7.Vybraé aplkace optmalzačích modelů V této kaptole se budeme věovat dvěma typům úloh, pro echž řešeí se využívaí optmalzačí prcpy. Jedá se o modely aalýzy obalu dat, které se využívaí pro hodoceí relatví efektvost a výkoost souboru produkčích edotek, a dále o modely vícekrterálího programováí, echž cílem e zpravdla alezeí kompromsu mez avzáem protkladým krtér. 7.1Modely aalýzy obalu dat Modely aalýzy obalu dat (DEA - Data Evelopmet Aalyss) byly avržey ako specalzovaý modelový ástro pro hodoceí efektvost, výkoost č produktvty homogeích produkčích edotek. Pod pomem homogeí produkčí edotky budeme rozumět soubor edotek, které se zabývaí produkcí detckých ebo ekvvaletích efektů, které budeme ozačovat ako výstupy této edotky. Budeme uvažovat především žádoucí, tedy poztví efekty, tz. takové, echž vyšší hodota vede, za ak ezměěých podmíek, k vyšší výkoost daé edotky. Pro vytvářeí efektů spotřebovává produkčí edotka vstupy, které sou aopak svoí povahou mmalzačí, tz. žší hodota těchto vstupů vede k vyšší výkoost sledovaé edotky. Budeme-l uvažovat př hodoceí efektvost ede vstup (typckým vstupem může být počet pracovíků pobočky, frmy, zdravotckého zařízeí apod.) a ede výstup (typcky to mohou být tržby, zsk, počet pacetů apod.), potom lze efektvost sledovaé edotky vyádřt velm sado příslušým poměrovým ukazatelem výstup. vstup Dostáváme tak ukazatele ako sou tržby ebo zsk a pracovíka, počet pacetů a edoho lékaře atd. Pro hodoceé edotky lze však defovat celou řadu podobých poměrových ukazatelů, které vycházeí z růzých údaů a echž výsledky emusí být a v typckém případě a esou ve vzáemém souladu. Př hodoceí celkové efektvost daé edotky e proto třeba vzít do úvahy větší počet vstupů, ale výstupů. Uvažume, že máme soubor homogeích edotek U 1, U 2,, U. Př sledováí efektvost těchto edotek uvažueme r výstupů a m vstupů.
212 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů Ozačme X = {x, = 1, 2,, m, = 1, 2,..., } matc vstupů a podobě Y = {y, = 1, 2,, r, = 1, 2,..., } matc výstupů. Míru efektvost edotky U q můžeme vyádřt obecě ako vážeý součoučet upů vážeý součoučet tupů u y v x q q, (7.1) kde v, = 1, 2,..., m sou váhy přřazeé -tému vstupu a u, = 1, 2,..., r sou váhy přřazeé -tému výstupu. DEA modely vycházeí z toho, že pro daý problém exstue tzv. moža přípustých možostí tvořeá všem možým (přípustým) kombacem vstupů a výstupů. Moža přípustých možostí e určea tzv. efektví hrací. Produkčí edotky, echž kombace vstupů a výstupů leží a efektví hrac, sou efektvím edotkam, protože se epředpokládá, že by mohla reálě exstovat edotka, která dosáhe steých výstupů s žším vstupy, případě vyšších výstupů s žším vstupy. Případ edoho vstupu a edoho výstupu Možu přípustých možostí a efektví hrac zde budeme lustrovat a malém umerckém příkladu. Uvažume obchodí řetězec s osm pobočkam. Každá z poboček e charakterzováa edím vstupem x (počet pracovíků) a edím výstupem y (průměré deí tržby v desítkách tsíc Kč). Kokrétí údae sou obsažeé v tabulce 7.1. Pobočka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Počet pracovíků (x) 12 7 9 3 7 2 9 4 Tržby (y) 14 12 11 3 4 6 6 9 Tržby/počet prac. (y/x) 1,17 1,71 1,22 1,00 0,57 3,00 0,67 2,25 Tab. 7.1: Vstupí data pro případ edoho vstupu a výstupu Pro odvozeí toho, akou podobu má efektví hrace a ak tedy vypadá moža produkčích možostí, e třeba přmout předpoklad o charakteru výosů z rozsahu pro daou úlohu. Výosy z rozsahu mohou být kostatí, varablí, rostoucí ebo klesaící. Z předpokladu kostatích výosů z rozsahu (CRS costat returs to scale) plye, e-l kombace vstupů a výstupů (x, y) prvkem možy
7.1 Modely aalýzy obalu dat 213 přípustých možostí, potom e prvkem této možy kombace (x, y), kde > 0. Zameá to, e-l ěaká produkčí edotka s kombací vstupů a výstupů (x, y) edotkou efektví, potom bude efektví edotka (x, y). Pro áš lustračí příklad e efektví hrace a moža produkčích možostí zázorěá a obr. 7.1. Je zde patré, že efektví hrace zde tvoří obal dat, který e kócký. Jedou efektví edotkou (tedy edotkou, která leží a efektví hrac) e zde edotka U 6. To e v tomto případě v souladu s vypočteým tržbam a edoho pracovíka, které sou pro tuto edotku evyšší vz tabulka 7.1. Ostatí edotky sou eefektví, což lze dokumetovat apříklad a edotce U 8 ta dosahue výstup y = 9, přčemž spotřebovává vstup ve výš x = 4. S hodotam (4; 9) eí však a efektví hrac. Aby se a tuto hrac dostala, musela by buď: tržba efektví hrace U 1 y U U 2 U 3 10 U y U 8 moža Uprodukčích 1 8 možostí U 6 6 U 7 4 U 5 U 4 2 0 2 x 4 x 6 8 10 12 počet prac. Obr. 7.1: Moža produkčích možostí kostatí výosy z rozsahu 1. Zvýšt hodotu produkovaého výstupu a hrac y př zachováí současé úrově vstupu x. Dostáváme tak tzv. vrtuálí edotku U s vrtuálím vstupem a výstupem (x, y ) = (4; 12). Sažíme se tedy maxmalzovat hodotu výstupu (obecě výstupů) př zachováí úrově vstupu (vstupů). Modely, které se saží aít vrtuálí edotku
214 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů maxmalzací výstupů, se ozačuí ako modely oretovaé a výstupy (output oreted). 2. Sížt hodotu spotřebovávaého vstupu a úroveň x př zachováí současé úrově výstupu y. Dostáváme tak vrtuálí edotku U s vrtuálím vstupem a výstupem (x, y) = (3; 9). Zde se edá o mmalzac hodoty vstupu (obecě vstupů) př zachováí daé úrově výstupu (výstupů). Modely, které se saží aít vrtuálí edotku mmalzací výstupů, se ozačuí ako modely oretovaé a vstupy (put oreted). 