlny po průchodu uvedenými prvky projdou Michelsonovým interferometrem, čímž ze dvou vln jsou po průchodu Michelsonovým interferometrem tyto čtyři vlny: T MI a o (β)p o (α)e(ω; t + τ o ), (6.21) T MI a e (β)p e (α)e(ω; t + τ e ), (6.22) T MI a o (β)p o (α)e(ω; t + τ o + τ M ), (6.23) T MI a e (β)p e (α)e(ω; t + τ e + τ M ). (6.24) 34
Přitom vyhodnocujeme optickou intenzitu, pro niž platí: I(τ M ; ω) = E(τM ; ω) 2. (6.25) I(τ M ; ω) reprezentuje 16 členů, z nichž 4 dávají příspěvek k I 0 (ω), resp. zbývajících 12 reprezentuje 6 dvojic komplexně sdružených členů. Efekt polarizátoru a analyzátoru lze vyjádřit pomocí vztahů: p o (α) = cosα (6.26) p e (α) = sinα (6.27) a o (β) = cosβ (6.28) a e (β) = sinβ (6.29) Pak platí I(τ M ; ω) = I 0 (ω){cos 2 βcos 2 α + sin 2 βsin 2 α + cos 2 βcos 2 α + sin 2 βsin 2 α (6.30) +2cosβsinβcosαsinαRe[E (ω; t + τ o )E(ω; t + τ e )] +2cos 2 βcos 2 αre[e (ω; t + τ o )E(ω; t + τ o + τ M )] +2cosβsinβcosαsinαRe[E (ω; t + τ o )E(ω; t + τ e + τ M )] +2sinβcosβsinαcosαRe[E (ω; t + τ e )E(ω; t + τ o + τ M )] +2sin 2 βsin 2 αre[e (ω; t + τ e )E(ω; t + τ e + τ M )] +2cosβsinβcosαsinαRe[E (ω; t + τ o + τ M )E(ω; t + τ e + τ M )]} = 2I 0 (ω)(cos 2 βcos 2 α + sin 2 βsin 2 α{1 + f(τ M ) + V αβ f(τ o τ e ) +0, 5V αβ [f(τ M + τ e τ o ) + f(τ M + τ o τ e )]}. Člen V αβ představuje funkci viditelnosti a je definován: 4cosβcosαsinβsinα V αβ = 2(cos 2 βcos 2 α + sin 2 βsin 2 α) (6.31) Pro α=β=45 platí V αβ =1, cos 2 βcos 2 α + sin 2 βsin 2 α=0,5 I(τ M ; ω) = I 0 (ω){1+f(τ M )+f(τ o τ e )+0, 5[f(τ M +(τ e τ o ))+f(τ M (τ e τ o ))]}. (6.32) 35
kde Funkcí f(τ) je 2πc f(τ) = V (τ)cos λ τ, (6.33) g 2 (λ) λ R V (τ) = V ( /c) = exp π2 2 λ 2, (6.34) kde g (λ) je skupinový optický dráhový rozdíl ( g M= M, g e,o=n e,o (λ)d). 36
Kapitola 7 Charakteristika experimentálních metod a modelování interferogramů 7.1 Interferometrický senzor posunutí 7.1.1 Standardní uspořádání senzoru pro měření posunutí K měření posunutí lze využít vyvážený Michelsonův interferometr v experimentální sestavě znázorněné na obrázku 7.1. Tato spektrální interferometrická metoda je založena na dvousvazkové interferenci v Michelsonově interferometru. Michelsonův interferometr ve volném prostoru využívá k dělení svazku kubické polopropustné zrcadlo. Pozice jednoho ze zrcadel interferometru je nastavována polohovacím piezo systémem a pozice vybraného spektrálního interferenčního proužku ve výsledném spektru je měřena jako funkce posunutí zrcadla. Svazek ze zdroje bílého světla prochází kolimační čočkou a vstupuje do Michelsonova interferometru, na němž je nastaven pomocí piezo posuvu dráhový rozdíl M. Na výstupu z interferometru je spektrální signál soustředěn mikroskopovým objektivem do optického vlákna a veden do spektrometru. Interferometrická sestava je umístěna v polystyrenové krabici, aby se minimalizovalo kolísání teploty, které by způsoboval vzduch proudící v laboratoři. Uvažujme Michelsonův interferometr s optickým dráhovým rozdílem M nastaveným mezi jeho svazky [18]: M = 2(L l), (7.1) 37
