e en loh 1. kola 41. ro n ku fyzik ln olympi dy. Kategorie D Auto i loh J. J r (1,2,,4,6,7), I. Volf (5) 1.a) Zrychlen vlaku p i brzd n ozna me a 1. Z rovnic v 0 = a 1 t 1 ; 1 = 1 2 a 1t 2 1 (1) plyne v 0 = 2 1 t 1 = 20 m?2 b) Z rovnic (1) a z rovnice v 0 = a 2 t 2 plyne t a 2 = a 1 1 = 2 t 2 t 2 t 1 = 2 1 = 1;25 m?2 1 t 2 t 1 t 2 c) Ozna me t dobu do zataven na dr ze. Z rovnic = 1 2 a 1(t) 2 ; v 0 = a 1 t plyne v 0 = p 2a 1 Po doazen za a 1 z rovnice (1) dotaneme v 0 = 2 t 1 p 1 = 9;1 m?1 d,e) Graf rychloti je na obr. R.1 Dr hov n kok, kter by z kal vlak proj d j c zat vkou bez zataven t lou rychlot v 0, je eln roven obahu vy rafovan ho lichob n ka. Vych z 1000 m. v m?1 20 Obr. R1 10 0 20 40 60 t body Graf dr hy je na obr. R2 Prvn parabolick ek grafu m eme popat vztahem = 1? 1 2 a 1(t 1? t) 2 1
Druh parabolick ek grafu je pop n vztahem m 400 = 1 + 1 2 a 2(t? t 1? t 0 ) 2 00 Obr. R2 200 100 body 0 20 40 60 t 2.a) P i j zd polovi n rychlot doraz idi do poloviny dr hy v okam iku, kdy u m l b t v c li. loha proto nem e en. (Ke tejn mu v ledku dojdeme i z obecn ho e en lohy b).) b) Ozna me d lku cel dr hy 2 a dobu j zdy na prvn polovin dr hy t 1 a na druh polovin dr hy t 2. Pak plat v p = 2 t 1 + t 2 = 2 v 1 + v 2 pravou rovnice dotaneme v 2 = v 1v p = 120 km h 2v 1??1 v p c) Pou ijeme-li v rovnici (1) rychloti v 0 1 a v0 2, dotaneme v 0 1 = v0 2 v p 2v 0 2? v p = 45 km h?1 = 2v 1v 2 v 1 + v 2 (1) d) Ozna me t dobu j zdy podle p vodn ho z m ru, t 0 dobu j zdy podle nov ch podm nek. Pak plat t 0 = + v 1 v2 0 = v 1 + v2 0 v 1 v2 0 = v 1 + v2 0 v pt v 1 v2 0 2 = (v 1 + v2 0 )v p 2v 1 v2 0 t = 4 t 2
e) Pou ijeme-li v rovnici (1) rychloti v 0 2 a v0 p, dotaneme v 0 p = 2v 1v 0 2 v 1 + v 0 2 = 45 km h?1.a) Pokud e vagon p ibl t n k lokomotiv, ani dojde ke r ce, budou m t v tomto okam iku ob t lea tejnou rychlot v 0. Stane e to v ae t = v 0 =a min od po tku pohybu lokomotivy. Porovn n m drah dotaneme rovnici v 0 t = 0 + 1 2 a mint 2 e en m outavy dotaneme v 2 0 a min = 0 + v2 0 2a min ; a min = v2 0 2 0 = 0;40 m?2 b) Porovn n m drah dotaneme kvadratickou rovnici pro hledan a t 1 v 0 t 1 = 0 + 1 2 at2 1 ; kter m dva kladn ko eny. loze vyhovuje men ko en t 1 = v 0? p v 2 0? 2a 0 a c) T n p ed r kou bude m t lokomotiva rychlot v 1 = at 1 = v 0? p v 2 0? 2a 0 = 1;0 m?1 d) Ze z kona zachov n hybnoti plyne = ; m 0 v 0 + m 1 at 1 = (m 0 + m 1 )u ; u = m 0v 0 + m 1 at 1 m 0 + m 1 = 1;4 m?1 e) Po p ipojen vagonu k lokomotiv e jej zrychlen zmen na a 1 = V ae t 1 bude m t ouprava rychlot F = m 1a m 0 + m 1 m 0 + m 1 u 1 = u + a 1 2t 1 = m 0v 0 + am 1 t 1 m 0 + m 1 = 2;6 m?1
f) v m?1 Obr, R 2 vagon ouprava 1 2 lokomotiva body 0 2 4 6 8 10 t 4.a) Z r hledika chlapce na eda ce, v neinerci ln vzta n outav pojen koloto em, je hledan la rovna v lednici l t hov ly a etrva n odt ediv ly. Plat F o m F = mg = 600 N o co F F G Obr. R4 b) Podle obr zku je tg = F o = ma d F G mg = a d g ; a d = g tg = 6;9 m?2 c) Polom r kru nice, po kter ob h chlapec, je r + l in. Pro dot ediv zrychlen plat v 2 a d = r + l in = g tg Z toho d) Pro periodu plat T = v = p g(r + l in ) tg = 6;1 m?2 2(r + l in ) v = 2 r r + l in g tg body = 5;6 body 4