3. Kombací obou předcházeících možostí. Teto přístup se používá v modelech, které se ozačuí ako adtví ebo odchylkové modely (addtve models, slack-based models). V ašem lustračím příkladu sou všechy edotky kromě U 6 za předpokladu kostatích výosů z rozsahu edotkam eefektvím. Jech míru efektvost můžeme získat porováím tržeb a zaměstace s tržbam a zaměstace edotky U 6 : tržba a změměstahodoceé edotky 0 tržba a zaměaměste edotky U Pro edotku U 8 tak získáváme míru efektvost 2,25/3,00 = 0,75. V této souvslost e třeba s uvědomt, že se edá o relatví míru efektvost. Relatví proto, že eí hodota závsí a celém souboru edotek. Přdámel tedy do souboru ovou edotku, která změí efektví hrac, změí se míry efektvost ostatích edotek. Míru efektvost edotky U 8 lze sado odvodt z obr. 7.l: 1. Pro model oretovaý a výstupy to bude podíl y/y = 9/12 = 0,75. Je to tedy podíl tržby edotky U 8 s tržbam vrtuálí edotky U. Z hledska terpretace e vhoděší pracovat u výstupově oretovaého modelu s převráceou hodotou y /y = 12/9 = 1,33. Tu lze terpretovat ako potřebou míru avýšeí výstupu (tržeb) pro dosažeí efektví hrace. 2. Pro model oretovaý a vstupy se bude edat o podíl x/x = 3/4 = 0,75. Je to podíl počtu zaměstaců edotky U 8 s počtem zaměstaců vrtuálí edotky U. Teto ukazatel lze v tomto případě přímo terpretovat ako potřebou míru redukce vstupu (počtu zaměstaců) pro dosažeí efektví hrace. V této souvslost s lze všmout, že sou u obou modelů (př oretac a vstupy výstupy) míry efektvost shodé. 6 1
7.1 Modely aalýzy obalu dat 215 Předpoklad varablích výosů z rozsahu (VRS varable returs to scale) vede k modfkac efektví hrace. Pro áš příklad e za tohoto předpokladu efektví hrace a moža produkčích možostí zázorěá a obr. 7.2. Je zde patré, že efektví hrace zde tvoří obal dat, který e kovexí. Na rozdíl od předchozího případu, kde byla pouze eda edotka ozačea ako efektví, sou zde efektví edotky čtyř: U 1, U 2, U 6 a U 8. Je to způsobeo tím, že zde eplatí požadavek, že pro zachováí efektvost musí být -ásobek vstupů doplě steým ásobkem výstupů. VRS vede k tomu, že edotka bude efektví když poměrý árůst výosů bude žší případě vyšší ež odpovídaící árůst vstupů. Za předpokladu VRS e míra efektvost hodoceých edotek vyšší (ebo přesě eí žší) ež př uvažováí CRS. To lze ukázat a příkladu edotky U 3. tržba y U U 1 efektví hrace 12 U U 2 y 10 U 3 U 8 moža U 1 pr odukčích 8 možostí 6 U 7 U 6 4 U 5 U 4 2 0 2 4 x 6 8 x 10 12 počet prac. Obr. 7.2: Moža produkčích možostí varablí výosy z rozsahu Př uvažováí CRS e míra efektvost edotky U 3 rova 1,22/3,00 = 0,407 a bude steá ať už budeme používat model oretovaý a vstupy ebo a výstupy. Za předpokladu VRS bude v modelu oretovaém a vstupy míra efektvost určea poměrem x /x = 6/9 = 0,667. Ve steém modelu oretovaém a výstupy to bude ale y/y = 11/13 = 0,85 ebo převráceá hodota y /y = 1,18 (hodoty x, y sou přblžě odvozey z obr. 7.2). Z toho e zřemé, že míra efektvost v modelech s VRS může být, a zpravdla e, růzá př uvažováí oretace a vstupy a a výstupy.
216 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů Případ dvou vstupů a edoho výstupu Pro zázorěí stuace, kdy e každá edotka charakterzováa dvěma vstupy a edím výstupem, budeme předpokládat, že výstupy všech edotek sou shodé, edotkové. Samozřemě, že teto předpoklad eodpovídá realtě, ale lze e splt tak, že oba vstupy ahradíme ech podílem s hodotam výstupu, t. Vstup 1 / Výstup a Vstup 2 / Výstup. Dostáváme tak vstupy a edotku výstupu. To lze ž velm sado zázort grafem, který e pro edoduchý lustračí příklad zázorěý a obr. 7.3. Vstupí údae pro teto příklad sou v tabulce 7.2. Jedotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup 1 (x 1 ) 1 3 2 4 5 7 9 12 Vstup 2 (x 2 ) 7 9 4 5 4 2 5 1 Výstup (y 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 Tab. 7.2: Vstupí data pro případ dvou vstupů a edoho výstupu vstup 2 / výstup 10 8 6 4 2 U 1 U 2 U 4 U 7 moža pr odukčích možostí U 3 U 5 efektví hrace U U 6 U 8 0 2 4 6 8 10 12 vstup 1 / výstup Obr. 7.3: Moža produkčích možostí dva vstupy Z hledska efektvost budou žší hodoty vstupů a edotku výstupu vést k vyšší efektvost. Z grafu a obr. 7.3 e zřemé, že
7.1 Modely aalýzy obalu dat 217 efektvím edotkam zde sou edotky U 1, U 3, U 6 a U 8. Jsou to edotky, ke kterým eexstuí é edotky s lepším hodotam obou vstupů a edotku výstupů. Současě a eexstue žádá leárí kombace ostatích edotek, která by vykazovala lepší (přesě e horší) hodoty sledovaých charakterstk. Uvedeé edotky budou ozačey ako efektví a budou vytvářet efektví hrac, která e a obr. 7.3 zvýrazěa slou lomeou čarou. Tato efektví hrace zde opět defue možu produkčích možostí. Ostatí edotky ašeho příkladu efektví esou. To lze lustrovat a případu edotky U 5. Tato edotka eleží a efektví hrac a růzé DEA modely se lší pouze v tom, akým způsobem měří vzdáleost od efektví hrace. Tato vzdáleost e potom vlastě mírou efektvost hodoceé edotky. Základí DEA modely, které budeme formulovat dále v tomto oddílu, měří tuto vzdáleost radálě a určuí tak v podstatě míru redukce obou vstupů pro dosažeí efektví hrace. V tomto případě dostáváme vrtuálí edotku tak, ak e zázorěo a obr. 7.3 edá se o edotku U. Míra efektvost e zde potom určea ako podíl 0U /0U 5. Pro áš lustračí příklad lze poměrě sado odvodt, že vstupy a edotku výstupu vrtuálí edotky U sou (4; 3,2). Míra efektvost edotky U 5 e tedy 4/5 = 3,2/4 = 0,8. Tuto hodotu lze terpretovat tak, že pro dosažeí efektví hrace musí edotka U 5 sížt oba vstupy a 80 % současé hodoty (př zachováí současé úrově výstupu). Kromě radálího způsobu měřeí vzdáleost od efektví hrace lze použít řadu dalších možostí. Na obr. 7.3 sou zázorěy další dvě. Aby se edotka U 5 stala efektví, stačlo by sížt prví vstup ze současé hodoty 5 a úroveň 2 př zachováí úrově druhého vstupu výstupu. Dostal bychom tak vrtuálí edotku se vstupy (2; 4) v tomto případě by byla tato vrtuálí edotka totožá s reálou edotkou U 2. Druhou zázorěou možostí e sížt druhý vstup ze současé úrově 4 a hodotu 2,8. Vrtuálí edotka se vstupy (5; 2,8) by ž ležela a efektví hrac. Případ edoho vstupu a dvou výstupů Budeme-l uvažovat lustračí příklad s edím vstupem a dvěma výstupy, bude se v mohém edat o aalog předcházeícího případu. Uvažueme zde edotkový vstup ebo spíše výstupy a edotku vstupu (apř. tržby a edoho pracovíka, počet zákazíků a pracovíka apod.) Data pro velm edoduchý lustračí příklad sou obsažea v tabulce 1.3. Jedotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8