Polystyrenová krabice KČ M1 M2 PZT Ovládač PZ MO Snímač Spectral Intensity (A.U.) x10 2 8 4 0 450 550 650 750 850 Wavelength (nm) Spektrometr Zdroj bílého světla Obrázek 7.1: Experimentální sestava s Michelsonovým interferometrem k měření posunutí zrcadla; kolimační čočka (KČ), polopropustné zrcadlo (PZ), zrcadla (M1, M2), piezo převodník (PZT), mikroskopový objektiv (MO). kde l a L jsou optické dráhy svazku ve vzduchu v prvním a ve druhém (referenčním) ramenu interferometru. Spektrální intenzita na výstupu interferometru je [18]: I M (λ) = I M0 (λ){1 + V ( M ; λ) cos[(2π/λ) M ]}, (7.2) kde I M0 (λ) je referenční spektrální intenzita a V ( M ; λ) je člen určující viditelnost. Ten má podobu: V ( M ; λ) = exp{ (π 2 /2)[ M λ R /λ 2 ] 2 }, (7.3) kde λ R je šířka odezvové funkce spektrometru. Perioda interferenčního spektra Λ(λ) je dána vztahem [18]: Λ(λ) = λ2 M, (7.4) přičemž tato veličina reprezentuje také veličinu FSR. Dojde-li ke změně pozice zrcadla 2 o dl, určité maximum interferenčního spektra se posune o dλ. Citlivost měření je pak určena vztahem: S l = dλ dl, (7.5) 38
pro uvažovaný případ je to: S l = 2λ M. (7.6) Příklad: Pro optický dráhový rozdíl M =50 µm při vlnové délce λ=750 nm je FSR 11,25 nm a citlivost měření posunutí dosahuje -30 nm/µm. K modelování interferogramů je možno použít běžně dostupný software. Byl využit program Matlab R2012a, v jehož prostředí lze modelovat interferogram pro experimentální sestavu znázorněnou na obrázku 7.1. Obrázek 7.2 představuje podobu modelovaného interferogramu pro dvě zvolené polohy zrcadla 2 interferometru. Je zřejmé, že s rostoucím posunutím má interferogram svá maxima posunuta směrem ke kratším vlnovým délkám a že velikost tohoto posuvu je přímo úměrná vlnové délce. V interferogramu pro l 1 = 0 nm 3000 Spektrální intenzita (A. U.) 2500 2000 1500 1000 500 0 500 550 600 650 700 750 800 850 900 Vlnová délka (nm) Obrázek 7.2: Modelovaná spektra pro polohy zrcadla 2 interferometru l 1 = 0 nm (tlustá modrá čára) a l 2 = 100 nm (tenká červená čára). byla vybrána tři maxima a určeny jejich vlnové délky, které budou považovány za výchozí. Sledovala se poloha těchto maxim jako funkce posunutí zrcadla 2 interferometru. Vycházelo se z modelovaných interferogramů s krokem polohy zrcadla 25 nm. Závislost polohy zvolených maxim na poloze pohyblivého zrcadla je znázorněna na obrázku 7.3. Z lineárních aproximací lze získat citlivosti měření posunutí a ty pro standardní 39
uspořádání senzoru pro měření posunutí dosahují hodnot -27, -30, resp. -34 nm/µm. 0 Posuv vlnové délky (nm) 2 4 6 8 10 12 λ 1 =847,3 nm λ 2 =746,2 nm λ 3 =675,8 nm 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Posunutí zrcadla (nm) Obrázek 7.3: Posuv interferenčních maxim v závislosti na poloze zrcadla 2 interferometru pro tři výchozí vlnové délky. 7.1.2 Interferometrický senzor posunutí s využitím Vernierova jevu K vysoce citlivému měření posunutí zrcadla Michelsonova interferometru byla využita spektrální interferometrie a Vernierův efekt. Měřicí sestava využívá dvou interferometrů v tandemovém uspořádání (obrázek 7.4). První interferometr je tvořen polarizátorem, dvojlomným křemenným krystalem tloušt ky d a analyzátorem, a druhý je Michelsonův interferometr. Výsledné interferenční spektrum vzniká superpozicí čtyř spekter; skládá se z vysokofrekvenčně modulovaného spektra a z obálky s maximy a minimy. Obálka je generována Vernierovým jevem a posouvá se v závislosti na posunutí zrcadla interferometru. Problematiku výpočtu obálky spektra a vlivu šumu interferogramu analyzuje práce [48]. Aby došlo v tandemové sestavě dvou interferometrů ke vzniku Vernierova jevu, musí být optický dráhový rozdíl M mezi svazky Michelsonova interferometru nastaven blízko skupinovému optickému dráhovému rozdílu G c (λ)d dvojlomného krystalu [18]. Vysokofrekvenční proužky se s rostoucím posunutím zrcadla posouvají mírně ke kratším vlnovým 40