5.a) P i ikm m vrhu nulovou po te n v kou je z vilot ou adnic hmotn ho bodu na ae pop na vztahy x = v 0 t co ; y = v 0 t in? 1 2 gt2 Z podm nky y = 0 ur me dobu letu t 0 a d lku vrhu d t 0 = 2v 0 in g ; d = 2v2 0 in co g Jeliko in 1 = co 2 a co 1 = in 2, jou pro dan hodnoty eleva n ch hl d lky obou vrh tejn d 1 = d 2 = 5; m. b) V ku vrhu h ur me jako ou adnici y v ae t 1 = t 0 =2 t 1 = v 0 in g h = v2 0 in2 2g Pro dan eleva n hly dotaneme h 1 = 5;1 m; h2 = 15; m c) P i vodorovn m vrhu z v ky h 0 je z vilot ou adnic hmotn ho bodu na ae pop na vztahy x = v 0 t ; y = h 0? 1 2 gt2 Z podm nky y = 0 ur me dobu letu t 1 a d lku vrhu d t 1 = 2h 0 g ; d = v 2h 0 0t 1 = v 0 g pravou dotaneme h 0 = gd2 2v0 2 Proto e d 1 = d 2, plat h 01 = h 02 = 15; m. d) Doby letu m ku jou t 01 = 2;04 ; t 02 = ;5 ; t 1 = 1;77. 5
e) y m 20 Obr. R5 10 7.a) 0 10 20 0 40 x m body Podle z kona zachov n hybnoti m 0 v 1 = m 0 w ; v 1 = w = 000 m?1 b) V inerci ln ch outav ch pojen ch raketou p ed prvn m a p ed druh m vypuzen m plynu plat podle z kona zachov n hybnoti 2 m 0v 1 = 1 2 m 0w ; m 0 v 2 = 1 2 m 0w Z rovnic plyne v 2 = v 1 + v 2 = 1 w + 1 2 w = 5 6 w = 2500 m?1. c) Analogicky pro odvrhnut plynu ve f z ch plat 5 m 0v 1 = 1 m 0w ; 4 m 0v 2 = 1 m 0w ; m 0 v = 1 m 0w 6
Z rovnic plyne v = v 1 + v 2 + v = 1 5 w + 1 4 w + 1 w = 47 60 w = 250 m?1. d) Obecn pro n plat 2n? 1 m 0 v 1 = 1 n n m 0w ; 2n? 2 m 0 v 2 = 1 n n m 0w ;. m 0 v n = 1 n m 0w Z rovnic plyne v n = v 1 + v 2 + + v n = 1 2n? 1 w + 1 2n? 2 w + + 1 2n? n w Pro vybran n vych z v 6 = 0;765w = 2210 m?1 ; v 10 = 0;7188w = 2160 m?1 ; v 100 = 0;6957w = 2090 m?1 ; v 1000 = 0;694w = 2080 m?1 S rotouc m po tem krok e v ledek m d l v ce p ibli uje kute n hodnot v ledn rychloti rakety p i pojit m vypuzov n plynu, kterou bychom vypo tali integr ln m po tem. Takto z kan v ledek p enot na 6 platn ch lic je v = w ln 2m 0 m 0 = w ln 2 = 0;69147w = 2079;44 m?1 e) Obecn pro n plat 7m 0? 1 n 6m 0v 1 = 6m 0 n w ; 7m 0? 2 n 6m 0v 2 = 6m 0 n w ; 7
. m 0 v n = 6m 0 n w Z rovnic plyne v n = v 1 + v 2 + + v n = 6 7n? 6 w + 6 7n? 12 w + + 6 7n? 6n w Pro vybran n vych z v 6 = 2;450w = 750 m?1 ; v 10 = 2;22w = 6700 m?1 ; v 100 = 1;972w = 5920 m?1 ; v 1000 = 1;948w = 5840 m?1 Pro n! 1 (pojit vypuzov n plynu) dotaneme u it m integr ln ho po tu p enot na 6 platn ch lic v = w ln 7m 0 m 0 = w ln 7 = 1;94591w = 587;7 m?1 f) V ledn rychlot nedoahuje ani prvn komick rychloti. P i vyl n rakety na ob nou dr hu kolem Zem je krom urychlen rakety na kruhovou rychlot pot eba je t vykonat pr ci nutnou ke zv en potenci ln energie rakety a k p ekon n odporov ly atmof ry. Jednotup ov raketa nem e do hnout komick ch rychlot. Pou vaj e v cetup ov rakety, u kter ch e vyu it ti potupn odhazuj. Po adovanou rychlot z k jen poledn tupe rakety. Pom r hmotnoti komick lodi na ob n dr ze a tartovn hmotnoti b v zhruba 120. 8