Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace"

Petra Pokorná
před 9 lety
Počet zobrazení:

1 Periodicita v časové řadě, její popis a idetifikace 1 Periodicita Některé časové řady obsahují periodickou složku. Pomocí vybraých ástrojů spektrálí aalýzy budeme tuto složku idetifikovat. Mějme fukci periodickou fukci R cos(2πft + φ), R je amplituda, f je frekvece a φ ozačuje fázový posuv. Tato fukce se opakuje každou časovou jedotku T = 1 f perioda. Graf zobrazuje dvě tyto fukce v diskrétím čase t = 1,..., 96 s frekvecemi 4/96 a 14/96. Fukce s ižší frekvecí má ulový fázový posuv, ta s vyšší frekvecí má fázový posuv 0,6π. Vytvořme lieárí kombiaci těchto fukcí ( Y t = 2 cos 2πt 4 ) [ ( + 3 cos 2π t 14 )] ,3. (1) Periodicita je yí skrytá. Operačí program Vzděláváí pro kokureceschopost Název projektu: Iovace magisterského studijího programu Fakulty ekoomiky a maagemetu Registračí číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

Graf zobrazuje dvě tyto fukce v diskrétím čase t = 1,..., 96 s frekvecemi 4/96 a 14/96. Fukce s ižší frekvecí má ulový fázový posuv, ta s vyšší frekvecí má fázový posuv 0,6π.

2 Platí kde R cos(2πft + φ) = A cos(2πft) + B si(2πft), R = A 2 + B 2, ( φ = arcta B ) A a obráceě A = R cos φ, B = R si φ. Pro pevě daou hodotu frekvece f lze použít cos(2πft) a si(2πft) jako prediktory a odhadout A a B pomocí metody ejmeších čtverců. Obecou kombiaci m kosiových fukcí s libovolými amplitudami a frekvecemi lze zapsat ve tvaru 1 Y t = A 0 + m [A j cos(2πf j t) + B j (2 si f j t)]. j=1 Metodu ejmeších čtverců lze použít pro odhady A j a B j, pokud mají frekvece speciálí tvar, regrese jsou jedoduché. Předpokládejme že je liché, = 2k + 1. Frekvece 1/, 2/,..., k/ se azývají fourierovské frekvece. Prediktory tvořeé fukcemi sius a kosius v těchto frekvecích jsou ortogoálí, dostáváme odhady Â 0 = Y t Â j = 2 ( ) 2πtj Y t cos a Bj = 2 ( ) 2πtj Y t si Je-li sudé, = 2k, předchozí rovice platí pro j = 1, 2..., k 1, ale pro j = k dostáváme 1.1 Periodogram Â k = 1 ( 1) t Y t, a Bk = 0. (2) Pro liché = 2k + 1 je periodogram I pro frekveci f = j/, j = 1, 2,..., k defiová ( ) j I = (Â2 2 j + B ) j 2. Pro sudé = 2k získáme hodoty periodogramu pro j = 1, 2,..., k 1 podle předchozího vztahu, pro j = k, tedy frekveci f = k/ = 1/2 je ( ) 1 I = 2 Â2 k, viz výraz (2). Poz. Pro dlouhé časové řady se pro výpočet používá FFT (fast Fourier trasform). Graf zobrazuje periodogram lieárí kombiace fukcí (1) 1 A 0 je koeficiet kosiové fukce pro ulovou frekveci, B 0 je koeficiet kosiové fukce pro ulovou frekveci, je tedy ulový a ve vzorci se eobjevuje. 2

Obecou kombiaci m kosiových fukcí s libovolými amplitudami a frekvecemi lze zapsat ve tvaru 1 Y t = A 0 + m [A j cos(2πf j t) + B j (2 si f j t)].

3 Rozšíříme yí defiici periodogramu a všechy frekvece z itervalu 0 f 1/2 I(f) = (Â2 2 f + B ) f 2, kde Â f = 2 Y t cos(2πtf) a Bf = 2 Y t si(2πtf). Příklad. Půločí magitudy (jas) jisté hvězdy v 600 po sobě jdoucích dech jsou zobrazey a levém grafu, periodogram je vpravo. Proč frekvece omezovat a iterval 0 f 1/2? V grafu jsou zobrazey dvě kosiové fukce, jeda s frekvecí f = 1/4 a druhá s frekvecí f = 3/4 (čárkovaá čára). Měříme-li hodoty těchto fukcí pouze v časech t = 0, 1, 2,..., dostáváme idetické hodoty. V diskrétím čase emůže od sebe tyto dvě fukce rozlišit aliasig frekvecí. Nyquistova frekvece f = 1/2. 3

Proč frekvece omezovat a iterval 0 f 1/2? V grafu jsou zobrazey dvě kosiové fukce, jeda s frekvecí f = 1/4 a druhá s frekvecí f = 3/4 (čárkovaá čára).

