Datum měření: 30.3. 2009, skupina: 9. v pondělí 13:30, klasifikace:

Fyzikální praktikum 12. Měření Měření měrného náboje elektronu, dosah alfa částic v látce Tomáš Odstrčil, Tomáš Markovič Datum měření: 30.3. 2009, skupina: 9. v pondělí 13:30, klasifikace: Abstrakt V první části měření určíme měrný náboj elektronu z jeho pohybu v podélném a příčném magnetickém poli. V druhé části měření proměříme dosah alfa částic ve vzduchu a oxidu uhličitém a ověříme základní empirické vztahy pro pohyb alfa částic v látce. Nakonec proměříme dosah alfa částic v plynu za sníženého tlaku. 1 Úkoly 1.1 Měření měrného náboje elektronu 1. Sestavte úlohu pro měření e/m fokusací podélným magnetickým polem a proved te měření pro čtyři různé hodnoty urychlovacího napětí U v rozmezí 950-1250 V. Pomocné napětí na A 1 volte 140 V. 2. Změřte měrný náboj elektronu e/m ze zakřivení dráhy elektronů v kolmém magnetickém poli. Měření proved te pro pět dvojic urychlovacího napětí a magnetizačního proudu. Vypočtěte příslušné hodnoty měrného náboje a z nich určete střední hodnotu. 3. Několikrát pootočte katodovou trubicí sem a tam vůči magnetickému poli a sledujte změnu trajektorie proudu elektronů. Uvidíte, že z kruhového tvaru ( v B) přejde na šroubovitý ( v B) a nakonec v přímku ( v B). Nakreslete pozorované trajektorie do protokolu. Použijte napětí U = 150 V a proud I = 1,5 A. 1.2 Dosah alfa částic v látce 1. V domácí přípravě vypočítejte množství 241 Am v zářiči užitém v experimentu (z udané aktivity a poločasu rozpadu); počet částic, které dopadnou na detektor užitý v experimentu za 1 s, je-li vzdálenost zářič - detektor rovna l = 2,5 cm; střední lineární dosah alfa částic z 241 Am ve vzduchu za normálních podmínek ze znalosti jejich počáteční kinetické energie; minimální hloubku citlivé oblasti v křemíkovém detektoru, má-li se v ní alfa částice z 241 Am zaručeně zastavit. 2. Změřte střední lineární dosah alfa částic vysílaných z 241 Am za atmosférického tlaku. 3. Určete dosah alfa částic z 241 Am pro několik hodnot tlaku vzduchu menších, než je tlak atmosférický a vypočítejte pro vzduch hmotnostní dosah. 4. Proved te stejné měření jako v bodě 3, ale místo vzduchu do trubice napustí oxid uhličitý. Pokuste se měřit při stejných tlacích, jaké jste si zvolili pro vzduch. Vypočítejte hmotnostní dosah pro oxid uhličitý. 5. Ve zhodnocení porovnejte změřený dosah a dosah vypočtený z Geigerova vztahu; porovnejte střední lineární dosah alfa částic z 241 Am ve vzduchu a oxidu uhličitém a uved te důvody, proč jsou rozdílné. Výsledky zkuste vysvětlit i kvantitativně; zjistěte, zda pro rozptyl dosahu alfa částic ve vzduchu platí empirický vzorec α = 0,015.R S. 1