Polystyrenová krabice KČ P DK A M1 M2 PZT Ovládač PZ MO Snímač Spectral Intensity (A.U.) 8 4 x10 2 0 450 550 650 750 850 Wavelength (nm) Spektrometr Zdroj bílého světla Obrázek 7.4: Experimentální sestava se dvěma interferometry v tandemu k měření posunutí zrcadla; kolimační čočka (KČ), polarizátor (P), dvojlomný krystal (DK), analyzátor (A), polopropustné zrcadlo (PZ), zrcadla (M1, M2), piezo převodník (PZT), mikroskopový objektiv (MO). délkám, zatímco obálka se posouvá opačným směrem. Perioda obálky, reprezentující také FSR, je dána vztahem [18]: Λ(λ) = λ 2 G c (λ)d M. (7.7) Při posuvu zrcadla 2 o dl se daný extrém obálky posune o dλ E a odpovídající citlivost měření je [18]: S le = dλ E dl = 2λ G c (λ)d M. (7.8) Citlivost měření posunutí je pro tandemovou sestavu výrazně vyšší než pro sestavu se samotným Michelsonovým interferometrem a odpovídající faktor zvětšení EF, definovaný jako [18]: EF = M G c (λ)d M, (7.9) roste s klesajícím rozdílem mezi optickými dráhovými rozdíly v obou interferometrech. Mezi svazky Michelsonova interferometru je dráhový rozdíl M a osy polarizátoru a 41
analyzátoru svírají úhly α a β vzhledem k optické ose krystalu. Spektrální intenzita zaznamenaná na výstupu tandemové sestavy je dána vztahem [49]: I T (λ) = I T0 (λ)t αβ {1 + V ( M ; λ) cos[(2π/λ) M ] + V αβ V (G c (λ)d; λ) cos[(2π/λ)b c (λ)d] + (1/2)V αβ V ( M + G c (λ)d; λ) cos[(2π/λ)( M + B c (λ)d)] + (1/2)V αβ V ( M G c (λ)d; λ) cos[(2π/λ)( M B c (λ)d)]}, (7.10) kde I T0 (λ) je referenční spektrální intenzita, T αβ a V αβ jsou členy určující propustnost a viditelnost vlivem polarizátoru a analyzátoru. Analogicky je problém popsán v časové oblasti vztahem (6.32). Podobně jako v případě předcházející sestavy pro měření posunutí byly interferogramy modelovány. Z obrázku 7.5 je zřejmé, že spektra mají obálku, která se posouvá jako funkce polohy zrcadla. Způsob určení minim obálky je znázorněn na obrázku 7.6. Závislost polohy 6000 Spektrální intenzita (A. U.) 5000 4000 3000 2000 1000 0 500 550 600 650 700 750 800 850 Vlnová délka (nm) Obrázek 7.5: Modelovaná spektra pro polohy zrcadla 2 interferometru l 1 = 0 nm (tlustá modrá čára) a l 2 = 100 nm (tenká červená čára). zvolených minim obálky na poloze pohyblivého zrcadla je znázorněna na obrázku 7.7. Z lineárních aproximací lze získat citlivosti měření posunutí a ty pro uspořádání senzoru pro měření posunutí využívající Vernierův jev dosahují hodnot 107, 119, resp. 133 nm/µm. 42
9000 Spektrální intenzita (A. U.) 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 630 635 640 645 650 655 660 665 670 675 Vlnová délka (nm) Obrázek 7.6: Princip identifikace vlnové délky minima obálky (podle [18]). Posuv minima obálky (nm) 60 50 40 30 20 10 λ 1 =752,9 nm λ 2 =705,7 nm λ 3 =665,9 nm 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Posunutí zrcadla (nm) Obrázek 7.7: Posuv minim obálky interferogramu v závislosti na poloze zrcadla 2 interferometru pro tři výchozí vlnové délky. 43