218 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů Vstup (x 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 Výstup 1 (y 1 ) 3 4 7 2 5 9 10 12 Výstup 2 (y 2 ) 9 6 8 5 4 3 6 2 Tab. 7.3: Vstupí data pro případ edoho vstupu a dvou výstupů Stuace, která odpovídá vstupím datům, e zázorěa a obr. 7.4. Je zřemé, že vyšší výstupy povedou k vyšší efektvost. Efektví hrace e zde proto tvořea edotkam U 1, U 3, U 7 a U 8. Jedotky U 2, U 4, U 5 a U 7 esou efektví, což e v tomto příkladu aprosto evdetí, eboť ke všem těmto edotkám exstue á reálá edotka, která e lepší v obou charakterstkách. Například k edotce U 5 s výstupy (5; 4) lze aít edotku U 7 s výstupy (10; 6). výstup 2 / vstup 10 U 1 efektví hrace U 3 8 U 2 U 6 U 7 4 U 4 2 U 5 U 6 U 8 0 2 4 6 8 10 12 výstup 1 / vstup Obr. 7.4: Moža produkčích možostí dva výstupy Dosáhout efektví hrac lze zde podobě ako v předcházeící lustrac. Radálí způsob hledá vrtuálí edotku (a obr. 7.4 ozačea U ), která bude proekcí zvoleé eefektví edotky a efektví hrac. Výsledkem e míra efektvost, která určue, o kolk procet e třeba avýšt oba výstupy pro dosažeí efektvost. Na obr. 7.4. e tato stuace lustrováa a případu edotky U 5. Míra efektvost e zde určea podílem 0U /0U 5. Výpočtem by bylo možé se přesvědčt, že výstupy vrtuálí
7.1 Modely aalýzy obalu dat 219 edotky U sou (8,64; 6,91). Míra efektvost edotky U 5 e tedy 8,64/5 = 6,91/4 = 1,727. Zameá to, že se edotka U 5 dostae a efektví hrac, pokud avýší oba své výstupy o cca 73 %. Všměte s, že v předchozím případu byla míra efektvost u eefektvích edotek žší ež eda, zde e aopak vyšší ež eda. Vysvětlue to terpretace obou stuací. V předchozím případě vyadřovala míra efektvost potřebou redukc vstupů pro dosažeí efektví hrace (edá se o model oretovaý a vstupy). Zde udává míra efektvost potřebé avýšeí výstupů pro dosažeí efektví hrace (model oretovaý a výstupy). Kromě radálího způsobu dosažeí efektví hrace lze aplkovat é přístupy. Další dvě možost pro edotku U 5 sou zázorěy a obr. 7.4. Lze avýšt prví výstup beze změy druhého. Dostáváme tak vrtuálí edotku s výstupy (11;4), která už leží a efektví hrac. Aalogcky lze avýšt druhý výstup beze změy prvího. Vrtuálí edotka, která leží a efektví hrac, e zde charakterzováa výstupy (5; 8,5). Základí modely aalýzy obalu dat CCR model Prví DEA model byl avrže Charesem, Cooperem a Rhodesem v roce 1978. Podle autorů tohoto modelu bývá ozačová ako CCR model. Teto model maxmalzue míru efektvost hodoceé edotky U q, která e vyádřea ako podíl vážeých výstupů a vážeých vstupů (7.1), př dodržeí podmíek, že míry efektvost všech ostatích edotek sou meší ebo rovy edé. Pro každou edotku tak dostáváme pomocí vah pro vstupy v, = 1,2,...,m, vrtuálí vstup a pomocí vah pro výstupy u, = 1,2,...,r, vrtuálí výstup: vrtuálí vstup = v 1 x 1q + v 2 x 2q +... + v m x mq, vrtuálí výstup = u 1 y 1q + u 2 y 2q +... + u r y rq. CCR DEA model počítá váhy vstupů a výstupů optmalzačím výpočtem tak, aby to bylo pro hodoceou edotku co epřízvěší z hledska eí efektvost (maxmalzue se míra efektvost hodoceé edotky) př dodržeí podmíek maxmálí edotkové efektvost všech ostatích edotek. Celý model lze pro edotku U q formulovat ako úlohu leárího lomeého programováí ásledově: u yq maxmalzovat z, m v x r q
220 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů r u yk za podmíek 1, k 1, 2,...,, m v x k u, = 1, 2,, r, v, = 1, 2,, m, (7.2) kde z e míra efektvost edotky U q, e ftezmálí kostata, pomocí které model zabezpečue, že všechy váhy vstupů a výstupů budou kladé a budou tak tedy alespoň ěakou mmálí měrou v modelu zahruty, x k, = 1,2,...,m, k = 1,2,...,, e hodota -tého vstupu pro edotku U k a y k, = 1,2,...,r, k = 1,2,...,, e hodota -tého výstupu pro edotku U k. Hodoty vstupů a výstupů sou uspořádáy do matc X a Y, které maí rozměr (m, ) resp. (r, ): x11 x12... x1 x21 x22... x2 X, : :... : xm1 xm 2... xm y11 y12... y1 y21 y22... y2 Y. : :... : yr1 yr2... yr Úloha (7.2) může být sado převedea a stadardí úlohu leárího programováí pomocí Chares-Cooperovy trasformace, která e popsaá v část 3.3. těchto skrpt. Upraveá úloha má potom ásleduící podobu: maxmalzovat z u y, r q r m za podmíek u yk v x k, k 1, 2,...,, (7.3) m v x q 1, u, = 1, 2,, r, v, = 1, 2,, m. Hodoceá edotka U q leží a CCR efektví hrac a ozačue se ako CCR efektví v případě, že optmálí hodota míry efektvost, vypočteá
7.1 Modely aalýzy obalu dat 221 modelem (7.3), e rova edé, t. z* = 1. Pro eefektví edotky bude platt, že e ech míra efektvost žší ež eda. Model (7.3) bývá ozačová ako prmárí CCR model oretovaý a vstupy (prmárí CCR-I model). Z výpočetího hledska z hledska terpretace e ěkdy výhodé pracovat s modelem, který e duálě sdružeý k modelu (7.3). Teto model se ěkdy ozačue ako duálí CCR model oretovaý a vstupy (duálí CCR-I model) a eho formulace vypadá ásledově: mmalzovat q za podmíek x x 1,2,..., m, (7.4) 1 1 y y q q, q, 1,2,..., r, 0, = 1,2,...,, kde = ( 1, 2,, ), 0, e vektor vah, které sou přřazeé daým edotkám. Jedá se o vektor proměých tohoto modelu. Další proměou e zde q, která e mírou efektvost hodoceé edotky U q. Proměá q se může rověž terpretovat ako potřebá míra redukce vstupů pro dosažeí efektví hrace a eí hodota bude meší ebo rova edé. Př hodoceí edotky U q se model pokouší aít vrtuálí edotku charakterzovaou vstupy X a výstupy Y, které sou leárí kombací vstupů a výstupů ostatích edotek daého souboru a které sou lepší (ebo přesě esou horší) ež vstupy a výstupy hodoceé edotky U q. Pro vstupy a výstupy vrtuálí edotky musí tedy platt X q x q a Y y q, kde x q a y q sou vektory vstupů a výstupů edotky U q. Jedotka U q e ozačea za efektví, pokud vrtuálí edotka s uvedeým vlastostm eexstue, resp. vrtuálí edotka e totožá s hodoceou edotkou, tz. platí X = x q a Y = y q. To astává právě tehdy, e-l proměá q = 1. Současě však musí být rovy ule všechy přídaté proměé, které převáděí erovost v modelu (7.4) a rovost. Po doplěí těchto proměých do tohoto modelu bude mít výpočetí tvar CCR-I modelu ásleduící tvar (použeme úsporěší matcový záps): mmalzovat z = q (e T s + + e T s ), za podmíek X + s = q x q, (7.5) Y s + = y q,, s +, s 0,