2 Teorie 2.1 Měření měrného náboje elektronu 2.1.1 Pohyb elektronu v podélném magnetickém poli Na elektron pohybující se v magnetickém poli působí Lorenzova síla F = e v B (1) Newtonova pohybového zákona lze sestavit pohybové rovnice, pro magnetické pole směřující například ve směru osy z. Potom vyjde [1] x = x 0 + r c [sin (ω c t + δ) sin (δ)] y = y 0 + r c [cos (ω c t + δ) cos (δ)] z = v t + z 0 (2) kde r c je cyklotronový poloměr a je roven r c = v 0 /ω c, ω c je cyklotronová frekvence ω c = e mb. Z toho je vidět, že elektrony vyletují z jednoho bodu s téměř stejnou složkou rychlosti v rovnoběžnou s mag. polem, ale letící libovolným směrem se v čase t = 2π/ω c setkají v bodě (x 0, y 0, 2πv /ω c +z 0 ). Poloha tohoto bodu závisí na intenzitě magnetického pole B a na v. Pokud je známe, můžeme určit měrný náboj elektronu. Urychlením elektronů napětím U = 1 kv se jim předá mnohem větší energie, než jakou měli při opuštění katody (max 10 ev) a všechny elektrony potom budou mít téměř stejnou rychlost. Protože je svazek elektronů jen málo rozbíhavý, platí v = v, kde v = 2eU/m je rychlost na kterou byly elektrony urychleny. Pokud je vytvářeno magnetické pole solenoidem o hustotě závitů n, platí B = µ 0 ni, kde I je proud protékající cívkou. Kombinací těchto vztahů se získá vzorec pro e/m ( ) 2 e 2π m = 2 U µ 0 nl I 2 (3) 2.1.2 Měření e/m v kolmém magnetickém poli Pro elektron pohybující se v kolmém magnetickém poli platí stejné pohybové rovnice (2) jako pro elektron v příčném poli. Rozdíl je v tom, že v = 0 a elektron se tedy pohybuje po degenerované spirále - kružnici. Změřením cyklotronového poloměru r c potom lze určit měrný náboj. Pro r c platí r c = v 0 ω c = v 0 e m B (4) rychlost v 0 se určí ze vztahu v 0 = 2eU/m a po úpravě vyjde vzorec pro měrný náboj: e m = 2U rcb 2 2. (5) K vytváření magnetického pole v této úloze použijeme Helmholtzových cívek. Prochází-li jimi proud, vzniká v jejich středu magnetické pole o indukci NR 2 B = µ 0 I = k I (6) (R 2 + a 2 3/2 ) kde konstanta N je počet závitů každé z cívek, R je jejich poloměr a a je polovina jejich vzdálenosti. Konstanta k závisí pouze na geometrickém uspořádání cívek. 2.2 Dosah alfa částic v látce Alfa částice mají počáteční kinetickou energii přibližně 4-6 MeV a při průletu materiálem jsou brzděné především srážkami s elektrony. Elektrony nejsou dost hmotné, aby dokázaly změnit směr pohybu alfa částice, ale dokážou ji při srážce odebrat část energie. Dosah alfa částice by tedy měl záviset na kinetické energii alfa částice T 0 a elektronové hustotě látky n e. Pokud mají všechny alfa částice stejnou energii, platí, že počet částic, které doletí do určité vzdálenosti r od zdroje je téměř konstantní, ale při dalším vzdalování jejich počet prudce klesá. Pokud bychom předpokládali, že počet částic, která se zastaví na malém úseku dráhy, odpovídá Gausssovu rozdělení, pak je počet detekovaných částic ve vzdálenosti x dán vztahem 2

n = 1 ( ) x 2 N Rs 0 erfc α N 0 je počet částic vyslaných zdrojem za čas t, α je fluktuační parametr, a charakterizuje šířku Gaussovy křivky. V bodě R s v tzv. střední lineárním dosahu má Gaussova křivka maximum a error funkce (7) inflexní bod. Mezi R s a α platí s přesností 10% empirický vztah α = 1, 5 10 3 R s (7) Obrázek 1: Závislost počtu detekovaných (vzorec 7) a pohlcených částic na vzdálenosti Rozptyl v hodnotách dosahu je způsobený statistickým charakterem srážek. Při reálném měření navíc alfa částice ztratí část energie v zářiči a také zářiče nejsou monoenergetické, což způsobuje