7.2 Standardní uspořádání vláknového senzoru teploty Experimentální sestava podle obrázku 7.8 představuje vláknový senzor teploty se standardní citlivostí. Zdrojem bílého světla je halogenová žárovka a spektrometr má rozsah 350 až 1000 nm. Teplotu fóliového ohřívače vlákna lze přesně regulovat prostřednictvím regulátoru teploty ovládaného softwarově pomocí přenosného osobního počítače. Zdroj bílého světla KČ P MO1 Senzorické vlákno L T T Fóliový ohřívač MO2 A MO3 Regulátor teploty Spectral Intensity (A.U.) 8 4 x10 2 0 450 550 650 750 850 Wavelength (nm) Spektrometr Obrázek 7.8: Experimentální sestava s HB vláknem k měření teploty; kolimační čočka (KČ), polarizátor (P), analyzátor (A), mikroskopové objektivy (MO1-MO3). Uvažujme dvojlomné vlákno délky L, které vede pouze dva polarizační vidy. Spektrální intenzita na výstupu vlákna při 45 orientaci polarizátoru a analyzátoru vzhledem k osám elipsy jádra vlákna je [17]: I(λ) = I 0 (λ){1 + V (L; λ) cos[(2π/λ)b(λ)l]}, (7.11) kde I 0 (λ) je referenční spektrální intenzita (nemodulované spektrum), V (L; λ) je člen určující viditelnost. Ten má pro sestavu senzoru teploty se standardní citlivostí podobu: V (L; λ) = exp{ (π 2 /2)[G(λ)L R /λ 2 ] 2 }. (7.12) Účelem uvedené orientace polarizátoru je zajistit, aby oba polarizační vidy budilo záření stejné intenzity; uvedená orientace analyzátoru zajistí, že k výstupnímu poli přispívají 44
rovnoměrně oba polarizační vidy, které spolu interferují. Výstupem je interferogram a perioda interferenčního spektra Λ(λ) je dána vztahem [17]: Λ(λ) = λ 2 G(λ)L. (7.13) Je tedy zřejmé, že perioda interferogramu je nepřímo úměrná délce vlákna. Pokud není rozlišovací schopnost použitého spektrometru dostatečná (perioda modulace Λ(λ) je menší než šířka odezvové funkce spektrometru λ R ), nemůže být samotné vlákno pro popsanou aplikaci použito. Zaved me veličinu polarimetrická citlivost k teplotě K T (λ), která reprezentuje změnu fázového posuvu d[φ x (λ) φ y (λ)] mezi polarizačními vidy HB vlákna vyvolanou jednotkovou změnou teploty působící na jednotku délky vlákna. Veličina je definována následujícím vztahem [3, 17]: kde L T je délka vlákna pod účinkem teplotních změn. K T (λ) = 1 d[φ x (λ) φ y (λ)], (7.14) L T dt S polarimetrickou citlivostí souvisí teplotní citlivost S T (λ), která vyjadřuje posuv vlnové délky interferenčního maxima vyvolaný jednotkovou změnou teploty [2]: S T (λ) = dλ max dt = λ2 K T (λ)l T 2π G(λ)L. (7.15) Spektrální závislost fázového dvojlomu B(λ) a skupinového dvojlomu G(λ) optického vlákna typu HBF1 znázorňují obrázky 7.9(a) a 7.9(b). S pomocí okenní Fourierovy transformace lze získat ze dvou interferogramů fázové funkce a z nich fázový rozdíl [φ x (λ) φ y (λ)]. Fázový rozdíl je závislý na vlnové délce a poskytuje spektrální závislost polarimetrické citlivosti k teplotě. Jak je zřejmé ze vztahu (7.15), teplotní citlivost je přímo úměrná polarimetrické citlivosti k teplotě. Oblast spektra s vyšší polarimetrickou citlivostí vlákna by tedy měla být díky vyšší teplotní citlivosti pro měření teploty vhodnější. Podobně jako v případě experimentálních sestav pro měření posunutí byly interferogramy modelovány. V prostředí programu Matlab R2012a byl za předpokladu znalosti 45
Fázový dvojlom 9.5 x 10 5 9 8.5 8 7.5 7 Skupinový dvojlom 1.6 x 10 4 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 6.5 450 500 550 600 650 700 750 800 850 Vlnová délka (nm) (a) 0.8 450 500 550 600 650 700 750 800 850 Vlnová délka (nm) (b) Obrázek 7.9: Spektrální závislosti fázového dvojlomu (a) a skupinového dvojlomu (b) optického vlákna typu HBF1. disperze fázového a skupinového dvojlomu vlákna a spektra použitého zdroje světla sestaven skript k modelování interferogramu pro experimentální sestavu znázorněnou na obrázku 