222 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů kde s + a s sou vektory přídatých proměých v omezeích pro vstupy a výstupy, e T = (1, 1,, 1) a e ftezmálí kostata, která se volí zpravdla rova 10-8. Hodoceá edotka U q e efektví, sou-l splěy ásleduící dvě podmíky: 1. Optmálí hodota proměé * q e rova edé. 2. Optmálí hodoty všech přídatých proměých s +*, = 1,2,...,r a s *, = 1,2,...,m sou rovy ule. Jedotka U q e tedy CCR efektví, pokud e optmálí hodota účelové fukce modelu (7.5) rova edé. V opačém případě edotka efektví eí. Optmálí hodota účelové fukce z* se ozačue ako míra efektvost hodoceé edotky (vzhledem k ekoečě malé hodotě kostaty se z* v podstatě shodue s optmálí hodotou * q ). Je evdetí, že čím žší e tato míra, tím méě e hodoceá edotka efektví v rámc uvažovaého souboru edotek. U eefektvích edotek e zpravdla optmálí hodota * q meší ež eda. Tato hodota potom ukazue potřebu proporcoálího sížeí (tedy zlepšeí) vstupů tak, aby se edotka U q stala efektví. Výrazým rysem a výhodou DEA modelů eí tedy pouze to, že umožňuí získat odhad míry efektvost pro edotky daého souboru a a základě této míry edotky uspořádat, ale především skutečost, že poskytuí rozhodovatel formace o tom, akým způsobem by se mělo zlepšt chováí hodoceé edotky tak, aby se tato edotka stala efektví. Získat tyto cílové hodoty pro dosažeí efektví hrace (ozačíme e x q a y q ) lze z optmálích výsledků modelu (7.5) dvoím způsobem: 1. x q = X *, y q = Y *, kde * e vektor optmálích hodot vah vypočteých modelem (7.5). 2. x q = * q x q s*, y q = y q + s* +, kde symboly s hvězdčkou (*) sou vektory optmálích hodot proměých modelu (7.5). Modely (7.3) a (7.5) sou modely, které sou oretovaé a vstupy saží se zstt, akým způsobem zlepšt vstupí charakterstky hodoceých edotek tak, aby se edotky staly efektvím. Aalogcky lze formulovat modely oretovaé a výstupy. Prmárí CCR model oretovaý a výstupy (prmárí CCR-O model) e formulová takto: mmalzovat g v x, m q
7.1 Modely aalýzy obalu dat 223 r m za podmíek u yk v x k, k 1, 2,...,, (7.6) r u y q 1, u, = 1, 2,, r, v, = 1, 2,, m. Duálí CCR model oretovaý a výstupy (duálí CCR-O model) se potom v matcové podobě formulue takto: maxmalzovat g = q + (e T s + + e T s ), za podmíek X + s = x q, (7.7) Y s + = q y q,, s +, s 0. Iterpretace výsledků modelu (7.7) e podobá, ako tomu bylo u předcházeícího modelu (7.5). Jedotka U q e efektví, e-l optmálí hodota účelové fukce g* = 1. Pokud e tato hodota větší ež eda, edotka efektví eí a optmálí hodota proměé * q zde vyadřue potřebu proporcoálího avýšeí výstupů pro dosažeí efektvost. Cílové hodoty vstupů a výstupů x q a y q pro CCR model oretovaý a výstupy se získaí aalogcky předchozímu modelu: 1. x q = X *, y q = Y *, kde * e vektor optmálích hodot vah vypočteých modelem (7.7). 2. x q = x q s*, y q = * q y q + s* +, kde symboly s hvězdčkou (*) sou vektory optmálích hodot proměých modelu (7.7) Pro optmálí řešeí CCR modelů př oretac a vstupy a a výstupy platí, že sou míry efektvost (hodoty účelových fukcí obou modelů) převráceé hodoty, t. z* = 1/g*. BCC model CCR model předpokládá kostatí výosy z rozsahu a defue tak kócký obal dat. V roce 1984 avrhl Baker, Chares a Cooper modfkac tohoto modelu, která uvažue varablí výosy z rozsahu (klesaící, rostoucí ebo kostatí). Teto model bývá často ozačová ako BCC model. V tomto případě se kócký obal dat měí a kovexí, což vede k tomu, že e př použtí BCC modelu ozače za efektví vyšší počet edotek. Tuto skutečost sme lustroval a edoduchém příkladu v předcházeícím oddílu této kaptoly vz obr. 7.1 a 7.2. Pro aalýzu efektvost edotek př uvažováí varablích výosů z rozsahu stačí modely (7.5) a (7.7)
224 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů rozšířt o podmíku kovexost e T = 1. Duálí BCC model oretovaý a vstupy (duálí BCC-I model) bude mít tedy ásleduící podobu: mmalzovat z = q (e T s + + e T s ), za podmíek X + s = q x q, (7.8) Y s + = y q, e T = 1,, s +, s 0, kde všechy symboly použté v této formulac maí steou terpretac ako u modelu (7.5). Naprosto shodým způsobem lze zde získat cílové hodoty vstupů a výstupů pro eefektví edotky. Steě tak lze detfkovat BCC efektví edotky. Musí opět platt, že hodota radálí proměé q e rova edé a současě všechy přídavé proměé s +, s sou rovy ule, tz. optmálí hodota účelové fukce modelu (7.8) z* = 1. Jedotky, které esou efektví, maí hodotu z* < 1. Formulac duálího BCC modelu oretovaého a výstupy s čteář stě doplí sám. Pro úplost zde eště uvádíme matematcký model prmárího BCC modelu oretovaého a vstupy (prmárí BCC-I model): r maxmalzovat z u yq, r m za podmíek u yk v x k, k 1, 2,...,, (7.9) m v x q 1, u, = 1, 2,, r, v, = 1, 2,, m, - lbovolé. kde e duálí proměá přřazeá podmíce kovexost e T = 1 modelu (7.8). Modely (7.8) a (7.9) sou avzáem duálě sdružeé, a proto sou optmálí hodoty účelových fukcí obou modelů shodé a steě tak e terpretace výsledků shodá. Modely (7.3) a (7.9) se lší pouze v tom, akých hodot může abývat proměá. V CCR modelu e hodota této proměé rova ule - = 0, v BCC modelu může být tato proměá lbovolá (může abývat kladých záporých hodot a samozřemě ulové hodoty).