zvetšení α. Měřením dosahu alfa částic lze určit jejich počáteční kinetickou energii pomocí empirického vztahu R s = 3, 18 10 12 T 0 (8) kde střední lineární dosah R s je samozřejmě v metrech a energie T 0 v elektronvoltech. Vztah platí jen pro vzdálenosti 3-7 cm a energie 4-7 MeV. Další empirická formule umožňuje na základě doletu částice ve vzduchu určit její dolet i v látce o nukleonovém čísle A. R m = 0, 56 R s A 1/3 (9) R m je střední hmotnostní dosah a je udaný v [kg/m 2 ]. Střední lineární dolet v tom prostředí je potom dán vztahem R s = R m ρ (10) kde ρ [kg/m 3 ] je hustota toho látkového prostředí. Zdrojem záření by měl být etalon EA 15 351-34, obsahující chlorid americia 241. Aktivita vzorku je 11,38 kbq a poločas rozpadu je 458 let. Energetické spektrum alfa částic ze vzorku je téměř monoenergetické, 86% částic má energii 5,486 MeV a 13% 5,443 MeV. Počet částic dopadajících na detektor ovšem závisí i na prostorovém úhlu mezi nimi. Při dostatečně velké vzdálenosti l lze úhel odhadnout jako Ω = S d /l 2 (11) kde S d je povrch detektoru. Potom lze i určit množství částic n, dopadající na detektor ze vzorku o aktivitě A jako n = A Ω 4π (12) 3

3 Výsledky 3.1 Měření měrného náboje elektronu Správně by měl vyjít měrný náboj elektronu na 1,7588 10 11 C/kg. 3.1.1 Pohyb elektronu v podélném magnetickém poli Elektrony byly vyzařeny z nepřímo žhavené katody, prošly Wehlenelrovým válcem, soustavou dvou anod a nakonec vyletovaly malým otvorem v druhé anodě a dopadaly na fluerescenční vrstvu obrazovky. Při správné intenzitě magnetického pole nastal případ, kdy téměř všechny dopadaly do jediného bodu a na základě vzorců odvozených v teoretické části lze určit měrný náboj elektronu. Vzdálenost 2. anody od stínítka je l = 0,249 m, hustota závitů solenoidu je n = 456, 7. Po dosazení za všechny konstanty do vzorce (3) vychází vztah pro e/m jako e m = 3, 867 109 U I 2 (13) Při měření jsme volili pomocné napětí na 1. anodě 140 V, ale zapomněli jsme otestovat jeho vliv na výsledky měření. Naměřené hodnoty jsou v tabulce (1), poslední hodnotu jsme změřili po otočení směru toku proudu v solenoidu a není započteno ve výsledku. Měrný náboj tedy vyšel e/m = 1, 88 ± 0, 02 C/kg. měření U [V] I [A] e/m [10 11 C/kg] 1. 1000 4,625 1,80759 2. 950 4,525 1,79395 3. 1050 4,65 1,87761 4. 1100 4,70 1,92539 5. 1150 4,815 1,91791 6. 1200 4,94 1,9013 7. 1250 5,04 1,90271 8. 1250 4,49 2,3974 průměr 1,88 ± 0,02 Tabulka 1: Výsledky z měření e/m v podélném mag. poli. Poslední měření není započteno do výsledku. 3.1.2 Měření e/m v kolmém magnetickém poli Do středu Helmholtzových cívek byla umístěná katodová trubice, naplněná malým množstvím vodíku. Trubice se skládala z baňky o průměru 175 mm, ve které byl umístěn systém elektrod. Za trubicí bylo umístěné zrcadlo a posuvné měřící zařízení. Průměr se pak odečítal tak, že se nastavila poloha toho pásku tak, aby kružnice tvořená excitovaným vodíkem, metr a odraz kružnice v zrcadle byly přesně v zákrytu. Vzdálenost cívek byla 2a = 15 cm, průměr R = 15 cm a počet závitů N = 130. Dosazením za konstanty do rovnice (6) a (5) vyjde vztah