7.8. Metoda měření spektrálních závislostí fázového a skupinového dvojlomu optického vlákna je podrobně popsána v práci [1]. K měření spektrální závislosti fázového dvojlomu byla využita spektrální interferometrie v bílém světle a spektrální závislost skupinového dvojlomu byla získána pomocí vztahu (4.4). Z těchto měření jsou k dispozici příslušná data, a to s relativní nejistotou fázového dvojlomu přibližně 0,1 %. Nižší nejistoty by bylo možno dosáhnout jak použitím spektrometru s menším rozdílem vlnových délek mezi pixely, tak použitím delšího vzorku vlákna. Obrázek 7.10 představuje podobu modelovaného interferogramu pro vlákno shodných parametrů jako v experimentální sestavě popsané v dalším textu, a to pro výchozí teplotu a teplotu o 20 C vyšší. Na periodě modulace spektra je vidět, jak se projevuje spektrální závislost skupinového dvojlomu vlákna. Je zřejmé, že při vyšší teplotě má interferogram svá maxima posunuta směrem ke kratším vlnovým délkám a že velikost tohoto posuvu je nepřímo úměrná vlnové délce. Závislost polohy zvolených maxim na teplotě senzorické části vlákna je znázorněna na obrázku 7.11 v rozsahu překračujícím FSR. Z lineárních aproximací získaných hodnot 46
3000 Spektrální intenzita (A. U.) 2500 2000 1500 1000 500 0 500 550 600 650 700 750 800 850 900 Vlnová délka (nm) Obrázek 7.10: Modelovaná interferenční spektra pro výchozí teplotu (například t 1 =25 C, tlustá modrá čára) a teplotu o 20 C vyšší (například t 2 =45 C, tenká červená čára). závislostí poloh interferenčních maxim na daných teplotních změnách lze stanovit teplotní citlivost měření. Vyšší citlivost dosahuje hodnoty -0,13 nm/ C a nižší citlivost dosahuje hodnoty -0,12 nm/ C. Na základě modelování lze tedy konstatovat, že pro standardní experimentální sestavu pro měření teploty by krátkovlnná část spektra měla mít vyšší teplotní citlivost a kvůli tomu být pro měření teploty nejvhodnější. 47
0 1 Posuv vlnové délky (nm) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Teplota ( C) Obrázek 7.11: Posuv vlnové délky interferenčního maxima v závislosti na teplotě pro dvě různé výchozí vlnové délky: λ 1 =510,7 nm (červeně, ) a λ 2 =601,2 nm (modře, +). Úsečky reprezentují lineární aproximaci. 48
7.3 Uspořádání vláknového senzoru teploty s vyšší citlivostí Zdroj bílého světla CL P BC DK KČ MO1 Senzorické vlákno L T MO2 T Fóliový ohřívač A MO3 Regulátor teploty Spectral Intensity (A.U.) x10 2 8 4 0 450 550 650 750 850 Wavelength (nm) Spektrometr Obrázek 7.12: Experimentální sestava s vysoce dvojlomným vláknem k měření teploty se zvýšenou citlivostí; kolimační čočka (KČ), polarizátor (P), dvojlomný krystal (DK), analyzátor (A), mikroskopové objektivy (MO1-MO3). Sestava vláknového senzoru s vyšší citlivostí využívá tandemového uspořádání dvojlomného křemenného krystalu s polarizátorem a dvojlomného vlákna s analyzátorem (obr. 7.12). V dvojlomném krystalu tloušt ky d se šíří řádná a mimořádná vlna a spektrální intenzita na výstupu sestavy pro polarizátor a analyzátor s orientací 45 k optické ose krystalu je za předpokladu platnosti podmínek G(λ) > 0 a G c (λ) > 0 [50]: I(L; λ) = I 0 (λ){1 + V (L; λ) cos{(2π/λ)[b(λ)l B c (λ)d}, (7.16) kde I 0 (λ) je referenční spektrální intenzita (nemodulované spektrum) a V (L; λ) je člen určující viditelnost. Ten má pro sestavu senzoru teploty se zvýšenou citlivostí podobu: V (L; λ) = exp{ (π 2 /2){[G(λ)L G c (λ)d] R /λ 2 } 2 }. (7.17) 49