4 Příklad. Máme k dispozici údaje o mzdách v ČR za období Odhadutý lieárí tred pomocí lieárí regrese je zázorě a ásledující grafu (ahoře vlevo). Po odečteí toho tredu získáme rezidua (graf vpravo ahoře). Pod těmito grafy jsou zobrazey odpovídající periodogramy. S využitím vypočítaých hodot periodogramu (z reziduí), popíšeme vývoj mezd pomocí modelu Y = β 1 + β 1 t + β 2 t 2 + β 3 t 3 + β 4 si 4πt + β 5 cos 4πt + β 6 si 2πt + β 7 cos 2πt. 4

Po odečteí toho tredu získáme rezidua (graf vpravo ahoře).

5 2 Expoeciálí vyrováváí Chceme-li predikovat (předpovídat) hodotu časové řady v čase t = τ, je přirozeé vzít v úvahu předcházející hodoty a ou predikci určit jako vážeý součet předchozích pozorováí. ŷ t=τ = λ 0 y τ + λ 1 y τ 1 + λ 2 y τ 2 +. zdá se být rozumé dát edávým pozorováím větší váhu ež pozorováím v čase hodě vzdáleým. Jedou z možostí je použití ásledujících vah potom λ i = α(1 α) i, 0 < α < 1, ŷ t=τ = αy τ + (1 α)y τ 1 + (1 α) 2 y τ 2 +. Expoeciálí vyrováváí (ázev pochází z faktu, že váhy klesají expoeciálě) v tomto základím tvaru může být použito pouze pro časové řady bez tredu a sezóí složky. Zobecěím uvedeé procedury je tzv. Holt-Witersovo vyrováváí, které již uvažuje i tred a sezóí složku. Obsahuje tři parametry: α pro úroveň, β pro tred a γ pro sezóí složku (fukce HoltWiters). Příklad. Měsíčí produkce piva v Austrálii. 5

Jedou z možostí je použití ásledujících vah potom λ i = α(1 α) i, 0 < α < 1, ŷ t=τ = αy τ + (1 α)y τ 1 + (1 α) 2 y τ 2 +.

6 Příklad. Mzda v České republice. Obrázek vlevo ukazuje výsledek expoeciálího vyrováváí, obrázek vpravo potom fit pomocí periodických fukcí viz periodogram. Příklady k procvičeí 1. Najděte výzamé periody časových řad uvedeých v souboru perioda.txt. Pomocí lieárího regresího modelu odhaděte tred pomocí fukcí sius a kosius pro výzamé periody. [Datový soubor: perioda.txt] 2. Datový soubor airpass z balíčku TSA obsahuje měsíčí údaje o počtu pasažérů a meziárodích likách letech 1960 až Pomocí periodogramu idetifikujte výzamé periodické složky v časové řadě logaritmů počtu pasažéru, popište tred pomocí fukcí sius a cosius s výzamými periodami. Výsledek porovejte s odhadutým proložeím pomocí dummy proměých. [Příkaz pro R: data(airpass,package= TSA )] 3. Datový soubor airpass z balíčku TSA obsahuje měsíčí údaje o počtu pasažérů a meziárodích likách letech 1960 až Pomocí klouzavých průměrů vhodé délky proved te vyhlazeí této časové 6

Datový soubor airpass z balíčku TSA obsahuje měsíčí údaje o počtu pasažérů a meziárodích likách letech 1960 až 1971.

7 řady. Proved te dekompozici této časové řady (příkazy decompose, stl). Využijte fukci HoltWiters pro výpočet expoeciálího vyrováí. Určete předpovědi pomocí vhodého typu expoeciálího vyrováí. [Příkaz pro R: data(airpass,package= TSA )] 4. Datový soubor co2 z balíčku TSA obsahuje atmosférické kocetrace CO 2. Jedá se o měsíčí data od roku 1994 do roku 2004 (Alert, Northwest Territories, Kaada). Pomocí klouzavých průměrů vhodé délky proved te vyhlazeí této časové řady. Proved te dekompozici této časové řady (příkazy decompose, stl). Využijte fukci HoltWiters pro výpočet expoeciálího vyrováí. Určete předpovědi pomocí zvoleého typu expoeciálího vyrováí. [Příkaz pro R: data(co2, package= TSA )] 7

Datový soubor co2 z balíčku TSA obsahuje atmosférické kocetrace CO 2. Jedá se o měsíčí data od roku 1994 do roku 2004 (Alert, Northwest Territories, Kaada).

Podobné dokumenty

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnávání Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Periodicita v časových