pro e/m e m = 13, 116 U 106 I 2 d 2 (14) U je urychlovací napětí elektronu, I je proud v cívkách a d je průměr vzniklé kružnice. Výsledky měření jsou v tabulce (2). Vyzkoušeli jsme potom otáčet s trubicí a přesně jak šlo očekávat z pohybových rovnic (2), přecházela kružnice do spirály a nakonec až na přímku. Je to vykreslené na obr. (2) 3.2 Dosah alfa částic v látce Zařízení, se kterým jsme měřili je na obrázcích (3) a (4). Problém je odhadnout počáteční vzdálenost detektoru od vzorku při jejich největším přiblížení (když se jejich obaly dotýkají), my jsme to odhadli na 0,7 cm. Průměr detektoru jsme brali 5 mm. Potom jsme nastavili odstranění málo energetických signálu, protože křemíkový detektor byl citlivý i na světlo. V [3] je popsán trochu jiný přístroj, než jsme používali. V našem případě nebyl zářič s detektorem umístěný v duralové trubici, ale ve skleněné, a detektor a zářič měli jiný než v [3] popsaný tvar, rozhodně byly minimálně oba delší než širší (obr. 5 a 6) 4

U [V] I [A] d [cm] e/m [10 11 C/kg] 120 1,5 6,3 1,7624 140 1,5 6,8 1,76488 160 2,0 5,65 1,64343 180 2,0 6,0 1,63945 150 1,5 6,58 2,0195 průměr 1,77±0,07 Tabulka 2: Výsledky z měření e/m v příčném magnetickém poli. 1 1 0.6 0.6 0.2-0.2 Z 0.2-0.2 Z -0.6-0.6 2 1.2 0.4 Y -0.4-0.6-1.2-2-1 0.2-0.2 X 0.6-1 1 5 4 3 Y 2 1-1 0-0.6 0.2-0.2 X 0.6-1 1 Obrázek 2: Elektrony se v homogenním magnetickém poli pohybují po spirále, případně po jejích degenerovaných tvarech - kružnici a přímce. 3.2.1 Úkoly z domácí přípravy Měli jsme určit z aktivity a poločasu rozpadu množství 241 Am ve vzorku. Pro množství zářiče s poločasem rozpadu T platí vztah n(t) = n 0 2 t T (15) aktivita vzorku lze vypočíst jako počet částic vyzářených za jednotku času A = dn dt = n ln 2 0 T Z počtu částic, molární hmotnosti 241 Am už jde určit množství zářiče. Celkem tedy vyjde 2, 3 10 14 částic o hmotnosti 93 ng. Dále jsme měli spočíst počet částic dopadajících na detektor ve vzdálenosti l = 2,5 cm za 1 s. Při výpočtu se zanedbají rozměry zdroje. n = A Ω 4π A S d 4πl 2 = A r2 d 4l 2 (17) takže počet částic ve vzdálenosti 2,5 cm by měl být 28,5 částic/s. Střední lineární vzdálenost alfa částice s energií 5 480 kev ve vzduchu je podle Geigerova vztahu (8) a po dosazení to je R s = 4, 06 cm R s = 3, 18 10 12 T 3/2 Střední lineární dosah částice v křemíkovém detektoru se spočte ze vztahů (8), (9) a (10) R ssi = R m /ρ = 0, 56A 1/3 R svzduch = 0, 56 3, 18 10 12 A 1/3 T 3/2 /ρ (18) nukleonové číslo A křemíku je 32 a hustota je 2330 kg/m 3 a po dosazení vyjde R ssi = 31 µm. (16) 5

Obrázek 3: Schéma zařízení na měření počtu alfa částic. K je stupnice po 0,1 mm, stupnice po 1 mm je umístěná na skle nádoby. Obrázek 4: Schéma zapojení vakuové části aparatury. K napouštěcímu ventilu je přivedeno CO 2 Obrázek 5: Nákres detektoru, pohled svrchu a zboku Obrázek 6: Nákres radioaktivního vzorku 3.2.2 Dosah alfa částic ve vzduchu za normálního tlaku Měřili jsme po maximální čas, které to počítadlo pulzů zvládalo, tedy 10 s. Ověřili jsme si, že počet detekovaných částic je již normován na čas 1 s. Naměřené údaje jsou v tabulce (3) a na