7.1 Modely aalýzy obalu dat 225 Vzhledem k tomu, že formulace prmárího BCC modelu oretovaého a výstupy (prmárí BBC-O model) emusí být zřemá, uvádíme zde také: mmalzovat g v x, m q r m za podmíek u yk v x k, k 1, 2,...,, (7.10) r u y q 1, u, = 1, 2,, r, v, = 1, 2,, m, - lbovolé, kde e duálí proměá příslušeící podmíce kovexost e T = 1 duálího BCC-O modelu. Pro BCC efektví edotky e optmálí hodota účelové fukce g* rova edé, pro eefektví edotky e větší ež eda a udává míru avýšeí výstupů pro dosažeí efektví hrace. Jak sme ž uvedl, předpokládaí CCR modely kostatí výosy z rozsahu (CRS) a BCC modely varablí výosy z rozsahu (VRS). Malou úpravou podmíek pro součet proměých v duálích modelech (bez ohledu a oretac modelu), podmíek pro hodoty proměé prmárího modelu oretovaého a vstupy (7.9) a proměé modelu oretovaého a výstupy (7.10), můžeme dostat další modfkace těchto modelů předpokládaící eklesaící výosy z rozsahu (NDRS - o-decreasg returs to scale) případě erostoucí výosy z rozsahu (NIRS - ocreasg returs to scale). Přehledě uvádí modfkac těchto podmíek tabulka 7.4. Výosy z rozsahu prmárí model (7.9) prmárí model (7.10) duálí model (7.8) CRS - kostatí = 0 = 0 e T - lbovolé VRS - varablí - lbovolé - lbovolé e T = 1 NIRS - erostoucí 0 0 e T 1 NDRS - eklesaící 0 v 0 e T 1 Tab. 7.4: Modfkace podmíek pro růzé výosy z rozsahu Příklad 7.1 základí lustrace DEA modelů
226 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů Výše uvedeé modely a ech výsledky budeme lustrovat a umerckém příkladu, ehož vstupy a výstupy sou uvedey v tabulce 7.1. Pro kostatí výosy z rozsahu byl teto příklad grafcky řeše a obr. 7.1, pro varablí výosy z rozsahu a obr. 7.2. Z těchto obrázků e patré, že ako CCR-efektví e v této úloze pouze edá edotka U 6. Pro BCC model se kócký CCR obal měí a kovexí a počet BCC efektvích edotek e zde vyšší. V této úloze se kokrétě edá o edotky U 1, U 2, U 6 a U 8. Ukážeme s eprve, ak zde kokrétě vypadá formulace CCR modelu oretovaého a vstupy př hodoceí efektvost edotky U 3 - použeme duálí CCR-I model (7.4). Příslušá úloha leárího programováí bude mít ásleduící podobu: mmalzovat z = 3 (s 1 + + s 1 ), za podmíek 12 1 + 7 2 +...+ 2 6 +... + 4 8 + s 1 = 9 3, (7.12) 14 1 + 12 2 +...+ 6 6 +... + 9 8 s 1 + = 11, 0, = 1,2,...,8, s 1 0, s 1 + 0. Tato úloha má optmálí řešeí z* = * 3 = 0,4074, s 1 = 0, s 1 + = 0, * 6 = 1,833 a všechy ostatí proměé sou rovy ule. Jedotka U 3 tedy eí CCR-efektví a eí míra efektvost e 0,4074. Aby se efektví stala, musela by sížt svů vstup (počet pracovíků) z hodoty 9 a hodotu 2.1,833 = 9.0,4074 = 3,667. Pokud bychom použl BCC model, stačí doplt úlohu (7.12) o podmíku: 1 + 2 +... + 8 = 1. Optmálí řešeí takto upraveé úlohy e z* = * 3 = 0,6667, s 1 = 0, s 1 + = 0, * 2 = 0,667, * 8 = 0,333 a všechy ostatí proměé sou rovy ule. Jedotka U 3 tedy eí a BCC-efektví a eí míra efektvost e 0,6667. Aby se efektví stala, musela by sížt počet pracovíků z hodoty 9 a hodotu 7.0,667 + 4.0,333 = 9.0,667 = 6. V tabulce 7.5 sou obsažey pro každou edotku vypočteé míry efektvost (pro CCR-I BCC-I model) a cílové hodoty vstupů. Cílové hodoty výstupů se v tomto případě eměí, a proto e euvádíme. Pro úplost uvádíme kokrétí formulac prmárího CCR-I modelu (7.3) pro hodoceí efektvost edotky U 3 : maxmalzovat z = 11u 1, za podmíek 14u 1 12v 1, 12u 1 7v 1, 11u 1 9v 1, 3u 1 3v 1,
7.1 Modely aalýzy obalu dat 227 4u 1 7v 1, 6u 1 2v 1, 6u 1 9v 1, 9u 1 4v 1, 9v 1 = 1, u 1, v 1. Uvedeá optmalzačí úloha má řešeí v 1 = 0,111 a u 1 = 0,037 s hodotou účelové fukce z* = 0,4074, eíž hodota e shodá s optmálí hodotou účelové fukce úlohy (7.12). CCR-I model BCC-I model míra hodota míra hodota efektvost původí cílová efektvost původí cílová U 1 0,3889 12 4,666 1,0000 12 12,000 U 2 0,5714 7 4,000 1,0000 7 7,000 U 3 0,4074 9 3,666 0,6667 9 6,000 U 4 0,3333 3 1,000 0,6667 3 2,000 U 5 0,1905 7 1,333 0,2857 7 2,000 U 6 1,0000 2 2,000 1,0000 2 2,000 U 7 0,2222 9 2,000 0,2222 9 2,000 U 8 0,7500 4 3,000 1,0000 4 4,000 Tab. 7.5: Výsledky DEA aalýzy (CCR a BCC model) Modely super efektvost V základích DEA modelech, o kterých sme se zmíl v předcházeících oddílech, e efektvím edotkám přřazea edotková míra efektvost. V závslost a typu zvoleého modelu, ale především a vztahu mez počtem edotek a počtem vstupů a výstupů, může být ale efektvích edotek poměrě velký počet. Kvůl možost klasfkace efektvích edotek bylo avržeo ěkolk defc tzv. super efektvost. V DEA modelech super efektvost získávaí původí efektví edotky míru super efektvost vyšší ež eda (pro modely oretovaé a vstupy) ebo žší ež eda (pro modely oretovaé a výstupy). Tato skutečost umožňue klasfkac efektvích edotek, což může být eda z důležtých formací, které užvatel požadue. Všechy modely super efektvost sou založey a tom, že se př výpočtu míry super efektvost váha původí efektví edotky položí rova ule (hodoceá edotka se takto v podstatě vyme ze souboru edotek), což má za ásledek změu původí efektví hrace. Model
228 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů super efektvost potom měří vzdáleost mez vstupy a výstupy hodoceé edotky od ové efektví hrace. Tato skutečost e lustrováa a příkladu z úvodu tohoto oddílu. Uvažueme BCC efektví hrac (vz obr. 7.2) a výpočet super efektvost pro edotku U 2. Po vymutí edotky U 2 ze souboru se původí BCC efektví hrace, která e a obr. 7.5 vyzačea čárkovaě, modfkue tak, ak e azačeo a obrázku. Míra super efektvost e potom vlastě vzdáleost bodu U 2 od ové efektví hrace a edotlvé DEA modely super efektvost se lší v tom, ak tuto vzdáleost měří. Na obr. 7.5 e vyzačea eda možost super efektvost e vzdáleost mez body U 2 a U*. tržba U 2 12 U * U 1 10 U 3 U 8 8 6 U 7 U 6 4 U 5 U 4 2 0 2 4 6 8 10 12 počet prac. Obr. 7.5: Super efektvost Prvím modelem super efektvost byl model Adersea a Petersea (1993), který e pro kostatí výosy z rozsahu formulová ásledově: mmalzovat q, za podmíek x s x, = 1, 2,..., m, (7.13) 1, q q q
7.1 Modely aalýzy obalu dat 229 1, q y s y = 1, 2,..., r, q, 0, q = 0, s + 0, s 0. Pro varablí výosy z rozsahu e teto model doplě podmíkou e T = 1 s tím, že q = 0. Příklad 7.2 hodoceí efektvost frem Výsledky, které poskytuí DEA modely (CCR a BCC) budeme lustrovat a příkladu hodoceí efektvost frem. Jedá se o české frmy z odvětví výroby ábytku s mmálím počtem pracovíků 50. Každá z frem e charakterzováa čtyřm vstupy - celkové áklady v mloech Euro, počet pracovíků, mzdové áklady v mloech Euro a dspoblí plocha pro výrobu v m 2 a edím výstupem, kterým e obrat frmy v mloech Euro. Kokrétí data sou uvedea v tabulce 7.6. Frm a Náklad y ml.euro Počet prac. Mzd.ákl. ml. Euro Plocha m 2 Obrat ml.euro 1 2,400 100 0,733 1 500 2,600 2 5,433 117 0,833 3 600 6,167 3 2,767 65 0,600 3 000 3,000 4 36,667 1 748 0,110 86 500 34,333 5 6,767 202 1,067 3 200 7,367 6 1,800 138 0,800 5 600 2,333 7 3,667 92 0,400 5 000 3,733 8 2,700 110 0,667 4 000 2,300 9 1,867 112 0,667 4 800 1,967 10 4,433 106 0,700 3 000 4,400 11 3,067 80 0,500 5 372 3,633 12 1,600 53 0,233 1 200 1,600 13 2,000 59 0,567 2 400 1,967 14 2,633 102 0,933 5 000 2,667 15 7,333 389 2,800 27 000 7,267 16 15,367 544 4,033 2 000 15,100 17 21,300 600 4,633 30 000 19,933 18 2,267 71 0,400 2 018 2,300 19 5,067 61 0,667 2 800 4,900 Tab. 7.6: Vstupí data hodoceí frem
230 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů Míry efektvost vypočteé CCR-I a BCC-I modelem sou obsažey v tabulce 7.7. Je patré, že edotky BCC-efektví sou současě CCRefektví. Kromě těchto údaů obsahue tabulka 7.7 míry super efektvost vypočteé podle Aderseova a Peterseova modelu (7.13). Tyto míry sou samozřemě vypočteé pouze pro edotky, které bylo stadardím modelem hodocey ako efektví. Symbol xxxx v posledím sloupc u čtvrté frmy udává, že míru super efektvost eí možé daým modelem spočítat - úloha (7.13) emá přípusté řešeí. Frm a CCR-I model CCR-I supereff BCC-I model BCC-I supereff 1 0,962 1,000 1,039 2 1,000 1,084 1,000 1,107 3 0,939 1,000 1,013 4 1,000 33,441 1,000 xxxx 5 1,000 1,117 1,000 1,150 6 1,000 1,094 1,000 1,183 7 0,986 1,000 1,038 8 0,717 0,757 9 0,839 0,911 10 0,874 0,890 11 1,000 1,039 1,000 1,070 12 0,889 1,000 1,716 13 0,843 0,952 14 0,841 0,865 15 0,796 0,907 16 1,000 3,280 1,000 9,846 17 0,798 1,000 1,411 18 0,883 0,950 19 1,000 1,524 1,000 1,577 Tab. 7.7: Míry efektvost hodoceí frem V závěru této část uvádíme v tabulce 7.8 přehled všech DEA modelů, které byly v této část skrpt formulováy (edá se o duálí formulace). Účelová fukce a omezuící podmíky sou z tabulky 7.8 př oretac a vstupy výstupy zřemé. Podle předpokladu o charakteru výosů z rozsahu e třeba zvolt vždy edu z uvedeých podmíek, případě zvolt podmíku pro model super efektvost.
7.1 Modely aalýzy obalu dat 231 oretace a vstupy DEA modely (duálí formulace) oretace a výstupy m m r m r z s s, max g s s, 1 1 1 1 za podm. x s xq, za podm. x s xq 1 1, y s yq, y s y q 1 1 + 0, s 0, s 0, CRS (kostatí) free 1, 1, VRS (varablí) 1 1, NDRS (eklesaící) 1 1, NIRS (erostoucí) 1 super efektvost q = 0. Tab. 7.8: Přehled DEA modelů, 7.2Vícekrterálí a cílové programováí Úlohy vícekrterálího programováí sou úlohy, ve kterých se a možě přípustých řešeí optmalzue ěkolk skalárích účelových (krterálích) fukcí. Moža přípustých řešeí e přtom defováa podobě ako v úlohách matematckého programováí. Za předpokladu learty omezuících podmíek účelových fukcí se mluví o úlohách vícekrterálího leárího programováí. Tuto úlohu můžeme matematcky formulovat ásledově: maxmalzovat z 1 = c 11 x 1 + c 12 x 2 +...+ c 1 x, z 2 = c 21 x 1 + c 22 x 2 +...+ c 2 x, : (7.14) z k = c k1 x 1 + c k2 x 2 +...+ c k x, za podmíek a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 x b 1,
232 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2 x b 2, : (7.15) a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a m x b m, x 0, = 1, 2,...,. Symbol maxmalzace e úmyslě uvede v uvozovkách, protože elze edozačě defovat, co se rozumí současou maxmalzací ěkolka účelových fukcí. Úlohu (7.14)-(7.15) e možé zapsat matcově: maxmalzovat z 1 = c 1 x, z 2 = c 2 x, : (7.16) z k = c k x, za podmíek x X = { x R Ax b, x 0), (7.17) kde c, = 1,2,...,k e vektor ceových koefcetů -té účelové fukce. Cílem př řešeí úloh vícekrterálího leárího programováí (VLP) e zpravdla alezeí ěakého kompromsího řešeí, to e řešeí, které bude kompromsem mez defovaým účelovým fukcem. Pro výpočet kompromsího řešeí úlohy VLP e možé použít ěkolk základích prcpů. Všechy z ch zpravdla vedou k řešeí edé č ěkolka stadardích úloh leárího programováí. Toto řešeí se provádí běžým postupy pro řešeí leárích optmalzačích úloh (smplexová metoda). Kompromsí řešeí získaé podle všech prcpů musí splňovat podmíku edomovaost, tz. musí to být takové řešeí, ke kterému eexstue é přípusté řešeí, které by bylo lepší (ebo by ebylo horší) podle všech účelových fukcí. Je to podmíka pochoptelá, protože kdyby splěa ebyla, potom by bylo vhoděší vzít ako kompromsí řešeí právě to řešeí, které e lepší (eí horší) podle všech účelových fukcí. 1. Prcp agregace účelových fukcí Teto prcp e založeý a ohodoceí důležtost krterálích fukcí vaham v 1, v 2,..., v k, v = 1. Místo úlohy (7.16)-(7.17) se potom řeší běžá úloha leárího programováí: maxmalzovat z c x, (7.18) k v 1
7.1 Modely aalýzy obalu dat 233 za podmíek (7.17). Za předpokladu ezáporost všech vah účelových fukcí lze sado dokázat, že tímto způsobem získáme vždy edomovaé řešeí. 2. Kompromsí řešeí podle prcpu mmaxu Cílem tohoto prcpu e alézt takové kompromsí řešeí, které bude maxmalzovat mmálí, tedy ehorší, hodotu ze všech krterálích fukcí. Ozačíme-l tuto mmálí kompoetu D, potom lze kompromsí řešeí podle mmálí kompoety aít ako řešeí ásleduící úlohy leárího programováí: maxmalzovat D, za podmíek (7.19) c 1 x D, c 2 x D, : c k x D, x X. 3. Mmalzace vzdáleost od deálích hodot Ideálí hodotu pro -tou účelovou fukc ozačíme z opt. Jedá se o optmálí hodotu této účelové fukce a možě přípustých řešeí. Ideálí hodotu by bylo možé získat optmalzací příslušé účelové fukce běžou smplexovou metodou. Př použtí tohoto prcpu hledáme takové kompromsí řešeí, které bude mmalzovat vážeý součet odchylek od deálích hodot. Budeme tedy řešt úlohu leárího programováí: mmalzovat k z = v ( z opt c x), (7.20) 1 za podmíek x X, kde v > 0, e váha -té účelové fukce. 4. Cílové programováí Pro získáí kompromsího řešeí úlohy VLP se velm často používá cílové programováí. Úloha cílového programováí obsahue v typckém případě ěkolk základích částí: 1. Pevé cíle sou podmíky, které sou vyádřey ve formě erovc ebo rovc a které musí být v modelu respektováy, tz. elze akceptovat
234 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů takové řešeí, které by ěkterý z pevých cílů esplňovalo. V matematckém vyádřeí maí pevé cíle podobu omezuících podmíek v běžé úloze leárího programováí, t. 1 a x b, 1,2,..., m. 2. Volé cíle sou podmíky, které sou blací mez hodotou levé stray omezuící podmíky a mez zadaou cílovou hodotou. U volých cílů se používaí pro vyádřeí kladých a záporých odchylek od daých cílových hodot odchylkové proměé. Záporé odchylkové proměé od -té cílové hodoty budeme ozačovat d, kladé odchylkové proměé d +. Obecý záps -tého blačího omezeí může tedy vypadat ásledově: 1 c x d d g, 1,2,..., k. kde c x e levá straa omezuící podmíky a g e příslušá cílová hodota. 3. Účelová fukce modelu cílového programováí e obecě vyádřea ako mmalzace odchylek od zadaých cílových hodot, t. edá se o mmalzac součtu odchylkových proměých. Do účelové fukce lze zahrout buď záporé ebo kladé ebo oba typy odchylkových proměých: mmalzace záporé odchylky vede k získáí řešeí, které se zdola co evíce přblžue daé cílové hodotě, může být však lbovolě vyšší ež tato cílová hodota - použtí apříklad tehdy, vyadřue-l cílová hodota požadavek a dosažeí zadaé úrově zsku, mmalzace kladé odchylky vede k získáí řešeí, které se shora co evíce přblžue daé cílové hodotě, může být však lbovolě žší ež tato cílová hodota - apříklad požadavek a získáí řešeí, které se co evíce přblžue cílovým ákladům, mmalzace součtu kladé a záporé odchylky vede k získáí řešeí, které se oboustraě co evíce přblžue daé cílové hodotě - apříklad požadavek a pokud možo co eúplěší využtí ěakého zdroe (aby c ezbylo a ebylo třeba zdro dodatečě rozšřovat).