první pohled je vidět, že počet detekovaných částic a počet teoreticky předpovězených částic ani zdaleka nesedí. V dalším sloupci tabulky (3) je počet detekovaných částic přepočtený na počet částic vyslaných do celého prostorového úhlu (A ve vzorci (17)). Střední lineární dosah alfa částic vyšel z grafu (7) jako R s = 2, 86±0, 008 cm. Ale protože jsme museli odhadnout počáteční vzdálenost (r 0 = 14, 5 cm) mezi detektorem a vzorkem, chyba bude minimálně v milimetrech. Vyjde tedy R s = 2, 9 ± 0, 1 cm. Fluktuační parametr vyšel α = 0, 29 ± 0, 02. 3.2.3 Dosah alfa částic v CO 2 za normálního tlaku Aparaturu jsme důkladně vyčerpali a potom do ní napustili CO 2 ze sifonové lahve. Tlak jsme nastavili stejný jako atmosférický, tedy 1000 hpa. Data v grafu (7) již nevycházejí tak pěkně jako u vzduchu, ale náběhová hrana se nám podařila změřit docela dobře. Udaje jsou v tabulce 4. Střední lineární dosah alfa částic v grafu (7) vyšel 2,45±0,02 cm. Z důvodu zmíněného u předchozí úlohy je ale přesnost nižší R s = 2, 4 ± 0, 1 cm. Fluktuační parametr vyšel α = 0, 22 ± 0, 04 cm. 3.2.4 Dosah alfa částic ve vzduchu a CO 2 při různém tlaku Naměřená data jsou umístěná v tabulce (5). Průběh je vykreslený v grafu (8) a neodpovídá průběhu předpokládanému ze vzorce (10), podle kterého se dolet zvyšuje nepřímo úměrně hustotě (R m = const.) a hustota je úměrná tlaku. V našich datech je sice pozorovatelný velmi mírný růst při malých tlacích, ale ani zdaleka neodpovídá téměř 30 násobnému poklesu tlaku. 6

l [cm] n/s n/s teor přes 4π 0,7 6136 363 192425 1,2 2141 123 197315 1,4 1700 91 213248 1,5 1413 79 203472 1,7 1062 62 196428 1,9 890 49 205626 2,2 664 37 205681 2,4 562 31 207176 2,6 429 26 185603 2,7 333 24 155364 2,7 353 24 164696 2,8 253 23 126945 2,9 146 21 78583 3,0 97 20 55872 3,1 44 19 27062 3,2 10 17 6554 3,2 15,5 17 10158 3,3 6 16 4182 Tabulka 3: Počet částic ve vzdálenosti l, teoretická předpověd,4. sloupec je n v prostorovém úhlu 4π l [cm] n/s přes 4π 0,7 5901 185055 1,3 1665 180086 1,35 1683 196305 1,5 1448 208512 2,05 775 208444 2,3 420 142195 2,4 413 152248 2,45 206 79137 2,5 167 66800 2,55 100 41616 2,6 90 38938 2,65 36 16180 2,7 15 6998 2,8 14 7025 Tabulka 4: Počet částic ve vzdálenosti l, 3. sloupec je po přepočtení pro prostorový úhel 4π 4 Diskuse Vzduch CO 2 p [hpa] R s [cm] p [hpa] R s [cm] 990 3,5 1005 3,1 921 4,0 1000 3,0 530 3,8 750 3,58 455 3,7 610 3,6 405 3,8 480 3,75 368 3,9 370 3,7 310 3,8 250 3,8 220 4,0 211 3,65 143 4,0 87 4,65 100 4,1 60 4,1 38 4,7 Tabulka 5: Střední lineární dosah alfa částic ve vzduchu a CO 2 při různém tlaku 4.1 Měření měrného náboje elektronu Pohyb elektronu v podélném magnetickém poli Vyšla nám hodnota e/m = 1, 88 ± 0, 02 C/kg. Správná hodnota (1,759 10 11 C/kg) se nevejde ani do 3σ, takže je tam jistá chyba. Při měření jsme si všimli, že se zvyšujícím urychlujícím napětím se změřená hodnota e/m zvětšuje a nedokázali jsme pro to najít vysvětlení. Také jsme si všimli, že pokud se změní směr toku proudu v cívce, výrazně se změní měřená hodnota měrného náboje, téměř o 30% a ani jsme pro to nenalezli žádné teoretická vysvětlení. Z toho bych usoudil, že některý z předpokladů za kterých byla odvozena teorie k této úloze není splněn a tato úloha je komplikovanější, než se na první pohled zdá. Měření e/m v kolmém magnetickém poli V této úloze jsme určili měrný náboj na e/m = 1, 77 ± 0, 07 C/kg. Tentokrát je správná hodnota velmi blízko té námi změřené. Při měření jsme dosáhli relativní chyby 4% a to je, na to jak obtížné je odčítání průměru kružnice, velký úspěch. 7

2,5x10 5 2,0x10 5 částic/s 1,5x10 5 1,0x10 5 Vzduch 1/2*n*erfc((x-r)/a) a = 0,2856 +/- 0,015 n = 203,1e+03 +/- 2,1e+03 r = 2,862 +/- 0,008 5,0x10 4 CO 2 1/2*n*erfc((x-r)/a) a = 0,217 +/- 0,035 n = 194,9e+03 +/- 6,8e+03 r = 2,445 +/- 0,017 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 l [cm] Obrázek 7: Počte alfa částic detekovaných ve vzduchu a CO 2 pžepočtených na prostorový úhel 4π 5 4,5 vzduch CO 2 Rs [cm] 4 3,5 3 2,5 0 200 400 600 800 1 000 1 200 p [hpa] Graf 8: Dolet alfa částic ve vzduchu a v CO 2 při proměnném tlaku 8

4.2 Dosah alfa částic v látce Ve vzduchu a CO 2 za normálního tlaku Aktivita vzorku měla být 11,38 kbq, určili jsme ji na A = 0, 2 MBq. Z Geigerova vztahu vyšel dosah alfa částic ve vzduchu pro 241 Am roven R s = 4, 06 cm, naměřili jsme R s = 2, 9 ± 0, 1 cm. Podle vzorce pro rozptyl částic mělo vyjít α = 0, 015R s = 0, 041 cm, vyšlo α = 0, 29 ± 0, 01 cm, tedy 10% R s. Dosah alfa částic v CO 2 vyšel R s = 2, 4±0,1 cm tedy méně než ve vzduchu. To se dalo očekávat, protože má sice stejnou částicovou hustotu jako vzduch, ale má 3,1 vyšší elektronovou hustotu. Fluktuační parametr v CO 2 vyšel α = 0, 22 ± 0, 04 cm, tedy asi 9%R s. Shrnuto, nepodařilo se nám potvrdit žádný vztah ani údaj uvadaný v [3]. Ve vzduchu a CO 2 za sníženého tlaku Dolet alfa částic nerostl s klesajícím tlakem ani zdaleka tak rychle jak by se dalo očekávat (graf 8). Podle vzorce (10) by mělo platit R s 1/ρ 1/p. Příčina je v tom, že narozdíl od schématu na obrázku (4) byl vakuometr zapojený mezi ventilem a vývěvou. Takže při zavřeném ventilu tlak v nádobě neodpovídal tlaku na vakuometru. Takže nemá cenu se pokoušet spočíst hmotnostní dosah vzduchu ani oxidu uhličitého. 5 Závěr Měrný elektrický náboj elektronu jsme určili z pohybu v podélném mag. poli jako e/m = 1, 88 ± 0, 02 C/kg, ale zůstává nevyřešený problém se změnou směru mag. indukce. V příčném poli vyšlo e/m = 1, 77 ± 0, 07C/kg. Tabulková hodnota je e/m = 1, 759 10 11 C/kg. Nepodařilo se nám potvrdit žádný z empirických vztahů ani zadaných konstant. Aktivita vzorku vyšla A = 0, 2 MBq, dosah ve vzduchu R s = 2, 9±0, 1 cm, a fluktuační parametr ve vzduchu α = 0, 29±0, 02 cm. Skoro to vypadá, jako bychom měřili úplně jiný zářič, z jiného prvku a dost tlustého, aby to způsobilo tak velké α. Úspěšně jsme ověřili kratší dosah alfa částic v CO 2,ale nepovedlo se nám určit hmotnostní dosah CO 2. Literatura [1] Štoll, Ivan : Elektřina a magnetismus, Vydavatelství ČVUT, 2003. str. 172 [2] Zadání 1. části 12. úlohy - http://praktika.fjfi.cvut.cz/edm/edm.pdf [cit. 30-3-2009] [3] Zadání 2. části 12. úlohy - http://praktika.fjfi.cvut.cz/dosahalfa [cit. 30-3-2009] 9