7.1 Modely aalýzy obalu dat 235 V akémkolv, velm malém, modelu cílového programováí může být cílů defováo ěkolk. Důležtost těchto cílů může být vyádřea buď ech uspořádáím od edůležtěšího po eméě důležtý (lexkografcké cílové programováí), ebo pomocí bezrozměrých koefcetů (vah), které vyadřuí stupeň důležtost splěí cíle. Pokud odlšíme důležtost cílů vaham (což bývá častěší případ), můžeme mmalzovat: vážeý součet odchylek ebo maxmálí vážeou odchylku. Př mmalzac vážeého součtu odchylek bude celá úloha cílového programováí aformulováa ásledově: mmalzovat z k 1 ( v d d v ) za podmíek (7.21) 1 1 d a c x x b d, d g 0, d 0, d d, 0, 1,2,..., m, 1,2,..., k, 1,2,..., k. + kde v a v sou váhy, ohodocuící důležtost záporých a kladých odchylek volého cíle g. Př mmalzac vážeé maxmálí odchylky se výše uvedeý model bude modfkovat ásledově: mmalzovat D, za podmíek (7.22) 1 1 v d a c d x x b d v, d d D, g 0, d 0, d d, 0, 1,2,..., k, 1,2,..., k, 1,2,..., m, 1,2,..., k, kde proměá D představue maxmálí hodotu vážeé odchylky, kterou se sažíme mmalzovat. Ve všech uvedeých prcpech pro výpočet kompromsího řešeí e třeba sledovat, zda sou hodoty dílčích účelových fukcí avzáem
236 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů srovatelé. Pokud tomu tak eí, tz. ěkteré hodoty sou v tsících, é třeba e v edotkách, e třeba výše uvedeé formulace optmalzačích úloh modfkovat tak, že váhy účelových fukcí v úlohách (7.18) a (7.20) a levou strau omezuících podmíek v úloze (7.19) vydělíme ech deálím hodotam z opt. Po této úpravě budou všechy deálí hodoty rovy 1 (100 %) a my budeme vlastě pracovat s procetím odchylkam. V úlohách cílového programováí (7.21) a (7.22) doporučueme vydělt váhy odchylek cílovým hodotam, a tak vlastě mmalzovat procetí odchylky od cílových hodot, které sou ž vzáemě srovatelé. Modely cílového programováí sou obecěší ež stadardí modely LP, protože často skutečě elze edozačě určt edé krtérum optmalty. Užvatelům e většou blžší zadáí ěakých žádoucích (cílových) hodot, ke kterým se v průběhu optmalzace shora č zdola přblžue. Příklad 7.3 kompromsí řešeí v úlohách VLP V truhlářské dílě, která zaměstává zdravotě postžeé dělíky, se vyrábí dřevěý ábytek ždle, stoly a lavce. Na výrobu edé ždle e potřeba 3 kg dřeva a 2 m 2 látky, dělík potřebue a eí smotováí 30 mut. Ždle se prodává za 200 Kč, z čehož 100 Kč tvoří zsk pro dílu. Pro další výrobky sou údae v ásleduící tabulce: ždle stůl lavce dřevo [kg] 3 5 4 látka [m 2 ] 2 0 5 práce [m] 30 60 40 cea [Kč] 200 300 600 zsk [Kč] 100 200 200 Tab. 7.9: Vstupí údae pro úlohu VLP Na týde e v dílě k dspozc 500 kg dřeva a 400 m 2 látky a potahy. Aby díla vůbec mohla fugovat, musí být eí týdeí zsk alespoň 20 000 Kč. Díla s klade za cíl zaměstat co evíce zdravotě postžeých dělíků př současé maxmalzac přímu z prodee ábytku a mmalzac škodlvého dopadu výroby a žvotí prostředí. Vlv a žvotí prostředí e vyádře pomocí trestých bodů. Tyto body sou ovlvěy především spotřebou dřeva, ale také možstvím lepdla, které e pro výrobu ezbyté (spotřeba lepdla emá podstatý vlv a ceu výrobků, proto eí zahruta
7.1 Modely aalýzy obalu dat 237 do dalších výpočtů). Vlv výroby a žvotí prostředí byl ohodoce takto: ždle 2 tresté body, stůl 5 bodů a lavce 3 body. Matematcký model výše popsaého problému může být formulová takto: maxmalzovat z 1 = 200x 1 + 300x 2 + 600x 3 [Kč] z 2 = 30x 1 + 60x 2 + 40x 3 [m] (7.23) z 3 = 2x 1 5x 2 3x 3 [body] za podmíek 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 500 [kg] 2x 1 + 0x 2 + 5x 3 400 [m 2 ] (7.24) 100x 1 + 200x 2 + 200x 3 20000 [Kč] x 0, = 1, 2, 3. Pro potřeby výpočtů byla posledí účelová fukce, která vyadřue mmalzac dopadu a žvotí prostředí, převedea a maxmalzačí typ vyásobeím hodotou (1). V ásleduícím přehledu uvádíme optmálí řešeí získaá samostatou maxmalzací edotlvých dílčích účelových fukcí: max z 1 : opt x 1 = (0, 36, 80), opt z 1 = 58800, max z 2 : opt x 2 = (0, 100, 0) opt z 2 = 6000, max z 3 : opt x 3 = (0, 20, 80) opt z 3 = 340. Př výpočtu kompromsího řešeí edotlvým, výše uvedeým postupy, budeme pracovat s vektorem vah v = (0,3; 0,6; 0,1). Dále budeme lustrovat výpočet kompromsích řešeí podle edotlvých, výše popsaých, prcpů. 1. Agregace účelových fukcí Agregovaou účelovou fukc (7.18) zde můžeme vyádřt takto: 200 x z 0,3 300 x2 600 x 58800 30x 0,6 60x 2 40x 6000 2x 0,1 5x2 3 340 1 3 1 3 1 x3 Posledí čle v agregovaé fukc odečítáme, protože se sažíme pealzovat vyšší hodoty dopadu a žvotí prostředí. Budeme tedy maxmalzovat uvedeou agregovaou fukc za podmíek (7.24). Optmálí řešeí a současě kompromsí řešeí úlohy VLP e potom daé vektorem proměých x opt = (0, 36, 80) s vektorem hodot účelových fukcí z opt = (58800, 5360, 420). 2. Prcp mmaxu Úloha (7.19) bude mít v ašem příkladě ásleduící podobu:
238 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů maxmalzovat za podmíek D 200 x1 300x 2 600x 3 D, 58800 30x1 60x2 40x3 D, 6000 2x1 5x2 3x3 2 D, 340 + podmíek (7.24). V prvích dvou omezuících podmíkách bude mít levá straa hodotu 1 pro deálí řešeí daé účelové fukce, pro ostatí řešeí bude mít hodotu žší ež 1 a bude tak vlastě vyadřovat a kolk procet se přblžueme deálu. Třetí omezuící podmíka e pro deálí řešeí rověž rova hodotě 1 (2 1 = 1). Pro ostatí řešeí e zlomek a levé straě větší ež 1 a tedy rozdíl (2 hodota zlomku) udává, ak se přblžueme deálu. Optmálí řešeí uvedeé úlohy a tedy kompromsí řešeí úlohy VLP vyádříme vektorem proměých hodot účelových fukcí: x opt = (59,81; 20,16; 54,94), z opt = (50975,5; 5201,6; 385,2). Optmálí hodota D = 0,866. To zameá, že evětší odchylka od deálu e 13,4%. 3. Mmalzace vzdáleostí od deálích hodot Př použtí tohoto prcpu budeme za podmíek (7.24) mmalzovat účelovou fukc (7.20), která bude mít v ašem případě tvar: z 0,3(58800 200x1 300x2 600x3 )/58800 0,6(6000 30x1 60x2 40x3 )/6000 0,1( 340 2x1 5x2 3x3 ) / 340. Řešeím této úlohy získáme kompromsí řešeí x opt = (0; 36; 80) s hodotam účelových fukcí z opt = (58800; 5360; 420). 4. Cílové programováí Řekěme, že užvatel staovl pro všecha krtéra ásleduící cílové hodoty pro tržbu (g 1 = 56 000 Kč), využtí práce zdravotě postžeých dělíků (g 2 = 5 400 mut) a vlv a žvotí prostředí (g 3 = 400 bodů). U prvích dvou fukcí budeme zřemě mmalzovat záporé odchylky od cílových hodot, u posledí z ch aopak kladou odchylku. Celý model
7.1 Modely aalýzy obalu dat 239 cílového programováí, který bude mmalzovat vážeý součet ežádoucích odchylek, bude mít tedy ásleduící podobu: mmalzovat z 0,3d 1 / 54000 0,6d 2 / 5400 0,1d 3 za podmíek 200x 1 + 300x 2 + 600x 3 + d + 1 d 1 = 54000, 30x 1 + 60x 2 + 40x 3 + d + 2 d 2 = 5400, 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + d + 3 d 3 = 400, 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 500 2x 1 + 0x 2 + 5x 3 400 100x 1 + 200x 2 + 200x 3 20000 x 0, = 1, 2, 3, + d, d 0, = 1, 2, 3. / 400 Uvedeá úloha poskytue kompromsí řešeí s x opt = (12; 40; 66) s hodotam účelových fukcí z opt = (54000; 5400; 422). Z toho e patré, že prví dvě cílové hodoty byle splěy přesě, bodová hodota pro vlv a žvotí prostředí byla překročea o 22 bodů. 7.3Cvčeí 1. V systému LINGO vytvořte obecý model ( hodoceých edotek, m vstupů a r výstupů) pro DEA BCC model oretovaý a vstupy ve formulac (7.8) a str.224. Pomocí vytvořeého modelu vyhodoťte efektvost souboru dvaáct bakovích poboček, z chž každá e charakterzováa dvěma vstupy (počet pracovíků, provozí áklady v ml. Kč za rok) a dvěma výstupy (počet trasakcí v tsících, obem prostředků a účtech v ml. Kč). Kokrétí údae sou v íže uvedeé tabulce. Vypočtěte: a) míru efektvost všech hodoceých poboček, b) pro pobočky, které esou BCC efektví, určete, ak by měly změt svoe charakterstky tak, aby dosáhly efektví hrace, c) pro pobočky, které sou BCC efektví, vypočtěte míru superefektvost modelem (7.13).
240 7. Vybraé aplkace optmalzačích modelů Pobočk a Počet prac. Prov. ákl. Počet tras. Obem prostř. 1 37 56,8 1482 17472 2 24 32,9 1162 7930 3 26 37,8 1667 13100 4 15 27,0 1097 5437 5 21 30,3 1421 5045 6 34 22,0 2201 8232 7 25 19,9 1126 9399 8 23 24,7 1305 4322 9 38 24,0 2352 9832 10 18 25,1 1250 5336 11 19 31,8 1050 8315 12 25 35,4 1181 10160 2. Vyhodoťte efektvost bakovích poboček z předcházeícího příkladu BCC modelem oretovaým a výstupy. Porovete získaé výsledky. 3. Uvažute ásleduící úlohu vícekrterálího leárího programováí: maxmalzovat z 1 = x 1 + 3x 2 z 1 = 2x 1 + x 2 za podmíek 5x 1 + 5x 2 25, 2x 1 + 4x 2 16, x 1 4, x 1, x 2 0. a) Jakýmkolv programovým systémem vypočtěte dílčí optmálí řešeí (optmálí řešeí získaé samostatou optmalzac každé z účelových fukcí). b) Určete kompromsí řešeí podle prcpu agregace účelových fukcí, prcpu mmaxu a mmalzace vzdáleost od deálích hodot váhy obou účelových fukcí uvažute 0,5. 4. Uvažute ásleduící úlohu vícekrterálího leárího programováí: maxmalzovat z 1 = 2x 2 z 1 = 2x 1 x 2 za podmíek
7.1 Modely aalýzy obalu dat 241 2x 1 + x 2 18, x 1 + 2x 2 12, x 1 + x 2 3, x 1, x 2 0. a) Jakýmkolv programovým systémem vypočtěte dílčí optmálí řešeí. b) Určete kompromsí řešeí podle prcpu agregace účelových fukcí, prcpu mmaxu a mmalzace vzdáleost od deálích hodot váha prví fukce e 0,4 a druhé 0,6. 5. V příkladu 7.3 a str. 236 se změí cílové hodoty edotlvých krtérí ásledově: g 1 = 57 200 Kč, g 2 = 5 600 mut a g 3 = 380 bodů. Váhy všech tří krtérí sou určey vektorem v = (0,5; 0,3; 0,2). U prvího krtéra e třeba mmalzovat záporou odchylku, u druhého součet záporé kladé odchylky (chceme dosáhout pokud možo přesého splěí cílové hodoty), u třetího cíle kladou odchylku. Sestavte model cílového programováí a vypočtěte kompromsí řešeí.